Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar oktober-december 1996

Svar:
Han simmar byxlös under 20 minuter. (Man behöver inte här ta hänsyn till att vattnet rör sig. Det är ju simmarens hastighet relativt vattnet och därmed relativt byxorna som är konstant.) Under denna tid rör sig vattnet 1,2 km. Floden flöt alltså 3,6 km/tim.
Kjell Elfström

Svar:
Jag vet inte om det finns någon exakt definition. När man anger t ex att f(x) = sqrt(1-x²), är f given på sluten form. Det är däremot inte fallet när man anger f genom (f(x))² + x² = 1, f(x) >= 0. I det förra fallet säger man att f är explicit definierad, i det senare att f är implicit definierad. Även f, given genom f(x) = x om x >= 0, f(x) = -x om x < 0, är explicit definierad men kanske inte på sluten form.
God jul och gott nytt år!
Kjell Elfström

Svar:
På http://archives.math.utk.edu/subjects/numbers.html finns en del upplysningar om Pi. Enligt Pi Mathematics: history där var antalet kända decimaler i oktober 1995 över 6 miljarder.
Kjell Elfström

Svar:
Pi är inte oändligt stort! Det är inte 1/3 heller. Trots detta har de oändliga decimalutvecklingar. 1/3 är rationellt så genom att övergå till ett annat talsystem kan man få en ändlig decimalutveckling. I basen 3 kan 1/3 skrivas 0,1. Om man som längdenhet väljer en 10-potens av en meter kan sträckan 1/3 m aldrig få ett helt mätetal. Väljer man däremot en lämplig tre-potens är detta alltså möjligt. Pi är irrationellt. Vilken heltalsdel av en meter man än väljer som längdenhet kan sträckan Pi m aldrig få ett helt mätetal. Däremot kan man stänga in sträckan Pi m mellan sträckor som har sådana mätetal. Som bekant är 3 < Pi < 4, vilket torde övertyga dig om att Pi är ändligt.
Kjell Elfström

Svar:
Vi har att

Svar:
Man kan bestämma en ekvation för planet som innehåller de tre första punkterna och kontrollera om den fjärde punktens koordinater satisfierar planets ekvation. Man kan också bilda vektorerna u, v och w som utgår från den första punkten och slutar i den andra, tredje resp. fjärde och kontrollera om de är lineärt beroende. Är de det ligger punkterna i samma plan. Att de är lineärt beroende betyder att det finns tal x, y och z, inte alla noll, sådana att

Svar:
Med så litet information är det svårt att säga något meningsfullt. Eftersom

Svar:
Förutsättningarna, som ej är kontrollerade, är att 75 rutor är fördelade i ett rektangulärt schema bestående av 15 rader och 5 kolonner och att vid dragningen varje ej redan dragen ruta är lika sannolik.
C(n,k) betecknar n över k = n!/(k!(n-k)!).
Antalet möjliga utfall är

Svar:
1. En funktion f från A till B är injektiv om olika x i A avbildas på olika y i B, dvs om

2. En kropp F är en algebraisk utvidgning av en kropp k om varje element i F är nollställe till ett polynom med koefficienter i k. Den komplexa talkroppen är algebraiskt sluten så några sådana utvidgningar av de komplexa talen finns ej. Detta följer av att polynom med komplexa koefficienter kan faktoriseras fullständigt i komplexa förstagradsfaktorer så alla nollställen måste vara komplexa tal. Däremot finns utvidgningar som ej är algebraiska. T ex är mängden av rationella funktioner med komplexa koefficienter en sådan. Se också svaret på frågan från den 22 november 1996 19.47.43.

Kjell Elfström

Svar:
Kan man definiera addition och multiplikation för n-dimensionella vektorer så att alla vanliga räknelagar gäller och så att man alltid kan dividera med element skilda från noll? Svaret är ja bara då n = 1 (de reella talen) och då n = 2 (de komplexa talen). Ger man upp kravet på att kommutativa lagen för multiplikation skall gälla (xy = yx) tillkommer endast n = 4 (Hamiltons kvaternioner). Att dessa värden på n är de enda möjliga visades 1878 av Frobenius.
Skriver man Hamiltons kvaternioner som

Svar:
Antalet möjliga rader är, som du påpekar, m = 30!/((30-8)!8!). För 8 rätt är antalet gynnsamma fall 1. För att få 7 rätt krävs att 7 av de 8 rätta väljs ut. Detta kan göras på 8 sätt, eftersom den icke valda kan vara en av åtta. Den felaktiga kan sedan väljas på 30 - 8 = 22 sätt. Antalet gynnsamma fall för precis 7 rätt är alltså g = 8 x 22 = 176. För 6 rätt resonerar vi likadant. Att välja 6 av de 8 kan göras på 8!/((8-6)!6!) = 28 sätt. De 2 felaktiga kan väljas på 22!/((22-2)!2!) = 231 sätt. Här blir alltså g = 28 x 231 = 6468. Sannolikheten beräknas sedan som g/m. Uttrycken som innehåller fakulteter kallas binomialkoefficienter och n!/((n - k)!k!) utläses n över k.
Kjell Elfström

Svar:
Det verkar vara svårt att åstadkomma något på så kort tid. Här får du i alla fall några förslag:
1. Allmän teori, teorin för lineära ekvationssystem.
2. Lineär programmering.
3. Spelteori.
4. Markovkedjor.
Kjell Elfström

Svar:
Vi har att

Svar:
Formeln för partiell integration lyder

Svar:
Kortfattat kan man säga att en diskret process är en process som kan utföras steg för steg och att diskret matematik är studiet av sådana.
Kjell Elfström

Svar:
Enligt The Prime Page är det 2^1257787 - 1.
Kjell Elfström

Svar:
Då a är ett icke-negativt reellt tal definieras ju sqrt(a) som det icke-negativa tal c för vilket gäller att c² = a. Vill man utvidga definitionen till att omfatta även negativa tal a måste man tala om vilket tal c som avses. Är t ex sqrt(-1) = i eller = -i? Även om man gör så, kommer inte regeln sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b) att gälla för alla reella tal a och b.
Kjell Elfström

Svar 1:
Maximalt värde på summan av produkterna av grannar erhålles för arrangemanget med de udda talen i växande ordning längs en halvcirkel, därefter de jämna talen i avtagande ordning. För t.ex. n = 10 väljes ordningsföljden 1,3,5,7,9,10,8,6,4,2 med summan av produkterna = 368. Att detta ger maximum kan visas genom att först observera att summan g(k) av grannarna till k måste uppfylla g(k) >= g(k-1) för annars skulle man ''tjäna'' på att låta k ock k-1 byta plats. Man visar sedan att arrangemanget 1,3,5...6,4,2 ovan är det enda som har egenskapen att g(k) >= g(k-1) för alla k=2,3,...,n.
Arne Meurman

Svar 2:
Under en sömnlös natt kom jag på följande lösning: n skall kopplas med n-1 och n-2. Därefter kopplas n-1 till n-3 och n-2 till n-4 osv. Slutligen ansluts 1 och 2. T. ex. om n=7 fås serien 2 - 4 - 6 - 7 - 5 - 3 - 1 varvid maximum blir M₇=129. Jag har kontrollerat det fall och allmänt alla fall upp till n=8 på MATHEMATICA. Man har också rekursionen M_n=M_n-1+n²-2, så att M_n blir ett kubiskt polynom i n. Allmännare kan man i stället för indices 1,2,...,n,... taga godt. reella tal a₁,a₂,...,a_n,... Då gäller M_n=M_n-1+max[a_n(a_i+a_j)-a_ia_j].
Jaak Peetre

Svar 3:
För n = 2 och n = 3 finns vardera bara en möjlighet för summan. För n =3 t ex blir den 11. Vi kan därför anta att n >= 4.
I en utplacering som ger maximal summa måste n och n - 1 vara grannar. Om de inte är grannar ser det ut som i figuren, där vi delat in talen i två grupper på var sin sida om en linje. (Talen a och b är mindre än n - 1.)

Om man kastar om ordningsföljden i den grupp som innehåller talen a och n - 1, ändras summan med

KOMMENTARER:
1) För n = 8 ser det alltså ut så här:

2) Summan blir n(n - 1) + (3(3 - 2) + 4(4 - 2) + ... + n(n - 2)) + 2, som kan beräknas och är

Svar:
Antag att jordradien är 1 och lägg in ett positivt orienterat, ortonormerat koordinatsystem med O = origo i jordens medelpunkt så att Greenwich och N = den geografiska nordpolen får koordinaterna (1, 0, 0) resp. (0, 0, 1). Koordinaterna för en punkt på ytan är då desamma som koordinaterna för den från ytan utåtgående enhetsnormalen. Är b = latituden och l = longituden för en punkt blir

x = cos b cos l
y = cos b sin l
z = sin b.

Svar:
Rationella tal, dvs tal som kan skrivas a/b där a och b är heltal, har periodiska decimalutvecklingar. Tex är 61/495 = 0,1232323... där 23 upprepas i oändlighet. Att ett sådant tal i sin decimalutveckling bara har ändligt många siffror skilda från noll innebär att a10ⁿ är delbart med b för något n. Irrationella tal har inte periodiska decimalutvecklingar och dessa kan följaktligen inte avslutas med oändligt många nollor. Att pi är irrationellt visades 1768 av J H Lambert. Ett ganska lättillgängligt bevis finns i Stewart: Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics.
Kjell Elfström

Svar:
Excentriciteten e till ellipsen x²/a² + y²/b² = 1 med halvaxlar a, b (a >= b) ges av e = sqrt(a² - b²)/a eller m.a.o.
e = avståndet mellan brännpunkterna/längden av huvudaxeln.
Arne Meurman

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström