| Matematikcentrum |
| Matematik MNF |
Frågor och svar maj 1998
|
Fråga Lund om matematik Frågor och svar maj 1998 |
|
Svar:
Figur.3 visar en översikt av sannolikheterna som ligger till grund för att bestämma sannolikheten att de resp spelare vinner. Sannolikheterna i figur.3 är bestämmda med hjälp av figur.1 och 2.
Först servar B fem gånger . Av figur.1 kan vi se de olika utfall som dessa fem bollar kan leda till:
1) A kan vinna matchen med sannolikheten 13/81 = Summan av alla inringade A-na.
2) B vinner med sannolikheten 52/81 = Summan av alla inringade B-na.
3) Spelet fortsätter och då övergår serven till A, det finns två sådana alternativ: (I). A vinner den sista bollen som B servar (med sannolikheten a = 4/243). (II). B vinner sista serven som han själv servar (med sannolikheten b = 8/243). Härifrån övergår spelet till fig.2.
Figur 2 är delad i två-st subträd. Det ena är för (I) och den andre för (II), där sannolikheterna ges av multiplar av a och b. Båda dessa subträd fungerar likadant: Vi har räknat ihop sannolikheten för att A vinner i båda subträden denna är lika med 2128/59049, sannolikheten att B vinner i de båda subträden är lika med 8512/59049 . Anledningen till att vi räknar ihop sannolikheterna för vinst i de båda subträden är att det inte spelar någon roll hur en spelare vinner (vilken nod som är slut noden), alla inringade A summeras och ger sannolikheten för att A vinner och samma gäller för B. Se fig.2. Summurna är införda i fig.3. Observera att det finns 4 st subträd av varje typ och detta plus sannolikheterna att komma in i de resp träden måsta tas hänsyn till,se fig.1.
Om spelet går vidare så att serven går till B igen så gäller följande:
De olika subträden har olika sannolikhet att nå lövnoderna men med sannolikhetsfaktorn a,b som är ingångssannolikheterna för resp. subträd, så har båda subträdens löv samma sannolikhet att nå en lövnod.
Detta gör att man inte behöver skilja på i vilket subträd spelet går vidare, utan alla fall kan fortsätta som i fig.1, så att det sker en återupprepning av möstret. Sannolikheten att för att spelet skall fortsätta enligt fig.1 så att B får serva igen är 1024/59049 ,se fig.3.
Utifrån detta upprepande mönster har vi konstruerat två serier för att räkna ut sannolikheten för att A resp B vinner.
P(A vinner) = (13/81 +2128/59049) . Summa [k från 0 till oändligheten]{(1024/59049)k} = 1/5.
P(B vinner) = (52/81 + 8512/59049) . Summa [k från 0 till oändligheten] {(1024/59049)k} = 4/5.
P(Spelet fortsätter oändligt länge) = lim[ k-> oändligheten ] {(1024/59049)k}= 0 .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det är frågan om aforismer dvs kortfattade uttryck för en tanke. Precis på samma sätt som man använder ordet "bil" för att beskriva alla dessa avgasluktande plåtvidunder som man kör omkring i, så använder sig matematikerna av formler för att beskriva sina tankar på ett, vad tiden anbelangar, ekonomiskt sätt. Dessutom så tillåter formler en kalkyl så att man kan utvekla en matematisk teori .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det blir
100 x2/y.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 28 april 1998 11.21.27.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag kan tyvärr inte ta fram en modell som du söker därför att sådana modeller tas ofta fram med hjälp av linjär eller polynomiell regretion och i ditt fall så vet jag ej hur man skall bära sig åt. Om vi tillämpar polynomiell regretion så skall vi finna y som ett polynom av x exempelvis ett n-te grads polynom i x. För en sådan regretion så gäller följande
Vi söker ett n-te gradspolynom på formen
y = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 vars koefficienter utgör en matris A .
A ges av
(XT X)(-1) XT Y = A (*)
X är en 6 x (n + 1 ) matris vars element ges av
X1j = 0 (n-j+1) för 1<= j <= n och X1n+1 = 1
X2j = (0,2)(n-j+1) för 1 <= j <= n och X2n+1 = 1
X3j = (0,5)(n-j+1) för 1<= j <= n och X3n+1 = 1 ...
X6j = (1,5)(n-j+1) för 1<= j <= n och X6n+1 = 1
Matrisen Y är 6 x 1 matrisen som har elementen
Y11 = 1, Y21 = 1,2 , Y31 = 1,4 , Y41 = 1,5 , Y51 = 1,55 , Y61 = 1,65
Insättning i (*) ger oss de eftersökta koefficienterna.
Det är möjligt att vi kan konstruera en modell som du frågar efter, genom att använda metoden ovan och taylors formel som ju uppskattar exponentialfunktionen med ett polynom.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Vi vet enligt din tabell att höjden 3,08 cm motsvarar en volym på 200 cm3.
Med hjälp av detta kan man lätt beräkna konens radie och höjd=r . Vi har nämligen
Pi r3/3-Pi(r-3,08)3/3 = 200 => r=5,998.
Maximal höjden H kan då beräknas ur
Pi r3/3-Pi(r-H)3/3 = 7,5 . 60 . 0,5 =225 => H= 5,00.
Volymen av vätskan, efter tiden t i den nedre konen är
V(t) = Pi r3/3 -Pi ( r-h(t) )3/3.
Eftersom volymändringen är konstant = 0,5 så får man att
Pi r3/3 -Pi ( r-h(t) )3/3= 0,5 t .
Alltså är h(t) lika med
h(t) = r - (r3- 1,5 t / Pi)1/3 .
Med hjälp av detta kan man gradera timglaset . Det enda vi behöver göra är en tabell för olika t-värden och de motsvarande h(t). vi vet också att hmin = 0 och hmax = H. Sedan skall alla dessa h(t)-värden projiceras på konen . Men detta är inte så svårt ty vi vet att vinkeln är Pi/2 och radien och höjden är lika långa.
Sålunda är de värden som skall ristas på timglaset lika med (2)1/2 . h(t), för olika värden på t.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Cylinderskalmetoden ger att den volym som allstras genom att rotera en kurva y = f(x) , a <= x <= b runt y-axeln är lika med
V = Integralen[från a till b]{2Pi x f(x) dx}
Där x, f(x) och dx är radien, höjden och tjockleken av det cylindriska skalet.
Ett annat sätt att beräkna volymen är att använda sig av den inversa funktionen till f(x) och då har man formeln
V = Integralen[från f(a) till f(b)]{Pi (f(-1)(y))2 dy} . Det är denna formel som vi kommer att använda. Här gäller att
f(-1)(y) =1/2 +1/2(17 + 4y)1/2
och
V = Integralen[från 0 till 4]{Pi( (1/2 + 1/2(17 + 4y)1/2))2} = 1/4(104+11(33)1/2)Pi -17/12 (17)1/2 Pi.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag får tacka för visat intresse. Det vore intressant att se vilken algebraisk metod (likadan metod som man använder för att lösa en andragrads eller en tredjegradsekvation) som du använt för att finna rötterna x = 2 och
x = 4.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 24 feb 1998 18.31.09.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Betrakta e3n vektor u(t) = (x(t) , y(t)). Systemet kan då skrivas som
u'' = u / |u|2 .
Om vi multiplicerar skalärt med u' så får vi
u'' . u'= (u / |u|2 ) . u'
som kan skrivas
1/2(d /dt {u' . u'}) = 1/2(d /dt{log(|u|2)}
Integration ger att
|u'|2 = log(C |u|2)
där C är en konstant. om vi nu sätter x(t) = r(t) Cos w(t) och y(t) = r(t) Sin w(t) så är
|u'|2 = r'2 + r2 w'2 och |u|2 = r2.
Vi får alltså
r'2 + r2 w'2 = log (C r2) .
Till denna ekvation kan man tillämpa Hamiltons metod vars beskrivning är allt för lång för att ges här , men Den leder till att
Integralen {r / 2[(E r2- r2 log(C r2) - l2)(1/2)] dr} = t + c (*)
där E, C, l, c är konstanter
r(t) löses ut ur (*) och sedan sätts in i
w(t) = 2l Integralen{dt / r(t)2} .
När vi har r(t) och w(t) så kan vi lätt få fram x(t) och y(t).
Din andra fråga är mer elementär. Multiplicera bara båda leden med r' och sedan fås det att
1/2d/dt{r'2} = - k d/dt{1 / r}
1/2 r'2 = - k / r + C
Integralen{dr / (2C -2k/r)1/2 } = t + c
Om C = 0 och så får man den enkla lösningen
1/3 (2/ |k| )1/2 . r (-3/2) = t +c
dvs
r = {3 (|k|/2)1/2 (t+c)}(-2/3).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Denna bok finns i engelsk översättning under titeln "Elements of geometry". Den bör finnas i alla relativt välutrustade matematiska bibliotek.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det finns naturligtvis flera inriktningar att välja bland. Inom den matematiska analysen så kan man fördjupa sig inom studiet av 1)gränsvärdesbegreppet och kontinuitet 2) derivatan 3)integralen 4)differential ekvationer. Man kan göra ett arbete om den euklidiska geometrin eller om komplexa tal och sist men inte minst så kan man göra ett arbete om mängdläran.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 29 maj 1998 12.06.12.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 29 maj 1998 12.06.12.
Wolfgang Staubach.
Svar:
en äldste fick
x/2 + 1/2 nötter.
Den näst yngsta fick
1/2{x-(x/2 + 1/2)}-1/2 = (x-3)/4 nötter.
Den yngsta fick
1/2{x-(x/2+1/2) - (x-3)/4}+1/2 =(x+5)/8 nötter.
Apan fick 1 nöt.
Vi måste alltså ha
x/2 + 1/2 + (x-3)/4 + (x+5)/ 8 +1 <= x
dvs
(11-x)/ 8 <=0
som ger att x >= 11. Slutsatsen är att den äldsta fick minst 6 st kokosnötter.
Den mellersta fick minst 2 och den yngsta fick också minst två st kokosnötter.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på fråga 29 maj 1998 09.01.56 .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Vi väljer en godtycklig punkt U på sidan AB. Om vi Speglar denna punkt, först i sidan AC och sedan i BC så får vi punkterna U' resp U''. Om vi drar en rät linje som går genom U' och U'' så skär denna triangelns sidor i V och W. Eftersom det minsta avståndet mellan punkterna U' och U'' är den räta linjen U'U'' och eftersom längden av U'U'' är lika med omkretsen av triangeln UVW så har vi för en given punkt U på AB minimerat omkretsen av den inskrivna triangeln vars ena hörn är U.
Tyvärr är beviset för det allmänna fallet dvs att en på ett speciellt sätt konstruerat triangel ger den eftersökta minimiomkretsen, är allt för långt för att ges här. Jag finner det bäst att referera till en bok i geometri.
D.Pedoe , A course of geometry, Cambridge 1970 Sid 68-71.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag kan tyvärr inte svara på din fråga.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Warings problem inom talteorin är att visa följande
varje positivt heltal kan skrivas som en summa av ett begränsat antal k-te potenser, dvs för varje positivt heltal N så finns det ett antal positiva heltal x1,..., x s s.a N = x1k+...+ xsk. Detta problem löstes först av David Hilbert 1909. Om G(k) betecknar det minsta tal s som använts i representationen ovan så har man en uppskattning för G(k) för stora k,
G(k) < k ( logk + log log k + O(1) )
Detta inebär att
(G(k)-k log k -k log log k )/k är begränsad för stora k. Det finns ingen exakt formel för G(k) det enda som finns är en del precisa uppskattningar . För mer information så refererar jag dig till böcker inom additiv talteori och en artikel av Trevor Wooley där uppskattningar av G(k) förbetrades avsevärt.
Trevor Wooley, Large improvments in Warings Problem, annals of mathematics, 135 (1992), 131-164.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 1 maj 1998 23.52.25 .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Den här frågan bör snarare ställas till en zoolog för så vitt jag förstår så saknar den matematisk relevans .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Denna fråga har förbryllat många tänkare genom tiderna. Tyvärr finns det inget svar till detta problem därför att om den reella tallinjen skulle sluta vid talet x så kan man alltid bilda ett nytt tal som är större än x och hör till samma tallinje genom att addera x med någonting och så kan man ju fortsätta i all oändlighet. Slutsatsen är att det inte finns någon längd på tallinjen.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret till frågan 20 maj 1998 16.37.17. Enligt detta så konstruerar man först (3)1/2 sedan adderar man detta med 2 genom att lägga till två längdenheter till (3)1/2 med hjälp av linjal och till sist drar man roten ur 2+(3)1/2 via exakt samma konstruktion som ovan.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Fråga Ask a Physicist.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 10 dec 1997 19.15.24.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Glädjen att knäcka sådana tankenötter tillkommer lösaren, inte läsaren. Det skulle ta alldeles för lång tid att besvara dylika frågor.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 27 maj 1998 10.36.33.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 27 maj 1998 10.36.33.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jesper Thorén har kommit med en anmärkning angående min förra lösning . Det är så att
om a <> 16 och p(a) = 0 så är p(2a) = 0. Om a <> 2 och p(a) = 0 så är p(a/2) = 0. I det första fallet har vi nämligen att
(a-16) p(2a) = 16 (a-1) . 0
och i det andra att
(a/2-16) . 0 = 16(a/2-1) p(a/2).
Detta leder till att om p har ett nollställe annat än 0, 2, 4, 8, 16 så har p oändligt många nollställen och är alltså nollpolynomet.
Sålunda är 0,2,4,8,16 de enda möjliga nollställena till p(x). Om 16 är minst ett dubbelt nollställe så är
p(x) = (x-2)2 q(x) och p(2x) = 4(x-8)2 q(2x)och
4(x-16) (x-8)2 q(2x) = 16(x-16)2 q(x)
dvs
4(x-8)2 q(2x) = 16 (x-16) q(x). Alltså är 8 minst ett dubbelt nollställe vilket medför att 4 är minst ett dubbelt nollställe som i sin tur ger att 2 är minst ett dubbelt nollställe. Att 2 är ett dubbelt nollställe ger att
p(x) = (x-2)2 q(x) och p(2x) = 4 (x-1)2 q(2x)
4 (x-16) (x-1)2 q(2x) = 16 (x-1) (x-2)2 q(x)
medför
q(1) = 0 => p(1) = 0 => p(1/2) = 0 => p(1/4) = 0 osv => p är identiskt lika med noll. Vidare om vi deriverar båda leden i den ursprungliga relationen med hjälp av Leibnizs formel så får vi
Dn{(x-16)p(2x)}= Dn{16(x-1)p(x)}
Summa[k från 0 till 1]{(n k) 2(n-k) Dk(x-16)D(n-k)p(2x)=
Summa[k från 0 till 1]{(n k) Dk(x-1) D(n-k)p(x)
2n(x-16)Dnp(2x) + n 2(n-1) D(n-1) p(2x) = 16(x-1) Dnp(x) + 16n D(n-1)p(x)
16Dnp(0)(1-2n) = n D(n-1)p(0)(16-2(n-1)) för n = 1, 2, 3, ....
Dnp(0) = {1-2(n-5)}/{1-2n} D(n-1)p(0) , n= 1, 2, 3, ....(*)
Om nu p(0) = 0 så är enligt (*)
Dnp(0) = 0 för n = 1,2,3,...
och noll skulle då vara ett nollställe av oändlig multiplicitet vilket är inte fallet för ett polynom.
Slutsatsen är att polynomet p(x) är på formen k(x-2)(x-4)(x-8)(x-16) där k är ett godtyckligt reellt tal.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Vi betraktar ett slumpmässigt stickprov x= (x1, ... , xn) på en stokastisk variabel X med en fördelning som beror av den okända parametern T. Ett konfidensintervall är ett intervall IT som med sannolikheten 1-a täcker över T. 1-a kallas för konfidensgraden.
Intervallets vänstra och högra ändpunkter, de sk konfidensgränserna, betecknas allmänt a1(x) och a2(x). De är funktioner av värden i stickprovet och alltså observationer av stickprovsvariabler a1(X) och a2(X). Definitionen ovan innebär, uttryckt i dessa variabler, att
P[a1(X) < T < a2(X)] = 1-a. Mer kan du läsa om konfidensinterval i Gunnar Bloms bok Statistikteori med tillämpningar. Se också svaret på frågan 20 maj 1997 18.42.08 .
Wolfgang Staubach.
Hur många produktionsomgångar?
Ett företag räknar med att under 1 år producera och försälja
80000 skottkärror.
Försäljningen fördelar sig jämt över året och produktionen
kan ske i en eller flera
omgångar. Kostnaderna fördelar sig så här: Omställning
av maskiner för en produktionsomgång
kostar 5000 kr. Själva produktionskostnaderna för en skottkärra är
50 kr. Lagerkostnaderna är
10 kr per år och skottkärra. Hur många skottkärror skall en
produktionsomgång omfatta och hur
många produktionsomgångar blir det på ett år om man vill
minimera den totala kostnaden.
Magnus Blohm
Svar:
Vi förutsätter att 80000 kärror skall produceras under året fördelat på n produktionsomgångar, samt att lagret precis tömts när en ny produktionsomgång startar. Tillverkningskostnaden 50 kr per kärra kan vi bortse från eftersom den ger ett lika stort bidrag till den totala kostnaden oavsett antalet produktionstillfällen.
De totala omställningskostnaderna blir 5000n kr och den genomsnittliga lagringstiden blir 1/(2n) år, varför lagringskostnaderna blir 80000·10·1/(2n). Minimera nu summan av dessa båda kostnader.
Kjell Elfström
Svar:
Något generellt svar är inte möjligt att ge. Ofta är det betydligt mycket enklare att avgöra om en serie konvergerar än att bestämma dess summa.
Kjell Elfström
Svar:
Skall det inte vara att marken under är vågrät?
Snörkurvan har en ekvation av formen
Vi har här antagit att snörets lägsta punkt befinner sig på avståndet a + K över marken där x = 0. Tänker vi oss att 3-metersstolpen är placerad vid x = b och den andra vid x = c blir arean integralen från b till c av
och båglängden integralen från b till c av
vilket ger att
Mycket närmare än så här tror jag inte vi kommer, speciellt som avståndet mellan stolparna inte är känt.
Kjell Elfström
Svar:
Se svaret på frågan 26 maj 1998 13.27.27.
Kjell Elfström
Svar:
Du nämner inte hur många plommon du har!
Kjell Elfström
Svar:
Det finns (357) möjliga rader, så där har du rätt bortsett från att detta skulle ha stått i nämnaren och inte i täljaren. Antalet gynnsamma fall är inte helt rätt, bortsett från att det skall stå i täljaren. Du skall nämligen välja ut 4 av de 7 egentliga, 1 av de 4 tilläggsnumren och 2 av de 24 övriga. Sannolikheten blir alltså
Kjell Elfström
Svar:
Kjell Elfström
Svar:
Dels kan du söka bland de länkar som finns på vår hemsida och dels så kan du söka på följande
http://didserv.did.gu.se/matemati/malankar.htm .
http://www.abc.se/~m9847/svmat.html.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det går inte att lösa ekvationen algebraiskt. Man får istället bilda funktionen f(x)= 2x-x2 och sedan använda sig av Newton-Raphsons metod.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag har tyvärr inte tillgång till boken så att du får återkomma med den exakta formuleringen av problemet.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Felet uppstår då du betraktar ekvationen 2 = -3 + m. lösningen till denna är m = 2 - (-3) = 5.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Derivatan av funktionen är
-(2000-x) / [4(106 + (2000 -x)2)1/2] + x / [2(106 + x2)1/2] .
Eftersom denna ekvation leder till en fjärdegradsekvation vars koefficienter är rätt så stora tal så är det bäst att använda sig av något dataprogram för att finna rötterna.
Wolfgang Staubach.
Svar:
En Casio Scientific Calculator fx-180p, duger gott och väl.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Man löser denna ekvation via Newton-Raphsons Metod.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Antag att de tre punkterna har koordinater (x1 , y1), (x2 , y2), (x3 , y3) och cirkeln har radien 1. Om centrum av vår cirkel har koordinater (x0 , y0) så gäller följande system av ekvationer
(x1-x0)2 + (y1-y0)2 = 1
(x2-x0)2 + (y2-y0)2 = 1
(x3-x0)2 + (y3-y0)2 = 1
Om man multiplicerar den första ekvationen med -1 och sedan addera den med den andra och tredje ekvationen så får man
x12-x22-2x0(x1-x2) + y12-y22-2y0(y1-y2)=0
x12-x32-2x0(x1-x3) +y12-y32-2y0(y1-y3)=0
Ur dessa kan man nu lätt lösa ut (x0 , y0)
x 0= {(y1-y2)(x12-x32+y12-y32) -(y1-y3)(x12-x22+y12-y22)}/ 2{(x1-x3)(y1-y2)-(x1-x2)(y1-y3)}
y0= {(x1-x2)(x12-x32+y12-y32) -(x1-x3)(x12-x22+y12-y22)}/ 2{(y1-y3)(x1-x2)-(y1-y2)(x1-x3)} .
Wolfgang Staubach.
Svar:
De beräknade värden är Log 2n = n Log 2 där n är lika med 1 , 2, 3 osv. Så i själva verket är det (0.30102999...) . (n) som din räknare räknar ut för n = 1 , 2 , ... . Mer än det kan jag tyvärr inte säga.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se Gerald Folland, real analysis där det finns ett kapitel om sannolikhetsteori som tar upp C G S. Beviset är naturlitvis ganska inveklat och bygger på fourieranalys.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag har tyvärr inte tillgång till din lärobok så att du får gärna återkomma med själva problemet.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Om jag har uppfattat din fråga rätt så vill du konstruera (3)1/2 + (2)1/2 med hjälp av passare och linjal. Om man har passare och linjal till hands så kan man alltid konstruera (a)1/2 om a självt är givet. Konstruktionen går till på det sättet att man i ett koordinatsystem ritar en cirkel som går genom en punkt på x-axeln med koordinaten (a + 1, 0) och origo. Sedan drar man en linje genom punkten med koordinaten (1 , 0) som skär cirkels periferi i två punkter. Om man nu binder samman en av dessa skärningspunkter med punkten (a + 1, 0) så har den linjen längden (a )1/2, enligt den kända korda satsen. Ur detta kan man konstruera (3)1/2 och (2)1/2 var för sig och sedan med hjälp av passare konstruera en sträcka vars längd är (2)1/2 + (3)1/2.
Wolfgang Staubach.
Svar:
För din första fråga se svaret på frågorna 7 april 1998 22.23.31 och 6 november 1997 08.19.02.
För din andra fråga se länken Ask a Physicist
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det finns flera sätt att besvara denna fråga. Ett sätt är att resonera kombinatoriskt och fråga sig om på hur många sätt går det att välja 0 element bland n-st element. Svaret är naturligtvis 1. Vi vet också från kombinatoriken att (n 0) = 0! är just antalet kombinationer av 0 elemnt bland n element.
Ett annat sätt är att skriva n! som n.(n-1)! . Nu om vi sätter n = 1 i de båda uttrycken så fås det att
1 = 0!.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Beviset är alldelles för långt för att ges här. Jag refererar istället till
Ringel . G : Map color Theorem, New York, Springer-Verlag
Ringel . G & Younges . J : Solution of the Heawood map-coloring problem, Proc Nat Acad 60 438-445 (1968).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Logaritmlagarna lg a + lg b = lg (a b) och n lg a = lg an ger
VL = lg(3x + 28) och HL = lg x2. Alltså
3x + 28 = x2
x1 = 7 , x2 = -4.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag refererar dig till en artikel av Gert Almkvist i nordisk matematisk tidskrift (band 25/26 1978 sid 121-130). Artikelns exakta namn är:
Aritmetisk-geometriska medelvärdet och ellipsens båglängd.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret på frågan 19 november 1997 20.42.10 .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Teorin för funktional ekvationer är en hel vetenskap som inte går att beskriva på bara några få rader. Du kan läsa om dessa ekvationer i en bok av Thomas Saaty, Modern nonlinear equations som ägnar ett helt kapitel åt detta ämne.
Wolfgang staubach.
Svar:
Betrakta triangeln ABC med den omskrivande cirkeln med centrum i O som är som bekant skärningspunkten av de tre mittpunktsnormalerna. Trianeln OAB är likbent . Vi drar en linje från O i mittpunktnormalens riktning tills den skär periferin och kallar skärningspunkten för D. Om vi nu sammanbinder D och C så återstår det att visa att DC delar vinkeln C i två lika stora delar. Eftersom triangeln OAB är likbent och OD ligger på mittpunktsnormalen så är vinklarna AOD och DOB lika. Men vi vet ju att vinkeln DCB = DOB / 2 och ACD = AOD / 2. Alltså har vi att ACD = DCB och så följer påståendet.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Problemet om kubens fördubbling innebär följande:
Rita ,enbart med hjälp av passare och linjal , en kub vars volym ar dubbelt så stor som en given kub. Detta går inte att genomföra av algebraiska skäl. Mer om det kan läsas i boken
Galois theory av Ian Stuart.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Brahmaguptas formel för arean T av en fyrhörning ABCD inskriven i en cirkel lyder
där
och
I en artikel av D. P. Robbins i Discrete and Computational Geometry vol. 12 1994, sidorna 223-236, härleds formler för fem- och sexhörningar. De är dock ganska komplicerade, och alltså inte alls så enkla och snygga som Herons och Brahmaguptas formler, så jag återger dem inte här.
I en fyrhörning inskriven i en cirkel är summan av två motstående vinklar pi varför Brahmaguptas formel är ett specialfall av följande allmänna formel för arean T av en plan fyrhörning.
Bevis av den senare formeln:
cosinussatsen tillämpad på trianglarna ABD och CDB ger att
varför
Kvadrerar vi båda leden får vi
Adderar vi areorna av de båda trianglarna och kvadrerar får vi enligt areasatsen att
Adderar vi nu dessa likheter får vi med hjälp av trigonometriska ettan och en additionsformel att
Övergår vi till halva vinkeln får vi
och direkt uträkning ger nu att
Efter detta återstår bara att dividera båda leden med 16 och sedan dra roten ur dem.
Kjell Elfström
Svar:
Det finns olika kriterier för att visa om en talserie konvergerar eller ej. Frågan är allt för allmän och svaret kan ingalunda ges entydigt varmed frågeställaren refereras till böcker inom matematiskanalys däribland kan nämnas en bok av Hylten-Cavallius och Sandgren, Matematisk analys II.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Tag en linjal och håll den framför granen på sådant sätt att om du blundar med ena ögat så skall linjalen täcka hela längden av granen. Rent geometriskt så har man följande situation . Man har en rätvinklig triangel och ritar en linje parallelt med den lilla kateten så att man får en liten triangel som är i sin tur likformig med den ursprugliga triangeln. Längden av den stora kateten till den stora triangeln är avståndet mellan ögat och granen och längden av den stora kateten till den lilla triangeln är avståndet från ögat till linjalen. Likformigheten ger att
avståndet mellan ögat och granen / avståndet mellan ögat och linjalen = höjden av granen / längden av linjalen
Alltså är
höjden av granen = (längden av linjalen) · (avståndet mellan ögat och linjalen / avståndet mellan ögat och granen).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Du får gärna återkomma med en bättre förklaring på vad du menar . Om du är ute efter tips och dylikt så kan du söka bland de länkar som finns på Fråga Lund-sidan.
Wolfgang Staubach.
Svar:
I de båda fallen kan man använda sig av partialintegration. Detta är genomfört i boken, Envariabelanalys av Hellström - Morander-Tengstrand , exempel 11 på sid 330.
Om f är någon av de båda funktionerna är tricket att skriva
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret till frågan 30 april 1998 22.17.55.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Som bekant ger Taylors formel att
ex = Summa[k från 0 till oändligheten]{ xk / k !}.
Om man sätter x = 1 så får man följande framställning för talet e
e = Summa[k från 0 till oändligheten]{ 1/ k !}
Wolfgang Staubach.
Svar:
Man kan inte lösa denna ekvation exakt. Det man kan göra är att bilda funktionen
f( x )= 3 ln x - 6 - 2x och sedan tillämpa Newton -Raphsons metod på denna.
Wolfgang Staubach
Svar:
Det finns ingen elementär funktion vars derivata är lika med ex^2. Du kan läsa om fraktaler i svar på frågan 17 mars 1997 16.57.52.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Ekvationen ovan är ekvivalent med
332a + 20 c - 130b = 1333a
2(166a + 10c - 65b) = 1333a
vilket medför att 2 | (1333a) som i sin tur ger att 2 | a, dvs a= 2 eller 4 eller 6 eller 8. Vidare är
332d + 20c = 1333a + 130b.
Eftersom Max (332d + 20c) = 3168 då 1 <= d <= 9 och 1 <= c <= 9 så måste a = 2 och 1 <= b <= 3.
Om b = 3 så är 332d + 20c = 3056 och det ses lätt att Max (332d + 20c) = 2816 då 1 <= d <= 8 och 1 <= c <= 8. Om d = c = 9 så är 332d + 20c = 3168 > 3056. Om d = 8 , c = 9 så är 332d + 20c = 2926 som är < 3056. Om d = 9 , c = 8 så är 332d + 20c = 3148 > 3056. Slutsats : b är skilt ifrån 3.
Om b = 2 så har vi 332a + 20c = 2926 men Max (332d + 20c) = 2836 < 2926 (då 1 <= d <= 9 och 1 <= c <= 9). Slutsats : b är inte lika med 2.
Om b = 1 så är 332d + 20c = 2796 och det ses lätt att d = 8 och c = 7 löser denna ekvation.
Den ursprungliga ekvationen har således exakt en lösning som ligger mellan 1 och 9 och denna ges av a = 2 , b = 1 , c = 7 , d = 8 .
Wolfgang Staubach.
Svar:
Detta går naturlitvis att visa på många olika sätt . Ett sätt är att börja och räkna ut följande trigonometriska uttryck
(1) 1/(2 cos 40°) - 2 cos 100°
Vi använder följande välkända formler
(2) cos (u + v) = cos u cos v- sin u sin v
(3) 2 cos2u = 1 + cos 2 u
(4) sin 2 u = 2 sin u cos u
(1) är lika med
(1/ (2 cos 40°)) - 2 cos ( 40° + 60° ) = 1/ (2 cos 40°)) - 2 cos 40° cos 60° + 2 sin 40° sin 60° enligt (2). Detta är i sin tur lika med
1/(2cos 40° ) - cos 40° + (3)1/2 sin 40° =
[(1-2cos240° + (3)1/2 (2 cos 40° sin 40°)]/ (2 cos 40°) = (enligt 3 och 4) =
[1-(1+cos 80°) + (3)1/2 sin 80°]/ (2 cos 40°) = [(3)1/2 / 2 sin 80° -1/2 cos 80°] / cos 40°.
Eftersom sin 120° = (3)1/2/2 och cos 120° = -1/2 så får vi att
(1) = [sin 120° sin 80° + cos 120° cos 80°]/ cos 40° = cos (120° - 80°) / cos 80° = 1.
Nu skall vi använda detta för att lösa problemet. Vi har alltså en likbent triangel där de lika sidorna betecknas med a och den tredje med b. Tillämpningen av cosinussatsen på två olika sätt ger att
b2 = 2 a2 ( 1- cos 100°) => b3 = 2a2 (1-cos 100°) och
a2 = a2 + b2 - 2 a b cos 40° => b = 2a cos 40° => a3 = (a2 b) / (2 cos 40°).
Vi får alltså
a3 + b3 = a2b( 1/(2cos 40°) +2 - 2 cos 100°)
där termen inom parentesen igenkänns från ovan och vi har visat att a3 + b3 = 3 a2 b.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Om vi multiplicerar båda leden av ekvationen med x, så får vi,
x3 y2 dy = (x-x2 y3) dx.
Lösningar till denna ekvation är också lösningar till den ursprungliga ekvationen. Vi söker en lösning av formen f(x , y) = 0 till den nya ekvationen. Det är klart att differentialen av f måste också vara lika med noll, dvs
df = f'x dx + f'y dy = 0
där f'x och f'y är partiella derivator i x resp y. Detta medför att
f'y dy = - f'x dx.
För att f(x,y) = 0 skall lösa ekvationen så måste vi ha
(1) f'y = x3 y2
(2) f'x = -(x-x2 y3)
Ekvation (2) ger att
(3) f(x,y) = - x2 / 2 + (x3 / 3)y3 + H(y),
där H(y) är en godtycklig funktion av y.
Insättningen av (3) i (1) ger att,
f'y= x3 y 2 + H'(y) = x3 y2
H'(y) = 0 => H(y) = konstant = C
Den sökta lösningen är alltså,
-x2 / 2 + (x 3 / 3) y3 + C = 0
eller i förenklad form,
3 x2 - 2 x3 y 3 = C'
Wolfgang Staubach.
Svar:
Vi betraktar ett cyckelhjul (torus) som är plaserat i ett 3-dim koordinatsystem. Torusen kan parametriseras och dess parameter ekvation ges av
r(u,v) = (a + b cos v) cos u i + (a + b cos v) sin u j+ b sin v k = x i + y j + z k, 0 <= u , v <= 2 Pi
där b är radien av tvärsnittscirkeln och b är avståndet mellan centrum av denna cirkel till origo. Den här framställningen finns i varje anständig bok i elementär differentialgeometri. Arean av torusen ges av
A = 4 Pi 2 a b.
Tröghetsmomentet av en massa, distribuerad över en yta S, m.a.p z-axlen ges av
I = Dubbelintegral över S { (massa/ A) D2 d A}
där D (x,y,z) är avståndet mellan punkten (x,y,z) till z-axeln. d A = | r'u x r'v | d u d v och D2 = x2+y2.
I vårt fall är d A=b(a + b cos v)d u d v och D2 = (a + b cos v)2 och Massa / A = M /(4 Pi2 a b).
Det sökta momentet är alltså
I = Integral[ u från 0 till 2 Pi] Integral[ v från 0 till 2 Pi] {M /(4Pi2 a b)b( a + b cos v)3 d u d v }=
I =( M /2 )(2a2 + 3 b2).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Detta är egentligen en fråga för en matematiskt statistiker och inte för undertecknad!
Det finns (åtminstone) två huvudtolkningar av problemet. Låt P(D) betecka sannolikheten att händelsen D inträffar.
1) Händelsen D inträffar precis en gång eller aldrig. Då är
P(D) = Summa[ t från 1 till oändligheten]{t/( 10t)} = 10/81.
2) Händelsen D inträffar vid tidpunkten t med sannolikhet t / (10t) oberoende om den har inträffat förrut (D kan alltså inträffa flera gånger). Då blir P( D inträffar minst en gång) = 1- P(D inträffar aldrig) = 1- Produkt[ t från 1 till oändligheten]{P( D inträffar ej vid tiden t)} = 1 - Produkt[ t från 1 till oändligheten]{1- P(D inträffar vid tiden t)} som är för komplicerat för att räkna ut (till och med för ett dataprogram som maple!) men svaret blir i alla fall mindre än sannolikheten ovan. Slutsats:
Det är inte säkert att D inträffar i någon av modellerna.
3) Om det är tiden, då t inträffar, som är normalfördelad, så inträffar D i ändlig tid med sannolikheten 1givet att den inte redan inträffat (normalfördelningen kan anta negativa värden).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Enligt Fadi Brunos formel ges n-te derivatan av en sammansatt funktion av:
Dn[g(f)] = Summa[k från 1 till n] {g(k)(f) Pk},
där
Pk = (n! / k!) Summa[ i1 + i2 + i3 + ... + il = k ]{( n! /(i1 ! i2 ! i3 ! ... il !)) f(i1) f(i2) ...f(il) }
Summationen görs alltså över olika partitioner av heltalet k. Den sökta formeln fås om vi sätter g(x) = exp(x ) i Fadi Brunos formel.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret till frågan 3 maj 1997 00.47.15.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Se svaret till frågan 28 jan 1997 10.06.25.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Hypotesen är att det finns ett primtal i intervallet [n 2, (n+1) 2], då n är ett naturligt tal. Detta påstående följer om vi lyckas visa att det existerar ett primtal p i intervallet [n, n+ C(ln n)1+a], för några positiva tal C och a och för stora n. Tyvärr är beviset till detta påstående (om det över huvud taget finns ett sådant) utanför ramen av min verksamhet, därför refererar jag dig till böcker inom talteori däribland en bok av Hardy och Wright : The theory of numbers.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Du kan vända dig till Universitets bilioteket i lund (UB 1) där allt som trycks i Sverige arkiveras. Om det inte finns där så får du vända dig till skolverket.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Om vi alltid avrundar den sista decimalen nedåt eller uppåt så får vi en förskjutning nedåt resp. uppåt i resultatet. För att eliminera denna, så väljer man att avrunda jämna tal nedåt och udda tal uppåt för då kommer det i genomsnitt inte bli någon förskjutning, eftersom det finns lika många jämna som udda tal.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Vi använder formeln för derivation av ett uttryck av formen u/v.
D(u/v) = (v u '- u v')/v2
D(120(ln 2x-3)/ x) = 120 {x.(2/(2x))-(ln 2x-3)}/ x 2 = 120 {1-ln(2x-3)}/ x 2
Wolfgang Staubach.
Svar 1:
Om Jag har förstått din fråga rätt, så har du en cylinderformad tank vars diameter är 1,2 meter och har volymen 4 kubikmeter. Vi kan ju beräkna höjden i denna cylinder vilken borde vara det eftersökta måttet. Volymen av en cylinder är som bekant lika med,
V = Pi (diametern)2·(höjden)/4
Detta ger att höjden är lika med,
höjden = (4·V) / (Pi (diametern) 2)
höjden = (4·4) / (Pi (1,2) 2) = 3,54 m
Wolfgang Staubach.
Svar 2:
Ovanstående gäller om tanken står upp. En liggande cylinder behandlas i 30 januari 1997 09.59.08.
Kjell Elfström
Svar:
Vi gör följande uppställning,
S A M S
I D E A
M A D E
S E N S E
Vi kan konstatera två saker, dels är S skilt från noll och dels måste A vara jämn. Vi har två möjligheter beträffande värdet på S, nämligen S= 2 eller S = 1. Eftersom S + A = 10 och A är jämn så måste S = 2 och därmed är A = 8. Vi får en ny tabell,
2 8 M 2
I D E 8
M 8 D E
2 E N 2 E
Vidare har vi att I + M = 16 + E eller I + M = 17 + E eller I + M = 18 + E. Eftersom M och E är olika och antar endast värden 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 så är I + M < = 16. Av detta följer att I + M = 16 och därmed är E = 0. Vår nya tabell ser ut på följande sätt,
2 8 M 2
I D 0 8
M 8 D 0
2 0 N 2 0
Eftersom 1 + M + D = 12 så är M + D = 11 vilket medför att 1+ 8 + D+ 8 = 20 + N. Detta ger att D = N + 3. Det är klart att N är skilt från 9 , 8 , 7. Om N = 6 så är D = 9 vilket medför att M = 2 som är ogiltigt. På samma sätt kan man exkludera alla värden på N som är skilda från 1. N = 1 är alltså den enda möjligheten. Detta ger att D = 4, M = 7 och I = 9. Vi har alltså,
A = 8 , D = 4 , E = 0 , I = 9 , M = 7 , N = 1 , S= 2
Wolfgang Staubach.
Svar:
Tyvärr kan jag inte svara på din fråga. Var god vänd dig till din mattelärare.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Jag kan nämna en bok av Gunnar Blom , som behandlar dessa saker. Titeln är:
Om spel och beslutsteori.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Det ursprungliga området är en kvadrat vars hörn har koordinaterna, (1,0), (0,-1), (-1,0), (0,1). Koordinatbytet, u=x-y, v=x+y ger ett nytt område som ges av, abs(u-v)+ abs(u-v)<=2. Det nya området är också en kvadrat vars hörn har koordinaterna, (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1).
Wolfgang Staubach.
Svar:
Låt oss sätta konstanten C=ln A, där A är en annan konstant. Höger ledet är då lika med :
-a ln x + ln A = ln (A x -a).
Om vi sätter y/x = u så är vänster ledet lika med
ln {(y/x)+(1+ (y/x)2)1/2} = ln {u+(1+u2)1/2}.
Det följer att,
u+(1+u2)1/2= A x -a .
Detta ger att ,
(1+u2)1/2 = A x -a- u .
Kvadrering ger,
1 + u2 = A 2 x -2a -2A x -a u + u 2
u = (A 2 x -2 a -1)/(2 A x -a)
Sålunda är,
y = (A 2 x -2 a -1)x (a+1)/ 2A
Wolfgang Staubach.
Svar:
Om vi har n olika objekt och vill välja ut k stycken bland dessa (utan hänsyn till ordning) kan detta göras på
(nk) = n!/k!(n-k)! ,
där n! är lika med ;
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)...3·2·1.
Den sökta sannolikheten är per definition lika med antalet gynnsamma fall/antalet möjliga fall. Antalet gynnsamma fall i ditt problem är antal sätt på vilka man kan välja ut 5 element bland 13, ty det finns 13 st hjärter och vi skall välja 5 därur d.v.s 13!/5!(13-5)!=1287. Antalet möjliga fall är enligt ovan 52!/5!(52-5)! = 2598960. Alltså får man att sannolikheten är lika med ;
1287/2598960=0,000495.
Wolfgang Staubach.
Svar:
Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.
Hjalmar Rosengren
Svar:
Tack för en intressant fråga! Som du anmärker har W en enkel Taylorutveckling i 0:
W(x) = summa[n = 1 till oändligheten](-n)n-1xn/n!,
men denna konvergerar bara för x<1/e. Man skulle kunna försöka med att Taylorutveckla kring en annan punkt a. Genom att derivera formeln
W(x)eW(x) = x
n gånger, får man med hjälp av induktion att för n>=1
W(n)(x) = e-nW(x)pn(W(x))/(1+W(x))2n-1,
där pn är ett polynom av grad n-1 med heltalskoefficienter som definieras rekursivt genom
pn+1(x) = -(nx+3n-1)pn(x)+(1+x)pn'(x)
och startvärdet p1(x) = 1. Detta hittade jag i artikeln On the Lambert W-function av Corless et al., som du kan hitta en länk till i avsnittet om Lamberts W-funktion i Eric's Treasure Trove of Mathematics. Taylorutveckling kring x = a ger då
W(x) = W(a)+summa[n = 1 till oändligheten]e-nW(a)pn(W(a))(x-a)n/((1+W(a))2n-1n!).
Låt nu a = rer, så att W(r) = r. Detta ger
W(x) = r+summa[n = 1 till oändligheten]e-nrpn(r)(x-rer)n/((1+r)2n-1n!)
för x nära rer. Här innehåller varje term bara elementära funktioner. Stoppar man in r = 0 och använder att
pn(0) = (-n)n-1
(här står det fel i Corless et al.) får man Taylorutvecklingen i 0. Tyvärr tror jag inte att det finns något enkelt uttryck för pn(r) om r inte är 0.
En annan formel som du kan hitta i Eric's Treasure Trove of Mathematics är en dubbelserie av Bill Gosper,
W(x) = a + summa[n = 0 till oändligheten] (1-ln(x/a)/a)n summa[k = 0 till n] S1(n,k)/((ln(x/a)-a)k-1(n-k+1)!),
där S1(n,k) är Stirlingtal av första slaget. Denna gäller för x nära aea, där jag tror att man bör ha a>1. Jag har inte hittat denna formel någon annanstans. Kanske är den opublicerad (liksom många av Gospers resultat). Man kan visa den genom att Taylorutveckla funktionen
f(x) = W(ex).
På liknande sätt som ovan får man (se igen Corless et al.), för n >= 1,
f(n)(x) = qn(f(x))/(1+f(x))2n-1,
där qn är ett polynom av grad n med heltalskoefficienter som uppfyller
qn+1(x) = -(2n-1)xqn(x)+(x+x2)qn'(x),
q1(x) = x. Här kan man dock hitta den explicita formeln
qn(x) = summa[k = 0 till n-1] E(n-1,k)(-1)k xk+1,
där E(n,k) är Eulertal av andra slaget. Om Euler- och Stirlingtal kan du läsa i många böcker, men allra helst i den utmärkta "Concrete Mathematics" av Graham, Knuth och Patashnik, Addison-Wesley Publishing Company 1989. Om vi nu Taylorutvecklar f kring punkten x = a får vi
f(x) = f(a) + summa[n = 1 till oändligheten] qn(f(a))(x-a)n/((1+f(a))2n-1n!).
Ersätter vi här x med ln x och a med a+ln a så kommer f(a) att ersättas med a, och vi får
W(x) = a + summa[n = 1 till oändligheten] qn(a)(ln(x/a)-a)n/((1+a)2n-1n!)
= a + summa[n = 1 till oändligheten] summa[k = 0 till n-1] E(n-1,k)(-1)k ak+1(ln(x/a)-a)n/((1+a)2n-1n!).
Denna formel är också ett tänkbart svar på din fråga, men om vi vill härleda Gospers formel skriver vi om en faktor som
ak+1/(1+a)2n-1 = summa[j = 2n-k-2 till oändligheten](-1)j+k(j+k2n-2)a-j
(här måste vi anta a>1). Detta stoppar vi in och byter ordning mellan summation i j och k. Detta ger
W(x) = a + summa[n = 1 till oändligheten] summa[j = n-1 till oändligheten] (-1)ja-j(ln(x/a)-a)n/n! summa[k = max(0, 2n-2-j) till n-1] (j+k2n-2)E(n-1,k).
Nu kan den innersta summan beräknas genom att använda en formel från Graham et al., och man får
W(x) = a + summa[n = 1 till oändligheten] summa[j = n-1 till oändligheten] (-1)ja-j(ln(x/a)-a)nS1(j, j-n+1)/n!.
Byter vi nu summationsordning, ersätter n med j+1-n och byter namn på summationsvariablerna får vi Gospers formel.
Om istället a<1 kan vi utveckla faktorn ak+1/(1+a)2n-1 i Taylorserie kring 0. På liknande sätt som ovan finner man att
W(x) = a + summa[n = 1 till oändligheten] summa[j = 0 till oändligheten] (-1)jaj+1(ln(x/a)-a)nS2(n+j, j+1)/n!,
där S2 betecknar Stirlingtal av andra slaget. Denna formel har jag inte hittat i litteraturen. Den bör alltså gälla för 0<a<1 och x nära aea.
Hjalmar Rosengren
Svar:
En boolesk funktion är en funktion från Xn till X, där X är mängden med två element. Om vi kallar elementen i X för 0 och 1 så kan vi uppfatta Xn som en delmängd av Rn. En funktion kallas då lineärt separabel om det finns ett hyperplan så att funktionen tar värdet 0 på ena sidan om detta och värdet 1 på andra sidan. På engelska tycks threshold function, dvs tröskelfunktion, vara en vanligare benämning.
Att uppskatta antalet tröskelfunktioner är ett aktivt forskningsområde. Speciellt finns det ingen enkel formel för antalet. I artikeln "Bounds for the number of threshold function" av A. A. Irmatov, Discrete Math. Appl. 6 (1996), 569-583, finns en kort historik över området. Låt log beteckna logaritmen med bas 2 och P(n) antalet tröskelfunktioner. Ludvig Schäfli gav ca 1850 uppskattningen
log(P(n)) < n2-n log n+O(n),
där O(n) betecknar en obekant funktion som är begränsad för stora n. Detta resultat glömdes bort, och det finns en lång rad senare artiklar där sämre uppskattningar visas. En uppskattning nedåt gavs för första gången av av Yajima och Ibauchi 1965, en förbättrad sådan av Zuev 1989, tills slutligen Kahn, Komlos och Szemeredi i artikeln "On the probability that a random +-1-matrix is singular", J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), 223-240 visade att man även har
log(P(n)) > n2-n log n+O(n),
där O naturligtvis inte är samma funktion som ovan. Irmatov ger mer precisa uppskattningar, men redan med Schäflis och Zuevs resultat får man att P(n) asymptotiskt är lika med
2 upphöjt till n2,
dvs att
gränsvärdet[n går mot oändligheten] P(n)/(2 upphöjt till n2) = 1.
Bevisen för uppskattningarna kan jag inte redogöra för.
Hjalmar Rosengren
Svar:
Sidan Math In Egypt innehåller mycket information och länkar. Se även frågan 19 januari 1998 22.33.25.
Hjalmar Rosengren
Svar:
Hieroglyfer är en benämning på de egyptiska skrivtecknen. När dessa började användas är ingen matematisk fråga.
Hjalmar Rosengren
Svar:
Se svaret på frågan 28 januari 1997 10.06.25.
Hjalmar Rosengren
Svar:
Man kan rita en Kochkurva på följande vis:
Tag en rät linje med längden L och dela den i tre lika stora delar. Placera en liksidig triangel med sidan L/3 på den mittersta delen av linjen och sudda sedan ut den mittersta delen av linjen (och alltså även en sida av triangeln). Man har nu en kurva som består av fyra sammanhängande räta linjer, var och en av längd L/3. Dela in dessa linjer i tre lika stora delar och placera en liksidig triangel med sidan L/32 på varje linjes mittersta del, och sudda sedan ut den mittersta delen av varje linje. Om denna process fortsätter i oändligt många steg, får man en Kochkurva. En dator kan bara utföra ändligt många beräkningar på ändlig tid, men om man bara fortsätter processen tillräckligt många gånger framträder formen på kurvan. Jag hoppas att denna beskrivning är tillräcklig för att du själv ska kunna skriva ett program för att rita upp kurvan.
Jesper Thorén.
Svar:
I allmänhet inte, så man får bilda en funktion av typen
f(x) = ax-bx,
och approximera nollställena till den med hjälp av t. ex. Newton-Raphsons metod.
Jesper Thorén.
Svar:
Låt
ax+by = c
vara en diofantisk ekvation. Om det finns ett heltal d som delar a och b, men som inte delar c, kan ekvationen inte ha någon heltalslösning, eftersom då är ju vänsterledet delbart med d, medan högerledet inte är det. Annars kan man anta att den största gemensamma delaren till a och b är 1, och hitta den allmänna lösningen som i följande exempel:
Betrakta den diofantiska ekvationen
5x+3y = 4.
Låt oss först hitta en lösning (x0,y0) till ekvationen (ibland kallad hjälpekvationen):
5x+3y = 1.
En sådan lösning kan finnas med till exempel Euklides algoritm, eller så kan man gissa sig fram till en lösning. En lösning är
(x0,y0) = (-1,2),
eftersom
5(-1)+3.2 = 1.
Men då är (4x0,4y0) = (-4,8) en lösning till den ursprungliga ekvationen,
5(-4)+3(8) =4.
Antag nu att
(x,y) = (-4+u, 8+v)
är en annan lösning, där u och v är heltal. Då gäller att
5(-4+u)+3(8+v) = 4,
dvs att
5u+3v = 0,
eller att
5u = -3v.
Det följer ur denna ekvation att
u = 3n
för något heltal n, eftersom 3 måste dela vänsterledet, och 3 delar inte 5 (det är alltså här vi använder att största gemensamma delaren av 3 och 5 är 1). Om vi sätter in värdet för u i samma ekvation, får vi att
v = -5n.
Så alla lösningar till den diofantiska ekvationen har formen
(x,y) = (-4+3n,8-5n)
för något heltal n.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret på frågan 28 januari 1997 10.06.25.
Jesper Thorén.
Svar:
Se Eric's Treasure Trove under rubriken Euler line.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret på frågan 16 april 1998 13.59.57.
Jesper Thorén.
Svar:
Lambert visade 1770 att pi är irrationellt med hjälp av kedjebråk. Euler visade att e är irrationellt.
Jesper Thorén.
Svar:
Enligt Vretblad: Algebra och kombinatorik, LIBER, sågs mängdläran under en period på 60- och 70-talen av vissa matematiker som en sorts allroundlösning på alla matematiska och matematikpedagogiska problem. Man har nu insett att mängdläran bara är ett bland flera sätt att uttrycka sig.
Du kan läsa om inledande mängdlära under rubriken Set i Eric's Treasure Trove.
Jesper Thorén.
1. Fiskens längd l cm ges av formeln l = 80(1-0,96^t) där t månader är den tid fisken varit i dammen.
2. Fiskens vikt i gram ges av tabellen
-------------------------------------------------------
Längd/cm 10,1 25,0 32,0 35,4 43,8 45,5 55,7
Vikt7gram 15 236 520 660 1250 1425 2590
--------------------------------------------------------
3. Fiskens livslängd kan bestämmas ur formeln N = 1000*0,96^t där N är antalet fiskar av 1000 utplanterade som är kvar t månader efter utplanteringen.
Hur länge bör fisken vara kvar i dammen? Började med
att få fram ett samband/funktion mellan fiskens längd och vikt.
Ritade upp ett diagram och såg att kurvan liknade en 3:e gradare.
Min funktion blev följande: y=k*x^3. Men hur går jag vidare?
Vet att det är derivata som gäller vid maximala värden men
hur ska jag binda dem samman och få ett slutgiltigt svar?
Mallan
Svar:
Låt v(l) vara vikten av en fisk med längden l. Om vi antar att
v(l) = klb,
för några konstanter k och b, kan vi uppskatta k och b på följande vis:
Om
y = lnv, a = lnk, x = lnl,
gäller att
y = a+bx,
och vi kan skatta a (och därmed k) och b med lineär regression.
När vi gjort detta kan vi bilda en funktion M(t) för fiskodlingens totala vikt vid tiden t, genom att sätta
M(t) = Nv = (1000.0,96t)(k(80(1-0,96t))b).
Vi kan sedan hitta denna funktions största värde genom att derivera och leta nollställen till derivatan.
Jesper Thorén.
Svar:
Jag känner tyvärr inte till detta.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret till frågan 19 april 1998 11.08.37.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret till frågan 19 februari 1997 18.12.48.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret till frågan 3 maj 1998 00.39.35.
Jesper Thorén.
Svar:
Vi använder upplysningarna från frågan 3 maj 1998 01.44.05.
Om det bara hade funnits en otrogen kvinna innan Gud framträdde, hade hon blivit dödad av sin make den första midnatten efter Guds framträdande. Så det finns minst två kvinnor som hade varit otrogna då Gud framträdde. Om det fanns exakt två sådana kvinnor, kommer deras makar att inse att de har varit otrogna den andra dagen och döda dem vid den andra midnatten efter Guds framträdande. Annars finns minst tre kvinnor som varit otrogna innan Gud framträdde, och ingen kvinna blir avrättad den andra midnatten (av de som varit otrogna innan Guds framträdande). Om det fanns precis tre, kommer deras makar den tredje dagen att inse att deras fruar varit otrogna, eftersom annars skulle två av de kvinnor som varit otrogna innan Guds framträdande ha blivit avrättade den andra midnatten. Annars fanns minst fyra otrogna kvinnor och ingen blir avrättad den tredje midnatten. Om det fanns precis fyra, kommer deras makar att inse att deras fruar har varit otrogna den fjärde dagen, eftersom annars skulle tre kvinnor blivit dödade den tredje midnatten. Så här fortsätter det tills alla kvinnor som varit otrogna innan Guds framträdande är döda. Observera att de kvinnor (om det finns några) som endast varit otrogna efter Guds framträdande klarar sig undan om de inte blir upptäckta av sina makar.
Jesper Thorén.
Svar:
a) Om vi kvadratkompletterar ekvationen
z2+4iz-5 = 0,
får vi att
(z+2i)2+4-5 = 0,
dvs att
(z+2i)2 = 1.
Ekvationen w2 = 1 har lösningarna w = 1 och w = -1, så
z+2i = 1, eller z+2i = -1,
vilket ger lösningarna
z = 1-2i, och z = -1-2i.
b) Vi multiplicerar båda leden med -i och erhåller ekvationen
z2-2iz-1 = 0.
Kvadratkomplettering ger att
(z-i)2+1-1 = 0,
dvs att
(z-i)2 = 0.
Denna ekvation har endast lösningen
z = i.
Jesper Thorén.
Svar:
Om vi sätter
u = w',
ska vi alltså först hitta en lösning till ekvationen
u3-2u+2G(x) = 0.
Vi kan lösa ut u som en funktion av x med hjälp av metoden i svaret till frågan 18 mars 1997 02.44.41. Tredjegradsekvationen har dock flera lösningar, och vilken man väljer beror på G(x). Till exempel är
u = (-G(x)+(G(x)2-8/27)1/2)1/3+2/3(-G(x)+(G(x)2-8/27)1/2)-1/3
en lösning då
G(x)2 > 8/27
för alla x.
Att integrera u för att hitta w verkar inte vara lätt, men det beror återigen på vad G(x) är. Återkom gärna om du har fler detaljer.
Jesper Thorén.
Svar:
Tack. Det glädjer oss att någon blir nöjd.
Jesper Thorén.
Svar:
Är det kedjebråk du menar så se svaret till frågan 26 november 1997 12.59.06.
Annars hittade jag några exempel i en gammal lärobok i algebra från 1910:
Exempel 1. Vi ska beräkna roten ur 5625. Roten måste vara tvåsiffrig och då roten ur 56 är större än 7 men mindre än 8, så måste den sökta roten ligga mellan 70 och 80, dvs rotens tiotalssiffra måste vara 7. Kalla entalssiffran x, så att (70+x)2 = 5625, dvs att
4900+140x+x2 = 5625,
eller
140x+x2 = 725.
Om vi i denna likhet först bortser ifrån x2, skulle vi få x genom att dividera 725 (som alltså är det tal som återstår då vi subtraherat tiotalssiffran i kvadrat från det givna talet), med 140 (eller 20 gånger tiotalssiffran). Kvoten 5 (alltså heltalsdelen av 725/140) som erhålles kan vara för stor, eftersom 725 skall vara lika med inte bara 140.5 utan detta ökat med 52. Man provar därför om 140.5+52 eller 5(140+5) eller 5.145 är lika med 725, annars minskas kvoten steg för steg med 1. Här ser vi dock att 5 är den rätta entalssiffran och att roten ur 5625 = 75.
Räkningen kan skrivas
Roten ( 56 | 25) =75
49 | 00
20.7+5=145|725
5 | 725
0.
Exempel 2. Roten ur 56169. Man söker först roten ur 561, och finner då som ovan att roten ur 561 är större än 23 men mindre än 24, varav följer att den sökta roten ligger mellan 230 och 240. Roten kan därför skrivas 230+x, där x är entalssiffran. denna bestäms som i Exempel 1, med 23 i stället för 7. Man subtraherar alltså kvadraten på 230 från 56169, dividerar resten 3269 med 20.23, varvid kvoten blir 7, vilket bör bli enhetssiffran.
Man skriver
Roten (5 | 61 | 69) = 237
4
43 | 161
3 | 129
467 | 3269
7 | 3269
0.
Är talet 7- eller 8-siffrigt, t. ex 25745476, drar man först roten ur talet 257424, och finner då ett denna rot är större än 507 men mindre än 508. Roten ur det givna talet kan då skrivas 5070+x, och som ovan får man x = 4.
När vi vill dra roten ur talet 5 t. ex. drar vi roten ur talet 5,000000...00, med metoden ovan, med tillräckligt många nollor för önskad noggrannhet.
Jesper Thorén.
Svar:
Antag att den årliga räntan är r% . Sätt
p = (1+r/400)
1500 kronor sätts in 1/3 -94 och 1500 den 1/6. Då har vi 1500p+1500 = 1500(p+1) kronor (vi kan anta att räntan r/4% betalas ut varje kvartal). Den 1/9 betalas 1500 in och vi har då 1500(p+1)p+1500 = 1500(p2+p+1) kronor. Fortsätter vi att betala in 1500 kronor var tredje månad, har vi den 1/12 -97
1500(p15+p14+p13+...+p2+p+1) kronor.
Detta ska vara lika med 27500 kronor, så vi får en ekvation
p15+p14+p13+...+p2+p+1= 275/15.
Med Newton-Raphsons metod får vi att p är ungefär 1,0178647, vilket ger att
r = 7,15%.
Jesper Thorén.
Svar:
Se svaret till frågan 30 april 1998 22.17.55.
Jesper Thorén.
tan(a+da)-tan(a)
lim --------------------- , da + a < pi/2
a->pi/2 da/w + 1/(c*cos(a+da)
da->0
w och c är konstanter. Genom att sätta in värden kommer jag fram till att gränsvärdet är c, men jag skulle vilja ha ett bevis för detta. Mvh Rickard Bengtsson
Svar:
Variablerna a och da är inte oberoende. Om a är fixt och da > 0 ser vi genom att multiplicera med da/da att gränsvärdet blir 0 då da går mot 0. Återkom gärna med en beskrivning av hur da beror på a.
Jesper Thorén.
|
Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström |
|
