Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar oktober 1999

Svar:

Det är mycket tråkigt att en del lärare i gymnasiet inte lär ut allt som enligt läroplanen skall ingå i gymnasiekurserna. En annan fråga är att gymnasister verkar ha allt sämre räknevana, vilket kanske hänger samman med att miniräknare används i alltför stor utsträckning i skolan.

Adam Jonsson

Svar:

Inte alls. Det är världen som är matematikerfrånvänd.

Adam Jonsson

Svar:

Att utse ett enskilt arbete som det mest framstående är naturligtvis mycket svårt och en i grunden subjektiv fråga, men efter att ha samtalat med olika insatta personer på institutionen har jag blivit övertygad om det svenska matematiska arbete som har haft störst inverkan på matematiken i stort är Ivar Fredholms arbete om integralekvationer från sekelskiftet. Fredholms arbete rönte stor uppmärksamhet när det kom och inspirerade t ex matematiker som Hilbert och von Neumann till arbeten som har haft mycket stor betydelse för den moderna matematiken. Mer om detta kan du läsa i Gårdings bok.
    Några andra mycket starka kandidater är:

• Gösta Mittag-Leffler: Mittag-Lefflers sats, som säger att det finns meromorfa funktioner med föreskrivna poler i föreskrivna punkter och dessa är funktionens samtliga poler.
• Lars Gårding: Gårdings olikhet.
• Lennart Carlesson: Fourierserien till en L² funktion konvergerar punktvis nästan överallt.
• Lars Hörmander: Har gjort en allmän teori för linjära partiella differentialekvationer.

Svar:

Så vitt jag vet finns inga motsvarande ord för exponenter högre än tre.

Adam Jonsson

Svar:

Vi kan kanske vara överens om att (-2)2 = (-2) + (-2) = -4. Det gäller för talet -2 att 2 + (-2) = 2 - 2  = 0. Om vi multiplicerar detta med talet -2, så får vi

Svar:

Det verkar vettigt att utgå från den transformerade integralen. Som vanligt betecknar vi "oändligheten" med oo. Utför i

Adam Jonsson

Svar:

Vi börjar med att skriva om integralen med hjälp av partiell integration.

Adam Jonsson

Svar:

Ett p siffrigt tal n är som minst 100...0 = 10^p-1 och som mest 99...9 = 10^p - 1. Alltså är

Adam Jonsson

Svar:

Med variabelbytet y = 2x ser vi att

Adam Jonsson

Svar:

Kom ihåg att man säger att en funktion f(x) är konkav i ett intervall I om följande gäller:

Adam Jonsson

Svar:

Jag kan rekommendera följande bok, som dock bara tar upp utvecklingen fram till 1950:

Lars Gårding. Matematik och matematiker. Matematiken i Sverige före 1950. Lund University Press, Lund, 1994. ISBN: 91-7966-271-4.

Med lite tur kanske den finns i ditt stadsbibliotek. Du kan också titta på svaret  31 oktober 1999, 22.22.23 .

Adam Jonsson

Svar:

Låt oss kalla bågens bredd för b och dess höjd h, samt cirkelns radie för r. Vi delar in problemet i tre fall:
    1. h < r,
    2. h = r,
    3. h > r.
Vi tar först itu med fall 1. I det här fallet kan vi rita upp en figur enligt nedan:

Adam Jonsson

Svar:

Jag kan tyvärr inte svara på din fråga eftersom Yasumasa Kanada, som för närvarande är rekordinnehavare i decimalberäkning av pi (se  26 oktober 1999 23.35.08  ), har publicerat sina resultat på japanska. Några olika metoder att beräkna decimalerna av pi finns beskrivna på  Fun with PI .

Adam Jonsson

Svar:

(Frågeställaren refererar till  17 oktober 1999 21.09.25 ).
Jag förmodar att du tänker på den urgamla dispyten huruvida ny matematik är något man uppfinner eller något man upptäcker. Denna veckas redaktör för Fråga Lund om matematik är emellertid en enkel själ som anser att sådana frågor är poänglösa och ointressanta och han tänker därför inte ge sig in i debatten.

Adam Jonsson

Svar:

För att beräkna funktionsvärden som t ex x^1/2 , sin(x) och cos(x) använder miniräknare sig av olika serieuttryck för funktionerna. Ett exempel är Taylorserien av (1 + x)^1/2 som är

Adam Jonsson

Svar:

Urvalsaxiomet (eng. axiom of choice) säger följande: ur varje icke-tom klass av icke-tomma mängder kan en mängd bildas genom att ta precis ett element ur varje mängd i klassen.
1 => urvalsaxiomet: Låt M beteckna klassen (mängden av mängderna). Definiera f: union_{[N tillhör M]} N -> M genom att för alla x som tillhör N så är f(x) = N. Enligt 1 finns en funktion g: M -> union_{[N tillhör M]} så att g(N) tillhör mängden N. Om mängderna överlappar varandra skulle man kunna tro att g(N) skulle kunna tillhöra inte bara N utan också någon annan mängd, S, i M. Så är det inte, ty antag att g(N) tillhör S. Då är f(g(N)) = S, vilket motsäger att f(g(x)) = x för alla x i B. Funktionen g:s bildmängd  har alltså den sökta egenskapen i urvalsaxiomet.
Urvalsaxiomet => 1: Bilda för varje x som tillhör B mängden av alla element i A vars bild under f är x. Låt oss kalla denna mängd Ax. Enligt urvalsaxiomet kan vi nu ta ut precis ett element ur varje Ax och därefter låta g(x) vara det element som valdes ur Ax. Det är klart att f(g(x)) = x.
2. Liknar Zorns lemma väldigt mycket och man får därför förmoda att det är ganska omfattande att visa att det är ekvivalent med urvalsaxiomet.

Adam Jonsson

Svar:

Jag känner inte till någon algebraisk metod att lösa sådana ekvationer, utan så vitt jag vet är man utlämnad åt numeriska metoder som t ex Newton-Raphsons metod.

Adam Jonsson

Svar:

Pi har oändligt många decimaler. Att det är så beror på att om pi bara hade ändligt många decimaler så vore det ett rationellt tal, dvs det skulle kunna skrivas som en kvot av två heltal. Att pi är irrationellt visades på 1700-talet av J. Lambert och A. Legendre.
    Vad gäller frågan vilka decimalerna är så finns det en del matematiker som ägnar sig åt, den i mitt tycke fullständigt meningslösa uppgiften, att beräkna så många som möjligt. Världsledande på det området är japanen Yasumasa Kanada. Man kan följa hans framsteg på sidan  ftp://www.cc.u-tokyo.ac.jp/README.our_latest_record . I skrivande stund finns 206,158,430,000 decimaler beräknade. Lite mer information om pi finns på The Pi Page . T ex finns där en länk till en sida med de första 50000 decimalerna.

Adam Jonsson

Svar:

 Ta en titt på svaret till frågan som kom 11 april 1999 20.22.20.

Adam Jonsson

Svar:
Eftersom f anger befolkningstätheten är den totala befolkningen i området O = cirkelringen 1 <= x² + y² <= 4²:

Svar:

Låt mig först påminna läsarna om vad en Borelmängd är. Mängden av Borelmängder är en så kallas sigma-algebra. En sigma-algebra definieras så här: En mängd M av delmängder till en mängd X kallas för en sigma-algebra om M har följande egenskaper:
    (1) X tillhör M.
    (2) Om A tillhör M så tillhör också komplementet till A M.
    (3) Om A = union_{[n=1 till oändligheten]} A_n , och om A_n tillhör M för n = 1,2,3,..., så tillhör A M.
Om man börjar med en samling mängder, låt oss kalla den M, så är det klart att man kan generera en sigma-algebra från M genom till M lägga till dels alla komplement till mängderna i M och dels alla uppräkneliga unioner av mängderna i M och sedan upprepa denna procedur för det nya, utvidgade, M om och om igen. Den sigma-algebra man får på detta sätt kallas sigma-algebran genererad av M. Vi definierar nu Borelmängderna över R som sigma-algebran som genereras av de öppna mängderna i R.
    Jag kommer i fortsättningen att beteckna mängden av Borelmängder med B och 2^alef_0 med c. Vi vet att den vanliga topologin för R har en uppräknelig bas, och det är klart att B genereras som sigma-algebra av dessa. Vidare är det klart att B har kardinalitet minst c, eftersom varje enpunkts-mängd {x}, x tillhör R, är en Borelmängd och R har kardinalitet c. Påståendet att B har kardinalitet c följer nu av följande två påståenden:

Påstående 1. Om M är en samling mängder och M har kardinalitet <= c och vi utvidgar M genom att lägga till alla komplement till mängderna i M, så har det utvidgade M:et fortfarande kardinalitet <= c.

Påstående 2. Om M är en samling mängder och M har kardinalitet <= c och vi utvidgar M genom att lägga till alla uppräkneliga unioner av mängderna i M, så har det utvidgade M:et fortfarande kardinalitet <= c.

Påstående 1 är självklart. Påstående 2 kan visas så här:
Välj ur M ut en uppräknelig svit M₁, M₂,... av mängder. Antalet nya mängder som vi kan bilda genom att ta alla unioner av mängderna {M_i}_{[i=1 till oändligheten]} är samma som antalet delmängder till mängden av positiva heltal, vilket vi vet är c. Eftersom M har kardinalitet <= c så finns det totalt <= c antal uppräkneliga sviter av mängder ur M. Varje sådan svit ger ett bidrag med c stycken nya element. Om vi räknar ut det totala bidraget så har vi högst c stycken sviter som vardera bidrar med c nya mängder. Vi får alltså högst c element i det utvidgade M:et.
    Man kan notera här att man med samma bevis ser att mer generella Borelmängder, t ex Borelmängderna över Rⁿ eller ännu mer allmänt Borelmängderna över ett separabelt metriskt rum, har kardinalitet c.

Adam Jonsson

Svar:

Detta är enklare än vad man lätt kan förledas att tro. Ibland har jag sett försök att beräkna geometriska summor, och den uppfattningen förekommer också, att antalet matcher skulle vara beroende av hur man gör spelschemat om cupen är haltande, så att det ej blir lika lång väg till finalen för alla lag. Sanningen är dock, precis som Du säger, att antalet matcher är n-1, vilket inses på följande sätt: Av de n deltagarna skall n-1 stycken slås ut. I varje match blir en utslagen. Antalet matcher är alltså n-1.
Detta är oberoende av hur spelschemat läggs upp, så länge man har principen att en deltagare blir utslagen i varje match.

Per-Anders Ivert

Svar:

Troligen har Du en felaktig uppfattning om vad som menas med integral. Man talar om integralen av en funktion över ett intervall. Ibland används ordet integral något oegentligt om primitiv funktion (obestämd integral). Din fråga förefaller inte särskilt meningsfull i någotdera sammanhanget. Om jag skulle försöka tolka frågan på  något meningsfullt sätt så skulle svaret säkert inte bli upplysande, så jag förslår istället att Du undersöker närmare vad som överhuvud taget menas med integral och i vilka sammanhang sådana förekommer.

Per-Anders Ivert

Svar:

Jag vet inte vad Du menar med "längden", ej heller vet jag vilken funktion Du menar. Det Du har skrivit är en ekvation, en likhet
mellan två olika funktionsuttryck.

Per-Anders Ivert

Svar:

Vad Du måste göra är att räkna ut de tre triangelsidornas längder. För detta måste Du kunna beräkna avståndet mellan två punkter. Till exempel har sidan mellan punkterna (0,4) och (8,0) längden sqrt(80) vilket är detsamma som 4sqrt(5). Mitt förslag till Dig är att Du först tar reda på hur man beräknar avståndet mellan två punkter och därefter beräknar de tre avstånd som det här är frågan om, dvs. avståndet mellan (0,4) och (8,0), avståndet mellan (0,4) och (8,10) (vilket, som sagt, är 10) samt avståndet mellan (8,0) och (8,10). Du kommer att finna att två av dessa tre avstånd är lika, dvs. triangeln är likbent.

Per-Anders Ivert

Svar:

Enligt vanliga deriveringsregler. I intervall där polynomet i fråga antager blott positiva värden är det inget problem.
Derivatan av (P(x))^a är a(P(x))^a-1P'(x). I intervall där polynomet antager även negativa värden måste man dock precisera
vad som menas med  (P(x))^a. Detta är i allmänhet inte reellt om exponenten ej är ett heltal.

Per-Anders Ivert

Svar:

I allmänhet är det inte så uppenbart vad som menas med ett "n-dimensionellt objekt", men låt oss inskränka oss till enkla exempel
och förbigå den svårigheten. En kurva som inte är sluten (men begränsad) har en nolldimensionell rand: de två ändpunkterna. En sluten kurva har ingen rand, dvs. inga ändpunkter. En begränsad yta som ej är sluten (till exempel en cirkelskiva) har en endimensionell randkurva. En sluten yta (såsom till exempel en sfär) har ingen randkurva. Allmänt kan ett n-dimensionellt objekt (eller "mångfald" som man brukar säga) ha en (n-1)-dimensionell rand. Om randen är tom kan vi kalla mångfalden sluten.
Vad jag här har utelämnat är dels definitionen av "n-dimensionell mångfald", dels definitionen av "rand". En utförligare utredning kan Du finna i en lärobok i differentialtopologi eller differentialgeometri.

Per-Anders Ivert

Svar:

Du tycks ha framför allt ha problem med Din begreppsuppfattning eller med Ditt ordbehandlingsprogram.

Per-Anders Ivert

Svar:

Nu hamnar vi en bit utanför mitt kompetensområde. Kanske är det därför som jag, i motsats till Dig, inte finner något konstigt med termen  my(x+t)R(t), även om R(t)<0. I detta fall är ju försäkringstagarens frånfälle en ekonomisk vinst för bolaget och har alltså en positiv inverkan på reservkapitalet. Modellen verkar rimlig för att uppskatta tillväxten i det totala reservkapitalet för ett stort antal försäkringstagare.För en enstaka försäkringstagare är den naturligtvis felaktig (antingen dör kunden eller också inte), men felen kan med denna modell förväntas utjämnas mot varandra.

Per-Anders Ivert

Svar:

Om kordans längd är 20 längdenheter så är arean av det skuggade området 100pi areaenheter.

Per-Anders Ivert

Svar:

Det är lätt att se att R har samma kardinalitet som intervallet (0,1). Exempel på bijektiva avbildningar mellan (0,1) och R är

                  f(x) = (2x-1)/(1-|2x-1|)     och     g(x)=tan (pi(x-1/2))

På liknande sätt kan vi se att C (som ju kan identifieras med R²) har samma kardinalitet som den öppna kvadraten K=(0,1)x(0,1)
Varje tal i (0,1), med vissa undantag, har en entydigt bestämd decimalutveckling. Undantagen är de tal som har en ändlig decimalutveckling (dvs. en decimalutveckling där samtliga decimaler från och med en viss position är 0).
Dessa tal har också en oändlig decimalutveckling i vilken samtliga decimaler från och med någon position är 9. Till exempel är
1/4 =0,2500000... =0,24999999...
Låt oss, bara för att få entydighet även i dessa fall, antaga konventionen att blott betrakta den senare decimalutvecklingen.
Varje tal i (0,1) kan alltså på ett entydigt sätt representeras av en oändlig svit av siffror (decimaler), en svit som ej  har egenskapen att alla siffror från och med en viss position är 0.
Nu kan vi definiera an avbildning f från K till (0,1) genom att för talparet (x,y) betrakta de två siffersviter som representerar x respektive y och sedan konstruera en svit som representerar det reella talet f(x,y) genom att ta varannan siffra från x-sviten och varannan från y-sviten. Som exempel beräknar vi  f (1/3, 2/5).
Det gäller   1/3 = 0,33333... 0ch 2/5=0,3999..... och alltså  f (1/3, 2/5) =0,33393939... = 1102/3300.
Det är lätt att se att f är injektiv, dvs. två olika talpar kan inte ge samma resulterande svit. Det betyder att K ej har större kardinalitet än (0,1), dvs. att C ej har större kardinalitet än R. Omvänt har R inte större kardinalitet än C, eftersom R är en delmängd av C. Enligt Schroeder-Bernsteins (eller Cantor-Bernsteins) sats har nu R och C samma kardinalitet.

Per-Anders Ivert

Svar:

Min vana är att skriva den ensamma pricken nere, men jag har till min förfäran sett att den andra varianten är mycket utbredd.

Per-Anders Ivert

Svar:

Du är troligen ute efter den kortaste vägen. Den är ett stycke av en storcirkel. Vi approximerar här jordytan med en sfär
och tänker oss denna sfär i ett rätvinkligt koordinatsystem med centrum i origo. Med hjälp av koordinaterna för de två givna punkterna finner vi ekvationen för det plan, vars snitt med sfären är den sökta storcirkeln. Ur denna ekvation finner vi sambandet
mellan latitud och longitud under färden, och även riktningen gentemot  nordpolen (som kommer att variera under färden).

Per-Anders Ivert

Svar:

Det mindre av de två tal Du anger är betydligt större än det största kända primtalet, så man kan knappast klandra Din högskolas datorer eller program. Om primtal kan Du läsa på The Prime Pages.

Låt oss gå till den andra frågan: Hur stor tiopotens ingår i 10000! ? Eftersom 2^.5 är primtalsfaktoriseringen av 10 är det fråga om hur många faktorer 2 och hur många faktorer 5 som ingår i faktoriseringen. Det minsta av dessa antal ger antalet faktorer 10. Det har Du redan insett, liksom att det är antalet faktorer 5 som är minst. Så låt oss räkna dessa:
Bland talen 1 till 10000 finns 2000 multipler av 5. Detta ger 2000 faktorer 5.
Av dessa är 400 även multipler av 25. Detta ger ytterligare 400 faktorer 5.
Av dessa är 80 även multipler av 125. Detta ger ytterligare 80 faktorer 5.
Av dessa är 16 även multipler av 625. Detta ger ytterligare 16 faktorer 5.
Av dessa är tre (nämligen 3125, 6250 och 9375) även multipler av 3125. Detta ger ytterligare 3 faktorer 5.
Före 10000 finns ingen multipel av 5^6=15625.
Inalles har primfaktoriseringen av 10000 tydligen 2499 faktorer 5. En grov uppskattning ger att antalet faktorer 2 är betydligt fler.
Vi finner alltså att en utskrift av 10000! i tiosystemet avslutas med exakt 2499 nollor.
Nu kan Du säkert själv använda min metod för att beräkna antalet faktorer 10 i 100000!.

Per-Anders Ivert

Svar:

Du anknyter till Din tidigare fråga från dagen innan. Om jag tolkar Din fråga rätt så har Du fel. I problemformuleringen anges tydligen att f '(x) ligger mellan 0,4 och 0,9. Detta innebär inte att f '(x) varierar och antager alla eller ens flera värden i detta intervall. Det uteslutes alltså inte att f ' är konstant. För att få största möjliga värde på f(5) ska f väljas så att f ' är konstant 0,9 i
intervallet [2,5] vilket betyder att

               f(x) =11+  ⁹/₁₀ (x-2).

Om det i problemformuleringen verkligen står "f ' varierar mellan 0,4 och 0,9" så är det en olämplig formulering och
Ditt missförstånd högst förståeligt. Knappast menas dock att f ' måste variera. Om man utesluter möjligheten att f ' är konstant så finns inget största möjliga värde på f(5). I så fall är f(5) strikt mindre än 13,7 men kan ligga hur nära 13,7 som helst.

Per-Anders Ivert

Svar: Nej, den korrekta stavningen (numera) är parallellogram. Se även

                             Akademins ordbok

Per-Anders Ivert

Svar:

Kanske menar Du kvadratrot i stället för kvadrot. Rot är samma ord som vardagsspråkets rot. (ty Wurzel, eng root,
fra racine, lat radix). Symbolen som Du nämner (rottecknet) är ett stiliserat r (som i radix).

Per-Anders Ivert

Svar:

Som vanligt skriver vi  f(x)=exp[e(x) ln h(x)] för att kunna utföra derivationerna med hjälp av gängse
deriveringsregler.  Vi  får

                              f '(x)=f(x)[e'(x) ln h(x)+e(x)h'(x)/h(x)]

 Återstånde räkningar tror jag att Du klarar själv, men det är en uppgift med ringa underhållningsvärde.

Per-Anders Ivert

Svar:

 Ja.

Per-Anders Ivert

Svar:

Båda alternativen tycker jag verkar intressanta, och kontrasten mellan dessa två intressen är inte alls så skarp som många säkert föreställer sig. En möjlighet är att ge matematiken ett år eller två för att eventuellt byta sedan. Kanske är detta något lättare än att göra tvärtom. Detta skrivet utan hänsyn tagen till ekonomiska aspekter.

Per-Anders Ivert

Svar:

 Jag skall med glädje framföra detta till mina kolleger.

Per-Anders Ivert

Svar:

Det tycks inte finnas någon vedertagen svensk benämning. På tyska säger man "Inhalt", så en rimlig översättning är väl helt enkelt "innehåll".

Per-Anders Ivert

Svar:

 Detta löser vi med vektorräkning. Vi låter vektorn (0,1) representera den önskade färdriktningen 360 grader (detta är väl
detsamma som 0 grader?), varvid vindriktningen ges av vektorn (0,1). Vindhastigheten ges av vektorn

             u = 5sqrt(2) (-1,-1).

Längden av u är alltså storleken av vindhastigheten. Antag att flyghastigheten (dvs. den hastighet som planet skenbart har, den hastighet det skulle ha om vinden inte fanns) är v. Den resulterande hastigheten är då w=u+v. Vad vi önskar är att denna resultant skall vara en positiv multipel av (0,1). För att färden skall gå i riktning 0 grader med en fart av k knop skall v alltså väljas som

            v =  k(0,1)-u = (5sqrt(2), k+5sqrt(2)).

Längden av denna vektor är   v(k) = sqrt(100+10k sqrt(2)+k²).
Svaret beror alltså på den effektiva fart man vill uppnå. För att uppnå en fart i riktning (0,1) på k knop ska man styra flygplanet i kurs g, där

             tan g = 5sqrt(2)/[k+5sqrt(2)]

och föra planet med en fart av v(k) knop. Ett indicium på att dessa beräkningar är riktiga får vi genom att välja k=0, vilket ger
v(k)=10 och g=45 grader, dvs. för att hålla planet stilla i luften ska man ge det en fart av 10 knop mot vindriktningen, vilket uppenbarligen vore rätt om det vore tekniskt möjligt (säg att vi har en helikopter i stället). Vi noterar också att vindens inverkan på kursen minskar med växande fart hos planet, för att för mycket stora värden på k vara försumbar.

Per-Anders Ivert

Svar:

Jag förmodar att detta utspelar sig i planet. I det tredimensionella rummet är påståendet inte sant, såvida inte translationen sker i rät vinkel mot vridningsaxeln. I planet däremot är utsagan sann (såvida inte rotationen är en multipel av 360 grader, vilket är likvärdigt med ingen rotation alls). Vi inför ett rätvinkligt koordinatsystem med origo i den punkt kring vilken den första rotationen sker. Låt  v vara vridningsvinkeln (moturs) och låt (a,b) vara translationsvektorn. Då är sambandet mellan koordinaterna (x₁,x₂)för en punkt och koordinaterna (y₁,y₂) för dess bildpunkt

(*)               y₁= x₁cos v  - x₂sin v + a,       y₂=  x₁sin v + x₂cos v  + b.

Om detta är en ren rotation så är det en rotation kring någon punkt, som då är fixpunkt. För att finna fixpunkte(r)n(a) löser vi ekvationssystemet

x ₁=x₁cos v  - x₂sin v + a,      x₂=  x₁sin v +  x₂cos v  + b.

Detta system har den enda lösningen

x₁=A=(a(1-cos v ) - bsin v)/4sin²(v/2),   x₂=B=(asin v + b(1-cos v))/4sin²(v/2)

Här ser vi för övrigt att vi måste förutsätta att vridningsvinkeln v ej är en multipel av 360 grader för att nämnarna i dessa uttryck inte skall vara noll. Om Du vill kontrollera mina räkningar, så observera att 4sin²(v/2)=(1- cos v)² + sin² v.

Vi betecknar alltså den funna fixpunktens koordinater för korthets skull (A,B). Elementära räkningar ger nu att systemet (*) av transformationsekvationer är ekvivalent med systemet
  y₁ -A =(x₁-A)cos v  - (x₂ -B)sin v ,       y₂ -B=(x₁ -A)sin v +  (x₂ -B)cos v ,
vilket beskriver en ren vridning (utan translation) kring punkten (A,B).

Per-Anders Ivert

Svar:

Jag vet inte vem, men här är ett citat ur Li Kan talar under trädet (Harry Martinson):
"I Indien och Arabien har man uppfunnit matematiken, men inte för att håna och häckla sinnena utan för att hjälpa dem, befria dem från den överbelastning som leder till demontro."

Per-Anders Ivert

Svar:

Ingen. Matematiken är ingen uppfinning.

Anders Dahlner

Svar:

Genom parametrisering. Till exempel: (x,y,z) = (s,3 - 2s-5t, t), men det går lika bra med (x,y,z) = (s, t, (3 - 2s - t)/5).

Anders Dahlner

Svar:

Förenkla först. Vi har att (x+1)/(x-1) = (x-1 +1+1)/(x - 1) = 1 + 2/(x-1).
Så om D_n står operationen att derivera n gånger (n>0) så är
D_n [(x+1)/(x-1)] = 2D_n [(x-1)^-1] = 2(-1)ⁿ n! (x-1)^-1-n.

Anders Dahlner

Svar:

Vad menas med G-space? Menar du att G är en topologisk grupp som verkar på X?
I så fall är X/H rummet av alla banor x_H = {h(x) : h tillhör H}, med den svaga topologin, det vill säga, U är öppen i X/H precis om P^-1(U) är öppen i X där P : X -> X/H är projektionen.
Här är lite vägledning:
(a) Man visar att G/H är en topologisk grupp, här måste du använda att H är en normal delgrupp.
(b) Sedan visar man att G/H verkar på X/H. Dvs att om g_H tillhör G/H, och x_H tillhör X/H så är g_H(x_H) definierad
på ett naturligt sätt, samt att avbildningen (g_H,x_H) -> g_H(x_H), är kontinuerlig. Man skall också visa att 1_H(x_H) = x_H,
samt att g_H(h_H(x_H))=(g_Hh_H)(x_H).
(c) Efter detta skall det visas att (X/H)/(G/H) är homeomorf med X/G. Ett element i (X/H)/(G/H) är på formen
g_H(x_H), där g_H =gH och x_H= {h(x):h tillhör H}. Elementen i X/G är på formen x_G= {g(x):g tillhör G} välj en
representant  g(x) ur x_G , denna bör avbildas på g_H(x_H), man visar att denna avbildning är bijektiv, kontinuerlig och
att den har kontinuerlig invers.
Hoppas att du klarar resten.

Anders Dahlner

Svar:

Skrivsättet är ovanligt
df(x)/d(ln(x)) = (df(x)/dx)/(d(ln(x))/dx) = xf '(x).
Alternativ: ln(x) = u
df(x)/d(ln(x)) = (df(e^u)/d(u))du/d(ln(x)) = f '(e^u)e^u = xf '(x).

Anders Dahlner

Svar:

Se till exempel  Eric's Treasure Trove, där finns även referenser till litteraturen.

Anders Dahlner

Svar:

Satsen säger att om N x N matrisen A har n stycken distinkta (olika) egenvärden så är A diagonaliserbar.

Om man har två lika egenvärden så kan det inträffa att A är diagonaliserbar, men det kan också inträffa
att A ej är diagonaliserbar.

Exempel: Matrisen A:
      /10\
      \00/
har egenvärdena L₁=L₂=0. A är diagonaliserad (således diagonaliserbar).
Matrisen B:
      /01\
      \00/
har egenvärdena L₁=L₂=0, men är inte diagonaliserbar, eftersom M₁BM₂ = konstant B, för alla matriser M₁, M₂.

Anders Dahlner

Svar:

Jag känner inte till någon snabbare metod än Euklides algoritm. Kvoten i frågan kan förenklas till 553/2000.

Anders Dahlner

Svar:

Vi har att arctan(1) = Pi/4. Sätt t = arctan(x), då är x = tan(t) och x² - 1 = tan²(t)-1 = (sin²t-cos²t)/cos²t = -cos(2t)/cos²t.
Vi får
(arctan(x)-arctan(1))/(x²-1) = -cos²t(t-Pi/4)/cos(2t)
sätt nu y = t -Pi/4. Då får vi cos(2t) = cos (2y+Pi/2)=-sin(2y), så att vi får
-cos²t(t-Pi/4)/cos(2t) = cos²(y+Pi/4) y/sin(2y).
Vars gränsvärde när y -> 0, blir 1/4.

Anders Dahlner

Svar:

Jag tycker det verkar som om du har rätt, dvs vattennivån ändras. Man kan ju tänka sig att man utför experimentet med två olika vevaxlar med samma volym, men med olika vikt. När de ligger på bottnen är nivån densamma i de två experimenten, men när de ligger i båten bör nivåerna vara olika.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan avser 8 oktober 1999 13.32.00 . Jag tycker att båda bevisen är ok, men här är ett tredje alternativ:
Låt ABC vara triangeln där sidan AB är lika lång som sidan BC, drag bisektrisen BD, då får man två trianglar med två lika långa sidor
nämligen |AB| = |BC| samt |BD| = |BD|, vidare är vinkeln mellan AB och BD lika stor som vinkeln mellan BC och BD. Alltså är trianglarna kongruenta.

Anders Dahlner

Svar:

Sätt
(1)    y = x - x^1/2 = x^1/2(x^1/2 - 1),
vi vill lösa ut x som en funktion av y, för att kunna göra detta på ett intervall I krävs det att funktionen f(x) = x-x^1/2 är injektiv (så att inversen är en funktion)  på I. Deriverar vi  f får vi
f ´(x) = 1- x^(-1/2) /2.
Alltså ändrar derivatan tecken när x^1/2 = 1/2 , så f är injektiv på intervallet I₁ = [0,2^-1/2] samt på intervallet I₂ = [2^-1/2, OÄNDLIGHETEN).
Vi söker därför en invers på I₁ och en invers på I₂.

Sätter vi
x^1/2 = t + 1/2
i (1), får vi
y = x^1/2(x^1/2 - 1) = (t + 1/2)(t - 1/2) = t² - 1/4
löser vi ut t får vi
t = (y + 1/4)^1/2
eller
t = (y + 1/4)^1/2.
Det följer att
(2)  x = ( (y + 1/4)^1/2 + 1/2 )²
eller
(3)  x = ( (y + 1/4)^1/2 - 1/2 )².
Observera nu att om x = 0 så ger (1) att y=0, det följer att (3) är inversen på intervallet I₁ och att (2) är inversen på I₂.

Anders Dahlner

Svar:

Den primitiva funktionen till (1/x)e^-t/x (med avseende på x)  kan dess värre inte uttryckas med "elementära funktioner", men man kan t ex skriva upp dess Taylorserie. Se även  29 mars 1999 23.01.00.

Anders Dahlner

Svar:

Klotytfunktioner.

Anders Dahlner

Svar:

Om vi har triangel med vinklar a,b,c i vilken en vinkel är 90^o, säg c =90^o, så är sinus för vinkeln a lika med
sin(a) = (längden på den bortre kateten från vinkeln a sett) / (längden på hypotenusan)
och cosinus för vinkeln a är
cos(a) = (längden på den närliggande kateten från vinkeln a) / (längden på hypotenusan).

Dessa tal beror ej på triangelns storlek och ger därför ett vinkel mått. Om du vill veta mer om sinus och cosinus
så kan du titta i någon bok om trigonometri, eller söka på nätet.

Anders Dahlner

Svar:

Vi har att -Pi/2 <= arcsin(a) <= Pi/2, medans 0<= arccos(a) <= Pi,
så likheten kan endast gälla om 0 <= arcsin(a) <= Pi/2, låt oss därför anta detta.

Sätt  t = arcsin(x), där 0 <= t <= Pi/2. Nu är cos²t + sin²t = 1, så eftersom sin t = x, så följer cos²t = 1-x².
Eftersom cos t >=0 när 0 <= t <= Pi/2, så följer det att cos t = sqrt(1-x²). Definitionen av arccos ger
att arccos(sqrt(1-x^2)) = arccos(cos(t)) = t , ty 0 <= t <=Pi/2.

Anders Dahlner

Svar:

Troligen finns det något bibliotek i Sverige som har boken Introduction to Analysis of the Infinite, och då kan du nog låna den från ditt bibliotek via fjärrlån. Här är en länk där du kan köpa den. Möjligen kan du också låna Eulers samlade verk.

Anders Dahlner

Svar:

Om bonden köper x hästar, y kor och z höns, ska

Jesper Thorén.

Svar:

Sannolikheten att jag väljer rätt dörr från början är 1/3, så sannolikheten att vinsten finns bakom en av de andra dörrarna är 2/3. Ingen information tillkommer då en av de tomma dörrarna öppnas, eftersom jag vet att det finns en tom dörr, och denna dörr öppnas inte slumpmässigt (så sannolikheten att vinsten finns där är 0). Alltså är sannolikheten att vinsten finns i den sista stängda dörren 2/3.
Om du vill läsa fler kommentarer om denna fråga, se till exempel 18 november 1997 20.05.43.

Jesper Thorén.

Svar:

Bra. Läs mer om Skewes number på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

Svar:

Om man drar höjden mot basytan, får man två nya trianglar med tre lika sidor. Eftersom båda trianglarna har en rät vinkel, måste alla vinklar vara lika

Jesper Thorén.

Svar:

Observera att på intervallet (0,1) är ln x negativt, så integranden kan skrivas

och -c brukar kallas Euler-Mascheronis Konstant.

Du kan läsa om Euler-Mascheronis Konstant på Eric's Treasure Trove, eller
på  Favourite Mathematical Constants.

 Jesper Thorén.

Svar:

Det enda jag kommit på är

 Jesper Thorén.

Svar:

Ja, det är sant. Satsen kallas Cantor-Bernsteins sats, och säger explicit:
Om X, Y är två mängder med kardinaltal n, m, resp.,  och om  n<=m och m<=n, så är n=m.

Att n<=m betyder, enligt definitionen, att det finns en injektion från X till Y.
Man kan visa att om man har en surjektion från X till Y, så finns en injektion från Y till X (man använder då urvalsaxiomet, se Axiom of Choice på Eric's Treasure Trove). Så satsen ger svar på din fråga, och kan visas på följande sätt:
Låt f vara vara en injektiv funktion från X till Y, och låt g vara vara en injektiv funktion från Y till X. Definiera rekursivt

 Jesper Thorén.

Svar:

När vevaxeln ligger i båten, ligger båten djupare i vattnet än när vevaxeln ligger på botten.

 Jesper Thorén.

Svar:

Läs om Pythagorean Theorem på Eric's Treasure Trove, eller skriv in  Pythagoras på vår söksida.

Jesper Thorén.

Svar:

Se till exempel svaret på frågan den 30 januari 1997 09.59.08.

Jesper Thorén.

Svar:

Att

För att lösa

Eftersom

De tre underliga tingen kan visas lätt om man vet att

Jesper Thorén.

Svar:

Låt G vara en grupp. En normal undergrupp (=normal delgrupp) är en undergrupp N i G, sådan att, för alla n i N gäller att

Jesper Thorén.

Svar:

Jag vet inte, men du kan ju försöka att Fråga en Bonde.

Jesper Thorén.

Svar:

Enligt definition är

Jesper Thorén.

Svar:

Om ett polynom har ett  dubbelt nollställe,  x₀, har dess derivata också nollstället x₀. Så vad du behöver göra är att derivera polynomet i vänsterleden i 1), hitta derivatans nollställen, sätta in vart och ett i ekvationen i 1) och lösa ut a i varje fall.
För att lösa 2), dela polynomet med sin derivata och erhåll SGD med Euklides algoritm. Nollstället till SGD är då en dubbelrot till 2).
Jag hoppas att du kan utföra detaljerna själv.

Jesper Thorén.

Svar:

Enligt Eulers formler är

Jesper Thorén.

Svar:

Dela båda sidor av uttrycket med 4-3i, så att det står på formen

Jesper Thorén.

Svar:

Det är riktigt att använda Euclides algoritm. Man får att

Jesper Thorén.

Svar:

Uttrycket |z-a| betyder geometriskt avståndet mellan punkterna z och a i det komplexa talplanet, så ekvationen

Jesper Thorén.

Svar:

Att x är en variabel innebär att x inte är ett tal, utan att x kan vara ett av flera tal. En annan variabel, y, kan vara en funktion av x, och är därmed beroende av x. Så om man arbetar med flera variabler bör man ange om någon av dem beror på en eller flera av de andra variablerna. Observera att man deriverar inte variabler, utan man deriverar funktioner med avseende på någon variabel, vilken man måste ange. Kedjeregeln används för derivation av sammansatta funktioner. Till exempel, om f är en funktion och x och y är variabler, där y=y(x), dvs en funktion av x, gäller att derivatan av f(y) med avseende på y är
f'(y), medan derivatan av f(y)=f(y(x)) med avseende på x är f'(y(x))y'(x) enligt kedjeregeln (funktionen y måste så klart vara deriverbar i punkten x). Jag hoppas att någonting har blivit klarare för dig.

Jesper Thorén.

Svar:

Om omkretsen är 4000 mil, blir radien r = 2000/pi mil. Ritar man upp en cirkel med radie r och drar räta linjer mellan repets ändpunkter och cirkelns centrum, samt en linje för repet, får man, om x är avståndet mellan jordytan och repet mätt vid repets mittpunkt, enligt Pythagoras sats, att

Jesper Thorén.

Svar:

Beviset bygger på det faktum att Q[x] är en Euklidisk ring, det vill säga att det finns en divisionsalgoritm för den. Om I är ett ideal välj ett polynom skilt från noll i I med lägst gradtal, vi kallar det p(x). Om f(x) är något annat polynom i I kan vi skriva f(x)=q(x)p(x)+r(x), där q(x) och r(x) är två polynom över Q och r(x) har strängt lägre gradtal än p(x). Men eftersom r(x)=f(x)-q(x)p(x) så ligger r(x) i I, och då p(x) var valt med lägst gradtal i I måste r(x) vara nollpolynomet, det vill säga f(x)=q(x)p(x). Alltså genererar p(x) idealet I.

Martin Svensson.

Svar:

Lämpligen genom följande trick: 1=3cosx+4sinx=5(3/5cosx+4/5sinx)=5sin(x+arccos(4/5)). Resten klarar du säkert själv.

Martin Svensson.

Svar:

Ska inte tolkas alls; gränsvärdet existerar inte.

Martin Svensson.

Svar:

1.) Vi antar alltså att C har koordinaterna (a,b,c). Eftersom C ligger i xz-planet blir b=0. Då C dessutom ligger i det givna planet ska a-c=4. Att vinkeln vid A är rät betyder att 0=u^.v=(a-1)^.1+0^.(-1)+(c-3)^.6=a+6c-19, det vill säga att 19=a+6c. Eftersom a=4+c blir 19=4+7c, det vill säga c=15/7 och alltså a=4+15/7=43/7. Följaktligen har C koordinaterna (43/7,0,15/7).
2.) Att bestämma en ekvation för höjden genom A betyder att bestämma en ekvation för den linje som går genom A och har riktningsvektor ortogonal mot det plan som går genom de övriga tre hörnen. Vektorerna (1,3,-1)-(1,1,0)=(0,2,-1) och (-1,3,2)-(1,1,0)=(-2,2,2) är lineärt oberoende vektorer i detta plan och på vanligt sätt får vi dess ekvation till 3x+y+2z=4. En normalvektor till planet är alltså vektorn (3,1,2) och en parametrisering för linjen med denna riktining som går genom A är följaktligen (-1+3s,2+s,1+2s), där s är reellt.

Martin Svensson.

Svar:

Denna konstant har jag inte träffat på i något särskilt sammanhang. Den finns inte heller med i tabellen med konstanter i Favorite Mathematical Constants.

Martin Svensson.

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström