Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar december 1998

Svar:

Ljudet färdas 510 m på 1,5 s. Detta är sträckan fram till föremålet och tillbaka. Föremålet befinner sig alltså på avståndet 510/2 = 255 m.

Kjell Elfström

Svar:

Se 4 december 1998 09.51.25.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte det.

Kjell Elfström

Svar:

Se 26 maj 1998 20.03.00.

Kjell Elfström

Svar:

Låt M vara jordens medelpunkt, T den ena punkten där repet tangerar jorden, P repets högsta punkt över marken och Q skärningspunkten mellan sträckan MP och jordytan. Då är h = QP den efterfrågade sträckan. Sträckan TP = s + 1/2 där s är längden av bågen TQ. Vi får att

där R = 6370000. Ur denna ekvation kan vi inte lösa ut s exakt, men en approximativ lösning är s = 39335,78605.

Höjden h ges nu av

och vi får h = 121,457 m.

Kjell Elfström

Svar:

Se 7 december 1998 10.29.04.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan i själva verket inte bevisa att y⁰ = 1, det är en definition. Det är naturligt att definiera yⁿ där n är ett positivt heltal som en produkt av n faktorer y. Sedan vill man, på matematikers vis, utvidga definitionen till andra tal n än positiva heltal. Speciellt vill man bestämma sig för vad y⁰ skall vara och där har man full frihet att bestämma vad man vill. Att man har bestämt att y⁰ skall vara ett beror på att man vill att de potenslagar som gäller för positiva heltalsexponenter skall gälla även för de nya exponenter man tillåter.

Kjell Elfström

Svar:

Det är de inte. Om t ex U är mängden av alla kontinuerliga funktioner på [0,1] och vi sätter

och

blir de begränsade mängderna inte de samma.

T ex är mängden som består av funktionerna u_k(x) = (k + 1)x^k obegränsad med den första normen och begränsad med den andra.

Kjell Elfström

Svar:

Problemet var att bryta ut x och svaret blir väsentligen likadant.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte hittat några sidor på svenska om mayafolkets matematik. Söker man efter "mayan mathematics" eller "maya mathematics" med Altavista finner man en del dokument, t ex Maya Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Matematiken lyste med sin frånvaro i denna fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras som

där a är vinkeln mellan u och v. Den geometriska tolkningen av skalärprodukt kan sägas vara vinkelrät projektion. Om e är en enhetsvektor är den vinkelräta projektionen av u på linjen med riktningsvektor e nämligen

Koordinatformeln för skalärprodukt gäller bara då koordinaterna är angivna i en ortonormerad bas. Om vi skriver vektorerna på polär form

där e₁,e₂ är en ortonormerad bas i planet och vinklarna är vinklarna mellan e₁-axeln och vektorerna så gäller för vinkeln c mellan vektorerna att |c| = |a -b|. Skalärprodukten mellan u och v blir

där (x₁,y₁) = |u|(cos a,sin a) och (x₂,y₂) = |v|(cos b,sin b) alltså är koordinaterna för u och v i basen e₁,e₂.

Ditt resonemang om linjens ekvation haltar något. Ekvationen på parameterform är för en linje i rummet medan den andra ekvationen är för en linje i planet. En linje i rummet kan aldrig ha en ekvation på formen

detta är nämligen ekvationen för ett plan. En linje i rummet är alltid skärningen mellan två plan och kan alltså anges med ett ekvationssystem med två ekvationer som den ovan. Jag tycker nog det är lätt att se likheterna mellan ekvationen för en linje i planet som ej är vertikal

och ekvationen för ett plan i rummet som ej är parallellt med z-axeln

I det första fallet kan y antas vara höjden över havet på en väg som löper ovanför x-axeln i en punkt x km öster om origo. I det andra fallet kan z vara höjden av ett plant landskap i en punkt som på kartan har koordinaterna (x,y).

Har man infört ett koordinatsystem i planet eller rummet får ju varje punkt entydigt bestämda koordinater. Man kan alltså glömma punkterna och räkna bara med koordinaterna. Att åskådliggöra ett rum med större dimension än 3 kan vara svårt men att definiera Rⁿ som mängden av alla n-tipler (x₁,x₂,...,x_n) erbjuder inga större svårigheter. Om man inför addition av sådana element och multiplikation av dem med skalär så som man räknar med koordinater i 2 och 3 dimensioner så får man det n-dimensionella rummet Rⁿ. Mängden av de punkter i Rⁿ som uppfyller

säges utgöra ett hyperplan och detta har dimensionen n - 1 (med lämplig definition av dimension). n-dimensionell geometri studeras i den gren av matematiken som kallas lineär algebra. Tillämpningarna behöver inte vara geometriska. Lineära ekvationssystem, lineär programmering och minsta kvadratmetoden är exempel på användningsområden.

Kjell Elfström

Svar:

Du skriver "härleder" med så stora bokstäver så jag vågar inte föreslå ett induktionsbevis.

Om S betecknar summa har vi

och

vilket ger att

Känner man formlerna för summorna av lägre grad kan man lösa ut den sökta summan.

Kjell Elfström

Svar:

Det går alltså åt oändligt mycket färg om man skall måla struten invändigt, men det går att fylla struten med bara ändligt mycket färg. Detta kan verka paradoxalt eftersom ju struten färgas invändigt då man fyller den med färg, men när man målar så målar man med ett jämntjockt lager.

Kjell Elfström

Svar:

Den rätta formeln är

där e är den angivna diagonalen. Låt v vara vinkeln mellan sidorna a och d och w vinkeln mellan sidorna b och c. Eftersom fyrhörningen är inskriven i en cirkel är v + w = pi. Vi använder cosinussatsen på de två trianglar i vilka diagonalen är en gemensam sida och utnyttjar att cos v = -cos w.

Lös nu ut cos v ur de båda ekvationerna och utnyttja att de så framkomna uttrycken är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror svårigheten är att derivera 0,96^t. Låt f(t) = a^t där a är en positiv konstant. Genom att skriva f(t) = e^{t ln a} ser vi att

Kjell Elfström

Svar:

Något största primtal finns inte eftersom det finns oändligt många primtal. Vilket det största kända primtalet är kan du se på The Largest Known Primes.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan inte skriva pi som ett avslutat decimalbråk, inte ens som ett periodiskt decimalbråk eftersom pi är irrationellt, dvs kan inte skrivas som en kvot mellan två heltal. Man får nöja sig med approximativa värden på pi, något exakt värde av den typ jag tror du efterfrågar finns inte.

Kjell Elfström

Svar:

Bristen på förutsättningar i uppgiften gör den svår att lösa. Sök efter bromssträcka så får du se svaren på tidigare frågor som gäller denna uppgift.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner tyvärr inte till något om detta.

Kjell Elfström

Svar:

Se 4 februari 1997 09.27.03.

Kjell Elfström

Svar:

Låt 0 motsvara "Fail" och 1 motsvara "Pass". Arrangera bedömningarna i ett rektangulärt schema så att varje domare motsvarar en rad och varje deltagare en kolumn och markera bedömningarna med nollor och ettor i schemat. På så sätt får vi en (a,b,d)-kod där d = a - k. Plotkins begränsning säger då att

Denna är emellertid inte tillräcklig för att visa olikheten i frågan då den inte tar hänsyn till att b är udda. Betraktar vi en kolumn och låter x och y vara antalet nollor resp. ettor i den kolumnen så är xy antalet domarskiljaktigheter för den mot kolumnen svarande deltagaren. Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde ger att

med likhet om och endast om x = y. Eftersom x + y är udda måste de vara olika och det gäller alltså att

och eftersom x och y är heltal måste

och det totala antalet skiljaktigheter är högst a(b² - 1)/4. Antalet par av domare är (^b₂) = b(b - 1)/2 så antalet skiljaktigheter är minst db(b - 1)/2. Vi får

vilket kan skrivas

och utnyttjar vi att d/a = 1 - k/a får vi den sökta olikheten.

Kjell Elfström

Svar:

Låter vi r vara radien och h höjden är vattenvolymen

och hela konens volym är pi·3²·8/3 = 24pi liter.

Likformiga trianglar ger att

och sätter vi in detta i uttrycket för volymen får vi

vilket ger att

Deriverar vi detta med avseende på t får vi

Kjell Elfström

Svar:

Problemet kan beskrivas som att man ur en urna med åtta kulor numrerade från 1 till 8 med återläggning skall dra åtta kulor och frågan är då vilken sannolikheten är att få precis sju olika nummer.

Antalet möjliga utfall är

Ett av numren skall dragas två gånger och detta nummer kan väljas på 8 sätt. Ett nummer skall inte dragas alls och detta nummer kan nu väljas på 7 sätt. Detta ger 56 möjligheter. När vi så har valt dessa två nummer måste vi räkna ut på hur många sätt de valda kan ordnas. Det första enkelnumret kan placeras på 8 sätt, det andra på 7 sätt och så vidare. De kan alltså ordnas på 8·7·6·...·3 = 8!/2 sätt så antalet gynnsamma utfall blir

och den sökta sannolikheten blir

Kjell Elfström

Svar:

Båglängden av en kurva

definieras som

Båglängden för sinus-kurvan kan du läsa om i 11 december 1998 11.38.59. Några icke-triviala kurvor för vilka man kan räkna ut längden exakt ges t ex av y = x^3/2, y = cosh x = (e^x + e^-x)/2.

Kjell Elfström

Svar:

Antagligen är det mängden av de par (a,b) som är sådana att aRb.

Kjell Elfström

Svar:

Svaret måste bero på hur hon värderar de olika friarna inbördes och hur hon värderar att förbli ungmö. Antag att värdet av friare nr k i raden är x_k och att hon värderar att förbli ogift till x₀. Om den bäste friaren finns bland de X första blir utfallet x₀. I annat fall låter vi x vara det största värdet av x_k där k <= X och utfallet blir x_l där l är det minsta värde på k sådant att l > X och x_l > x. Det genomsnittliga värdet i det senare fallet blir medelvärdet av alla x_l som är större än x.

Vi förutsätter nu att friarnas värden är olika och räknar upp värdena i storleksordning: y₁ < y₂ < ... < y_N  och räknar på sannolikheten att det största värdet av de X första är y_k. Detta betyder att de X första är y_k och X - 1 av värdena y₁,...,y_k - 1 och sannolikheten blir

Sätter vi

blir väntevärdet på den utvalde

och hur detta skall maximeras kan jag inte se.

Kjell Elfström

Svar:

Om linjen inte är parallell med xy-planet kan den skrivas

Ett sätt är att bestämma u = (a,b,c,d) så att avståndet från Au till v är så litet som möjligt, där A är matrisen

och v = (x₁,x₂,...,x_n,y₁,y₂,...,y_n)^t och detta göres som vanligt med hjälp av normalekvationerna.

Kanske kan Hoggar, S.G. (1992) Mathematics for computer graphics vara någonting? Du kan själv söka efter Computer Graphics. På universitetens hemsidor för datavetenskap brukar finnas litteraturlistor till kurserna.

Kjell Elfström

Svar:

Om r är lockets och bottnens radie och h är burkens höjd är dess volym V = pi r²h. Lockets och bottnens area är båda pi r² och cylinderns mantelarea är 2pi rh. (Klipper du upp mantelytan och plattar till den får du en rektangel med sidorna h och 2pi r.) Plåtåtgången är alltså

Löser vi ut pi rh ur detta får vi

och sätter vi in detta i uttrycket för volymen får vi

Derivera och bestäm maximum av V.

Kjell Elfström

Svar:

Använd kvadreringsregeln,

snygga till och multiplicera med (g/2).

Kjell Elfström

Svar:

Jag förutsätter att V ' är mängden av alla lineära former på V och att <x,f> är f(x) om x tillhör V och f tillhör V '. En delmängd U av R är öppen i den vanliga topologin om det till varje x i U finns ett tal e > 0 sådant att

Varje lineär form f på R är på formen f(z) = az där a är en konstant. Om U är öppen i den vanliga topologin kan vi välja f så f (z) = z. Då gäller att

så U är även öppen i topologin ovan. Omvänt, antag att U är öppen i topologin ovan. Till varje x i U finns då ett tal e > 0 och reella tal a_i, i=1,2,...,m sådana att

Väljer vi e' = e/(max|a_i| + 1) gäller

En lineär avbildning V->W måste inte vara kontinuerlig. I själva verket kan man visa att om V är ett oändligtdimensionellt normerat rum och W <> {0} så finns en lineär avbildning som inte är kontinuerlig. Om däremot V är ändligtdimensionellt är varje lineär avbildning kontinuerlig.

Jag antar nu att frågan gäller V med den topologi som anges ovan. Om T är en lineär avbildning och U är en öppen mängd i V skall vi visa att T ^-1(U) är öppen. Låt därför x tillhöra T ^-1(U), dvs Tx tillhör U. Då finns e > 0 och f_i i V ' så

Men f_iT tillhör också V ' och

vilket visar att T ^-1(U) är öppen.

Jag har, som man brukar, använt stränga olikheter överallt, framförallt av typografiska skäl. Du kan byta ut < mot <= överallt om du vill.

Kjell Elfström

Svar:

Mängden av alla delmängder till en mängd vars kardinaltal är Alef_1 och om vi tar kontiuumhypotesen som ett axiom är detta mängden av alla delmängder till mängden av reella tal.

Kjell Elfström

Svar:

x(a²/x - 1) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Längden av en funktionskurva

definieras som

och då f(x) = sin x, a = 0, b = pi blir längden

Detta är en så kallad elliptisk integral som inte går att beräkna exakt.

Kjell Elfström

Svar:

Den ena diagonalen delar romben i två trianglar, var och en med en höjd som är halva den andra diagonalen. Arean är alltså hälften av produkten av diagonalerna. En romb är också en parallellogram och arean av en sådan är produkten av basen och höjden.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan inte uttrycka t i de övriga variablerna med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström

Svar:

Se 9 december 1998 10.07.49.

Kjell Elfström

Svar:

Jag hänvisar till Rescaled range analysis and the fractal dimension of pi speciellt The normality of pi.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tycker inte det är konstigt. Det finns inget i konstruktionen som säger att klotet skall hamna innanför kuben. Tänk efter hur det blir i två dimensioner om du väljer fyra små cirklar med medelpunkter i kvadratens hörn.

Kjell Elfström

Svar:

Något bevis för att det inte kan finnas någon enkel formel för att beräkna n! känner jag inte till. Med Stirlings formel kan man beräkna n! approximativt, se 21 maj 1997 11.24.51. Där framgår också hur man kan uttrycka n! med gamma-funktionen.

Det stämmer att antalet gånger som n! är delbart med p där p är ett primtal är

(även då p > n vilket man kan se direkt). Detta kan visas med induktion över n. Då n = 0 stämmer påståendet uppenbarligen eftersom inget primtal delar 0! = 1 och p₀ = 0.

Antag att n! är delbart med p p_n gånger. Om siffersumman för n + 1 är ett mer än siffersumman för n är p_n + 1 = p_n och n + 1 inte delbart med p varför n! och (n + 1)! är delbara lika många gånger med p. Om siffersumman inte ökar med ett är

och

för något tal k. Antalet faktorer p i (n + 1)! är k mer än antalet i n! och

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror du har missat ett x. I The Mathematics of Fermat's Last Theorem står det (med andra bokstäver) att den elliptiska kurva som definieras av

skall vara semistabil men inte modulär.

Kjell Elfström

Svar:

Placera pariserhjulet i ett koordinatsystem så dess medelpunkt är i origo. Hjulets ekvation är då

Här beror både x och y på tiden t och deriverar vi båda led med avseende på t får vi

vilket ger att xx' = - yy' och därför att

Vidare är Pernillas fart

vilket ger att

Löser vi ut (x')² ur den förra ekvationen och sätter in i den senare får vi

vilket efter multiplikation med x² kan skrivas

och eftersom x² + y² = 18² och x² = 12² blir

vilket ger att |y'| = 12pi m/min.

Kjell Elfström

Svar:

Det enda jag sade i svaret till 6 december 1998 14.44.37 var att 27 rum inte gick att besöka. Låt oss se om man kan besöka 26 rum. Av mitt förra svar framgår att om 26 rum är möjliga att besöka så måste det rum som inte besöks vara grönt. Det återstår då 13 färgade rum, 7 gröna och 6 röda. Det framgår också att vartannat besökt färgat rum måste vara grönt och vartannat rött. Eftersom vi inte kan nå några gröna rum från mittrummet är färden omöjlig. En annan lösning på ditt problem vore att byta bostad.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen är

Vi förutsätter att alla inblandade storheter är positiva och sätter x = (2s/g)^1/2. Då är s = gx²/2 och ekvationen övergår i

som efter kvadratkomplettering kan skrivas

Denna ekvation har rötterna

och eftersom x >= 0 duger endast plustecknet. Utnyttjar vi nu att s = gx²/2 får vi

Kjell Elfström

Svar:

Se 17 mars 1997 20.56.58.

Kjell Elfström

Svar:

Skillnaden mellan det exakta värdet av y(x) och det man får om man använder steglängden h är av storleksordningen h med Eulers metod, h² med Heuns metod och h⁴ vid användningen av metoden i 2 april 1997 13.47.56. För bevis av detta och för exempel hänvisar jag till elementära läroböcker i numerisk analys.

Kjell Elfström

Svar:

Vi förutsätter att f är en funktion från Rⁿ till R. Innebörden av o(||x||) (lilla ordo) är i detta fall att

där e är en funktion från Rⁿ till R sådan att e(x) går mot noll då x går mot noll. Eftersom lineära funktioner L är kontinuerliga och L0 = 0 gäller att

går mot f(u) + L0 + 0·0 = f(u) då x går mot 0 vilket betyder att f är kontinuerlig i u.

I definitionen av riktad derivata brukar man kräva att ||a|| = 1, inte att a tillhör U. Sätter vi g(t) = f(u + ta) innebär existensen av den riktade derivatan i riktningen a i punkten u att g är deriverbar i 0. Vi bildar differenskvoten

och eftersom L(ta) = tLa och ||ta||e(ta)/t går mot 0 då t går mot 0 följer det att differenskvotens gränsvärde då t går mot 0 är La.

Kjell Elfström

Svar:

Om du menar ett kommando som redovisar delstegen i Newton-Rapsons metod tror jag inte det finns något skräddarsytt sådant. Men du kan konstruera ett med hjälp av iteration. Se hjälpen i Mathcad.

Kjell Elfström

Svar:

The MacTutor History of Mathematics archive har en sida om trigonometrins historia, The trigonometric functions.

Kjell Elfström

Svar:

Lägg cylindern och konen ner, konen med spetsen i (h,0), h > 6 och med basen i yz-planet. Konen kan då fås genom att en linje genom (h,0) och (6,3) roterar kring x-axeln. Dess ekvation är (här kommer likformigheten in likväl)

Räkna nu ut denna integral som funktion av h och derivera.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionerna f(x) = e^x och g(x) = ln x definieras så att de blir varandras inverser, dvs

Av detta följer att ln e^x = x.

Vi kan också säga att ln y är ju det tal x som e skall upphöjas till för att ge talet y. I detta fall frågar vi oss alltså vad e skall upphöjas till för att ge e^x.

Kjell Elfström

Svar:

Vi skall alltså visa att g(x) = f(ax + b) är konvex. Detta klarar du säkert själv om jag visar hur du skall börja.

Kjell Elfström

Svar:

C^k(R) är mängden av alla k gånger kontinuerligt deriverbara funktioner på R. Det är väl ingen tvekan om att C^k + 1(R) är en delmängd av C^k(R) så det som återstår att visa är att om f och g tillhör C^k + 1(R) så tillhör också af + bg C^k + 1(R). Av deriveringsreglerna följer det att af + bg är k + 1 gånger deriverbar med (k + 1):a-derivatan af ^(k + 1) + bg^(k + 1) om f och g är k + 1 gånger deriverbara. Av en sats om kontinuerliga funktioner följer sedan att af ^(k + 1) + bg^(k + 1) är kontinuerlig eftersom f ^(k + 1) och g^(k + 1) är kontinuerliga.

Kjell Elfström

Svar:

Att g är udda betyder att

för alla reella tal x och att g är konvex på R betyder att

för alla reella tal x och y och alla t i [0,1]. En affin funktion g är slutligen en summa av en lineär funktion och en konstant.

Eftersom g är udda måste g(0) vara 0 och vi visar att g är lineär, dvs

för alla tal t och x. Konvexiteten ger att

då 0 <= t <= 1. Eftersom g är udda gäller för sådana t att

vilket ger att

Dessa båda olikheter ger nu att

Då t > 1 är 0 < 1/t < 1 och vi får

Multiplicerar vi båda leden med t och ersätter vi x med tx får vi den sökta likheten även för t > 1. Att den gäller även för negativa t följer av att g är udda.

Kjell Elfström

Svar:

1/4 är rationellt eftersom det är kvoten mellan två heltal. Det har ingen betydelse vilken bas vi skriver det i. Som bekant kan 1/4 skrivas som 0,25 i det decimala systemet, eftersom 1/4 = 25/100. Ser man inte det på en gång utför man en division. Hur många hela är 1/4? 4 går ingen gång i 1, alltså 0 hela. Hur många tiondedelar är det då. 10 delat med 4 är 2 med en rest på 2. Alltså 2 tiondedelar med 2 tiondedelar eller 20 hundradedelar över. 4 går 5 gånger i 20 varvid divisionen går jämnt ut. 1/4 är alltså 2/10 + 5/100.

Det är så den vanliga divisionsalgoritmen (trappan, liggande stolen mm) fungerar.

Nu gör vi likadant i systemet med basen sex, men tiondedelar, hundradedelar osv. ersätts av sjättedelar, trettiosjättedelar osv.

I basen sex kan vi alltså skriva 1/4 som 0,13.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förutsatte det i svaret till 6 december 1998 14.44.37.

Kjell Elfström

Svar:

Från början var algebra läran om hur man löser vissa typer av ekvationer. Se 6 juni 1997 13.16.13. Vid studiet av dessa utvecklades teorin i en mer abstrakt riktning och algebra har mer kommit att handla om de strukturer som därvid framkommit. Ett exempel på begrepp från den abstrakta algebran är grupp och ring. Som du känner till kan t ex heltalen adderas med varandra och man har kommit fram till vissa räkneregler för addition av heltal. När man sedan studerar de reella talen ser man att samma räkneregler gäller för addition mellan dem. Matematiker studerar många typer av objekt som i någon mening kan adderas och där likartade räkneregler gäller som för heltalen. Då vill man studera sådana operationer som t ex addition eller multiplikation och bortse från vilka objekt man faktiskt adderar eller multiplicerar. En grupp är en mängd tillsammans med en operation som har vissa grundläggande egenskaper. En ring är en mängd med två operationer som samspelar på visst sätt, t ex addition och multiplikation. Ordet algebra har i snävare mening ibland också betecknat bokstavsräkning.

Kjell Elfström

Svar:

Vill man lösa ett begynnelsevärdesproblem

numeriskt i intervallet [a,b] kan man dela in intervallet i delintervall med längden h, delningspunkterna x_j = a + jh. Man approximerar derivatan i punkten (x_n,y_n) med differenskvoten (y_n + 1 - y_n)/h = f(x_n,y_n) och får rekursionsformeln

Detta kallas Eulers metod.

I Runge-Kuttametoder beräknar man värdet av f(x,y) i flera strategiskt valda punkter och en kombination av dessa används för att ge god noggrannhet i tillskottet y_n + 1 - y_n. Ett exempel är Heuns metod som kan användas för att lösa begynnelsevärdesproblemet med ofta större noggrannhet än Eulers metod.

Den mest kända Runge-Kuttametoden redovisas i 2 april 1997 13.47.56.

Kjell Elfström

Svar:

Se 19 februari 1997 18.12.48.

Kjell Elfström

Svar:

Om a < 0 är inte ens r = sqrt(a) definierad. Skulle vi definiera den skulle vi kräva att r² = a och vi måste ta ställning till vilken sådan lösning r vi skall välja. Detta kan göras enkelt då a >= 0, då vi väljer r så r >= 0. Även om vi definierade sqrt(a) för negativa tal a skulle inte lagen sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b) gälla. Oavsett om vi sätter sqrt(-1) = i eller -i är ju sqrt(-1)sqrt(-1) = -1 medan sqrt((-1)(-1)) = sqrt(1) = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skall lindra dina kval genom att visa att inte alla rum kan besökas. Vi förutsätter att varje rum får besökas högst en gång. Börja med att färglägga rummen. Måla hörnen gröna, sidornas mittpunkter röda och de övriga vita. Färden genom huset måste då gå så att vartannat rum är färgat och vartannat är vitt. Det finns 14 färgade och 13 vita så färden måste påbörjas och avslutas i ett färgat rum om samtliga rum kan besökas. I fortsättningen bortser vi från de vita rummen och tänker oss färden som stegvisa förflyttningar från ett färgat rum till ett annat. Står du då i ett grönt rum måste du komma till ett rött nästa gång. Kan varje färgat rum besökas får antalet gröna rum alltså vara högst ett mer än antalet röda, men antalet gröna rum är 8 medan antalet röda är 6. Färden är alltså omöjlig.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att han ökar försäljningspriset med x tior där 0 <= x <= 100. Priset för de oreade skidorna är då 600 + 10x kronor per par och av dessa får han sälja 100 - x par. x par säljs till reapriset 500 kronor paret. Den totala intäkten blir alltså

och drar vi ifrån inköpspriset får vi inkomsten

Nu behöver du bara bestämma x så f(x) blir så stor som möjligt, och detta kan du göra genom att bestämma nollställena till derivatan och göra en teckenundersökning.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror nog att K skall vara den totala inköpskonstnaden under ett år.

a) Varje enhet kostar 15 kr att hålla i lager och om q/2 enheter hålls i lager blir kostnaden för detta 15·q/2 = 7,5q kronor.

b) 6000 enheter skall köpas in under året och om q enheter köps varje gång blir antalet inköpstillfällen 6000/q och eftersom kostnaden varje gång är 50 kr blir kostnaden 50·6000/q = 300000/q kronor.

Kjell Elfström

Svar:

I början av år 1 är kapitalet 2000 kr, i början av år 2 är det 2000 + 1,1·2000 kr, i början av år 3 är det 2000 + 1,1·2000 + 1,1²·2000 kr och vi inser att i början av år 12, när vi gjort den sista insättningen, är kapitalet

och enligt formeln för den geometriska summan är detta

Kjell Elfström

Svar:

Några vinklar lär man sig att exakt bestämma cosinus och sinus för i skolan.

Värdena för 0 och pi/2 är självklara, värdena för pi/4 fås med hjälp av Pythagoras sats ur en likbent rätvinklig triangel och de övriga ur en 30-60-90-triangel. Genom att använda additionsformlerna kan man få fler. T ex ger formeln

att

Om vi i formeln ovan låter y = -x får vi

vilket ger

eller om vi ersätter x med x/2 och antar att cos x/2 >= 0

Vi kan beräkna cos pi/12 med denna formel och få att

Att detta är samma värde som vi fick innan överlåter jag åt dig att bevisa. Med hjälp av formeln för halva vinkeln kan man alltså uttrycka cos (och sin med motsvarande formel för sin) för x/2 med hjälp av kvadratrotutdragningar om man kan göra detta för vinkeln x. Att man kan uttrycka cos och sin för vinkeln pi/n med kvadratrotsutdragningar är ekvivalent med att man kan konstruera en regelbunden n-hörning med passare och linjal och detta är i sin tur ekvivalent med att

för något naturligt tal k och olika Fermatprimtal p₁, p₂,..., p_l. Ett Fermatprimtal är ett primtal på formen 2^2m + 1 ((2 upphöjt till (2 upphöjt till m)) + 1 för er som använder Internet Explorer). De hittills kända Fermatprimtalen är 3, 5, 17, 257 och 65537. Genom att utnyttja att

kan man bestämma cos 2pi/5 och därför även cos pi/5 exakt. Formeln för den geometriska summan ger nämligen att

och med a = z + z⁴ och b = z² + z³ får vi

Sätter vi in b = -1 - a i denna ekvation får vi

Rötterna till denna ekvation är (±5^1/2 - 1)/2 och eftersom

får vi att cos 2pi/5 = (5^1/2 - 1)/4.

Kjell Elfström

Svar:

Låt den lägsta punkten ha x-koordinat 0 och betrakta ytterligare en punkt med x-koordinat x på kurvan. På den delen av repet som ligger mellan dessa punkter verkar dels tyngdkraften rs, där r är konstant och s är längden, dels spänningskrafter i ändpunkterna som kan delas upp i en horisontell del och en vertikal del. Låt H₀ och H(x) var storleken av de horisontella delarna och V₀ och V(x) storleken av de vertikala. Då är V₀ = 0. Eftersom repet är i jämvikt är H(x) = H₀. Vidare är V(x) = rs. Eftersom spänningen verkar i tangentens riktning är

Deriverar vi de båda ytterleden får vi

Kjell Elfström

Svar:

Serien kan skrivas

Enligt svaret till frågan den 9 april 1998 12.26.32 blir alltså seriens summa (1/3)/(1 - 1/3) = 1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Både Maple och Mathcad finns för Mac. Se också Math Shareware and Freeware.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt svaret på frågan den 25 november 1998 22.45.14 kan man inte uttrycka omkretsen av en ellips i elementära funktioner. I ett lämpligt koordinatsystem kan ellipsens ekvation skrivas

och löser vi ut y får vi

På grund av symmetri blir arean

Denna integral övergår vid substitutionen x = asin t i

Vid beräkningen av integralen utnyttjar man att cos²t = (cos 2t + 1)/2.

Kjell Elfström

Svar:

Svaret på din fråga är ja. Matematik är ett stort område med intensiv forskning i många specialiserade grenar.

Kjell Elfström

Svar:

Det är riktigt att volymen av en cirkulär cylinder beräknas på det sättet.

Kjell Elfström

Svar:

Hur man räknar ut arean av en polygon där koordinaterna för hörnen är kända kan du se i 2 december 1998 09.57.02.

Arean av en regelbunden n-hörning, i vilken avståndet från medelpunkten till ett hörn är r är (n/2)r²sin (2pi/n). n-hörningen består nämligen av n kongruenta likbenta trianglar, där de lika långa sidorna har längden r och vinkeln mellan dem är 2pi/n. Arean av en sådan triangeln kan fås med hjälp av areasatsen och är (1/2)r²sin(2pi/n).

Kjell Elfström

Svar:

Detta är ingen fråga om matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte lyckats lösa detta problem och har tyvärr inte heller funnit något i litteraturen.

Kjell Elfström

Svar:

Semi- är av grekiskt ursprung. Den latinska motsvarigheten är hemi-. En hel är på grekiska hen- och på latin uni-. En och en halv känner jag bara den latinska motsvarigheten till: seski-.

Delar går väl bra att uttrycka i SI-systemet. Kilo kommer från det grekiska ordet för tusen, medan milli kommer från det latinska. 1 km = 1000 m, 1 mm =  1/1000 m. Se också 7 november 1997 14.24.20.

Kjell Elfström

Svar:

Arc översätts med båge och är vanligen en sammanhängande del av en cirkel. Point heter punkt. Polygon heter polygon eller månghörning på svenska. Jag vet inte om polyarc och polyline är översatta till svenska. Det är begrepp som inte är särskilt vanliga inom matematiken.

Kjell Elfström

Svar:

a) Om X_B är den karakteristiska funktionen till B så ges den karakteristiska funktionen X_A till A av

b) Om ekvationen

har en lösning om och endast om n är i B så har ekvationen

en lösning om och endast om n är i A.

Kjell Elfström

Svar:

På en enkel miniräknare kan du nog inte lösa problemet genom att "bara trycka på en knapp". En algoritm som enkelt kan programmeras är följande:

1. Addera klockslagen
2. Drag ifrån 24 om resultatet är större än eller lika med 24

Kjell Elfström

Svar:

Ur en viss synvinkel är alla cirklar lika: förhållandet mellan omkretsen och radien är 2pi. När man studerar egenskaper och begrepp som är oberoende av cirkelns faktiska storlek kan man för enkelhets skull lika väl anta att den har radien 1. Vinklar studeras med fördel i en enhetscirkel, man använder ju en enhetscirkel för att definiera cosinus och sinus.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte tillgång till Matematik 2000. Var vänlig återkom med uppgiften formulerad.

Kjell Elfström

Svar:

Orienteringen är moturs om och endast om

är positivt. Polygonens area är hälften av absolutbeloppet av detta uttryck.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att f ⁽⁴⁾ är kontinuerlig på intervallet [a,b] och låt m och M vara det minsta respektive det största värdet av f ⁽⁴⁾ i intervallet. Dela in [a,b] i ett jämnt antal delintervall [x_k,x_k + 1], k = 0,1,...,2n - 1, alla med längden h. Simpsons formel säger då att

där

För att bevisa detta utnyttjar vi att

Bilda

Med g(x) = f (x_{2k + 1} + x) är

och sätter vi

är R_k = R(h). Om 0 <= s <= h är

och enligt medelvärdessatsen är

för något tal c mellan -s och s vilket ger att

Vi observerar att

Låt nu t vara ett tal i [0,h] och integrera den sista olikheten från 0 till t. Vi får då att

Nu byter vi bokstav och integrerar olikheten

från 0 till t och får

Gör vi detta en gång till får vi

och speciellt får vi då t = h att

Eftersom (b - a)/n = 2h och

är

Detta visar också att 180R/((b - a)h⁴) är ett tal mellan m och M och eftersom f ⁽⁴⁾ är kontinuerlig finns ett tal d mellan a och b sådant att

vilket är detsamma som

Om, slutligen, B är det största värdet av |f ⁽⁴⁾| i [a,b] är -B <= m och M <= B varför vi får

Observera att ditt n är dubbelt så stort som mitt och att ditt M motsvarar mitt B.

Kjell Elfström

Svar:

Kendall Atkinson: Elementary Numerical Analysis, Wiley är en elementär bok i numerisk analys. Där tas sådana saker upp som Taylorpolynom, felfortplantning, numerisk ekvationslösning med Newton-Raphsons metod bl a, interpolation med polynom och spline-funktioner, approximation av funktioner, numerisk integration och derivering och numerisk lösning av differentialekvationer med Eulers metod och Runge-Kutta-metoder.

Kjell Elfström

Svar:

Det bästa svar jag kan ge är nog att man får lära sig av de exempel som förhoppningsvis givits i den kurs du skall tentera. Ofta får man chansa, dvs prova med en substitution x = g(t) som verkar förenkla integranden och hoppas att g'(t)dt inte trasslar till det för mycket.

Vanligt förekommande substitutioner, som man nog måste ha lärt sig är t ex

Kjell Elfström

Svar:

a) är den lätta delen. Alla undergrupper och kvotgrupper till en cyklisk grupp G = <g> är cykliska. För varje delare d till n finns en undergrupp av ordningen d. Om n = de genereras en sådan av g^e. Motsvarande kvotgrupp är cyklisk av ordningen e.

b) är svårare. Man kan utnyttja kinesiska restklassatsen som säger att

där n = p₁^i₁p₂^i₂···p_m^i_m är primfaktoriseringen av n.

c) Jag kan inte se något samband. Z_n^* är normalt inte cyklisk och dess ordning är fi(n) där fi är Eulers fi-funktion.

Återkom gärna och ange då varifrån problemet kommer, så har vi kanske möjlighet att ge dig bättre hjälp.

Kjell Elfström

Svar:

Om man kräver att det reducerade systemet skall innehålla ett minimalt antal rader tror jag inte problemet är löst. Se svaret till frågan den 13 oktober 1998 14.15.46, som handlar om reducerade stryktipssystem. Den ursprungliga frågan är från den 15 april 1997 17.46.44.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström