Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar november 1998

Svar:

Jag lyckades räta ut de tre frågetecknen genom att gå till Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences AT&T.

Kjell Elfström

Svar:

I varje stad har man att välja om man skall fortsätta åt vänster L, åt höger R eller stanna kvar 1. Det gäller då att

Det gäller nu att med dessa räkneregler uttrycka 1 som en produkt av tjugo L och R i en viss ordning, så att ingen delprodukt blir 1.

En lösning är

Att i det allmänna fallet avgöra huruvida en graf har Hamiltoncykler är inget lätt problem och några generella metoder som kan användas praktiskt för att lösa detta finns inte. Det hör till klassen "NP-complete". Jag ber att få hänvisa till böcker om grafteori.

Kjell Elfström

Svar:

Det är riktigt att

om a och b är reella tal. Detta tas ofta som definition.

Kjell Elfström

Svar:

Om det regnar i de jämna månaderna utom februari så gör det det oavsett om de är sammanhängande eller ej. Ordningen är oväsentlig, det väsentliga är att det inte finns några hål.

Kjell Elfström

Svar:

Siffrorna i det hexadecimala systemet är 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F där de första tio har sin vanliga betydelse och A-F står för 10-15. Eftersom basen är 16 är

Kjell Elfström

Svar:

I svaret till frågan den 14 oktober 1997 14.13.54 ser du hur den ser ut. Söker du efter Taylor hittar du en del frågor med tillämpningar. Se också Brook Taylor och Colin Maclaurin, The MacTutor History of Mathematics archive. Taylors formel finns omnämnd och bevisad i de flesta elementära läroböcker i envariabelanalys.

Kjell Elfström

Svar:

a) Satsen säger ju att varje ickekonstant komplext polynom f har minst ett komplext nollställe, så det är klart att vi skall anta att f inte är konstant när vi bevisar satsen. Vi vill visa att f(z) = 0 för något komplext tal z och antar att så inte är fallet, dvs att f(z) <> 0 för alla komplexa tal z.

b) f är analytisk i hela C. Tricket för att genomföra beviset är att införa funktionen g(z) = 1/f(z). Att summor, skillnader, produkter och kvoter, där nämnaren är skild från 0, av analytiska funktioner är analytiska visas i alla elementära läroböcker om analytiska funktioner. Bevisen går till på samma sätt som när man visar derivationslagarna i reell analys.

c) Innebörden är att till varje positivt tal epsilon finns det ett positiv tal R sådant att om |z| > R så är |g(z)| < epsilon. Se 2 april 1997 13.47.56. Där visas att f(z) (som heter p(z) där) går mot oändligheten då |z| går mot oändligheten. Då g(z) = 1/f(z) följer det att g(z) går mot 0 då |z| går mot oändligheten.

d) Vi vill visa att g är begränsad i hela C. Eftersom g(z) går mot 0 då |z| går mot oändligheten kan vi t ex låta epsilon vara 1 och konstatera att |g(z)| < epsilon = 1 utanför någon cirkel med radien R. I den kompakta cirkelskivan |z| <= R är g begränsad eftersom g är kontinuerlig, dvs det finns en konstant K sådan att |g(z)| <= K då |z| <= R. Detta ger att |g(z)| <= 1 + K för alla z.

e) En funktion som är analytisk och begränsad i hela C måste vara konstant. Vi har alltså visat att g är konstant och därmed att f är konstant vilket motsäger antagandet att f inte är konstant och f(z) <> 0 för alla z. f är alltså antingen konstant eller så är f(z) = 0 för något z.

Kjell Elfström

Svar:

Här följer Peanos axiomsystem för de naturliga talen.

1. Noll är ett tal.
2. Om a är ett tal så är efterföljaren till a ett tal.
3. Noll är inte efterföljaren till något tal.
4. Två tal med lika efterföljare är lika.
5. (Induktionsaxiomet.) Om en talmängd S innehåller Noll och efterföljaren till varje tal i S så innehåller S varje tal.

• a + 0 = 0
• a + Sb = S(a + b)

Därefter kan man definiera heltalen (inklusive de negativa). Detta kan göras på följande sätt:
Betrakta mängden av alla par (m,n) av naturliga tal och säg att (m₁,n₁) är ekvivalent med (m₂,n₂) om

Detta är en ekvivalensrelation och heltalen införs som mängden av ekvivalensklasser. Tanken är att klassen som innehåller (m,n) skall vara talet m - n. När heltalen väl är införda inför man de rationella talen på ungefär samma sätt utgående från heltalen. Skillnaden är den att (p₁,q₁) och (p₂,q₂) nu säges vara ekvivalenta om p₁q₂ = p₂q₁.

Därefter införs de reella talen som ekvivalensklasser av Cauchyföljder av rationella tal och slutligen de komplexa talen som par av reella tal.

De räkneregler och ordningslagar som brukar anges som axiom för t ex de reella talen kan då bevisas utifrån Peanos axiom.

Sök också efter axiom med Fråga Lunds sökmaskin.

Kjell Elfström

Svar:

Av definitionen

får man att tan är strängt växande i (-pi/2,pi/2). Eftersom både sin och cos är kontinuerliga och cos x > 0 i intervallet är tan kontinuerlig där. Vidare gäller att tan x går mot oändligheten då x går mot pi/2 och mot -oändligheten då x går mot -pi/2. Detta visar påståendet.

Kjell Elfström

Svar:

En tresidig polygon är en triangel. Tänk först på hur man avgör om en punkt befinner sig i den triangel som har sina hörn i punkterna O = (0,0), A = (1,0) och B = (0,1) i ett vanligt ortonormerat koordinatsystem. Förutom av axlarna begränsas triangeln av linjen x + y = 1, så villkoret att en punkt P = (x,y) befinner sig i triangeln är att

Detta resonemang utnyttjar inte att axlarna är vinkelräta och att samma skala använd på båda axlarna så vi behöver bara införa ett nytt koordinatsystem i vilket hörnen får koordinaterna (0,0), (1,0) och (0,1). Inför därför vektorerna

och bestäm x och y så att

Villkoret för att P skall ligga i triangeln blir nu det samma som innan.

Kjell Elfström

Svar:

Självklart får man det. Fysikerna uttrycker naturlagar i ett matematiskt språk. Om dessa naturlagar korrekt beskriver verkligheten blir alla matematiskt härledbara konsekvenser också korrekta beskrivningar.

Kjell Elfström

Svar:

Vi har

vilket ger att

och deriverar vi båda led (vi tänker oss att samtliga storheter beror på någon gemensam variabel) får vi

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om det är annuitetslån du avser, men jag förutsätter det. Såvitt jag vet tillämpar bankerna samma formel oavsett om man betalar en gång om året eller om man betalar periodvis på något annat sätt. Skall man betala av ett lån på K kronor på n månader till räntesatsen p% per år är den enda skillnaden mot att betala av lånet på n år med en betalning om året att räntesatsen skall divideras med 12.

Om a är annuiteten (det kallas så även om det är andra perioder än år), K är skulden, n är antalet perioder att avbetala lånet på, m är antalet perioder per år och r = 1 + p/(100m) där p är räntesatsen i procent per år gäller

Kjell Elfström

                    |0 0 1|^n   |0|
[z^n]G(z)=|1 1 1| * |0 1 1|   * |0|
                    |1 1 1|     |1|

[z^n]G(z)=1.22*2.225^n-0.28*(-0.80)^n+0.06*0.55^n

Min poäng är att det kan vara av intresse att slippa leta rötter om det bara är [z^n]G(z) man vill räkna ut för något n!
Andreas Björklund

Svar:

Vi har

vilket ger att

Identifierar vi koefficienter får vi att

där den sista ekvationen är en differensekvation som kan skrivas

där A är matrisen

Vi får genom upprepad användning av formeln att

vilket är ett samband av det efterfrågade slaget. Exakt hur man får matrisen i frågan på ett naturligt sätt kan jag inte se, men ett basbyte bör kunna ordna den saken.

Kjell Elfström

Svar:

p% av a är b, där

Detta kan skrivas

och triangeln bör vara

Håll nu bara för den storhet som söks.

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 november 1998 09.09.49.

Kjell Elfström

Svar:

Se Graham's number.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte ge dig någon enkel algoritm. Lösningen måste bygga på att man känner skärningspunkterna till de två polygonerna. Varje kant i polygonen utgörs av ett linjestycke AB. Detta linjestycke ligger på en linje med en parameterframställning

En punkt (x,y) ligger på linjestycket om och endast om det finns ett tal s, 0 <= s <= 1, som uppfyller ekvationen. På så sätt kan man avgöra om eventuella skärningspunkter mellan en linje som innehåller en kant på den ena polygonen och en linje som innehåller en kant på den andra ligger på polygonerna.

För att sedan bestämma vilka delar av den ena polygonen som ligger inuti den andra kan man utnyttja att det inre av den första polygonen ges av ett antal lineära olikheter och välja ut punkter på den andra, t ex mittpunkter mellan två skärningspunkter på samma kant, och testa om de ligger inuti den första polygonen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om det finns någon vedertagen praxis, men -1/2 är ett rimligt svar. Då betraktar man proportionen som kvoten mellan talen. Ett annat är 1/2 där man i stället tar kvoten mellan absolutbeloppen. Har man en figur i ett koordinatsystem så kan skillnaden mellan två koordinater vara t ex -2, vilket uttrycker att avståndet mellan punkterna är 2 och 1/2 kan då vara förhållandet mellan två sträckor.

Kjell Elfström

Svar:

Vi tar oss gärna tid att besvara frågor som denna. Däremot har vi ibland inte ansett att vi har tid att lösa tävlingsproblem och tankenötter. Vitsen med sådana är ju att ge lösarna glädjen av att ha löst uppgiften och den vill vi inte ta ifrån dem.

En algoritm är ett program (inte nödvändigtvis ett datorprogram) för att göra t ex en beräkning. Ett exempel är divisionsalgoritmen, den uppställning man använder när man utför en division. Andra exempel är Euklides algoritm för att bestämma den största gemensamma delaren till två heltal och den algoritm som används för att RSA-kryptera meddelanden.

Om matematiken bakom RSA-kryptering kan du läsa på The Mathematical Guts of RSA Encryption där det också finns en länk till ett exempel. Det verkar inte finnas så mycket information på svenska men sök på Internet efter crypto, encryption, RSA eller dylikt.

Kjell Elfström

Svar:

I ett lämpligt koordinatsystem har en ellips ekvationen

Omkretsen L ges av

och det är inte möjligt att uttrycka de primitiva funktionerna till denna integrand med hjälp av elementära funktioner. Man är alltså hänvisad till numeriska metoder för att beräkna integralen.

Kjell Elfström

Svar:

Det bästa sättet att lära sig gymnasiematematiken på är nog fortfarande genom att läsa böckerna som används i undervisningen på gymnasiet och att lösa uppgifterna där. Jag känner inte till någon sida på Internet som behandlar gymnasiematematiken på ett så metodiskt sätt.

Kjell Elfström

Svar:

I ett lämpligt koordinatsystem har en parabel ekvationen y = x² och ett parabelsegment är den del av parabeln som ligger under linjen y = h, där h > 0 är en konstant. Svaret är alltså nej.

Kjell Elfström

Svar:

Se 22 januari 1997 08.43.57.

Kjell Elfström

Svar:

Om f ett polynom över t ex Q med endast reella nollställen är alltså frågan om ekvationen f(x) = 0 kan lösas med enbart reella rotutdragningar. Svaret är i allmänhet nej. I själva verket är det så att om f är ett irreducibelt polynom över Q med endast reella nollställen så är detta möjligt om och endast om [K:Q] är en 2-potens. Här är K sönderfallskroppen (splitting field) av f över Q. Se t ex I. M. Isaacs, Solutions of polynomials by real radicals, The American Mathematical Monthly (1985) Vol. 92, No. 8, 571-575.

Kjell Elfström

Svar:

Med fem punkter (x_i,y_i), i = 1,2,3,4,5 på ellipsen ger sambandet

Kjell Elfström

Svar:

Ett sätt att bevisa formeln är naturligtvis med induktion. Ett annat är att utnyttja att

och att

Bestäm nu koefficienten framför xⁿ i det senare uttrycket genom att utveckla kvadraten och använda att (ⁿ_k) =  (ⁿ_n - k) och utnyttja sedan att koefficienterna framför xⁿ i de båda utvecklingarna av (1 + x)²ⁿ skall vara lika.

Upplysningar om Blaise Pascal kan du få på Indexes of Biographies i The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Svar:

140000/(15/100) = 140000·100/15.

Kjell Elfström

Svar:

Se 24 november 1998 11.43.40.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, t ex denna, se 4 november 1998 14.02.20.

Vad gäller svaret på den andra frågan ber jag att få hänvisa till Egyptian mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att

Genom att skriva 10 = 3^.3 + 1 får vi med hjälp av binomialsatsen att

för något heltal d_k . Detta ger att

för något heltal d och därför är a är delbart med 3 om och endast om siffersumman a_n + a_n - 1 + ... + a₀ är delbar med 3. För att bevisa påståendet för 9 är det bara att tänka på 3^.3 som 9 i stället.

Enklast bevisas dylika påståenden med hjälp av kongruensräkning.

Jag tror inte det är känt vem som kom på detta.

Kjell Elfström

Svar:

Var så god!

Vill du ha ännu fler ber jag att få hänvisa till The Pi Page.

Kjell Elfström

Svar:

Induktionsaxiomet säger att om det för ett påstående P_n gäller att

1. P₀ är sant
2. för varje heltal n >= 0 gäller att om P_n är sant så är P_{n + 1} sant

Man kan visa att P _n är sant för alla heltal n >= n₀ genom att börja induktionen med n₀ i stället för 0.

Påståendet P_n i frågan är

och man skall visa att P_n är sant då n >= 1.

Låt oss kalla vänsterledet i P_n för VL_n och högerledet för HL_n. Vi skall börja med att visa att

och direkt uträkning ger att båda leden är lika med 3.

Nu antar vi att VL_n = HL_n där n >= 1 (induktionsantagandet). Då är

Enligt induktionsantagandet är alltså

Vi har

varför VL_{n + 1} = HL_{n + 1}. Enligt induktionsaxiomet har vi därmed bevisat påståendet.

Kjell Elfström

Svar:

Du får återkomma med ett förtydligande av frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Se 2 oktober 1998 10.55.44.

Kjell Elfström

Svar:

Om man med summa menar den formella summa som ingår i begreppet serie bör en serie vara summan av en (oändlig) talföljd. Detta är dock ingen allvarlig inskränkning, ty en ändlig summa kan lätt omvandlas till en serie genom att man lägger till en oändlig följd av nollor.

Kjell Elfström

Svar:

Se 28 januari 1997 10.06.25.

Kjell Elfström

Svar:

Skrivningarna varierar ju mellan olika universitet och lämpligen bör du försöka få tag i skrivningar från det universitet där du tänker tentera. På vår institution har vi publicerat två övningsskrivningar i Matematik 1 alfa, men denna kurs innehåller både analys och algebra och därför ungefär första halvan av vad en analyskurs brukar innehålla. Se Matematik 1 alfa - ht 98.

Kjell Elfström

Svar:

Math Soft har en fyllig redogörelse för det gyllene snittet. Se The Golden Mean.

Kjell Elfström

Svar:

Division är den inversa operationen till multiplikation. Om b är ett tal skilt från noll så definieras 1/b som de tal så att b^.1/b=1. a/b definieras sedan som a^.1/b.

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag vet inte vad ni menar med proportionen mellan två tal. Ni får precisera frågan.

Stefan Jakobsson

Svar:

Osbornes regel säger att för varje trigonometrisk formel finns det en motsvarande hyperbolisk formel.. För att översätta ett trigonometrisk formel till en hyperbolisk formel går man till väga på följande sätt: ersätt cos med motsvarande cosh och sin med motsvarande sinh förutom när det är en produkt av två sin som den ersätts med minus produkten av motsvarande sinh. Tillämpar vi detta på cosh(x+y) och sinh(x+y) får vi

och

Dividerar vi med varandra får vi

vilket är additionsformeln för tanh(x+y)(man hade också kunna använt Osbornes regel direkt). För tanh(x/2) har vi

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag antar att räntan adderas till kapitalet i slutet av året och att insättningen av pengar sker i början av året.

De 1000 kr man sätter in i början av första året har vid slutet av år fem vuxit till 1000*1,05⁵ kr. De 1000 kr man sätter in i början av andra året har vid slutet av år fem vuxit till 1000*1,05⁴ kr och så vidare. Adderar vi ihop alltsammans så får vi det totala beloppet vid slutet av år fem till

Stefan Jakobsson

Svar:

Låt (x₁,y₁), (x₂,y₂),...,(x_n ,y_n) vara n-hörningens hörn när randen genomlöps motsols. För att formlerna ska bli snygga låter vi (x_n+1 ,y_n+1)=(x₁,y₁). Vi behöver Greens formel: Om D är ett område i planet och P(x,y)och Q(x,y) är deriverbara funktioner så har vi

Om vi sätter Q(x,y)=x och P(x,y)=0 så är Q'_x(x,y)=1 och P'_y(x,y)=0 och vi får arean av området. Vi parametriserar randen mellan (x_j ,y_j) och (x_j+1 ,y_j+1), x=x_j+t (x_j+1-x_j)och y=y_j+t (y_j+1-y_j). Beräknar vi arean med Greens formel får vi

För att få fram tyngdpunkten behöver vi momenten

och

Med samma metod som ovan får man resultaten

och

Tyngdpunkten är (M_x/A , M_y/A).

Stefan Jakobsson

Svar:

För att inte blanda ihop derivata och oljedjup så betecknar jag oljedjupet med h.

Mängden olja V i tanken är en funktion av oljedjupet h. Enligt kedjeregeln så har vi

Vi behöver alltså beräkna derivatan V'(h). Låt A(h) beteckna arean av den fria oljeytan. Denna yta är en rektangel med samma längd l=2,44 som cylindern och bredden är enligt Pythagoras sats 2(2Rh-h²)^1/2 där R=0,62 är radien på cylindern. Detta ger att A(h)=2l(2Rh-h²)^1/2. Volymen V(h) ges sedan av integralen

Enligt analysens fundamentalsats är V'(h)=A(h). Då oljedjupet är 0,32 så är V'=A=2,64 m² och oljenivån stiger då med hastigheten 0,0017 m/s.

Stefan Jakobsson

Daniel Jonåker

Svar:

Vi börjar med fallet att ellipsen är centrerad kring origo. Ekvationen för en godtycklig ellips centrerad kring origo kan skrivas

Ellipsens storaxel och lillaxel har samma riktning som egenvektorerna till matrisen

och längderna till storaxeln och lillaxeln är ett genom egenvärdena. Det behövs alltså tre parametrar a,b och c för att bestämma ellipsens form så om vi har tre punkter på ellipsen kan vi beräkna a,b och c genom att lösa ett linjärt ekvationssystem.

Om vi flyttar ellipsen så att centrum istället hamnar i (x₀,y₀) så blir ekvationen för ellipsen

Det är nu fem obekanta a, b, c, x₀ och y₀ som skall beräknas och för att klara det behöver punkter på ellipsen. Det är nu betydligt jobbigare att beräkna parametrarna. Man kan börja med att reducera bort parametrarna a,b och c. Sedan har man dock kvar två jobbiga ekvationer i x₀ och y₀. Dessa löses nog lämpligen numeriskt.

Stefan Jakobsson

Svar:

Sätt f_n(x)=e^-n p_n(x) och derivera f_n med avseende på x. Vi får (observera att Dp_n(x)=p_n-1(x))

Om n är jämnt så ser vi att Df_n(x)<0 för alla x förutom noll vilket innebär att f_n är strängt avtagande. Eftersom gränsvärdet av f_n(x) är 0 då x går mot oändligheten så är f_n(x)>0 för alla x vilket i sin tur medför att p_n(x)>0 ty exponentialfunktionen är alltid positiv.

Om n är udda så konstaterar vi först att p_n(x)>=1>0 för alla x>=0 (detta gäller i och för sig för jämna n också men vi behövde inte anväda det då)så p_n har inga positiva nollställen. Eftersom f_n(x) går mot -oändligheten då x går mot -oändligheten och f_n(0)=1 så ger satsen om mellanliggande värden att f_n har minst ett nollställe på negativa axeln(vi har här använt att f_n är kontinuerlig). Av (*) får vi att f_n är strängt växande för negativa x så det finns bara ett nollställe för f_n och därmed också för p_n.

Stefan Jakobsson

Svar:

Detta var en mycket bra fråga. Det är väldigt jobbigt. Jag orkar nog bara en vecka till. Men tänk inte på oss utan fortsätt att skicka in frågor.

Stefan Jakobsson

Svar:

Detta är ett standardresultat i linjär algebra som man kan finna i många böcker i ämnet. Här får du två referenser på svenska: Lineär algebra med vektorgeometri av Anders Tengstrand och Lineär algebra av Karl Gustav Andersson.

Stefan Jakobsson

Svar:

Denna fråga är det omöjligt att ge ett uttömmande svar på eftersom linjär algebra och n-dimensionell geometri har så otroligt många tillämpningar både inom matematiken och i andra ämnen. Jag hoppas du nöjer dig med några exempel.

1) Datorgrafik och bildanalys. Exempelvis när man beräknar två dimensionella projektioner av tre dimensionella objekt. Den linjära algebran är datorgrafikens viktigaste teoretiska verktyg.

2) Numerisk lösning av differentialekvationer. Ofta när man löser ordinära och partiella differentialekvationer numerisk så dyker det upp väldigt stora linjära ekvations system som man måste lösa.

3) Minsta kvadratmetoden ett effektivt och mycket använt sätt att anpassa polynom (ibland används också andra typer av funktioner) till mätdata så att polynomet ansluter så bra som möjligt till den givna datamängden. För att hitta polynomet använder man linjär algebra.

Stefan Jakobsson

Svar:

Se någon lärobok i analys där de trigonometriska funktionerna definieras t.ex Envariabelanalys av Hellström, Morander och Tengstrand på Studentlitteratur. Det brukar också finnas i gymnasieskolans matematikböcker.

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag klarar inte heller att hitta någon primitiv funktion och det är inte ens säkert att primitiven kan uttryckas i elementära funktioner. Men numeriskt kan man ju alltid räkna. Arean är approximativt 7,05495610.

Stefan Jakobsson

Svar:

En potensfunktion x^r har x^r+1/(r+1) som primitiv. Använder vi detta får vi att samtliga primitiver till funktionen ovan kan skrivas

där C är en konstant.

Stefan Jakobsson

Svar:

Gör vi substitutionen t=ln(x) får vi dt=1/x dx så

Integrera sedan partiellt (integrera t och derivera ln(1+t))

där är C en godtycklig konstant.

Nu är det bara att substituera tillbaka. Samtliga primitiva funktioner kan alltså skrivas

Stefan Jakobsson

Svar:

Serien divergerar faktiskt. För att visa detta kan vi använda integralkriteriet som säger att om vi har en positiv och monotont avtagande funktion f och en talföljd som definieras av a_n=f(n) då konvergerar summan

om och endast om integralen

konvergerar. I vårt fall sätter vi f(x)=1/x. integralen_{[1 till R]} 1/ x.dx=ln(R) går mot oändligheten då R går mot oändligheten. Integralen är alltså divergent och därmed också summan.

Stefan Jakobsson

Svar:

För denna uppgift behöver vi formeln för geometrisk serie

om |x|<1. Det är nu bara att tillämpa denna formel på din uppgift

summan_{[k=1 till oändligheten]} (2/3)^k=2/3summan_{[k=0 till oändligheten]} (2/3)^k=(2/3)/(1-(2/3))=2.

Stefan Jakobsson

Svar:

Nej, den är inte konvergent. Däremot kan man säga att 1 och -1 är hopningspunkter för följden.

Stefan Jakobsson

Svar:

Det är alldeles för tidsödande att svara på sådana här tankenötter. Men till alla er som gillar att grubbla på tankenötter så finns tidskrifterna Elementa och Normat. De innehåller, förutom artiklar om matematik, fysik och kemi, också tankenötter och tävlingsproblem från gymnasieskolornas matematiktävling och från matematikolympiader. Lösningar till problemen brukar publiseras i nästkommmande nummer (så att man inte ska frestas att se på lösningarna för tidigt).

Stefan Jakobsson

Svar:

Se ovanstående fråga.

Stefan Jakobsson

Problem 1: Att beräkna avståndet mellan två punkter där man vet latitud och longitud för båda punkterna. (För längder upp till 600 km kan man använda Gauss' medelbreddsformel)

Problem 2: På ellipsoidens yta kan man lägga vektorer med en startpunkt, riktning och längd. När man har två vektorer så vill jag veta vart skärningspunkten ligger (om det finns någon).

Problem 3: En vektor och en punkt. I det fallet så vill jag veta vid en ortogonal beräkning vart på vektorn den sker och de olika längderna som kan vara intressant.
Kjell

Svar:

Ditt problem består i att numerisk beräkna geodetiska kurvor på en ellipsoid. Geodetiska kurvor är motsvarigheten till räta linjer i planet i den meningen att om vi har två punkter på kurvan så är den närmasta vägen mellan dem den geodetiska kurvan själv. I specialfallet att vi har en sfär så är lösningen välkänd och då är geodeterna storcirklar vilket är cirklar på sfären med samma radie och centrum som sfären själv. Det allmänna fallet med en ellipsoid är betydligt krångligare. Man får nog lösa differentialekvationen för de geoderiska kurvorna numeriskt. Ekvationerna för geodetiska kurvor är dock välkända och man kan finna i de flesta böcker i differentialgeometri. Men det lär finnas programvara. Se 28 november 1997 16.41.42 och 20 november 1997 21.51.32 .

Boken Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces av Alfred Gray, CRC Press, innehåller många exempel på datorberäkningar på mångfalder med datorprogrammet Mathematica. Den innehåller bland annat hur man beräknar geodeter.

Stefan Jakobsson

Svar:

Om vi har en tredjegradsekvation så kan man efter en enkel substitution få den på normalform

Inför diskriminanten D=(q/2)²+(p/3)³. Det gäller då att tredjegradsekvationen har tre reella lösningar om D<0, två eller en om D=0 och en om D>0. Detta kan man visa ganska enkelt genom att studera polynomet R(x)= x³+px+q eventuella max och minpunkter. Det fallet du refererar till motsvarar D<0 och polynomet har då tre reella nollställen. Då är ju också p<0. Gör variabelbytet x=(-4p/3)^1/2y. Vår tredjegradsekvation kan då skrivas om till

där r=3(q/p)(-3/(4p))^1/2. Använder vi diskriminant villkoret D<0 får man att |r|<1 dvs r=cos(t) för någon vinkel t. Jämför man detta med den trigonometriska formeln

så ser man att lösningarna är y=cos(t/3), y=cos((t+2pi)/3)och y=cos((t+4pi)/3). Detta kan jämföras med Cardanos formel där rötterna i det här fallet innehåller komplexa tal. Se 18 mars 1997 02.44.41 .

En referens är T. Nagell, Lärobok i algebra, Almqvist och Wiksell, 1957.

Stefan Jakobsson

Svar:

Tack för hjälpen.

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag hänvisar till Fråga astronomen .

Stefan Jakobsson

Svar:

På The Pi Page finns det en hel del fakta om pi. Där kan ni bland annat få reda på en godtycklig decimal av pi:s 2,5 miljoner första decimaler. 1997 beräknade Kanada och Takahashi 51,5 miljarder decimaler så antalet kända decimaler är något fler än vad ni båda trodde.

Stefan Jakobsson

Svar:

Om a är skild från noll så har inte funktionen någon Laurantutveckling kring a eftersom funktionen (z²-a²)^1/2 inte är analytisk i en omgivning av a. Om a är noll så är funktionen 1/z vilket också är Laurentutvecklingen i detta fall.

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag finner det troligt att man vid utdelning av epostadresser ser till att inte två personer får samma adress men för uppgiftens skull så antar jag utdelningen sker helt slumpmässigt.

Sannolikheten för att två personer skall få samma adress är 1/26⁴=1/456976. Antag att det jobbar N stycken personer på företaget. Då kan man ju fråga sig vad sannolikheten för att minst två personer skall få samma adress. Den komplementära händelsen är att alla får olika adress. Sannolikheten för detta är 26⁴ !/(26^4N.(26⁴-N)! )så sannolikheten för att minst två skall få samma adress är 1-26⁴ !/(26^4N.(26⁴-N)! ). Se också 19 november 1997 20.42.10 där räkningarna motiveras mer.

Stefan Jakobsson

Svar:

En karakterisering av ellipser är att summan avstånden från de båda brännpunkterna till en punkt på ellipsen är konstant. Om vi låter brännpunkterna ligga i (-a,0) och (a,0) och låter summan av avstånden vara 2l (för att det skall bli någon ellips så måste a<l). För alla punkter (x,y) på ellipsen så gäller enligt Pythagoras sats att

Kvadrerar vi båda sidorna får vi

Detta kan skrivas om till

Kvadrerar vi ytterligare en gång får vi efter förenkling

vilket också kan skrivas

där A=(l²-a²)^1/2, vilket är ekvationen för en ellips.

Stefan Jakobsson

Svar:

Se 14 november 1998 18.46.57 .

Stefan Jakobsson

Svar:

Eulers polyedersats säger följande: Om vi har en polyeder och låter f vara antalet sidor(faces på engelska därav f), e vara antalet kanter( edges) och v antalet hörn (vertices) så gäller att

Om vi t.ex. tar en kub så är f=6,e=12 och v=8. I M.A. Armstrongs bok Basic topology finns det ett bevis för denna sats. Följande länk Euler characteristic innehåller en del information om detta. Du kan även läsa om Eulers polyedersats i National encyklopedin (jag har inte haft tillfälle att kontrollera men det borde stå något där).

Stefan Jakobsson

Svar:

Byter vi ut x mot -x så ser vi att påståendet är ekvivalent med att f(x)=-ln(1-x)-b_n(x) >0 då 0<x<1 där b_n(x)=x+x²/2+x³/3+...+xⁿ/n. För x=0 får vi f(0)=0. Derivera vi f en gång får vi

(vi har här utnyttjat formeln för en geometrisk serie). f' är alltså positiv på det öppna intervallet mellan 0 och 1. Om 0<x<1så har vi enligt medelvärdessatsen

där 0<y<x. Eftersom f'(y)>0 så följer påståendet av (*).

Stefan Jakobsson

Svar:

Ja, din formel är korrekt men jag känner inte till något namn för den.

Stefan Jakobsson

Svar:

Böckerna Envariabelanalys av Hellström, Morander och Tengstrand och Analys i en variabel av Böiers och Persson, båda på Studentlitteratur, innehåller det efterfrågande stoffet.

Stefan Jakobsson

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga. Pröva istället med att fråga en astronom .

Stefan Jakobsson

Svar:

Se 4 september 1998 22.11.04 och 20 maj 1997 17.41.43 .

Stefan Jakobsson

Svar:

Här är några exempel där trippelderivatan dyker upp.

1)

I Taylors formel förekommer det derivator av alla ordningar. Se 14 oktober 1997 14.13.54 om du vill veta vad Taylors formel är.

2)

När man beräknar torsionen för rymdkurvor(kurvor i tre dimensioner eller mer). Se 31 januari 1997 22.50.29 .

3)

Inom hydrodynamik och hållfasthetslära finns det många differentialekvationer som innehåller derivata av ordning tre.

Nu till din fråga vad S'''(t) beskriver så kan ju alltid säga att den mäter förändringen i acceleration. I mekanik är detta dock ingen intressant storhet eftersom grundläggande formlerna i mekanik såsom Newtons andra lag, formeln för rörelseenergi etc. inte innehåller S'''(t).

Stefan Jakobsson

Svar:

I denna uppgift kommer jag att använda mig av de hyperboliska funktionerna cosh och sinh som finns definierade i svaret på 29 september 1998 17.43.26 .

För att finna en primitiv funktion gör vi följande variablebyte: x=cosh(t), dx=sinh(t) dt med t >0. Vi får

Eftersom t >0 så är sinh(t)>0 och den hyperboliska ettan ger att sinh(t)=(cosh²(t)-1)^1/2 så det blir endast cosh²(t) kvar att integrera. Vi har att cosh²(t)=1/4(e^2t+2+e^-2t)=1/2 cosh(2t)+1/2. Nu integrerar vi

För att få svaret i x måste vi lösa x=cosh(t)=(e^t+e^-t)/2. Vi får

Eftersom sinh(2t)=2cosh(t)sinh(t)=2x (x²-1)^1/2 så är

en primitiv funktion till f. Den sökta integralen blir alltså

Stefan Jakobsson

Svar:

Se 22 januari 1997 08.43.57 .

Stefan Jakobsson

10 november 1998 09.20.30
Hej, envisas med frågan av den 27:e oktober: nämligen integralen av följande integrand av typen T/N där T är exp(-ax^2-bx) och N är sqrt(x^2-c)*x^2 Integrationen går från d till oändligheten. a och b positiva, reella tal, c, d reella tal, d positivt, till exempel 1. Primitiv funktion är uteslutet. Går det att utrycka i exempelvis erf? Residykalkyl kanske? Hur lägger man konturen? Tack för en trevlig nätsida. /Matte
Matte

Svar:

Din integral verkar vara väldigt svår att beräkna analytiskt. Men eftersom integranden avtar väldigt snabbt då x går mot oändligheten så går det bra att använda numeriska metoder för beräkna den approximativt.

Stefan Jakobsson

Svar:

Kalla ljudets hastighet för v och använd för övrigt beteckningar som i svaret till frågan den 3 november 1998 08.49.21. Om t₁ betecknar tiden det tar för stenen att falla och t₂ tiden det tar för ljudet att nå upp gäller

vilket ger att den sammanlagda tiden blir

och löser vi ut l ur denna ekvation får vi

Kjell Elfström

Svar:

Man kan få oändligt många cirklar i en likbent triangel om man inte ställer några villkor på storlek på cirklarna och hur de ska vara placerade.

Stefan Jakobsson

Svar:

Tyvärr har vi inte boken MaE2000 i vårt bibliotek så för att jag ska kunna lösa uppgiften så måste du förklara uppgiften närmare.

Stefan Jakobsson

Svar:

Nedan beskriver jag hur geometrin för R² och R³ generaliseras till et fyrdimensionella rummet R⁴.

I fyra dimensioner behöver man fyra koordinater ( x₁, x₂, x₃, x₄) för att beskriva en punkt i rummet. Affina delrum är en generalisering av punkter, linjer och plan till högre dimensioner. Affina delrum i R⁴ kan vara punkter, linjer, plan och hyperplan. Dessa objekt har dimension 0,1,2 och 3. Detta kan jämföras med R² som bara har punkter och linjer som affina delrum och R³ som har punkter , linjer och plan som affina delrum. Alla affina delrum kan alltid ges som lösningarna till ett linjärt ekvationssystem. Dimensionen på delrummet är fyra minus antalet ekvationer. Begrepp som vinklar och avstånd kan också generaliseras till fyra dimensioner.

Se också 10 september 1998 22.48.36 .

Stefan Jakobsson

Svar:

Eftersom den harmoniska serien

är divergent så är också summan P_n divergent. Men då är ju inte differensen P_n+1-P_n definierad. Dina två uppgifter saknar i detta fall mening.

Om P_n istället vore definierad så här

så kan man lösa uppgifterna. Vi får då att

Taylorutveckla log(1-t) till ordning tre

där g(t) är en begränsad funktion för små t. Sätter vi in detta i (*) får vi

Eftersom är en begränsad funktion så har vi att

är A är en konstant. Jämförelsesatsen för serier ger sedan att

är konvergent. Nu över till Q_n

Q_n=summan_{[i=1 till n]}P_i +(n+1/2)P_n -1/4 summan_{[i=1 till n]}1/i²=

summan_{[i=1 till n]}summan_{[k=1 till i]}(1/k+1/(2k²))-summan_{[i=1 till n]} log(i)+(n+1/2)P_n

-1/4 summan_{[i=1 till n]}1/i²

Om vi ändrar summationsordning i dubbelsumman får vi

Dessutom är summan_{[i=1 till n]} log(i)=log(n!). Detta ger sedan att

För att visa att Q_n konvergerar då n->oändligheten tittar vi på differensen mellan två på varandra följande termer Q_n+1-Q_n=-(n+1/2)(P_n+1-P_n)-1/4 1/(n+1)². Använder vårt resultat ovan ser vi att Q_k+1-Q_k är termer i en absolutkonvergent serie. Beaktar vi sedan att

så ser vi att gränsvärdet lim_{[n->oändligheten]} Q_n existerar.

Stefan Jakobsson

Svar:

Du tror alltså att gränsvärdet, då n går mot oändligheten, av

är 3 och detta är riktigt, vilket kan visas med instängningssatsen.

Vi har nämligen

något som enkelt kan visas med induktion. Av detta följer omedelbart att a_n <= 3.

Börja sedan längst in och utnyttja att

med

för att visa att

Detta ger att

Vi arbetar oss sedan utåt, nästa gång med a = (n + 2)^1/2 och b = (n - 1)sqrt(1 + n) varvid vi får att

för att slutligen få att

där c = 2^{1 - n}.

Vi har alltså visat att

och eftersom (n + 2)^-c går mot 1 då n går mot oändligheten följer det av instängningssatsen att gränsvärdet är 3.

Kjell Elfström

Svar:

Att derivatorna blir besvärliga att räkna ut kan man nog inte kringgå. En sådan ansats du gör kan fungera, men måste inte göra det. Får du ett ekvationssystem ur vilket du kan lösa ut A och B har du lyckats, annars får du ta ett polynom av högre grad framför (Acos x + Bsin x)e^x. Det beror på hur vänsterledet ser ut. Detta kan analyseras men med en annan mer generell ansats slipper man göra detta. Utnyttja att högerledet är imaginärdelen av e^ix + x och finn först en partikulärlösning y till hjälpekvationen

När detta är gjort kan vi skriva

där y₁ och y₂ är reella. Lineäriteten hos L ger nu att

Identifierar vi real- och imaginärdelar ser vi att y₂ löser den ursprungliga ekvationen.

När vi skall finna denna partikulärlösning till hjälpekvationen gör vi ansatsen y = ze^ix + x, beräknar y' och y'' uttryckta i z, z' och z'' och sätter in i hjälpekvationen. Vi kommer då att få faktorn e^ix + x i båda leden så den kan divideras bort och kvar har vi en differentialekvation i z där högerledet är konstant. Exakt samma ansats hade fungerat med ett högerled som varit ett polynom gånger högerledet i denna ekvation. Högerledet i ekvationen i z hade då blivit ett polynom, vilket är en klar förenkling.

Kjell Elfström

Svar:

Se 4 december 1997 23.13.46.

Kjell Elfström

Svar:

Låt N_j, j=1,2,3,4, beteckna antalet högar vars antal stickor är j modulo 4 (dvs resten vid division med 4 är j). För att man skall vara säker på att vinna ska N₁,N₂,N₃ uppfylla något av följande två alternativ när man gjort sitt drag:

1) N₁,N₂,N₃ är alla jämna tal.

2) N₁,N₂,N₃ är alla udda tal.

Observera att inget krav behöver ställas på N₀. Av spelets natur är det klart att det alltid blir någon som vinner. Om den ena spelaren lyckas med att alltid uppfylla 1) eller 2) efter att ha gjort sitt drag så blir det han som vinner ty om inte spelet är slut så är det alltid minst två högar kvar när motståndaren skall göra sitt dragså han kan inte vinna.

Följande spelstrategi gör att 1) eller 2) alltid är uppfyllda om de är det vid starten.

Antag att 1) eller 2) är uppfyllt och det är motspelarens drag. Efter motspelarens drag kommer något följande gälla:

A) Ett av är N₁,N₂,N₃ udda och det två andra jämna. Om N₁ är udda, tag en sticka ur en hög vars antal stickor är 1 modulo 4. Om N₂ eller N₃ är udda tag 2 respektive 3 stickor från en hög vars antal är 2 respektive 3. 1) är då uppfyllt efter detta drag.

B) Två av är N₁,N₂,N₃ udda och det tredje är jämnt. Om N₁ och N₂ är udda och är N₃ jämnt tag en sticka ur en hög vars antal är 2 modulo 4. Efter detta drag är 1) återigen uppfyllt. De två andra fallen behandlas analogt.

Man kan alltså komma tillbaka till 1) oavsett hur motspelaren spelar.

Stefan Jakobsson

Svar:

Ja, det är sant. Detta ingår i definitionen av inverterbar matris att den är kvadratisk.

Stefan Jakobsson

Svar:

Tack för ditt svar. Men ditt svar täcker tyvärr inte alla fall. Det är faktiskt så att alla udda heltal k kan uppkomma som kvoter av typen d(n²)/d(n). På 26 oktober 1998 16.30.19 finns det ett bevis av Pontus Andersson.

Stefan Jakobsson

Svar:

Laplace transformering kan vara mycket användbart vid lösning av vissa typer av linjära differentialekvationer. För att använda denna teknik behöver kunna derivera och integrera uttryck som innehåller polynom gånger exponential funktioner och trigonometriska funktioner dessutom behöver man ofta partialbråkuppdela. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics för mer information och exempel.

Stefan Jakobsson

Svar:

Simpsons formel används för att integrera funktioner numeriskt. Om du vill beräkna integralen

men inte lyckas hitta någon primitiv funktion till f så kan man approximativt beräkna I på följande sätt: låt n vara ett heltal dela upp intervallet [a,b] i 2n stycken delintervall [x_k-1,x_k], k=1,2,3,...,2n , där x_k=a+(b-a)k/(2n) k=0,1,2,3,...,2n. Alla delintervallen har längden h=(b-a)/2n. I är nu approximativt lika med

I_appr=(b-a)/(6n)(f(x₀)+4f(x₁)+2f(x₂)+4f(x₃)+...+2f(x_2n-2)+4f(x_2n-1)+f(x_2n)).

Det ska vara en fyra framför varannat funktionsvärde och tvåor annars förutom framför det första och sista funktionsvärdet. Felet i denna approximation (skillnaden mellan I och I_appr) kan uppskattas med

där f⁽⁴⁾ är fjärdederivatan av f.

Stefan Jakobsson

Svar:

Följande samband kallas för Eulers formel

Sätter vi in x=2 pi så får vi

Nu kan man förstås fråga sig varför Eulers formel stämmer. Faktum är att formeln ofta används som definition av e^{i x}. Se 12 september 1997 09.09.55. Ett sätt att övertyga sig om dess riktighet är att kontrollera att Taylorserierna för högerledet och vänsterledet av (*) är lika. Taylorserierna för exponential, cosinus och sinusfunktionerna är

Sätter vi in i x istället för x i Taylorserien för exponentialfunktionen och delar upp summan i jämna respektive udda k så får vi

Stefan Jakobsson

Svar:

Den logistiska tillväxtlagen säger att

och i detta fall är B = 1800. Tillväxthastigheten är 10 individer per vecka då antalet individer är 200. Detta ger att

och det som återstår är att lösa ut k ur denna ekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex sidan Why does the Sierpinski triangle arise from the chaos game?, Boston University.

Kjell Elfström

Svar:

Olikheten kan skrivas

och eftersom funktionen f(x) = x³ är strängt växande är det ekvivalent med

vilket är ekvivalent med

och att detta är sant följer av olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde.

Jag tror inte att man kan uttrycka en primitiv funktion till ln(cos x) med hjälp av de elementära funktionerna. Däremot är ln(cos x) primitiv funktion till -tan x.

Kjell Elfström

Svar:

Varje rationell funktion f  kan efter eventuell polynomdivision skrivas

där g är ett polynom och h(x) = p(x)/q(x) är en rationell funktion med deg(p) < deg(q). För att kunna integrera en rationell funktion behöver vi dels kunna integrera polynom (och det behöver vi inte orda mer om) och dels rationella funktioner där gradtalet av täljaren är mindre än gradtalet av nämnaren.

Nämnaren q(x) kan vidare faktoriseras i irreducibla faktorer, dvs faktorer som inte kan faktoriseras ytterligare. De irreducibla faktorerna i R[x] är dels polynom av grad 1, dels polynom av grad 2, som saknar reella nollställen. I C[x] kan de senare faktorerna faktoriseras ytterligare, så de irreducibla polynomen i C[x] är alla förstagradspolynom.

Om

är en sådan faktorisering kan h(x) skrivas som en summa där varje term är en summa. Varje faktor på formen (x + a)^s ger upphov till en term

och varje faktor på formen (x² + bx + c)^t ger upphov till en term

T ex kan vi skriva

Detta kallas partialbråksuppdelning och för att illustrera tar vi ett exempel.

För att bestämma konstanterna A och B multiplicerar vi båda led med nämnaren i vänsterledet varefter vi får

För att likhet skall gälla för alla x måste de nya ledens koefficienter vara lika, dvs.

Detta ekvationssystem har lösningen A = 1, B = 3, varför

Efter denna diskussion inser man att man bara behöver kunna integrera polynom och rationella funktioner på formen

för att kunna integrera vilken rationell funktion som helst. Vi koncentrerar oss på den senare typen. Eftersom x² + bx + c saknar reella nollställen kan vi kvadratkomplettera och få att

där e > 0. Efter variabelbytet x + d = te^1/2 kan vi skriva integranden

Den första av dessa kan man integrera antingen direkt eller genom att sätta u = t² + 1.

Då n = 1 är en primitiv funktion till den andra Earctan t. Det återstår att visa hur man bestämmer primitiv funktion till 1/(t² + 1)ⁿ då n > 1. Detta kan göras antingen genom en rekursionsformel som brukar anges i de flesta läroböcker i envariabelanalys, t ex Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys eller genom att göra en komplex partialbråksuppdelning.

Låt oss ta

där vi partialbråksuppdelat som ovan, som exempel. Då vi inte vill befatta oss med komplexa logaritmer skriver vi om detta som

och en primitiv funktion är

Kjell Elfström

Svar:

Varje gång papperet viks fördubblas tjockleken. Viker man det 40 gånger ökar tjockleken alltså med en faktor 2⁴⁰ = 1.099.511.627.776 och tjockleken blir alltså 109.951,162.777.6 km.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har heller inte rönt någon framgång, ens efter att ha talat med statistiker.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom en sannolikhetsfördelning alltid har totalmassa 1 så måste den formel du angivit för f₂ vara fel men om man kvadrerar y₂ så stämmer det.. Formlerna för sannolikhetsfördelningarna för Y₁ respektive Y₂ ska antagligen vara

f₁(y₁)=6y₁(1-y₁) då 0=<y₁=<1 annars 0 och f₂(y₂)=3y₂² då 0=<y₂=<1 annars 0.

Den komplementära händelsen till Y₁Y₂ <0,5 är Y₁Y₂ >=0,5 så

Eftersom Y₁och Y₂ är oberoende så är den gemensamma fördelningsfunktionen F(y₁,y₂) lika produkten av f₁(y₁) och f₂(y₂). Olikheterna Y₁Y₂ >=0,5, 0=<Y₁=<1 och 0=<Y₂=<1kan också skrivas

så sannolikheten för Y₁Y₂ >=0,5 ges av

P(Y₁Y₂ >=0,5)=integralen_{[0,5 till 1]}integralen_{[0,5/ Y1 till 1]}3y₂²6y₁(1-y₁)dy₂dy₁=3/4ln(2)-1/4.

Detta ger att

Stefan Jakobsson

Svar:

Jag förstår inte poängen med denna fråga.

Stefan Jakobsson

Svar:

Kolla in "Four-Color Theorem" på Eric's Treasure Trove of Mathematics . Där finns referenser till bevis och även till böcker i ämnet.

Stefan Jakobsson

Svar:

Ett föremål i fritt fall faller har efter t sekunder fallit sträckan s(t)=v₀.t+g.t² /2 där v₀ är starthastigheten och g är tyngdaccelerationen vilket är ungefär 9,8 m/s². Om man släpper ned en sten i en brunn utan att ge den någon fart startögonblicket och hör ett plask efter sekunder så gäller följande samband mellan brunnens djup l och tiden t

Om brunnen är djup så måste man också ta hänsyn till att det tar en viss tid för ljudet att komma upp ur brunnen och till att luftmotståndet bromsar stenens acceleration.

Stefan Jakobsson

Svar:

Följande motsägelsebevis har tillskrivits Euklides:

Antag att de endast finns ändligt många primtal p₁,p₂,...,p_n. Bilda talet q=p₁^.p₂^....^. p_n+1. Delar man q med något primtal p₁,p₂,...,p_n så är resten alltid 1 vilket innebär att q är inte delbar med något primtal. Detta motsäger aritmetikens fundamentalsats som säger att alla tal kan skrivas som en produkt av primtal. Alltså måste det finnas oändligt många primtal.

Stefan Jakobsson

Svar:

En kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt intervall I = [a,b] antar där såväl ett största som ett minsta värde. Om f(x) <> 0 (och f(x) >= 0) för alla x i I är det minsta värdet epsilon > 0 varav det följer att f(x) >= epsilon för alla x i I.

Svaret på den andra frågan är nej. Tag som exempel f(x) = x och I = (0,1).

Kjell Elfström

Svar:

Se 9 september 1997 14.41.38.

Kjell Elfström

Svar:

Frekvensfunktionen för X är ae^-ax, vilket ger att

Vi får

och formeln för den geometriska summan ger att

Vi ser att produkten av de båda första sannolikheterna är lika med den sista och detta visar att Y och Z är oberoende.

Kjell Elfström

Svar:

I ett axiomsystem för t ex de reella talen fastslås att det finns ett, för addition, neutralt element 0, dvs

Betydelsen av talet 0 fastslås alltså genom dessa räkneregler.

Börjar man med axiomen för mängdlära och definierar de reella talen som vissa mängder är innebörden att 0 står för tomma mängden och addition införs på ett sådant sätt att 0 blir ett neutralt element.

Historiskt var det så att 0 behövdes för att undvika missförstånd när tal skulle anges i positionssystem.

Jag ber också att få hänvisa till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt konjugatregeln är

Faktorn (x² + 1) har nollställena ±i och kan inte faktorisera ytterligare i R[x], men däremot är (x² + 1) = (x - i)(x + i) i C[x]. Den sista faktorn kan skrivas

Dessa faktorer har nollställena 2^-1/2(1 ± i) respektive 2^-1/2(-1 ± i) och kan alltså inte faktoriseras i R[x]. Faktoriseringen blir

i R[x] och

i C[x].

Ett annat sätt att göra faktoriseringarna på är att först bestämma rötterna till den binomiska ekvationen

och sedan direkt utföra faktoriseringen i C[x]. För att sedan finna de reella faktorerna behöver vi bara para ihop de icke-reella rötterna i konjugerade par och multiplicera ihop motsvarande faktorer.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström