Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar april 1998

Svar:

En ellips med halvaxlarna a och b, där a >= b > 0, har ekvationen

Den övre halvan av ellipsen har ekvationen

(se svaret till frågan 26 april 1998 11.38.18), så att

Omkretsen av ellipsen är fyra gånger längden av den bit av ellipsen som ligger i första kvadranten.

Längden av en kurva y = f(x), där f är en funktion som har en kontinuerlig derivata mellan s och t ges av

så omkretsen av ellipsen är

Om vi gör variabelbytet

får vi att

där

kallas excentriciteten hos ellipsen. Integralen S/(4a) är en fullständig elliptisk integral av andra sorten och kan i allmänhet inte beräknas exakt, men numeriska metoder kan användas för att approximera S för olika E (dvs olika a och b). Det finns också färdiga tabeller med värden på integralen för olika val av E. Om a = b, så att ellipsen är en cirkel med radien a, blir dock E = 0, så att S = 4a^.pi/2 = 2pia.

Jesper Thorén.

lim (x->oänligheten) [(1+1/(x+1))^(x+1)-(1+1/x)^x]

(^betyder upphöjt till) Hoppas att du/ni kan hjälpa mig!!!
Sofia Sundström

Svar:

Observera att talet e definieras som

och eftersom x+1 går mot oändligheten då x går mot oändligheten blir

så att använda Taylorutvecklingar för att beräkna gränsvärdet är onödigt.

Jesper Thorén.

lim(x->0) (ln(cos x- sin x)+kx)/x^2)

existerar. Ange också gränsvärdet. (^betyder upphöjt i) Tacksam för hjälp!!
Pelle Eriksson

Svar:

Eftersom

och

där B₁, B₂, B₃ är funktioner som är begränsade nära 0, blir

och

där B₄, B₅, B₆ är funktioner som är begränsade nära 0. Om vi adderar kx till högerledet ovan och dividerar med x², får vi uttrycket

där B är en funktion som är begränsad nära 0. Om k=1 går detta uttryck mot -1 då x går mot 0, och om k inte är 1 finns inget gränsvärde. Så k måste vara 1 om gränsvärdet ska existera, och det blir i så fall -1.

Jesper Thorén.

Svar:

Det finns många differentialekvationer som inte går att lösas exakt, till exempel

eller

och man kan visa att i allmänhet kan man inte lösa begynnelsevärdesproblemet

och då måste man approximera lösningarna med olika metoder. Jag får hänvisa till litteraturen om icke-lineära ordinära differentialekvationer.

Jesper Thorén.

Svar:

Om du vill veta på hur många sätt man kan lägga fyra element i en rad, kan man resonera på följande vis:

Det första elementet kan väljas på 4 sätt. När vi har valt det, finns det 3 element som kan placeras på den andra platsen, och sen 2 på den tredje platsen. Sammanlagt får vi 4^.3^.2^.1 = 24 olika rader. För allmänt n gäller att n element kan placeras på en rad på

sätt ( betecknas n! och utläses "n-fakultet")

Inom matematiken definieras en permutation av k element ur n givna som ett sätt att lägga ut k av de n elementen i en rad (t.ex är 123 och 213 två olika permutationer av de fyra elementen 1, 2 ,3 och 4). Om k = n får vi alltså fallet ovan, och för allmänt k gäller att antalet permutationer av k element ur n är

vilket man visar på samma sätt som specialfallet ovan.

En kombination av k element ur n givna definieras som ett sätt att välja ut k element ur n givna om man inte tar hänsyn till ordningen mellan de utvalda (t. ex. är 123 och 213 samma kombination av de fyra elementen 1, 2, 3 och 4). Antalet kombinationer av k element ur n givna blir då

(vilket betecknas (ⁿ_k) och utläses "n över k" (n och k ska stå rakt ovanför varandra i beteckningen)), eftersom om vi kan välja k! permutationer av k element ur de n givna, som var och en ger samma kombination.

Så då blir t. ex. antalet kombinationer av 2 element ur 4 givna

Jesper Thorén.

Svar:

Ett sådant bevis skulle vara allt för omfattande för att tas upp här, men se t. ex. i Stewart: Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics.

Jesper Thorén.

y/x =(2-(dy/dx))/(1-(dy/dx)^2).

Skulle du vilja vara en ängel och lösa den åt oss? Tack på förhand studenterna
Anna, Henrik

Svar:

Den enda lösningen till differentialekvationen

jag lyckats hitta är

där A är den reella lösningen till ekvationen

Jesper Thorén.

Svar:

Jag tolkar frågan på följande vis:

Antag att ett föremål med massa m kastas från en höjd av y₀ meter med utgångsvinkel a, 40° < a < 50° mot den plana horisontala marken, och med en hastighet av v₀ m/s. Bestäm a så att föremålet landar så långt bort som möjligt.

Låt x-axeln vara marken, och punkten (0,y₀) den punkt varifrån man kastar föremålet. Den enda kraft F som verkar på föremålet efter det är kastat är tyngdkraften, så komponenterna av F i x- och y-riktning är

där g är tyngdaccelerationen. Så enligt Newtons andra rörelselag är

där (x(t),y(t)) är föremålets position i planet vid tiden t. Integration med avseende på t ger att

för konstanter A och B. Vid t = 0 är

så A = v₀cosa, och B = v₀sina. Integration av v_x och v_y ger att

Eftersom

blir C = 0, D = y₀.

Så

är en parametrisering av kurvan föremålet följer. Löser vi ut t i ekvationen för x(t) och sätter in i den för y(t) får vi funktionskurvan

Då föremålet landar är y = 0, dvs

Med x positivt och y₀ => 0, har ekvationen lösningen

Vi vill nu hitta den vinkel a som ger det största värdet på x i denna formel. Sätt

och observera att

Vi får att

Genom att derivera denna funktion med avseende på s och sätta derivatan lika med 0, får vi att

dvs

är ett maximum för x(s) då 0° < a < 90°. Det gäller sedan att kolla om a ligger mellan 40° och 50°, men detta beror på vad man har valt y₀ till. Av formeln ser man att om y₀ är tillräckligt stort så måste a vara mindre än 40°, så då får vi alltså a = 40° som den vinkel vilken ger det längsta kastet i intervallet, annars ges a ur formeln. Observera också att eftersom y₀ inte är negativt måste a vara mindre än eller lika med 45° (lika med då y₀ = 0).

Jesper Thorén.

Svar:

Nej, det går inte att beskriva kurvor som har Hausdorff-Besicovitchdimension > 1 som funktioner (kontinuerliga funktioner har topologisk dimension 1, medan Kochkurvor har Hausdorff- Besicovitchdimension ln4/ln3). Detta ämne är alltför omfattande för att beskrivas här, men lite information kan finnas på Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

a) 3x^4 + 4x^3 - 36x^2 - a = 0

b) e^x = ax^2

Beror antalet rötter av konstanten a ? Utred detta med så generella metoder som möjligt. (Snälla kan du svara mig idag)
Niaz ,k

Svar:

a) Låt

Vi ska finna antalet rötter till ekvationen

för olika val av a. Det enklaste sättet att göra detta är att rita kurvan y = f(x) och sedan räkna hur många gånger den skär linjen y = a för olika a. Så vi ritar y = f(x).

Först noterar vi att f(x) är kontinuerlig på R och att

då x går mot oändligheten och då x går mot -oändligheten. Vidare är derivatan

lika med 0 då

Eftersom

har f ett lokalt minimum i (-3,-189), ett lokalt maximum i (0,0) och ett lokalt minimum i (2,-64). Vi kan nu rita y = f(x), och linjen y = a för olika a, och vi ser att då

a < -189 har f(x) = a inga rötter;

a = -189 har f(x) = a precis en rot;

189 < a < -64, eller då a > 0, har f(x) = a två rötter;

a = -64, eller då a = 0, har f(x) = a tre rötter;

-64 < a < 0 har f(x) = a fyra rötter.

Så antalet rötter beror i allra högsta grad på valet av konstanten a.

b) Vi sätter

och ska, som i a), rita y = f(x) och räkna antalet skärningar med linjen y = a för olika a.

Först ser vi att f(x) alltid är positivt och att f är kontinuerlig i alla punkter utom i x = 0 (där f ej är definierad),och

då x går mot oändligheten, och då x går mot 0,

då x går mot -oändligheten. Derivatan av f är

med nollställe i

Teckenstudium kring x = 0 och x = 2 ger att

och att

f(x) har alltså ett lokalt minimum i (2,e²/4), och vi ser genom att rita y = f(x) att då

a <= 0 har f(x) = a inga rötter;

0 < a < e²/4 har f(x) = a en rot;

a = e²/4 har f(x) = a två rötter;

a > e²/4 har f(x) = a tre rötter.

Jesper Thorén.

Svar:

Läs inledningen till svaret till frågan 21 april 1998 15.51.07.

Jesper Thorén.

Svar:

Läs inledningen till svaret till frågan 21 april 1998 15.51.07.

Jesper Thorén.

Svar:

Läs inledningen till svaret till frågan 21 april 1998 15.51.07.

Jesper Thorén.

Svar:

Om föremålet har massan m och befinner sig på avståndet x=x(t) från jordens centrum (jorden antas vara en sfär med radien R) vid tiden t, påverkas det endligt Newtons gravitationslag av en kraft F, riktad mot jorden, som är

där g är gravitationskonstanten. Enligt Newtons andra rörelselag gäller även att

Så x uppfyller differentialekvationen

Om v = dx/dt, kan vi skriva

så att

och om vi integrerar med startvärdena

får vi att

Skriv

så att

där

Integration med startvärdet x(0) = 2R ger

Föremålet slår i marken då x(t) = R, och då blir tiden

Jesper Thorén.

Svar:

En ellips med halvaxlarna a>0 och b>0 har ekvationen

och man ser att det är omöjligt att skriva y som en funktion av x, eftersom till varje y-värde finns två x-värden. Men ellipsen består av två delar som kan beskrivas av funktionerna

och

och ellipsens area är lika med arean som begränsas av dessa två funktionskurvor. Av symmetriskäl är arean lika med

och med variabelbytet

blir

och

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 19 november 1997 20.42.10.

Jesper Thorén.

Svar:

Observera att

så enligt formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen

dvs

Så

eller

I det första fallet får vi att

dvs

I det andra fallet får vi på samma sätt lösningarna

och

Jesper Thorén.

Svar:

Dina frågor om Mandelbrotmängden kan du få svar på i Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

Svar:

Se Eric's Treasure Trove under rubriken Boolean Algebra.

Jesper Thorén.

Svar:

Om

är ett polynom med a₀, a₁, ... , a_n heltal, och om f(a) = 0 för något heltal a, gäller enligt faktorsatsen att det finns ett polynom

sådant att

Låt oss visa att g(x) har heltalskoefficienter. Nu är

så genom att jämföra koefficienter med f(x) får vi att

så b₀, ... ,b_n-1 är heltal eftersom a₀, ... , a_n är det. Så g(m) är ett heltal för alla heltal m.

Talet p(7) i ditt exempel (p(x) = x^n-1+x^n-2+...+x+1) är alltså ett heltal, men jag håller med om att detta inte är självklart om man inte har genomfört räkningarna ovan.

Jesper Thorén.

Svar:

Antag att vi skiftar plats på däcken efter x km. Vi har då slitit upp x/a av framdäcken, och x/b av bakdäcken. Om vi nu kör y km till, sliter vi upp y/b av de nya bakdäcken, och y/a av de nya framdäcken (vi har här antagit att slitaget inte beror på hur långt vi har kört innan bytet). Av de nya bakdäcken har vi då kvar

och av de nya framdäcken

Den körda sträckan x+y maximeras då båda dessa ekvationer är lika med 0, vilket inses genom att rita de båda linjerna i planet för olika konstanter i högerledet. Vi får ur ekvationssystemet att

dvs att den maximala sträckan man kan köra är 2ab/(a+b).

Jesper Thorén.

Svar:

Vi noterar att

så vi kan skriva

Eftersom

gäller att om 7 delar abc, är

för något heltal n. Vi har då att

så 7 delar -a+2b+3c enligt entydigheten av primtalsfaktorisering. Omvänt, om

för något heltal m, är

så 7 delar abc.

Jesper Thorén.

2. Hur löser man ekvationen cos4x=sinx
Stina-Lill Persson

Svar:

1. Vi har att

dvs

så

för alla heltal n.

2. Genom att använda de trigonometriska formlerna för dubbla vinkeln får vi att

så om vi sätter

ska vi lösa ekvationen

dvs

Ekvationen har lösningarna

Lösningen t = 1 ger att

dvs

för alla heltal n.

Lösningen t = 1/2 ger att

så att

och

för alla heltal n.

Lösningen t = (-1+5^1/2)/4, ger lösningarna

och

för alla heltal n.

Slutligen ger lösningen t = (-1-5^1/2)/4 lösningarna

och

för alla heltal n.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag antar att du menar en fyrhörning i planet.

Beteckna med A, B, C och D hörnen i fyrhörningen ordnade motsols, och med A', B', C' och D' punkterna mitt på sträckorna AB, BC, CD och DA resp. Beteckna i fortsättningen vektorn mellan två punkter X och Y, i riktningen från X till Y med XY. För att visa att vektorerna A'B', B'C', C'D' och D'A' bildar ett parallellogram, räcker det enligt definitionen av vektoraddition att visa att

Men

och

så att

Eftersom

dvs

och

blir

ch påståendet är visat.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag vet inte vad en median i en cirkel är, men menar du en korda, kallas biten som skärs av ett segment.

Jesper Thorén.

Svar:

I svaret till frågan 25 november 1997 20.29.19 visas att f måste vara mätbar.

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 19 april 1998 22.08.13.

Jesper Thorén.

Svar:

Fermats lilla sats säger att för alla primtal p, gäller att

för alla heltal a. Detta betyder att p är en faktor i (eller delar)

Speciellt följer att om p inte delar a, så är

dvs p är en faktor i

Låt p vara ett primtal. Vi visar med induktion över a att p delar a^p-a, för alla heltal a=>0. Det följer sedan att p delar a^p-a för alla heltal a (alltså även de negativa), genom att vi observerar att om p=2 är

vilket alltid är jämnt (oberoende av tecknet på a), och om p är udda är

Då a=0 eller då a=1 är det klart att p delar a^p-a = 0.

Antag, med induktion, att p delar a^p-a, för något heltal a>0. Vi ska visa att p delar (a+1)^p-(a+1). Enligt binomialsatsen är

Enligt induktionsantagandet delar p a^p-a, och för binomialkoefficienterna gäller att

och det är inte svårt att se att p delar (^p_k). Så p delar (a+1)^p-(a+1), och enligt induktionsprincipen gäller då att p delar a^p-a för alla heltal a =>0.

Satsen är visad.

Jesper Thorén.

Svar:

Läs inledningen till svaret på frågan 21 april 1998 15.51.07.

Jesper Thorén.

Svar:

Läs inledningen till svaret på frågan 21 april 1998 15.51.07.

Jesper Thorén.

Svar:

De grekiska bokstäverna epsilon och delta används enligt traditionen i definitionen av gränsvärdet av en funktion f(x) som är definierad i en (punkterad) omgivning av en punkt a:

Funktionen f(x) säges ha gränsvärdet A då x går mot a, om det för varje val av epsilon > 0, finns ett tal delta > 0 (delta beror på epsilon) sådant att

då

Vi skriver i så fall

eller

Det betyder att om f(x) går mot A då x går mot a, kan vi välja ett positivt tal epsilon hur litet som helst, och alltid hitta ett positivt tal delta så att då avståndet mellan x och a är mindre än delta, är avståndet mellan f(x) och A mindre än epsilon. Så f(x) kan komma hur nära A som helst, bara x är tillräckligt nära a. Omvänt, om f(x) kan komma hur nära A som helst bara x är tillräckligt nära a, går f(x) mot A då x går mot a.

Definitionen av gränsvärden på den här formen gavs 1821 av den franske matematikern Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).

Jesper Thorén.

Svar:

Jag känner tyvärr inte till någon multiplikationsalgoritm för romerska tal, och har inte heller lyckats hitta någon. Se här för en diskussion om svårigheterna med att finna en sådan algoritm.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag måste tyvärr hänvisa till litteratur i matematisk statistik.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag nöjer mig med att betrakta ett exempel för att beskriva hur liggandestolenalgoritmen fungerar (och att den fungerar).

Låt oss dela 43534 med 7. Vi vill alltså hitta heltal q och r sådana att

och

q kallas kvoten och r resten av divisionen (resten kan alltså vara 0, i vilket fall divisionen går jämnt ut).

Först subtraherar man så många heltals multipler av 7000 från 43534 man kan, så att man har kvar något positivt:

Sedan subtraherar man så många heltalsmultipler av 700 man kan från 1534:

och multipler av 70 från 134:

och slutligen heltalsmultipler av 7 från 64:

Eftersom 1 < 7 fortsätter vi inte längre, (men man kan fortsätta subtrahera heltalsmultipler av 0,7 från 1 och sen 0,007 osv.). Vi har nu att

Så

Liggandestolenalgoritmen är alltså ett kortfattat sätt att skriva räkningarna ovan, och man kan se att den fungerar för division mellan två allmänna tal genom att skriva ut varje led som i exemplet ovan..

Jesper Thorén.

Svar:

Läs först inledningen till svaret till frågan 21 april 1998 15.51.07.

Låt O vara origo i sfären g med radien R. Beteckna med C₁, C₂ och C₃ centrum i de cirklar som fås i skärningen mellan g och de plan som spänns upp av (h₂,h₃), (h₁,h₃) och (h₁,h₂) resp. Linjen L_i mellan O och C_i är parallell med kordan h_i, så L₁, L₂ och L₃ är parvis ortogonala, och de spänner upp ett rätblock med bl. a hörnen O, C₁, C₂, C₃. Punkten P ligger i hörnet längst bort från O. Om l(L_i) betecknar avståndet från O till C_i och l(P) avståndet från O till P, gäller enligt Pythagoras sats att

Radien r_i i cirkeln med centrum C_i uppfyller

för i=1,2,3, eftersom L_i är ortogonal mot motsvarande cirkels plan. Summan av areorna av cirklarna är då

dvs oberoende av hur h₁,h₂ och h₃ är placerade.

Jesper Thorén.

Svar:

På grund av tidsbrist kommer vi i fortsättningen tyvärr inte att kunna svara på frågor av typen tankenötter eller tävlingsproblem i sådan mängd som vi hittills gjort.

Låt oss genomföra följande byte av variabler:

så att

Det räcker att hitta de positiva heltal m sådana att

är delbart med uvw.Eftersom u,v och w är irreducibla och lineärt oberoende polynom, räcker det att hitta de positiva heltal m sådana att f(u,v,w) är delbart med u,v och w var för sig. Enligt binomialsatsen är

för något polynom g(u,v,w). Vi ser nu att u är en faktor i f(u,v,w) om och endast om m är ett udda positivt heltal. På samma sätt visar man att v och w är faktorer i f(u,v,w) om och endast om m är ett udda positivt heltal. Det följer att uvw är en faktor i f(u,v,w) om och endast om m är ett udda positivt heltal.

Jesper Thorén.

Svar:

För ett svar på första delen av din fråga, se svaret till frågan 15 september 1997 16.45.11. De två komplexa talen

uppfyller båda ekvationen

Jag förstår inte riktigt vad du menar med "kvadratiska företeelser", men om du menar den n-dimensionella kuben:

kan man resonera på följande sätt:

Varje hörn är en punkt (x₁,...,x_n), där varje x_j är 0 eller 1. Det finns 2ⁿ sådana punkter, och därmed 2ⁿ hörn.

Notera att sidorna begränsas av k-dimensionella kuber, där k < n, t. ex. är sidorna i en kub kvadrater, dvs 2-dimensionella kuber, och kanterna 1-dimensionella kuber. Låt oss titta på fallet k=n-1, dvs vi vill hitta antalet (n-1)-dimensionella kuber som begränsar den n-dimensionella kuben. Fixera ett j så att x_j=0 eller 1. Varje val av de övriga n-1 talen x_i ur {0,1} ger upphov till vektorer som begränsar en (n-1)-kub. Eftersom j kan väljas på n sätt, och x_j på två sätt, får vi att antalet (n-1)-dimensionella kuber som begränsar en n-dimensionell kub är

Allmänt kan man visa att antalet k-dimensionella kuber som begränsar den n-dimensionella kuben är

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 14 december 1997 13.32.37.

Jesper Thorén.

Svar:

En rationell funktion är en funktion av formen

där p och q är polynomfunktioner. Om vi inför kravet att graden av polynomfunktionen q är 1 eller högre, säger man att f är en bruten rationell funktion.

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 21 april 1998 13.01.28.

Jesper Thorén.

Svar:

En funktionskurva kan ha tre sorters asymptoter:

1. y=f(x) har en vertikal asymptot i x=a om

eller

eller båda.

Exempel: Låt

Då är

Så f har en vertikal asymptot i x=0 och en i x=1.

2. y=f(x) har en horisontal asymptot y=L om

eller

eller båda (i vilket fall y=L är en tvåsidig asymptot, annars ensidig).

Exempel: Låt

Då har f den horisontala asymptoten y=0, och

har den horisontala asymptoten y=1, eftersom

Dessa båda är tvåsidiga asymptoter. Funktionskurvan

har de båda ensidiga asymptoterna y=pi/2 då x går mot oändligheten och y=-pi/2då x går mot -oändligheten.

3. y=f(x) har en sned asymptot y=kx+m om

eller

eller båda. Detta innebär att avståndet mellan kurvan y=f(x) och linjen y=kx+m går mot 0 då x går mot +-oändligheten. Om y=f(x) har en sned asymptot y=kx+m då x går mot oändligheten, kan man finna k och m på följande vis (fallet då x går mot -oändligheten behandlas analogt): Eftersom

då x går mot oändligheten, gäller att

då x går mot oändligheten, så

då x går mot oändligheten, dvs

då x går mot oändligheten. Så om f(x)/x går mot oändligheten har f ingen sned asymptot. Om k är ändlig gäller, eftersom

att

då x går mot oändligheten.

Exempel: Låt

Då gäller att

då x går mot oändligheten, och att

då x går mot oändligheten, så y=f(x) har den sneda asymptoten y=2x-4 då x går mot oändligheten.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag känner tyvärr inte till svaret på denna fråga. Jag föreslår att du frågar någon som är kunnig i biologi.

Jesper Thorén.

Svar:

Den färdiga bägaren ska bestå av 70 g silver, och 30 g annat, och allt som inte är silver måste komma från stycket som innehåller 60 % silver. Om x betecknar antalet gram vi tar av silverlegeringen, är alltså

dvs x = 75 g. Bägaren ska väga 100 g, så vi måste då ta 25 g av stycket med rent silver.

Jesper Thorén.

Svar:

Cayley-Hamiltons sats säger att varje kvadratisk matris A uppfyller sin karakteristiska ekvation, dvs att om

så är

Speciellt uppfyller alltså A en matrisekvation

där c0,c1,...,cn-1 är konstanter. Med hjälp av detta kan man visa att om f(z) är en hel funktion, så är f(A) ett polynom i A, och det är ett bra resultat eftersom man då kan arbeta med polynom istället för med formella potensserier. Till exempel är

faktiskt ett polynom i A för alla kvadratiska matriser A. Jag hänvisar till KG Andersson, LC Böiers: Ordinära differentialekvationer, Studentlitteratur, för definitioner och bevis av dessa påståenden.

Jesper Thorén.

Svar:

Antag att den innersta cirkeln har centrum i origo. I en regelbunden n-hörning är alla vinklar vid hörnen lika stora, och om man drar lika långa linjer från origo till varje hörn, kommer vinkeln mellan dessa linjer att vara 2pi/n, och deras längd lika med radien i den cirkel som går genom hörnen i n-hörningen, dvs r_n+1. Cirkeln med radien r_n som är inskriven i n-hörningen tangerar n-hörningen i de punkter som ligger mitt på kanterna mellan hörnen. Kalla en linje från origo till en sådan mittpunkt för L. Då är längden av L r_n och vinkeln mellan L och en linje från origo till ett av de till L närliggande hörnen lika med pi/n. Eftersom vinkeln mellan L och kanten är rät, får vi att

Så med induktion kan vi visa att

Vi ska nu studera gränsvärdet av följden r_n då n går mot oändligheten. Observera att

så om

konvergerar då n går mot oändligheten, konvergerar r_n då n går mot oändligheten. Taylorutvecklingarna

där B₁(x), B₂(x) är begränsade funktioner då x är nära 0, ger att

där B(x) är begränsad då x är nära 0 (dvs att B(pi/k) är begränsad då k är stort). Eftersom

då k går mot oändligheten, och eftersom

är en konvergent serie, konvergerar serien

och därmed är

för någon konstant C, (C > 0), så att

vilket är ett ändligt tal (ungefär 8,70003663).

Jesper Thorén.

Svar:

1. Låt B vara origo i planet, A vara punkten (100,0) på x-axeln, och låt W vara vektorn parallell med y-axeln med längden w, där w är flodens hastighet. Låt (x,y)=(x(t),y(t)) vara båtens position vid varje tidpunkt t. Vektorn V som representerar riktningen och hastigheten v som båten rors i pekar i riktningen från (x,y) mot B. Diagonalen i parallellogrammet som spänns upp av V och W representerar båtens faktiska riktning och hastighet vid tiden t, och tangerar alltså kurvan som båten följer. Dess riktning måste då vara lika med lutningen dy/dx av den sökta kurvan. Låt a vara vinkeln mellan V och x-axeln. Då är komponenterna av V+W

Eftersom

får vi att

så att

För att lösa denna differentialekvation skriver vi den som

och med

blir

så att ekvationen kan skrivas

eller

vilket är en differentialekvation med separabla variabler. Med begynnelsevärdena

får vi lösninmgen

dvs

är ekvationen för kurvan som båten följer.

2. Om

blir

så med x = 0 blir y = 50, dvs båten når andra sidan av floden, men 50 meter från B.

Om

är

så då x går mot 0⁺, går (x/100)^1-w/v mot oändligheten. Så y går mot oändligheten, dvs båten kommer aldrig fram till andra sidan av floden.

Om

är

så att då x = 0 är y = 0, så båten kommer fram till andra sidan i punkten B.

Sammanfattningsvis får vi alltså att båten kommer fram till andra sidan i punkten B om och endast om personen ror fortare än flodens hastighet.

Jesper Thorén.

Svar:

Tyvärr skulle ett sådant bevis ta upp allt för mycket plats här, men finns att finna i t.ex. Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall. Jag känner tyvärr inte till om det finns ett bevis utlagt på nätet.

Jesper Thorén.

Svar:

Robert H. Risch publicerade 1969 artikeln "The problem of integration in finite terms" i Transactions of the American Mathematical Society 139, sid 167-189.

Jesper Thorén.

Svar:

Oftast väljer man att "jämna ut" histogram, eller att skatta mätvärden, med kända täthetsfunktioner i stället för polynom, vilket verkar mer naturligt,eftersom sådana polynomuppskattningar kan göras på flera olika sätt. Hur man gör kan man läsa i böcker i matematisk statistik, t.ex. G.Blom: Statistikteori med tillämpningar, Studentlitteratur.

Jesper Thorén.

Svar:

Med risk för att verka petig vill jag döpa om den konstanta tiden till T, och använda t som den varierande tiden. Person 2 springer då med den konstanta hastigheten

Låt v(t) beteckna Person 1's hastighet vid tiden t. Då uppfyller v(t) differentialekvationen

eftersom

Denna har lösningen

och med v(0)=0, får vi att

Jesper Thorén.

Svar:

Att e är irrationellt visas i svaret till frågan 6 maj 1997 09.26.40 , och att pi är irrationellt visas på ett lättillgängligt sätt t.ex. i Stewart: Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics. En definition av transcendenta tal och vad som gäller för e och pi i detta avseende finns bl.a. i svaret till frågan 15 oktober 1997 18.54.05.

Jesper Thorén.

Svar:

Vi ska använda teorin för Markovkedjor, som beskrivs t.ex. i G.Blom: Sannolikhetsteori med tillämpningar, Studentlitteratur.

Antag att man har byggt n moduler, och låt tillstånden E₁,E₂,...,E_n vara,

E₁="50 eller färre människor fick inte följa med bussen",

E₂="75 människor fick inte följa med bussen",

E₃="100 människor fick inte följa med bussen",

...

E_n-1="25n människor fick inte följa med bussen"

E_n="Några människor börjar gå".

Sannolikheten att man efter det att bussen har gått befinner sig i tillståndet E_j om man efter det att förra bussen gick befann sig i tillståndet E_i, ges av elementet på rad i och kolonn j i den så kallade övergångsmatrisen P, där 4P är:

Om p=(p₁,p₂,p₃,...,p_n), med p₁+p₂+p₃+...+p_n=1 är en lösning till ekvationssystemet

är sannolikheten att man befinner sig i tillstånd E_i (efter lång tid) lika med p_i. Vi söker det minsta n så att p_n <0,01, och direkt uträkning med n=5 visar att p₅=1/79, men om n=6 får vi att p_n=1/195, så man måste bygga minst 6 moduler.

Jesper Thorén.

1. A 9x9 chessboard is is packed with 1x2 dominoes such that only one corner of the board is left uncovered. Prove that the uncovered field of the board can be transferred to any other corner by shifting the dominoes about on the board.

2. Semicircles are drawn externally on each side of the acute triangle ABC. The altitudes drawn from vertices A,B,C intersect the semicircles in points E,F,G, respectively. Prove that the hexagon AGBECF can be folded into a pyramid of base ABC.
Alexi

Svar:

1. Det räcker att visa att om den tomma rutan befinner sig uppe i det vänstra hörnet, kan vi flytta brickorna så att vi hamnar uppe i det högra hörnet. För att komma till det övre högra hörnet måste brickan som täcker det flyttas i den riktning som anges av den korta sida som inte ligger på kanten av schackbrädet. Innan denna flytt måste den bricka som angränsar till den korta sidan flyttas i en riktning som anges av den korta sida som inte ligger vid den ruta som angränsar till den förra brickan. Innan denna andra bricka kan flyttas, måste en tredje flyttas, osv. Vi får en väg av brickor som startar i det övre högra hörnet. Om denna väg inte slutar på rutan direkt till höger, eller direkt under det övre vänstra hörnet, måste vägen antingen sluta vid en kant av brädet, eller innehålla en cykel. Men brädet har nio rutor vågrätt och lodrätt, så vägen kan inte sluta vid vänstra eller nedre kanten eftersom den täcker ett jämnt antal rutor. Vägen kan inte heller sluta vid den övre eller högra kanten, eftersom om den går ett udda antal rader eller kolonner ut från en av dessa kanter, behövs ett udda antal för att komma tillbaka, så vägen måste då svänga ett udda antal gånger. Slutligen kan vägen inte heller sluta i en cykel, eftersom en sådan cykel skulle bilda en rand till ett område som består av ett udda antal rutor, vilka omöjligt kan täckas av dominobrickor. Så genom att följa denna väg från övre vänstra hörnet, hamnar vi i det övre högra hörnet.

2. Det räcker att visa att sidan BG är lika lång som BE, AF är lika lång som AG, och att CE är lika lång som CF. Vi visar först att BG är lika lång som BE. Låt M vara punkten där höjden CG skär sidan AB, och N vara punkten där höjden AE skär sidan BC. Notera att vinklarna AGB och CEB är räta. Om X är en sträcka, beteckna längden av sträckan med l(X). Likformighet ger att

dvs

och att

dvs

Vidare är också

Så

vilket ger att

På samma sätt visar man att AF är lika lång som AG och att CE är lika lång som CF, så att vi är klara.

Jesper Thorén.

Martin
Martin Andersson

Svar:

En ellips med centrum i (0,0) och halvaxlarna a och b, är mängden av punkter (x,y) i planet som uppfyller ekvationen

Speciellt ser vi genom att välja a=b, att en cirkel med centrum i (0,0) och radien a är ett specialfall av av en ellips, eftersom (x,y) då uppfyller

Ellipser används i matematiken inom många områden, till exempel geometri, och att beskriva alla dessa låter sig inte göras. I naturen förekommer ellipsen som form, till exempel upptäckte Kepler i början av 1600-talet att planeterna rör sig i elliptiska banor, så ellipsen används inom astronomin. Du kan ju prova att Fråga astronomen. En rigorös genomgång görs i avdelningen ellipse i Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

Martin
Martin Andersson

Svar:

De tre typer av kurvor, ellipsen, parabeln och hyperbeln, som kan bildas genom att ett plan skär en kon kallas koniska sektioner, eller kägelsnitt. Mer information kan fås i avdelningen conic section i Eric's Treasure Trove.

Jesper Thorén.

Svar:

Vi antar att stången befinner sig minst 20 meter ovanför marken. Låt repets massa vara 20M, dvs repet väger M kg per meter. Om repet hade hängt på stången med 10 meter på vardera sidan av stången hade det befunnit sig i jämvikt. Låt y(t) beteckna avståndet mellan den ena repänden och jämviktsläget vid tiden t. Så

Om den ena repänden har avståndet y(t) till jämviktsläget, har den andra det också, så den resulterande kraften F som rör repet är

där g betecknar tyngdaccelerationen. Men enligt Newtons andra rörelselag är

så y(t) uppfyller differentialekvationen

med den allmänna lösningen

där (exp(x)=e^x, och) A och B är reella konstanter. Med begynnelsevärdena

får vi lösningen

Repet lämnar stången då

Sätt

Då ska

dvs

där

är den enda lösningen som ger ett positivt t, nämligen

Jesper Thorén.

Svar:

Som mitt förra svar antydde är det viktigt att lära sig algoritmer för att kunna lösa problem inom matematiken. Tragglande algoritmräkning går ju också ut på att eleverna ska lära sig att använda algoritmer för att lösa problem. Därmed inte sagt att eleverna inte behöver vara bra på överslagsräkning eller i att använda miniräknare, utan en kombination av båda är nog bäst. Jag föreslår därför att du vänder dig till någon som utbildar lärare i matematik, eftersom din fråga egentligen handlar mer om pedagogik än om matematik.

Jesper Thorén.

o______x______o______x_______o
|             |              |
x             x              x
|             |              |
o--x---o------o--x----o---x--o
|      |              |      |
x      x              x      x
|      |              |      |
o__x___o______x_______o__x___o

J.H.

Svar:

Jag hoppas att jag förstått frågan rätt denna gång. Vi ska, utan att lyfta pennan, rita en kurva som går genom varje kant på grafen precis en gång. Bilda följande nya graf: Sätt en nod i varje liten rektangel i den gamla grafen, och placera en nod utanför den stora rektangeln. Rita en kant mellan två nya noder om man kan komma från den ena till den andra genom att passera precis en kant i den gamla grafen. Den nya grafen består nu av 6 noder. Från en av dessa utgår 9 kanter, från tre utgår 5 kanter, och från de återstående två utgår 4 kanter. Problemet är nu att utan att lyfta pennan rita den nya grafen utan att rita samma kant två gånger. Om vi resonerar som i svaret till frågan 6 april 1998 10.49.07 ser vi, eftersom den nya grafen innehåller fyra noder där ett udda antal kanter möts, att det inte går att rita den nya grafen utan att lyfta pennan och utan att rita samma kant två gånger. Slutsatsen är att man inte kan rita en kurva som går genom varje kant i den gamla grafen precis en gång, inte ens om den får lov att skära sig själv.

Se även 13 november 1997 13.25.55 för mer information om problem av den här typen (Königsbergs sju broar).

Jesper Thorén.

Svar:

Tyvärr kan vi inte erbjuda denna möjlighet.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag känner tyvärr inte till om det finns någon algoritm för att hitta det n:te primtalet utan att finna de föregående, och har heller inte lyckats hitta någon, men på The prime page finns beskrivningar på olika metoder för att hitta stora primtal och om hur de är fördelade. Jag vill dock nämna att om p_n betecknar primtal nummer n gäller, då n går mot oändligheten, att

dvs för stora n är p_n ungefär nlogn.

Jesper Thorén.

Svar:

En geometrisk talföljd är en följd av typen

där a och k är reella tal. En formel för summan av de N+1första talen i följden kan visas på följande vis:

Om k=1 blir

Antag att k inte är lika med 1. Sätt

Då blir

så att

Löser vi ut T får vi formeln för den ändliga geometriska summan:

Om -1<k<1, konvergerar serien

och har gränsvärdet

Jesper Thorén.

Svar:

Nej. Matrisen som du har skrivit upp har två lineärt oberoende kolonnvektorer som bildar en bas för värderummet till matrisen, inte nollrummet. Om du vill hitta C, låt u=(1,2,3,1), v=(-1,1,3,-4). Då bildar u och v en bas för N(C), så om x är en radvektor i C, ska

Lös ekvationssystemet för att få två lineärt oberoende rader i C.

Jesper Thorén.

Svar:

Inom matematiken används tecknen +,-,^. och / som symboler för binära operationer, medan <och > är exempel på symboler för relationer (vilket också kan ses som binära operationer). Jag känner inte till om det finns någon speciell benämning för den här typen av symboler, och har inte lyckats hitta någon. Eftersom de inte har något matematiskt värde i sig är det möjligt att det inte finns någon benämning för dem.

Jesper Thorén.

Svar:

Lagranges interpolationspolynom av grad <N som går genom punkterna (1,a₁),(2,a₂),...,(N,a_N) ges av

där

Om man har många mätvärden får man dock ett polynom av hög grad, och dessutom kan man inte vänta sig att få allt bättre approximationer genom att approximera med interpolationspolynom av allt högre grad. Polynom är ju entydigt bestämda av värdena i ett litet intervall, så det är intuitivt klart att de inte är lämpade för att approximera funktioner som ändrar karaktär. Detta gäller många funktioner som beskriver fysikaliska belopp eller utseendet av ett föremål. Bättre resultat får man om man väljer att approximera med olika polynom i olika delintervall. En funktion s sammansatt av polynom av grad 2m+1 på ett sådant sätt att den resulterande funktionen är 2m gånger kontinuerligt deriverbar, kallas en splinefunktion av grad 2m+1. Ofta väljs tredjegradspolynom i varje delintervall, och om sådana kubiska splinefunktioner kan du läsa i svaret på frågan 2 september 1997 19.16.58. Skriv in "spline" på vår söksida för att få reda på lämplig litteratur i ämnet.

Jesper Thorén.

Svar:

Tack för det. Vi har nu rättat till tyrckfelet.

Jesper Thorén.

Svar:

Induktionsprincipen säger följande:

Låt P_n vara ett påstående som beror på heltalet n. Antag att följande två påståenden är sanna:

1. P₀ är sant:
2. P_p+1 är sant om P_p är sant för alla p=>0.

Då är P_n sant för alla heltal n=>0.

Så för att kunna använda induktionsprincipen på ett påstående P_n, med n=>0, måste man visa två saker: Först visar man att påståendet är sant för n=0, och sedan antar man att påståendet är sant för något p=>0 och med hjälp av detta visar man att påståendet är sant för p+1.

Exempel: Visa att

för alla n=>0.

Vi har här att P₀ är sant eftersom

Antag nu att P_p är sant för något godtyckligt valt p=>0, dvs att

Vi ska visa att P_p+1 är sant. Vi har att

1+2+3+...+(p+1) = 1+2+3+... +p+(p+1) = p(p+1)/2+(p+1) = (p+1)(p+2)/2=(p+1)((p+1)+1)/2,

vilket säger att P_p+1 är sant. Så enligt induktionsprincipen är påståendet P_n sant för alla n=>0.

Det går såklart att byta ut 0 mot 1 eller vilket annat heltal som helst i induktionsprincipen. En bra beskrivning med en hel del exempel på induktionsbevis finns i Vretblad: Algebra och kombinatorik, LIBER.

Jesper Thorén.

Svar:

Om Fermats stora sats kan du läsa i svaret till frågan 17 mars 1997 11.30.49, eller skriv in "Fermats stora sats" på vår söksida, så får du tag på flera frågor och svar som handlar om satsen.

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 2 april 1998 13.47.17.

Jesper Thorén.

Svar:

Låt oss skriva exp(x) för e^x. Eftersom

då t=x^1/2, är

eftersom

och funktionen e^x är kontinuerlig.

Jesper Thorén.

o_________o________o
|         |        |
|         |        |
o_____o___o____o___o
|     |        |   |
|     |        |   |
o_____o________o___o

Svar:

Låt A vara en nod i grafen, och antag att det går att från A rita grafen utan att lyfta pennan och utan att man ritar samma kant två gånger. Varje gång man kommer fram till en nod via en kant måste man lämna noden via en annan kant. Låt B vara den sista noden man kommer till. Om B=A måste det alltså finnas ett jämnt antal kanter vid varje nod (vid A går man ut från en och kommer till sist in via en annan). Men i den givna grafen finns flera noder vid vilka ett udda antal (3) kanter möts. Så B är en annan nod än A, och vid alla noder man passerar mellan A och B måste det finnas ett jämnt antal kanter, medan det vid A och B måste finnas ett udda antal kanter. Detta är omöjligt, eftersom det i den givna grafen finns 8 stycken noder där ett udda antal kanter möts. Så det är alltså omöjligt att rita grafen utan att lyfta pennan och utan att rita samma kant två gånger.

Jesper Thorén.

Svar:

Bilda den kontinuerliga funktionen

Låt oss först begränsa oss till fallet då a>0. Då är f(0)=d, och eftersom

kan vi anta att d=>0 (eftersom om d<0 måste f ha ett nollställe och då är vi klara). Vi har att

och vi kan anta att f(1)>0, ty annars har f säkert ett nollställe på positiva halvaxeln. Men eftersom

är

så f måste ha ett nollställe mellan 1 och 2.

Antag nu att a=0 (fallet a<0 är analogt med fallet a>0) och att b>0, dvs

Då är f(0)=d och vi antar som ovan att d=>0. Vi har att

och om f(1)>0, gäller, eftersom

att

Så f har ett nollställe mellan 1 och 2. Fallet b<0 behandlas på samma sätt.

Om a=b=0, gäller att

dvs antingen att c=d=0, i vilket fall f(x)=0 för alla x, eller så har c och d olika tecken. Men då har

ett nollställe i -d/c>0. Så vi har visat att f alltid har ett positivt reellt nollställe då 15a+6b+4c+8d=0.

Jesper Thorén.

Svar:

Exempel på algoritmer som ofta förekommer i matematiken är:

divisionsalgoritmen för heltal och polynom,

multiplikation av matriser,

optimering av funktioner,

lösning av enkla differentialekvationer,

Gausselimination

Jesper Thorén.

Svar:

För att i dagens samhälle finns problem som inte går att lösa utan att använda matematik.

Jesper Thorén.

Svar:

Ett primtal är ett positivt heltal p, sådant att det inte går att skrivas p=ab, där a och b är positva heltal som inte är 1 eller p. Med andra ord är ett primtal ett positivt heltal som inte kan faktoriseras i strikt lägre positiva heltal. Exempel: 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv. Vissa primtal har även andra egenskaper, som t.ex 31 som kan skrivas 31=2⁵-1. Alla primtal som kan skrivas på formen 2^q-1, där q är ett primtal kallas Mersenneprimtal. Det finns en mängd andra typer av primtal, se t.ex. The prime page för mer information.

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 21 februari 1997 16.56.34 för att få en definition av Lagranges multiplikatorer. Om f har ett extremvärde i (x,y)=a under bivillkoren

och om f och g är kontinuerligt deriverbara funktioner i R², och grad g₁(a)och grad g₂(a)är lineärt oberoende kan vi bilda den så kallade Lagrangefunktionen:

där k₁och k₂ är Lagranges multiplikatorer, dvs

som då kommer att ha en stationär punkt i a i R², dvs ekvationssystemet som bildas genom att sätta de olika partiella derivatorna av L m.a.p. x, y, k₁ och k₂ lika med noll, har en lösning i a. Detta faktum kan alltså användas för att hitta extremvärdena för f (och k₁ och k₂ som hör till detta extremvärde).

Jesper Thorén.

Svar:

Se svaret till frågan 10 december 1997 12.35.49, eller 6 november 1997 14.16.07. Din andra fråga kan jag inte svara på, men Fråga vetenskapen om fysik.

Jesper Thorén.

Svar:

Jag tolkar din fråga som att du vill veta varför Y går mot cirkelns area pi ^. r² då vinkeln dv går mot noll. Eftersom

behöver vi bara visa att

Då 0<x<pi/2 gäller att

vilket inses genom att rita enhetscirkeln och jämföra de tre värdena. Eftersom sinx>0 kan vi dividera de tre leden i olikheten med sinx, så att vi får att

Låter vi nu x gå mot noll i olikheten ser vi, eftersom cos0=1 och 1/cosx är kontinuerlig i x=0, att

dvs att

Jesper Thorén.

Svar:

I det första lagret finns 1 atom, i det andra 1+2, i det tredje 1+2+3, osv. Antalet atomer i de 10⁸ lagren är alltså summan av raderna i

1

1+2

1+2+3

1+2+3+4

1+2+3+4+5

...

1+2+3+4+5+...+10⁸

I rad nummer n står talet 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 , så summan av de 10⁸ raderna är

Eftersom

och

gäller för alla positiva heltal k, blir antalet atomer (med k=10⁸):

Jesper Thorén.

Svar:

Eftersom avkastningen från aktiefonder beror på hur det går på börsen tror jag (tyvärr) inte att man kan räkna ut detta.

Jesper Thorén.

Svar:

Om n är ett positivt heltal som inte är ett primtal, och om

dvs om

för något heltal q, säges n vara ett pseudoprimtal. Mer allmänt, om n är ett positivt heltal som inte är ett primtal, och om

för något heltal a, säges n vara ett pseudoprimtal av basen a.

Pseudoprimtalet (av basen 2) 341 är det lägsta man känner till, och man kan visa att det finns oändligt många.

Det finns tal n som är pseudoprimtal av basen a för alla heltal a>1 sådana att största gemensamma delaren av n och a är 1, och dessa kallas Carmichaeltal. Det lägsta kända Carmichaeltalet är 561, och man känner till alla <10¹³, men man vet inte om det finns oändligt många (om man inte har lyckats visa det på sistone).

Anledningen till att man studerar dessa är att enligt Fermats lilla sats gäller att varje primtal p uppfyller

för alla heltal a som inte är delbara med p. Existensen av Carmichaeltal visar att omvändningen inte är sann.

Jesper Thorén.

Svar:

Tag först två av mynten och väg dem mot varandra. Vi delar upp resten av lösningen i två fall:

1. Mynten väger lika mycket. Kalla dem A och B, och de övriga 1,2 och 3. Väg nu A mot 1. Om A väger mer än 1 är 1 det lätta myntet, eftersom A är äkta, och ett av mynten 2 och 3 är det tunga myntet. Väg 2 mot 3 för att hitta det. Om A och 1 väger lika mycket i den andra vägningen är A,B och 1 de äkta mynten. Väg 2 mot 3 för att hitta det tunga och det lätta. Om slutligen A är lättare än 1 i den andra vägningen är 1 det tunga myntet. Väg 2 mot 3 för att hitta det lätta.

2. Det ena myntet väger mer än det andra. Kalla det tyngsta av dessa två A och det andra för B. Antingen är A det tyngsta myntet och/eller B det lätta myntet. Tag nu två av de övriga mynten och väg dem mot varandra. Om det ena myntet väger mer än det andra, kalla det för 1 och det andra för 2. Nu gäller att A är det tunga myntet och 2 är det lätta, eller så är 1 det tunga och B det lätta. Väg A mot 1 för att hitta det tunga och därmed också det lätta. Om det är så att de två mynten i den andra vägningen väger lika mycket, kalla dem 1 och 2, och det ovägda myntet för 3. Väg 1 mot 3. Om 1 väger mer än 3, är 3 det lätta myntet, och enligt den första vägningen är A det tunga. Om 1 och 3 väger lika mycket är A det tunga och B det lätta. Slutligen, om 3 är tyngst i den tredje vägningen, är 3 det det tunga myntet och B det lätta.

Jesper Thorén.

Svar:

1. Se 28 mars 1998 14.00.42.

2. Se 28 mars 1998 14.08.47.

Jesper Thorén.

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström