Lunds universitets sigill
Matematikcentrum
Matematik MNF
 Fråga Lund om matematik
Frågor och svar oktober 1997 		Frågor och svar juli-september 1997 Läs frågor och svar Frågor och svar november 1997

31 oktober 1997 12.55.11
Hur mäter man rotationshastigheten på jordklotet (utan att studera himlakropparna)?
Knodde

Svar:
Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

31 oktober 1997 00.34.45
angående E=mc2 så åldras man inte, men hur fungerar denna formel baklänges om man tar hänsyn till newtons grundlag enligt den princip som motsätter sig det ta.
liljan

Svar:
Detta är en fråga för Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

30 oktober 1997 21.29.00
Determine the number of vectors (x1 ,...,xn), such that each xi is a nonnegative integer and
x1 + x2 + ... + xn <= k
Rickard Nilsson

Svar:
Låt P(n,k) vara det sökta talet och låt Q(n,k) vara antalet vektorer sådana att summan blir lika med k. Då gäller att

P(n,k) = Q(n + 1,k)
eftersom ett visst värde på summan av de n första komponenterna entydigt bestämmer den (n + 1):e komponenten. Q(n + 1,k) är koefficienten för tk i den formella potensserien
(1 + t + t2 + t3 + ...)n + 1 = 1/(1 - t)n + 1 = (1 - t)-n - 1.
Utvecklingen av denna är välbekant från analysen och är
(1 - t)-n - 1 = 1 + C(-n - 1,1)(-t) + C(-n - 1,2)(-t)2 + C(-n - 1,3)(-t)3 + ... =
= 1 + C(n + 1,1)t + C(n + 2,2)t2 + C(n + 3,3)t3 + ...
där
C(a,k) = a(a - 1)(a - 2)...(a - k + 1)/k!.
Detta ger att
P(n,k) = C(n + k,k) = (n + k) över k.
Kjell Elfström

30 oktober 1997 21.28.03
Definiera Fibonaccitalen Fn ,n>=0, rekursivt som F1 = F0 = 1, Fn = Fn - 1 + Fn - 2, n>=2.
Visa med induktion att Fn - 1 * Fn + 1 - Fn2 = (-1)n + 1 för alla n>=1.
Rickard Nilsson

Svar:
Om n = 1 är båda leden 1. Vi antar nu att likheten är sann för n = p där p >= 1. För n = p + 1 är vänsterledet då

FpFp + 2 - Fp + 12 = Fp(Fp + 1 + Fp) - Fp + 1(Fp - 1 + Fp) = Fp2 - Fp + 1Fp - 1 = -(-1)p + 1 = (-1)p + 2.
Kjell Elfström

30 oktober 1997 11.08.20
Hej
Hur lär jag mig att räkna sånahär tal? y=ab(x-z) (x)
Lina

Svar:
Jag tolkar frågan som att du vill veta hur man räknar med bokstäver. Ett kort svar är att bokstäverna står för tal, vilka som helst eller tal med vissa egenskaper. Man har kanske konstaterat att 4·5 = 5·4, 6·3 = 3·6, 8·7 = 7·8 osv och inser att när man multiplicerar två tal med varandra, vilka som helst, är ordningen oväsentlig. Ett sätt att ange detta är

a·b = b·a
där bokstäverna a och b kan ersättas av vilka tal som helst. Med a ersatt av 4 och b ersatt av 5 får vi den första likheten ovan. När man räknar med bokstäver utelämnar man ofta multiplikationstecknet och skriver bara ab för a·b. Om a = 8 och b = 7 är alltså ab = 8·7 = 56 och inte 87. I många fall är likheter med bokstäver inte generella räknelagar utan likheter som bara gäller vissa tal. Formlerna kallas då ekvationer. Om man t ex vill veta vilket tal som lagt till 8 blir 13 gäller det att bestämma det tal x som är sådant att
8 + x = 13.
Här vill vi lösa ekvationen, dvs bestämma vilket tal x står för. Detta går till på så sätt att vi drar 8 från talen före och efter likhetstecknet (ekvationens båda led) för att få x ensamt på den ena sidan. Vi får då
8 + x - 8 = 13 - 8
och räknar därefter ut vänster- och högerledet och får
x = 5.
Denna sorts räkning börjar man med i grundskolans högstadium och du kan kanske se vidare i någon lärobok som används där.
Kjell Elfström

30 oktober 1997 10.46.07
Hej skulle du vara vänlig att lösa den här uppgiften?
Talen x1, x2 och x3 uppfyller
x1+x2+x3=5
x1x2+x2x3+x3x1=1
x1x2x3=10
Vad är x1, x2 och x3?

pierre Davidsson@hotmail.com

Svar:
Eftersom

(x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 - (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x - x1x2x3
är x1, x2, x3 rötterna till ekvationen
x3 - 5x2 + x - 10 = 0.
Jag kan inte se hur man skall lösa denna ekvation utan att tillgripa den allmänna lösningsmetoden för en tredjegradsekvation. Denna beskrivs i 18 mars 1997 02.44.41.
Kjell Elfström

29 oktober 1997 23.40.52
Antag att vi har en rektangel med hörnen A, B, C, D. Inuti denna rektangel finns punkten P. Om man känner till avståndet mellan P och hörnen A, B, och C, hur räknar man då ut avståndet mellan P och D?
Kalle

Svar:
Kalla avstånden för a, b, c och d. Lägg in rektangeln i ett ortonormerat koordinatsystem så att A = (0,0), B = (u,0), C = (0,v) och D = (u,v) och antag att koordinaterna för P är (x,y). Då är

x2 + y2 = a2
(x - u)2 + y2 = b2
x2 + (y - v)2 = c2
Lägger vi den andra ekvationen till den tredje och drar ifrån den första får vi
(x - u)2 + (y - v)2 = b2 + c2 - a2
och eftersom vänsterledet är d2 får vi
d2 = b2 + c2 - a2.
Kjell Elfström

29 oktober 1997 10.34.14
Undersök funktionen f(x)=X(6)/6+X(2)-nx där n betecknar ett positivt heltal.
a) Visa att funktionen har exakt ett minimivärde.
b) Kalla minimivärdet för a[n]. Försök nu finna ett tal k sådant att
lim(där n går till oändligheten) a[n]/n(k)
existerar ändligt och skiljt i från 0. Ange k och gränsvärdet.
Anm. Siffror och bokstäver innanför paranteser är exponenter, förutom f(x), och bokstäver innanför klamrar är indextal.
Per Nilsson

Svar:
Om

f(x) = x6/6 + x2 - nx
är
f '(x) = x5 + 2x - n
och
f ''(x) = 5x4 + 2 > 0
varför f ' är strängt växande. Eftersom f '(0) < 0 och f '(n) > 0 visar detta att f ' har precis ett nollställe och att teckenväxlingen vid detta är sådan att f har lokalt minimum där. Det måste också vara funktionens minsta värde.
Funktionen har alltså precis en minimipunkt xn. Vi konstaterar att
f '(n1/5) = 2n1/5 > 0
och om vi skriver
f '(x) = x(x4 + 2) - n
ser vi att
f '((n4/5 - 2)1/4) < 0
varför
(n4/5 - 2)1/4 < xn < n1/5.
Vi får att med an = f(xn) att
n1/5((n4/5 - 2)5/4/6 - n) <= an <= -(5n/6)(n4/5 - 2)1/4 + n2/5
och om k = 6/5 ger instängningssatsen att
an/nk -> -5/6 då n -> oändligheten.
Kjell Elfström

29 oktober 1997 10.19.33
Hej!
Jag har problem med följande uppgift:
Av en triangel är ytan T och en vinkel v givna. Jag ska nu bestämma triangelns sidor så att den sida som står mot v blir så kort som möjligt. M.V.H Peter
Peter Göransson

Svar:
Kalla den mot v stående sidan för c, de övriga vinklarna för x och y och de mot dessa stående sidorna för a och b. Då gäller att

T = (bcsin x)/2
b/sin y = c/sin v
varför
T = (c2sin x sin y)/(2sin v)
så c är minst då sin x sin y är störst.
Eftersom
2sin x sin y = cos(x - y) - cos(x + y)
och x + y = pi - v är konstant inträffar detta då x = y.
Triangeln skall alltså vara likbent och sidorna kan nu bestämmas med hjälp av areasatsen.
Kjell Elfström

28 oktober 1997 11.59.45
Rita kurvan yx3+x3+1=o. Vi drar sedan en rät linje mellan kurvans asymptoter som skär kurvan i två punkter A och B. Nu kommer frågan: Hur skär linjen och kurvan varann då sträckan AB är så kort som möjligt? Hur bevisar man detta?
Stefan Olsson

Svar:
Kurvans ekvation kan skrivas

y = -1 - 1/x3
och dess asymptoter är y-axeln och linjen y = -1. Vi kan lika väl studera kurvan
y = f(x) = -1/x3
som har axlarna som asymptoter eftersom denna kurva fås genom att parallellförflytta den ursprungliga. Att linjen går mellan asymptoterna tolkar jag som att den går genom skärningspunkten, dvs origo, och på grund av att funktionen är udda (den vänstra delen av kurvan fås genom att spegla den högra i origo) är A = -B och dessa punkter är de som ligger närmast origo. Om O är origo verkar det troligt att sträckan OB (och därför sträckan AB) är vinkelrät mot kurvans tangent. Vi bevisar detta.
Avståndet i kvadrat från origo till (b,f(b)) är
d(b) = b2 + (f(b))2
och
d '(b) = 2(b + f(b)f '(b))
så d '(b) = 0 då
f '(b) = -b/f(b).
Riktningskoefficienten för linjen genom origo och (b,f(b)) är
f(b)/b = -1/f '(b)
vilket bevisar påståendet.
Utför gärna räkningarna i detta speciella fall, dvs då f(x) = -1/x3.
Kjell Elfström

28 oktober 1997 11.49.07
Hej! Jag kan inte förstå hur jag ska bära mig åt för att lösa följande:
1. Ange kvoten till den geometriska talföljden 3;12;48;
2. Vilken av följande talpar är geometriska?
a) 5;10;20;40....
b) 10;20;30;40
c) 0;3;9;27;....
Dessutom har jag problem en ekvation:
Svea ska måla om sitt hus och hon vet att det kommer att ta 18 timmar. Med hjälp av en vän tar det tillsammans 4,5 timme. Hur lång tid tar det för vännen att göra arbetet ensam?
Tack på förhand!
Anna

Svar:
Definition av geometrisk talföljd framgår av 28 oktober 1997 11.35.53.
Kvoten i första uppgiften är alltså

r = 12/3 = 48/12 = 4.
Fråga 2 kan man strängt taget inte besvara eftersom man inte känner fortsättningen av följderna (inte paren!). Men i den första delen konstaterar man att
10/5 = 20/10 = 40/20 = 2
så kvoten mellan ett element och det föregående är alltid densamma. De fyra elementen utgör alltså början av en geometrisk följd. I den andra delen kan man konstatera att det inte är en geometrisk följd eftersom 20/10 och 30/20 är olika. Den tredje är inte heller en geometrisk följd, men om nollan i början ersätts av en etta blir det en geometrisk följd med kvoten 3.
Antag att Svea målar andelen r av huset per timme och att vännen målar andelen s per timme. Då är r = 1/18. Under 4,5 timmar målar de tillsammans andelen 4,5r + 4,5s och eftersom de målar hela huset på 4,5 timmar är
4,5r + 4,5s = 1.
Sätter vi in r = 1/18 i ekvationen får vi
4,5/18 + 4,5s = 1 <=> (9/2)s = 3/4 <=> s = 1/6.
Det tar alltså vännen 6 timmar att måla huset ensam.
Kjell Elfström

28 oktober 1997 11.48.17
Knoop - intryck är den yta som en dimantpyramid trycker undan i ett material.Används för hårdhetsmätning. Vickersmätning är en liknande metod. Där pyramiden är kvadratisk båda vinklarna 136 grader.
HV= 1/9,80665 x (2F sin 136/2)/d2 ~0,1891 F/d2
d2=intrycksdiagonalen i kvadrat
F =provkraft.
Knoop-intrycket är inte kvadratiskt, eftersom vinklarna är olika . Ex. Med F(9,8*0,5) och intr.diagonal 0,10021 skall värdet bli 708 HK 0,5. Bara den längsta diagonalen i intrycket mäts.
Ulf Axelsson

Svar:
Den ursprungliga frågan ställdes 23 oktober 1997 11.42.12.
Jag hittade en figur på Microhardness Testing och förutsätter att det är vinklarna som antyds där som avses.
Låt den större av vinklarna vara b och den mindre a och kalla den längre diagonalen d. Skärningen mellan materialets yta och intrycket ugörs av en romb. Inför ett ortonormerat koordinatsystem i rummet så att materialets yta befinner sig i xy-planet, rombens ena hörn är i origo och den längre diagonalen utgör en del av den positiva x-axeln.
Intrycket består av fyra trianglar som skär ner i materialet. Det räcker att bestämma arean av en av dem eftersom hela intryckets area är fyra gånger så stor. Vi betraktar den övre vänstra triangeln. Denna utgör en del av ett plan. Planets skärningslinje med yz-planet har riktningsvektor (0,tan a/2,1) och dess skärning med ett plan parallellt med xz-planet har riktningsvektor (tan b/2,0,-1). En normalvektor till planet är därför vektorprodukten (tan a/2,-tan b/2, tan a/2 tan b/2) av dessa rikningsvektorer. Skär vi detta plan med xy-planet får vi en linje med ekvationen

(tan a/2)x = (tan b/2)y
och skär vi planet med xz-planet får vi en linje med ekvationen
x + (tan b/2)z = 0.
Triangelns ena hörn är origo = (0,0,0). Sätter vi in x = d/2 i linjernas ekvationer får vi de två övriga triangelhörnen
P = (d/2)(1,(tan a/2)/(tan b/2),0) och Q = (d/2)(1,0,-1/(tan b/2)).
Triangelns area är hälften av längden av vektorprodukten
d2/(4 tan2b/2)(-tan a/2, tan b/2, -(tan a/2)(tan b/2)
av vektorerna OP och OQ. Den sökta arean är därför
(d2/(2 tan2b/2))sqrt(tan2a/2 + tan2b/2 + (tan2a/2)( tan2b/2)).
Kjell Elfström

28 oktober 1997 11.35.53
Ange de tre första talen i den geometriska talföljd där a7= 729 och a8=243.
Anna

Svar:
Att talföljden är geometrisk innebär att kvoten mellan ett element och föregående är en konstant r. Detta ger att

an = a0rn.
I detta fall är kvoten
r = 243/729 = 1/3
och eftersom
729 = a7 = a0(1/3)7
är
a0 = 729·37 = 313
och vi får a1 = a0/3 = 312 och a2 = 311.
Kjell Elfström

27 oktober 1997 22.59.17
Hej! Jag har tre funderingar om differensekvationer.
Vad är en differensekvation?
Visa hur man löser linjära differensekvationer.
Hitta några problem som inkluderar differensekvationer, och lös dem.
Vad menas med Fibonacci?
Gustav

Svar:
Vad en differensekvation är kan du läsa om i 23 oktober 1997 13.55.59. Där och nedan beskrivs differensekvationer för talföljder. En motsvarande teori finns för funktioner av en reell variabel.
En lineär differensekvation av m:e ordningen har formen

xn + m + cn(m - 1)xn + m - 1 + cn(m - 2)xn + m - 2 + ... + cn(0)xn = dn.
I en lineär differensekvation med konstanta koefficienter är cn(k) konstanter som bara beror på k. I en homogen differensekvation är dn = 0.
Precis som för lineära differentialekvationer ges lösningarna till en lineär differensekvation som summan av en partikulärlösning och den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation. Nedan beskrivs hur man löser första och andra ordningens homogena differensekvationer med konstanta koefficienter.
Ekvationen
xn + 1 + cxn = 0
kan skrivas
xn + 1 = rxn
där r = -c. Vi får
x1 = rx0
x2 = rx1 = r2x0
x3 = rx2 = r2x1 = r3x0
...
xn = rxn - 1 = ... = rnx0
så
xn = rnx0
där x0 = C är en konstant är lösningen till denna ekvation.
Betrakta nu ekvationen
xn + 2 + axn + 1 + bxn = 0.
Dess karakteristiska ekvation är
r2 + ar + b = 0.
Beteckna med r1 och r2 rötterna till denna ekvation. Om de är olika ges lösningarna till differensekvationen av
xn = C1r1n + C2r2n
och om de har samma värde r ges lösningarna av
xn = (C1 + C2n)rn.
Jag bevisar inte detta då det skulle bli allt för omfattande.
För Fibonacciföljden är den karakteristiska ekvationen
r2 - r - 1 = 0
och denna har rötterna
r1 = (1 + sqrt(5))/2, r2 = (1 - sqrt(5))/2.
Den allmänna löningen till differensekvationen är alltså
xn = C1r1n + C2r2n
och villkoret x0 = 0, x1 = 1 ger
C1 + C2 = 0
r1C1 + r2C2 = 1
Detta ekvationssystem har lösningarna
C1 = 1/(r1 - r2) = 1/sqrt(5)
C2 = -1/(r1 - r2) = -1/sqrt(5)
och för Fibonacciföljden xn gäller därför
xn = (1/sqrt(5))(((1 + sqrt(5))/2)n - ((1 - sqrt(5))/2)n).
Detta kan ju synas märkligt eftersom alla elementen i Fibonacciföljden
0,1,1,2,3,5,8,13,...
är heltal.
Med Fibonacci menas Bonaccis son och så kallades den italienske matematikern Leonardo från Pisa. Han levde omkring 1170-1250.
Hans talföljd framkom i samband med kaninavel på följande sätt:
Antag att det från början finns ett par nyfödda kaniner. Kaniner blir könsmogna efter en månad och efter ytterligare en månad producerar ett par sitt första par kaniner. Kaninparet som aldrig dör producerar därefter ett nytt par kaniner varje månad.
Antalet kaninpar vid början av månad n, n = 1,2,3,... är då xn.
Kjell Elfström

27 oktober 1997 20.32.45
Jag har en tredelad fråga: 1. Finns det några lagar som beraktas som matematikens axiom? 2. Består matematiken av ett eller flera axiomsystem? 3. Jag har läst om en matematiker som bevisade att alla axiomsystem är ofullständiga. Kan du utveckla det eller ge något exempel?
Daniel

Svar:
När man bevisar satser måste man utgå ifrån något och de påståenden man utgår ifrån kallas axiom. Vilka axiom man väljer beror på var man vill starta. Ibland betraktar man de grundläggande lagarna för reella tal som axiom. Dessa berör bland annat de fyra räknesätten och olikheter. Exempel på sådana axiom är

a + b = b + a
(a + b)c = ac + bc
Ekvationen
a + x = 0
har precis en lösning.
a < b och b < c => a < c
a < b och c > 0 => ac < bc
Exemplen visar på axiom som gäller såväl rationella som reella tal. Om man väljer ett axiomsystem för de rationella talen kan man få ett axiomsystem för de reella talen med ett tillägg av ett enda axiom, nämligen axiomet om övre gräns:
Varje icke-tom uppåt begränsad mängd av reella tal har en minsta övre gräns.
Med hjälp av detta axiom kan man t ex visa att ekvationen
x2 = 2
har en reell lösning, dvs att roten ur 2 är ett reellt tal.
Vill man kan man i stället börja "längre ner". Man fastslår axiom som skall gälla för de naturliga talen 0,1,2,... och konstruerar de rationella och reella talen utifrån de naturliga talen. Axiomen ovan kan sedan härledas som satser utifrån axiomen för de naturliga talen. Ett känt axiomsystem för de naturliga talen är Peanos där ett av axiomen är det så kallade induktionsaxiomet som är grunden för matematisk induktion.
Man kan börja ännu längre ner och utgå från mängdläran och dess axiom och definiera heltalen som vissa mängder. Då blir även Peanos axiom härledbara satser. Även i mängdläran förekommer olika axiomsystem beroende på tycke och smak. Ett axiom, urvalsaxiomet, är omstritt. Det säger att om vi har en mängd av mängder som är parvis disjunkta så kan vi bilda en ny mängd som innehåller precis ett element från varje mängd. Anledningen är att man med hjälp av detta axiom kan bevisa många existensutsagor på ett icke-konstruktivt sätt. Se också 6 juni 1997 16.08.21 och 26 augusti 1997 22.11.47.
Om ofullständigheten kan du läsa i 17 april 1997 20.06.03.
Kjell Elfström

27 oktober 1997 19.07.37
Hej!
En mycket enkel, men kanske svårbesvarad fråga. Vad är komplexa tal?
Tomas Wennström

Svar:
Se 15 september 1997 16.45.11.
Kjell Elfström

27 oktober 1997 17.06.33
Hur kan man bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180 grader?
Tobias G

Svar:

tri180.gif
Vi vill visa att vinkelsumman i triangeln ABC är 180 grader. Drag en linje genom A parallell med BC, en linje genom B parallell med AC och en linje genom C parallell med AB. Linjen genom C kommer då att skära de andra linjerna i D och E enligt figuren. Nu är vinklarna BAC och ACD lika och vinklarna ABC och BCE är lika och summan av vinklarna ACD, ACB och BCE är 180 grader vilket bevisar påståendet.
Kjell Elfström

27 oktober 1997 00.39.58
Antag att vi i en burk har 50 röda och 50 blå kulor. Vi ska ta upp 50 kulor från burken. Hur stor är sannolikheten att fördelningen blir 25 röda och 25 blå kulor?
Anders N

Svar:
Det totala antalet möjligheter att välja ut 50 kulor ur en mängd med 100 är C(100,50) där som vanligt C(n,k) betecknar n över k. I de gynnsamma fallen skall vi välja 25 av 50 röda och detta kan göras på C(50,25) sätt. Därefter väljer vi 25 blå kulor och detta kan också göras på C(50,25) sätt. Antalet gynnsamma fall blir alltså (C(50,25))2 varför sannolikheten blir

(C(50,25))2/C(100,50) = 2110031698716658293304/13322197258529868226331
vilket är ungefär 0,1583846612.
Kjell Elfström

25 oktober 1997 19.38.39
Jag har ett litet problem som vållat huvudbry: Antag att vi har 100kr som ska fördelas på 100 personer. På hur många sätt kan detta göras om den enskilde personens identitet är irrelevant?
Erik Berglund

Svar:
Att den enskilde personens identitet är irrelevant tolkar jag som att det t ex bara finns ett sätt att ge en person alla pengarna. I så fall är det antalet partitioner av 100 det är fråga om. En partition av ett positivt heltal n är en följd av positiva heltal uppräknade i storleksordning sådan att talens summa är n. T ex är partitionerna av 5

5
4+1
3+2
3+1+1
2+2+1
2+1+1+1
1+1+1+1+1
Det finns 190569292 partitioner av 100. Se Eric's Treasure Trove of Mathematics: Partition Function P.
Kjell Elfström

25 oktober 1997 01.26.36
Det är så här att jag ska skriva ett program i MatLab som med färggrafik ger delförstoringar av randen till Mandelbrotmängden. Problemet är att jag har inte jobbat så mycket med matlab så jag vet inte riktigt var jag ska börja kan ni också tipsa om adresser om var man kan hitta om just programering i matlab.
Tack.
Ashkan Kasbi

Svar:
Det är svårt att ge något svar i en frågespalt som denna, eftersom jag tror det skulle bli för omfattande. Du kanske kan hitta något användbart i The MathWorks Web Site. Se också 25 augusti 1997 13.06.35. Sedan finns det ju nyhetsgrupper, t ex sci.math och sci.fractals.
Kjell Elfström

23 oktober 1997 13.55.59
Vad är en differensekvation och vad kan man beräkna med den?
Henrik

Svar:
En differensekvation är en diskret motsvarighet till en differentialekvation. Lösningar till differensekvationer är talföljder (xn) och ett par exempel är

xn + 1 = rxn
xn + 2 = xn + 1 + xn.
I den första kan t ex xn vara kapitalet efter n år på ett bankkonto när man satt in kapitalet x0 år 0. Om vi i den andra ekvationen ger begynnelsevärdena x0 = 0, x1 = 1 får vi som lösning Fibonaccis talföljd. Populationsstorleken hos djur vars generationer inte överlappar beskrivs ibland av differensekvationer. Se 16 oktober 1997 21.10.46. Fibonacci angav sin talföljd som lösning på ett problem inom kaninavel.
Namnet differensekvation och analogin med differentialekvationer förklaras av att ekvationerna kan skrivas om så de innehåller differenser delta_xn = xn + 1 - xn, delta2_xn = delta_xn + 1 - delta_xn i stället. Den första ekvationen kan t ex skrivas
delta_xn = (r - 1)xn.
Kjell Elfström

23 oktober 1997 11.42.12
Hur räknar man ut mantelarean på ett knoopintryck med alfavinkeln 130 grader och betavinkel 172,30 grader . Sätt längden på intrycket till 0,10021mm.
Ulf Axelsson elev tekn.99 volvo Lindesberg

Svar:
Jag får be om en specifikation av ett Knoop-intryck.
Kjell Elfström

22 oktober 1997 21.42.15
Hur löser jag följande uppgift:
z^4 + 4z^2 + 8 = 0 där man ska ange alla lösningar i polär form.
Magnus Ek

Svar:
Eftersom detta är en andragradsekvation i z2 sätter vi w = z2 varvid ekvationen övergår i

w2 + 4w + 8 = 0.
Vi kvadratkompletterar och får
(w + 2)2 = -4
varför
z2 = w = -2 ± 2i.
Detta är två ekvationer, som vi antingen kan betrakta som andragradsekvationer och lösa med metoden i 22 oktober 1997 16.01.13 eller så betraktar vi dem som binomiska ekvationer. En binomisk ekvation är på formen
zn = w
där w är en komplex konstant och n ett positivt heltal. För att lösa en sådan skriver man w och z på polär form och identifierar belopp och argument.
Vi har att -2 + 2i = 23/2e3pi i/4 och sätter vi z = reit övergår ekvationen med plustecken framför 2i i
r2e2it = 23/2e3pi i/4
varför
r2 = 23/2
2t = 3pi/4 + 2pi n
där n är ett heltal.
Vi får alltså
r = 23/4
t = 3pi/8 + n pi
varför lösningarna ges av
z = 23/4e(3pi/8 + n pi)i, n = 0, 1.
Att vi nöjer oss med värdena 0 och 1 på n beror på att 2 ger samma värde på z som 0 och 3 samma som 1 osv.
Ekvationen med minustecken löses på samma sätt. Enklare är emellertid att utnyttja att den ursprungliga ekvationen har reella koefficienter och att lösningarna därför förekommer i konjugerade par. Vi får alltså lösningarna
23/4e3pi i/8, 23/4e11pi i/8, 23/4e-3pi i/8, 23/4e-11pi i/8.
Kjell Elfström

22 oktober 1997 19.53.33
Bägge funderingarna på C-kurs nivå.
1. Hur löser man följande? (bråk-form)
1/2 + 1/x = 1/3
2. Derivator? Önskar en enkel förklaring...
Mats Larsson

Svar:
Flytta först över 1/2 för att få 1/x ensamt på den ena sidan.

1/x = 1/3 - 1/2 = (2 - 3)/(3·2) = - 1/6.
Invertera därefter båda leden.
x = -6.
Så till derivator. Om (a,b) och (x,y) är två olika punkter på en kurva
y = f(x)
kan vi dra en linje som går genom dessa. Den har riktningskoefficient
(y - b)/(x - a) = (f(x) - f(a))/(x - a).
Vi tänker oss nu att vi håller a fixt och låter x variera. När x varierar så varierar också linjen och för hyggliga funktioner f kommer linjen att närma sig en gränslinje när x närmar sig a. Denna gränslinje kallas kurvans tangent i punkten (a,f(a)) och dess riktningskoefficient är gränsvärdet av
(f(x) - f(a))/(x - a)
då x går mot a. Detta gränsvärde kallas derivatan av f i punkten a och betecknas f '(a).
Om x är tiden och f(x) läget av en partikel vid tiden x är
(f(x) - f(a))/(x - a)
den genomsnittliga hastigheten i tidsintervallet från a till x. Att vi låter x gå mot a betyder att vi beräknar den genomsnittliga hastigheten i allt mindre intervall. Gränsvärdet f '(a) kallas nu (den momentana) hastigheten vid tiden a.
Kjell Elfström

22 oktober 1997 16.01.13
Jag undrar hur man löser följande uppgift:
sqrt(3+4i)
Magnus

Svar:
Jag föredrar att inte tala om roten ur 3 + 4i eftersom det inte är klart vilken som avses. Låt oss formulera problemet på följande sätt:
Ange de komplexa lösningarna till ekvationen

z2 = 3 + 4i.
För att lösa denna sätter vi z = x + iy och får att
z2 = x2 - y2 + 2ixy.
Vidare är
|z2| = |z|2 = x2 + y2
och
|3 + 4i| = 5.
Identifierar vi real- och imaginärdelar och använder att beloppen av vänsterledet och högerledet i ekvationen är lika får vi
x2 - y2 = 3
x2 + y2 = 5
2xy = 4 > 0
De båda första ekvationerna utgör ett lineärt ekvationssystem i x2 och y2 och har lösningen x2 = 4, y2 = 1. Detta ger de fyra möjligheterna
x + iy = ±2 ±i.
I den sista ekvationen ser vi att x och y har samma tecken varför lösningarna ges av
z = ±(2 + i).
Kjell Elfström

22 oktober 1997 15.01.07
Vilket tal är egentligen cos, sin och tan??
Henrik Wegden

Svar:
Rita en cirkel med radie 1 i ett ortonormerat, positivt orienterat koordinatsystem ("vanligt" koordinatsystem) så att dess medelpunkt hamnar i origo. Låt en stråle utgå från origo så att vinkeln mellan x-axeln och strålen är a, där a som vanligt är vinkeln med tecken. Då kommer strålen att skära cirkeln i en punkt (x,y). Vi definierar

sin a = y
cos a = x
tan a = y/x
cot a = x/y
Låt ABC vara en triangel där vinkeln vid C är rät. Beteckna med a sidan som står mot A osv.
cossin.gif
Då gäller att
sin B = b/c
cos B = a/c
tan B = b/a
cot B = a/b
Kjell Elfström

22 oktober 1997 12.48.14
Jag har inte lyckats attlösa följande problem:
Funktionen f(a)=Integralen från 0,3 Abs(x^2-4ax+3a^2) dx.
Vilket är det minsta värde funktionen antar då a tillhör [0,1]?
Tack på förhand.
Andreas Hellberg

Svar:
Eftersom

g(x) = x2 - 4ax + 3a2 = (x - 2a)2 - a2
har g nollställena a och 3a. Det är inte svårt att inse att g(x) är negativ i (a,3a) och icke-negativ utanför detta intervall. Vi kan alltså skriva
f(a) = I1 - I2 + I3
där I1 är integralen från 0 till a, I2 från a till 3a och I3 från 3a till 3 av g(x)dx. En primitiv funktion till g är
G(x) = x3/3 - 4ax2/2 + 3a2x
varför
f(a) = G(3) - 2G(3a) + 2G(a) - G(0) = 9 - 18a + 9a2 + 8a3/3.
Nu kan du kanske fortsätta själv.
Kjell Elfström

21 oktober 1997 10.57.10
Hej!
En enkel fråga kanske för dig men inte för mig, kan du berätta för mig om "Roten två"
Nejram
Nejram M.

Svar:
Roten ur 2, sqrt(2), är det positiva tal vars kvadrat är 2, så att om x = sqrt(2) är x > 0 och x2 = x·x = 2. Diagonalen i en kvadrat med sidan 1 har enligt Pythagoras sats längden sqrt(2), ty om diagonalen betecknas med x gäller

x2 = 12 + 12 = 2.
Eftersom 12 = 1 och 22 = 4 måste 1 < sqrt(2) < 2. Tar vi mittpunkten 1,5 mellan 1 och 2 får vi (1,5)2 = 2,25 > 2 varför sqrt(2) ligger mellan 1 och 1,5. Mittpunkten mellan 1 och 1,5 är 1,25 och (1,25)2 < 2. Denna metod kallas intervallhalvering och är en ganska långsam men enkel metod att bestämma närmevärden till sqrt(2). Går man vidare får man efter ett tag att 1,414 < sqrt(2) < 1,4145 varför 1,414 är ett korrekt avrundat närmevärde.
Att sqrt(2) är irrationellt visas i 15 oktober 1997 18.54.05 och i 31 mars 1997 11.44.13 redovisas en snabbare metod att beräkna kvadratrötter
Kjell Elfström

20 oktober 1997 23.15.08
Hej!!! Har ett problem!! Har på Onsdag (22/10 1400) tentamen i Diskret matematik & Logik.
Hur beräknas: Hur många nollor slutar talet 1996! (fakultet) med??? /Mvh Richard
Richard Bard

Svar:
Skriv 1996! = a10n där a ej är delbart med 10. För att finna n primfaktoriserar vi 1996! och de intressanta primfaktorerna är 2 och 5. Antalet sådana primfaktorer är det totala antalet i primfaktoriseringarna av 1,2,3,...,1996. Vi inser att av dessa faktorer är 1996/5 = 399 delbara med 5, 1996/25 = 79 delbara med 25, 1996/125 = 15 delbara med 125 och 1996/625 = 3 delbara med 625. Detta ger oss 399 + 79 + 15 + 3 = 496 femmor i faktoriseringen. Beräknar vi antalet tvåor på samma sätt finner vi att detta är större så n = 496.
Kjell Elfström

20 oktober 1997 16.08.50
En rät linje genom punkten A (4,3) i ett rätvinkligt koordinatsystem skär x-axeln i punkten B. Normalen genom origo mot den räta linjen skär denna i punkten C. Genom punkten B drages den med y-axeln parallella linjen och genom punkten C den med x-axeln parallella linjen. Dessa båda linjer skär varandra i punkten P. (Rita figurer) Då punkten B varierar utmed x-axeln kommer P att genomlöpa en bestämnd kurva. Bestäm och rita upp denna samt ange eventuella asymptoter, maximi- och minimipunkter.
Jonas Nilsson

Svar:
Sätt B = (b,0). En riktningsvektor för linjen genom A och B är v = (4 - b,3) varför linjens ekvation är

(x,y) = (b,0) + tv.
Eftersom C ligger på linjen har C och därmed vektorn OC, där O är origo, koordinaterna (b,0) + tv. OC och v skall vara ortogonala och därför är
0 = OC·v = (b,0)·v + tv·v = b(4 - b) + t((4 - b)2 + 9)
och löser vi ut t får vi
t = b(b - 4)/((b - 4)2 + 9).
y-koordinaten för C och därmed för P är
3t = 3b(b - 4)/((b - 4)2 + 9).
Byter vi nu bokstäver får vi att kurvans ekvation är
y = f(x) = 3x(x - 4)/((x - 4)2 + 9).
Nollställena till
f '(x) = -6(2x2 - 25x + 50)/((x - 4)2 + 9)2
är 5/2 och 10. Nu är det inte speciellt svårt att gå vidare.
Kjell Elfström

19 oktober 1997 16.51.59
Pat er på postkontoret og kjøper frimerker. Han kjøper 1-krones merker, 6-krones merker og 20-krones merker, tilsammen 100 frimerker for 200 kroner. Hvor mange kjøper han av hvert merke, når han kjøper minst ett av hvert, og hvordan løses denne oppgaven.
Anonym, Norge

Svar:
Antag att han köper x 1-kronors, y 6-kronors och z 20-kronors märken. Enligt förutsättningarna är x, y och z positiva och

x + y + z = 100
x + 6y + 20z = 200
Drar vi den första ekvationen från den andra får vi följande ekvivalenta system.
x + y + z = 100
5y + 19z = 100
Den sista ekvationen är en diofantisk ekvation i två obekanta. Här använder vi Euklides algoritm (i detta fallet behövs bara ett steg).
19 = 5·4 - 1.
Detta ger att
1 = 5·4 + 19(-1)
och eftersom 100 = 100·1 multiplicerar vi båda leden med 100:
5·400 + 19(-100) = 100
och ser att y0 = 400, z0 = -100 är en partikulärlösning. Den homogena ekvationen
5y +19z = 0
har lösningarna
y = 19n, z = -5n
varför ekvationen har lösningarna
y = 400 + 19n, z = -100 - 5n
(se 7 oktober 1997 21.27.23).
Villkoret att y och z är positiva ger nu att
n > -400/19 och n < -20
och eftersom n är ett heltal är den enda möjligheten n = -21. Detta ger att y = 1, z = 5 och insatt i den första ekvationen ger detta att x = 94 vilket är positivt.
Kjell Elfström

19 oktober 1997 03.48.43
Hej Kjell!
Nu ska vi se... I boken Envariabelanalys (Hellström, Morander & Tengstrand), kapitel 1, exempel 2 (sid 16) står följande:
"Talet 314/100 kan skrivas som 3.14 men också som 3.13999... Vi har att 3.13999...=3.13 + a/100 där a=0.999... och 10a = 9.99... = 9 +a. Av detta följer att 9a=9 dvs vi har såväl a=0.999... som a=1 och 3.13999...= 3.13 + 0.01 = 3.14
Vi ser att det finns två sätt att skriva det rationella talet 3.14 som decimalbråk. Bortsett från att ändliga decimalbråk kan skrivas med en oändlig rad avslutande 9:or så har varje reellt tal precis en framställning som decimalbråk."
Alltså, 3.13999... = 3.14 då vi har en oänlig serie avslutande 9:or. Det är väl ok, för vad är oändligheten egentligen? Nej, det som sätter myror i huvudet på mig är när jag har en funktion f(x) som beskrivs enligt följande:
f(x)= 1/(3.14 -x) , x skillt från 3.14
Funktionen inte definierad för x = 3.14. Jag kan komma hur nära som helst, oändligt nära, men aldrig nå 3.14. Oändligt nära är 3.13999... med ett oändligt antal avslutande 9:or. Men detta var ju enligt ovan lika med 3.14.
Jag har frågat min gruppledare, och en mentor, utan att få en begriplig förklaring till det här. Hoppas att du kan hjälpa mig istället! :)
Tack på förhand.
Paul
Paul

Svar:
Att kunna komma hur nära som helst och att ha nått målet är inte samma sak. När man säger att 0,999... = 1 menar man bara att 1 är gränsvärdet av följden

0, 9
0, 99
0, 999
0, 9999
...
men man påstår ju aldrig att om man bara tar med tillräckligt många nior så är
0,99999...9 = 1.
Och det är det ju inte heller.
Kjell Elfström

18 oktober 1997 20.15.07
Fråga 1:
Vad innebär Runges fenomen?
Hur kan det undvikas?
Fråga2:
Vad menas kubiska splines? Med naturliga kubiska splines?
Tack på förhand
Marcus
Marcus

Svar:
Runges fenomen dyker upp vid interpolation. Ofta interpolerar man funktionen med polynom. Är det då många punkter i punktgittret krävs ett polynom av hög grad och är punkterna ekvidistanta uppstår ofta fenomenet att interpolationskurvan har ett väldigt oroligt förlopp. Ofta får man mycket bättre resultat om man väljer andra punktgitter än ekvidistanta, t ex Chebyshevabskissor. Ytterligare en metod är att interpolera med funktioner som bara sträckvis är polynom, så kallade splinefunktioner, vilket ger en naturlig övergång till din nästa fråga.
Om kubiska splinefunktioner berättas i 2 september 1997 19.16.58.
För att entydigt bestämma en sådan funktion krävs någon form av tilläggsvillkor. Om tilläggsvillkoret är

f''(a) = f''(b) = 0,
som i septembersvaret, kallas funktionen en naturlig kubisk splinefunktion. Detta tilläggsvillkor innebär att krökningen är 0 i ändpunkterna och man kan tänka sig att kurvan "vilar" på dessa.
Kjell Elfström

18 oktober 1997 13.12.58
Hur kan man visa att följande gäller:
tan A + tan B + tan C = tan A * tan B * tan C
(i en godtycklig triangel, med vinklarna A, B och C)
Tacksam för svar.
Niklas Rosenqvist

Svar:
Vinklarnas summa är pi varför tan C = -tan(A + B). Utnyttjar vi att

tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)
blir vänsterledet
tan A + tan B - tan(A + B) = (tan A + tan B)(1 - 1/(1 - tan A tan B) =
= -(tan A + tan B)tan A tan B/(1 - tan A tan B).
Högerledet
-tan A tan B tan(A + B) = -tan A tan B (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)
och vänsterledet är alltså lika.
Kjell Elfström

18 oktober 1997 11.45.17
Hej!
Tack för dina lösningar.Jag uppskattar verkligen att man kan få hjälp med dessa relativt svåra problem. Här har jag några till.

USA 1990:1
A certain state issues license plates consisting of six digits(from 0 through 9). The state requires that any two plates differ in at least two places (Thus the plates 027592 and 020592 cannot both be used.) Determine with proof,the maximum number of distict license plates that the state can use.

USA 1992:2
Visa
1/(cos0*cos1)+1/(cos1*cos2)+...+1/(cos88*cos89)=cos1/(sin1)^2

USA 1996:1
Visa att medelvärdet av talen n*sin(n=2,4,6,...,180) är cot1(grad) (vinklarna är i grader)

Carl-Åke Hollander

Svar:
Att lösa så svåra problem i sådan mängd är alltför tidskrävande. Dessutom är de officiella lösningarna säkert elegantare än mina. Jag har hittat en sida på Internet där man kan få köpa lösningarna: American Mathematics Competitions. Här får du ändå mina lösningar på ovanstående tre problem.

USA 1990:1
Föreskriver vi att de fyra sista siffrorna skall vara på ett bestämt sätt kan det finnas högst 10 olika skyltar, ty förstasiffrorna måste alla vara olika och detta gäller även andrasiffrorna. Detta ger en övre gräns på 10·10000 = 100000 olika skyltar totalt. Det gäller att visa att denna gräns antas. De tre avslutande siffrorna kan arrangeras på 1000 sätt. Vi delar in avslutningarna i 10 grupper på följande sätt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   2 3 4 5 6 7 8 9 0 1   ...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   ...
                                           
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   2 3 4 5 6 7 8 9 0 1   ...
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   3 3 3 3 3 3 3 3 3 3   ...
...
Den första gruppen utgörs av de tre första raderna, nästa av nästa tre rader osv. Två avslutningar i samma grupp skiljer sig åt på minst två platser. Vi låter nu varje inledning om tre siffror ge upphov till 100 skyltar genom att vi till denna inledning väljer var och en av de 100 avslutningar som ingår i gruppen där inledningen finns.

USA 1992:2
Multiplicera båda leden med sin 1° och flytta därefter över den första termen i vänsterledet till högerledet samt utnyttja att sin (90° - x) = cos x. Vi får då den ekvivalenta likheten

(sin 1°)/((sin 1°)(sin 2°)) + (sin 1°)/((sin 2°)(sin 3°)) + ... + (sin 1°)/((sin 88°)(sin 89°)) = cot 1° - cot 89°.
Eftersom
sin 1° = sin(k + 1)° cos k° - sin k° cos(k + 1)°
är
(sin 1°)/((sin k°)(sin(k + 1)°)) = cot k° - cot(k + 1)°
så vänsterledet är teleskopsumman
cot 1° - cot 2° + cot 2° - cot 3° + ... + cot 88° - cot 89°
som är lika med högerledet.

USA 1996:1
Medelvärdet är

(1/90)(2sin 2° + 4sin 4° + ... + 90 + ... + 176sin 4° + 178sin 2°) = 2(sin 2° + sin 4° + ... + sin 88°) + 1.
Att det är lika med cot 1° är ekvivalent med att
2(sin 1°)( sin 2° + sin 4° + ... + sin 88°) = cos 1° - sin 1°.
Eftersom
2(sin 1°)(sin 2k°) = cos(2k - 1)° - cos (2k + 1)°
är vänsterledet
cos 1° - cos 3° + cos 3° - cos 5° + ... + cos 87° - cos 89° = cos 1° - cos 89°
vilket är lika med högerledet.

Kjell Elfström

17 oktober 1997 23.35.34
Hej Kjell!
Jag undrar om det finns en generell lösningsmetod för ekvationer av typen:
4^x+2x = 70 ?
Väntar på svar!
Anders Karlsson

Svar:
Tyvärr måste jag göra dig besviken. Det går i allmänhet inte att lösa denna typ av ekvationer exakt.
Kjell Elfström

17 oktober 1997 20.23.18
Jag arbetar som mellanstadielärare och både jag och mina elever ( dels de jag har nu, samt många tidigare klasser) försöker få reda på varför ; att räkna med delar och hela, kallas för just "BRÅK" ????
Tack på förhand för svar.
Kerstin
Kerstin Eriksson

Svar:
Bråk kommer av medellågtyska brok. Den moderna tyska motsvarigheten är Bruch som står i samma förhållande till brechen som brott gör till bryta, vilket det också är fråga om när man delar upp enheten i delar.
Kjell Elfström

17 oktober 1997 19.59.42
Hur använda pi ?
Stig

Svar:
pi är, definitionsmässigt, förhållandet mellan omkretsen och diametern i en cirkel. Detta ger oss formeln

L = 2pir
där L är omkretsen och r radien i cirkeln.
Om T är cirkelns area gäller
T = pir2.
För ett klot gäller formlerna
T = 4pir2,
V = (4/3)pir3.
där V är volymen.
Detta var några exempel på formler där denna konstant används.
Kjell Elfström

17 oktober 1997 02.11.48
Jag har letat efter Leibnitz sektorsats i litteraturen men ej funnit den. Hur lyder den?
Gert Carlsson

Svar:
Jag måste erkänna att jag aldrig hört talas om denna och hittar den heller inte i litteraturen.
Kjell Elfström

17 oktober 1997 02.10.49
Vad är syntetisk division och hur går det till?
Gert Carlsson

Svar:
Ett n-gradspolynom

p(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0
kan beräknas rekursivt. Definiera nämligen polynomen pk, k = 0,1,2,...,n rekursivt på följande sätt:
p0(x) = an
pk(x) = xpk - 1(x) + an - k
Då är
p(x) = pn(x).
Detta kan skrivas
p(x) = x(x(x(...(xan + an - 1) ...))) + a0.
Man brukar ställa upp räkningarna i ett räkneschema som kallas Horners schema och för ett tredjegradspolynom har det följande utseende:
a3 a2 a1 a0
cb3 cb2 cb1
b3 b2 b1 b0
Här är bk = pn - k(c) och talen i sista raden är summan av talen rakt ovanför. Elementet längst till höger är alltså p(c) och detta är en snabb metod att beräkna p(c) eftersom den endast kräver n multiplikationer.
Det är inte bara b0 som är intressant. I syntetisk division utnyttjar man att, om p(c) = 0, så är
p(x)/(x - c) = bnxn - 1 + bn - 1xn - 2 + ... + b2x + b1.
Kjell Elfström

16 oktober 1997 23.42.23
varför är 1 lika med 0,9999999999....
lennart.wahlberg@mailbox.hogia.net

Svar:
När man säger att ett tal a har en viss decimalutveckling, 0,d1d2d3... menar man att a är gränsvärdet av summorna

s1 = d110-1
s2 = d110-1 + d210-2
s3 = d110-1 + d210-2 + d310-3
...
I fallet med 0,999... blir
sn = 9((1/10) + (1/10)2 + (1/10)3 + ...(1/10)n) = (9/10)(1 + 1/10 + (1/10)2 + ... + (1/10)n - 1)
och formeln för den geometriska summan ger att
sn = (9/10)(1 - (1/10)n)/(1 - 1/10) = (1 - (1/10)n)
och då n går mot oändligheten går sn mot 1.
Kjell Elfström

16 oktober 1997 21.10.46
de bibeltrogna säger att jorden skapades för 7000 år sedan. Om varje generation människor skulle leva 50 år vore vi nu 140e generation. Om varje par sedan "begynnelsen" avlat snitt 4 reproduktiva barn, hur stor borde jordens befolkning vara i dag? Hur ser formeln för beräkningen ut?
moritz

Svar:
Med den förenklade modell av mänsklig fortplantning som frågan antyder kan vi resonera på följande sätt:
Den första generationen består av ett par. Nästa generation av 2 par, nästa av 2·2 = 22 = 4 par, nästa av 4·2 = 23 par osv.
Den n:e generationen skulle bestå av 2n - 1 par = 2n personer.
I en mer realistisk modell får vi ta hänsyn till att generationerna överlappar och då kommer faktorer som hur livslängden varierar och hur gamla föräldrarna är när de får barn in i bilden. En modell för befolkningstillväxt är Malthus modell. I den antar man att den relativa befolkningsökningen per tidsenhet är konstant, dvs att befolkningsökningen per tidsenhet är proportionell mot befolkningens storlek:

dN/dt = kN.
Denna differentialekvation har lösningen
N = N0ekt.
Denna modell förutsätter dock att det finns oändliga resurser som utrymme, föda mm. En annan modell, som tar hänsyn till att resurserna är begränsade är den logistiska modellen:
dN/dt = kN(1 - N/K).
Då N är litet i förhållande till K är dN/dt approximativt lika med kN, vilket överensstämmer med Malthus modell. Tillväxten är alltså snabb i början. Efterhand som N ökar avtar emellertid dN/dt mot 0, och populationen stabiliseras efter lång tid på K individer.
Kjell Elfström

16 oktober 1997 17.18.51
Jag skulle vilja ha tips om några lämpliga jämförelsefunktioner för att visa konvergens eller divergens hos serierna [summa fr 2 till oändligheten] dels då f(k)=1/(ln k)^8, dels då f(k)=1/((ln k)^(ln k)).
Mikael Hansson

Svar:
Eftersom (ln k)/ka går mot 0 då k går mot oändligheten för a > 0 är ln k < k1/8 för alla stora k. Det följer att

1/(ln k)8 > 1/k
för stora k.
Vi har
(ln k)ln k = e(ln k)ln(ln k) = kln(ln k)
och ln(ln k) > 2 för alla stora k.
Kjell Elfström

16 oktober 1997 09.03.12
Hur ser egentligen en konvektions ekvation ut ?
Karl Maltesson

Svar:
När t ex en kropp som befinner sig i ett kallare medium kyls ned på grund av konvektion gäller Newtons avkylningslag för temperaturen:

dT/dt = - k(T - T0)
där T är kroppens temperatur, T0 omgivningens temperatur och t tiden. Jag ber också att få hänvisa till Eric's Treasure Trove of Physics.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 19.25.27
Hej ,
jag undrar hur man manuellt räknar ut roten (2:dra ,3:dje osv.) ur ett tal .
Tack på förhand
Peter
Peter Bengtsson

Svar:
Se 31 mars 1997 11.44.13. Vill man beräkna a1/k skall man sätta

f(x) = xk - a.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 18.54.05
Hej! Jag har ett par frågor om irrationella tal. Försök skriva så lättfattligt som möjligt, då jag går på högstadiet och av naturliga skäl inte har så stora matematiska kunskaper.
1. Hur kan man bevisa att ex. roten ur 2 är ett irrationellt tal?
2. Finns det irrationella tal som ej kan beskrivas som en "funktion" av ett rationellt tal? Anta att jag har ett irrationellt tal x. Efter en , kanske oerhört lång, serie av operationer potenser, roturdragningar, gud vet vad, så borde jag någon gång träffa på ett rationellt tal.
Tack!
Martin

Svar:
Ett rationellt tal är, som bekant, ett tal som kan skrivas som en kvot av två heltal.
Antag att roten ur 2 är en sådan kvot a/b. Vi kan anta att a och b har största gemensamma delaren 1, dvs ej har några gemensamma primtalsdelare. Det är ju bara att förkorta så långt det går. Då är

2 = a2/b2
varför
a2 = 2b2
vilket ger att a2 och därmed också a är jämnt. Att a är jämnt betyder att a = 2c för något heltal c varav följer att
4c2 = 2b2
vilket ger att
b2 = 2c2.
Detta ger att även b är jämnt och vi har fått motsägelsen att både a och b är delbara med 2, trots att de saknar andra gemensamma delare än 1. Antagandet att roten ur 2 är rationellt måste alltså vara falskt.
Tar man med alla, av Gud kända, operationer kommer man nog fram till ett rationellt tal till slut, till och med efter bara ett steg. Det är mest en fråga om att ge t ex operationen som överför pi på 38 ett namn. Dessutom ger multiplikation med 0 alltid ett rationellt tal!
Man brukar ofta dela upp de reella tal i två klasser, de algebraiska och de transcendenta. Ett reellt tal x är algebraiskt om det löser någon ekvation
p(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 = 0
där p är ett polynom med rationella koefficienter, inte alla 0. Alla andra reella tal kallas transcendenta och exempel på sådana är pi och e. x = roten ur 2 är däremot algebraiskt eftersom det löser ekvationen
x2 - 2 = 0.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 18.46.18
Bestäm för vilka reella värden på a som vektorerna(0,a,1,0),(a,0,a,1),(1,a,0,a)och(0,1,a,3)är linjärt beroende.
Rolf

Svar:
Om vektorerna betecknas v1,v2,v3,v4 skall man undersöka för vilka värden på a som ekvationssystemet

x1v1 + x2v2 + x3v3 + x4v4 = 0
har någon annan lösning än x = 0. Detta kan i princip göras som i 15 oktober 1997 18.40.43 men räkningarna blir litet besvärliga. Ett annat sätt är att beräkna determinanten av den matris vars kolonner utgörs av de fyra vektorerna. Den är noll om och endast om vektorerna är lineärt beroende.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 18.40.43
Bestäm de värden på a för vilka de 3 planen
x+2y+az-2a=0
x+3y+2az-12=0
2x+ay+8z-16=0
skär varandra längs en linje
Rolf

Svar:
Eliminerar vi i ekvationssystemet

x + 2y + az = 2a
x + 3y + 2az = 12
2x + ay + 8z = 16
får vi
x + 2y + az = 2a
y + az = 12 - 2a
(8 + 2a - a2)z = 2a2 - 24a + 64
Då
8 + 2a - a2 <> 0
har systemet entydig lösning eftersom vi ur den tredje ekvationen kan lösa ut z entydigt genom att dividera båda leden med 8 + 2a - a2 och sedan successivt lösa ut y och x, också entydigt.
Koefficienten för z är noll då a = 4 eller a = -2. Då a = -2 får vi motsägelsen 0 = 88 i den sista ekvationen så då finns inga gemensamma punkter alls. Då a = 4 blir den sista ekvationen 0 = 0. Man kan nu sätta z = t och sedan lösa ut y och x uttryckta i t. Lösningen ges av en ekvation på parameterform för en linje.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 15.46.28
Har man på något ställe användning av tredje eller fjärde derivatan ?
f'''(x) f''''(x)
Karl Maltesson

Svar:
Ja, se t ex 14 oktober 1997 14.13.54 och 31 januari 1997 22.50.29.
Kjell Elfström

15 oktober 1997 15.29.14
Vad gör egentligen datorn när den får en formel och skriver ut en fraktal.
Hur kan formeln se ut ?
Kan man få ut en formel ur en fraktal om man ser den ?
Karl Maltesson

Svar:
Se 17 mars 1997 16.57.52. Att se vilken formel som använts för att framställa en fraktalbild är nog ännu svårare än att se vilken funktion som ligger bakom en funktionskurva.
Kjell Elfström

14 oktober 1997 14.15.45
Vad är sexagesimala talsystemet
Anna Luuk

Svar:
Det är ett positionssystem med basen 60. Babylonierna använde ett sådant och det är av den anledningen som en timme har 60 minuter.
Vårt vanliga talsystem har basen 10 vilket innebär att det räcker med tio siffror för att uttrycka vilket naturligt tal som helst. Vi har ju t ex

4567 = 4·103 + 5·102 + 6·101 + 7·100.
I det binära talsystemet används bara två siffror, 0 och 1:
1011två = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 11tio.
I sextiosystemet används alltså sextio olika siffor och talen 0 till 59 är ensiffriga, talen 60 till 3599 tvåsiffriga osv. Om siffrorna 0-9 har sin vanliga betydelse och t ex "siffran" X står för 25 blir
5X1sextio = 5·602 + 25·60 + 1 = 19501tio.
Kjell Elfström

14 oktober 1997 14.13.54
Vad är en Taylerutveckling?
Anders & Albert

Svar:
En funktion f som är tillräckligt många gånger deriverbar i en omgivning av en punkt a kan Taylorutvecklas kring denna punkt: För alla x i omgivningen gäller att

f(x) = p(x) + Rn + 1(x)
där
p(x) = f(a) + f '(a)(x - a) + f ''(a)(x - a)2/2! + f'(3)(a)(x - a)3/3! + ... + f(n)(a)(x - a)n/n!
och
Rn + 1(x) = f(n + 1)(c)(x - a)n + 1/(n + 1)!
för något tal c mellan a och x.
Polynomet p kallas Taylorpolynomet av grad n och när man approximativt vill beräkna f(x) brukar man approximera f(x) med p(x). För hyggliga funktioner och för x nära a brukar felet Rn + 1(x) vara litet. Metoden förutsätter att man kan beräkna funktionens och de ingående derivatornas värde i punkten a och har fördelen att man ofta ganska enkelt kan uppskatta felet. Det är t ex lämpligt att beräkna sqrt(4,1) med denna metod. Man utvecklar då funktionen f(x) = sqrt(x) kring punkten a = 4. Då kan funktionens och derivatornas värde i a beräknas exakt.
Då a = 0 brukar utvecklingen kallas Mclaurinutvecklingen av f.
Kjell Elfström

14 oktober 1997 11.18.16
ursäkta att jag skickade bara mitt namn. Här är frågan. Jag har tio siffror, från 0 till 9. En kombination består av tre siffror, varje siffra får användas endast en gång i varje kombination. Hur många kombinationer finns det?
lotta kristoffersson

Svar:
Egentligen tror jag inte du menar kombination. I en sådan är ordningen oväsentlig och 123 och 312 skulle vara samma kombination. Om ordningen är väsentlig och talet får inledas med 0 kan den första siffran väljas på 10 sätt, den andra på 9 sätt och den tredje på 8 sätt och antalet permutationer blir 10·9·8 = 720. Får den inte inledas med 0 blir det 9·9·8 = 648. Är det verkligen kombinationer, som får inledas med 0, blir det 10·9·8/(3·2·1) = 120 eftersom elementen i en kombination kan permuteras på 3·2·1 sätt.
Kjell Elfström

13 oktober 1997 17.56.56
Jag har ett litet programmerings problem som jag tänkte lösa, hmm har bara lite dåligt med tid så om någon känner för att tänka åt mig så blir jag super glad!
Jag har en cirkel i ett korrdinatsystem med 0,0 uppe i vänstra hörnet.
Cikelns 0 graders punkt ligger kl.3 och gradräkningen räknas moturs.
Storleken på cirkeln är dynamisk men jag har såklart diametern som variabel, Nu vill jag göra ett pajdiagram med till att börja med tre delar när jag sätter dessa delar så anger jag endast radien, startpunkten samt storleken på sektorns vinkel med andra ord har jag ingen aning om i vilka koordinater mina sektorer korsar hela cirkeln.
Problemet är:
Jag vill av att ange ett x och y värde få reda på vilken av sektorernas korspunkter jag är närmast!!...
Tacksamm för svar men jag skall försöka få till det själv (även om jag inte är någon högutbildad matematiker så tycker jag inte detta vore något större problem fast det såg så ut vid första anblicken) vad säger ni?
Torbjörn Nilsson

Svar:
Cirkeln har en viss radie r och en medelpunkt (a,b). Jag antar att de tre sektorernas radier också är r, men förstår inte detta med sektorernas startpunkt. Den är väl (a,b) för samtliga. Däremot är väl startvinkeln för den första sektorn intressant, men vi kan kanske anta att den är 0. Det verkar som om det enda du behöver veta är var en stråle som utgår från cirkelns medelpunkt och bildar vinkeln v med positiva x-axeln skär cirkeln. Det följer så gott som direkt från definitionen av cos och sin att skärningspunkten har koordinaterna (a + rcos v, b - rsin v). Minustecken eftersom y-axeln pekar nedåt. För att bedöma vilken sådan punkt som ligger närmast den givna punkten behöver du bara räkna ut avstånden och se vilket som är minst. Avståndet mellan punkterna (x1,y1) och (x2,y2) är roten ur (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2.
Kjell Elfström

12 oktober 1997 18.41.37
hvordan finne Asymtoter
ole

Svar:
Se 5 oktober 1997 21.32.43.
Kjell Elfström

11 oktober 1997 12.38.35
Om man tänker sig att man drar ett rep runt hela jorden och sedan förlänger det med en meter, hur högt upp över marken kan man då dra repet? Jag har själv försökt men inte lyckats (räkna ut det alltså...)
Fredrik P

Svar:
Antag att jordradien är r meter. Jordens omkrets är då 2pi r och efter förlängningen får repet längden 2pi r + 1. Den nya radien blir (2pi r + 1)/(2pi) = r + 1/(2pi). Snöret kan dras 1/(2pi) meter över jordytan.
Kjell Elfström

11 oktober 1997 10.46.54
y=cos2 -sin2 -x2 +5
2 är upphöjd
svara till ladislav.capek@mailbox.swipnet.se tack
Mohamed Ali Al-nadre

Svar:
Vad skall jag svara på?
Kjell Elfström

11 oktober 1997 03.44.01
Man klipper sönder ordet ALGEBRA så man får sju separata bokstäver. Hur många "ord" bestående av tre bokstäver kan man bilda ?
Rickard Nilsson

Svar:
Ord med två A: A:na kan placeras ut på 3 sätt, den återstående bokstaven kan väljas på 5 sätt. Vi får 3·5 = 15 sätt.
Ord med ett eller inget A: 6·5·4 =120 sätt.
Totalt 135 olika ord.
Kjell Elfström

10 oktober 1997 19.29.16
Hej !
Jag skulle vilja ha lösningar på några tävlingsproblem.

USA 1992:5
Låt P(Z) vara ett polynom med komplexa koefficienter av grad 1992 och med skilda nollställen.Visa att det finns komplexa tal a1,a2,...,a1992 så att P(z) delar polynomet
(...((z-a1)^2-a2)^2...-a1991)^2-a1992

Sovjets matematiktävling-klass X 1986:2
Visa att
1/a1+2/(a1+a2)+3/(a1+a2+a3)+...+n/(a1+a2+...+an)<4(1/a1+1/a2+...+1/an)

Baltic Way 1994:20
An equilateral triangle is divided into 9000000 congruent equilateral triangles by lines parallel to its sides. Each vertex of the small triangles is coloured in one of three colours. Prove that there exist three points of the same colour being the vertices of a triangle with its sides parallel to the lines of the original triangle.

Carl-Åke Hollander

Svar:
USA 1992:5
Definiera rekursivt

q1(z) = z - a1
qn + 1(z) = (qn(z))2 - an + 1
Vi visar med induktion att man, givet n olika komplexa tal z1,z2,...,zn, kan föreskriva konstanterna a1,a2,...,an så att
qn(zi) = 0 för i = 1,2,...,n.
Då n = 1 är detta självklart.
Antag att påståendet är sant för ett visst n-värde. Det finns då tal
a1,a2,...,an - 1 och a
sådana att
(qn - 1(zi))2 - a = 0, i = 1,2,...,n.
För godtyckliga värden på an och an + 1 har alltså
qn + 1(zi) = ((qn - 1(zi))2 - an)2 - an + 1
samma värde för varje i = 1,2,...,n.
Vi behöver nu bara välja
an = ((qn - 1(zn + 1))2 + (qn - 1(z1))2)/2
så att
((qn - 1(zn + 1))2 - an)2 = ((qn - 1(z1))2 - an)2
och därefter sätta
an + 1 = ((qn - 1(z1))2 - an)2.

Sovjets matematiktävling-klass X 1986:2
I problemet förutsätts att ai > 0, i = 1,2,...n.
Olikheten G <= A där

G = (b1b2·...·bk)1/k och A = (b1 + b2 + ... + bk)/k
ger att
1/(c1 + c2 + ... + ck) <= 1/(k (c1c2·...·ck)1/k) = (1/k)((1/c1)(1/c2)·...·(1/ck))1/k <= (1/k2)(1/c1 + 1/c2 + ... + 1/ck)
varför
1/a1 <= 1/12 (1/a1)
2/(a1 + a2) <= 2/12 ( 1/a2)
3/(a1 + a2 + a3) <= 3/22 ( 1/a2 + 1/a3)
4/(a1 + a2 + a3 + a4) <= 4/22 ( 1/a3 + 1/a4)
5/(a1 + a2 + a3 + a4 + a5) <= 5/32 ( 1/a3 + 1/a4 + 1/a5)
6/(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6) <= 6/32 ( 1/a4 + 1/a5 + 1/a6)
7/(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) <= 7/42 ( 1/a4 + 1/a5 + 1/a6 + 1/a7)
...
där antalet termer i högerledet ökar med ett varannan gång. Vi får alltså att
1/a1 + 2/(a1 + a2) + ... + n/(a1 + a2 + ... + an) <= d1/a1 + d2/a2 + ... + dn/an
där dk är en summa med k termer, alla mindre än eller lika med 4/k varför dk <= 4. Eftersom d1 = 1 < 4 får vi sträng olikhet.

Baltic Way 1994:20
Betrakta först motsvarande problem där endast två färger skall användas. Om den ena sidan i den yttre triangeln innehåller två par av hörn sådana att avstånden mellan hörnen är desamma i de båda paren och om alla dessa hörn har samma färg måste det finnas en triangel med alla hörnen i samma färg.

                     
S
S V
                     
S V V
S V V V
Nu till trefärgsproblemet. Antag att en yttersida innehåller 2k par där i varje par avståndet mellan hörnen är detsamma och där alla hörnen har samma färg S. Vi får då en liknande figur som den ovan med skillnaden att V nu står för någon av de båda övriga färgerna. Fyller vi i som i figuren ovan kommer vi att få en linje som går snett uppåt åt höger med 2k hörn märkta V sådan att ingen linje till vänster om denna har hörn märkta V. Minst k av de 2k V-märkta hörnen har en och samma färg V1. Vi ska nu se att k är så stort att bland dessa V1-märkta hörn det finns två par i vilka avstånden är desamma.
Det är lätt att räkna ut att antalet hörn utefter en yttersida är 3001. Det innebär att det finns en färg S så att minst 1001 av yttersidans hörn har färgen S. Av 1001 hörn kan vi bilda C(1001,2) = 1001 över 2 = 500500 par. Eftersom antalet möjliga avstånd är 3000 och 500500/3000 >=166 måste det finnas minst 166 par av S-hörn i vilka avståndet är detsamma. Detta ger upphov till 166 V-hörn av vilka minst 83 har en viss V-färg V1. Dessa hörn ligger utefter en sida med högst 3000 hörn. Nu är C(83,2) = 3403 > 3000 varför det finns minst två par av V1-hörn med samma avstånd.
Kjell Elfström

10 oktober 1997 12.03.50
Låt F :" R3 till R3" (hoppas att ni förstår vad jag menar) vara en linjär avbildning. Vi säger att x avbildas på y , om y = F(x). Ange matrisen för F om a.) vektorn (1,-2,1) avbildas på nollvetorn b.) vektorerna (1,0,-1) och (0,1,0) avbildas på sig själva Hur gör man?
Marie

Svar:
Om vi kallar vektorerna ovan för x, y resp z skall vi alltså bestämma matrisen A så att

Ax = 0, Ay = y, Az = z.
Detta ger ett ekvationssystem med nio ekvationer och nio obekanta, de nio matriselementen. Lös detta.
Kjell Elfström

10 oktober 1997 11.55.18
Bevisa följande påstående a.) det A(upphöjt till minus ett) = 1 / det A om A är inverterbar b.) det A = +- 1 om A är ortogonal c.) A inverterbar "evivalent med" A(upphöjt till 2) inverterbar. Hur ska jag göra?
Marie

Svar:
Jag förutsätter att satsen som säger att

det (AB) = det(A)detB
är bekant. Av denna följer att
det(A)det(A-1) = det(AA-1) = det(E) = 1
där E är enhetsmatrisen, varav det första påståendet följer.
Vi har också att det(At) = det(A) och om A är ortogonal är At = A-1. Vi får nu att
(det(A))2 = det(A)det(At) = det(A)det(A-1) = 1
varav det andra påståendet följer.
Det sista påståendet följer av
A är inverterbar <=> det(A) <> 0 <=> det(A2) = det(A)det(A) <> 0 <=> A2 är inverterbar.
Kjell Elfström

10 oktober 1997 11.43.13
Bestäm b så att linjen x - 1 = (y - 1) / 2 = (z - 2) /3 är parallell med planet 3 x + by + z - 1 = 0. Hur gör man?
Marie

Svar:
Först bestämmer vi en riktningsvektor v för linjen. Sätter vi z = 3t får vi

(x,y,z) = (1/3,-1/3,0) + t(1,2,3)
varför v = (1,2,3) är en sådan.
En normalvektor till planet är n = (3,b,1) och linjen är parallell med planet om och endast om v är vinkelrät mot n, dvs
1·3 + 2b + 3·1 = 0.
Kjell Elfström

9 oktober 1997 17.34.59
Jag får inte till det här: Bestäm ekvationen på "parameterfri form" för det plan som går genom punkterna (3,-1,0) (1,-2,3)och (-2,3,4). Hjälp!
Dough

Svar:
Vad som avses är en ekvation

Ax + By + Cz + D = 0.
Två basvektorer för planet är
u = (1,-2,3) - (3,-1,0) = (-2,-1,3) och v = (-2,3,4) - (3,-1,0) = (-5,4,4).
På parameterform blir planets ekvation
(x,y,z) = (3,-1,0) + su + tv
vilket innebär att punkten (x,y,z) ligger i planet om och endast om det finns tal s och t så ovanstående gäller. Detta betyder att ekvationssytemet
-2s - 5t = x - 3
-s + 4t = y + 1
3s + 4t = z
skall ha en lösning. Drar vi två gånger den andra ekvationen från den första och lägger 3 gånger den andra ekvationen till den tredje får vi ett nytt ekvationssystem där s bara ingår i den andra ekvationen. Lägger vi i det nya systemet 16 gånger den första ekvationen till 13 gånger den tredje får vi en ekvation
0 = 16x + 7y +13z - 41
vilket är villkoret för systemets lösbarhet och alltså planets ekvation.
Kjell Elfström

9 oktober 1997 11.04.56
Varför divergerar den generaliserade integralen (från minus oändligheten till plus oändligheten) av x/(1+x^2)? Den är ju antisymmetrisk så den borde ju bli noll! Integration från t ex -en miljon till +en miljon ger noll.
Mikael Hansson

Svar:
I definitionen av konvergent generaliserad integral av f(x)dx från -oändligheten till oändligheten kräver man att integralen från -R1 till R2 har ett gränsvärde då R1 och R2 går mot oändligheten oberoende av varandra.
Kjell Elfström

8 oktober 1997 23.56.07
Vad menas med att en funktion är kvasikonkav, och vad är skillnad mot konvex funktion. Enligt mig ser de båda typerna av funktioner likadana ut.
Per-Olof

Svar:
Att en funktion f är konvex i intervallet I betyder ju att

f(ax + (1 - a)x) <= af(x) + (1 - a)f(y)
för alla x och y i I och a mellan 0 och 1. Att den är kvasikonvex betyder att
f(ax + (1 - a)x) <= max(f(x),f(y))
för alla x och y i I och a mellan 0 och 1. f är konkav om -f är konvex och kvasikonkav om -f är kvasikonvex. En konkav funktion är alltid kvasikonkav men det omvända förhållandet gäller ej. T ex är varje monoton funktion såväl kvasikonkav som kvasikonvex men behöver varken vara konvex eller konkav. Ett exempel på en funktion som är kvasikonvex och kvasikonkav men inte konvex eller konkav är arctan.
Kjell Elfström

8 oktober 1997 12.21.51
Vad menas med att en matris är negativt semidefinit? Visa gärna med ett konkret exempel.
Kristian

Svar:
En kvadratisk form

q(x) = xtQx
där Q är en symmetrisk matris kallas
Om Q = D är en diagonalmatris med diagonalelement d1, d2, ... ,dn är
q(x) = d1x12 + d2x22 + ... + dnxn2
och man inser att q är
Om man genom ett koordinatbyte x' = Rx, där R är en inverterbar matris, kan skriva
q(x) = x' tDx'
kan man alltså enkelt avgöra av vilken typ q är.
Tag som exempel i R3
q(x) = -2x12 - x22 - x32 - 2x1x2 - 2x1x3.
Kvadratkompletterar vi kan vi få
q(x) = -(x1 + x2)2 - (x1 + x3)2
och efter koordinatbytet
x'1 = x1 + x2
x'2 = x2
x'3 = x1 + x3
är alltså
q(x) = -x'12 - x'32
varför q är negativt semidefinit.
Om Q är den ursprungliga matrisen
-2 -1 -1
-1 -1 0
-1 0 -1
R matrisen
1 1 0
0 1 0
1 0 1
och D matrisen
-1 0 0
0 0 0
0 0 -1
gäller att Q = RtDR så man kan kalla matrisen Q negativt semidefinit.
Eftersom Q är symmetrisk finns en ortonormerad bas av egenvektorer så matrisen D kan väljas så att diagonalelementen är egenvärdena.
Kjell Elfström

7 oktober 1997 21.27.23
Får ej ut den diofantiska ekv.
a. Finn alla heltalslösningar till ekv. 50a+58b=4
b. ange ev. lösningar där a och b är positiva heltal
Hälsn. pär
Pär

Svar:
Vi ser att de ingående konstanterna är delbara med 2 och kan lösa den ekvivalenta ekvationen

25a + 29b = 2.
För att finna en partikulärlösning a0, b0 använder vi Euklides algoritm:
29 = 25 + 4
25 = 6·4 + 1
Eftersom högerledet 2 är delbart med resten 1 kan vi finna en lösning genom att gå bakåt bland räkningarna ovan. Vi får
1 = 25 - 6·4 = 25 - 6·(29 - 25) = 25·7 + 29·(-6)
och eftersom 2 = 2·1 multiplicerar vi ytterleden med 2 och får
2 = 25·14 + 29·(-12)
varför a0 = 14, b0 = -12 är en lösning. För att få samtliga lösningar adderar vi den allmänna lösningen till den homogena ekvationen
25a + 29b = 0.
Denna är ekvivalent med
25a = -29b
vilket betyder att 25a är delbart med 29 och eftersom 25 och 29 är relativt prima (har inga gemensamma primfaktorer) betyder detta att a är delbart med 29, dvs a = 29n där n är ett heltal. Insatt ger detta att 25·29n = -29b vilket ger att b = -25n. Den fullständiga lösningen är alltså
a = 14 + 29n, b = -12 - 25n.
Att a > 0 innebär att n >= 0 och då kan inte b vara positiv så några positiva lösningar finns inte.
Kjell Elfström

7 oktober 1997 14.12.40
Förklara den geometriska innebörden av följande sats: Integralen a till b av funktionen f(x)dx=f(xi)(b-a) (xi=tecknet xi)
Jonas Rinde

Svar:
Satsen heter integralkalkylens medelvärdessats och säger, som du delvis påpekar, att om f är en funktion som är kontinuerlig i intervallet [a,b] så finns det ett tal c sådant att a < c < b och f(c)(b - a) = integralen från a till b av f(x)dx. För en positiv funktion f betyder det att arean av området som begränsas av kurvan y = f(x), x-axeln samt de båda linjerna x = a och x = b är lika stor som arean av rektangeln med basen b - a och höjden f(c). Rektangelns höjd förtjänar att kallas funktionens medelvärde i intervallet och satsen säger att en kontinuerlig funktion antar sitt medelvärde.
Kjell Elfström

7 oktober 1997 14.09.50
Varför används Wilcoxons rangsummetest?
Mia Andersson

Svar:
Rangsummetestet är ett icke-parametriskt test för att avgöra om det finns en statistiskt säkerställd skillnad mellan två observationsserier. Att den är icke-parametrisk betyder att man inte behöver förutsätta någon viss fördelning.
Kjell Elfström

7 oktober 1997 08.46.17
Är det sant att man kan lita på Lorenz teori om sitt eget väderprogram, att den följer fjärilseffekten i det verkliga livet. Han avrundade ju bara några tusendels decimaler och såg att kurvan i grafen ändrades drastiskt under bara några få minuter ?
Karl Maltesson

Svar:
Matematiskt är det ingenting konstigt. Många fraktaler bygger på rekursionsformler zn + 1 = f( zn) där z0 är något startvärde. Små förändringar i detta kan ge drastiska förändringar i det fortsatta förloppet. I många av vetenskaperna har sedan länge modeller använts där lösningarna har varit stabila. Det betyder att efter lång tid stabiliseras lösningarna på vissa värden tämligen oberoende av vad man har från början. En i ekologi använd enkel modell är den logistiska. Så länge det finns några individer kvar av en art kommer antalet att stabiliseras på ett visst värde efter lång tid. I det långa loppet är antalet individer alltså okänsligt för epidemier och rovdjursangrepp. I princip kan man väl också säga att om alla relevanta ingångsdata är kända vid kast med tärning kan man med visshet förutsäga utgången. Här är problemet att modellen är ytterst instabil. En minimal förändring av ingångsdata ger helt andra utgångsdata. Att uttala sig om vilka modeller som gäller för väderleken ankommer väl på meteorologerna men jag tror nog att de är av den senare typen.
Kjell Elfström

6 oktober 1997 10.20.59
Hur beräknar man arean på en åttahörnig objekt?
Pelle Svensson

Svar:
Om det är en regelbunden åttahörning det gäller kan du se hur man beräknar omkretsen i 21 maj 1997 21.38.12.
Nu gällde det emellertid arean. Antag att avståndet från tyngdpunkten ut till ett hörn är r. Figuren består av åtta kongruenta trianglar ABC där sidorna AB och BC båda är r och vinkeln B är 2pi/8 = pi/4. Enligt areasatsen är triangelns area (rrsin (pi/4))/2 varför åttahörningens area är

4r2sin (pi/4) = 2sqrt(2)r2.
Kjell Elfström

6 oktober 1997 10.01.52
Har lite problem..kan verka enkelt men ändå:
Hur räknar man ut arean i en triangel...jag får inte ihop det är tacksam för snabbt svar

Svar:

Arean av en triangel är hälften av produkten av en sida (basen) och den vinkelräta höjden mot denna. Detta är speciellt enkelt att se i en rätvinklig triangel som ju är hälften av en rektangel. Allmänt kan man sätta samman trianglar av rätvinkliga trianglar och visa att denna formel gäller.
Kjell Elfström

6 oktober 1997 09.22.16
Strömmen i en resistor är i Ampere. Den varierar enligt ekvationen i=0.40-eûpphöjt till0.25t, där t är tiden i sek. Beräkna energiutvecklingen i en resistor under intervallet 0 till 10 sek., om resistansen är R=150 ohm. (Man skall utnyttja att energin är W=R*i(i kvadrat)*t. Man skall utnyttja sig utav integraler.
Bojan

Svar:
Sätt i(t) = 0,40 - e0,25t och f(t) = R(i(t))2. I ett kort tidsintervall [tk - 1,tk] av längd delta_t = tk - tk - 1 är energiutvecklingen ungefär f(tk)delta_t. Delar vi med delningspunkterna

0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn = 10
upp intervallet [0,10] i n lika stora delintervall och summerar energiutvecklingen över dessa får vi ungefär
(f(t1) + f(t2) + f(t3) + ... + f(tn))delta_t.
Detta är en så kallad Riemannsumma som då n går mot oändligheten går mot integralen från 0 till 10 av
f(t)dt.
Det gäller att
f(t) = R(0,16 − 0,8e0,25t + e0,5t),
och energin blir
∫010 f(t) dt = R∫010 (0,16t − 0,8e0,25t + e0,5t) dt = R[0,08t2 − (0,8/0,25)e0,25t + 2e0,5t]010 ≈ 39096.

Kjell Elfström

6 oktober 1997 08.59.20
Hur många kort behövs för sex våningar? Problemet finns i "Maths with photographs" Jag fick det till 57 kort.
Johanna Andersson

Svar:
Du menar förmodligen ett korthus där översta våningen består av en triangel med tre kort, ett som golv och två som, ställda på golvet mot varandra, bildar ett snett tak. Våningen under består av två sådana trianglar, nästa av tre osv. I den understa våningen saknas golvkorten.
Om n är antalet våningar är antalet trianglar

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
(Se 29 september 1997 08.38.10.) Det totala antalet kort är alltså
3n(n + 1)/2 - n = n(3n + 1)/2
där vi dragit ifrån de n golvkorten i understa våningen. Sätter vi in n = 6 får vi 57.
Kjell Elfström

5 oktober 1997 23.43.59
Angående frågan:
En tank har formen av en upp och nedvänd cirkulär kon med höjd 10 m och basradie 4 m. Den är fylld med vatten upp till nivån 8 m. Tanken töms genom pumpning av allt vatten ända upp tankens kant. Beräkna det (fysikaliska) arbete som åtgår för detta. Enligt min lärare är lösningen som du gjorde 9 maj i år räknat på en tank som ser ut som en rättvänd kon. Kan du se efter ifall din lösning är fel eller inte och vore tacksam att få en rätt lösning om den är felaktig.
Erik Danielsson

Svar:
Jag räknade på en kon som hade spetsen uppåt. Vad som är en rättvänd kon kan kanske diskuteras. Skall konen ha spetsen nedåt i stället blir radien

ri = 2xi/5.
Kjell Elfström

5 oktober 1997 22.21.18
Problem med kombinatoriken.
Hej. om, n! betyder n(n-1)...2*1 betyder då k! k(k-1)...2*1. Har n!, (n-k)! och k! alltid samma betydelse oavsett om man pratar om permutationer eller kombinationer?
Om jag skall skriva om (1/x^3)(x^2-1/2)^7 till binomialsatsen med summasymbol hur behandlar jag termerna framför parantesen dvs(1/x^3). Det skall även finnas en x-term i utvecklingen, hur finner jag denna?
Tacksam för hjälp.
Oskar E.

Svar:
Skillnaden mellan n! och k! är naturligtvis endast valet av bokstav och definitionen av n! är den samma oavsett om man talar om permutationer eller kombinationer. Däremot blir formlerna för antalet kombinationer och antalet permutationer olika. Antalet möjliga permutationer av k element ur en mängd med n element är

n·(n - 1)·... ·(n - k + 1) = n!/(n - k)!
medan antalet kombinationer av k element ur en mängd med n element är
n!/(k!(n - k)!)
eftersom varje kombination motsvarar k! permutationer.
Det är (x2 - 1/2)7 som kan utvecklas med hjälp av binomialsatsen. Faktorn 1/x3 hamnar utanför summatecknet men kan naturligtvis efter att man binomialutvecklat multipliceras in i summan. Man får då en summa av termer på formen
(1/x3)C(7,k)x2k(-1/2)7 - k = C(7,k)(-1/2)7 - kx2k - 3
där C(n,k) betecknar n!/(k!(n - k)!).
k-värdet för x-termen får man genom att sätta exponenten 2k - 3 = 1.
Kjell Elfström

5 oktober 1997 21.32.43
Hur räknar man ut en asymptot?
Catrin Haugen

Svar:
Att linjen x = a är en lodrät asymptot till kurvan y = f(x) innebär att f(x) går mot oändligheten eller -oändligheten då x går mot a antingen från vänster eller från höger. T ex har kurvan y = x/(x - 1) linjen x = 1 som enda lodräta asymptot. Att en linje y = ax + b är en sned asymptot till kurvan y = f(x) innebär att skillnaden f(x) - ax - b går mot 0 då x går mot oändligheten eller -oändligheten. Går detta uttryck mot 0 går även

(f(x) - ax - b)/x = f(x)/x - a - b/x
mot 0 varför f(x)/x går mot a. Har f(x)/x inget gränsvärde saknas alltså sned asymptot. Om gränsvärde existerar återstår sedan att beräkna gränsvärdet b av f(x) - ax. Om detta existerar är linjen asymptot annars saknas sned asymptot.
Kjell Elfström

5 oktober 1997 01.04.35
Kan ni rekomendera någon bra bok i Linjär Algebra
Uffe, Mdh

Svar:
T ex K G Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur med övningsbok. Denna bok använder vi i kurserna Matematik 1A och Matematik 1B.
Kjell Elfström

3 oktober 1997 12.20.22
Varför heter det sinus och cosinus? Var kommer namnen ifrån?

Svar:
Sinus är latin och betyder kurva eller vik. Cosinus är complementi sinus, komplementet till sinus.
Kjell Elfström

3 oktober 1997 10.19.44
Lös differens ekv.:
2x[n]-x[n-1]-x[n-2]=4 då x[0]=x[1]=0
(bokstäver inom hakparantes är index)
enl. mina beräkningar uppstår motsägelsen 0=4 i partikulär lösningen.
Ulf Svensson

Svar:
Detta är en lineär differensekvation. Dess allmänna lösning kan fås som summan av den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation och en partikulärlösning till ekvationen. Den partikulärlösning som används här behöver inte uppfylla begynnelsevillkoren x0 = x1 = 0. Det väsentliga är att den slutliga lösningen uppfyller villkoren. Att direkt, genom att gissa eller ansätta, hitta den slutliga lösningen (som också är en partikulärlösning) är inte så lätt. Då är det betydligt lättare att hitta någon partikulärlösning och med metoden ovan få samtliga lösningar och först på slutet välja ut den som uppfyller villkoren.
Vi gör ansatsen xn = an, sätter in i ekvationen och får

2an - a(n - 1) - a(n - 2) = 4
vilket ger att a = 4/3. xn = 4n/3 är alltså en partikulärlösning. Den karakteristiska ekvationen
2r2 - r - 1 = 0
har lösningarna r = 1 och r = -1/2 varför lösningen till den homogena ekvationen ges av
xn = C1 + C2(-1/2)n.
Den allmänna lösningen är därför
xn = C1 + C2(-1/2)n + 4n/3 .
Begynnelsevillkoren ger att
C1 + C2 = 0 och C1 - C2/2 + 4/3 = 0.
Lös nu ut C1 och C2.
Kjell Elfström

2 oktober 1997 22.22.00
Vi är en sjätteklass i Malmö som idag i skolan diskuterade hur man skriver 1997 med romerska siffror? Vi förstår principen för hur man skriver, men kan det skrivas på många olika sätt? MCMLXLVII? MCMXCVII? Hjälp oss!
Charlotte Ingemansson

Svar:
Ja. Ytterligare möjligheter är t ex MXMVII och MVMII.
Kjell Elfström

2 oktober 1997 15.22.05
3!=1*2*3=6 och 4!=1*2*3*4=24 men varför blir 0!=1. 0! borde ju betyda 0 gånger sig själv 0 gånger. Hur kan detta bli 1?
Daniel S.

Svar:
Den mest rimliga definitionen av 0! är 1. Då gäller nämligen den trevliga rekursionsformeln

(n + 1)! = (n + 1)n!
för alla naturliga tal n.
Kjell Elfström

1 oktober 1997 20.17.53
Hej.
Jag har ett antal gånger stött på talet 142857, som ju har egenheten att det multipliceras med tal som inte innehåller faktorer av talet 7 upprepar sina siffror. Detta fungerar för relativt stora tal t.ex. 150*142857=21428550. Lägger man ihop den sista femman med första tvåan upprepar sig talet. Finns det någon bra förklaring till detta beteende och finns det fler tal med denna egenhet?
Fredrik P

Svar:
Dividerar vi 1 med 7 får vi ett oändligt decimalbråk

1/7 = 0,142857142857142857...
med perioden 142857.
  0, 1 4 2 8 5 7
7 | 1            
0            
1 0          
7          
3 0        
2 8        
2 0      
1 4      
6 0    
5 6    
4 0  
3 5  
5 0
4 9
1
Att rationella tal har periodiska decimalutvecklingar förklaras med att det bara kan finnas ändligt många olika rester i en divisionsuppställning som den ovan. Det innebär att vi förr eller senare får en rest som vi fått tidigare och mönstret upprepas. Resterna ovan är skrivna med fet stil och är 1,3,2,6,4,5,1,... Vi inser att vi får följande decimalutvecklingar
1/7 = 0,142857142857142857...
3/7 = 0,428571428571428571...
2/7 = 0,285714285714285714...
6/7 = 0,857142857142857142...
4/7 = 0,571428571428571428...
5/7 = 0,714285714285714285...
Eftersom 0,142857 < 1/7 uppstår ingen minnessiffra då 142857 multipliceras med ett heltal mellan 0 och 7. Detta innebär t ex att perioden 857142 för 6/7 erhålles när 142857 multipliceras med 6. Att siffrorna i perioden roteras oavsett vilket tal mellan 0 och 7 vi multiplicerar med beror på att samtliga dessa tal förekommer som rester vid divisionen. För t ex 1/11 är det inte så att samtliga tal mellan 0 och 11 är rester. I själva verket är 1 och 10 de enda förekommande resterna och det förklarar den korta perioden:
1/11 = 0,0909090909...
Här roteras siffrorna bara vid multiplikation med 1 och 10.
Om p är ett primtal, annat än 2 och 5, är p - 1 delbart med antalet förekommande rester. Vill vi finna andra tal med sådana egenskaper som 142857 skall vi söka efter primtal p som ger p - 1 olika rester när 1 divideras med p. Här följer en lista med alla sådana primtal som är mindre än 1000.

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983.

T ex har 1/47 perioden

0212765957446808510638297872340425531914893617.
Kjell Elfström

1 oktober 1997 16.30.07
Hej! Jag är matematisk analafabet men måste ha formeln för en kastparabel. Hur lyder den?
Martin Nordlöf

Svar:
Antag att en partikel kastas iväg från origo i en riktning som bildar vinkeln a med den positiva x-axeln och att dess begynnelsehastighet är v0 i rörelseriktningen. Vi kan dela upp hastigheten v = vx + vy i en komposant vx i x-axelns riktning och en komposant vy i y-axelns riktning. Initialt gäller då att

vx(0) = |v0| cos a, vy(0) = |v0| sin a
och försummar vi luftmotståndet är
vx(t) = |v0| cos a
vid varje tidpunkt t vilket ger att
t = x/( |v0| cos a).
Om g är tyngdaccelerationen är
vy(t) = vy(0) - gt
och eftersom höjdläget y är en primitiv funktion till vy är
y = vy(0)t - gt2/2 = |v0| (sin a)t - gt2/2.
Sätter vi in t = x/( |v0| cos a) i denna likhet får vi
y = |v0| (sin a)x/( |v0| cos a) - g(x/( |v0| cos a))2/2
och får efter litet hyfsning att
y = xtan a - gx2/(2|v0|2cos2a).
Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström
Ansvarig är Kjell Elfström 		Frågor och svar juli-september 1997 Läs frågor och svar Frågor och svar november 1997