Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar juli-september 1997

Svar:
Jag vet inte om man kan säga att det startar någonstans.
Kjell Elfström

Svar:
Frågan du refererar till är 23 september 1997 20.04.02.
Hålet är en rak cirkulär cylinder med höjden 2 och radien 1. Basarean är alltså pi och volymen fås nu som basarean·höjden.
Kjell Elfström

Svar:
Den typ av matematik som algebra handlar om har utövats väldigt länge och jag tror inte att man kan ange någon upphovsman. Se 6 juni 1997 13.16.13.
En talföljd (t_n) kallas aritmetisk om skillnaden mellan ett element och det föregående är konstant = d. Adderar man elementen får man en aritmetisk summa. I den enklaste aritmetiska talföljden

Svar:
Om de två sidorna förlängs med 25 längdenheter och de andra förkortas med 20 längdenheter kan man inte ge ett svar som inte innehåller den ursprungliga sidlängden. Förlängs de två sidorna 25 gånger och de övriga förkortas 20 gånger får man en till arean större kvadrat. Jag gissar att förlängningen är 25% och förkortningen 20%. Om den ursprungliga sidan är a blir de nya sidorna 1,25a resp 0,80a och förhållandet mellan den nya och den gamla arean blir (1,25·0,80a²)/a² = 1. Svaret blir att den nya arean är 0% mindre än den gamla.
Kjell Elfström

Svar:
Se 18 september 1997 13.35.18.
Kjell Elfström

Svar:
Som det är skrivet kan det definitivt inte bli så litet som 5/13. Jag kan heller inte se hur parenteserna skall sättas för att man skall få ett så litet svar. Återkom gärna med ett förtydligande.
Kjell Elfström

Svar:
4·4 - 7 = 9. Han vänder glasen samtidigt. När fyraminutersglaset runnit ut vänder han det. När sjuminutersglaset runnit ut sätter han på äggen, han vänder fyraminutersglaset ytterligare två gånger och när det sedan runnit ut har det gått nio minuter.
Kjell Elfström

Svar:
Vi har distributiva lagen

Svar:
Om koordinaterna avser ett ortonormerat koordinatsystem och u = (u₁,u₂,u₃) och w = (w₁,w₂,w₃) gäller för längden att

Svar:
Upprepning av de tre siffrorna svarar mot multiplikation med 1001. Eftersom 1001 = 7·11·13 är delbart med 7, 11 och 13 följer påståendet.
Kjell Elfström

Svar:
I svaret till 14 september 1997 15.53.07 finns en förklaring till vad lika många betyder när det gäller oändliga mängder. Ofta säger man att två mängder är lika mäktiga eller har samma mäktighet när de har lika många element. Jag nämner också att mängden av rationella tal har mindre mäktighet än mängden av reella tal. Eftersom de rationella talen har samma mäktighet som de positiva heltalen och de reella talen har samma mäktighet som de reella talen mellan 0 och 1 är detta liktydigt med att de positiva heltalen är färre än de reella talen mellan 0 och 1. Här följer Cantors diagonalbevis:
Varje reellt tal mellan 0 och 1 kan entydigt representeras som ett oändligt decimaltal om vi kräver att inget sådant avslutas med idel nior.
Antag nu att det finns en uppräkning av de reella talen mellan 0 och 1 med hjälp av de positiva heltalen. Vi får då en lista av decimalutvecklingar

Svar:
Polynomfunktioner är ju enkla så till vida att bara addition och multiplikation behövs för att beräkna deras funktionsvärden. Därför används polynom ofta för att approximera mer komplicerade funktioner. Tänk bara på Taylors formel! Även direkt i tillämpningarna dyker polynom upp ofta. Om f(t) är konstant = a är ju v(t) = at + b en primitiv funktion till f och s(t) = at²/2 + bt + c en primitiv funktion till v. Här kanske vi tänker på f(t) som accelerationen vid tiden t och får att hastigheten v(t) ges av ett förstagradspolynom och positionsförändringen s(t) av ett andragradspolynom. Konstanter dyker ju ofta upp i tillämpningarna och av skäl som ovan därför även polynom av högre grad. För att nämna något litet mer avancerat kan jag ta t ex kodningsteori, där resultaten har väl så praktisk användning.
Kjell Elfström

x + 2,001y =  5,002 och x + 2,001y =  5,001
x -     2y = -3         x -     2y = -3

x + 2,001y = 5,002 och x + 2,001y = 5,001
x +     2y = 5         x +     2y = 5

Svar:
Drar vi i de båda första ekvationssystemen den andra ekvationen från den första får vi 4,001y = 8,002 resp. 4,001y = 8,001. Sätter vi in detta i den andra ekvationen får vi lösningarna x = 1, y = 2 resp. x = 0,9995, y = 1,99975.
Samma metod i de senare systemen ger 0,001y = 0,002 resp. 0,001y = 0,001. Vi får här lösningarna x = 1, y = 2 resp. x = 3, y = 1.
Förklaringen till att skillnaden i lösningarna i det senare fallet är så stor kan ju sägas vara att koefficienten för y där är väldigt liten. Betrakta ekvationerna

Svar:
En stor undersökning som genomförts är ju TIMSS - Third International Mathematics and Science Study. Se också Enheten för pedagogiska mätningar vid Umeå Universitet.
Kjell Elfström

              ( 2  A0 0  0 ... 0   0   ) (  M0   )  (  C0   )
              ( B1 2  A1 0 ... 0   0   ) (  M1   )  (  C1   )
              ( 0  B2 2 A2 ... 0   0   ) (  M2   )= (  C2   )
              (   ...      ...         ) (   .   )= (   .   )
              ( 0  0  0  0 ... 2 An - 1) (Mn - 1 )= (Cn - 1 )
              ( 0  0  0  0 ...Bn   2   ) (  Mn   )= (  Cn   )

Svar:

Svar:
Detta är samma fråga som 9 maj 1997 20.48.06.
Kjell Elfström

Svar:
Vi tar följande som utgångspunkt: Om kurvan

Svar:
Med

Svar:
Ja. Se 22 april 1997 10.39.05.
Kjell Elfström

Svar: Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

Svar:
Primfaktoriseringen av 36 är 2·2·3·3. Att dela upp 36 i tre faktorer kan göras på följande sätt: 36·1·1, 18·2·1, 12·3·1, 9·4·1, 6·6·1, 9·2·2, 6·3·2, 4·3·3.
Motsvarande faktorsummor är 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10. Eftersom den förste matematikern inte kan bestämma barnens ålder med hjälp av uppgiften om denna summa måste den vara 13 och eftersom ett av barnen var äldst är 9, 2, 2 den enda möjligheten.
Kjell Elfström

Svar:
Med gruppteori som i t ex Lecture notes on the mathematics of the Rubik's cube.
Kjell Elfström

Svar:
Uppenbarligen kan man inte ha precis fyra rätt. Är informationen tillräcklig för att besvara hur många som har alla rätt?
Kjell Elfström

Svar:
Vad som är en lämplig metod beror ju på vad du vill åstadkomma och hur kända data är fördelade. Den enklaste metoden är väl lineär interpolation. Eftersom funktionerna i frågan är strängt konvexa eller strängt konkava lämpar sig förmodligen någon polynomapproximation. Om interpolation med spline-funktioner kan du läsa i 2 september 1997 19.16.58. Se också t ex Atkinson K: Elementary Numerical Analysis, (Wiley) eller Atkinson K: An introduction to Numerical Analysis, (Wiley). Ingen av dessa böcker är särskilt avancerad men den senare är litet mer djuplodande.
Kjell Elfström

Svar:
Varje dominobricka täcker en svart och en vit ruta. Den del av schackbrädet som täcks har alltså lika många svarta som vita rutor. Därför går det inte att täcka brädet på ovan angivet sätt.
Kjell Elfström

Svar:
Dekameter efter det grekiska ordet för tio.
Kjell Elfström

Svar:
Låt oss kalla bottensidan för a och avståndet från toppen till hörnet för b.
1. Bottenytan är en kvadrat med arean a². Ovansidan består av fyra kongruenta trianglar. Triangelhöjden c fås med Pythagoras sats:

Svar:
Topologin studerar de egenskaper hos geometriska objekt som har med form att göra. Ingen hänsyn tas till t ex avstånd och vinklar. Som exempel på ett topologiskt problem brukar man ta problemet med Königsbergs broar. Detta består i att avgöra om det är möjligt att under en promenad passera var och en av de sju broarna precis en gång. Här inses att broarnas längder och exakta lägen är oväsentliga.
Historiskt visade det sig att de öppna mängderna spelade en väsentlig roll för att karakterisera de kontinuerliga funktionerna. En kontinuerlig funktion är nämligen en funktion sådan att den inversa bilden av en öppen mängd alltid är öppen. Detta har renodlats i topologin och ett topologiskt rum är en mängd X tillsammans med en mängd T av delmängder till X. Man kräver att tomma mängden, hela X, unioner av uppsättningar av mängder i T och snitt av ändliga uppsättningar av mängder i T också är mängder i T. Mängderna i T kallas öppna mängder. Om f är en funktion från X till ett topologiskt rum Y säger man att f är kontinuerlig om den inversa bilden f^-1(G) är en öppen delmängd av X för varje öppen delmängd G av Y. En homeomorfism f från X till Y är en bijektiv kontinuerlig funktion från X till Y sådan att även f^-1 är kontinuerlig. Om en sådan funktion existerar säges X och Y vara topologiskt ekvivalenta. Det är egenskaper som bevaras av homeomorfismer som studeras av topologer och dit hör uppenbarligen inte t ex avstånd. T ex är en cirkel ekvivalent med vilken ellips som helst men inte med ett linjestycke, ett klot med en kub men inte med en torus. En ytas genus (antal hål) är en topologisk egenskap och skämtsamt brukar man säga att en topolog inte kan se skillnad på en kaffekopp och en ringmunk.
Kontinuerliga funktioner är viktiga inom analysen vilken använder många av resultaten från topologin.
Kjell Elfström

Svar:
Eric's Treasure Trove of Mathematics: Golden Ratio har en fyllig redogörelse om detta.
Kjell Elfström

Svar:
Att y₁ och y₂ beror av x på det sätt du anger påverkar inte svaret. När man deriverar u = sin y₁y₂ med avseende på t ex y₁ betraktar man ju y₂ som konstant. Vi kan lika väl ställa oss frågan: Vad blir derivatan av

Svar:
På 50 minuter kör han 6 mil. Den totala körtiden är 2 timmar och en kvart + 50 minuter, dvs 185 minuter. Eftersom hans fart är konstant hinner han 185·6/50 = 22,2 mil under denna tid.
Kjell Elfström

Svar:
Vi konstaterar att

Svar:
Därom tvista de lärde! Jag tolkar emellertid frågan bokstavligt och hänvisar till Fråga en bonde eller Fråga en ekolog.
Kjell Elfström

Svar:
Översättningen krusning har jag sett och hört förekomma.
Kjell Elfström

Svar:
Vattens värmekapacitivitet är 4,19 kJ/(kg·K), vilket betyder att det går åt 4,19 kJ att värma ett kg vatten 1°. En tesked vatten innehåller omkring 5 ml och en tesked vatten väger därför ungefär 0,005 kg. För att värma denna vattenmängd 60° åtgår det alltså 0,005·60·4,19 kJ. Nu är 1 kWh = 3600 kJ och om 1 kWh kostar 70 öre blir kostnaden att värma vattnet i teskeden 0,005·60·4,19·70/3600 = 0,024442 öre. På ett år blir det 24·365 = 8760 teskedar och kostnaden blir alltså omkring 2,14 kronor.
Kjell Elfström

Svar:
Se 19 november 1996 13.47.15.
Kjell Elfström

Svar:
I en del avseenden är ju [0,1] mindre är [0,2]. Den förra är t ex en äkta delmängd till den senare, dvs alla tal i [0,1] finns med i [0,2] och i [0,2] finns en del som inte finns i [0,1]. Dessutom är längden av det första intervallet mindre än längden av det andra. Detta motsäger dock inte att de är lika stora i den meningen som gavs i svaret till 14 september 1997 15.53.07. Om en ändlig mängd är äkta delmängd till en ändlig mängd kan inte mängderna innehålla lika många element. För oändliga mängder gäller inte detta.
A5-papperet är en äkta delmängd till A4-papperet, likaså har det mindre area. Men projiceras A5-papperet på en filmduk, så det blir så stort som ett A4-papper, så motsvarar varje punkt på bilden precis en punkt på papperet.
Kjell Elfström

Svar:
Att välja ut k element ur en mängd med n om man inte tar hänsyn till i vilken ordning elementen väljs kan göras på

       A * BC = AD
       *    -----    ----
       D *  B  =  D
  ______________
       BE - DC = E

Svar:
Jag tror att jag skulle behöva få problemet förklarat för mig.
Kjell Elfström

Svar:
Kvadraten på ett reellt tal är alltid större än eller lika med 0 så kvadratrötter ur negativa tal kan inte vara vanliga reella tal. För att en ekvation

Svar:
Jag tolkar frågan på följande sätt:
a, b, c, d, e är vektorerna som beskriver kanterna och a och b är kända, dvs vi känner koordinaterna för dem i någon ortonormerad bas. Bestäm c, d, e.
Jag antar för enkelhets skull att de är uppräknade så att a slutar där b börjar, b slutar där c börjar osv.
Betrakta vektorerna som komplexa tal och utnyttja att multiplikation med ett komplext tal av längden 1 betyder rotation. Vi har alltså att a = zb där

Svar:
Jag har fått några frågor om fraktaler tidigare och svaren innehåller en del referenser. Se 25 augusti 1997 13.06.35. Att skriva datorprogram som ritar fraktaler kan väl kallas att experimentera. Man kan bl a testa hur olika värden på parametrar i formlerna påverkar fraktalernas utseende.
Kjell Elfström

Svar:
I a) har vi en funktion f definierad på intervallet [2,5] för vilken gäller att

Svar:
Det beror på hur högt man står. Antag för enkelhets skull att jorden är ett (absolut runt) klot med radien r och att vi vill mäta avståndet d från horisonten H till en punkt P på höjden h över jordytan. Om Q är jordens medelpunkt bildar QHP en triangel med vinkeln H rät. Pythagoras sats ger oss därför att

Svar:
Vi får först klargöra vad vi menar med "lika många". Två mängder A och B innehåller lika många element om det finns en funktion f från A till B sådan att olika värden på x i A ger upphov till olika värden på f(x) i B och sådan att varje y i B verkligen framkommer som ett funktionsvärde y = f(x) för ett x i A. Vi kan ju t ex utan att räkna inse att det finns lika många gifta kvinnor som det finns gifta män (vi bortser från möjligheten till månggifte och registrerade partnerskap). Vi kan nämligen para ihop elementen i A = mängden av gifta kvinnor med elementen i B = mängden av gifta män med hjälp av funktionen f(x) = maken till kvinnan x.
Om A = [0,1] och B = [0,2] inser vi att f(x) = 2x är en sådan bijektiv funktion varför dessa mängder innehåller lika många element. Med hjälp av funktionen f(x) = 1/x - 1 inser vi att det finns lika många reella tal mellan 0 och 1 som det finns positiva reella tal. På liknande sätt kan man visa att det finns lika många positiva heltal som det finns heltal och också att det finns lika många heltal som det finns rationella tal. Däremot finns det färre rationella än det finns reella tal.
Kjell Elfström

Svar:
Oändligheten är ju inget tal. Det är inte ens säkert att "oändligheten" skulle vara ett tillfredsställande värde på en sådan kvot. Låter vi x vara litet och positivt är ju 1/x väldigt stort men om vi i stället låter x vara negativt och nära 0 blir 1/x ett stort, i betydelsen långt från 0, negativt tal. Betraktar vi i stället kvoter som t ex (sin x)/x för små x får vi tal nära 1.
Kjell Elfström

Svar:
Jag mottog din fråga den 4 september 1997 20.06.43 och har svarat.
Kjell Elfström

Svar:
Se 13 september 1997 09.44.09.
Kjell Elfström

Svar:
Se A Simple Calculator.
Kjell Elfström

Svar:
Binomialsatsen är en generalisering av kvadreringsregeln

Svar:
-0,000000000671526786167242
Kjell Elfström

Svar:
Ett sätt är det som visas i 9 september 1997 14.41.38.
Kjell Elfström

Svar:
Var så god!
Kjell Elfström

Svar:
Räkneregeln sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b) som gäller för positiva reella tal a och b gäller inte för alla tal. Då a < 0 är det väl inte ens klart vad sqrt(a) skall betyda. Skall det vara isqrt(-a) eller -isqrt(-a).
Kjell Elfström

Svar:
Finns det inga villkor angivna får man väl förutsätta att de sju parametrarna a, b, c, d, f, g och h är oberoende.
Kjell Elfström

Svar:
Varje komplext tal u + vi kan skrivas på polär form, dvs

Svar:
Att ange vinkeln i radianer i stället för i grader är naturligare eftersom man då direkt får längden av den båge som vinkeln skär ut ur en enhetscirkel. cos x och sin x är ju också avstånd, om än med tecken, på x- resp. y-axeln. För små x är sin x ungefär lika med x vilket får som följd att derivatan av sin x är cos x. Hade vi mätt i grader i stället hade många formler blivit mer komplicerade. Vi har ju t ex, om f(x) = sin x° = sin(pi x/180), att

Svar:
Detta är egentligen en fråga för Matematisk statistik men jag dristar mig ändå att svara.
Standardavvikelsen är roten ur variansen och jag diskuterar variansen i stället. En stokastisk variabel är en variabel som antar slumpmässiga värden. Ett exempel är antalet ögon vid kast med en tärning. Antag för enkelhets skull i fortsättningen att den stokastiska variabeln bara kan anta ändligt många värden x₁, x₂, ..., x_n. Väntevärdet E är ett slags genomsnittligt värde, nämligen följande vägda medelvärde:

Svar:
Se 9 september 1997 14.41.38.
Kjell Elfström

Svar:
Att kunna lösa alla de typer av problem som ingår i avsnitten ifråga är naturligtvis viktigt. Därför är det nödvändigt att träna på sådana problem. Det är dessutom viktigt att man förstår teorin som behandlas och är problemen rätt utformade så är de en hjälp på vägen dit och dessutom testar de att man förstått. En lämplig metod vid inlärning av matematik kan vara att först ögna igenom teoridelen, sedan lösa de problem man ser att man klarar av. Därefter läser man teorin ordentligt och ser efter vilka delar som är relevanta för de olika problemen varpå man gör ett nytt ordentligt försök att lösa dem.
Kjell Elfström

Svar:
Följande bevis av Pythagoras sats bygger på likformighet och utnyttjar bland annat att två trianglar ABC och A'B'C' är likformiga om vinklarna A och A' är lika stora och vinklarna B och B' är lika stora.
Låt nu ABC vara en rätvinklig triangel och antag att vinkeln C är rät. Om sidorna a, b och c står mot A, B resp. C säger Pythagoras sats att

Svar:
Om detta kan man läsa i de flesta elementära böcker i algebra, t ex Serge Lang: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag.
Kjell Elfström

Svar:
Se 6 september 1997 14.37.04.
Kjell Elfström

Svar:
Vi har följande definition:

Svar:
Det komplexa talet z = x + iy representeras i det komplexa talplanet som punkten eller vektorn som har koordinaterna (x,y). Absolutbeloppet

Svar:
Antag att u och v båda har längden 1 och inför en ortonormerad bas e₁, e₂ så att e₁ = u. Då får u koordinaterna (1,0) och om e₂ väljs lämpligt blir v = (-1/2,sqrt(3)/2).
Då blir w = u + 2v = (0,sqrt(3)) och z = 3u - v = (7/2,-sqrt(3)/2) och om t är vinkeln mellan w och z är

Svar:
Mellan två olika tal finns alltid andra reella tal. Det är lätt att inse att det bör vara så eftersom de reella talen kan representeras av tallinjen och om a och b är två olika punkter på tallinjen ligger mittpunkten (a + b)/2 mellan a och b. Genom att ta mittpunkter mellan mittpunkterna och upprepa detta inser man att det finns oändligt många tal mellan a och b.
Varje intervall [a,b] där a < b innehåller alltså oändligt många tal och faktum är att detta, kanske lilla, intervall har samma mäktighet som de reella talen, dvs innehåller (i någon mening) lika många tal som det finns reella tal.
Angående pi är svaret ja. Man får ett visst fel.
Kjell Elfström

Svar:
Jag hänvisar till Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

Svar:
Absolutbelopp har med avstånd att göra. Avståndet från 2 till 5 på tallinjen beräknas som 5 - 2 = 3. Men vad är avståndet mellan x och y? Om det är x - y eller y - x beror på om x eller y är störst.
Definitionen av absolutbelopp är enkel. Absolutbeloppet |a| av ett reellt tal a är a om a >= 0 och -a annars. Av detta följer t ex att |8| = 8 och |-7| = -(-7) = 7 eftersom 8 >= 0 och -7 < 0.
Avståndet mellan x och y kan nu enkelt skrivas |x - y| vilket är samma sak som |y - x|.
Direkt från avståndstolkningen följer t ex att olikheten |x - 3| < 2 har lösningarna 1 < x < 5 och att olikheten |x - 3| > 2 har lösningarna x < 1 eller x > 5.
Kjell Elfström

Svar:
Sekantens riktningskoefficient är differenskvoten

Svar:
En kubisk spline-funktion på intervallet [a,b] är en funktion som är två gånger kontinuerligt deriverbar i [a,b] och för vilken det existerar en indelning

Svar:
Jag ber att få hänvisa till Institutionen för Matematisk statistik.
Kjell Elfström

Grupp A (n=20)			
Individ	Kön  Påst.1	 Påst.2   Utb.	
1	K	6	2	H
2	M	5	6	H
3	K	6	7	L
4	M	3	4	L
5	M	4	6	L
6	M	6	6	H
7	K	5	6	H
8	M	6	5	H	
9	K	6	5	H
10	M	6	7	H
11	K	5	3	L	
12	K	6	4	H
13	K	3	4	H
14	M	7	7	L
15	M	6	5	L
16	K	4	4	L
17	K	2	2	H
18	M	6	7	L
19	K	7	6	H
20	K	7	4	H


Grupp B (n=20)			
Individ	Kön   Påst.1	Påst.2  Utb.
21	M	2	3	L
22	K	6	7	H
23	M	6	6	L
24	M	3	4	L
25	M	4	5	H
26	M	3	3	L
27	K	5	5	H
28	K	5	4	H
29	M	2	1	L
30	M	5	6	H
31	K	6	7	L
32	M	5	6	L
33	K	4	3	H
34	M	5	4	L
35	K	4	5	L
36	M	1	2	H
37	K	3	4	H
38	K	3	3	L
39	M	3	4	L
40	K	7	6	H

Svar:
Jag ber att få hänvisa till Institutionen för Matematisk statistik.
Kjell Elfström

Svar:
I en följd av element, till skillnad från en mängd, är ordningen väsentlig och samma element kan förekomma flera gånger. För att uppnå detta indicerar man elementen i en mängd A med element i en indexmängd I. Detta innebär att man anger en funktion a från I till A. I t ex talföljden

          
            / x                 2
C(x) = |       cos(   t      ) dt
           / 0

             / x               2
S(x) =  |       sin(   t      ) dt
            / 0

Svar:
Vilken metod som är snabbast är naturligtvis svårt att ge svar på. En metod bygger på approximation med trunkerade Chebyshev-serier. Se t ex Y.L. Luke: Mathematical functions and their approximations, Academic Press 1975. En sida med många referenser, såväl till litteratur som till programvara, är Numerical Evaluation of Special Functions.
Kjell Elfström

Svar:
Beteckna höjden mot basen med h. Enligt Pythagoras sats gäller då

6x + 7   4x
------ = ---
   8      3

Svar:
Vi gör oss först av med nämnarna genom att multiplicera båda leden med 8·3 och får den ekvivalenta ekvationen

Svar:
Framför allt är det lättare att hänvisa till en välbekant sats, som i det här fallet är mycket mer allmängiltig. Jag känner inte till något bevis som endast visar detta svagare påstående heller. Därmed inte sagt att det inte finns.
I följande två böcker får du nog inte svar på din fråga, men de kan ändå vara av intresse:
Alan Baker: Transcendental Number Theory
Shidlovskii: Transcendental Numbers
Kjell Elfström

Svar:
Jag har inte hört att någon haft problem med detta. Saknas minustecken helt och hållet är det väl något problem med din HTML-läsare. Jag använder inte bindestreck (-) utan det längre minustecknet (−). I källkoden ser detta ut på följande sätt: &minus;. Om du ser efter där kan du se om minustecknet finns men inte syns.
Kjell Elfström

Svar:
Stirlings formel kan användas för en approximativ beräkning. Se frågan den 21 maj 1997 11.24.51.
Kjell Elfström

Svar:
Man kan tänka sig två olika sätt att definiera tal. I det ena hänvisar man till någon annan typ av objekt. Det går nämligen att definiera talen t ex med utgångspunkt från mängdläran. Men då ställs man inför problemet att definiera begreppet mängd i stället. Någonstans får man finna sig att ta ett begrepp för givet. Det andra är operationellt. Man fastställer ett axiomsystem som skall gälla för tal och definierar alltså tal genom hur de används. Det första sättet slutar också här genom att mängd definieras på detta sätt.
Vad gäller de historiska frågorna kan jag säga att babylonierna redan för 4000 år sedan använde ett positionssystem med basen 60. History of Mathematics har en sida med referenser till intressanta böcker.
Kjell Elfström

Svar:
Att ⁸log(1/16) = -4/3 beror på att 8^-4/3 = 1/16. Vi har nämligen att 8^1/3 = 2 och 2⁴ = 16.
Kjell Elfström

Svar:
Se frågan den 22 januari 1997 08.43.57.
Kjell Elfström

Svar:
Du kan säkert hitta informationen på Mathematics Archives - Fractals. En beskrivning av Mandelbrot-mängden finns på Fractal Explorer. Ofta används formler som innehåller komplexa tal, dvs tal på formen x + yi där x och y är koordinaterna. För komplex addition och multiplikation gäller:

Svar:
T ex kan multiplikationen 4·4 = 16 tolkas så att 4 grupper om 4 element tillsammans blir 16 element. Det är på samma sätt naturligt att 4·(1/2) = 4/2 = 2, 4 halvor blir tillsammans 2 hela. Att sedan (1/2)·4 också skall bli 2 kan motiveras med att regeln ab = ba skall gälla. På så sätt kommer multiplikation med 1/2 att betyda "hälften av" och då är det inte så konstigt att (1/2)(1/2) = 1/4.
Kjell Elfström

Svar:
Jag vet inte om någon har bevisat att eⁿ är irrationellt för alla positiva heltal n utan att visa att e är transcendent. Det första påståendet betyder ju att x = e inte löser någon ekvation av typen

Svar:
Om

Svar:
Eftersom ägg har olika form kan man inte ange någon allmän formel för detta. Har man en ekvation för begränsningsytan kan man teckna volymen som trippelintegralen av 1 över området i rummet som ligger innanför ytan. Normalt är väl ägg rotationssymmetriska och man kan tänka sig att ytan erhålles genom att man roterar en funktionskurva y = f(x), a < x < b, kring x-axeln. Volymen V av detta område ges av

Svar:
Vid variabelsubstitution används kedjeregeln (derivation av en sammansatt funktion) baklänges. Kedjeregeln lyder

Svar:

Arean av ett parallelltrapets kan beräknas som summan av areorna av en triangel och en parallellogram och blir med figurens beteckningar

Svar:
Jag har inte hittat något elementärt bevis men det följer av Gelfonds sats som säger att a^b är transcendent (och därför irrationellt) om a är algebraiskt, a <> 0, a <> 1 och b är algebraiskt och irrationellt.
Kjell Elfström

Svar:
Om x₁ < x₂ är två punkter på x-axeln kan vi bilda en rektangel med basen deltax = x₂ - x₁ och höjden f(x₂). Denna har arean f(x₂) deltax. Delar vi nu in intervallet [a,b] i delintervall genom att införa delningspunkterna

Svar:
Vi vet inte om den avvikande kulan är tyngre eller lättare än de övriga.
Kjell Elfström

Svar:
Funktionen i fråga 1 kan skrivas

Svar:
Ett pound är 0,45359237 kg, en foot är 0,3048 m.
Kjell Elfström

Svar:
Även här ger jag dig en länk: Eric's Scientific Book List, Chaos.
Kjell Elfström

Svar:
Du får en länk: Eric's Scientific Book List, Elliptic Functions.
Kjell Elfström

Svar:
Vi har

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström