Fråga Lund om matematik - frågor och svar december 1999

Matematikcentrum

Matematik MNF

Fråga Lund om matematik
Frågor och svar december 1999

19 december 1999 19.20.40
Geometriska tajföljder. Om jag får veta att det 7:e talet är 95 och det det 15:e talet är 3950, hur får jag ut kvoten mellan alla tal? Behöver svaret snabbt! .-)
Carita

Svar:

Om jag förstår frågan rätt, har du en geometrisk talföljd

a, ak, ak², ... , ak⁶, ... , ak¹⁴, ..., sådan att ak⁶=95, och ak¹⁴=3950, och vill bestämma k. Men då är 3950=ak¹⁴=ak⁶k⁸=95k⁸, så att k=(3950/95)^1/8.

Jesper Thorén.

19 december 1999 16.19.28
det här med gränsvärden... om vi har en funktion: f(x)=x/(x+1) finns inte -1 med i definitionsmängden. om vi sedan förlänger bråket med t.ex. x, ser funktionen likadan ut, men vi har fått ytterligare ett gränsvärde... och därmed har vi förvanskat den... det tycker inte jag känns speciellt algebraiskt... om man sedan fortsätter med att förlänga bråket med (x+n) tills vi tröttnar, kan vi definiera bort hela funktionen helt... (förutsatt att vi har rätt bra tålamod)... hur kommer det sig att det är tillåtet att förlänga och förkorta med (x^m+n)?
pejve

Svar:

Till varje funktion hör en definitionsmängd och en värdemängd. Om funktionen är definierad i 0, som i ditt exempel, kan den alltså inte vara lika med den funktion man får om man förlänger med x, eftersom denna nya funktion inte är definierad i 0, och har därmed en annan definitionsmängd. De är så klart lika då x inte är 0, och höger- resp. vänstergränsvärdet av funktionen i 0 är lika (=f(0)). Den nya funktionen är restriktionen av f till mängden som består av definitionsmängden till f minus 0, och precis som du säger, om vi tar restriktionen av f till den tomma mängden, så blir det inte så mycket kvar.

Jesper Thorén.

19 december 1999 00.29.25
givet: y=x^2+px+q. Hur stor är sannolikheten för att andragradaren får reella rötter då p och q är ett slumpmässigt utvalt tal mellan 0 och n? Sannolikheten ökar då n ökar, men enligt vilket samband?
Magnus Johnson

Svar:

Se svaret till frågan 1 februari 1999 10.29.30.

Jesper Thorén.

17 december 1999 23.46.54
Hej Min fråga gäller ekvationer. Uppgiften är (1 + z^2 )^3 = -8, (n = 0,1,2) Det jag undrar över är alla steg man tar när man löser uppgiften. Det måste ju finnas en metod man använder sig av för att komma fram till lösningen, kan ni förklara den för mig? Tacksam för svar
Birgitta

Svar:

Sätt w=1+z². Vi löser först den binomiska ekvationen

w³=-8. Varje komplext tal w kan skrivas w=re^it på polär form, så vi ska lösa r³e^i3t=8e^ipi, och vi får att r=8^1/3=2,
t=pi/3+2npi/3, för heltal n. Så de tre lösningarna är w₁=2e^ipi/³=1+i3^1/2,
w₂=2eⁱ^(pi/3+2pi/3)=-2,
w₃=2eⁱ^(pi/3+4pi/3)=1-i3^1/2. För att beräkna lösningarna till w=1+z², får vi tre fall:
1. 1+z²=1+i3^1/2, ger den binomiska ekvationen z²=i3^1/2, med lösningarna z=+-3^1/4e^ipi/⁴=+-3^1/4(1+i)/2^1/2. 2. 1+z²=-2, ger z²=-3, så z=+-i3^1/2. 3. 1+z²=1-i3^1/2, ger ekvationen z²=-i3^1/2, med lösningarna z=+-3^1/4(1-i)/2^1/2.

Jesper Thorén.

17 december 1999 11.05.35
Hej! Jag undrar hur man får reda på max/minpunkter hos en funktion av typen f(x,y).
Oskar

Svar:

Principiellt på samma sätt som för en funktion av en variabel. Undersök funktionen i omgivningar av punkter där den ej är definierad, där den ej är differentierbar och runt punkter där de partiella derivatorna med avseende på x och y är lika med noll. Informationen runt dessa punkter bestämmer i stort sett (bra) funktioners utseende. Olika metoder för att undersöka funktioner av flera variabler kan man finna i böcker om flerdimensionell analys, till vilka jag tyvärr måste hänvisa dig.

Jesper Thorén.

16 december 1999 22.11.49
Hej. Jag skulle vilja ta reda på hur man räknar ut hur mycket man ska spara i månaden om man har en räntesats på 28.37% på ett år om man vill att pengarna ska ha vuxit till en milson på tio år. Vore tacksam om jag får hjälp.
Benjamin Özmen (benjaminozmen@hotmail.com)

Svar:

Sätt r=1,2837, och låt m vara den månatliga insättningen. Efter ett år finns 12mr kronor på banken, och efter två år

12mr²+12mr, och, på samma sätt, efter tio år, 12mr¹⁰+...+12mr²+12mr=12mr(1+r+...+r⁹), kronor. Denna summa ska vara 10⁶, så m=1651,49 kronor.

Jesper Thorén.

16 december 1999 14.50.11
Hej!! Jag har en fråga!! Jag undrar hur man deriverar och hur gör man en andragrads ekvation. Tacksam för väl utfört svar!!
Andreas

Svar:

Den enda generella metod som jag vet för att beräkna f'(a) för en godtycklig deriverbar funktion, är att beräkna gränsvärdet

(f(x)-f(a))/(x-a), då x går mot a, men rent praktiskt är det oftast allt för krångligt. Det finns dock regler för hur man deriverar summor, produkter och sammansättningar mm, av deriverbara funktioner, så det räcker för det mesta med att känna till de enklaste funktionernas derivator, t.ex. derivatan av potens-, logaritm-, och exponentialfunktionen, samt de trigonometriska och cyklometriska funktionerna, för att sedan hitta derivator för mer avancerade uttryck med hjälp av dessa regler. De elementära funktionernas derivata, samt olika deriveringsregler kan du läsa om på Eric Weisstein's World of Mathematics.
För att lösa andragradsekvationer, se 17 maj 1999 12.30.57.

Jesper Thorén.

15 december 1999 20.17.31
Hejsan! Jag går i 8:an och har grubblat på detta tal ganska länge. Framför ett tvåsiffrigt tal skriver du siffran 6. Du får ett nytt tal som är tresiffrigt. Det gamla tvåsiffriga talet är 4% av det tresiffriga talet. Vilket blir då det tvåsiffriga talet? Ni vore jättesnälla om ni kunde lägga ut svaret på Måndag istället för Tisdag, för efter Måndag har jag inte tillgång till internet!! Tack så mycket!
Malin Olsson

Svar:

Att skriva 6 framför ett tvåsiffrigt tal är det samma som att addera 600 till det tvåsiffriga talet. Om vi betecknar det tvåsiffriga talet med x, ska alltså

0,04(600+x) = x. Denna ekvation har lösningen x = 24/0,96 = 25.

Jesper Thorén.

14 december 1999 15.17.15
om a är ett reellt tal och a>0 och ett diskret system ges av x(n+1)=a*sin(x(n)). Kan det finnas exakt 2000 jämviktspunkter för något a, och hur bevisar man att om systemet har exakt 1999 jämnv.punkter så är origo instabil.
a.p.

Svar:

En jämviktspunkt A till systemet

x_n+1=a sinx_n, där a>0 reellt, är ett tal sådant att x_n går mot A då n går mot oändligheten, dvs A=a sinA. Så frågan är om man kan hitta a>0 så att ekvationen A=a sinA, har exakt 2000 lösningar. Rita linjen y=x och kurvan y=a sinx för något val av a. Linjen och kurvan skär varandra i punkter där x=a sinx, och dessa är jämviktspunkter. Men av symmetriskäl skär linjen och kurvan (för varje a>0) varandra lika många gånger då x>0, som då x<0. Eftersom x=0 alltid är en jämviktspunkt, är alltså anbtalet skärningar udda, och därmed aldrig 2000. Om antalet skärningar mellan linjen och kurvan är 3 eller fler (t.ex. 1999), så är a>1, och riktningskoefficienten av tangenten till a sinx är då >1 i en omgivning av 0, medan riktningskoefficienten till linjen är lika med 1. Detta betyder att 0 är en instabil jämviktspunkt (rita i figuren för att inse detta).

Jesper Thorén.

14 december 1999 14.00.00
Jag undrar vem som kom på det matematiska systemet. Jag har läst att det var Maya indianerna i sydamerika....
Nils Svensson

Svar:

Läs om Mayakulturen på Ancient Middle America Pages.

Jesper Thorén.

14 december 1999 13.58.53
Vad heter du
Nils

Svar:

Det säger jag inte.

Jesper Thorén.

14 december 1999 13.53.47
hur löser man ekvationer när man ska dela?
annicka

Svar:

Jag förstår inte riktigt vad du menar. Kan du inte återkomma med ett exempel.

Jesper Thorén.

14 december 1999 10.06.10
Hej! Jag har ett problem: För en fallskärmshoppare gäller mv´=mg-k*v lös funktionen exakt och lös sedan följande: En hoppare hoppar från 2400 m och han väger 60kg med utrustning och om han inte vecklar ut fallskärmen är sluthastigheten 65m/s och med utvecklad skärm 6.5m/s. När ska fallskärmen vecklas ut?
Henrik Lindblad

Svar:

Se svaret till frågan 12 december 1999 16.07.02.

Jesper Thorén.

13 december 1999 16.20.33
Jag har det problemet att jag ska bevisa att (sqrt(2)+sqrt(3)) är irrationellt. Har ni något tips om hur man går tillväga?
Fredrik Carlen

Svar:

Vi visar att 2^1/2+3^1/2 är irrationellt genom en motsägelse. Antag att 2^1/2+3^1/2kan skrivas p/q, där p och q är heltal. Då är

(2^1/2+3^1/2)²=p²/q², dvs 5+2^.6^1/2=p²/q², så det finns heltal r, s, inte båda jämna, sådana att 6^1/2=r/s. Då är 6=r²/s², dvs r²=6s², så r² och därmed r är ett jämnt tal (enligt entydigheten av primtalsuppdelning). Så r=2n, för något heltal n, och eftersom 4n²=6s², dvs 2n²=3s², så är s² jämn, och så även s. Detta ger en motsägelse, eftersom vi antagit att r och s inte båda var jämna. Alltså är 2^1/2+3^1/2irrationellt.

Jesper Thorén.

13 december 1999 15.17.22
Om man har en differensekv. y_(n+1) = y_(n) + sin y_(n) och y_(0)=3, hur visas då att gränsvärdet av y_(n) då n --> oändligheten existerar.
anna

Svar:

Om y_n går mot A (ändligt) då n går mot oändligheten, och om

y_n₊₁=y_n+siny_n, gäller att A=A+sinA, dvs sinA=0. Vi visar att följden y_n är växande och uppåt begränsad då y₀=3. Detta räcker för att visa att y_när konvergent.
Rita linjen y=x och kurvan y=x+sinx. Kurvan skär linjen då x=pi, och punkten (pi,pi) är en terasspunkt, sådan att derivatan är positiv i en punkterad omgivning av (pi,pi). Speciellt är x<x+sinx<pi, då 3<x<pi. Vi har att y₀=3<3+sin3=y₁<pi (enligt miniräknaren), och om vi antar (med induktion) att 3<...<y_n_-1<y_n<pi, för något n, så är y_n₊₁=y_n+siny_n<pi, eftersom 3<y_n<pi. Så enligt induktionsprincipen är y_n växande och uppåt begränsad. Det följer att gränsvärdet är pi.

Jesper Thorén.

13 december 1999 13.38.10
finns det nåt sätt att addera två vektorer utan att behöva använda pythagoras sats eller roten ur.
Freddy Engström

Svar:

En vektor u i planet kan enkelt beskrivas genom att man placerar dess startända i origo, och sedan anger koordinaterna (i någon given bas) för den punkt (x₁,x₂) vektorn pekar på. Omvänt ger varje punkt i planet upphov till en vektor u enligt ovanstående, och man kan därmed indentifiera vektorer i planet med punkter i planet. Summan av två vektorer u=(x₁,x₂) och v=(y₁,y₂) blir då

u+v=(x₁+y₁,x₂+y₂). I ett vektorrum av högre dimension kan man inte definiera vektorer som riktade sträckor och summera genom att rita upp dem, utan då definierar man en vektor u som n-tippeln (x₁,...,x_n) (om dimensionen av vektorrummet är n) och summan av u och v=(y₁,...,y_n) som u+v=(x₁+y₁,...,x_n+y_n). Observera att vektorer i planet blir då bara ett specialfall (n=2).

Jesper Thorén.

13 december 1999 13.50.31
Jag har en fråga från Matte E kursen. Vid en bro med bara en körbana uppstår ofta långa köer på morgnar och kvällar. Myndigheterna vill därför sätta upp en skylt med texten: Rekommendation för färd över bron Hastighet: ? km/h Avstånd mellan bilarna: ? m Rekommendationen grundar sig på följande data: Bilarna är 4m och avståndet mellan bilarna bör vara (r+b/2)m där r m är reaktionssträckan vid bromsning och b m själva bromssträckan. Reaktionstiden är 0,2s och bromssträckans kvadratiska beroende av hastigheten kan bestämmas ur tabellen. Hastighet (km/h) 30, 50, 70, 80, 100 Bromsstträcka (m) 6, 16, 32, 43, 69 VAD BÖR STÅ PÅ SKYLTEN? Ju fortare man kör dessto större blir ju avståndet och det är meningen att man ska få fram en hastighet som ger ett lagomt avstånd som gör att så många bilar som möjligt passerar bron varje "tidsenhet".
Johan

Svar:

Se svaret på frågan 25 april 1999 11.44.39.

Jesper Thorén.

13 december 1999 03.37.48
Jag skulle vilja få lite klarhet i transformationen från kartesiska koordinater till polära koordinater.Hur räknas radien och vinkeln ut och hur substitueras gränserna för en dubbelintegral?
Jim G.

Svar:

I planet kan varje punkt P=(x,y) bestämmas genom att man anger avståndet från P till origo och vinkeln t mellan x-axeln och den räta linjen mellan origo och P. Avståndet är

r=(x²+y²)^1/2, och vinkeln fås ur tant=y/x, där 0<=t<2pi beror på i vilken kvadrant (x,y) ligger. Koordinaterna (r,t) kallas de polära koordinaterna för P. För att gå tillbaka till de kartesiska koordinaterna (x,y) för P används att x=r cost,
y=r sint. För att använda detta för att beräkna dubbelintegraler, får jag hänvisa dig till litteratur i ämnet. Sök gärna på våra sidor efter exempel.
Titta också in på Eric Weisstein's World of Mathematics.

Jesper Thorén.

12 december 1999 16.07.02
Jag skall lösa en uppgift angående fritt fall så här ser uppgiften ut: Rörelseekvationen för en fritt fallande kropp med ett luftmotstånd som är proportionellt mot v^(a) kan med standard beteckningar skrivas m*v'= m*g - k*v^(a) a) lös ekv. exakt för a=1 och undersök sedan följande problem med denna modell. Emma hoppar fallskärm från höjden 2400m. Hur länga kan hon vänta med att låta fallskärmen utveckla sig? Emma väger med utrustning 60kg. Hennes sluthastighet är 6,5m/s om fallskärmen är utvecklad och 65 m/s om den inte är utvecklad. b) Undersök problemet för några andra värden på a.
marie-louise, kalmar

Svar:

Vi skriver om rörelseekvationen lite: v' + k/m v = g. Löser man denna får man:

v(t) = gm/k + (v₀ - gm/k) e^-kt/m, där v₀ är begynnelsehastigheten. Då t går mot oändligheten går detta mot gm/k. Eftersom vi vet g, m och sluthastigheten, kan vi räkna ut vad k är i de två fallen: med fallskärm och utan. Vi räknar också ut höjden som funktion av tiden, h(t). Om man vid t=0 startar på höjden H, så är h(t) = H + integral_{[s = 0 till t]} v(t). För att kunna beräkna hur länge Emma kan vänta med att släppa ut skärmen måste vi veta vilken hastighet hon maximalt får ha när hon slår i marken. Din gissning är lika god som min, men 10 m/s är i alla fall lätt att räkna med. Jag vill inte ta från dig nöjet att lösa uppgiften själv, så jag tänker bara erbjuda lite grov vägledning. Låt oss säga att hon först faller utan fallskärm i t₀ sekunder. Då hon löser ut skärmen har hon hastigheten v₀ m/s och befinner sig på höjden h₀ m. Därefter går det t₁ sekunder innan hon träffar marken. Det är nog svårt att beräkna t₀ direkt, utan man måste ta det stegvis. Uttryck det du vet med hjälp av v(t) och h(t) ovan och använd sedan dessa ekvationerna för att lösa ut t₀.

Adam Jonsson

11 december 1999 14.30.11
Två frågor:
1) Finns det någon formel för att beräkna summan av: 1+4+9+16+...+n^2?
2) Kan alla implicita funktioner uttryckas explicit i y=f(x)-form? Jag menar även mer invecklade funktioner som exempelvis sin(xy)=arctan(x^2)/tan(y^2) eller liknande.
Martin

Svar:

1). Vi vet att

(1) summa_{[k=1 till
n]} k = n(n+1)/2. Vi ska använda följande trick. Låt a_k vara tal så att summa_{[k=1 till n]} a_k = n³, för n >= 1. Vad är a_k? n³ - (n-1)³
= summa_{[k=1 till n]} a_k - summa_{[k=1
till n-1]} a_k
= a_n, så a_k = k³ - (k-1)³ = 3k² - 3k + 1. Det gäller med andra ord att summa_{[k=1 till n]} (3k² - 3k + 1) = n³. Med hjälp av (1) och ovan kan man nu räkna ut att summa_{[k= 1 till n]} k² = n(n+1)(2n+1)/6. 2). Nja. I normalfallet är det mycket svårt att finna ett explicit uttryck i termer av elementära funktioner.

Adam Jonsson

10 december 1999 21.55.31
Jag undrar hur man kan visa att alla gaussisksa heltal, vars norm är ett "vanligt" primtal också är ett gaussiskst primtal? gäller satsen omvänt?
martin

Svar:

Normfunktionen, N(a + ib) = a² + b², har egenskapen att N((a + ib)(c + id)) = N(a + ib)N(c + id). Så om det gaussiska heltalet a + ib inte är ett primelement, dvs a + ib = (c + id)(e + if), så kan inte normen av a + ib vara ett primtal. Omvändningen gäller inte därför att t ex är ju N(2) = 4.

Adam Jonsson

10 december 1999 21.33.14
När har X3+ax2+bx+c=0 tre reella rötter som är lika stora

Svar:

Ekvationen ovan har trippelroten x = d precis då a = 3d, b = 3d² och c = d³.

Adam Jonsson

10 december 1999 13.53.08
Var kan jag som nybörjare lära mig om fraktaler? Tacksam för hjälp.
Henrik

Svar:

Jag föreslår att du börjar med att läsa svaret till 17 mars 1997 16.57.52 .

Adam Jonsson

10 december 1999 13.24.35
Vad blir: x-heltal(x/9)*9 ? Fick frågan från em kamrat och har kört fast.
J Prestberg

Svar:

Låt f(x) vara din funktion. Om n*9 <= x < (n+1)*9, där n är ett heltal, så är heltalsdelen av x/9 = n, så f(x) är i detta intervallet x - n*9. Grafen till funktionen har en sågtandad form, vilket du lätt kan se själv genom att rita upp första biten.

Adam Jonsson

9 december 1999 20.23.28
vad är Euklides algoritm

Svar:

Se på http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html .

Adam Jonsson

9 december 1999 16.56.24
Hej! Jag håller på att skriva ett projektarbete i matematik E, ska behandla tredjegradsekvationer. En tredjegradsekvation kan ju bara få två olika typer av svar: antingen med tre reella rötter eller med en reell och två imaginära. Om man tänker grafiskt så inser man att en graf med tre reella rötter korsar x-axeln tre gånger, medan den andra typen bara korsar en gång. Jag undrar nu: vad händer om en graf precis nuddar x-axeln med en max- eller minimipunkt, får man två reella rötter och en imaginär, tre reella eller får man en dubbelrot? Om man får en dubbelrot, var vänlig förklara!
Hannes Hagström

Svar:

Låt oss säga att tredjegradspolynomet p(x) har de tre rötterna a, b, c. Då är

p(x) = (x - a)(x - b)(x - c). Derivatan är p'(x) = (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) + (x - b)(x - c). Om ett av polynomets rötter, låt oss säga a, också är en rot till p'(x), så gäller alltså 0 = p'(a) = (a - b)(a - c) och vi ser därför att a är en multipelrot.

Adam Jonsson

9 december 1999 16.31.46
hej! I heard that somebody proved that the number of finit groups (groups with limited number of elements) is limited. How many finit groups do exist? Does it make sense to try to find every different (non-isomorph) group?
Matthias Balsiger

Svar:

Det finns oändligt många ändliga grupper, t ex är ju Z/nZ en ändlig grupp för varje positivt heltal n. Så vitt jag vet finns ingen klassificering av alla ändliga grupper. Däremot har man lyckats hitta en klassificering av alla ändliga enkla grupper. En enkel grupp är en grupp som saknar normala delgrupper (skilda från 0 och hela gruppen). Dessa är intressanta därför att de i en viss mening kan sägas vara byggstenar för alla ändliga grupper. Klassificeringen, i vilken hundratals matematiker deltog och som tog ungefär 30 år att slutföra, resulterade i att man delar in alla ändliga enkla grupper i fyra oändliga klasser samt 26 undantag, vilka kallas de sporadiska grupperna. Den största av de sporadiska grupperna kallas för monstergruppen. Denna grupp, som i mitt tycke är ett av de mest intressanta föremålen i matematiken, har visats sig ha en mängd mycket oväntade egenskaper. Tyvärr är dessa lite för tekniska för denna sida. Du kan läsa lite mer på Eric's Treasure Trove .

Adam Jonsson

9 december 1999 13.05.16
Det tar 12 minuter att fylla ett badkar med vatten, och samma kar töms genom avloppet på 30 min. Efter hur lång tid börjar karet svämma över om man öppnar kranarna för fullt men glömmer sätta i proppen.
thomas olsson lärare bolagsskolan kiruna

Svar:

Det beror på hur avrinningshastigheten beror på vattenmängden i karet. En vanlig modell är vad som brukar kallas Toricellis lag som säger att avrinningshastigheten är proportionell mot roten ur vattenvolymen. Med denna ansats måste man lösa följande icke-linjära differentialekvation:

v'(t) = k₀ - k₁sqrt(v(t)), där första termen är bidraget från kranen och andra termen är avrinningen i avloppet. Den ekvationen ser svår ut att lösa. För att få ett lösbart problem gör vi en enklare modell. Låt oss anta att avrinningshastigheten är konstant. Vi har alltså nu v'(t) = k₀ - k₁, det vill säga v(t) = (k₀ - k₁)t (Konstanten som man får vid integrationen är noll eftersom v(0) = 0). Som ovan är första termen tillflödet från kranen och den andra är utflödet genom avloppet. Vi kallar karets volym för V. Eftersom vi, med proppen i, fyller badkaret på 12 minuter blir k₀ = V/12. På samma sätt ser vi att k₁ = V/30. Efter en viss tid T har vi fyllt badkaret, dvs V = v(T) = (V/12 - V/30)T, vilket vi skriver om till T = 1/(1/12 - 1/30) = 20.

Adam Jonsson

8 december 1999 16.45.44
Hej, denna lemma kom upp på en av våra gästförläsningarna vi hade på MDH i västerås. Vi funderat ett bra tag på beviset till denna lemma, möjligen kan man använda Riennman ytor. Har ni någon lösning eller förslag till lösningar ? Lemma: Låt p, p+2 vara primtalspar för p>=5. Visa att x^3 kongruent 1 (mod p) har en lösning. Och att x^3 kongruent 1 (mod p+2) har tre lösningar. Tack på förhand
Henrik Roos (roos@fimare.com)

Svar:

Jag kommer nedan att använda lika-medtecken istället för kongruenstecken. Jag hoppas att det inte medför några missförstånd. Vi noterar först att p = 2 (mod 3), dvs det finns ett tal q så att p = 3q + 2. Detta följer av att om p = 1 (mod 3) så är p + 2 = 0 (mod 3) och alltså inte ett primtal. Fermats lilla sats säger att a^p-1 = 1 (mod p) för alla tal a som inte är delbara med p, speciellt alla positiva tal mindre än p. Det följer då att för ett positivt tal a mindre än p för vilket a³ = 1 (mod p) gäller

1 = a^{3q + 1} = (a³)^qa = a (mod p), så vi har visat att ekvationen x³ = 1 (mod p) har exakt en lösning (x = 1). För att visa att x³ = 1 (mod p + 2) har exakt 3 lösningar använder vi följande sats:

Sats. Om q är ett primtal och d delar q - 1, så har kongruensekvationen

x^d = 1 (mod q) exakt d lösningar.

Eftersom p + 2 = 1 (mod 3) visar satsen det sökta påståendet.

Adam Jonsson

7 december 1999 21.11.59
Hur vet man med säkerhet att Pytagoras sats stämmer?
Lotta

Svar:

Det är just det som är det fina med matematik: har man producerat ett logiskt oantastligt bevis för ett påstående så kan vara helt säker på att det är sant. I det avseendet skiljer sig matematiken från alla andra vetenskaper. För ett bevis av Pythagoras sats, se t ex 9 september 1997 14.41.38 .

Adam Jonsson

7 december 1999 20.24.00
Hej, här kommer några blandade matematikfrågor.
1. Vad är en elementär matris?
2. Bevisa med hjälp av ett induktionsbevis att för alla heltal n, större eller lika med 1, gäller formeln: (1+2)(3+4)+(2+3)(4+5)+...+(n+n+1)(n+2+n+3)=(n(2n+5)(2n+7))/3
3. Bevisa formeln: (x^n-y^n)/(x-y)=x^(n-1)+x^(n-2)*y+...+xy^(n-2)+y^(n-1) för alla heltal n, större eller lika med 2, och alla reella tal x, skiljt från y.
4. Kan du rangordna följande kurser gällande svårighetsgrad samt nämna några av de viktigast delarna/momenten i varje kurs.
    Envariabelanalys I
    Envariabelanalys II
    Flervariabelanalys B
    Linjär algebra
    Matematisk statistik
Tack!
Jesper

Svar:

1. Låt 1 beteckna enhetsmatrisen och e_ij matrisen med en etta på plats (i,j) och nollor på de andra. Vi inför följande matriser:
    E_ij = 1 - e_ii - e_jj + e_ij + e_ji
    L_i(c) = 1 + (c-1)e_ii , där c är ett tal skilt från noll
    M_ij(c) = 1 + ce_ij
Matriserna ovan kallas elementära matriser. Man noterar följande: Låt A vara en m*n matris.
i) Matrisen E_ijA (respektive AE_ij) fås från A genom att byta den i:te med den j:te raden (respektive kolumnen).
ii) Matrisen L_i(c)A (respektive AL_i) fås från A genom att multiplicera den i:te raden (respektive kolumnen) med c.
iii) Matrisen M_ij(c)A (respektive AM_ij(c)) fås från A genom att multiplicera den j:te raden (respektive kolumnen) med c och addera den till den i:te raden (respektive kolumnen).
De elementära matriserna uttrycker alltså t ex Gausselimination som successiv matrismultiplikation.

2. Detta får du klara själv.

3. Vi noterar först att formeln är självklar om y = 0. Vi antar därför att y skilt från noll.

(xⁿ - yⁿ)/(x-y)= y^n-1((x/y)ⁿ - 1)/((x/y) - 1). Kalla x/y för z. Det är enkelt att med polynomdivision och induktion visa att (zⁿ - 1)/(z - 1) = z^n-1 + z^n-2 + ... + z + 1. Ersätt z ovan med x/y och multiplicera uttrycket med y^n-1 och du får den sökta formeln.

4. Detta kan jag omöjligt svara på eftersom jag inte ens vet vid vilket universitet/högskola du läser.

Adam Jonsson

6 december 1999 23.25.27
Hej igen. Jag kan lika gärna passa på att ställa en till fråga. Jag arbetar med följande uppgift: T är en linjär avbildning från R2 till R2 och u en vektor sådan att T * u ej är 0 men T^2 * u är 0. Visa att vektorerna u och T * u utgör en bas för R2. Jag har lyckats bevisa detta, men mitt bevis tycker jag är onödigt krångligt (det är alldeles för omfattande för att ta upp här!). Finns det ett smidigt sätt att visa detta?
J. Doe

Svar:

För att visa att u och Tu är en bas för R² räcker det att visa att de inte är parallella. Om det vore så att Tu = cu, för något tal c skilt från noll, så skulle ju T²u = cTu = c²u vilket inte är noll och vi har därför en motsägelse mot en av u:s egenskaper.

Adam Jonsson

6 december 1999 23.16.52
Jag har en fråga som handlar om öändligheten. Jag lekte lite med oändliga serier idag, och fann följande: Sätt X = 1+2+4+8+16+... Då blir 2X = 2 * (1+2+4+8+16+...) = 2+4+8+16+32+... Om vi nu undersöker X - 2X finner vi, att X - 2X = (1+2+4+8+16+...) - (2+4+8+16+...) = 1 och detta är detsamma som -X = 1 X = -1 Jag tycks alltså ha "visat" att 1+2+4+8+... = -1 !!!! Jag har alltså gjort något "illegalt". Frågan är vad?
J. Doe

Svar:

Din "uträkning" visar att man ska alltid vara försiktig med oändliga summor, speciellt om de divergerar. Ditt uttryck ovan är av typen oändligheten - oändligheten vilket är meningslöst.

Adam Jonsson

6 december 1999 22.33.18
Hej! En polare gav mig den här uppgiften: Mängden M är mängden av alla mängder som inte innehåller sig själv, innehåller M sig själv? Jag tänkte så här att en mängd som inte innehåller sig själv är som en ofylld mängd med en oändlig färgning runt om kring. DÅ kan man ju inte säga om M innehåller sig själv eller inte för man vet väl inte om oändligheten innnehåller sig skälv? Är detta ett 'bugg' i mängdläran (som jag inte läst) eller är mitt resonemang fel? Kom även att tänka på nån paradox med en frisör som säger att han klipper alla som inte klipper sig själv. Det känns som detta hänger i hop på något sätt, element som både finns och inte fins i en mängd.
Stefan Magnusson (Teknisk fysik 1:a året)

Svar:

Det du refererar till brukar kallas Russels paradox eller klassparadoxen. Den kan formuleras som följer. Vi använder ordet klass för att beteckna en mängd bestående av mängder. En del klasser innehåller sig själv, andra gör det inte. Vi bildar därför klassen av klasser som inte innehåller sig själv. Det är då en naturlig fråga om denna klass innehåller sig själv. Om den gör det så ingår den således i klassen av klasser som inte innehåller sig själv och kan därför inte innehålla sig själv. Om klassen däremot inte innehåller sig själv ingår den per definition i sig själv. Vi har alltså en paradox. Du kan läsa mer om detta på 13 maj 1999 16.22.20 och på 19 april 1999 10.00.55 .

Adam Jonsson

6 december 1999 19.59.22
Jag ficktidigare ett svar på min fråga om hur man omvandlar tangenten till grader på x-axeln (Tackar för det), men jag är 15år och förstår ingenting om det där med arctan och f... För att jag ska förstå det där tar vi ett exempel: Basen = 15cm och höjden = 6cm Hur gör jag då för att få reda på x-axelns vinkel? Beskriv på ett begripligt sätt.
Pontus Stenberg

Svar:

Det är svårt att förklara detta utan trigonometri. Jag föreslår att du lånar en matematiklärobok på lämplig nivå, eller att du läser följande sidor:
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html och http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html .

Adam Jonsson

6 december 1999 16.30.17
Hej, Jag har några frågor ang ringar och kroppar. Skulle vara intesant om ni skulle svara. För främst att få en bekräftelse om man är på rätt spår. MVH en Teknisk Fysik student. Fråga 1: Betrakta följande: lösningen till ekvationen X^2 = I i M(3,R) är X = +-I ty X^2 = I betyder X^2 - I = 0, som betyder (X - I)(X + I) = 0, och så X = +- I. Förklara varför resonemanget är inkorrekt och ange ett motexempel. Fråga 2. Ett element a i en ring R kallas för nilpotent om a^n = 0. Visa att det enda nilpotenta elementet i en ring R är 0 omm 0 är den enda lösningen i R till ekvationen X^2 = 0. Fråga 3: Låt D vara en heltalsring med identitselement 1. i) Visa att {n * 1 : n tillhör Z} är en delheltalsring som innehålls i alla delheltalsringar av D. ii) Visa att karakteristiken av varje delheltalsring av D är karakteristiken av D. iii) Visa att karakteristiken av en delheltalsring D är 0 eller ett primtal p.
Henrik Roos

Svar:

Fråga 1: Resonemanget är felaktigt därför att M(3,R) (vilket jag antar ska betyda ringen av alla reella 3*3 matriser) har s.k. nolldelare, dvs det finns nollskilda matriser A och B så att AB=0. Man kan alltså från ekvationen (X - I)(X + I) = 0 inte dra slutsatsen att antingen X - I = 0 eller X + I = 0.

Fråga 2: Det är klart att om 0 är det enda nilpotenta elementet i R så är 0 också enda lösningen till ekvationen X² = 0. Antag, för att visa omvändningen, nu att det finns ett nollskilt nilpotent element a, och låt n vara det minsta heltalet så att aⁿ = 0. Om n är jämnt så låter vi m vara n/2, annars är m = (n+1)/2. Om n är jämnt så skriver vi aⁿ = a^2m = (a^m)² = 0, så a^m är en lösning till ekvationen X² = 0, och enligt vårt antagande måste därför a^m = 0. Men m < n, så detta motsäger att n valdes minimalt. Fallet då n är udda görs på liknande vis. Vi ser därför att det inte kan finnas några nollskilda nilpotenta element.

Fråga 3, i): Jag känner inte igen ordet heltalsring, men jag förmodar att det är samman sak som det som på engelska heter "integral domain", alltså en kommutativ ring med etta som saknar nolldelare. Låt D' vara en delheltalsring till D och låt 1' vara dess identitetselement. Om d (skilt från noll) tillhör D' så gäller att d = d*1' = d*1, dvs d*(1' - 1) = 0. Eftersom D saknar nolldelare och d inte är noll måste 1' = 1. Det gäller alltså i en heltalsring D att D:s etta också är ettan i varje delheltalsring. Observera att detta inte är sant i en allmän ring med etta! Det är nu klart att P = {n*1 : n tillhör Z} är en delmängd till varje delheltalsring. Att P är en heltalsring är självklart.

ii): Kom ihåg att en ring R med etta 1 har karakteristik n > 0 om och endast om n är det minsta positiva heltal så att n*1 = 0. Eftersom, enligt ovan, 1 är enhetselement i varje delheltalsring är påståendet visat.

iii): Antag att D har karakteristik mn. Det gäller då att 0 = mn*1 = (m*1)*(n*1). Eftersom D saknar nolldelare måste antingen m*1 = 0 eller n*1 = 0. I vilket fall motsäger detta minimaliteten av talet mn.

Adam Jonsson

6 december 1999 12.55.18
Hej Kjell, Jag brukar roa mig med att titta paa Fraaga Lund ibland. Angaaende fraagan 29 november 1999 20.25.40 (Jens foermodan). Foermodan aer sann vilket kan visas som foeljer. Utgaa fraan Taylorutvecklingen
log(1/(1-x)) = summa x^k/k
daer k gaar fraan 1 till oaendligheten. Multiplicera n likadana summor, ger
(log(1/(1-x)))^n = summa x^(k_1+...+k_n)/k_1...k_n.
Dela med x och integrera fraan 0 till 1, ger
integral_0^1 (log(1/(1-x)))^n/x dx = summa 1/(k_1+...+k_n)k_1...k_n,
daer hoeger led aer den summa vi vill beraekna. Goer nu i vaenster led substitutionen t=log(1/(1-x)), x=1-e^(-t). Detta ger
integral_0^(oaendligheten) t^n/(e^t-1) dt.
Enligt en vanlig definition av Riemanns zetafunktion aer detta lika med Gamma(n+1)zeta(n+1), se tex i Eric's Treasure Trove, Riemann's zeta function.

Haelsningar,
Hjalmar Rosengren
Technische Universiteit Delft

Svar:

Vi är alltid tacksamma för alla läsarbidrag. Inte minst från före detta besvarare av "Fråga Lund om matematik".

Adam Jonsson

5 december 1999 12.39.44
Jag skall räkna ut begränsningsarean och volymen på rubiks kub. Den har nio delkuber på varje sida. Tacksam för svar.
Helene Eliasson

Svar:

Det måste bero på hur stora delkuberna är. Har de sidan 1 är volymen 1. Eftersom det finns 27 delkuber blir den sammanlagda volymen 27. Arean blir 6^.9 = 54.

Kjell Elfström

4 december 1999 20.40.46
Hej! Går det att finna en primitv funktion till e^(x+x^2), och hur gör man då?
jonaz

Svar:

Eftersom funktionen är kontinuerlig har den en primitiv funktion. Man kan dock inte uttrycka en sådan med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström

4 december 1999 19.02.18
Finns det någon formel som man kan använda på ett enkelt sätt för att omvandla tangenten till grader?? Tack på förhand
Pontus Stenberg

Svar:

Vill du veta vinkeln mellan en tangent och x-axeln? Tangentens riktningskoefficient är ju f '(x). Detta är förhållandet mellan höjden och basen i den triangel som bildas av tangenten, x-axeln och den lodräta linjen genom tangenringspunkten. För den sökta vinkeln a gäller alltså tan a = f '(x), eller a = arctan f '(x).

Kjell Elfström

4 december 1999 01.55.47
1. Vilken sannolikhetsfördelning är rimlig betr gruppstorleken av kunder/besökare som anländer till t ex en restaurang eller biograf? Normalfördelning känns inte rätt; gruppstorlekar om 2-5 pers känns som mest förekommande, men ibland kommer det ju busslaster om 30 pers. Vad föreslår du?
2. Samma fråga betr betjäningstid i biljettkassa eller matsal. Servering tar kanske ca 1 min, inte så mycket mindre men kanske mer. Exponentialfördelning eller vad?
Mikael Hansson

Svar:

Ofta används Poissonfördelningen i situationer som den i 1.

Poissonfördelningen och exponentialfördelningen hör ihop. Om antalet personer som kommer till en servering per tidsenhet är Poissonfördelat, så är tidsintervallet mellan två ankomster exponentialfördelat, vilket verkar vara lösningen i 2.

Kjell Elfström

4 december 1999 00.33.25
Hej! Jag går bara på gymnasiet så skratta inte ut mig för min fråga.
Ni bevisade Herons formel i en fråga 31 januari 1997 12.32.10. Vad jag dock inte kan förstå i bevisningen är (a/2+x)2 + h2 = b2, (a/2-x)2 + h2 = c2. Gäller inte detta bara när x=0, eftersom annars blir inte triangeln som man räknar på rätvinklig, och då gäller inte pythagoras sats längre?? Hur ska man tänka här? Beror detta på att x ändå förkortas bort längre fram i bevisningen eller??? I så fall, förklara!
Med vänlig hälsning Johan

Svar:

Trianglarna som Pythagoras sats används på är APC och APB och dessa är rätvinkliga vid P. AP har längden h och PC har längden x + a/2.

Kjell Elfström

3 december 1999 22.12.39
Vilken typ av aligoritm används vid datakompression?
Olof

Svar:

Det finns många olika algoritmer för datakompression. Jag sökte på Internet och fann följande sida Compression Algorithms.

Kjell Elfström

2 december 1999 21.37.25
jag går i 7an och har inte fåt lära mig att stäla upp och räkna ut och procent o över slags räkning på min föra skola och nu börjar jag få värkliga problem snälla hjälp mig
matte

Svar:

Jag vet inte om jag kan hjälpa dig genom detta medium. Det bästa är nog att du tränar på uppgifterna som handlar om detta och ber din lärare om hjälp.

Kjell Elfström

2 december 1999 17.31.46
Vad heter talet e upphöjt till e upphöjt till e upphöjt till 79?
Madlene

Svar:

Sök efter e upphöjt 79 och använd och på vår söksida.

Kjell Elfström

2 december 1999 15.49.39
Hur kan man se om en mängd värden har något gemensamt eller om de är slumpmässigt bildade oberoende av varandra? Jag vill se om en aktiekurs utveckling på något sätt är beroende av tidigare kurser.
Stefan J

Svar:

Detta är en fråga om matematisk statistik och faller utanför mitt kompetensområde.

Kjell Elfström

2 december 1999 12.54.50
hej! Vad heter den satas som säger: (linjen mellan två mittsidors punkter i en triangel är parallell med den tredje sidan och är lika med halva den sidan)?
Haytham Aboud

Svar:

Detta påstående följer direkt av Första likformighetsfallet, som ofta tas som postulat. Detta säger att om i två trianglar två vinklar är lika och de omgivande sidorna proportionella så är trianglarna likformiga.

Kjell Elfström

2 december 1999 12.07.06
Om man sänker ett kundpris, som idag har en bruttovinst på 30procent med 10procent, hur mycket måste du öka din försäljning i procent för att behålla samma lönsamhet?
Patrick Olsson, Bilia Personbilar AB

Svar:

Låt a₁ vara antalet sålda enheter före och a₂ efter prissänkningen. Låt p vara försäljningspriset före sänkningen och k inköpspriset. Att bruttovinsten är 30% innebär att den sammanlagda vinsten är 0,3a₁k före sänkningen. Intäkten efter prissänkningen är 0,9pa₂ = 0,9^.1,3^.ka₂, varför vinsten då är 0,9pa₂ - ka₂ = (0,9^.1,3 - 1)ka₂. Sätter vi vinsten före och efter lika får vi

(0,9^.1,3 - 1)ka₂ = 0,3ka₁

och förhållandet blir

a₂/a₁ = 0,3/(0,9^.1,3 - 1).

Detta förhållande är ungefär 1,76 varför det krävs en försäljningsökning på 76%.

Kjell Elfström

2 december 1999 10.47.45
Mina mattekunskaper har sedan länge sinat, men jag behöver hjälp med en ekvation som ser ut så här;
x^2+(1.5*x)^2+d=0
Vad blir x?
Stefan Mellberg

Svar:

Kvadratkomplettera. Vänsterledet blir då

(x + (1,5)/2)² + d - ((1,5)/2)²

varför ekvationen kan skrivas om som

(x + (1,5)/2)² = ((1,5)/2)² - d.

Nu erhåller man x + (1,5)/2 som ± roten ur det nya högerledet och x kan sedan lösas ut.

Kjell Elfström

1 december 1999 21.47.12
Finns det en koppling mellan modulära former och ellipser?
Kristian

Svar:

Det finns en koppling mellan modulära former och elliptiska kurvor, elliptiska integraler. Se Eric's Treasure Troves of Science. Elliptiska integraler dyker upp när man beräknar omkretsen av en ellips.

Kjell Elfström

1 december 1999 19.09.56
Kan man på något matematiskt smidigt sätt räkna ut hur många möjliga positioner som kan uppstå i ett schackparti under t.ex. de första 40 dragen?
Mzago Bombese

Svar:

Nej, det tror jag inte.

Kjell Elfström

1 december 1999 18.25.44
en gurka väger 600g och 99 procent är vatten sedan avdunstar vatten så det är 98 procent vatten hur mycket väger gurkan när det är 98 procent vatten.svaret blir 300g men snälla visa mig hur man räknar ut det
ps en annan åtta klassare har räknat ut det
emilio

Svar:

Det framgår inte om det är volym- eller viktprocent, men skall svaret bli 300 g bör det vara viktprocent, såvida inte "gurkämnet" och vattnet har samma densitet.

Vikten av gurkämnet i den ursprungliga gurkan är 1 % av 600 g, dvs 6 g. Om den nya vikten är m gäller alltså att

6 + (98/100)m = m

och löser man ut m ur denna ekvation får man m = 300.

Kjell Elfström

1 december 1999 16.23.38
Hej!
Jag har ett problem med Buffons nålproblem (ett sätt att bestämma pi genom att kasta nålar på ett randigt papper). a: avstånd mellan linjerna på papperet, b: nålens längd, v: nålens vinkel, p: sannolikheten för att nålen korsar linjen. p(v) = b * sin v / a.
Så långt inga problem. Men sannolikheten för att nålen korsar linjen oberoende av v definieras som arean under kurvan b * sin v genom arean av det totala utfallsområdet (a * pi). Hur inser man att detta stämmer?
Magnus

Svar:

Sannolikheten då vinkeln v är fix är alltså den du anger. Gör sedan en diskret approximation. Om vinkeln v ligger mellan (k - 1) pi/n och k pi/n approximerar vi den med v_k = k pi/n. Sannolikheten att vinkeln är v_k är då 1/n. Betingar vi på vinkeln får vi att sannolikheten är

summa_{k = 1}ⁿ ((b/a) sin (k pi)/n)(1/n) = (1/pi)summa_{k = 1}ⁿ ((b/a) sin (k pi)/n)(pi/n)

och denna Riemannsumma går mot integralen från 0 till pi av (1/pi)(b/a) sin v dv då n går mot oändligheten.

Kjell Elfström

1 december 1999 15.56.18
Hej
Just nu håller jag på att läsa kursen Abstrakt algebra. Jag har några frågor som jag gärna skulle vilja se en lösning på.
Fråga 1:
Låt G vara en grupp med ordning |G| = p^r. Visa att Z(G) inte lika med enhetselementet.
Fråga 2:
Visa att om f = (a1, . . . ,am) är en m-cykel y, Sn och g tillhör Sn. Så blir g^(-1) * f * g = (g*a1, . . . ,g*am).
Fråga 3:
Visa att f1 , f2 tillhör Sn är konjugerade omm de har samma struktur som produkter av cyklar.
Fråga 4:
Visa att Z(Sn) = enhetselementet, för n >= 3.
Tack på förhand.
MVH
Henrik Roos ( Teknisk Fysik student vid MDH )

Svar:

1. Använd klassformeln. Antalet element i en bana delar p^r (p är ett primtal). Z(G) består av de element vars banor bara har ett element. Antalet element i övriga banor är delbart med p och eftersom gruppens ordning är delbar med p måste också ordningen av Z(G) vara delbar med p.
2. Det verkar som om multiplikation fg betyder sammansättningen x->g(f(x)).
Skilj på fallen där g^-1(a_i) = a_j för något j, 1 <= j <= m och där j > m.
3. Det följer av 2.
4. Om f är en n-cykel kan vi låta g vara en tvåcykel. Annars är f en produkt av flera disjunkta cykler. Låt g byta plats på två element i två olika cykler.

Kjell Elfström

1 december 1999 15.24.09
kan man få betyg i gymnasie matten när man går i 8:an? mina lärare säger att det inte går och att jag får ändå tenta upp kurserna sen!
frågvis 8:a

Svar:

Jag tror att dina lärare vet mer om detta än jag. Men för att få betyg i gymnasiet krävs att man blivit antagen till ett gymnasieprogram och för att bli det krävs att man är behörig, vilket man inte är om man inte gått ut grundskolan. Man skulle kunna tänka sig att man kan tentera, men inte få resultatet inskrivet förrän man är behörig. Kontakta en gymnasieskola för att få säkra besked.

Kjell Elfström

1 december 1999 15.15.37
Hej! Jag har en fråga angående trianglar. Hur får man fram vilka val av värden för tre element enligt
a:två vinklar och en sida och
b: två sidor och en vinkel som ger upphov till en triangel, flera trianglar eller ingen triangel? Tacksam för svar
Karin

Svar:

Jag tror inte att jag förstår frågan riktigt. I a) får man en triangel om inte vinkelsumman är 180° eftersom figurens återstående "sidor" då blir parallella. I b) bör man få en triangel om inte vinkeln är 180°.

Kjell Elfström

1 december 1999 00.27.50
Dersom man ser på en funksjon slik som f(x) = 1/x , x >= 1 og roterer denne om x aksen vil man få dannet " Gabriels horn ". Dette vil være et horn med et gitt voluminnhold, men overflaten til hornet vil være uendelig. Hvordan kan dette logisk sett forklares ? De matematiske utregningene er greie, men logikken min brister i at et fysisk horn av denne størrelsen har en endelig mengde.
Anyway Hvordan kan man regne med halv uendlige gjenstander ? For eksempet dersom man regner varmestrømning i en halv-uendelig bjelke vil man anta at bjelken starter på null ( x = 0 ) og at den har uendelig lengde ( lim x --> oo ). Logisk sett skulle man jo tro at alt som har en begynnelse har en ende, og at det som er uendelig hverken har begynnelse eller ende. Men her operere vi med et "objekt" som "kommmer fra det uendelige " og så brått bare stopper ( dvs når vi "ser" objektet fra den andre siden). Det synes ikke rimelig, selv om uendligheten er uforståelig og uhåndgripelig. Forøvrig er det jo greit at man kan modelere virkeligheten og få svar på eksempelvis varmelednigsproblemer ved å bruke halvuendlig integrasjon, men hvordan forstå halvuendligheten ? Noen tanker om dette ?
Med vennlig hilsen David Andersen
David Andersen

Svar:

Ett exempel på en (halv)oändlig mängd är mängden av positiva heltal. Barn i en viss ålder brukar ofta tävla om vem som kan räkna längst. Efter en tid falnar dock intresset eftersom de inser att ett långräkningsrekord inte står sig speciellt länge. Någon talar om för dem att det finns oändligt många tal och säger att oavsett hur långt man räknat finns det alltid ett tal till. Därmed inte sagt att någon kommer att ha räknat igenom alla positiva heltal.

Att betrakta mängden av heltal, eller någon annan oändlig mängd, som en fullbordad oändlighet är praktiskt i många sammanhang. Vid definitionen av begreppet oändlig mängd, gränsvärde, generaliserade integraler mm. tänker man dock på mängderna som möjliga, men ofullbordade oändligheter. För strutens del blir effekten av ett sådant resonemang att pi liter färg räcker till att fylla struten till vilket djup som helst, men hur stor färgburk man än har kommer den att ta slut bara man målar en tillräckligt stor del av strutens yta.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström
Ansvarig är Kjell Elfström