Fråga Lund om matematik - frågor och svar augusti-september 1999

Matematikcentrum

Matematik MNF

Fråga Lund om matematik
Frågor och svar augusti-september 1999

30 september 1999 22.27.46
Femhörning kallas pentagon, sexhörning hexagon osv. Men finns det något liknande namn för en oregelbunden fyrhörning, dvs för en fyrhörning som är vare sig rektangel, parallellogram eller parallelltrapets?
Lena Waldelius

Svar:

Tetragon. Se till exempel Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Martin Svensson.

30 september 1999 20.52.26
Hej! Hur gör jag för att hitta alla positiva heltal x och y som satisfierar ekvationen x^(1/2)-2*y^(1/2)=3^(1/2)? Är detta en diofantisk ekvation?
Oskar

Svar:

En diofantisk ekvation är per definition en eller ett system av algebraiska ekvationer med rationella koefficienter i vilka man söker heltalslösningar. Eftersom exponenterna inte är heltal och roten ur 3 inte är rationell får man väl säga att ekvationen egentligen inte är diofantisk. För att lösa ekvationen skriver vi om den till 2sqrt(y)=sqrt(x)-sqrt(3). Kvadrering ger att 4y=x-2sqrt(3x)+3, det vill säga sqrt(3x)=(x+3-4y)/2. Vänsterledet är kvadratroten ur ett heltal och högerledet är ett rationellt tal. Det är då lätt att resonera sig fram till att 3x=n² för något heltal n. Insättning i den ursprungliga ekvationen ger oss n/sqrt(3)-2sqrt(y)=sqrt(3), så att 2sqrt(3y)=n-3. Som innan följer då 3y=m² för mågot heltal m. Alltså har vi att lösa den diofantiska ekvationen n-2m=3. Denna har som bekant lösningen n=9+2k, m=3+k, k heltal, varför x=n²/3=27+12k+4k²/3, y=3+2k+k²/3. För att få heltal måste krävas att 3 delar k, så att k=3s, s heltal. Då får vi att x=(9+6s)²/3 och y=(3+3s)²/3, s heltal. Eftersom vi gjort vissa kvadreringar måste vi också kontrollera vår lösning. Insättning ger efter lite omskrivning att
|9+6s|-2|3+3s|=3. Vi ser att detta endast är uppfyllt för s>=-1, så den slutliga lösningen blir x=(9+6s)²/3, y=(3+3s)²/3, s>=-1 heltal.

Martin Svensson.

30 september 1999 20.51.58
En funktion f kallas en kontraktion om det finns ett tal c, 0<c<1 , Sådant att |f(x)-f(y)| < c|x-y| för alla x och y reella. Frågan blir då? Hur visar man att en kontraktion alltid är kontinuerlig? Maila gärna svaret till mig på pidde57@hotmail.com
Anders Larsson

Svar:

För att visa att f kontinuerlig i punkten x, antag att a>0 är givet. Om då y är sådant att |x-y|<a/c, så blir |f(x)-f(y)|<c|x-y|<ca/c=a. Alltså är f kontinuerlig i x. Då x var godtycklig är f kontinuerlig överallt.

Martin Svensson.

29 september 1999 20.45.39
Beräkna värdet av derivatab till polynomet x (upphöjt) 6 +x (upphöjt) 3 i punkten x= - 1/2
Auvo Korhonen

Svar:

Derivatan är polynomet 6x⁵+3x² som för x=-1/2 har värdet -6/32+3/4=9/16.

Martin Svensson.

29 september 1999 16.36.11
Vinkelsumman i en triangel =180 grader, för en rektangel 360 grader, för en fem hörning ?, en 45 hörning ? osv. Finns någon enkel gyllen regel för uppräkning av vinkelsummor? Kan den bli mer än 360 grader!
Jörgen

Svar:

Vi antar för enkelhetens skull att n-hörningen är reguljär, du kan själv tänka ut vilka modifieringar som behövs göras om så inte är fallet. Om n är antalet hörn så blir vinkelsumman (n-2)180 grader. Ty om vi fixerar en punkt inuti n-hörningen och från denna drar en linje till varje hörn, får vi n stycken trianglar, vars totala vinkelsumma alltså är n180 grader. Vinkelsumman för vinklarna kring den fixerade punkten blir naturligtvis 360 grader och alltså blir den sökta vinkelsumman n180-360=(n-2)180 grader.

Martin Svensson.

28 september 1999 21.37.49
Beräkna derivatan för f(x)=x^-2 med hjälp av derivatans definition.
Arne

Svar:

Om x inte är 0 och h litet så är

((x+h)^-2-x^-2)/h=(x²-(x+h)²)/hx²(x+h)²=(-2xh-h²)/hx²(x+h)²=(-2x-h)/x²(x+h)²

och då h går mot noll blir gränsvärdet av detta -2x/x⁴=-2x^-3 som alltså är derivatan av funktionen.

Martin Svensson.

28 september 1999 21.34.46
vad blir gränsvärdet för x cotx då x går mot 0.

Svar:

Gränsvärdet blir 1 eftersom x^.cot(x)=x^.cos(x)/sin(x) och både cos(x) och x/sin(x) har gränsvärdet 1 då x går mot 0.

Martin Svensson.

28 september 1999 20.35.24
Om man drar ett snöre runt jorden, hur långt blir det om man drar det en meter över jorden?
Jens Becher "The Man"

Svar:

Omkretsen för en cirkel är 2^.Pi gånger radien för cirkeln.

Martin Svensson.

28 september 1999 19.49.51
Hej! Jag undrar var jag kan få fram information kring de olika matematiker som försökt sig på att lösa kubens fördubbling, cirkelns kvadratur och vinkelns tredelning. Finns det de som forfarande försöker sig på dessa problem?
Linda Eskilsson

Svar:

Om dessa problem och deras historia finns det mycket utförligt beskrivet i The MacTutor History of Mathematics archive. Dessa "problem" är dock sedan länge lösta så svaret på din sista fråga blir nej.

Martin Svensson.

28 september 1999 16.08.59
Jag skulle vilja ha hjälp med en algortim för att hitta primtal. Gärna implementerad i C/C++! Finns det någon sida på nätet med en "bank" av algoritmer för att lösa olika problem?
Petter

Svar:

Jag föreslår att du tittar på The prime pages om du vill hitta tabeller och fakta om primtal. Några banker med algoritmer har jag inte hittat, men du kan prova att söka själv i Math guide.

Martin Svensson.

28 september 1999 15.00.28
Hej. Kan du ge exempel på några funktioner som inte är deriverbara i någon punkt.
Oskar

Svar:

Tag till exempel funktionen som är 1 i varje rationellt tal och 0 för övrigt. Denna funktion är diskontinuerlig i varje punkt och följaktligen inte deriverbar någonstans. För att konstruera en funktion som faktiskt är kontinuerlig överallt men ändå saknar derivata i varje punkt, definiera funktionen f₁(x) i intervallet [0,1) genom f₁(x)=x i [0,1/2) och 1-x i [1/2,1). Därefter tänker vi oss att f₁(x) utvidgas till hela reella axeln så att den blir periodisk med period 1 och kontinuerlig. Definiera sedan för alla positiva heltal k f_k+1(x)=2^-kf_k(2^kx) och sätt slutligen

F(x)=[summa då k går från 1 till oändligheten]f_k(x).

Det är lätt att se av Weierstrass majorantsats att konvergensen blir likformig; följaktligen blir F en kontinuerlig funktion. Antag nu att a är något reellt tal. För ett givet heltal n, låt m vara det heltal som uppfyller m/2ⁿ<=a<(m+1)/2ⁿ. Det är klart att om F är deriverbar i a så kommer differenskvoten

d_n=(F((m+1)/2ⁿ)-F(m/2ⁿ))/2^-n

att ha gränsvärdet F'(a) då n går mot oändligheten, så för att visa att F inte är deriverbar i a räcker det att visa att detta gränsvärde inte exiserar. Observera nu att motsvarande differenskvot för f_k är 0 om k>n och 1 eller -1 om k<=n, beroende på lutningen av f_k i punkten a. Det är lätt att se att d_noch d_n-1 är lika så när som på den n:te termen och att d_n-d_n-1=1 eller -1 beroende på om n är jämt eller udda. Alltså existerar inte gränsvärdet av d_n-d_n-1 då n går mot oändligheten och följaktligen inte heller gränsvärdet av d_n. Därmed saknar F derivata i punkten a och då a var ett godtyckligt valt reellt tal har vi visat att F inte är deriverbar någonstans. Exemplet är taget ur "Analys för funktioner av flera variabler", Böiers och Claesson, Lund 1986.

Martin Svensson.

28 september 1999 13.13.58
Vad är en meter?
Maria

Svar:

Om du klickar här kan du läsa om bakgrunderna till SI-enheterna, speciellt kan du under rubriken meter läsa att detta är den sträcka ljus hinner färdas i vakum under tiden av 1/299792458 sekunder.

Martin Svensson.

28 september 1999 03.53.46
I en näringslösning finns 2000 bakterier kl 14. de förökar sig med hastigheten 4e**0,2t bakterier per timme. Hur många bakterier bildas mellan kl. 15.00 och 17.00? Tack för hjälpen!
Adi Ionescu

Svar:

Om vi låter y(t) beteckna antalet bakterier vid tiden t timmar, mätt från klockan 14, så är alltså y'(t)=4e^0,2t. Integrering ger följaktligen att

y(t)=20e^0,2t+C,

där C är någon konstant vars värde vi inte behöver veta. Vi är nämligen bara intresserade av y(3)-y(1)=20(e^0,6-e^0,2) som är ungefär 12 stycken.

Martin Svensson.

27 september 1999 18.37.20
Jag skulle vilja ha lite information om spektralsatsen.Länkar från internet. Tack!Gabriela
Gabriela G.

Svar:

Spektralsatsen är en allmän sats om hur normala begränsade operatorer på Hilbertrum kan framställas. I sin allra enklaste form säger den att en symmetrisk reell matris kan diagonaliseras i en ortonormerad bas, men för en mer abstrakt framställning kan du titta under Spectral Theorem i Eric's Treasure Trove of Mathematics.

Martin Svensson.

27 september 1999 17.11.17
Snälla hjälp mig med följande fråga: The curve y=ax^2+bx+c passes through the points (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Show that coefficients a,b and c are solution of the system of linear equations whose agumented matrix is MAT((x1)^2, x1, 1, y1;(x2)^2, x2, 1, y2;(x3)^2, x3, 1, y3). Jag ser inget enkelt sätt att bevisa detta, man kan ju hitta exempel med det är ju inte samma som att bevisa något.
Anders

Svar:

Om jag har förstått rätt vad som menas med "augumented matrix" så är påståendet alltså att följande ekvationer är uppfyllda:

ax₁²+bx₁+c=y₁
ax₂²+bx₂+c=y₂
ax₃²+bx₃+c=y₃

Men detta är ju klart eftersom kurvan går genom dessa punkter.

Martin Svensson.

27 september 1999 16.17.26
Hur fungerar Heaviside i Maple V5? t.ex. om Y''+4y=f(t), y(0)=0,y'(0)=1,f(t)=0, 0<=t<pi,f(t)=1 pi<=t<2pi, f(t)=0 t>=2pi. Tacksam för snabbt svar!
Mikael

Svar:

Om du vill att Maple ska känna igen Heaviside och Dirac distributioner tillsammans med kommandot dsolve, måste du ange metoden laplace som sista argument. Jag föreslår att du tittar i manualen, "topic search" under help-menyn till exempel (du kan också skriva ?heaviside). Har du fler frågor kan du ju prova att kontakta dem genom att gå till Maple på nätet.

Martin Svensson.

26 september 1999 15.32.26
Hur kom fram till värdet på talet e? Vem var det som upptäckte det?
Elin M

Svar:

Det är inte känt vem som upptäckte talet e. Vill du läsa mer om e kan du titta här.

Adam Jonsson

26 september 1999 05.46.49
Om ett flygplan flyger mot en punkt P i 600 miles/h och en missil skjuts mot punkten P i 1200 miles/h. Nar flygplanet ar 2 miles fran P och missilen ar 4 miles fran P, hur fort andras da avstandet mellan flygplanet och missilen om vinkeln emellan dem ar 120 grader? (Jag bor i USA och jag har ingen annan att fraga)
Therese

Svar:

Låt oss kalla avståndet mellan flygplanet och P vid tidpunkten t för f(t), avståndet mellan missilen och P vid tidpunkten t för m(t) och avståndet mellan flygplanet och missilen för a(t). Flygplanet åker med konstant hastighet 600 miles/h och har vid t = 0 avståndet 2 miles till P, alltså är f(t) = 2 - 600t. Med samma resonemang ser vi att m(t) = 4 - 1200t. För att få reda på a(t) använder vi cosinussatsen som säger att

a(t)² = f(t)² + m(t)² - 2f(t)m(t)cos(A), där A är vinkeln mellan flygplanet och missilen = 120 grader. Sätter vi in det vi vet i cosinussatsen får vi a(t)² = 4(1- 300t)² + 16(1 - 300t)² + 8(1 - 300t)²
= 28(1 - 300t)². Avståndet a(t) mellan flygplanet och missilen är därför sqrt(28) (1 - 300t), så avståndet mellan flygplanet och missilen avtar med sqrt(28)*300 miles/h.

Adam Jonsson

24 september 1999 14.13.38
För vilka värden på det positiva talet t har funktionen f(x) = t + x lnx två skilda nollställen?
Gunnar

Svar:

Sätt g(x) = xln(x). Vi vill hitta de värden på t då grafen till g(x) skär linjen y(x) = -t i exakt två punkter. I figuren nedan är g(x) röd och y(x) är blå.

Derivatan av g(x) har sitt enda nollställe i x = e^-1 , så minsta värdet av g(x) är -e^-1 . Vi kan alltså dra slutsatsen att den blå linjen och den röda grafen har exakt två skärningspunkter då -e^-1 < -t < 0, det vill säga då 0 < t < e^-1.

Adam Jonsson

24 september 1999 11.42.53
På nedanstående adress hittade jag ett problem som snart gör mig tokig. http://www.flashback.se/arkiv/gifs/div/bizare.gif
Johan Castor

Svar:

Du ska få en ledning: den röda triangelns hypotenusa har inte samma lutning som den mörkgröna.

Adam Jonsson

23 september 1999 19.44.18
Bestäm ett sådant komplext tal z, att z=(z konjugat)² Facit: z=0 v z=1 v z= -(1/2)± (sqrt3)/2 i Jag kommer inte på hur man löser detta. Tackar på förhand.
Patrik Forsman

Svar:

Skriv z på polär form: z = re^it . Ekvationen som z ska uppfylla blir då

re^it = r² e^-2it . Det är klart att ekvationen är uppfylld om z=0, så vi kan anta att z, och således även r, inte är noll i fortsättningen. Då kan vi skriva om ovan så att e^3it = r. Beloppet på z, r, är alltså nödvändigtvis 1 och 3it är antingen 0, 2iPi eller -2iPi. De tre fallen ger i tur och ordning: z = 1, z = -1/2 + i sqrt(3)/2 och z = -1/2 - i sqrt(3)/2.

Adam Jonsson

23 september 1999 15.27.41
Detta är förmodligen en ganska dum fråga för en matte-maestro som du, men 7/0 saknar lösning. (inget multipl. m 0 kan bli sju) Men jag har ju sju dividerar det noll ggr. alltså sju kvar. Var detta bara en lätt utväg för de gamla mattematiska grundarna "Ok vi säger väl att den inte har någon lösning" Man skulle väl isåfall likagärna kunna göra detta till ett undantag alltså x/o=x likagärna som x/o = saknar lösning

Svar:

Nej. Om x/0 = x så skulle man kunna multiplicera med 0 och få x = 0.

Adam Jonsson

22 september 1999 15.49.53
1) HUR beräknas logaritmer? ln(e^x)=x, men hur beräknas detta. 2) Integralen till 1/x är ln(x). Men vad är integralen till ln(x)?
Torgny Andersson

Svar:

1. Att ln(e^x) = x följer av att ln(x) definieras som den inversa funktionen till e^x , dvs om e^x = y, så är x = ln(y). För att räkna ut vad ln(x) är i konkreta fall använder miniräknare och datorer olika serieuttryck för ln(x). Ett exempel är Taylorutvecklingen av ln(1-x):

ln(1 - x) = - summa_{[k=0..oändligheten]} x^k/k.

2. Primitiva funktionen till ln(x) är x ln(x) - x.

Adam Jonsson

22 september 1999 15.25.44
Är \[ \sum_{n=1}^\infty sin^n n \] konvergent eller divergent?
Lennart

Svar:

Vi ska visa att serien är divergent genom att visa att termerna i summan inte går mot noll. Funktionen sin(x) har sina extrempunkter i x = (2k+1)*Pi/2. Vi ska först ta reda på hur nära ett heltal n måste vara en udda multipel av Pi/2 för att

(1) | (sin n)ⁿ | > 1/2, det vill säga | sin n | > 2^-1/n . Taylorutvecklar vi sin(x) nära en punkt (2k+1)*Pi/2 så finner vi att | sin(x) | > 1 - (x - (2k+1)*Pi/2)² / 2. Vi kallar talet | n - (2k+1)*Pi/2 | för d. Om vi väljer d så att (1 - d² )/ 2 > 2^-1/n så gäller (1). Vi har alltså att d² < 2 ( 1 - 2^-1/n )
= 2 ( 1 - e^{-(ln 2)1/n} )
< 2 ( 1 - (1 - (ln 2)/n ))
= 2(ln 2) /n
< 4/n. Låter vi således d uppfylla (2) d < 2n^-1/2 så är (1) uppfyllt..

Nu vill vi approximera Pi/2 med rationella tal q = n/(2k+1), så att heltalet n ligger tillräckligt nära Pi/2*(2k+1) i ekvation (2):s mening. Vi söker alltså rationella tal q = n/(2k+1) så att

| Pi/2 - n/(2k+1) | < (2k+1)^-3/2 . Kan vi hitta oändligt många sådana tal så visar det att | (sin n)ⁿ | är större än 1/2 för oändligt många n, alltså går termerna i summan inte mot noll. Sådana rationella tal q kan man hitta genom att titta på kedjebråksutvecklingen av Pi/2. Allmänt om kedjebråk kan du läsa på 26 november 1997 12.59.06. Irrationella tal, som t ex Pi/2, har oändliga kedjebråksutvecklingar. Om ett tal, x, har den oändliga kedjebråksutvecklingen (a₀, a₁, a₂, ... ) så kallar man den ändliga kedjebråksutvecklingen (a₀, ... , a_n), n = 0, 1, ..., för den n:te konvergenten av x. Konvergenterna ger mycket goda approximationer av det ursprungliga talet. Faktiskt gäller att om vi skriver den n:te konvergenten för talet x som p_n/q_n att | x - p_n/q_n | < (q_n)^-2 , så den enda frågan som återstår är då om oändligt många av dessa har udda nämnare. Att svaret på den frågan är ja ses av följande samband för konvergenterna: p_n q_n-1 - p_n-1 q_n = (-1)^n-1. Av detta följer att minst vart annat q_n är udda, för om q_n-1 är jämn så kan inte q_n vara det. I så fall skulle ju också (-1)^n-1 vara ett jämnt tal och det är en motsägelse.

Adam Jonsson

22 september 1999 14.25.08
Jag har två tal som jag frågat om tidigare utan att ha fått svar, så jag försöker igen:
1. En tank fylld med vatten har formen av en liggande cylinder med invändig radie 1m och längden 2m. Vatten rinner ut genom ett hål längst ner i botten. Hur lång tid tar det för vattnet att rinna ut om hälften rinner ut på 10 minuter?
2. Följande modell för tillväxt i en population använd ofta: dy/dt =ry(K-y) där r och K är positiva konstanter. Vid ett försök var antalet individer 10 000 vid tiden = 0. Det var 20 000 vid tiden = 1 och 100 000 efter mycket lång tid. Vilka värden på r och K ges av försöket?
Claes A.

Svar:

1. Jag behöver veta hur avrinningshastigheten beror på vattenmängden för att kunna lösa detta.

2. Vi tar och löser differentialekvationen. Ekvationen

dy/dt = ry(K - y) är separabel. Den är alltså ekvivalent med integral 1/(y(K-y)) dy = integral r dt. Vänsterledet skriver vi om med partialbråksuppdelning och högerledet räknar vi ut direkt integral 1/K * (1/y + 1/(K-y)) dy = rt + C, där C är en konstant som vi ska bestämma senare. Utför vi integralen i vänsterledet får vi ln(y) - ln(K-y) = Krt + KC det vill säga ln(y/(K-y)) = Krt + KC
y/(K-y) = e^{Krt + KC}
y = K/(e^{-(Krt + KC)} + 1) Konstanterna skulle vara positiva, så vi ser att lim_{[t går mot oändligheten]} y(t) = K. K är alltså enligt förutsättningarna = 100000. Vidare: 10000 = y(0) = K/(e^-KC + 1), varav följer att -KC = ln(9). Till sist: 20000 = y(1) = K/(e^{-Kr - KC} + 1) = K/(9e^-Kr + 1), varav det följer att r = -ln(4/9)/K. Sammanfattningsvis har vi alltså funnit att K = 100000, att r = ln(9/4)/100000 samt att funktionen för populationen är y(t) = 100000/(9(4/9)^t + 1).

Adam Jonsson

22 september 1999 14.17.28
Hur löser man ut y ur ekvationen: y / (B-y) = e^(k+C) ???
Ahmed

Svar:

y/(B-y) = e^(k+C)
y = (B-y)e^(k+C)
y(1 + e^(k+C)) = Be^(k+C)
y = Be^(k+C) / (1 + e^(k+C)) = B/(e^-(k+C) + 1)

Adam Jonsson

21 september 1999 20.30.16
Hur löses följande ekvation. 2e^(-x) = e^x-1? Jag har löst den på följande sätt (svaret är fel):
2e^-x = e^x -1
ln(2)-x = x - ln(1)
ln(2) = 2x
x = ln(2)/2
Svat ska vara X = ln(2). Var i min lösning går jag fel?
Torgny Andersson

Svar:

Felet gör du i steget mellan rad ett och rad två. Det gäller inte att ln(e^x- 1) = ln(e^x) - ln(1). För att lösa uppgiften föreslår jag att du multiplicerar höger- och vänsterled med e^x och därefter ersätter x med ln(y). Du får då en andragradsekvation som man lätt löser. Observera att den ena lösningen inte är giltig eftersom ln(y) bara är definierad för positiva y.

Adam Jonsson

21 september 1999 12.35.20
Sök multipelrötterna till ekvationen x^6+6x^5+9x^4+36x^3+27x^2+54x+27=0 Tack!
Danijel

Svar:

Vi kallar ditt polynom för p(x). Din formulering antyder att p(x) har multipelrötter. Vi vet att om så är fallet så har p(x) och dess derivata en icke-trivial gemensam faktor, som man kan hitta med Euklides algoritm. Det visar sig mycket riktigt att p(x) och p'(x) har största gemensamma delare x² + 3. Då måste (x²+3)² dela p(x). Utför vi nu polynomdivisionen p(x) med (x²+3)² får man kvoten x² + 6x + 3. Samtliga rötter till p(x) är således sqrt(3)*i, -sqrt(3)*i (dubbla) samt -3-sqrt(6) och -3 + sqrt(6).

Adam Jonsson

21 september 1999 12.23.46
Hoppas ni kan hjälpa mig med följande problem:
Visa med induktion att n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 är en multipel av 9.
Visa med induktion att 3^(2n+1) + 2^(n+2) är en multipel av 7.
Visa med induktion att n^2 <= 2^n för alla n=>4.
Hoppas ni svarar på min fråga. Tack och hej!
MVH Marin

Svar:

1. Vi inför

p(n) = n³ + (n+1)³ + (n+2)³. Vi ska alltså visa att p(n) är delbart med 9 för n = 0, 1, 2, ... . Eftersom p(0) = 9 är påståendet klart för n = 0. Antag nu att påståendet är visat för n = m. Vi ska visa att det då automatiskt är sant också för n = m + 1. p(m+1) = (m+1)³ + (m+2)³ + (m+3)³
= p(m) + 9(m² + 3m + 3). Eftersom 9 delar p(m) är därför också p(m+1) delbart med 9. Enligt induktionsprincipen har vi alltså visat vårt påstående för alla heltal större än eller lika med 0.

2. Den här gången kallar vi

p(n) = 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺². Uppgiften är att visa att p(n) är delbart med 7 för alla n = 0, 1, 2, ... . Vi ser att p(0) = 7, så det fallat är klart. Antag att påståendet är visat för n = m. Vi ska visa att det är sant för n = m + 1. p(m+1) = 3^2m+3 + 2^m+3
= 9*3^2m+1 + 2*2^m+2
= 7*3^2m+1 + 2p(m), eftersom 7 delar p(m) är därför också p(m+1) delbart med 7.

3. Vi inför

p(n) = n² - 2ⁿ. Vi ska visa att p(n) <= 0 för n >= 4. p(4) = 0, så detta fallet är klart. Antag att p(m) <= 0. Av detta följer att p(m+1) <=0: p(m+1) = (m+1)² - 2^m+1
= p(m) + 2m + 1 - 2^m
<= 2m + 1 - 2^m
<= 0.

Adam Jonsson

21 september 1999 12.20.54
Ur ekvationen d^4-a*d^3-b=0 skall man läsa ut d. Hur gör man?
Bjarne Andersson

Svar:

Ekvationen ovan är fjärdegradsekvation. Att lösa sådana är rätt omständligt och tråkigt, men se gärna 14 december 1997 13.32.37 för en beskrivning av hur man går till väga.

Adam Jonsson

21 september 1999 12.15.05
Känner ni historien om Hilberts hotel (en som har oändlig många rum)
Marko

Svar:

Hilberts hotell har oändligt många rum numrerade i heltalsordning. När du kommer till hotellet en dag visar det sig att alla rummen är upptagna. Du blir lite förvånad över att så stort hotell kan vara fullbelagt och gör dig beredd att söka upp ett annat när hotellföreståndaren (Hilbert) förklarar att även om alla rummen upptagna så finns det ändå plats för dig! Han gör helt enkelt så att han ber gästerna i rum 1 att flytta in i rum 2 och gästerna i rum 2 att flytta in i rum 3 och så vidare. Eftersom hotellet har oändligt många rum får alla plats ändå!

Adam Jonsson

21 september 1999 11.10.02
Hej, Jag skulle vilja citera Gauss doktorsavhandling (utgiven 1799) som en referens för algebrans fundamentalsats. Fråga: är detta "rätt" referens, samt hur ser den månne ut?
Andreas Jakobsson

Svar:

Gauss brukar få äran för att ha varit den förste som bevisade algebrans fundamentalsats, även om om hans första bevis inte var helt stringent enligt moderna mått. Under sitt liv skulle han komponera ihop flera bevis. Det första utgjorde hans doktorsavhandling från 1799 och har titeln: "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolve posse". Detta arbete finns med i band 3 av Gauss samlade arbeten. Säkert en intressant läsning för den som är en hejare på latin.

Adam Jonsson

20 september 1999 14.51.19
Hej! Här kommer en liten "prestige" fråga. Hur ställer man upp och löser följande ekvationer:
1. 2(x^2+x^2+x^3)=10
2. 2x^2+2x^2+2x^3=10
3. 2y(x^3+4y^3)
Anonym

Svar:

3. är ingen ekvation, 2. är samma som 1. och 1. är en tredjegrads ekvation. Hur man löser sådana finns utförligt beskrivet 18 mars 1997 02.44.41.

Adam Jonsson

20 september 1999 13.23.04
När man idag bygger tågräls till långdistanståg typ Stlm-Hälsingborg hel stetsar man ihop rälsbitarna till en hel räls utan skarvar. Hur kan man räkna ut var utvidgning av rälsen, om det blir någon s.k. solkurva, uppstår och förebygga sådan?
Studenterna Mats och Tomas i Stockholm

Svar:

Det får ni nog fråga en ingenjör eller möjligtvis en fysiker. Botanisera gärna bland våra länkar .

Adam Jonsson

19 september 1999 16.17.43
Är -1/-2=0.5 och i såna fall varför?
sandra

Svar:

Ja, för att -1/-2=(-1^.1)/(-1^.2)=(-1/-1)^.(1/2)=1^.(1/2)=1/2.

Martin Svensson.

19 september 1999 13.25.26
Jag skulle behöva hjälp med att lösa inversfunktionen till g(x)=x^2+2x-3, x>=-1 Jag har försökt länge men det har låst sig för mig.
Anders Johansson

Svar:

För x>=-1 blir värdeförrådet till g mängden av alla y som är >=-4. Om vi löser ekvationen y=x²+2x-3 och väljer ut den lösning x med x>=-1, får vi inversa funktionen som g^-1(y)=-1+sqrt(4+y), y>=-4.

Martin Svensson.

19 september 1999 13.20.47
Hej. Jag har sökt genom era sidor för svar på min uppgift, men har ej hittat något svar. Jag har en uppgift som jag skulle vilja ha hjälp med att lösa. Tack på förhand, -Jonas. Med ">=" menar jag större eller lika med. Lös olikheten 1/(4x^2-1)>=1/(x^2-4)
Jonas

Svar:

Vi önskar alltså visa att 1/(4x²-1)-1/(x²-4) är större är eller lika med noll. Om vi gör liknämnigt får vi olikheten

-(3x²+3)/(4(x-1/2)(x+1/2)(x-2)(x+2)>=0.

Eftersom täljaren alltid är mindre än noll, räcker det att lösa olikheten

(x-1/2)(x+1/2)(x-2)(x+2)=<0.

Lösningen till denna är -2<x<-1/2 eller 1/2<x<2.

Martin Svensson.

18 september 1999 23.48.29
Hej ! Antag att man har ett polynom av grad tre dvs p(x) = ax³+ bx²+cx+d. Om man vet att ett nollställe är ett heltal , finns det något bra sätt att gissa rötterna till p(x) då ?

Svar:

Vi får väl förmoda att a, b, c och d är heltal. Såvitt jag kan se är det bästa sättet att man konstaterar att om n är ett heltalsnollställe, så måste n vara en delare till d. Detta eftersom

n(-an²-bn-c)=d.

Förutsatt att d inte är alltför stort, testar man enkelt de olika delarna till d. När sedan ett nollställe är funnet, kan man ju reducera polunomet till ett andragradspolynom, vilket man ju kan lösa som vanligt.

Martin Svensson.

17 september 1999 19.56.06
L är en m*n matris och d är en m-vektor. Hur visas att exakt ett av systemen har en lösning, (1) Lx=d (2) L^{T}y=0 , d^{T}y=1 här är T transponat och x,y m-vektorer Kan Farkas' sats användas?
Andreas

Svar:

Jag har inte lyckats finna ut vad Farkas sats är: Farkas lemma är en sats i lineär algebra och jag kan inte se hur denna skulle vara tillämpbar här, lösningen är enkel med elementära metoder. Villkoren kan inte samtidigt vara uppfyllda, ty om det finns x så att Lx=d och y så att L^Ty=0 och d^Ty=1, skulle

1=d^Ty=(Lx)^Ty=x^TL^Ty=0,

vilket är en motsägelse. För att visa att något villkor verkligen är uppfyllt, antag att villkor 2) inte är uppfyllt. Då ska vi visa att villkor 1) är det. Att villkor 2) inte är uppfyllt innebär att om y är en vektor med L^Ty=0 så måste d^Ty=0. Detta betyder att d är ortogonal mot nollrummet till L^T. Men nollrummet till L^T är ju alla vektorer som är ortogonala mot kolonnerna i L, det vill säga, nollrummet till L^Tär alla vektorer som är ortogonala mot värderummet till L. Slutsatsen blir att d ligger i det ortogonala komplementet av det ortogonala komplementet av värderummet till L, som är just värderummet till L. Alltså finns det x så att Lx=d.

Martin Svensson.

17 september 1999 19.22.56
Vad ar och hur fungerar "PQ - formeln"
Magnus S.

Svar:

Denna fråga har vi fått förut. Se 23 september 1998 13.08.25 och 15 mars 1998 19.16.47 så får du se tidigare svar.

Martin Svensson.

17 september 1999 12.21.20
Vad innebär De Morgans lag egentligen, Not((Not p) and (Not q))?
Maria Karlsson

Svar:

Den innebär att Not((Not p) and (Not q))=p or q. Vad vänsterledet säger är ju att det inte gäller att varken p eller q gäller; följaktligen måste antingen p eller q gälla vilket är just vad högerledet säger.

Martin Svensson.

17 september 1999 08.01.28
Hej! Hur löser man följande ekvation. Ekvation Z^4 - Z^3 + Z^2 - 9Z - 4=0 har en rot med absolutbeloppet 2. Lös ekvationen M. v. h Henrik
Henrik Mattsson

Svar:

Om vi ansätter x=a+ib som rot så vet vi att även a-ib är en rot: polynomet har reella koefficienter. Vi vet också att a²+b²=4, och följaktligen ska polynomet (x-a-ib)(x-a+ib)=x²-2ax+4 vara en delare till vårt givna polynom. Utför vi divisionen till näst sista steget får vi att

x⁴-x³+x²-9x-4=(x²-2ax+4)(x²+(2a-1)x)+(2a(2a-1)-3)x²-(5+8a)x-4.

Resten är ett andragradspolynom så för att divisionen ska gå jämt upp måste denna vara en konstant multipel av divisorn x²-2ax+4. Jämför vi konstanttermer ser vi att denna konstanta multipel måste vara -1, dvs

-1(x²-2ax+4)=(2a(2a-1)-3)x²-(5+8a)x-4.

Av detta följer att a=-1/2 och följaktligen att

x⁴-x³+x²-9x-4=(x²+x+4)(x²-2x-1).

Rötterna är alltså -1/2+sqrt(15)i/2, -1/2-sqrt(15)i/2, 1+sqrt(2) och 1-sqrt(2).

Martin Svensson.

16 september 1999 21.10.19
Detta är egentligen ingen matte fråga, men jag kan kanske få hjälp i alla fall. Vad är det egentligen som händer när man hör "banget" efter t.ex ett Jas-plan och man säger att det spränger ljud vallen?????? Vore mycket tacksam för svar. Mvh Maria Lejon
mia.lejon@delta.telenordia.se

Svar:

Det är bättre att du frågar en fysiker om detta. Om du klickar på länkar så hittar du lämpliga frågelådor.

Martin Svensson.

16 september 1999 15.01.57
Hejsan! Funderar på följande: Om tre reella tal som är mindre än 100, säg A, B och C, avrundas till en decimal. Hur kan jag då göra en uppskattning av det största möjliga fel som kan uppstå vid uträkningen av deras produkt om jag använder diffrentialbegreppet?
Jon

Svar:

Låt f(x,y,z)=x^.y^.z vara den funktion vars fel vi vill uppskatta och låt A', B' och C' vara de till en decimal avrundade värdena av A, B respektive C. Då skiljer sig A från A' med högst 0,05 och likaså för de övriga talen. Enligt Taylors formel blir då

f(A,B,C)-f(A',B',C') [ungefär lika med]B'C'(A-A')+A'C'(B-B')+A'B'(C-C')

och vänsterledet, alltså det approximativa felet, kan följaktligen uppskattas till sitt belopp med

|B'C'+A'C'+A'B'|^.0.05.

Approximationen kan alltså vara mycket dålig.

Martin Svensson.

15 september 1999 13.41.05
Vad blir det för skillnad på svaret av nedanstående tre tal, och varför? -7^2, (-7)^2, (-7^2) Kan ni ge en förklaring till,när och varför tecknet framför ett tal ska ingå i kvadreringen och inte? Blir det olika svar på nedanstående tre exempel? 1: -7^2+5-(-2)^2= 2: 5-7^2-(-2)^2= 3: -(-2)^2+5-7^2=
Malou

Svar:

I första fallet är talet minus av 7^.7, dvs -49. I det andra fallet är talet -7^.-7, dvs 49. Det tredje talet är detsamma som det första. Om vi tänker på -7 som -1^.7, så är skillnaden mellan det första och det andra att faktorn -1 också ska kvadreras, vilket alltså ger 1. Tecknet ska alltså ingå i kvadreringen om det är talet -7 som ska kvadreras, och skrivas utanför kvadreringen om det är talet 7 som ska kvadreras och sedan multipliceras med -1. I de tre talen har du bara ändrat på ordningen mellan termerna och eftersom ordningen inte spelar någon roll för summan blir svaret på alla tre -49+5-4=-48.

Martin Svensson.

14 september 1999 14.23.50
En från början oladdad plattkondensator med kapacitansen 0,5 mF bombarderas med elektroner i en takt av 10 000 elektroner/s genom ett litet hål i ena plattan. Elektronernas hastighet är 3*10^7 m/s. Vad händer, hur mycket osv. Det vore mycket snällt om Ni hade lust att besvara ovanstående fråga.
Olle Persson

Svar:

Detta är mer fysik än matematik, så jag rekommenderar någon frågelåda i fysik, se vår länksida så hittar du flera.

Martin Svensson.

14 september 1999 14.04.05
Jag undrar vilken historia algebran har, när uppkom den? vilken historia har den? vem var det som i början kom på algebra?
Maria Gustavsson

Svar:

Denna fråga är alldeles för omfattande för att jag ska kunna ge ett bra svar på den. Jag rekommenderar något bra uppslagsverk.

Martin Svensson.

14 september 1999 09.13.33
Hur beräknar man "tröghetsmomentmatrisen", I, för en solid kropp?; Om r, med origo i kroppens masscentrum, är en godtycklig punkt i kroppen, och m är "punktens massa", blir I som följer: r = (x, y, z) ~ A = r = [ 0, -z, y, z, 0, -x, -y, x, 0 ] I = Summa(-m*A*A) = Summa(-m*[-y^2-z^2, xy, xz, xy, -x^2-z^2, yz, xz, yz, -x^2-y^2 ]) Alltså summan av alla -m*A*A i kroppen... Jag provade att räkna ut I numeriskt genom att dela upp figuren i ett stort antal kuber och kom fram till följande: I för sfär = [x1, 0, 0, 0, x1, 0, 0, 0, x1 ] I för cylinder = [x1, 0, 0, 0, x2, 0, (höjden längs y-axeln) 0, 0, x1 ] I för rätblock = [x1, 0, 0, 0, x2, 0, 0, 0, x3 ] 1. Hur räknar man ut x1, x2 och x3 för respektive figur? 2. Går I uttrycka som en eller flera integraler, för en given figur? Morgan Gunnarsson (di98gumo@chl.chalmers.se) Chalmers

Svar:

Allmänt för en kropp T i rummet med desitetsdistribution F(x₁,x₂,x₃) definieras tröghesmomentmatrisen som 3x3-matrisen vars element på rad i och kolonn j är

-[integral över T](x_ix_jF(x₁,x₂,x₃))dx₁dx₂dx₃

då i och j är olika. För i=j, till exempel i=j=1 ska det vara

[integral över T]((x₂x₂+x₃x₃)F(x₁,x₂,x₃))dx₁dx₂dx₃

och motsvarande för de övriga koordinaterna. Detta verkar stämma överens med dina formler. Speciellt lätt blir det om densiteten är konstant, vilket verkar vara fallet i dina exempel.

Martin Svensson.

14 september 1999 08.55.06
En vattentunna med höjden 90 cm fylls till brädden. Tunnan läcker, så att vattennivån sjunker med en hastighet som är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet. Hur länge dröjer det tills tunnan är tom, om nivån sjunker från 90 cm till 85 cm på en timme?
Peter

Svar:

Om y(t) betecknar vattennivån i cm efter t timmar så är alltså y'(t)=k^.sqrt(y(t)) för någon konstant k. Om vi delar med sqrt(y(t)) på båda sidor och integrerar med avseende på t så får vi den allmänna lösningen y(t)=(A^.t+B)²för några konstanter A och B. Av att y(0)=90 ser vi att B=sqrt(90) och A får vi sedan genom att konstatera att y(1)=85=(A^.1+sqrt(90))², dvs A=(sqrt(85)-sqrt(90)). Då vi nu helt känner y(t) kan vi se att y(T)=0 ger att T=sqrt(90)/(sqrt(90)-sqrt(85))vilket är ungefär 35 och en halv timme.

Martin Svensson.

13 september 1999 22.27.17
Har kört fast, hjälp stackars mig..; En turist som är på besök i en stad noterar sju stycken taxibilar med olika nummer på. ;149 285 77 221 101 148 resp 10.Hur många taxibilar N finns det i denna stad? a)Vilken modell är lämplig och från vilken diskret fördelning kan observationerna anses komma ? b)Hur använder man ML-skattn och momentmetoden för problemet?

Svar:

Denna fråga får du ställa till en statistiker.

Martin Svensson.

13 september 1999 19.20.49
Hejsan ni lärde i Lund! Jag har lite trubbel med matematisk induktion. När det gäller summor då är det lungt, men när det gäller olikheter så är det något som jag har inget bra grepp om, nämligen jag tycker att det inte finns någon "stringent" sätt att lösa olikheter med induktion. Jag ger ett exempel: Visa med induktion att: 1/sqrt(1) + 1/sqrt(2) + ... + 1/sqrt(n) <= 2*sqrt(n) - 1, för n=>1. För detta exempel har jag sett flera olika lösningar som skiljer sig väldigt mycket från varandra, både metodmässigt och kvalitetmässigt. Nu undrar jag om det finns någon generell metod att lösa olikheter med induktion eller är det en sak som mestadels beror på personens matematiska erfarenhet. Jag vore väldigt tacksam om ni kunde besvara mina frågor och eventuellt lösa (stringent) den uppställda olikheten och ge tips som man kan ha användning av när man löser olikheter med induktion. Tack på förhand! MVH. Marko
Marko

Svar:

Det är klart att det finns många sätt att visa denna olikhet, men induktion är nog det mest naturliga. Ty olikheten är självklar för n=1 och om vi antar att den är sann för ett heltal n=>1 behöver vi enligt induktionsprincipen bara visa att den också då är sann för n+1 för att veta att olikheten alltid gäller. Skriver vi ut olikheten och andvänder att vi vet att den är sann för n, ser vi att det räcker att visa att

2sqrt(n)-1+1/sqrt(n+1)<=2sqrt(n+1)-1.

Med hjälp av induktion har vi alltså lyckats reducera en "svår" olikhet till en mycket enkel sådan. Om vi skriver om vänsterledet och andvänder den välkända olikheten 2ab<=a²+b²(olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde) så får vi följande:

(2sqrt(n)sqrt(n+1)+1)/sqrt(n+1)-1<=(n+n+1+1)/sqrt(n+1)-1=2sqrt(n+1)-1.

Alltså är olkheten sann för alla n=>1. Detta är enligt min erfarenhet ganska typiskt när man löser den här sortens olikheter med induktion: problemet reduceras till en enkel olikhet som man kan lösa med elementära metoder. Olikheter mellan medelvärden är typiska sådana.

Martin Svensson.

13 september 1999 15.07.33
Hur definirera man ellips, parabel och hyperbel?
Patrik

Svar:

En ellips är en kurva i planet som i lämpliga koordinater har ekvationen 1=x²/a²+y²/b² . En
hyperbel har ekvationen 1=x²/a²-y²/b² och en parabel ges av y²=ax. Dessa är så kallade
kägelsnitt om vilka man kan läsa i Eric Treasure Trove of Mathematics under Conic Sections.

Martin Svensson.

13 september 1999 13.33.54
Hej! Jag undrar hur man ställer upp en ekvation som beräknar kvarvarande ämne B efter tiden t om halveringstiden är T för A->B och T2 för B->C. Från början finns ämne A som övergår i ämne B som i sin tur övergår i ämne C A efter tiden t är ju lätt att räkna ut (=y i standardekvationen för radioaktivitet): y= A*exp(-tln2/T) Men B är ju inte lika med förbrukad mängd A eftersom B också förbrukas med en halveringstid T2 som beror av hur stor mängd B som bildats från sönderfallet av A. Min fråga är hur fås ekvationen för B och C som beskriver mängden av dessa efter tiden t uttryckt i A? Tack på förhand.
Tomas Mannermo <tomas.mannermo@telia.com>

Svar:

Låt för enkelhetens skull a(t)=mängden av A vid tiden t, b(t)=mängden av B vid tiden t och c(t)=mängden av C vid tiden t, samt a=a(0). För notationens skull sätter vi också u=ln(2)/T och v=ln(2)/T_2. Då är det klart att a(t)=a^.exp(-t^.u) och att

b(t)+c(t)=förbrukad mängd av ämnet A vid tiden t=a-a(t).

För att kunna lösa problemet behöver vi ytterliggare en relation och studerar så processen B->C.
Det är klart att b'(t) beror på hur mycket som sönderfaller av A och hur mycket som sönderfaller i B per tidsenhet. Dock gäller det att c'(t) endast beror på det sistnämda och vi vet ju dessutom att c'(t)=v^.b(t). Sålunda har vi följande ekvation:

b'(t)+v^.b(t)=-a'(t)=u^.A^.exp(-t^.u).

Denna löses genom att multiplicera båda leden med exp(t^.v), varpå fås

(b(t)exp(t^.v))'= u^.A^.exp(t(v-u)),

så integrering av båda sidor och observationen att b(0)=0 ger att

b(t)=a^.u^.(exp(-t^.u)-exp(-t^.v))/(v-u)

om u och v inte är lika och om u=v så fås

b(t)=a^.v^.t^.exp(-t^.v).

Eftersom b(t)+c(t)=a-a(t) kan vi även enkelt finna c(t) ur detta.

Martin Svensson.

13 september 1999 11.16.53
Hur kan en kon (matematiskt sett) ha en mantelarea som är oändlig, medan volyminnehållet är ändligt??
erik

Svar:

Detta är känt som "målarparadoxen": man kan fylla konen med färg men färgen räcker ändå inte till för att måla dess yta. Dock är detta inte en kon i den vanliga bemärkelsen utan till exempel den yta i rummet som fås då kurvan y=1/x, x>1, roterar kring x-axeln. Se 13 maj 1999 16.22.20.

Martin Svensson.

12 september 1999 10.26.16
Hur kan man arbeta med matematik med hjälp av datoreri mellanstadiet, högstadiet
Claudia Sánchez

Svar:

Du kan kanske få svar på din fråga på Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Jesper Thorén.

11 september 1999 23.54.39
Är Riemanns hypotes det viktigaste problemet, enligt er, i dagens matematik? Vad återstår att bevisa för att hypotesen skall bevisas? Vilket är det populäraste angreppssättet, och vilka andra hypoteser/teorem är kopplade till Riemanns?
Rickard Bengtsson

Svar:

Dina frågor kan du få svar på om du läser på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

11 september 1999 22.13.01
Frågan lyder följande: Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att utrycket blir reelt (-1+i)^n =Utrycket. Facit säger 4 men jag menar annat. Skulle vara roligt om ni kunde kolla igenom min teori Eftersom sinus 180gradar = 0 så bör detta uppfylla vilkoret för att talet ska bli reelt.(dvs jag vill ha i sin 180) Jag gör allt polärt! Argumentvinkeln för ovan är ju som känt (90 grader + tan1)=90+45=135grader. Nu använder jag de Movires för exponenter. (ps (^=upphöjt)) (-1+i)= 2^0,5 (i sin 135 + cos 135) vilket ger att (2^0,5)^n (i sin 135n + cos 135n) För att 180 =135n bör n=180/135 =exponenten n Har jag eller facit fel?????? Tackar på förhand/Daniel E-post/ animal_garden@hotmail.com
Daniel

Svar:

Observera att

(-1+i )ⁿ = 2^n/2(-1/2^1/2 + i/2^1/2 )ⁿ = 2^n/2e ⁱ^3npi/4, så det står rätt i facit.
180/135 är ju inget positivt heltal.

Jesper Thorén.

11 september 1999 20.05.29
Förra veckan ställde jag en fråga om hur man finner den vektor som har vinklarna pi/3 , pi/4 och pi/3 med de positiva x,y och z-axlarna; svaret blev att man tar cosinus av vinklarna. Det som förbryllar mig är hur vinklarna går ihop: om man betraktar xy-planet så borde det faktum att vektorn har vinkeln pi/3 mot den positiva x-axeln innebära att vi befinner oss i den första kvadranten, medan det faktum att vektorn har vinkeln pi/4 mot den positiva y-axeln ger att vi befinner oss i den andra kvadranten (eftersom vinklar mäts moturs). Som sagt, jag får det inte att gå ihop och vore tacksam om Ni ville klargöra vad som menas. Mvh
Ola Jönsson

Svar:

En vektor som har vinkeln pi/3 mot den positiva x-axeln i rummet kan befinna sig var som helst på en kon med hörnet i origo och som har vinkeln pi/3 mellan mantelytan och x-axeln. Den behöver alltså inte ligga i xy-planet. Det samma gäller de andra fallen.

Jesper Thorén.

11 september 1999 17.47.58
Hej! Jag undrar ifall ni kunde hjälpa mig med att förstå hur man skriver komplexa tal på polär form, alltså hur man bevisar att det hela stämmer. Tack på förhand.
Nils Alsgren

Svar:

Ett komplext tal kan skrivas z=a+bi. Detta betyder att varje komplext tal motsvaras av en vektor i planet, nämligen vektorn (eller punkten) (a,b). En vektor i planet kan beskrivas med två data (så kallade polära koordinater):
r = längden av vektorn, och
t = vinkeln mellan vektorn och x-axeln.
Då är

z=(r cost, r sint). Så det komplexa talet z=r cost +ri sint =r(cost+i sint) anges med samma två data som den motsvarande vektorn, och komplexa tal på denna form säges vara på polär form.
Du kan även söka på vår söksida för att få reda på mer.

Jesper Thorén.

10 september 1999 18.59.40
Angående pi, 4 september 1999 01.18.14: Rekordet har stigit till 68,7 miljarder, ftp://www.cc.u-tokyo.ac.jp/README.our_latest_record
Bengt Månsson

Svar:

Tack för tipset.

Jesper Thorén.

10 september 1999 13.00.47
Jag skulle vilja veta hur man räknar ut ytan av kurvor rent allmänt, alltså sådana som inte kan integreras på vanligt sätt. Ett exempel: Tar man n-te roten ur ett tal och ritar upp lösningarna får man en n-hörning. Tar man den oändliga roten ur ett tal får man en cirkel. Denna har ju självklart ytan pi, men hur förhåller det sig med andra liknande fall?
Lars

Svar:

Man får försöka med olika trick för att beskriva figuren med integrerbara funktioner. Hur man gör beror oftast på det specifika fallet. Till exempel beskriver funktionen

y = (1-x²)^1/2 den övre halvan av enhetscirkeln. Så arean av enhetscirkeln är 2 integral_{[-1 till 1]} (1-x²)^1/2dx.

Jesper Thorén.

10 september 1999 12.23.41
I Singhs bok om Fermats stora sats finns en beskrivning av hur en matematiker, Frey, antar att satsen är sann och sedan för över den till en elliptisk ekvation via " .. komplicerade beräkningar..." Är det möjligt att beskriva denna procedur eller finns det någon hänvisning till lämplig adress på nätet? MVH,Stefan Wensheim
Stefan Wensheim

Svar:

Läs mer om Frey curve på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

10 september 1999 00.07.06
Hejsan! Skulle vilja ha hjälp med en tredjegradsekvation, jag har kommit en bit på väg men förstår inte den sista biten. Bestäm alla reella och komplexa rötter till ekvationen: x^3+2x+1=0 Lösning: Ansätt x=u+v Insättning ger: u^3+v^3+(u+v)(3uv+2)+1=0 (1) u^3+v^3+1=0 (2) 3uv+2=0 (2) ger: v=-2/3u v^3=-8/27u^3 Insättning i (1) ger: u^3-8/27u^3+1=0 (u^3)^2+u^3-8/27=0 u^3=-1/2 +/- sqrt(1/4+8/27) u^3=-1/2 +/- sqrt(59/108) hit är det inga problem men sen förstår jag inte riktigt hur man gör, enligt boken blir det iallafall följande: u=sqrt^3(-1/2+sqrt(59/108))e^k ,k=0,1,2 e=(-1+isqrt3)/2 v=sqrt^3(-1/2-sqrt(59/108))e^-k x=sqrt^3(-1/2+sqrt(59/108))e^k + sqrt^3(-1/2-sqrt(59/108))e^-k och sen räknar man ut rötter med värderna för k=0,1,2 Vad jag skulle vilja ha förklarat är följande: Vad händer med +/- när jag tar 3:e roten ur: -1/2 +/- sqrt(59/108)? Hur räknar jag ut V? har provat sätta in värdet i v=-2/3u men får inte samma svar. Var kommer e^k i från dvs e= (-1+isqrt3)/2 ? Blir det alltid samma e (epsilon?) vid 3:e grads ekvationer? Tacksam för allt som kan bringa lite klarhet i det hela
stefan

Svar:

Hur man löser tredjegradsekvationer kan du läsa om i svaret till frågan 18 mars 1997 02.44.41.
Läs också svaret till frågan 26 november 1997 06.59.09 , för att få svar på dina övriga frågor.

Jesper Thorén.

9 september 1999 19.58.47
Jag har nyligen lärt mig att när man har två ekvationer som 2x+5y=3 och 4x-2y=7 så kan man lägga in värdena i matriser
2 5
4 -2
och
3
7
och sedan multiplicera inversen av den första matrisen med den andra matrisen och få punkten i en graf där de båda linjerna korsar sig. Varför fungerar detta?
Tomas Björklund

Svar:

Ekvationssystemet

2x + 5y = 3
4x - 2y = 7 tolkas geometriskt som skärningen mellan de båda linjerna. På matrisform kan systemet skrivas AX = Y, med A som matrisen 2 5
4 -2, X som x
y, och Y som 3
7. Multiplicerar man båda leden med A^-1 från vänster, får man A^-1AX = A^-1Y, dvs X = A^-1Y, eftersom A^-1A = E (=enhetsmatrisen), och EX = X.
A^-1Y är alltså den punkt (x, y) som linjerna skär varandra i. Att multiplisera med matrisen är alltså ingenting annat än ett sätt att lösa ekvationssystemet på.

Jesper Thorén.

9 september 1999 16.28.13
Hej! Jag har ett litet problem i mitt examensarbete som är av matematisk karaktär. Problemet är följande. Jag har ett koordinatsystem x,y. Inom detta finns ett rektangulärt område 0<=x<=d, 0<=y<=c. I detta område vill jag placera ut elliptiska ytor med halvaxlar a,b där b>a. Ellipsen beskriver jag i ett första steg i ett lokalt koordinatsystem x',y' där axlarna ligger längs ellipsens halvaxlar. Nu kan ellipsen vara vriden och denna vridning beskriver jag med en vinkel theta mellan x' och x. Därefter så "transformerar" jag ellipsens ekvation så att denna beskrivs i koordinatsystemet x,y istället för det lokala. Nu kan det hända att ellipsen placeras ut på ett sådant sätt att en del av den hamnar utanför mitt område, tex att något x värde hos ellipsen blir större än x=d. Vad jag vill ha reda på är det största värdet xmax som ellipsen skjuter över x=d. Jag provade med att sätta gradienten för uttrycket till (1,0) och på så sätt lösa ett ekvationsystem (olinjärt). Tyvärr så blir uttrycket väldigt trist att ha att göra med så jag undrar om det finns något bättre och enklare sätt att lösa uppgiften? Kanske med geometri? Givet är även origo i x',y'.
Bosse, F94 LTH

Svar:

Antag att e₁,e₂ är en ON-bas för planet, och låt f₁, f₂vara den "lokala basen". Då är

f₁= a₁e₁ + b₁e₂
f₂= a₂e₁ + b₂e₂ där a_i, b_i beror på vinkeln t (=theta) mellan e₁ och f₁. Ekvationen för en ellips är y² = b²(1-x²/a²). Antag att t är positiv. Eftersom undre halvan av en ellips uppfyller y = -b(1-x²/a²)^1/2, gäller att den punkt på ellipsen som ligger längst till höger (i e₁,e₂-mening) kan skrivas xf₁ -b(1-x²/a²)^1/2f₂, för något x så att -a < x < a. Dvs punkten är x(a₁e₁ + b₁e₂)-b(1-x²/a²)^1/2(a₂e₁ + b₂e₂)
= (xa₁-b(1-x²/a²)^1/2a₂)e₁ +(xb₁-b(1-x²/a²)^1/2b₂)e₂. Säg f(x)e₁+g(x)e₂. Om nu f har maximum i x₀, där -a < x₀ < a, gäller alltså att x_max = f(x₀)-d. Andra fall behandlas på liknande sätt.

Jesper Thorén.

8 september 1999 16.30.35
Jag studerade beviset för följande sats: (AC)^t=C^tA^t. I beviset till satsen användes satsen innan beviset var klart. Blir det inte ett cirkelbevis då? (Det skall vara transponat i satsen). Hur skriver man integraltecken och liknande matematiska beteckningar på denna frågesida? Hur beräknas skalärprodukten av två komplexa vektorer: <a b>?
Per

Svar:

Ibland kan man visa ett allmänt påstående genom att först visa påståendet i ett specialfall, och sedan använda dett i det allmänna fallet. Jag misstänker att man i beviset du har läst använder att

(AC)^t=C^tA^t då C är en kolonnmatris för att visa att samma påstående är sant då C är en matris med fler kolonner. Påståendet är ju självklart då C är en kolonnmatris (eller?).
Vi hr inga speciella symboler utan man får skriva integral, tensorprodukt och liknande och hoppas att läsaren förstår.
Skalärprodukt (dot product) kan du läsa om på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

8 september 1999 16.23.44
Jag funderade på en sak som hade med komplexa tal att göra. Jag undrar om det går att åskådligöra arg z= i på det komplexa talplanet. Med tanke på att arg z= i^2 (=> arg z= -1) går.
Dan Andersson, K-na

Svar:

Argumentet, arg z, av ett komplext tal anger vinkeln mellan den reella axeln och den vektor som i komplexa talplanet pekar på z = a+bi = r (cost + i sint) = re^it, där t = arg z upp till en multipel av 2pi. Argumentet är alltså ett reellt tal, och det är detta som skiljer de två fallen i din fråga åt.

Jesper Thorén.

7 september 1999 21.05.05
Låt A och B vara två konvexa mängder. Hur visas att skärningen mellan A och B också är en konvex mängd?
Stefan

Svar:

Att en mängd A är konvex betyder att hela den räta linjen mellan två godtyckligt valda punkter i A ligger i A. Betrakta nu skärningen, C, mellan två konvexa mängder A och B. Om vi tar två punkter i C ligger de speciellt också i A och i B. Därför ligger hela det räta linjestycket mellan punkterna i både A och B, och därmed i C.

Jesper Thorén.

7 september 1999 09.59.55
hejsan, skulle bara vilja veta dessa begrepen är: apex engelska: circumference Tack
Martin snälla emaila mig svaren:
martined17@hotmail.com

Svar:

Apex är den högsta punkten med avseende på en given linje eller ett givet plan. Om man, till exempel,
väljer en av sidorna i en triangel till bas, blir det hörn som inte hör till basen apex. Ett annat exempel är hörnet i en kon.
Circumference betyder omkrets.

Jesper Thorén.

6 september 1999 22.01.11
Jag söker en formel till ett datorprogram jag skriver. Den ska utföra rotation av punkter i ett 3d rum. Något i den här stilen... Indata: [x,y,z] punkten runt vilken rotationen ska äga rum [x,y,z] koordinater för punkten som ska roteras [] rotationen i grader. Utdata: [x,y,z] nya koordinater för punkten. Några bra ideer? Mycket tacksam för hjälp.
Daniel Sebring

Svar:

Man kan inte rotera en punkt i rummet runt en annan punkt i rummet. Rotationen görs runt en linje, och en riktningsvektor, p, för linjen måste anges. Rotationen sker sedan genom att den givna punkten flyttas längs en cirkel som ligger i ett plan som är vinkelrätt mot den givna linjen, och med centrum där linjen skär planet. Beteckna denna skärningspunkt med C=(x₀, y₀, z₀). Antag att p har längd 1. Om punkten
(x, y, z) ska roteras, sätt

v_in=(x-x₀, y-y₀, z-z₀). Sätt sedan v_ut=v_in cost + [p, v_in] sint, där [p, v_in] anger vektorprodukten (se nedan). Vektorn v_ut är den vektor som pekar från C till en punkt t radianer från (x, y, z). Om p=(p₁, p₂, p₃) ges alltså denna punkt av (x₀, y₀, z₀) + cost (x-x₀, y-y₀, z-z₀) + sint (p₂z-p₃y, p₃x-p₁z, p₁y-p₂x).

Jesper Thorén.

6 september 1999 18.37.39
hur beräknar man volymen för ett klot med känd radie?
Ida

Svar:

Om radien är r, blir volymen

V = 4r³pi/3.

Jesper Thorén.

4 september 1999 01.18.14
Hur många decimaler finns bestämt på pi, och vilka?
Ahmed Ballah

Svar:

Se 17 november 1998 14.54.47.

Stefan Jakobsson

3 september 1999 18.27.45
Hur gör man för att rita en superellips med måtten 400 x 260mm ?
Hasse Malmsten

Svar:
Först behöver man formeln för en superellips. Det kan man få på Eric's Treasure Trove of Mathematics om man kollar på superellips. Sen matar man förslagsvis in formeln i en miniräknare eller dator. Jag tror inte det finns någon metod att rita superellipser som motsvarar metoden som man kan rita vanliga ellipser med (den metoden utnyttjar att summan av avstånden från brännpunkterna till en godtycklig punkt på ellipsen är konstant)..

Stefan Jakobsson

3 september 1999 16.45.40
Hej! Let Bn = 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! Find a formula for Bn and prove it.
LaCrosse

Svar:

Beräknar man B_n för några n får man B₁=1, B₂=5, B₃=23 och B₄=119. Jämför man sedan detta med fakulteterna 2!=2, 3!=6, 4!=24 och 5!=120 börjar man misstänka att B_n=(n+1)!-1 för alla n. Detta visar man enklast med ett induktionsbevis.
Formeln stämmer ju för n=1. Antag att formeln är sann för n. Vi vill då visa att formeln också är sann för n+1.
Vi har att B_n+₁+1=B_n+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-1. Formeln är alltså sann för n+1 också. Induktionsprincipen ger att formeln är sann för alla n.

Stefan Jakobsson

3 september 1999 16.43.50
Ange alla primtal p för vilka ekvationen x^3-24x+p=0 har en heltalsrot.
LaCrosse

Svar:

Om är n en heltalslösning till ekvationen ovan så har vi att p=24n-n³= n(24-n²). Eftersom p är ett primtal så måste antingen n=+/-1 eller 24-n²=+/-1. Det första alternativet ger att p =+/- 23. Eftersom primtal är positiva så måste p =23. Det andra alternativet ger att n=+/-5 . n=5 kan uteslutas eftersom p är positivt . Detta fall ger således att p=5.

Stefan Jakobsson

3 september 1999 16.37.47
Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa med följande problem: Om det reella polynomet f(z)=z^4-10z^3+Az^2+Bz+C vet man att dess nollställen alla ligger på kurvan x=y^2 i det komplexa talplanet. Dessutom är deras real- och imaginärdelar heltal (Gaussiska heltal). Bestäm alla nollställena. Tack på förhand!
Filip

Svar:

Eftersom polynomet är reellt så är konjugatet till ett nollställe också ett nollställe. Nollställena förkommer alltså i par som är komplex konjugerade i förhållande till varandra. Då nollställena låg på kurvan x=y² och är Gaussiska heltal så kan de skrivas z_1,2=b²+/-i b och z_3,4=c²+/-i c . Polynomet f kan sedan skrivas som produkten
f (z)=(z-z₁) (z-z₂)(z-z₃)(z-z₄). Sätter man in och räknar på så får man att koefficienten framför z³blir -2(b²+c²). Jämför vi detta med det givna polynomet ser vi att b²+c²=5. Eftersom b och c är heltal så måste deras kvadrater vara 1 respektive 4. Nollställena blir således 1+/-i och 4+-2i.

Stefan Jakobsson

3 september 1999 10.58.17
Hur många sifferkombinationer kan man få av 4 siffror? Hur många sifferkombinationer kan man få av 8 siffror? Tacsam för svar. Hannu Raijas.

Svar:
Med fyra siffror kan man bilda talen från 0000 till 9999. Det blir alltså 10 000 kombinationer. Motsvarande för åtta siffror är 100 000 000 kombinationer.

Stefan Jakobsson

2 september 1999 16.31.49
Hej! Vad menas med en konvex funktion och hur visar man att expotentialfunktionen är konvex. Tack på förhand
Marko

Svar:

En funktion kallas konvex i ett intervall I om f(ax + (1 - a)x) <= af(x) + (1 - a)f(y) för alla x och y i I och a mellan 0 och 1. Geometriskt betyder det att varje korda som förbinder två godtyckliga punkter på grafen ligger ovanför själva grafen. Om funktionen är två gånger driverbar så förenklas villkoret till f ''(x)>=0.
För exponentialfunktionen har vi d²/dx²(exp(x))=exp(x)>0 så den är alltså konvex.

Stefan Jakobsson

2 september 1999 16.30.55
Hej! Vad menas med en kontinuerlig funktion och hävbar diskontinuitet? MVH Daniel
Daniel

Svar:
Vad en kontinuerlig funktion är definieras i stort sett i alla böcker i matematisk analys. T.ex kan du titta i Hellström, Morander och Tengstrands Envariabelanalys. Du kan också gå in på sidan Eric's Treasure Trove of Mathemetics och se under rubriken continuous function.

Funktionen f har en hävbar diskontinuitet i a om det finns en funktion, som är kontinuerlig i a, och som antar samma värden som f för övrigt. Detta är fallet om f har ett gränsvärde då x går mot a.

Stefan Jakobsson

2 september 1999 16.28.43
Hej! Om f(x) är kontinuerlig i intervallet [a,b] då, i) f(x) antar sitt största och minsta värde i intervallet [a,b]. ii) även alla värden däremellan! Jag vore tacksam om ni kunde förklara litet närmare denna sats, dessutom undrar jag vem var upphovsman till denna sats och till vad använder man den, kanske ekvationslösning eller något annat? Vad har den för likheter med Bolzano-Weierstrass sats.
Marko

Svar:
Bernard Bolzano lär vara upphovsman till denna sats som också kallas för satsen om mellanliggande värden. Som du själv skriver så har den tillämpningar för ekvationslösning; om satsens villkor är uppfyllda så har ju ekvationen f(x)=c garanterat minst en lösning i intervallet för alla c som ligger mellan f's största och minsta värde. Beviset för satsen bygger på intervallhalveringsmetoden som också kan användas för att hitta lösningen numeriskt.

Bolzano-Weierstrass sats säger att varje begränsad talföljd har minst en hopningspunkt. Med en hopningspunkt för följden menas att det finns en delföljd som konvergerar mot denna punkt. Vilka likheter satserna har får du själv avgöra.

Stefan Jakobsson

1 september 1999 09.27.39
Vad är en vetenskaplig definition på "slump"
Firooz Azam

Svar:

Jag känner inte till någon vetenskaplig definition av ordet slump men mitt förslag är oregelbundet och oförutsägbart. Är du intresserad av att läsa om sannolikhetsteori på nätet kan du kolla in Matematisk statistik länkar (KTH).

Stefan Jakobsson

1 september 1999 09.02.28
Hej! Jag skulle gärna vilja veta hur kryptering fungerar. Jag vet bara ungefärligt. Gärna även PGP.
Jonas Olson

Svar:

Det skulle bli väldigt långt att redogöra för olika krypteringsmetoder här så du får istället lite referenser.
Författaren Simon Singh (han som skrev den framgångsrika populärvetenskapliga boken om Fermats stora sats) har nyligen också skrivit en bok om kryptering, Kodboken, som recencerades nyligen i tidningen NyTeknik nummer 35 1999 (här finns många länkar också). På svenska finns också boken Svenska kryptobedrifter av Bengt Beckman som handlar om hur matematikern Arne Beurling knäckte tyskarnas kod under andra världskriget. Du kan också se svaren på frågorna
1 mars 1999 18.46.18 och 25 november 1999 22.49.41 där det finns länkar till olika sidor om kryptering.

Stefan Jakobsson

1 september 1999 08.49.02
Går en diffekvation av typen: dy/dx = ky( 100 - y ) att lösa analytiskt eller är man hänvisad till numeriska metoder? Visa gärna typ av lösningsmetod.
Peter Rolandsson

Svar:

Se 15 januari 1999 18.41.15.

Stefan Jakobsson

1 september 1999 00.59.45
Hur finner man den vektor i rummet som har vinklarna Pi/3, Pi/4, Pi/3 med de positiva x, y och z-axlarna? Själv får jag inte vinklarna att gå ihop.
Ola Jönsson

Svar:
Följande vektor går bra (cos(pi/3),cos(pi/4),cos(pi/3)). Det är lätt att kontrollera att den har längd l så vinklarna stämmer.

Stefan Jakobsson

31 augusti 1999 16.42.48
Hur integrarar man abs(x)*e^(-(x)2)?

Svar:
För positiva x så är -1/2exp(-x²) en primitiv funktion till uttrycket ovan och för negativa x så har vi 1/2exp(-x²) istället.Om man integrera funktionen över ett intervall som är innehållet i antingen den positiva eller den negativa halvaxeln så kan man använda repektive primitiv rakt av. I annat fall så är det enklast att dela upp integralen i två delintegraler, en på positiva och en på negativa halvaxeln.

Stefan Jakobsson

31 augusti 1999 15.34.29
Hur definieras en Lebesque-integral och kan ni ta ett beräkningsexempel på det? Tack.
Frank

Svar:

Se 19 mars 1999 18.56.10.

Stefan Jakobsson

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström
Ansvarig är Kjell Elfström