Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar april-juni 1997

Svar:
Jag är glad att vi blev överens till slut.
Kjell Elfström

Svar:
Jag håller fortfarande inte med dig.
Kjell Elfström

Svar:
Att det är kongruensräkning ligger liksom i sakens natur. Likhetstecknen nedan betyder kongruent med (mod 1000).

Svar:
Vi skall välja ut ett maximalt antal meddelanden sådana att varje par skiljer sig åt på åtminstone sex platser.
När vi nedan talar om rader och kolonner tänker vi oss att meddelandena arrangerats som kolonner i rektangulära scheman med 10 rader. Vi visar först att för tre meddelanden kan det inte finnas två rader sådana att tecknen i var och en av dem är inbördes lika . Utan inskränkning kan vi anta att schemat är

Svar:
Vi konstaterar att varje term i summan är den föregående termen upphöjt till 5 . 2⁵ = 32 och 32⁵ är kongruent med 32 (mod 100) varför varje term är kongruent med 32. Det finns 1991 termer varför summan är kongruent med 1991·32 vilket är kongruent med 12.
Kjell Elfström

Svar:
Ett sätt är att införa de reella talen som Dedekind-snitt. Ett sådant är en uppdelning av de rationella talen i en övre och en undre del sådana att alla rationella tal tillhör någon del och varje tal i den undre delen är mindre än alla tal i den övre delen. Om t ex den övre delen består av de positiva rationella tal vilkas kvadrater är större än 2 och den undre av alla andra rationella tal är detta snitt sqrt(2).
Ett annat sätt är med hjälp av Cauchyföljder av rationella tal. En sådan är en följd (x_n) sådan att |x_n - x_m| kan fås godtyckligt litet bara m och n är tillräckligt stora. Två Cauchyföljder (x_n) och (y_n) kallas ekvivalenta om y_n - x_n -> 0 då n -> oändligheten. Detta är en ekvivalensrelation som delar upp Cauchyföljderna i ekvivalensklasser. De reella talen definieras som mängden av dessa ekvivalensklasser.
Se gärna
S. Fefferman: The Number Systems, Reading Mass., Addison-Wesley 1964
B.L. van der Waerden: Modern Algebra, vol. 1, New York, Ungar (1949)
Kjell Elfström

Svar:
Den arabiske vetenskapsmannen al-Khwarizmi publicerade 830 e. Kr en lärobok i matematik med titeln Ett kompendium om räkning med hjälp av al-jabr och al-muqabala där al-jabr betyder addera lika termer till båda sidor av en ekvation för att eliminera negativa termer.
Kjell Elfström

Svar:
Jag ber att få hänvisa till Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

Svar:
Låt x vara antalet vuxenbiljetter och y antalet barnbiljetter. Då gäller att

Svar:
Logica har en länk Graham's number där du kan få svar på detta.
Kjell Elfström

Svar:
Jag tror inte att jag förstår vari problemet består. I sannolikhetsproblem kan ofta det som verkar intuitivt uppenbart vara fel, men här borde det vara ställt utom allt tvivel att svaret är ja.
Låt oss räkna på det med Bayes sats

Svar:
Då f(x,y) = 2xy + x² + y³ är

Svar:
Jag kan ingen sådan formel men jag kan visa en där kantlängderna ingår i stället.
Antag att en tetraeder har hörn i P₀, P₁, P₂ och P₃ och låt d_ij, 0 <= i < j <= 3, vara avståndet mellan P_i och P_j. Då ges dess volym Vav

Svar:
Jag skulle, liksom i föregående svar, vilja hänvisa till litteraturen. Jag kan dock nämna att om b är ett primitivt element i GF(2^r) och om generatorn har åtminstone nollställena b, b²,...,b^{d - 1} så ger detta en kod av längd 2^r - 1 vars avstånd är minst d. Den kommer att rätta (d - 1)/2 fel. Med d = 9 kommer 4 fel att rättas och en generator kan fås som produkten av minimalpolynomen till b, b³, b⁵ och b⁷.
Kjell Elfström

Svar:
Jag känner inte till någon sida där du kan lära dig detta, utan får hänvisa till litteratur i ämnet. En bok som kan nämnas är Hoffman et al: Coding Theory, Pure and Applied Mathematics. Du kan också titta i någon bok i diskret matematik. Vi använder Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics, third edition, Addison-Wesley 1994 i kursen Diskret matematik, så den finns i bokhandeln, men är kanske inte tillräckligt djuplodande.
Kjell Elfström

Svar:
De icke-triviala delarna till ett tredjegradspolynom är av grad 1 eller 2. Finns en icke-trivial delare finns det alltså en av grad 1, vilket medför att polynomet har ett nollställe. De irreducibla polynomen av grad 3 är alltså de som saknar nollställen. Om polynomet är

Svar:
2 + sqrt(5)i är inget primelement i R = {a + bsqrt(5)i; a och b är heltal}. T ex är ju

Svar:
En bok som används hos oss i undervisningen är Hörmander: An introduction to Complex Analysis in Several Variables.
Jag kan inte ge något enkelt svar vad gäller tillämpningarna för funktioner av flera komplexa variabler. Det skulle vara inom fysik i så fall. För funktioner av en komplex variabel finns ju tillämpningar inom t ex hydrodynamik, men för funktioner av flera varibler blir det mera komplicerat.
Kjell Elfström

Svar:
Om n > 1 är ett heltal är inget av talen

Svar:
Det totala antalet tillfrågade personer är 1100. I t ex e) är det 20  % av dem som inte svarat som tycker skattesystemet är orättvist. 20 % av 200 är 40 varför 630 + 40 = 670 av 1100 tycker det är orättvist. Andelen blir 670/1100 = 0,609 = 61 %.
Kjell Elfström

Svar:
Som jag förstår frågan, gäller det att bestämma omkretsen av en regelbunden n-hörning om t ex avståndet r från medelpunkten O till ett hörn är känt.
Omkretsen är uppenbarligen n gånger avståndet mellan två närliggande hörn P och Q. OPQ är en likbent triangel med vinkeln 2pi/n vid O. Om M är mittpunkten på sträckan PQ är OMQ en rätvinklig triangel med vinkeln pi/n vid O. Detta ger att MQ = rsin(pi/n) varför hela omkretsen är 2nrsin(pi/n).
Då n = 6 får vi omkretsen 2·6rsin(pi/6) = 12r·(1/2) = 6r.
Kjell Elfström

Svar:
Stirlings formel kan skrivas

1. f(x + 1) = xf(x)
2. f(1) = 1
3. f är definierad för alla x > 0 och är logaritmiskt konvex för x > 0

Svar:
Nullus betyder inget på latin och detta förklarar att talet noll står för ingenting. Jag vet inte varför nollan ser ut som den gör.
Kjell Elfström

Svar:
Frågan är väl vad gängse tillåtna approximationer är. Låt antalet träffar för A och B vara X₁ resp. X₂. De relativa frekvenserna m_i = X_i/2000 är då approximativt normalfördelade (my_i, sigma_i) där my₁ = 0,68, my₂ = 0,71, sigma₁ = sqrt(0,68·0,32/2000) och sigma₂ = sqrt(0,71·0,29/2000).
m = m₁ - m₂ är då också normalfördelad (my, sigma) där my = my₁ - my₂ = -0,03 och sigma = sqrt(sigma₁² + sigma₂²) = sqrt((0,68·0,32 + 0,71·0,29)/2000). Frågan är nu vad sannolikheten är att m > 0. Härifrån kan du kanske fortsätta själv.
Kjell Elfström

Svar:
Stickprovsmedelvärdet m är normalfördelat (my;2,5/sqrt(n)) där n är antalet vägda säckar. Då är u = (m - my)/(2,5·sqrt(n)) normalfördelad (0,1) varför

Svar:
Möjligen kan du finna vad du söker i R.B. King: Beyond the Quartic Equation. Se http://www.birkhauser.com/cgi-win/ISBN/0-8176-3776-1.
Kjell Elfström

Svar:
Egentligen har jag inget bra tips, eftersom det ofta krävs en hel del förkunskaper utöver det man kan lära sig i ovan nämnda bok. Kanske kan jag ändå föreslå Bleecker/Csordas: Basic Partial Equations, van Nostrand Reinhold.
Kjell Elfström

Svar:
Jag hoppas sannerligen att det inte är bevisat. Då skulle det ju plötsligt gå att bevisa alla påståenden. Se 19 april 1997 09.48.51.
Kjell Elfström

Svar:
Om denna fråga är allvarligt menad får du utveckla den litet.
Kjell Elfström

Svar:
Prova Biographies of Women Mathematicians.
Kjell Elfström

Svar:
Låt S, R och h vara sidan, radien resp. höjden i konen och r radien i klotet samt d avståndet från klotets medelpunkt till konens spets. Om k = S/R ger likformiga trianglar att

Svar:
Lokala extrempunkter uppträder där derivatan växlar tecken. En bra början är därför att derivera och sätta derivatan = 0. Möjliga lodräta asymptoter är x = ± 1. Undersök om f(x) går mot ± oändligheten då x går mot ±1 från höger och vänster. De sneda asymptoterna fås i det här fallet enklast genom att polynomdivisionen f(x) = 2x + 3 + 2x/(x² - 1) utföres. y = 2x + 3 är alltså asymptot både då x går mot oändligheten och mot - oändligheten. Inflexionspunkterna får du genom att undersöka var andraderivatan växlar tecken.
Kjell Elfström

Svar:
Om man i en approximationsformel

Svar:
Eulers förmodan säger att

Svar:
Kongruenser skrivs egentligen med ett tecken som liknar likhetstecken, men som har tre streck i stället för två. Jag kommer att använda vanligt likhetstecken i stället eftersom HTML inte understöder dylika tecken.
Om a, b och m är heltal betyder a = b (mod m) att a - b är delbart med m. Om a = b (mod m) och c = d (mod m) följer att a + c = b + d (mod m), a - c = b - d (mod m) och ac = bd (mod m). När det gäller addition, subtraktion och multiplikation kan man alltså räkna med kongruenser som om de vore likheter. Det är tex mycket enkelt att med kongruenser visa att ett tal a är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma är delbar med 9. Om siffrorna i a är

Svar:
Antag att enheterna är valda så att densiteten är 1. Dela med delningspunkterna

Svar:
Att räkna och att utöva matematik är nog inte samma sak. Om man räknar mycket kan man nog inte undgå att förr eller senare se ett användbart mönster i räkningarna. Då har man gjort en matematisk iakttagelse som man kanske kan ha glädje av i det fortsatta räknearbetet. Det är dylika mönster eller samband som matematiker försöker finna och bevisa. Däremot är nog matematiker inte så roade av att räkna!
Kjell Elfström

Svar:
Om det i varje position i koden finns 10 möjliga val och det finns 4 positioner är antalet koder 10⁴ = 10000. Om koderna delas ut slumpmässigt är sannolikheten att få en viss kod följaktligen 1/10000.
Kjell Elfström

Svar:
Om n = 2m + 1 är udda är det speciellt enkelt. Då är t ex

Svar:
e^x har Taylorutvecklingen

Svar:
Att skriva ett tal a i basen två innebär att skriva det som

Svar:
Man vill kanske uppnå att bilarna hela tiden är så långt från varandra som möjligt. Om en bil bromsar in har den bakomvarande bilen hela tiden högre hastighet än den bromsande om de från början kör med samma hastighet v (den rekommenderade hastigheten). Det minsta avståndet mellan dem fås alltså när båda har stannat. Avståndet från början är r + b/2 och därför är det b/2 när de stannat. Det verkar som om de skall köra så fort som möjligt och åtminstone så fort att detta avstånd inte blir mindre än 4 m.
Kjell Elfström

Svar:
Ja. Om U är ett tvådimensionellt underrum så kan varje vektor u i Rⁿ på ett entydigt sätt skrivas

Svar:
Ansätt

Svar:
Konen har volymen

Svar:
Vet man inget om fördelningarna av elementen kan man inte säga något generellt. Tex är ju sannolikheten att en matris i en uppgift på en tentamen är inverterbar inte så stor. Om elementen i matrisen har kontinuerliga fördelningar och är oberoende stokastiska variabler är sannolikheten att determinanten är 0 lika med 0, så sannolikheten att matrisen är inverterbar är 1.
Kjell Elfström

Svar:

1. Se 26 mars 1997 18.33.01. Utan nödvändiga bakgrundskunskaper kan det vara svårt att förstå härledningen som står där, men där finns i alla fall en formel.
2. Inga allmänna formler. För vissa värden på v kan man ange cosv° och sinv° exakt. Tex är
   cos0° = sin90° = 1, cos30° = sin60° = sqrt(3)/2, cos60° = sin30° = 1/2, cos90° = sin0° = 0.
3. Om du har två ickeparallella vektorer e₁ och e₂ som båda är parallella med ett visst plan så kan varje vektor u parallell med detta plan skrivas
   u = x₁e₁ + x₂e₂ för några entydigt bestämda tal x₁ och x₂. Man säger då att (x₁,x₂) är koordinaterna för vektorn u med avseende på basen e₁,e₂
4. För en positiv funktion f är tanken att integralen av f(x)dx från a till b är arean av området som begränsas av linjerna x = a och x = b, kurvan y = f(x) och x-axeln. En definition av integralen bygger på att man approximerar området med allt smalare rektanglar. Arean av dessa kan man ju beräkna på ett enkelt sätt. Om f är en kontinuerlig funktion kan man beräkna integralen genom att först finna en primitiv funktion F till f och sedan beräkna F(b) - F(a). Att F är en primitiv funktion till f betyder att F' = f.
   Har du två punkter kan du ju dra en rät linje genom dem. Har du fler än två punkter kan du kanske inte det. Minsta kvadratmetoden är en metod med vilken man bestämmer den linje som (i minsta kvadratmening) ligger närmast punkterna. Man har kanske en linjär modell y = ax + b och vill genom att samla in mätdata bestämma konstanterna a och b. På grund av mätfel och osäkerhet i modellen kommer inte mätpunkterna (x₁,y₁), (x₂,y₂),..., (x_n,y_n) att ligga exakt på en rät linje.
5. Detta är ett exempel på en geometrisk serie
   a(1 + r + r² + r³ + ...) = a/(1 - r). Denna formel gäller bara då -1 < r < 1. I övriga fall säger man att serien divergerar.
   I detta fall är a = 10 och r = 1/2 varför vi får summan 10/(1 - 1/2) = 20.
6. Se 17 april 1997 14.41.41

Svar:
Science Watch har en bra länk med litteraturreferenser: Fermat's Last Theorem.
Se också svaret på frågan den 17 mars 1997 11.30.49.
Kjell Elfström

Svar:
Låt C(n,k) vara n över k, dvs antalet sätt att ur en mängd med n element välja ut k element, där vi inte tar hänsyn till i vilken ordning elementen valts. En enkel obeservation är då att

Likformiga trianglar ger att BD/AD = DC/DB. Linjen genom A och B har riktningskoefficient k₁ = ±BD/AD och linjen genom B och C har riktningskoefficient k₂ = ±DB/DC. Vi får att k₁ = ±1/k₂. Vi inser att k₁ och k₂ har olika tecken varför k₁ k₂ = -1.
Jag vet inte vad nCr och NPr står för.
Kjell Elfström

Svar:
Det bästa man kan åstadkomma är nog att lösa ut x.
Antag för enkelhets skull att a = 1.
Då 0 <= t <= pi ger ekvationen för y att

Svar:
Jag ber att få hänvisa till Fråga vetenskapen om fysik.
Kjell Elfström

Svar:
Det kan du se i svaret på frågan den 17 mars 1997 20.56.58.
Kjell Elfström

Svar:
x₁ kan väljas godtyckligt, säg x₁ = t. Då blir x₂ = 3t + 2, dvs

Svar:
Egentligen är väl en palindrom en ordgåta medan ett anagram är ett ord som blir det samma oavsett om man läser framlänges eller baklänges. Detta kan naturligtvis överföras till tal.
Metoden för att lösa dylika problem varierar nog beroende på vilka övriga förutsättningar som skall vara uppfyllda.
I det här fallet blir det inte fler möjligheter än att man kan gå igenom dem en efter en och kontrollera. Eftersom talet x är tresiffrigt gäller 100 <= x < 1000. Det innbär att talet har 7, 8, 9 eller 10 binära siffror, där den mest signifikanta (och därför även den minst signifikanta) siffran är 1. Om antalet binära siffror är sju gäller alltså att

Svar:
Nej, det kan jag inte. I så kallade bevis av detta slag finns det ett fel i något argument och det är alltså inga riktiga bevis.
Om man utnyttjar det felaktiga antagandet att

Svar:
1. Jag kan nämna Stirlings formel som säger att

Svar:
De icke-negativa heltalen har ju en speciell ställning eftersom de andra talsystemen, alla heltal, rationella tal, reella tal, komplexa tal, kan konstrueras utifrån dessa. Formellt innebär det inga svårigheter att bygga ett talsystem där pi är ett "heltal". De icke-negativa heltalen kunde då motsvaras av

Svar:
Att mäta vinklar i grader går tillbaka till babylonierna för 4000 år sedan. De använde ett talsystem (positionssystem) med basen 60. Samma system är grunden till indelningen av en timme i 60 minuter och en minut i 60 sekunder. Ett naturligt sätt att mäta vinklar är att ange längden av den båge en vinkel skär ut ur en cirkel med radien 1 (i någon längdenhet). Eftersom hela cirkelns omkrets är 2pi (i samma längdenhet) motsvaras 360° av bågen 2pi. Detta är egentligen en dimensionslös storhet eftersom den anger förhållandet mellan bågen och radien men för att förtydliga lägger man ibland till beteckningen radianer.
Kjell Elfström

Svar:
En lämplig bok kan vara Dunkels m fl: Mot bättre vetande i matematik. Den används på vår propedeutiska kurs just för att träna upp grundläggande färdigheter.
Kjell Elfström

Svar:
Med tanke på dina avsikter tror jag man kan ifrågasätta din kärlek till matematik.
När väl grunderna till analysen lagts av Newton och Leibniz på 1600-talet var steget inte långt till differentialekvationer. Namn som också bör nämnas i sammanhanget är d'Alembert, Euler och Bernoulli. Se gärna History of Mathematics.
Kjell Elfström

Svar:
Eftersom y² - x² = (y - x)(y + x) verkar variabelbytet u = y - x, v = y + x vara en bra början. Området ges då av u >= 1, v >= 1. Nu tror jag att du klarar av det själv.
Kjell Elfström

Svar:
Vi kom i det förra svaret fram till att x(t) = (vcosa)t, y(t) = -gt²/2 + (vsina)t. Löser vi ut t och sätter in i uttrycket för y får vi

Svar:
Detta problem är inte så enkelt och jag har ännu inte funnit något svar. Jag återkommer när jag vet mera.
Kjell Elfström

Svar:
Se 9 april 1997 20.59.45.
Kjell Elfström

Svar:
1. Taylorutveckling är en metod som används för att approximera en funktion i närheten av en punkt när man känner värdet av funktionen och dess derivator i punkten. Under lämpliga förutsättningar gäller att

Svar:
Täljaren täljer det som nämnaren nämner. Tälja kan betyda räkna (jfr sv tal och ty zählen) och nämna ange, dvs ange enheten.
Kjell Elfström

Svar:
Vänstergränsvärdet då x går mot pi/2 är a·pi/2 + b = f(pi/2) och högergränsvärdet är 0 varför funktionen blir kontinuerlig om

Svar:
Det ligger nära till hands att försöka med en tangent till kurvan i någon punkt (a,a²). Deriverar vi f(x) = x² får vi f'(a) = 2a och detta blir tangentens riktningskoefficient. Tangentens ekvation blir alltså

      / 1 0 0 \
 e =  | 0 1 0 |  = [ e1 , e2 , e3 ] och
      \ 0 0 1 /

Svar:
Det är här viktigt att skilja mellan avbildningen och dess matris i en viss bas. Avbildningen F är alltid densamma men matrisen beror på val av bas.
Om A är avbildningens matris i basen e₁, e₂, e₃ och B dess matris i basen f₁, f₂, f₃ gäller

Svar:
Lägg fyra kulor i varje vågskål. Antag att vi får jämvikt. Då har vi åtta normalkulor. Väg tre av de återstående mot tre normala. Vid jämvikt väger vi den enda återstående mot en normalkula och har svaret. Om det ej är jämvikt vet vi hur den avvikande kulan avviker. Väg två av de tre kulorna mot varandra. Vi jämvikt är det den tredje. Annars vet vi också svaret eftersom vi vet om den avvikande kulan är lättare eller tyngre än den andra.

Antag att vi inte fick jämvikt vid den första vägningen. Kalla de tyngre kulorna AAAA, de lättare BBBB och de övriga CCCC. Väg AAAB mot ACCC. Vid jämvikt avviker en av de återstående tre B-kulorna. Väg två av dem mot varandra och vi är klara. Antag att vi inte fick jämvikt. Om AAAB är tyngre än ACCC är det någon av de tre A-kulorna i den vänstra skålen. Väg två av dem mot varandra. Klart! Om AAAB är lättare än ACCC är det antingen B-kulan eller A-kulan i den högra skålen. Väg B-kulan mot en normalkula. Klart!

Kjell Elfström

Svar:
En vattendroppe färdas i ett plan som innehåller fontänen. Antag att ett koordinatsystem är inlagt i detta plan så att fontänen befinner sig i origo, x-axeln är parallell med marken och y-axeln vinkelrät mot marken och låt x(t) och y(t) vara koordinaterna för vattendroppen vid tiden t. Hastigheten i droppens färdriktning delas upp i en konstant komposant v₁ i x-axelns riktning och en variabel komposant v₂ vinkelrät mot v₁. I utgångsläget är

Svar:
Jag tror mig nu veta vad en superellips är. Om man ersätter exponenten 2 med en annan exponent c får man en ekvation

Svar:
Matriserna blir bandmatriser, dvs matriser med nollor utanför ett diagonalt band. Minnesåtgången är därför proportionell mot antalet punkter om du inte lagrar de element som du vet är noll. Du kan ändå lösa systemen med vanlig successiv elimination (Gausselimination).
Kjell Elfström

Svar:
Du menar väl hemresan från B till A?
Vi tar det litet mer allmänt. Antag att avståndet från A till B är s och att hastigheten på ditvägen är v₁ och på hemvägen v₂. Tidsåtgången för ditresan är då s/v₁ och för hemresan s/v₂. Medelhastigheten blir w = 2s/( s/v₁ + s/v₂). Detta kan skrivas

Svar:
Antag att ögat är placerat i origo i ett koordinatsystem i rummet och att skärmen är placerad vinkelrätt mot z-axeln på avståndet d från origo. Skärmens ekvation är då z = d. För att bestämma var på skärmen punkten med koordinaterna (a,b,c) hamnar drar vi en linje från punkten till origo och undersöker var denna skär skärmplanet. Linjens ekvation är (x,y,z) = t(a,b,c) och för att få skärningen skall vi sätta z = d. Detta ger att (x,y) = (d/c)(a,b) där (x,y) är koordinaterna i ett koordinatsystem i skärmplanet med origo på rymdsystemets z-axel och med x- och y-axlarna parallella med rymdsystemets x- och y-axlar. Att ange projektionen av en sträcka är liktydigt med att ange projektionerna av ändpunkterna.
Kjell Elfström

Svar:
I matematiska sammanhang kan vektorer användas till att beskriva hur punkter ligger i förhållande till varandra. T ex kan man enkelt ange ekvationen för en linje eller ett plan i rummet med hjälp av vektorer. Med vektorers hjälp har många geometriska problem, som man förr fick vara ganska genialisk för att lösa, förvandlats till enkla räkneuppgifter.
I fysiken används vektorer t ex till att representera hastigheter och krafter. Dessa har ju både storlek och riktning och därför lämpar sig vektorer väl.
Kjell Elfström

Svar:
Jag tror att det är korrekt. Många har hunnit granska det utan att hitta allvarliga fel. Se också frågan den 17 mars 1997 11.30.49.
Kjell Elfström

Svar:
Algebrans fundamentalsats säger att varje icke-konstant polynom p(z) har minst ett komplext nollställe. Antag att

Svar:
Jag visar att det inte finns någon lösning (x,y,z) med positiva heltal x, y och z till ekvationen

Svar:
Min tro, efter att ha brottats med problemet och hört med kolleger, är att man inte kan lösa problemet exakt.
Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström