Fråga Lund om matematik - frågor och svar december 1997

Matematikcentrum

Matematik MNF

Fråga Lund om matematik
Frågor och svar december 1997

15 december 1997 11.05.20
har du något svar till matte e:s miniprojekt, bästa skottläge 4227
yzerman

Svar:
Jag vet inte hur omfattande dessa projekt skall vara. Du kan säkert få en hel del uppslag genom att läsa frågorna och svaren här. Jag fick t ex den 14 december 1997 13.32.37 en fråga hur man löser fjärdegradsekvationer exakt. För att förstå svaret bör man ha litet kännedom om komplexa tal och hur man löser ekvationer med komplexa koefficienter. I metoden för att lösa en tredjegradsekvation som är angiven i 18 mars 1997 02.44.41 behöver man ha kännedom om hur man löser en binomisk ekvation. Sedan har vi ju Fibonaccis talföljd som förekommit några gånger. Man kan bl a utreda vad den har med kaninavel att göra. Ett antal problem har handlat om lineär algebra, matrisräkning och n-dimensionell geometri t ex.
Kjell Elfström

15 december 1997 10.28.03
Hej.
Jag har ett problem med en uppgift i matte E.
Jag har försökt att komma på en lösning och fick fram ett värde. Men Jag vet inte om detta värde är det rätta...Det finns inget facit. Är tacksam om du skulle kunna ta dig tid att skicka en lösning på uppgiften nedan.
Tack på förhand.
^ = upphöjt till.
KABEL NEDHÄNG.
En kabel som hänger ned mellan två stolpar bildar en sk. kedjelinje med ekvationen
y = a Cosh(x/a)
där Cosh x = (e^x+e^-x)/2
Funktionen Cosh kallas "Cosinus Hyperbolikus"
(a): Undersök för a = 50, 100, 200 samt för ett avstånd mellan stolparna på 100 m
- Grafens utseende
- Den verkliga kabellängden
- Nedhängets storlek jämfört med kabel- längden.
(b):Bestäm det värde på a som svarar mot ett givet stolpavstånd (100 m) och ett givet nedhäng (12 m).
Tack så jättemycket.
K@lle Henriksson

Svar:
Vi har

cosh x =	(e^x + e^-x)/2
sinh x =	(e^x - e^-x)/2

och dessa funktioner är varandras derivator. Vidare är
1 + sinh²x = cosh²x och

cosh(-x) =	cosh x
sinh(-x) =	-sinh x

cosh x är alltså symmetrisk med avseende på y-axeln och genom att derivera ser vi att dess minsta värde antas i 0. De båda stolparna skall alltså vara placerade i x = -50 och x = 50.
Jag antar att ni har någon formel för kabellängden. Längden av en kurva
y = f(x), a <= x <= b är integralen från a till b av
sqrt(1 + (f '(x))²)dx och då
f(x) = acosh(x/a) är
f '(x) = sinh(x/a) och därför
sqrt(1 + (f '(x))²) = cosh(x/a) och en primitiv funktion till denna är
asinh(x/a). Kabellängden är alltså
asinh(50/a) - asinh(-50/a) = 2asinh(50/a). Nedhänget är
acosh(50/a) - acosh(0/a) = a(cosh(50/a) - 1) Jag antar att jämförelsen mellan nedhäng och längd utföres genom att kvoten mellan dessa beräknas och den är alltså
a(cosh(50/a) - 1)/( 2asinh(50/a)) = (cosh(50/a) - 1)/( 2sinh(50/a)). För att bestämma a så att nedhänget blir 12 m skall vi alltså lösa ekvationen
a(cosh(50/a) - 1) = 12 och här är vi hänvisade till numeriska metoder. En approximativ lösning är
a = 106,1084590. Kjell Elfström

14 december 1997 13.58.49
Hur löser man ekvationer av typen:
4sin(x2-30)=30
"30" är trettio grader
Joel Malmqvist

Svar:
Eftersom

-1 <= sin t <= 1 har ekvationen inga lösningar. Låt oss ta
4sin(x² - 30°) = 2 som exempel i stället. Sätter vi t = x² - 30 får vi
sin t° = 1/2 och denna ekvation har lösningarna

t =	30 + n360
t =	180 - 30 + n360

där n är ett godtyckligt heltal. Vi får alltså

x² =	60 + n360
x² =	180 + n360

så vi får lösningarna

x =	sqrt(60 + n360)
x =	sqrt(180 + n360)

där n är ett icke-negativt heltal.
Kjell Elfström

14 december 1997 13.32.37
Hur räknar man ut rötterna till en fjärdegrads-ekvation och hur kan man bevisa att det inte går att lösa en femtegradsekvation exakt ?
John Fredriksson

Svar:
Hur man finner lösningarna till en tredjegradsekvation kan du se i 18 mars 1997 02.44.41. Den allmänna fjärdegradsekvationen kan skrivas

z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0. Gör först variabelbytet
z = x + k. Ekvationen övergår då i
x⁴ + (4k + a)x³ + (6k² + 3ak + b)x² + (4k³ + 3ak² + 2bk + c)x + k⁴ + ak³ + bk² + ck + d = 0. Välj k = -a/4. Ekvationen övergår då i
x⁴ + px² + qx + r = 0 där

p =	b - (3/8)a²
q =	c - (1/2)ba + (1/8)a³
r =	d - (1/4)ca + (1/16)ba² - (3/256)a⁴

Ekvationen är, för ett godtyckligt tal u, ekvivalent med
x⁴ + 2ux² + u² - 2ux² - u² + px² + qx + r = 0 som är ekvivalent med
(x² + u)² - ((2u - p)x² - qx + u² - r) = 0. Låt nu u vara en fix rot till tredjegradsekvationen
q² = 4(2u - p)(u² - r). Vi kan antaga att q <> 0 ty annars är fjärdegradsekvationen en andragradsekvation i x² och en sådan ekvation är enkel att lösa. Då är
2u - p <> 0 och vi sätter

P =	x² + u
Q =	sqrt(2u - p)x - q/(2sqrt(2u - p))

Då är
Q² = (2u - p)x² - qx + u² - r varför ekvationen kan skrivas
P² - Q² = 0. Eftersom denna ekvation är ekvivalent med
(P + Q)(P - Q) = 0 återstår nu bara att lösa de båda andragradsekvationerna

P + Q =	0
P - Q =	0

Att man inte kan lösa femtegradsekvationer och högre med rotutdragningar kan visas med Galoisteori men ett bevis är för omfattande för att tas upp här.
Kjell Elfström

13 december 1997 17.38.57
Vi har två lika stora kvadrater där den ena har ett av sina hörn i den andres mittpunkt. Hur bevisar man att deras gemensamma yta är en fjärdedel av deras respektive area?
Rasmus

Svar:
De båda kvadraternas sidor skär varandra i två punkter A och B. Om dessa punkter är mittpunkter på sidorna är påståendet självklart. I annat fall kallar vi den ena kvadratens tyngdpunkt för T och vi kan välja två sidomittpunkter M och N på samma kvadrat så att M ligger på samma sida som A och N på samma sida som B. Påståendet följer nu av att trianglarna TMA och TNB är lika stora.
Kjell Elfström

12 december 1997 21.27.56
Angående svaret på frågan om NPC 8/12. NPC (NP-kompletta problem) är en delmängd av NP-problem, de är ej en delmängd av P-problem.
Stämmer ovanstående är alltså NPC-problem olösbara även om man har tillgång till obegränsat antal processorer?
Arne Jonsson

Svar:
Jag säger i svaret att P-problemen är en delmängd av NP-problemen, ej att NPC-problemen är en delmängd av P-problemen. Det senare är väl fortfarande en öppen fråga. NPC-problem kan alltså vara P-problem. Det är riktigt att NPC-problemen är en delmängd av NP-problemen.
Kjell Elfström

11 december 1997 18.42.03
1, Visa att kurvan y = x^4 + 3x^2 + 2x aldrig skär linjen y = 2x - 1.
Elisabeth Slånemyr

Svar:
x-koordinaten för en skärningspunkt ges av

x⁴ + 3x² + 2x = 2x - 1. Denna ekvation kan skrivas
x⁴ + 3x² + 1 = 0 och med t = x² får vi
t² + 3t + 1 = 0. Nu återstår bara att visa att denna ekvation inte har några icke-negativa lösningar.
Kjell Elfström

11 december 1997 15.46.11
Jag undrar hur man kan beräkna den perfekta kastvinkeln för en boll vid olika vikt och densitet på bollen, om man vill utföra ett så långt kast som möjligt.
Anders Lönnfält

Svar:
Försummar vi luftmotståndet är kastvinkeln oberoende av bollens vikt och densitet. Antag nämligen att den kastas iväg med hastigheten v och att komposanterna i x- och y-led är v₁ resp. v₂. Då gäller att

x = v₁t och
y = -gt²/2 + v₂t. Förutom då t = 0 är y = 0 då t =2v₂/g och sätter vi in detta i uttrycket för x får vi
x = 2v₁v₂/g. Olikheten mellan det geometriska och det aritmetiska medelvärdet ger nu att
x <= (2/g)(v₁² + v₂²)/2 = |v|²/g med likhet bara då v₁ = v₂. Kastvinkeln skall alltså vara 45 grader. Man kan också utnyttja att
v₁ = |v|cos a, v₂ = |v|sin a där a är kastvinkeln och bestämma maximum av
v₁v₂ = |v|²cos a sin a för att få fram den optimala vinkeln.
Vill du att hänsyn skall tas till luftmotstånd och annat som kan vara relevant hänvisar jag dig till Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

11 december 1997 13.48.44
I frågan 19 April 1997, frågade en man att han hört att man kunde bevisa att 1=2. Vad han syftade på var nog Berthrand Russells missförstådda bevis att men med en falsk premiss kan bevisa vad som helst.
Det lyder som följer:
Uppdrag; att bevisa att han (Russell) är påven, utifrån den falska premissen 0=1)
0=1
1=2
1 person = 2 personer
2 personer = påven och jag
påven och jag = en person
VSV!
Niklas Odelholm

Svar:
Tack för bidraget.
Kjell Elfström

11 december 1997 10.12.53
Vad har en människa för max hastighet vid fritt fall?
Annika

Svar:
Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

11 december 1997 09.55.21
vilket är det högsta talet som finns?
stjärnerfält

Svar:
Det finns inget största tal. Man kan ju alltid lägga till 1 till ett tal.
Kjell Elfström

10 december 1997 19.15.24
Jag lyckades få tag på en formel som räknar ut avstånd mellan två punkter, då man har longitud och latitud för dessa. Men jag får den inte att fungera för kortare sträckor t.ex. sjökort i Mälaren. Vad gör jag för fel?
Formel:Sträcka=6342*arctangens(roten ur(1-K upphöjt till 2)/K)
Då K=SIN(LATa/57,3)*SIN(LATb/57,3)+COS(LATa/57,3)* COS(LATb/57,3)* COS(ABS (LONGb-LONGa)/57,3
Exempel i boken blir rätt.
PunktA: Latitud 42,31 Longitud 71,08
PunktB: Latitud 32,62 Longitud 117,05
Resultat Avstånd= 4125 km
Johan Eriksson

Svar:
Denna formel ger att avståndet mellan nordpolen och sydpolen är 0. Använd hellre den formel jag angav i 20 november 1997 21.51.32. Vinkeln t i det svaret skall vara angiven i radianer och om 0 <= t < pi/2 är t samma vinkel som arctan(sqrt(1 - K²)/K) i frågan. Formeln i frågan är felaktig när t >= pi/2. Mitt svar från den 20 november kan sammanfattas på följande sätt:

s = rarccos K där s är avståndet, r jordradien och K är som i frågan. Har man inte arccos på räknaren kan man utnyttja att om 0 < K <= 1 så är
arccos K = arctan(sqrt(1 - K²)/K), om K = 0 så är
arccos K = pi/2 och om -1 <= K < 0 så är
arccos K = pi + arctan(sqrt(1 - K²)/K). För så små sträckor som det gäller i Mälaren överensstämmer formlerna och det du bör tänka på är att latituder och longituder skall anges i grader, men räknaren skall vara inställd så den räknar vinklar i radianer.
Kjell Elfström

10 december 1997 17.29.18
Om man vill finna en bättre approximation till ett solår än att lägga till 97 dagar på 400 år hur gör man, d.v.s hur klipper man av kedjebråket för 20929/86400 och finner en bättre uppskattning än de 97 dagarna på 400 år.Sedan undrar jag vilket tal som är det "mest" irrationella och hur visar man det? Hoppas på "enkla" svar.
Nils

Svar:
Det kedjebråk som ligger till grund för vår faktiska kalender är

20929/86400 = 1/(4 + 1/(7 + 1/1)) = 8/33. Det var denna approximation den persiske poeten Omar Khayyam föreslog och anledningen var att om vi förlänger med 12 får vi 96/396 och 396 skiljer sig från en multipel av en tiopotens med 4 år. På 396 år skall vi alltså lägga till 96 skottdagar och det blir 97 på 400 år. Fortsätter man kedjebråket får man
1/(4 + 1/(7 + 1/(1 + 1/3))) = 31/128 och man skall då lägga till 31 skottdagar på 128 år. Hade vi inte räknat i det decimala utan i det binära systemet skulle vi kanske valt denna approximation, eftersom 128 är en tvåpotens. Med en skottdag vart fjärde år blir det 32 skottdagar på 128 år och vi kunde slopa t ex den sista i varje 128-årsperiod, men det verkar inte lika tilltalande som det nuvarande systemet. Du kan själv fortsätta kedjebråket och se om du hittar någon lämplig nämnare. Du kan läsa mer om kedjebråk i 26 november 1997 12.59.06.
Hurwitz sats säger att
|a - p/q| < 1/(L_nq²) är den bästa approximationen av irrationella tal a med rationella tal med nämnare q. L_n kallas det n:e Lagrangetalet och med n = 1 gäller uppskattningen alla irrationella tal, med n = 2 gäller den alla irrationella tal utom (1 + sqrt(5))/2, med n = 3 gäller den alla utom (1 + sqrt(5))/2 och sqrt(2). Genom att plocka bort ett rationellt tal i taget får man allt mindre värden på L_n. I den meningen skulle alltså (1 + sqrt(5))/2 vara det mest irrationella talet. Det gäller att L₁ = sqrt(5), L₂ = sqrt(8) och L₃ = 5/sqrt(221).
Kjell Elfström

10 december 1997 12.35.49
1) Man säger en miljard (1 och 9 nollor) men är biljard ett räkneord?
2) Centiljon är det största tal man namn- gett.Men vad finns mellan? Finns det en överskådlig lista?
Wilhelm Pössl

Svar:
Biljard är inget räkneord. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics: Large Number. Det som där kallas det brittiska systemet används hos oss, med vissa skillnader i stavning.
Kjell Elfström

10 december 1997 12.32.23
hur bevisar man herons formel ????+
Benny Stritsberg

Svar:
Se 31 januari 1997 12.32.10.
Kjell Elfström

10 december 1997 11.58.33
Vilket är det största resp. minsta värde a1 resp a2 kan ha för en funktion
f(x)=1+a1cosx+a2cos2x+.....ancosnx.
Där f(x) är större eller lika med noll, för n=1 och n=2.
Tack på förhand.
Andreas

Svar:
Eftersom cos x antar alla värden i [-1,1] är värdemängden till funktionen

f(x) = 1 + a₁cos x [1 - |a₁|,1 + |a₁|]. Det största och det minsta värdet på a₁ är alltså 1 resp. -1.
Betrakta nu funktionen
f(x) = 1 + a₁cos x + a₂ cos 2x = 1 + a₁t + a₂(2t² - 1) där t = cos x. Genom att sätta t = 0 ser vi att a₂ <= 1. Sätter vi t = -1 resp. t = 1 får vi

1 - a₁ + a₂	>= 0
1 + a₁ + a₂	>= 0

Adderar vi dessa olikheter får vi att a₂ >= -1. Dessa värden på a₂ duger om a₁ = 0.
Kjell Elfström

10 december 1997 08.24.43
Hur gör man en interaktiv mattebok?
Jonas

Svar:
En traditionell matematikbok med facit till övningar är ju en typ av interaktiv bok. Det kanske är något datorprogram du tänker på. Jag vet inte om du menar den tekniska eller den pedagogiska utformningen. Det har ju funnits ett flertal sådana program, där frågor ställs eller problem ges och man får en omedelbar respons på svaret. Tekniskt krävs det bara att man är programmeringskunnig för att skriva sådana program. Kritikerna har menat att sådan användning av informationsteknik inte tillför undervisningen något som är väsentligen bättre än den traditionella matematikboken i pappersformat. I stället bör programmen stimulera elevernas upptäckar- och skaparglädje och det ställer ju betydligt större krav på konstruktören. Återkom gärna med ett förtydligande av frågan.
Kjell Elfström

9 december 1997 21.52.11
Jag behöver beräkna integralen av (x^2+1)/(x^2-1) för att få fram arean av integralen mellan -0,5 och 0,5.
Maria Luisa Quiroga

Svar:
Utför vi divisionen får vi

(x² + 1)/(x² - 1) = 1 + 2/(x² - 1) = 1 + 2/((x - 1)(x + 1)) = 1 + 1/(x - 1) - 1/(x + 1). Den senare omskrivningen kallas partialbråksuppdelning och om detta kan du läsa i de flesta elementära böcker i analys, eftersom det är en viktig metod vid integration.
Nu klarar du säkert att bestämma en primitiv funktion.
Kjell Elfström

9 december 1997 20.00.39
Vem konstruerade superellipsen?
Hasse Svensson

Svar:
Det sägs att det var Piet Hein, dansk konstnär och vetenskapsman. Vill du veta mer om honom kan du söka på Internet.
Kjell Elfström

9 december 1997 12.42.36
Jag undrar om det går att dervira följand funktion med avseende på vinkeln. Där v,h och g är konstaner, samt efter derviring sätta derivatan till noll och räkna fram extrem vinkeln.:
x = v*v*Sin(2v)*((1/2*g)+(Roten ur(1/2g) *(1/2g) + (h /(2g*sin(v)*sin(v)*v*v)))slut rot))
hoppas ni förstår ut trycket, tack på förhand
Calle Möller

Svar:
Att man kan derivera funktionen med avseende på v råder det ingen tvekan om. Det är bara att tillämpa derivationsreglerna för de elementära funktionerna, summa, produkt, kvot och sammansättning av funktioner. Jag avstår dock från att göra det då uttrycket blir ganska snårigt. Du kan kanske använda ett symbolräknande datorprogram. Att bestämma derivatans nollställen exakt tror jag inte går.
Kjell Elfström

8 december 1997 20.07.19
Skulle man kunna lösa NPC problem om man hade tillgång till obegränsat antal processorer?
Om så är/inte är fallet hur visar man detta ?
Arne Jonsson

Svar:
I princip kan man naturligtvis lösa dem. P-problemen är en delmängd av NP-problemen och om inte problemet är ett P-problem tar det definitionsmässigt för lång tid att lösa det. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics: NP-Problem. Denna typ av frågeställningar hör till komplexitetsteorin om vilken det skrivits ett otal böcker. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics: Complexity Theory för exempel på litteratur.
Kjell Elfström

8 december 1997 18.07.09
Hej,
Jag håller på med ett litet projekt arbete inom matematik, och har nu några funderingar.
Om jag inte är helt ute och cyklar så benämns funktionen f(x)=rx(1-x) den logistiska funktionen.
Har den någonsin praktiskt tillämpats inom populations ekologin?
Är den, i så fall, inte en alltför idealiserad modell för att vara pålitlig?
Då r närmar sig 4 uppvisar funktionen ett kaotiskt beteende, varför?
Hur kan ett sådant (kaotiskt) beteende tolkas inom populations ekologin?
Hur bestäms värdet för r (tillväxt takten)?
Så där, det var några av mina funderingar. Jag är tacksam om ni kan hjälpa mig.
Tack, på förhand.
Fredrik Wallin

Svar:
Det är riktig att den kallas den logistiska funktionen.
Den används ofta i modeller för populationsstorleken hos arter där förökningen sker säsongsvis. Antalet individer en säsong beror då bara på antalet förra säsongen. I sådana sammanhang är det ofta en väl lämpad modell. På Fråga en ekolog kan du kanske få ytterligare upplysningar.
I denna modell låter man x vara andelen individer av ett tänkt maximum så att 0 <= x <=1. Om r >= 0 kan man lätt, genom att derivera t ex, visa att funktionens maximum är r/4. I den iterativa modellen räknar man ut det n + 1:a värdet utifrån det n:e genom

x_{n + 1} = f(x_n) = rx_n(1 - x_n) och
om 0 <= x_n <= 1 så 0 <= x_{n + 1} <= r/4. Det är därför naturligt att välja r så att 0 <= r <= 4. Då 1 < r < 3 uppvisar x_n ett stabilt uppförande, dvs vilket värde mellan 0 och 1 man än startar med kommer x_n småningom att stabiliseras i närheten av ett visst fixt värde. När r passerar 3 får vi i stället en stabil 2-cykel, dvs det finns två fixa värden som är sådana att följden x₀,x₂,x₄,... närmar sig det ena och x₁,x₃,x₅,... det andra värdet. När sedan r passerar ungefär 3,449 uppstår i stället en 4-cykel. Detta fortsätter med fördubbling av perioden tills r når ungefär 3,5699. Då finns inte längre någon sådan cykel och uppförandet är kaotiskt.
När man beräknar successiva värden är det ju f(f(f(...(f(x))))) man beräknar. Om vi börjar med y = f(x) ser vi att y går från 0 till r/4 och ner till 0 igen då x går från 0 till 1. Om r <= 2 kommer alltså y att nå högst 1/2. Vi inser att kurvan som beskriver f(f(x)) = f(y) då kommer att få ett liknande utseende som den tidigare. Men om r = 4 kommer y att gå från 0 ända upp till 1 och tillbaka, varför f(f(x)) = f(y) kommer att gå från 0 upp till 1, ner till 0, upp till 1 och ner till 0 igen. Tänker vi på vad som händer med f(f(f(x))) och senare inser vi att förloppet blir mer och mer oroligt.
Den logistiska funktionen finns beskriven i många böcker om kaotiska system och fraktaler. En ganska lättläst bok är Devaney: A first course in chaotic dynamical systems, Addison-Wesley. En annan är Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison- Wesley, 1989, men den är litet mer avancerad. Se References för en litteraturlista.
I populationsmodeller kan r bestämmas genom att man utnyttjar att för små värden på x är r - 1 ungefär den relativa tillväxthastigheten.
Kjell Elfström

8 december 1997 14.17.19
jag önskar få svar på följande frågor:
Bestäm en ON-bas för R^3 sådan att två av basvektorerna är parallella med planet x+y+z=10
..
Bestäm egenvärdena till den lineära avbildning som ges av matrisen A=E+ww^t, där w=(a b)^t.
m.v.h. kristian

Svar:
Den första frågan är besvarad den 13 november 1997 22.19.41.
Matrisen A är

1 + a²	ab
ab	1 + b²

varför den karakteristiska ekvationen är
(1 + a² - t)(1 + b² - t) - a²b² = 0. Utvecklar vi detta får vi
t² - (2 + a² + b²)t + 1 + a² + b² = 0. Kvadratkompletterar vi får vi
(t - (1 + a²/2 + b²/2))² = (1 + a²/2 + b²/2)² - 1 - a² - b² = (a²/2 + b²/2)² vilket ger att
t = 1 eller t = 1 + a² + b². Kjell Elfström

8 december 1997 13.51.23
hvordan regner man dette:
2a+(-4b+a)+b(7ab)=
ida &cecilie

Svar:
Har man inte specifika värden på a och b kan man inte beräkna uttrycket, men väl förenkla det. Den första parentesen är egentligen onödig eftersom man kan addera i vilken ordning som helst. Vi kan alltså lägga ihop 2a och a och få 3a. -4b är inte så mycket att göra åt. Den sista termen kan vi skriva som 7abb = 7ab² eftersom ordningen med vilken vi multiplicerar dessa faktorer också är oväsentlig. Vi får alltså

2a + (-4b + a) + b(7ab) = 3a - 4b + 7ab². Sätt för säkerhets skull in några värden på a och b och kontrollera att det stämmer.
Kjell Elfström

8 december 1997 13.39.45
Hva er Pytagoras
JDS

Svar:
Pythagoras var en grekisk filosof och matematiker som levde ca 570-497 f. Kr. En i Euklidisk geometri välkänd sats, Pythagoras sats, är uppkallad efter honom. Den säger att om a, b och c är sidorna i en rätvinklig triangel och c står mot den räta vinkeln gäller att

a² + b² = c². Sidorna a och b kallas kateter och c hypotenusa.
Kjell Elfström

8 december 1997 11.41.52
Jag har läst en fråga på din sida:
Jag har en fråga som jag skulle vilja få en bra lösning på (Matte E):
Vid en bro med bara en körbana uppstår ofta långa köer på morgnar och kvällar. Myndigheterna vill därför sätta upp en skylt med texten:
Rekommendation för färd över bron Hastighet: ? km/h
Avstånd mellan bilarna: ? m
Rekommendationen grundar sig på följande data:
Bilarna är 4m och avståndet mellan bilarna bör vara /r+b/2)m där r m är reaktions- sträckan vid bromsning och b m själva bromssträckan. Reaktionstiden är 0,2s och bromssträckans kvadratiska beroende av hastigheten kan bestämmas ur tabellen.
Hastighet (km/h) 30 50 70 80 100
Bromsstträcka (m) 5,8 16,0 31,4 41,0 64,0
VAD BÖR STÅ PÅ SKYLTEN?
Tommy S.
Svar:
Man vill kanske uppnå att bilarna hela tiden är så långt från varandra som möjligt. Om en bil bromsar in har den bakomvarande bilen hela tiden högre hastighet än den bromsande om de från början kör med samma hastighet v (den rekommenderade hastigheten). Det minsta avståndet mellan dem fås alltså när båda har stannat. Avståndet från början är r + b/2 och därför är det b/2 när de stannat. Det verkar som om de skall köra så fort som möjligt och åtminstone så fort att detta avstånd inte blir mindre än 4 m.
Kjell Elfström
Jag förstår inte!!!
Förklara gärna mer ingående...
Marie Karlsson

Svar:
Förutsättningen var att båda bilarna kör med den rekommenderade hastigheten. De har då samma reaktions- resp. bromssträcka r och b och enligt avståndsrekommendationen är avståndet mellan dem r + b/2.
Den främste förarens bil stannar b meter efter att han börjat bromsa. Den bakomvarande börjar bromsa r meter senare och efter ytterligare b meter har han stannat. Den främste är alltså b meter längre fram än han var när han började bromsa, den andre är r + b meter längre fram än han var när den främste började bromsa. Avståndet mellan dem har alltså minskat med r meter och är alltså när båda stannat b/2 meter.
Eftersom b ökar med hastigheten bör alltså hastigheten sättas så hög som möjligt enligt den förutsättning som jag gjorde. Bristen på angivna förutsättningar i uppgiften gör dock att jag är osäker på om svaret är rätt.
Kjell Elfström

8 december 1997 10.43.39
Hej jag har ett problem..
En jeep kan ha 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Bilen kommer 3km på en liter bensin. Antag att man skall färdas 1000 km in i öknen och bränsle bara finns vid startpunkten och målet. Vill man klara färden måste man först placera ut bensindepåer längs färdvägen. Hur mycket bensin går åt och var ska dunkarna placeras ut? Lösningen skall gärna vara så bra som det är möjligt...
Lars Kinnstrand

Svar:
Se 19 februari 1997 18.12.48.
Kjell Elfström

8 december 1997 09.10.42
Hej!!
Skulle vara mycket tacksam om ni kunde hjälpa mig med ett problem som jag stött på. Jag skulle vilja ha förklarat hur man kan beskriva herons-formel (arean på trianglar)på bästa sätt och bevisa att detta stämmer på trianglar som man redan vet arean på. /MVH Ola.
Ola Lindholm

Svar:
Se 1 december 1997 10.35.59.
Kjell Elfström

7 december 1997 14.57.40
En likbent triangel är inskriven i enhetscirkeln. Bestäm det största värde som triangelns area kan anta.
Tina

Svar:
Se 1 december 1997 21.19.15.
Kjell Elfström

7 december 1997 14.56.15
Här kommer ett derivata problem;
Låt P=(x, y) vara en punkt på kurvan Y=x/(1+x), x>=0, och låt kurvnormalen genom P skära x-axeln i Q. Bestäm P så att triangeln med hörnen P, Q och R=(x, 0) får så stor area som möjligt.
Tina

Svar:
Se 1 december 1997 21.19.15.
Kjell Elfström

7 december 1997 11.51.07
hvordan regner man denne likningen:
1,6x+0,4(x-0,5)=1,8
ole martin kjønstad

Svar:
Multiplicera först in 0,4 i parentesen.

1,6x + 0,4x - 0,2 = 1,8 Samla ihop x-termerna. 2x - 0,2 = 1,8 Addera 0,2 till båda leden för att få x-termen ensam på ena sidan.
2x = 2 Dela båda leden med 2 för att få x ensamt.
x = 1 Kjell Elfström

6 december 1997 12.34.44
Vad är det för skillnad mellan en definition och ett axiom?
Pelle-Jöns Jönsson

Svar:
Ett formellt system består av odefinierade grundbegrepp, härledningsregler och axiom som utgångspunkt för härledningarna. Axiomen själva och de satser som är möjliga att härleda ur dessa är konsekvenserna av axiomen. Om axiomen, efter lämpliga tolkningar av grundbegreppen, är sanna blir även konsekvenserna sanna. Att tillföra teorin ett nytt axiom betyder att utöka mängden av konsekvenser. En definition däremot är mer att se som en förenkling av beteckningar och tillför aldrig teorin nya konsekvenser. Däremot kanske man får upp ögonen för fler satser efter att definitionen gjorts, men härledningen kan i så fall likaväl göras utan definitionen.
Kjell Elfström

5 december 1997 14.07.27
Hej! Jag skulle behöva hjälp med en uppgift. Det gäller ledningsdragning mellan tre städer A, B och C. Eftersom jag inte vet hur man ritar hur städerna är belägna jämfört med varandra i den här utskiknings blanketten så ska jag försöka förklara det genom att skriva. Stad C är belägen 20 km öster om stad A. Stad B är belägen a km från respektive A och C (de tre städerna bildar alltså en likbent triangel med sidorna 20 km, a km och a km).
Man skall som sagt dra ledningar mellan städerna och 4 alternativ diskuteras:
ALT. 1: Ledningen dras från stad C till stad A (20 km) och vidare till stad B. Den totala ledningslängden blir alltså 20 + a km.
ALT. 2: Ledningen dras från stad A till stad B och sedan vidare till stad C. Totala ledningslängden är a + a km.
ALT. 3: Ledningen dras mellan de tre städerna så att ledningsdragningen får utseendet av bokstaven Y där städerna är belägna i bokstaven Y:s yttersta kanter och där varje längd till Y:ets medelpunkt är av längden x km.
ALT. 4: Liknar Alt. 3 fast sträckan mellan stad A och Y:ets medelpunkt och sträckan mellan stad C och Y:ets medelpunkt är vardera q km, medan sträckan mellan stad B (dvs den nedersta kanten av Y) och Y:ets medelpunkt är z km. Observera att i Alt. 4 är det dessutom känt att de tre vinklarna mellan Y:ets tre sidor är alla av storleken 120 grader (3 * 120 = 360 grader)
Själva uppgiften är sådan att man skall undersöka vilket alternativ som för olika värden på a ger den kortaste ledningsdragningen. Denna uppgift är hämtad ur boken MATEMATIK 2000, Kurs E, skriven av Lars-Erick Björk och Hans Brolin, utgiven av förlaget NATUR OCH KULTUR. Uppgiftens nummer är 4244.
Jag är mycket tacksam om ni hjälper mig fortast möjligt.
BORYSS

Svar:
Att avgöra detta för alla möjliga värden på a verkar vara för svårt så jag antar att det skall göras för vissa givna värden på a. Därför nöjer jag mig med att beräkna den totala ledningslängden i de olika fallen. I de båda första fallen har du själv svarat.
Låt P vara mittpunkten på AC och Q punkten där ledningarna möts.
Fall 3. Låt h vara höjden BP. Då ger Pythagoras sats att

h² = a² - 100 <=> h = sqrt(a² - 100). Pythagoras sats använd på triangeln APQ ger sedan att
(h - x)² + 100 = x² <=> h² - 2hx + 100 = 0. Lös ut x ur denna ekvation. Ledningslängden är sedan 3x.
Fall 4. Triangeln AQP är en 30-60-90-triangel och detta ger att
q = 20/sqrt(3). Använder du sedan cosinussatsen på triangeln AQB för du en andragradsekvation ut vilken du kan lösa ut z som funktion av q och a. Den totala längden blir sedan z + 2q.
Kjell Elfström

5 december 1997 09.10.03
En vattentank, utformad som en kon med radien 1 m och höjden 2 m, är helt fylld med vatten. Efter åtta timmar är vattendjupet bara 1.5 meter. Vattnet avdunstar proportionellt mot arean av ytan som har kontakt med luften. Jag söker den matematiska modell som beskriver vattenvolymen i tanken vid en godtyclig vald tidpunkt t och när vattentanken är helt tom.
klas dahlkvist

Svar:
Om r är radien och y djupet ger likformiga trianglar att

r = y/2. Arean är
A = pi r² = pi y²/4 och volymen är
V = Ay/3 = pi y³/12. Enligt förutsättningarna är
V ' = -k₁A och detta kan alltså skrivas
3pi y²y '/12 = -k₁pi y²/4 vilket ger att
y ' = -k där k är en konstant. Vi får alltså att
y = -kt + C. Bestäm nu k och C med hjälp av begynnelsevillkoren och sätt sedan y = 0 för att få tidpunkten när tanken är tom
Kjell Elfström

4 december 1997 23.13.46
Hej Jag har ett problem utan ende och tänkte att du kunde hjälpa mig med det eller förklara du har säkert hört den många gånger förr.
tre pojkar skall köpa en boll som kostar 30 kronor, och det gör dom. säljaren kommer på att det var 5 kr rabbat på bollen och ber sin spring pojke ge tillbaks dem han ger dom en krona var och behåller själv 2 kr.
alltså kontroll räknar man du detta stämmer det inte 30-3 = 27 + 2 = 29 ! var tar den sista kronan vägen ?
Peter Petersson

Svar:
Pojkarna har betalt 30 - 3 = 27 kr. De 2 kronorna springpojken får kommer från de 27 kronorna och skall alltså inte läggas till dessa utan dras ifrån. Då får vi 25 kronor och det är det belopp säljaren får.
Kjell Elfström

4 december 1997 08.50.25
Tjena! =)
Jag har ett litet problem....kan verka töntigt men jag undrar hur man räknar ut medianen. Skulle du kunna skicka ett exempel via e-post till crashhead@hotmail.com
Andreas Hellmers

Svar:
För att beräkna medianen av ett antal värden ordnar man dem först i storleksordning och tar sedan det mittersta om antalet värden är udda och medelvärdet av de två mittersta om antalet är jämnt. Medianen av 1, 10, 20, 40, 49 är alltså 20. Medianen behöver alltså inte vara lika med medelvärdet som här är 24. Medianen av 1, 10, 20, 40 är (10 + 20)/2 = 15.
Kjell Elfström

3 december 1997 20.01.05
Vad är den primitiva funktionen till y = (0,36 - x2)^(1/2)?
Patrik Åkesson

Svar:
En primitiv funktion är

(1/2)(0,36arcsin(x/0,6) + xsqrt(0,36 - x²)). Härledningen är som i 12 november 1997 21.47.57 med den skillnaden att vi nu sätter x = 0,6sin t.
Kjell Elfström

3 december 1997 17.41.19
Ang frågan om den rektangulära inhägnaden (24/11 1997) så finns det en enklare lösning.
Antag att rektangelns sidor är (50 + x)m och (50 - x)m.
Arean blir då (2500 - x^2)m^2.
Det betyder att största möjliga area erhålles när x =0.
Rektangeln är alltså en kvadrat med sidan 50 m.
Alf Gunnarsson

Svar:
Din lösning blir enklare om man inte känner till olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde utan måste härleda den först, som jag gjorde. Genom att resonera som du får man ett alternativt bevis för olikheten mellan medelvärdena.
Kjell Elfström

3 december 1997 12.39.53
Hej!
Vid laminär vattenströmning är hastigheten på det framrusande vattnet ej konstant över ett tvärsnitt av kanalen, ån eller var strömningen nu sker. Om man studerar en vattenyta ovanifrån noterar man att vattnets hastighet är högst i mitten och lägst ut vid sidorna.
Om man tittar i fackböcker i hydromekanik påstås det att hastigheten avtar paraboloidiskt från mitten ut till kanterna, men jag har inte kunnat finna någon anledning till varför det skulle vara så. Kan du svara på den frågan vore jag tacksam!
Erik Larsson

Svar:
Det du frågar om finns ganska utförligt beskrivet på CIVE1400: Fluid Mechanics. Visserligen handlar det mest om flöden i rör, men principen är den samma. Se speciellt The Nature of Fluids för en beskrivning av Newtons viskositetslag och sedan Laminar and turbulent flow.
Kjell Elfström

3 december 1997 02.00.59
Hej,här följer några kluriga tal som jag skulle vara tacksam om du löste:
1.Ett heltal skrivs med n fyror, följda av n-1 åttor och slutligen en nia (t ex 444889).Visa att varje sådant tal är en jämn kvadrat.
2.Visa att n^2+n+1 inte är en jämn kvadrat för något heltal n<>0 och <>-1.
3.En ölburk är 15 cm hög. När den är full väger den 500 g och när den är tom 50 g. Hur högt med öl ska det vara i burken för att den ska stå så stadigt som möjligt (tyngdpunkten ska ligga så lågt som möjligt)?
4.Vilket tresiffrigt tal bör stå efter följande talserie? 149,162,536,496,481,?
Richard

Svar:
1. Talet m är 1 plus ett tal med n fyror följda av n åttor. Det senare talet är summan av ett tal med n fyror och ett med 2n fyror. Vi kan alltså skriva

m = 1 + 4(10^{n - 1} + 10^{n - 2} + ... + 10 + 1) + 4(10^{2n - 1} + 10^{2n - 2} + ... + 10 + 1). Enligt formeln för den geometriska summan kan detta skrivas
m = 1 + 4(10ⁿ - 1)/9 + 4(10²ⁿ - 1)/9 = (1/9)(1 + 4·10ⁿ + 4·10²ⁿ) = ((1/3)(1 + 2·10ⁿ))². m är alltså kvadraten på ett rationellt tal r och r måste då vara ett heltal.
2. Antag att
n² + n + 1 = m² där m är ett heltal. Vi kan anta att m >= 0 och ser att m = 0 inte ger några lösningar och m = 1 bara ger lösningarna n = 0, n = -1. Vi kan alltså anta att m > 1. Vi skriver om ekvationen som
(n + 1)² - n = m². Flyttar vi över kvadraterna till den ena sidan får vi
n = (n + 1)² - m² = (n + 1 - m)(n + 1 + m). Det är nu lätt att se att då n < -1 så är den första faktorn mindre än n och då n > 0 så är den andra faktorn större än n.
3. Antag att ölburken är fylld upp till x cm över botten. Burken väger 50 g och har sin tyngdpunkt 7,5 cm från botten. Ölet väger (x/15)·450 g och har sin tyngdpunkt x/2 cm från botten. Tyngdpunkten blir alltså
(50·7,5 + (x/15)·450·(x/2))/(50 + (x/15)·450) och det är bara att minimera denna funktion.
4. Detta problem överlåter jag åt läsarna.
Kjell Elfström

2 december 1997 18.21.05
Frågan handlar om komplexa rötter:
Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen
x^2 + px + q = 0
har komplexa rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet: (0 och N), där N -> oändligheten
Robert Sköldenborg

Svar:
Sannolikheten är 1 eftersom en andragradsekvation alltid har komplexa rötter. De komplexa talen består nämligen av de reella och de icke-reella.
Vad är då sannolikheten att ekvationen har icke-reella rötter? Eftersom

x² + px + q = 0 <=> (x + p/2)² = p²/4 - q har den icke-reella rötter då
q > p²/4. Kurvan
q = p²/4 delar kvadraten
0 < p < N, 0 < q < N i två delar, en som ligger över kurvan och en som ligger under. Sannolikheten är förhållandet mellan arean av den övre delen och arean av hela kvadraten.
Kjell Elfström

2 december 1997 14.44.52
Hej!
Kan någon föklara Mann-Whitney U?-test för mig. Har inte lyckats hitta någon tillräckligt lättförståelig litteratur.
/ Nina (medicinare)
Nina

Svar:
Detta är en fråga om statistik. Många läroböcker i matematisk statistik eller statistik behandlar detta och liknande test. Titta i de kursböcker som finns på bibliotek och i bokhandeln. Jag hittade också en sida på Internet: Lecture 11. Nonparametric Methods I.
Kjell Elfström

2 december 1997 13.43.11
Hej
Jag har en liten fråga, jag vill ta reda på hur långt man ser om man ställer sig vid vattnet och tittar mot horisonten.
Jag har följande uppgifter:
jordens radie är 6300km
jag är 1,75 m lång
jorden är helt rund
Räcker det för att lös uppgiften och hur gör man? (om det inte räcker, vad mer behövs?)
tack på förhand!
Björn F

Svar:
Se 14 september 1997 15.53.48.
Kjell Elfström

1 december 1997 21.19.15
vilken punkt på parabeln Y=1-X(upphöjt till 2) ligger närmast origo
En likbent triangel är inskriven i enhetscirkeln.Bestäm det största värde som triangelns area kan anta.
Låt P=(X,Y)vara en punkt på kurvan Y=X/(1+X),X>=0, ochlåt kurvnormalen genom P skära X-axeln i Q.Bestäm P så att triangeln med hörnen P,Q och R=(X,0)får så stor area som möjligt.
marie

Svar:
Om punktens koordinater är (x,y) är avståndet

sqrt(x² + y²) = sqrt(x² + (1 - x²)²). Avståndet i kvadrat är alltså
f(x) = x² + (1 - x²)². Minimera nu denna funktion.
Placera triangeln med ett hörn i (-1,0) och de återstående hörnen i (x,y) och (x,-y) där y > 0. Eftersom (x,y) ligger på enhetscirkeln är
x² + y² = 1 vilket ger att
y = sqrt(1 - x²). Arean är då
(x + 1)y = (x + 1)sqrt(1 - x²) och du kan maximera kvadraten på detta uttryck då -1 < x < 1.
Sätt
f(x) = x/(1 + x). Då är
f '(x) = 1/(1 + x)². Jag väljer nu att kalla koordinaterna för P för (a,b) i stället. Triangelns höjd blir då
b = a/(1 + a). Normalens riktningskoefficient är
-1/f '(a) = -(1 + a)² så dess ekvation kan skrivas
(y - b) = -(1 + a)²(x - a). Sätter vi y = 0 blir x - a triangelns bas. Vi får
x - a = b/(1 + a)² och dubbla triangelarean blir
b²/(1 + a)² = a²/(1 + a)⁴. Maximera nu denna funktion av a.
Kjell Elfström

1 december 1997 16.39.04
Algebra
Låt en triangel ha hörnen i A, B och C. SKriv in en cirkel i triangel så att den tangerar sidan BC i A1, sidan AC i B1 och AB i C1. Bilda en ny triangel T1 med hörnen i A1, B1 och C1. Detta förfarande kan nu upprepas och ytterligar en ny triangel T2 kan bildas.
A) Uttryck vinklarna i trianglarna T1 och T2 med hjälp av vinklarna i triangeln T och beskriv sambanden med matriser.
B) Låt vinkeln vid A=179,5 grader, vid B=0,49 grader och vid C=0,01. Hur stora är vinklarnas efter ett, fem, sju, samt tio steg?
C) vilka vilkor måste vinklarna i hörnen A,B och C uppfylla för att de ska bilda en triangel? Avgör med matrisräknig för olika värden på vinklarna A,B och C hur många steg n man måste gå för att samtliga vinklar i triageln Tn skiljer sig med högst 0,1 grad från motsvarnade vinklar i triangeln Tn+1.
D)Antag att för en given triangel T stabiliseras i Tn för stora n. Hur stora är vinklarna i Tn för stora n?
E) Bevisa påståendet från D) uppgiften.
halmi97@student.hv.se
Henrik Alexis

Svar:
Se 4 november 1997 12.09.27.
Kjell Elfström

1 december 1997 10.35.59
Hej!
Jag skulle gärna vilja se hur en härledning av Herons formel, med vilken man bestämmer en triangels area, utan vetskap om några vinklar, skulle kunna se ut.
Tack på förhand!
Markus Jansson

Svar:
Se 31 januari 1997 12.32.10.
Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström
Ansvarig är Kjell Elfström