Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar maj 2006

Svar:

Antag att det finns x flickor och y pojkar i klassen och att den nämnda sannolikheten är 3/7. Då är (^x₂)/(^x + y₂) = x(x − 1)/((x + y)(x + y − 1)) = 3/7. Denna ekvation är ekvivalent med 4x² − 3y² − 6xy − 4x + 3y = 0 ⇔ 16x² − 12y² − 24xy − 4(4x − 3y) = 0. Kvadratkomplettering ger (4x − 3y)² − 21y² − 4(4x − 3y) = 0. Sätt s = 4x − 3y och t = y så övergår ekvationen i s² − 21t² − 4s = 0. En kvadratkomplettering till ger (s − 2)² − 21t² = 4. Sätt nu u = s − 2 = 4x − 3y − 2 och v = t = y så övergår ekvationen i u² − 21v² = 4. Denna ekvation kan skrivas som

Man kan nu visa på samma sätt som i 4 november 1997 13.28.51 att ekvationen är ekvivalent med u/2 + (v/2)√21 = (5/2 + (1/2)√21)ⁿ, där n är ett heltal. Konjugerar vi båda led får vi u/2 − (v/2)√21 = (5/2 − (1/2)√21)ⁿ. Om vi först adderar likheterna och sedan subtraherar dem får vi

Sätter vi in n = 1 så får vi u = 5, v = 1, men detta ger ingen heltalslösning (x,y). n = 2 ger u = 23, v = 5 och detta ger x = 10, y = 5. n = 3 ger på samma sätt x = 46, y = 24. Man får alltså också sannolikheten 3/7 om klassen består av 46 flickor och 24 pojkar. Du kan själv sätta in värden på n för att få fler lösningar.

Kjell Elfström

Svar:

Att a är udda innebär att a = 2k + 1 för något heltal k. Det ger att a² − 1 = (a + 1)(a − 1) = (2k + 2)⋅2k = 4k(k + 1).

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 december 2005 12.23.17.

Kjell Elfström

Svar:

Vi har ett antal projektuppgifter publicerade på sidan Projekt.

Kjell Elfström

Svar:

Om du menar att den inskrivna triangeln skall ha maximal sidolängd så är denna s. Såvitt jag kan se är problemet trivialt.

Kjell Elfström

Svar:

Medelvärdet är (37 + 40,4)/2 = 38,7. Amplituden (40,4  − 37)/2 = 1,7 och perioden 16 (dygn). Kurvan blir y = 38,7 + 1,7 sin 2πx/16 om man förutsätter att temperaturen är 38,7 från början och att temperaturen är på väg upp då. Knepigheten består delvis i att uppgiften är något oklart formulerad. Vad skall menas med en sinusfunktion?

Kjell Elfström

Svar:

Länkskafferiet har en sida med matematiklänkar. Det framgår av sidan för vilka åldrar länkarna är lämpliga. En annan sida är Mathematics. Jag sökte efter ”mathematics problem solving children” och fann ett stort antal användbara sidor.

Kjell Elfström

Svar:

Påståendet, som kallas Goldbachs förmodan, är varken bevisat eller motbevisat så man vet inte om det är sant. Du kan läsa om påståendet på sidan Goldbach Conjecture.

Kjell Elfström

Svar:

Lösningarna till ekvationen x² + ax + b = 0 ges av x = (±√(a² − 4b) − a)/2.

Kjell Elfström

Svar:

Det märks kanske särskilt väl inom matematiken att vissa verkar kunna lära sig ämnet utan synbar ansträngning medan andra får kämpa oerhört men samma sak gäller också inom andra ämnen. Vissa är musikaliska, andra så gott som tondöva och vissa har lättare än andra för att lära sig främmande språk. Jag känner inte till någon mirakelmedicin som kan lösa problemet.

Kjell Elfström

Svar:

Låt σ beteckna permutationen av {1,…,2004} som definieras av att σ_i = 2005 − i. Man ser direkt att om påståendet är sant för a = τσ så är det sant för a = τ.

Om det finns i och j sådana att a₁ = j, a₂₀₀₄ = j + 1, a_i = 1 och a_i + 1 = 2004 så kallar vi a exceptionell. Vi säger också att a är exceptionell om a₁ = 2003, a₂₀₀₄ = 2, a_i = 1, a_i + 1 = 2004 eller a₂₀₀₄ = a₁ + 1, a₂ = 2004, a₂₀₀₃ = 1. Vi noterar att om a är exceptionell så är aσ inte exceptionell. Det räcker därför att bevisa påståendet då a inte är exceptionell och vi förutsätter i fortsättningen att så är fallet.

Antag att det finns två olika par (i,j) och (m,n) av olika heltal sådana att

Om a_i − a_j = 2003 så är a_i = 2004 och a_j = 1. Det kan därför inte gälla att båda vänsterleden är lika med 2003. Att a_i − a_j < 0 betyder att j − i = 2003 ⇔ j = 2004 och i = 1. Av den anledningen kan heller inte båda vänsterleden vara negativa. Om det för något av paren (i,j) gäller att 0 ≤ a_i − a_j < 2003 så är vi klara. Antag att detta inte gäller. Då är efter eventuell omnumrering a_i = 2004, a_j = 1 och m = 1, n = 2004. Detta medför att i = j + 1 och a_n = a_m + 1. Vi ser att a är exceptionell, vilket är en motsägelse eftersom vi antagit att a inte är exceptionell.

Sätt nu b_i = a_i − i. Eftersom det finns 2004 olika i-värden men bara 2002 olika restklasser modulo 2002 så finns det antingen tre olika tal i, j och k sådana att b_i ≡ b_j ≡ b_k (mod 2002) eller fyra olika tal i, j, m och n sådana att a_i ≡ a_j och a_m ≡ a_n (mod 2002) men där de två första inte är kongruenta med de två senare. Om någon av kongruenserna är en likhet är vi klara, så vi antar i fortsättningen motsatsen. I det första fallet gäller efter eventuell omnumrering att

Eftersom vi visade ovan att påståendet som skall bevisas är sant i detta fall återstår bara fallet att a_i ≡ a_j och a_m ≡ a_n (mod 2002).

Eftersom fallet a_i − a_j = 2002 + i − j   och   a_m − a_n = 2002 + m − n redan är behandlat så antar vi att a_i − i = 4004 + a_j − j eller a_m − m = 4004 + a_n − n. I det första fallet gäller precis ett av följande tre påståenden:

1) a_i − i = 2001   och   a_j − j = −2003
2) a_i − i = 2002   och   a_j − j = −2002
3) a_i − i = 2003   och   a_j − j = −2001

Dessa påståenden leder till

1) j = 2004 och a_j = 1
2) (i = 1 och a_i = 2003 eller i = 2 och a_i = 2004) och (j = 2003 och a_j = 1 eller j = 2004 och a_j = 2)
3) i = 1 och a_i = 2004

Om i fall 2) i = 1, a_i = 2003, j = 2003, a_j = 1 eller i = 2, a_i = 2004, j = 2004, a_j = 2 är vi klara eftersom i så fall |a_i − a_j| = |i − j|. Vi kan alltså ersätta 2) med

2) i = 1 och a_i = 2003 och j = 2004 och a_j = 2   eller   i = 2 och a_i = 2004 och j = 2003 och a_j = 1.

Eftersom i, j, m och n är olika tal så utesluter 1) för (i,j) 1) och 2) för (m,n) och 3) för (i,j) utesluter 3) och 2) för (m,n). Om 1) gäller för (i,j) och 3) för (m,n) så är a_j − a_m = m − j och vi är klara. Samma sak gäller naturligtvis om 1) gäller för (m,n) och 3) för (i,j). Om både (i,j) och (m,n) uppfyller 2) så är vi också klara eftersom i så fall |a_i − a_n| = |i − n|.

I fortsättningen kan vi därför antaga att

Antag först att a_m − a_n = 2003. Då är a_m = 2004 och a_n = 1. Eftersom i, j, m och n är olika utesluter detta att 1) eller 3) är uppfylld för (i,j). Den andra delen av 2) kan heller inte vara uppfylld av samma skäl. Alltså är a₁ = 2003 och a₂₀₀₄ = 2, vilket medför att a är exceptionell. Om a_m − a_n = −1 så är n = 2004 och m = 1. Detta utesluter att 1) och 3) och den första delen av 2) gäller för (i,j). Alltså är a₂ = 2004 och a₂₀₀₃ = 1. Även i detta fall är alltså a exceptionell.

Kjell Elfström

Svar:

Vektorerna u, v och w är parallella med samma plan om och endast om de är lineärt beroende. Undersök därför om det finns tal x, y och z, inte alla noll, sådana att xu + yv + zw = 0.

Kjell Elfström

Svar:

En Pythagoreisk triangel är en rätvinklig triangel med heltalssidor. Om α är vinkeln mellan kateten a och hypotenusan c och den andra kateten är b så är cos α = a/c och sin α = b/c båda rationella tal, vilket medför att α är en snäll vinkel.

a) Det är lätt att visa att om a = n² − 1, b = 2n och c = n² + 1 så är a² + b² = c². Om n > 1 är ett heltal utgör därför a, b och c sidorna i en Pythagoreisk triangel och det gäller att sin α = b/c = 2n/(n² + 1). Bara n är tillräckligt stort så kan detta tal, och därmed α, göras godtyckligt litet. Det finns alltså ingen minsta snäll vinkel.

b) Eftersom alla sidorna är rationella så ger cosinussatsen att cosinus för vinklarna är rationella tal. Eftersom dessutom sinus för en av vinklarna är ett rationellt tal så ger sinussatsen att sinus för de övriga två vinklarna är rationella tal.

c) Det finns en Pythagoreisk triangel med sidorna 3, 4 och 5. Sätt samman denna med sig själv utefter den sida som har längden 4. Du får då en triangel med omkretsen 16. Om den Pythagoreiska triangelns spetsiga vinklar är α och β så har den sammansatta triangeln vinklarna α, α och 2β. Att α är snäll följer av att den ingår i en Pythagoreisk triangel. Att 2β är snäll följer av b-uppgiften. Eftersom sin β = 3/5 < 1/√2 så är 2β spetsig.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår problemet och kan inte se att svaret till t ex frågan den 27 april 2003 23.02.28 skulle vara felaktigt. Jag tror nämligen inte att du skall summera pyramidernas kulantal utan bara ange antalet kulor a_n i en pyramid med n våningar. Induktionsbevis är bra när man har gissat det korrekta svaret men är värdelösa när det gäller att komma på formeln. Härledningen i svaret jag nämnde ovan görs inte med induktion utan på ett mer konstruktivt sätt. Jag kan ändå ge dig ett induktionsbevis för att a_n = n(n + 1)(n + 2)/6.

Vi börjar med att notera att det i den n:e våningen finns 1 + 2 + 3 + ^… + n = n(n + 1)/2 kulor. Sätt nu b_n = n(n + 1)(n + 2)/6. Jag visar med induktion att a_n = b_n då n = 1,2,3,…

Då n = 1 är a_n = 1 eftersom pyramiden bara består av en kula. Det gäller att b₁ = 1⋅(1 + 1)(1 + 2)/6 = 1, vilket visar att a₁ = b₁.

Antag nu att a_n = b_n (induktionsantagande). Vi betraktar pyramiden med n + 1 våningar som en pyramid med n våningar ovanpå en triangel med n + 1 kulrader. Enligt vad som sades i inledningen består triangeln (den (n + 1):a våningen) av (n + 1)(n + 2)/2 kulor. Därför är

Kjell Elfström

Svar:

Du resonerar rätt angående kvadratkompletteringen även om 16 felaktigt har blivit −16 efter ett likhetstecken. Jag förstår däremot inte frågan. Om du menar att (x + 3)² inte kan bli −16 så har du rätt om vi förutsätter att x är reellt. Kvadraten av ett reellt tal är ju inte negativ. Däremot kan (x + 3)² − 25 bli −16 men jag förstår inte vad det har med lösningen att göra.

Kjell Elfström

Svar:

Jag utgår ifrån att kabelns tvärsnitt är cirkulärt. Cirkelns radie är 6 mm och tvärsnittsarean är π⋅6² = 36π ≈ 113 mm². Om du menar höljets area så måste man också känna kabelns längd. Antag att kabeln är x mm lång. Kabelns omkrets är 12π mm och mantelarean blir 12πx = 37,7x mm².

Kjell Elfström

Svar:

Antalet permutationer av n element är n!. I detta fall är n = 89 och elementen är rum i en pyramid. Svaret blir 89! = 1⋅2⋅3⋅⋅⋅89.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla talet för x. Då är

Den minsta gemensamma multipeln av 4 och 5 är 20. Multiplicera ekvationens båda led med 20 så får du

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 december 2003 23.36.20.

Kjell Elfström

Svar:

Arkimedes anses ha varit den förste som gjorde en noggrann beräkning av π. Många andra har därefter bidragit till att ange formler för approximativa beräkningar av denna konstant. Se A history of Pi.

Kjell Elfström

Svar:

Låt h och r vara höjden resp. radien. Då är 2000 = πhr². Lockets och bottnens area är vardera πr². Mantelarean är 2πrh, vilket man inser om man klipper upp denna del av burken och plattar ut den till en rektangel. Kostnaden i någon enhet blir därför

Fortsätt nu undersökningen på vanligt sätt genom att derivera f och teckenstudera derivatan.

Kjell Elfström

Svar:

Du har förmodligen glömt några parenteser. Förkorta med y så får du att

Sätt sedan z = x/y. Då är

Lös nu ut z ur denna ekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Du har kanske prickarna ritade så att man kan få en ledning från figuren. Det har inte jag så jag gissar att skillnaden mellan två tal i följden 1,5,12,22,… ökar med 3 när man går framåt i följden. Så är det åtminstone för de angivna talen: 5 − 1 = 4, 12 − 5 = 7, 22 − 12 = 10 och skillnadsföljden blir 4,7,10,…

Kalla elementen i den ursprungliga talföljden för a_n, n = 1,2,3,… och sätt a₀ = 0. Inför också skillnaden d_n = a_n − a_n − 1, n = 1,2,… Då är d_n = 3n − 2 och det gäller att

Den sista summan kan beräknas enligt formeln för den aritmetiska summan och vi får a_n = ((3n − 2) + 1)n/2 = n(3n − 1)/2.

Talet 2412 kan skrivas som 2400 + 12 = 24⋅100 + 12 = 2⋅12⋅100 + 12 = 12⋅200 + 12 = 201⋅12. Ett allmänt tal av den form uppgiften handlar om kan skrivas 100⋅2a + a = 201a = 3⋅67a, vilket visar att det är delbart med 67. Det är ju till och med delbart med 201.

Kjell Elfström

Svar:

Rita in cirkeln i ett koordinatsystem så att medelpunkten sammanfaller med origo. Cirkelns ekvation är då x² + y² = r². Antag att kordan som delar cirkeln i två segment ligger på linjen y = b, där b > 0. Eftersom kordans längd är c är koordinaterna för kordans högra ändpunkt (c/2,b) och eftersom denna punkt ligger på cirkeln så är (c/2)² + b² = r², vilket ger att b = √(r² − (c/2)²) = (1/2)√(4r² − c²). Detta är avståndet mellan kordan och x-axeln. Drag nu linjen x = a vinkelrätt mot x-axeln, där 0 ≤ a < c/2. Denna linje skär då kordan på avståndet a från kordans mittpunkt. Den lodräta linjens skärningspunkt med den övre halvcirkeln har koordinaterna (a,√(r² − a²)) och det sökta avståndet blir √(r² − a²) − (1/2)√(4r² − c²). För a = 0 ger formeln segmentets (största) höjd.

Kjell Elfström

Svar:

Ändrar du också ”matematisktproblem” till ”matematiskt problem” och ersätter ”3⋅500” med ”3×500” så blir det riktigt bra.

Kjell Elfström

Svar:

Det ryms fler än 1500 cirklar i rektangeln, vilket kommer att framgå om du anpassar lösningen i 3 maj 2004 22.21.02 till ditt problem. Jag vet inte hur man bestämmer det maximala antalet.

Kjell Elfström

Svar:

Om man har n element, t ex kulor numrerade från 1 till n, och vill välja ut k av dem och lägga dem i en viss ordning så kan det göras på n(n − 1)(n − 2)^…(n − k + 1) sätt. Det första elementet kan nämligen väljas på n sätt. Det andra elementet kan sedan bara väljas på n − 1 sätt eftersom man inte får välja det redan valda elementet. Nästa element igen kan väljas på n − 2 sätt osv. När det allra sista skall väljas har man plockat bort k − 1 element och har n − (k − 1) = n − k + 1 element kvar att väja bland. Skall man ordna alla elementen i en viss ordning så är k = n och antalet permutationer blir n(n − 1)(n − 2)^…2⋅1. Detta tal förkommer så ofta att man ger det en särskild beteckning n! (n med utropstecken efter). Talas utläses n-fakultet. Det är ändamålsenligt att definiera 0! = 1. Antalet sätt att välja ut k element i en viss ordning ur en mängd med n element kan nu skrivas

Antag nu att vi vill välja ut k element ur en mängd med n element. Antalet sätt att göra det på kallas n över k och skrivs (ⁿ_k). Det förutsätts att 0 ≤ k < n. 2 över 3 som du skrivit kan inte förekomma, däremot 3 över 2. Vi anser att 0 element kan väljas ut på 1 sätt så att (ⁿ₀) = 1. Elementen i en kombination om k element ur en mängd med n element kan permuteras på k! sätt. Det innebär att det finns k! gånger så många permutationer som kombinationer av k element ur en mängd med n element. Eftersom antalet permutationer är n!/(n − k)! så är antalet kombinationer n!/(k!(n − k)!). Vi har alltså kommit fram till att (ⁿ_k) = n!/(k!(n − k)!).

Antag nu att k klossar skall läggas i ett rutnät om n rutor och att man inte ser skillnad på klossarna. Om man får lägga högst en kloss i varje ruta så handlar det om att välja ut k rutor ur en mängd med n rutor och det kan göras på (ⁿ_k) sätt. Om n = 9 och k = 4 så blir antalet sätt (⁹₄) = 9!/(4!5!) = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1/(4⋅3⋅2⋅1⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1) = 9⋅8⋅7⋅6/(4⋅3⋅2⋅1).

Att beräkna antalet sätt om det får vara mer än en kloss i samma ruta är mer komplicerat. Ett sätt är naturligtvis att dela upp i fall. Att lägga alla fyra klossarna i samma ruta kan göras på 9 sätt eftersom det finns 9 rutor. Om tre klossar skall läggas i en ruta och 1 kloss i en annan väljer vi först ut 3-rutan och det kan göras på 9 sätt och sedan 1-rutan och det kan göras på 8 sätt. Det blir 9⋅8 sätt. När vi skall lägga två klossar i en ruta och 2 i en annan skall två rutor väljas ut och det kan göras på (⁹₂) sätt. När vi skall lägga 2 klossar i en ruta och sedan 1 kloss i två rutor så kan 2-rutan väljas på 9 sätt och 1-rutorna sedan på (⁸₂) sätt. Det blir 9(⁸₂) sätt. Nu återstår bara fallet med klossarna i olika rutor och det antalet var ju (⁹₄). Summerar vi får vi

Handlar problemet om att lägga många klossar i många rutor blir falluppdelningen mödosam att genomföra. En mer allmän och mer avancerad lösningsmetod är metoden med genererande funktion. Det sökta talet är koefficienten för x⁴ i utvecklingen av (1 + x + x² + x³ + x⁴)⁹. Jag avstår dock från att visa hur den kan beräknas på ett smidigt sätt eftersom jag i så fall måste introducera begreppen potensserie och Taylorutveckling. Koefficienten blir 9⋅10⋅11⋅12/4! = 495.

Ytterligare ett sätt att lösa problemet är att i 12 positioner i en rad placera antingen en av de fyra klossarna eller en av åtta avskiljare. Klossar mellan två avskiljare betyder då att motsvarande ruta innehåller klossarna. Positionerna för klossarna och avskiljarna har bestämts när positionerna för klossarna har bestämts och det kan göras på (¹²₄) = 495 sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Om f är en icke-negativ tillräckligt regulär funktion så uppstår en kropp vars volym är π∫_a^b (f(x))²dx när kurvan y = f(x), a ≤ x ≤ b, roterar kring x-axeln.

a) Här är y² = (f(x))² = 4 − (4/9)x². Kurvan skär x-axeln då x = ±3. Volymen blir π∫₋₃³ (4 − (4/9)x²) dx.

b) Här löser vi ut x² som funktion av y i stället och får x² = 9 − (9/4)y². Volymen blir π∫₋₂² (9 − (9/4)y²) dy.

Kjell Elfström

Svar:

Kvadratkomplettering ger att y = −(x² − 2ax − 4a) = −((x − a)² − a² − 4a). Man inser att det största värdet antages då kvadraten är noll, dvs då x = a. Detta värde är −(−a² − 4a) = a² + 4a. Löser man ekvationen a² + 4a = 5 så får man a = 1 eller a = −5.

Du kan naturligtvis också derivera för att se att maximivärdet måste antagas då x = a.

Kjell Elfström

Svar:

I många fall är det ganska lätt att avgöra huruvida en serie konvergerar men i stort sett omöjligt att vid konvergens beräkna seriens summa. Din uppgift är säkerligen bara att redovisa några metoder för att avgöra seriers konvergens, inte att visa hur man beräknar deras summa. En positiv serie är en serie ∑_k = 1^∞a_k som är sådan att a_k ≥ 0 för k = 1,2,3,… Det skulle kanske hetat icke-negativ serie men beteckningen är sedan länge etablerad. Man har två jämförelsesatser för positiva serier:

Om 0 ≤ a_k ≤ b_k för k = 1,2,… och ∑ b_k är konvergent så är ∑ a_k konvergent.

Om a_k ≥ 0 och b_k > 0 och a_k/b_k → A > 0 då k → ∞ så gäller det att ∑ a_k är konvergent om och endast om ∑ k_k är konvergent.

Till dessa tillkommer två kriterier, Cauchys rotkriterium och d'Alemberts kriterium:

Antag att a_k > 0 och att a_k^1/k → A då k → ∞. Då gäller det att ∑ a_k är konvergent om A < 1 och divergent om A > 1.

Antag att a_k > 0 och att a_k + 1/a_k → A då k → ∞. Då gäller det att ∑ a_k är konvergent om A < 1 och divergent om A > 1.

Observera att kriterierna inte uttalar sig om konvergensen om A = 1. Detta är de vanligaste kriterierna som brukar återfinnas i nybörjarkurser i matematisk analys. Du kan säkert finna fler om du söker.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan tänka sig att matriser beskriver funktioner, så kallade lineära avbildningar. De funktioner f du har stött på avbildar ett tal x på ett tal y = f(x). Man kan också tänka sig att avbilda ett talpar (x₁,x₂) på ett talpar (y₁,y₂) = f(x₁,x₂). Ett exempel är (y₁,y₂) = f(x₁,x₂) = (2x₁ + x₂,x₁ + 3x₂). Denna funktion avbildar t ex (1,2) på f(1,2) = (2⋅1 + 2,1 + 3⋅2) = (4,7). Låt nu x och y vara 2×1-matriserna

resp.

och A 2×2-matrisen

Då kan funktionssambandet i exemplet skrivas med hjälp av matrismultiplikation som y = Ax. Funktioner (y₁,y₂) = f(x₁,x₂) som kan skrivas på detta sätt med hjälp av matriser kallas lineära avbildningar. Motsvarigheten för envariabelfunktioner är y = ax, där a är en konstant. Lineära avbildningar har den egenskapen att de bestäms av vad talparen (1,0) och (0,1) avbildas på. Närmare bestämt så är den första kolonnen i matrisen funktionsvärdet av (1,0) och den andra funktionsvärdet av (0,1).

Lineära avbildningar har bland annat geometriska tillämpningar. Punkterna i ett plan kanske flyttas ut så att deras avstånd till origo blir 3 gånger så stort. Punkten (x₁,x₂) får då de nya koordinaterna (y₁,y₂) = f(x₁,x₂) = (3x₁,3x₂). Detta samband kan beskrivas med hjälp av matrisen

Planet kan roteras θ radianer. Punkten (1,0) får då de nya koordinaterna (cos θ,sin θ) och (0,1) får koordinaterna (−sin θ,cos θ). (Rita en figur.) Avbildningens matris blir (eftersom dess kolonner är bilderna av (1,0) och (0,1))

Om t ex θ = π/4 så blir matrisen

och punkten (1,3) kommer att roteras över på ((1/√2)⋅1 + (−1/√2)⋅3,(1/√2)⋅1 + (1/√2)⋅3) = (−2/√2,4/√2) = (−√2,2√2).

Naturligtvis kan också rumsgeometri studeras på detta sätt. Man får då använda 3×3-matriser och koordinattripler i stället. Exempel på geometriska lineära avbildningar är rotationer, speglingar och projektioner.

Kjell Elfström

Svar:

För att beräkna antalet grupper och antalet enstaka äpplen för var och en av systrarna dividerar man deras äppleantal med a. Man får då tre kvoter och tre rester.

Eftersom varje systers intäkt är 10 kr så är

Det är klart att a är ett heltal i intervallet [1,10] och därför är q_A < q_B < q_C. Om de sista likheterna skall vara uppfyllda så är därför r_A > r_B > r_C. När man dividerar med 1, 2, 5 och 10 så får man resten 0 i samtliga fall så dessa värden på a kan uteslutas. Vid division med 3 och 6 ökar resten när man går från 30 till 50. Vid division med 4 får man samma rest i samtliga fall. Vid division med 8 och 9 ökar resten när man går från 10 till 30. Det enda möjliga värdet på a är 7. Tittar man på Annas intäkt ser man att b måste vara 3. Kontroll visar att a = 7 och b = 3 ger intäkten 10 kr för var och en av systrarna.

Kjell Elfström

Svar:

Du har gjort en upptäckt men den kommer inte att göra dig berömd eftersom många andra gjort den före dig. Multiplicerar man två heltal som slutar på en femma måste också produkten sluta på en femma. Det inser man genom att tänka efter hur den vanliga multiplikationsuppställningen fungerar. Man multiplicerar först entalssiffrorna med varandra och får produkten 25. Femman förs ner som entalssiffra och tvåan blir minnessiffra. De fortsatta stegen i multiplikationen kommer inte att påverka entalssiffran, som alltså blir en femma. På grund av detta kommer 5² = 5⋅5 att sluta på en femma, 5³ = 5⋅5² att sluta på en femma, 5⁴ = 5⋅5³ att sluta på en femma osv.

Produkten av två tal som slutar på en sexa kommer också att sluta på en sexa eftersom 6⋅6 = 36 slutar på en sexa. Även produkten av två tal som slutar på en etta slutar på en etta.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom talen är tvåsiffriga så måste det gälla för produkten p att 100 ≤ p ≤ 9801. Det gäller därför att p = 666 eller p = 6666. Vi kan nu primfaktorisera 666. Man bryter först ut primtalet 2 och får 666 = 2⋅333. Man ser sedan att man kan bryta ut 3 två gånger och får 666 = 2⋅3⋅3⋅37 och 37 är ett primtal. På samma sätt får man att 6666 = 2⋅3⋅11⋅101. Produkten kan inte vara 6666 eftersom en av faktorerna i så fall måste innehålla primtalet 101 och därmed inte vara tvåsiffrig. Produkten är alltså 666 och en av faktorerna innehåller primfaktorn 37. Om denna faktor innehåller ytterligare en primfaktor så räcker de återstående primtalen inte till för att göra den andra faktorn tvåsiffrig. Därför är den ena faktorn lika med 37 och den andra 2⋅3⋅3 = 18.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte. Menar du med summa resultatet av operationen du anger? Följden 1,2,3,4 uppfyller förutsättningarna. (Första talet)⋅(sista talet)/(antalet tal) = 1⋅4/4 = 1 och det är inte det sista talet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till så mycket om sådana program att jag kan rekommendera något till dig. Dessutom tror jag inte att de tillför så mycket till inlärningsprocessen jämfört med traditionella matematikstudier.

Kjell Elfström

Svar:

Axiomen betraktas som bevisbara utifrån sig själva. Det handlar i stället om att det inte går att finna ett avgörbart axiomsystem för t ex talteorin utifrån vilket alla sanna påståenden går att bevisa och inga falska. Med avgörbart menas att det skall gå att avgöra om ett påstående är ett axiom. Ett axiomsystem är en uppsättning påståenden och dess konsekvenser är förutom axiomen själva alla påståenden som kan härledas från dem. Det kommer då att finnas ett påstående σ sådant att varken σ eller (icke σ) är en konsekvens av axiomen. Låter man axiomsystemet bestå av alla sanna påståenden så kan alla sanna påståenden bevisas men ett sådant axiomsystem är inte avgörbart.

Kjell Elfström

Svar:

Vi börjar med ln x. Partiell integration ger att

Eftersom lg x = (ln x)/(ln 10) så är ∫ lg x dx = (x ln x − x)/(ln 10) + C = x lg x − x/(ln 10) + C.

Kjell Elfström

Svar:

En rektangel som består av en kvadrat och en rektangel som är likformig med hela rektangeln, som i figuren, anses ha särskilt sköna proportioner.

Förhållandet mellan långsidan och kortsidan kallas för φ, som är den grekiska bokstav som utläses fi. Likformigheten ger att

Eftersom φ > 0 så är φ = 1/2 + (√5)/2 ≈ 1,618. Talet kallas det gyllene snittet. Vad gäller den icke-matematiska delen av frågan så sökte jag på Google efter ”golden section beauty”. Gör likadant så finner du ett antal artiklar som kan intressera dig.

Kjell Elfström

Svar:

Om talen inte får börja med en nolla så är det alla heltal från och med 1000 till och med 9999 och det är 9000 tal.

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att derivera bort logaritmen i en partiell integration. Vi får att

Gör nu en partialbråksuppdelning för att beräkna integralen i högerledet.

En elegantare lösning får man om man i stället för att ta −1/(x + 1) som primitiv funktion till 1/(x + 1)² tar −1/(x + 1) + 1 = x/(x + 1). Man får då

Kjell Elfström

Svar:

Bryt ut x² ur täljaren och x³ ur nämnaren. Det gäller att

Med g(x) = 1/x finner vi alltså att f(x)/g(x) → 3 > 0 då x → ∞ och eftersom integralen av g(x) är divergent så är integralen av f(x) divergent enligt en jämförelsesats.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan av hs² − h³ är s² − 3h². Sätt detta lika med noll och lös ut h.

Kjell Elfström

Svar:

Se 12 november 2002 18.50.19.

Kjell Elfström

Svar:

Medelvärdet är summan av alla värden dividerad med antalet värden. Medianen är det mellersta värdet eller medelvärdet av de två mellersta värdena om antalet värden är jämnt. Jag vet inte hur du vill att jag skall utforma svaret.

Kjell Elfström

Svar:

Tack för upplysningen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till några så kallade nyttiga tillämpningar av perfekta tal.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte finna någon exakt specifikation av SS482. I princip kan man beräkna volymen som en integral.

Kjell Elfström

Svar:

En hektar är 10000 m² och en km² är 1000000 m². Det går alltså 100 hektar på en km².

Kjell Elfström

Svar:

Man övar problemlösning och försöker förstå den matematiska teori som problemen är övningar på. Teori och övningar kompletterar varandra vid inlärningen. Exakt hur detta skall gå till är individuellt.

Kjell Elfström

Svar:

y är ju koncentrationen vid tiden t så du skall lösa ekvationen 0,4 = y = 0,7te^−0,36t. Du kommer inte att kunna lösa ut t exakt utan får använda numerisk ekvationslösning.

Kjell Elfström

Svar:

Rita upp grafen till kurvan y = sin x, 0 ≤ x ≤ 3π. Du ser då att integralen ∫_π/2^3π/2 sin x dx är noll eftersom de negativa och positiva bidragen till integralen är lika stora. När 3π/2 < a < 5π/2 ≈ 7,85 inser man av figuren att integralen är negativ. De enda av värdena du angett som kan komma i fråga är alltså 8 och 9 och du ser säkerligen också i figuren att a = 8 ger ett för litet värde på integralen. Ett annat sätt att resonera är att beräkna ∫_π/2^a sin x dx = −cos a och studera enhetscirkeln eller grafen till kurvan y = −cos x. Du kan naturligtvis också beräkna −cos a för a = 5, 6, 7, 8 och 9. Metoden som skall användas beror på vilket kursmoment övningen hör till.

Kjell Elfström

Svar:

Om den årliga räntesatsen är r och kapitalet från början är K så är det efter ett år K(1 + r), efter ytterligare ett år K(1 + r)(1 + r) = K(1 + r)² och efter n år K(1 + r)ⁿ. Om vi säger att trafikintensiteten (eller vad det nu är) år 1998 är 1 enhet så är den i periodens slut 1,39 enheter. Räknar man från början av 1998 till början av 2010 blir antalet år 12. Om r är den årliga relativa ökningen så är alltså 1,39 = (1 + r)¹², varav r = 1,39^1/12 − 1 ≈ 0,028 = 2,8%.

Kjell Elfström

Svar:

Se 15 april 2003 10.58.37.

Kjell Elfström

Svar:

Naturligtvis kan lösandet av Goldbachs förmodan leda till att fler likartade problem löses. Jag har dock svårt att se hur några utanför en trång krets av matematiker skulle kunna få glädje av en sådan framgång men man vet aldrig. Det ena leder till det andra. Talteorin ansågs länge som ganska onyttig men det är forskning inom talteori som lett fram till den moderna kryptotekniken. Riemanns zeta-funktion som användes för att uppskatta hur primtalen är distribuerade används numera inom fysiken. Mycket av den grundforskning som bedrivs inom olika ämnesområden är av liknande slag. Det är i förlängningen som man kanske kan komma att se resultat som är nyttiga för andra än forskarna själva.

Kjell Elfström

Svar:

Elementen i Pascals triangel är de så kallade binomialkoefficienterna (ⁿ_k), som utläses n över k. Här är n ett naturligt tal, dvs ett icke-negativt heltal, och k ett naturligt tal som inte är större än n. Talet (ⁿ_k) definieras genom

T ex är (⁷₃) = 7⋅6⋅5/(1⋅2⋅3) = 35. Om man har n numrerade kulor så kan man välja ut k av dem på (ⁿ_k) sätt om man inte tar hänsyn till ordningen. Att välja ut k = 2 kulor ur en mängd med n = 4 kulor kan göras på (⁴₂) = 4⋅3/(1⋅2) = 6 sätt. I detta fall är inte dessa kombinationer fler än att man ids skriva ut dem: 12, 13, 14, 23, 24, 34. Du känner kanske till kvadreringsregeln som säger att (a + b)² = a² + 2ab + b². En generalisering är binomialsatsen som säger att

Du kanske undrar vad (ⁿ₀) är och detta tal brukar definieras som 1 med tanke på att det är naturligt att antaga att antalet sätt att välja ingen kula alls ur en urna med n kulor är 1. Som exempel på binomialsatsen kan vi ta

När man beräknar de fem binomialkoefficienterna i exemplet med hjälp av definitionen blir det ganska många multiplikationer. Pascals triangel kan användas för att beräkna binomialkoefficienterna med endast additioner. Du tycker väl precis som jag att det är enklare att addera än att multiplicera. I Pascals triangel är det ettor längst ut och en koefficient inuti triangeln är summan av de båda som står över den på raden ovanför.

Börjar man med ettor längst ut och sedan fyller i triangeln genom att låta varje inre tal vara summan av de båda ovanstående får man

Den nedre raden har erhållits genom endast additioner och vi har på ett smidigt sätt beräknat koefficienterna i utvecklingen av (a + b)⁴. Pascals triangel är särskilt användbar när man behöver beräkna alla binomialkoefficienter för ett visst värde på n. Skall man beräkna en enskild koefficient, t ex (³⁵₇), som är antalet olika sätt att tippa en lottorad, föredrar man nog att beräkna den med hjälp av multiplikation. Det är inte så tilltalande att behöva konstruera Pascals triangel med 36 rader bara för att avläsa ett tal på den sista raden.

Enklare än så kan jag inte.

Kjell Elfström

Svar:

Båglängden ∫_a^b √(1 + cos²x) dx av en del av kurvan y = sin x kan inte uttryckas exakt i elementära funktioner.

Kjell Elfström

Svar:

Fermats stora sats säger att det inte finns några positiva heltal x, y och z sådana att xⁿ + yⁿ = zⁿ om n är ett heltal större än 2. Satsen bevisades av Wiles 1995. Beviset är svårt även för de flesta matematiker men du kan läsa om det på sidan The Mathematics of Fermat's Last Theorem. Då n = 2 finns det däremot tripler av positiva heltal (x,y,z) som löser ekvationen. Om (x,y,z) är en lösning så är också (ax,ay,az) en lösning så det räcker att finna alla tripler sådana att x, y och z har den största gemensamma delaren 1. En sådan Pythagoreisk tripel kallas primitiv. Om x är ett udda tal så kan man visa att (x,y,z) är en primitiv Pythagoreisk tripel om och endast om det finns heltal p och q sådana att

p > q, p − q är udda och den största gemensamma delaren till p och q är 1.

p = 2, q = 1 ger den välbekanta tripeln (3,4,5). p = 3, q = 2 ger (5,12,13). Du kan själv hitta på fler värden på p och q som uppfyller villkoren och sätta in dem i uttrycken för x, y och z. En av x och y måste vara udda och den andra jämn så man får alla primitiva Pythagoreiska tripler på detta sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Ordet härstammar från latinets circulus som betyder ring eller krets. Matematiskt är en cirkel en figur i ett plan som består av alla punkter med ett givet avstånd till en fix punkt i planet.

Kjell Elfström

Svar:

Man delar in integrationsintervallet i ett jämnt antal delintervall genom en indelning x₀,x₁,x₂,…,x_n. I intervallet [x_2k − 2,x_2k − 1,x_2k] approximerar man funktionen f med ett andragradspolynom p sådant att p och f antar samma värden i punkterna x_2k − 2, x_2k − 1 och x_2k. Det gäller då att

Eftersom den högra ändpunkten är vänster ändpunkt i nästa intervall kommer alla yttervärden att förekomma två gånger utom det första och det sista.

Kjell Elfström

Svar:

Om f(2x) = 12x² + 10x så kan vi ansätta t = 2x, så att x = t/2. Då blir f(t) = f(2x) = 12(t/2)² + 10t/2 = 3t² + 5t. Innebörden är att likheten gäller för alla t och vi kan byta ut bokstaven t mot x och få f(x) = 3x² + 5x.

I den andra uppgiften är det lämpligt att sätta t = x + 2. Man får f(t) = (t − 2)² + 4(t − 2). Förenkla nu och byt ut bokstaven t mot x.

Det gäller att f(x) − f(x − 1) = x(x + 1)(x + 2) − (x − 1)x(x + 1) = x(x + 1)((x + 2) − (x − 1)) = 3x(x + 1).

Kjell Elfström

Svar:

Antag att vi vill multiplicera 7 med 13. Man börjar med 1 och dubblar upprepade gånger tills man får det största talet som inte överstiger 13. Varje gång man dubblar dubblar man också talet 7.

Annorlunda uttryckt:

Nu bildar vi talet 13 av talen i vänsterkolonnen, 13 = 8 + 4 + 1. Av det följer att 13⋅7 = (8 + 4 + 1)⋅7 = 8⋅7 + 4⋅7 + 1⋅7 = 56 + 28 + 7 = 91.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att det menas att en cell delar sig i tre celler vid varje delning. Startar man med en cell finns det 3 celler efter en delning, 3² efter två delningar osv. Efter sju delningar finns det 3⁷ celler. Startar man med 80 celler finns det 80⋅3⁷ celler.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet riskorn blir enligt formeln för den geometriska summan

Kjell Elfström

Svar:

Förmodligen minskar höjden med 1 längdenhet var femte längdenhet.

Kjell Elfström

Svar:

a) Vi använder formeln V = π∫_a^b(f(x))²dx och får

Integrera nu partiellt.

b) Här är formeln V = 2π∫_a^bxf(x) dx tillämplig. Problemet är att det inte går att uttrycka en primitiv funktion med hjälp av elementära funktioner till x^3/2e^−x/2. Du får använda numeriska metoder.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet fingrar kan inte påverka huruvida π är rationellt. Att ett tal är rationellt har ingenting att göra med vilken bas man använder i positionssystemet i vilket man uttrycker talet. Jag avstår från att spekulera i de mystiska och religiösa betydelserna hos talet sju.

Kjell Elfström

Svar:

Ett kort svar på frågan är att man i din formel inte tar hänsyn till att det finns fler möjligheter än en för den feltippade matchen.

Kjell Elfström

Svar:

En primitiv funktion till √(1 + x²) är (1/2)(x√(1 + x²) + ln(x + √(1 + x²))). Se Integraler under Vanliga frågor.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom x² = |x|² och |x| > 0 då x ≠ 0 kan vi skriva f(x) = 2x ln |x| då x ≠ 0. Då h ≠ 0 är (f(0 + h) − f(0))/h = (2h ln |h|)/h = 2 ln |h|, som saknar egentligt gränsvärde då h → 0. Funktionen är alltså inte deriverbar i origo.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att f(1) = 1² = 1, f(x) → 1² = 1 då x → 1⁺ och f(x) → c⋅1 + 1 = c + 1 då x→ 1⁻. Det gäller alltså att f(x) → f(1) då x → 1 om och endast om c + 1 = 1 ⇔ c = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Låt ε > 0. Det gäller att |x² − 9 − (−5)| = |x² − 4| = |x − 2||x + 2|. Vi ser först till att |x + 2| inte blir för stor. Enligt triangelolikheten är |x + 2| = |x − 2 + 4| ≤ |x − 2| + 4. Om |x − 2| < 1 så är därför |x + 2| < 1 + 4 = 5. Vi kunde lika väl ha valt ett annat tal än 1 här och fått en annan gräns. Det väsentliga var att vi fick någon gräns för |x + 2|. Under förutsättning att |x − 2| < 1 så är alltså |x² − 9 − (−5)| < 5|x − 2|. Om dessutom |x − 2| < ε/5 så är |x² − 9 − (−5)| < 5(ε/5) = ε. Om |x − 2| är mindre än det minsta av de båda talen 1 och ε/5, dvs om |x − 2| < δ = min(1,ε/5) så är |x² − 9 − (−5)| < ε.

Kjell Elfström

Svar:

Linjen går genom punkten Q = (1,−2,0). En riktningsvektor (en vektor parallell med linjen) är v = (2,4,−1) − (1,−2,0) = (1,6,−1). Att P = (x,y,z) ligger på linjen är ekvivalent med att vektorn QP = (x − 1,y + 2,z) är parallell med v, dvs (x − 1,y + 2,z) = tv = t(1,6,−1) för något tal t. Rita en figur! Detta är linjens ekvation på parameterform och sambanden mellan koordinaterna kan skrivas x = 1 + t, y = −2 + 6t, z = −t.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan handlar förmodligen om det 30000 år gamla vargben man funnit med inristade skåror som antages beteckna antal. Jag har inte funnit någon bild av det.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionerna sinus och cosinus kallas trigonometriska funktioner och används vid vinkelräkning. För att definiera cosinus och sinus för en vinkel α kan man rita upp en cirkel med radien 1 som i den vänstra figuren ovan och definiera cos α och sin α enligt figuren. Det framgår direkt att cos 0° = 1, sin 0° = 0, cos 90° = 0, sin 90° = 1. Om vinkeln α är spetsig, alltså mellan 0° och 90°, kan man rita en rätvinklig triangel som i den högra figuren. Då är cos α = a/c och sin α = b/c. Om dessa funktioner lär man sig i gymnasiet. I den ”vanliga” verkligheten använder man nästan aldrig annan matematik än de fyra räknesätten. Trots att trigonometri handlar om vinkelräkning är det ovanligt att en snickare behöver denna kunskap för att konstruera sina trianglar. Däremot används trigonometri inom t ex navigation och astronomi. Om vinkeln α ökar med konstant hastighet kommer den vänstra figuren att beskriva en roterande rörelse och särskilt i samband med sådana används de trigonometriska funktionerna. Det kan vara inom fysiken när man studerar till exempel växelströmmar eller när man i ett grafiskt datorprogram vill skapa en roterande rörelse.

Kjell Elfström

Svar:

I den matematiska världen kan det vikas hur många gånger som helst. Ställ frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

I uttryck som 2x + 3x står x för något okänt tal och 2x betyder multiplikation 2⋅x. För att beräkna värdet av 2x + 3x då t ex x = 4 skall du beräkna 2⋅4 + 3⋅4 = 20. Ibland kan man förenkla uttryck som det ovan. Tar man 2x och lägger till 3x så får man 5x. Det ger att 2x + 3x = 5x. Värdet då x = 4 kan alltså fås som 5⋅4 = 20. Ibland har man en likhet mellan x-uttryck. En sådan likhet kallas en ekvation och ett exempel är 2x + 3 = x + 8. En ekvation kan vara uppfylld för vissa värden på x och inte för andra. Sätter man in x = 3 så blir vänsterledet 2⋅3 + 3 = 9 och högerledet 3 + 8 = 11. x = 3 är alltså inte en lösning eftersom de båda leden är olika för x = 3. För att lösa ekvationen kan vi börja med att subtrahera 3 från båda led. Om leden är lika från början blir de också lika om man minskar dem med lika mycket. Ekvationen övergår då i 2x + 3 − 3 = x + 8 − 3, vilket också kan skrivas som 2x = x + 5. Anledningen till att vi subtraherade 3 var att vi ville få bort trean i vänsterledet. Nu kan vi subtrahera x från båda led och få 2x − x = x + 5 − x, vilket är samma sak som x = 5. Nu har vi löst ekvationen och fått lösningen x = 5.

Kjell Elfström

Svar:

Måttet decibel definieras som lg(I/I₀) där I är ljudets intensitet och I₀ en fastställd normalintensitet. Om man antar att inspelningen förändrar ljudintensiteten med en konstant faktor k så har ljudet med intensiteten I efter inspelningen intensiteten kI. Om de båda ljudintensiteterna före inspelningen är I₁ och I₂ så är alltså kvoten I₁/I₂ = (kI₁)/(kI₂) oförändrad och det betyder att skillnaden lg(I₁/I₀) − lg(I₂/I₀) = lg(I₁/I₂) är oförändrad. Eftersom skillnaden är 10 decibel efter inspelningen måste den vara 10 decibel före inspelningen. I svaret gör jag ett fysikaliskt antagande som jag inte kan gå i god för. Du bör kanske också kontakta Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Problemformuleringen är något motsägelsefull och jag är inte säker på att jag förstått hur prissättningen går till. Jag räknar på följande problem: Om n lådor säljs så är priset för den första 109 kr, för den andra 109 − 1 kr, för den tredje 109 − 2 kr osv. Den n:e lådan kostar då 109 − (n − 1) kr. Intäkten från försäljningen blir

enligt formeln för den aritmetiska summan.

Kjell Elfström

Svar:

1. Pyramidens botten är en kvadrat och varje annan sida en likbent triangel. Triangelbasen är 230 m och var och en av de lika långa sidorna 219 m. Enligt Pythagoras sats ges triangelhöjden h av h² + (230/2)² = 219². Beräkna utifrån detta höjden och därefter arean av en av de fyra trianglarna och multiplicera denna area med 4 så får du arean av ytan som skall målas.

2. Om d är pyramidbasens diagonal så ger Pythagoras sats att d ²  = 230² + 230². Pyramidens höjd h ges sedan av h² + (d/2)² = 219². Pyramidens volym är 230²h/3.

Kjell Elfström

Svar:

Att matematik lärs ut i skolan är ett politiskt beslut. En anledning kan vara att politikerna, och en majoritet av svenska folket, önskar att medborgarna skall kunna göra beräkningar som 4⋅123 − 47 + 222/5 = 2447/5.

Kjell Elfström

Svar:

Klotet är det klot som fås genom att rotera cirkeln x² + y² = 14² = 196 kring x-axeln. Linjen y = 11 skär cirkeln då x² = 14² − 11² = 3⋅5² ⇔ x = ±5√3. Man kan anse att ringen uppkommer genom att en cylinder borras ur från den delen av klotet som ligger mellan dessa båda x-värden. Cylinderns volym är π⋅11²⋅2⋅5√3. Klotdelens volym är

Slutför beräkningarna och tag skillnaden mellan klotdelens volym och cylinderns volym.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte hur formeln skulle se ut men svaret är att V inte behöver innehålla lika många element som D. I extremfallet kan funktionen avbilda alla element i D på samma element och då innehåller V bara ett element. Om funktionen avbildar olika element på olika element så kallas den injektiv och i så fall innehåller D och V lika många element.

Kjell Elfström

Svar:

Det har föresvävat mig att det finns gymnasister som använder frågelådan i det syftet. Samtidigt har jag svårt att tro att en gymnasielärare skulle godkänna en direkt avskrift av en av mina lösningar. Jag försöker peka på de väsentliga delarna i en lösning och utelämnar ofta många detaljer. Vill man komma lätt undan är det mycket bättre att be en äldre kamrat eller ett äldre syskon om en färdig lösning. Jag har bara fått ett brev från någon gymnasielärare med liknande synpunkter som dina och den läraren ändrade uppfattning sedan vi talats vid. Alla andra gymnasielärare som jag har tagit upp saken med har sagt sig vara positiva till Fråga Lund om matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns kanske någon sådan sida men räkningen är trivial. Man tar bara kvoten mellan volymerna och förkortar.

Kjell Elfström

Svar:

Uttrycket är inte större än noll för alla tillåtna värden på variablerna. Insättning av m = 1, eller strax därunder, ger ett enkelt uttryck. Utifrån detta är det lätt att se att uttrycket är negativt för s nära 1 och lämpliga värden på övriga variabler. T ex ger Maple värdet −1,379330200 på hela uttrycket då a = 0,1, d = 1, s = 1,1, m = 0,9 och x = 10 och f(x) måste vara ändå mindre.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att

Vi kan utan inskränkning antaga att (a + b) = 23. (Skulle så inte vara fallet kan vi ju bara byta namn på variablerna.) Om (c + d) är någon av de fem kända summorna så måste (c + d) = 7. I annat fall skulle totalsumman bli större än 30, vilket är omöjligt eftersom varken 7 + 11, 7 + 12, 7 + 18, 11 + 12, 11 + 18 eller 12 + 18 är större än 30. Det kan heller inte vara så att (c + d) är den okända summan eftersom 7 + 11 ≠ 12 + 18, 7 + 12 ≠ 11 + 18 och 7 + 18 ≠ 11 + 12. Därför är

och totalsumman är 30, vilket betyder att de sex summorna är 7, 11, 12, 18, 19 och 23. Vi kan nu utan inskränkning antaga att

Skulle det vara så att de båda sista summorna i de översta likheterna antagit dessa värden kan vi ju antingen byta ut a mot b eller c mot d utan att det påverkar det hittills uppnådda resultatet. Skulle det vara så att (a + c) = 18 och (b + d) = 12 kan vi byta ut a mot b och c mot d. Löser vi det ekvationssystem som består av de fyra ekvationerna får vi att a = 5 + d, b = 18 − d och c = 7 − d och vi får att

Om (a + d) = 19 så är d = 7, vilket är omöjligt eftersom c i så fall inte är positivt. Alltså är (a + d) = 11 och d = 3. De fyra talen är alltså 3, 4, 8 och 15.

Kjell Elfström

x^2/2*4
------- = ? 
  nx^2

Svar:

Eftersom det handlar om areaförhållanden kan vi mäta i någon enhet så att kvadratens sida blir 1. En bortklippt triangel har då basen och höjden 1/n och därför arean 1/(2n²). Arean som klippts bort är alltså 4(1/(2n²)) = 2/n². Då n = 2 är detta 1/2 = 50% och då n = 3 är det 2/9 ≈ 22%. Din formel är korrekt. x² i täljaren och nämnaren kan förkortas bort och då får man samma formel som jag fick.

Kjell Elfström

Svar:

Det matematiska språket världen över är tämligen enhetligt. Många matematiska termer som t ex derivata och integral har sitt ursprung i latinet och återfinns i flera språk. Sättet att skriva formler, beteckningar för rötter, potenser, integraler mm är i ändå större utsträckning enhetliga. I språk med annat alfabet, t ex arabiskan, skrivs ofta formler på västerländskt sätt, även om det förekommer andra skrivsätt. Att göra det matematiska språket helt enhetligt är nog svårt. Kompromisser kan leda till konstiga skrivsätt och en övergång till ett visst befintligt skrivsätt kan vara politiskt omöjligt.

Kjell Elfström

Svar:

När antaganden om verkligheten måste göras hänvisar jag till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Hur man löser en ekvation beror på hur den ser ut. Att ange någon enkel metod som alltid fungerar går nog inte.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du vill veta hur räknaren approximerar funktionsvärden till de funktioner du anger. Man kan använda Taylors formel för att beräkna funktionsvärdena approximativt men det är så vitt jag känner till nu inte den metod som faktiskt används. Jag fick en kommentar till en liknande fråga av en läsare som var mer insatt än jag i ämnet. Se 26 november 2003 14.01.08.

Kjell Elfström

Svar:

För att visa att funktionen f inte är deriverbar i x räcker det att finna en talföljd h_n sådan att h_n → 0 då n → ∞ och (f(x + h_n) − f(x))/h_n saknar gränsvärde då n → ∞.

Det gäller att

för varje reellt tal x och det följer av att sin(x + π/2) − sin x = cos x − sin x = a(x) och sin(x − π/2) − sin x = −cos x − sin x = b(x) och (a(x))² + (b(x))² = 2.

Vi noterar härnäst att om 4 delar n + 1 och k ≥ n + 1 så är (k!/n!)(π/2) en heltalsmultipel av 2π.

Vi fixerar x och ledda av hjälpresultaten sätter vi för varje n antingen h_n = 1/(2(4n − 1)!) eller h_n = −1/(2(4n − 1)!) beroende på om

Vi får då att

Vi uppskattar nu differenskvoten och börjar med att uppskatta den sista termen nedåt. Teckenvalet hos h_n ger omedelbart att

Vi uppskattar sedan den i differenskvoten ingående summan uppåt. Enligt medelvärdessatsen är

Triangelolikheten ger den övre gränsen

Den omvända triangelolikheten ger nu att

Kjell Elfström

Svar:

Talet får inte börja med en nolla och därför finns det 9 möjliga förstasiffror. Nästa siffra får också väljas på 9 sätt. Vi kan välja vilken siffra vi vill utom förstasiffran. Nu är två siffror upptagna. Nästa siffra kan därför väljas på 8 sätt, nästa på 7 och den sista på 6 sätt. Det sökta antalet blir 9⋅9⋅8⋅7⋅6.

Kjell Elfström

Svar:

1) De partiella derivatorna är f_x′ = 4(x − y) och f_y′ = 1 − 4x. Den enda stationära punkten är därför (1/4,1/4) och den ligger i det inre av området. Randen av området kan delas upp i de tre delarna R₁ = {(x,y); y = 0 och 0 ≤ x ≤ 1}, R₂ = {(x,y); x = 0 och 0 ≤ y ≤ 1} och R₃ = {(x,y); y = 1 − x och 0 ≤ x ≤ 1}. På den första delen är f(x,y) = 2x² = g₁(x), 0 ≤ x ≤ 1. Eftersom g är strängt växande är de enda möjliga extrempunkterna ändpunkterna (0,0) och (1,0). På R₂ är f(x,y) = y = g₂(y). Av samma skäl som tidigare är bara ändpunkterna (0,0) och (0,1) tänkbara extrempunkter. På R₃ är f(x,y) = 2x² − 4x(1 − x) + (1 − x) = 6x² − 5x + 1 = g₃(x), 0 ≤ x ≤ 1. Det gäller att g₃′(x) = 12x − 5 = 0 ⇔ x = 5/12. Tänkbara extrempunkter på R₃ är därför (5/12,7/12), (0,1) och (1,0). Vissa av de tänkbara kandidaterna har kommit med flera gånger ovan. Sammanfattar vi får vi (1/4,1/4), (5/12,7/12), (0,0), (0,1) och (1,0) som möjliga extrempunkter. Eftersom f är kontinuerlig och området är kompakt så har f såväl maximum som minimum och dessa kan inte antagas i några andra punkter än de fem punkterna ovan. Beräkna därför funktionsvärdet av f i var och en av punkterna. Det största av de fem värdena är funktionens största värde och likadant för det minsta.

2) Här kan man göra ungefär på samma sätt men eftersom området är en cirkelskiva och funktionen delvis beror på r² = x² + y² kan det vara en fördel att införa polära koordinater x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ r ≤ √8, 0 ≤ θ ≤ 2π. Vi kan då skriva f(x,y) = g(r,θ) = 3 ln(1 + r²) − 2r(cos θ + sin θ). Nu är g_r′ = 6r/(1 + r²) − 2(cos θ + sin θ) och g_θ′ = 2r(sin θ − cos θ). I det inre av (r,θ)-området är g_θ′ = 0 bara då θ = π/4 eller θ = 5π/4. Det ger att 0 = g_r′ = 6r/(1 + r²) ± 2√2. Eftersom r > 0 kan det bara gälla att 6r/(1 + r²) − 2√2 = 0, vilket motsvarar θ = π/4. Denna ekvation har de positiva rötterna r = 1/2 och r = 3/2. Inre stationära punkter är därför (r,θ) = (1/2,π/4) och (3/2,π/4). Sedan återstår det att undersöka g på randen och det görs på samma sätt som i den första uppgiften.

Kjell Elfström

Svar:

Låt A, B, C, D vara en uppräkning av trapetsets hörn moturs så att AB är den längre av de parallella sidorna och CD den kortare. Låt E och F vara mittpunkterna på AB resp. CD. Vi kan antaga att längden av CF är x och att längden av EB är 9x. Låt G vara den punkt där cirkeln tangerar BC. Det gäller att EB och GB är lika långa, varför GB = 9x. Även GC och FC är lika långa så GC = x. Sidan BC är därför 10x. Drag en linje genom C parallellt med FE och kalla linjens skärningspunkt med AB för H. Då är HB = 9x −x = 8x. Pythagoras sats tillämpad på triangeln CHB ger att 12² + (8x)² = (10x)², varav x = 2. Låt I och J vara skärningspunkterna mellan den sökta sträckan och sträckorna FE resp. CH. Då är IJ = x = 2 och likformighet ger att JG/x = HB/(10x) = (8x)/(10x) = 4/5, varav JG = 4x/5 = 8/5. Därför är IG = 2 + 8/5 = 18/5 och den sökta sträckan 2IG = 36/5.

Kjell Elfström

Svar:

Vecket är vinkelrätt mot den diagonal som går från det ena av de båda hörnen till det andra. Det inser man om man efter att ha vikt pappret drar en linje från det ena hörnet vinkelrät mot vecket och gör samma sak från det andra hörnet. Dessa linjer möts i samma punkt på vecket. Låt papprets kortsida vara a och dess långsida b. Vinkeln α mellan diagonalen och långsidan är densamma som vinkeln mellan vecket och kortsidan. Om c är veckets längd och d diagonalens så gäller alltså att cos α = a/c = b/d. Det gäller alltså att c = ad/b = a√(a² + b²)/b.

Kjell Elfström

Svar:

Det är en välkänd trigonometrisk formel att cos 2α = 2 cos²α − 1. Sätt in α = 2x i denna formel.

Kjell Elfström

Svar:

Det forskas en del kring detta och en del praktiskt ganska oanvändbara resultat har framkommit. Goldbach visade emellertid redan 1752 att det inte kan finnas något polynom med heltalskoefficienter i en variabel x som bara ger primtal som funktionsvärden för heltal x. Sierpiński, Mináč, Willans, Gandhi m fl matematiker har under senare hälften av 1900-talet bidragit till att ge komplicerade uttryck för det n:e primtalet p_n. Ett något enklare problem är att finna funktioner f sådana att f(n) är ett primtal för alla positiva heltal n, men inte nödvändigtvis det n:e primtalet. Även här har en del resultat uppnåtts. Funktionen f kan som sagts inte vara ett polynom. En annan typ av primtalsgenerator är en funktion sådan att mängden av positiva funktionsvärden sammanfaller med mängden av primtal. Matijasevič gav 1971 ett sådant polynom f av grad 37 i 24 obekanta. Detta förbättrades senare till grad 21 i 21 obekanta. Jones, Sato, Wada och Wiens angav 1976 ett explicit polynom av grad 25 i 26 obekanta. Jag rekommenderar boken Paulo Ribenboim: The Book of Prime Number Records för ytterligare läsning.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan göra ett variabelbyte i definitionen av Fouriertransformen. Ofta brukar man dock få lära sig ett antal räkneregler för Fouriertransformen som härleds på detta sätt, t ex att om f(x) = u(ax) så är F(f)(w) = (1/|a|)F(u)(w/a). Låt alltså u(x) = e^−(1/2)x2 och sätt a = √(2π).

Kjell Elfström

                      SEND
                    + MORE
                     ------
                     MONEY

Svar:

Det finns lösningar på internet. Sök efter ”send more money”.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen är basarean gånger höjden, dvs πx²(15 − 2x) = π(15x² − 2x³) = f(x). Derivatan är f ′(x) = π(30x − 6x²) = 6πx(5 − x) och den enda positiva punkt som derivatan växlar tecken i är x = 5. Teckenväxlingen är sådan att x = 5 är ett lokalt maximum. Derivatan är ju positiv i intervallet (0,5) och negativ i (5,∞). Man inser att x = 5 är en maximipunkt och det sökta värdet är f(5), som du själv får räkna ut.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar som om det handlar om tricket som finns beskrivet på sidan uppslag_03_2.pdf. Där finns också förklaringen.

Kjell Elfström

Svar:

Vad svaret blir beror på vilket av de tre sandlådemåtten som är höjden. Med tanke på att barnen inte bör kunna drunkna i sandlådan kan vi kanske antaga att höjden är 0,55 m och sanddjupet skall därför vara 0,55 − 0,15 = 0,40 m. Den sandfyllda delen av sandlådan har därför måtten 6,25 m × 8,00 m × 0,40 m. Dennas volym är 6,25⋅8,00⋅0,40 = 20 m³ och nu kan du beräkna kostnaden genom att multiplicera med priset per kubikmeter.

Kjell Elfström

Svar:

Ett klot med radien 10 har volymen 4π⋅10³/3. En pyramid, vars bottenkanter och höjd alla är 20 har volymen 20³/3. Halva pyramidens volym är 20³/6 och kvoten mellan klotets volym och den senare volymen är (4π⋅10³/3)/(20³/6) = (4π10³/3)/(8⋅10³/6) = π.

Kjell Elfström

Svar:

Det enklaste sättet är att ge Anna alla fiskarna men det kan ju vara intressant att se om det finns ytterligare lösningar. Kalla antalet honor i de tre dammarna för x₁, x₂ resp. x₃ och antalet hannar för y₁, y₂ resp. y₃. Vi vet att x₁ + x₂ + x₃ = y₁ + y₂ + y₃ = 16. Vidare är y₁ = x₁, y₂ = 3x₂ och y₃ = (1/2)x₃. Insättning av de senare likheterna i de förra ger att

Den första av dessa båda likheter ger att x₃ = 4x₂ och vi får att 16 = x₁ + x₂ + x₃ = x₁ + 5x₂. Här kan x₂ bara vara 0, 1, 2 eller 3. Motsvarande värden på (x₁,x₂,x₃) blir (16,0,0), (11,1,4), (6,2,8) och (1,3,12). Dessa värden ger (y₁,y₂,y₃) = (16,0,0), (11,3,2), (6,6,4) resp. (1,9,6). Det finns alltså fyra olika lösningar på problemet.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan är hur tung massan upplevs vara och det beror på var musklerna är fästa vid armen. Massan 1 kg motsvarar på jorden ungefär tyngden 9,8 N. Momentet blir 9,8⋅0,8 = 7,84 Nm. För att motverka denna kraft med hjälp av en kraft på F N som är applicerad a m från armleden krävs att aF = 7,84. Som förenklad modell kan tas en led på 80 cm som är fäst i en axel i den ena änden. En tyngd på 1 kg belastar leden i den andra änden. För kraften F som krävs för att hålla leden i jämvikt genom påtryckning underifrån 10 cm från axeln gäller 0,1⋅F = 7,84, dvs F = 78,4 N, vilket motsvarar tyngden av en vikt på 78,4/9,8 = 8 kg.

Kjell Elfström

Svar:

Skriv termen i summan som (k/n)sin(π(k/n)(1/n) = ξ_ksin(πξ_k)Δx_k, där ξ_k = k/n och Δ_k = 1/n. Det är därför lämpligt att låta delningspunkterna vara x_k = ξ_k = k/n. När k går från n till 3n får man en indelning av [1,3], vilket alltså är det sökta intervallet.

Kjell Elfström

Svar:

Målet med kvadratkomplettering är att skriva ett andragradspolynom f(x) = x² + ax + b på formen y² + c, där y beror på x och c är en konstant. För att åstadkomma det använder man kvadreringsregeln (p + q)² = p² + 2pq + q² ”baklänges”. Det gäller att (x + a/2)² = x² + ax + a²/4. För att få f(x) behöver vi nu bara draga ifrån a²/4 och lägga till b. Resultatet blir (x + a/2)² − a²/4 + b = f(x), dvs f(x) = y² + c, där y = x + a/2 och c = b − a²/4. Med hjälp av kvadratkomplettering kan man lösa ekvationen x² + ax + b = 0. Ekvationen är ju ekvivalent med (x + a/2)² = a²/4 − b och man får att x + a/2 = ±√(a²/4 − b).

Kjell Elfström

Svar:

Ja, g(0) = 0. Funktionen g är den primitiva funktion till f som har värdet 0 då x = 0. Funktionen h(x) = ∫₁^x f(t) dt är också en primitiv funktion till f. Denna funktion antar värdet 0 i x = 1. Det gäller att g(x) = h(x) + ∫₀¹ f(t) dt och om inte den sista integralen är noll så är g och h olika primitiva funktioner till f.

Kjell Elfström

Svar:

Det måste man inte. Det är enligt skolplikten obligatorisk närvaro på matematiklektionerna i grundskolan men ingen kan tvinga eleverna att lära sig matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Följande svar kräver inte ens någon motivering:

a) (√x − 1)(√x − 2) = 0,

b) √x = 1,

c) √x = −1,

men jag är rädd för att jag inte får den utlovade poängen eftersom de två sista ekvationerna förmodligen betraktas som för enkla. Låt oss i stället ta

a) (√x − 1)(√x − 2) = 0,

b) (√x − 1)(√x + 2) = 0,

c) (√x + 1)(√x + 2) = 0

och kamouflera dem genom att utveckla vänsterleden

a) x − 3√x + 2 = 0,

b) x + √x − 2 = 0,

c) x + 3√x + 2 = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte ens vad uppgiften går ut på.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att det skall stå dy/dt i den andra ekvationens vänsterled. Drar du den första ekvationen från den andra så får du dy/dt − dx/dt = y − x + 7e^2t. Sätt u = y − x så kan du skriva denna ekvation som u′ − u = 7e^2t. Detta är en första ordningens lineär differentialekvation som du kan lösa med hjälp av metoden med integrerande faktor. Nu du gjort det kan du uttrycka y som en funktion av x (och t). Sätt in detta uttryck för y i den första ekvationen i systemet så får du en ekvation i x.

Kjell Elfström

Svar:

Q(√a,√b)/Q är en Galoisutvidgning av grad 4. De fyra automorfismerna över Q är de som avbildar √a + √b på ±√a ± √b och därför måste dessa tal vara nollställen till det sökta polynomet. Koefficienterna i polynomet f(x) = (x − (√a + √b))(x − (√a − √b))(x − (−√a + √b))(x − (−√a − √b)) är symmetriska polynom i nollställena och fixeras därför av de fyra automorfismerna. Koefficienterna tillhör därför Q och därmed uppenbarligen också Z. Det sökta polynomet är f(x). Jag tror att du lätt kan generalisera resonemanget så att du får en lösning på det andra problemet. Polynomet där har nollställena ±√a ± √b ± √c.

Kjell Elfström

Svar:

Vi ser att f(0,0) = 1. Låt u = (1/√2)(1,1) och v = (1/√2)(1,−1). Då gäller det att (f(t/√ 2,t/√ 2) − 1)/t = 2(e^t/√2 − 1)/t → √2 = f_u′(0,0) då t → 0 och (f(t/√ 2,−t/√ 2) − 1)/t = (t/√2 − t²/2)/t  → 1/√2 = f_v′(0,0) då t → 0. Använd nu att f_u′(0,0) = (1/√2)f_x′(0,0) + (1/√2)f_y′(0,0) och f_v′(0,0) = (1/√2)f_x′(0,0) − (1/√2)f_y′(0,0) för att lösa ut de sökta derivatorna.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan, om det nu är en sådan, antyder inte vad du vill veta om romerska siffror. Sök efter ”roman numerals” på internet så hittar du nog något användbart.

Kjell Elfström

Svar:

Du känner säkert till additionsformlerna för cosinus och sinus. Med hjälp av dessa får man

Förkortar man uttrycket med cos a cos b så får man

Kjell Elfström

Svar:

I strikt mening är en likformig fördelning av punkterna på en sfär bara möjlig då antalet punkter är 4, 6, 8, 12 eller 20. Detta är antalet hörn i de enda möjliga regelbundna polyedrarna tetraeder, oktaeder, kub, dodekaeder resp. ikosaeder. Se Platonic Solid. Hur man inskriver dessa polyedrar i en sfär finns beskrivet i Euklides elementa, bok XIII. Om det handlar om att lösa det praktiska problemet att fördela punkterna ganska likformigt hänvisar jag till Distributing Points on a Sphere. Du kan också själv söka efter efter ”equidistant points on a sphere” på internet.

Kjell Elfström

Svar:

Du måste avse gränsvärden då Δx → 0. (cos x)/x har inget gränsvärde då x → 0. Det gäller att (cos x)/x → ∞ då x → 0⁺ och (cos x)/x → −∞ då x → 0⁻.

Ofta definierar man ju dessa funktioner grafiskt med hjälp av en enhetscirkel och i så fall måste beviset av att (sin x)/x → 1 då x → 0 vara grafiskt. Antag att 0 < t < π/2. Rita enhetscirkeln. Låt O = (0,0), P = (cos t,sin t), Q = (1,0). Arean av triangeln OPQ är då (1⋅sin t)/2 = (sin t)/2. Arean av cirkelsektorn OPQ är t/2. Det är uppenbart att sektorns area är större än triangelns så därför är

Drag nu tangenten till cirkeln i punkten Q. Denna skär förlängningen av OP i en punkt R. Höjden av triangeln OQR är tan t så denna triangels area är (tan t)/2. Jämförelse av sektorarean och denna triangelarea ger att

Tillsammans ger dessa båda olikheter att

Eftersom de i olikheterna ingående funktionerna är jämna funktioner så gäller det att

Ytterleden har gränsvärdet 1 då t → 0 och därför ger instängningssatsen att mellanledet (sin t)/t har samma gränsvärde.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att

och man kan använda gränsvärdet (sin x)/x → 1 då x → 0 på följande sätt:

Vi har även använt att cos är kontinuerlig i punkten x.

Kjell Elfström

  xy     xy          om 3y=2 och 2x=3                    
(7  - xy)=?

Svar:

Eftersom 6xy = 2x⋅3y = 3⋅2 = 6 så är xy = 1. Uttrycket blir därför lika med 6.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan av f(x) = (ln x)/x = (ln x)(1/x) är f ′(x) = (1/x)(1/x) + (ln x)(−1/x²) = (1/x²)(1 − ln x) och dess enda nollställe är x = e. Andraderivatan är f ″(x) = (−2/x³)(1 − ln x) + (1/x²)(−1/x) = −1/e³ = −e⁻³ < 0 då x = e, vilket visar att funktionen har ett lokalt maximum i e. Det är oftast betydligt mycket enklare att teckenundersöka derivatan i stället för att beräkna andraderivatan för att finna de lokala extrempunkterna. I detta exempel ser man direkt på derivatan att den är positiv då x < e och negativ då x > e.

Kjell Elfström

Svar:

För naturliga tal n gäller att

Integralen är konvergent för alla reella n > −1 och det är naturligt att sätta

Funktionen

kan utvidgas till en funktion av den komplexa variabeln z som är analytisk utom då z är ett icke-positivt heltal. Denna funktion kallas Gamma-funktionen och för naturliga tal n gäller det alltså att n! = Γ(n + 1). På många elektroniska räknare brukar man kunna få värdet av Γ(z + 1) när man slår in z!.

Kjell Elfström

Svar:

Det totala antalet utfall är 250!, eftersom de 250 glosorna kan permuteras på så många sätt. För att beräkna antalet gynnsamma fall permuterar vi först de 238 glosor som inte är månadsnamn och det kan göras på 238! sätt. Månadsnamnen skall sedan placeras in i denna rad av glosor. Man kan placera ett månadsnamn mellan två andra glosor eller först eller sist. De ger oss 239 positioner att välja mellan. Positionerna kan väljas ut på (²³⁹₁₂) sätt. Sedan kan vi ordna månadsnamnen inbördes på 12! sätt. Det blir 238!(²³⁹₁₂)⋅12! = 238!239!/227! gynnsamma utfall och sannolikheten blir 238!239!/(227!250!) = 132538826043541/230301610060500.

Kjell Elfström

Svar:

Man säger oftast tredjederivatan av y. Något i stil med y-prim eller y-bis känner jag inte till vad gäller tredje- och högre derivator. Allmänt skrivs n:e-derivatan av y som y⁽ⁿ⁾ så man kan om man vill skriva y′ = y⁽¹⁾, y″ = y⁽²⁾ och y′′′ = y⁽³⁾. När n > 3 används nästan uteslutande beteckningen y⁽ⁿ⁾. T ex är ju y′′′′′′ ganska svårläst.

Kjell Elfström

Svar:

Tack! Jag ser heller inte hur sannolikheten skall kunna beräknas.

Kjell Elfström

Svar:

Trekropparsproblemet är problemet att bestämma tre kroppars positioner, i enlighet med den klassiska mekaniken, som funktioner av tiden. Deras massor och initiala positioner och hastigheter antas vara kända. Det förutsätts att kropparna påverkar varandra genom gravitation men att inga andra kroppar påverkar de tre kropparna. Se vidare på sidan n-body problem.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan tänka sig att rullen som pappret är upprullat på en oändligt smal så att pappret är ”upprullat på sig självt”. Jag föredrar också att tänka mig att man rullar på pappret med en hastighet om v längdenheter per tidsenhet. En parametrisering av rullen är (x,y) = ρc(cos(2πρ),sin(2πρ)), där ρ är antalet pårullade skikt. När antalet skikt är r gäller det att längden av det pårullade pappret är

Du önskar att uttrycka rullens tjocklek r som en funktion av t och det låter sig bara göras numeriskt.

Kjell Elfström

Svar:

Talen p₁p₂…p_n ±1 kan inte ha några primtalsfaktorer bland primtalen p₁,p₂,…,p_n men det är inte sant att de måste vara primtal. T ex är 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13 + 1 = 59⋅509 och 2⋅3⋅5⋅7 − 1 = 11⋅19. Det du har skrivit är alltså inget bevis för primtalstvillinghypotesen.

Kjell Elfström

Svar:

Grekerna definierade area genom uttömningsmetoden som anses ha uppfunnits av Eudoxos. Det är den metoden som ligger bakom Arkimedes beräkning av π. Metoden går ut på att man skapar en uttömmande följd av approximerande polygoner. I cirkelfallet handlar det om regelbundna n-hörningar. Den engelska termen är exhaustion i fall du vill söka på internet.

Kjell Elfström

Svar:

Om man bara känner en del av decimalutvecklingen och på något sätt vet att den är periodisk (t ex har bara ändligt många siffror skilda från noll) så vet man att talet är rationellt och är den inte periodisk så är det inte rationellt. Känner man inte till vilket som är fallet så vet man heller inte om talet är rationellt. I bland kan man utifrån definitionen av ett tal visa att det är irrationellt. T ex har det visats att √2, e och π irrationella och av det följer att decimalbråksutvecklingen inte kan vara periodisk. Att visa att √2 är irrationellt är lätt. Antag nämligen motsatsen så att √2 = a/b, där a och b är heltal med den största gemensamma delaren 1. Kvadrering av båda led och multiplikation med b² ger då att 2b² = a². Detta ger att a² är ett jämnt tal och då måste också a = 2c vara ett jämnt tal. Därför är 2b² = (2c)² = 4c², av vilket det följer att b² = 2c². Även b måste därför vara jämnt och vi får motsägelsen att den största gemensamma delaren till a och b är minst 2.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du menar att 0 < x < 360° och att ekvationen är sin x = (1/2) sin(2x + 90°).

Använder man först att sin(a + 90°) = cos a så kan man skriva ekvationen som sin x = (1/2)cos 2x. Likheten cos 2x = 1 − 2 sin²x ger sedan den ekvivalenta ekvationen sin²x + sin x = 1/2. Här kan man sätta t = sin x och få ekvationen t² + t = 1/2, som har rötterna −1/2 ± (√3)/2. Bara (√3)/2 − 1/2 ligger i intervallet [−1,1] och den allmänna lösningen blir x = arcsin((√3)/2 − 1/2) + n⋅360° eller x = 180° − arcsin((√3)/2 − 1/2) + n⋅360°. Om x skall ligga i det angivna intervallet får man de två lösningar som svarar mot n = 0, dvs x = arcsin((√3)/2 − 1/2) eller x = 180° − arcsin((√3)/2 − 1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att jag förstår hur patiensen går till men ser inte hur jag skall kunna beräkna den sökta sannolikheten.

Kjell Elfström

Svar:

Den relativa ökningen under tiden från x till x + 1 är

Funktionsvärdet f(4) får du slå på en räknare eller räkna ut för hand som 160⋅1,3⋅1,3⋅1,3⋅1,3.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan ersätta x/100 med x och låt x löpa i intervallet [0,1] i stället för i [0,100]. Då blir den approximativa formeln (ln 2 )/(ln(1 + x)) ≈ 0,7/x. Jag vet inte om du har tänkt dig att log skall betyda ¹⁰log = lg men man kan lika väl använda ln eftersom logaritmer med olika baser är proportionella mot varandra. Konstanten 0,7 kommer av att ln 2 ≈ 0,69314718 ≈ 0,7. Enligt medelvärdessatsen tillämpad på f(x) = ln(1 + x) så gäller det att ln(1 + x) = x/(1 + θx) för något tal θ mellan 0 och 1, vilket antyder att ln(1 + x) ≈ x för små x. Detta är dock inte tillräckligt för att motivera den approximativa formeln eftersom ln(1 + x) och x återfinns i nämnarna. Trots att de är approximativt lika kan det i princip bli mycket stora skillnader mellan 1/ln(1 + x ) och 1/x. Man kan genomföra en mer ingående analys av felet vid approximationen och det är inte särskilt svårt med hjälp av differentialkalkyl men den blir något omfattande. Man kan konstatera att uttrycken ligger nära varandra då x ∈ (0,1] utom då x ligger mycket nära 0. T ex ger x = 0,001 ett fel på omkring 6,6, vilket är ganska stort. Om x > 0,01, dvs om ökningstakten är större än 1%, är approximationen ganska god. Det absoluta felet understiger då 0,34.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet möjliga utfall är (¹⁰₂) = 10⋅9/2 = 45. Om två män skall väljas är antalet utfall (⁵₂) = 5⋅4/2 = 10. I lika många fall väljs två kvinnor. Antalet gynnsamma utfall blir därför 10 + 10 = 20 och sannolikheten blir 20/45 = 4/9.

Kjell Elfström

Svar:

Talet du anger utsäges 18 triljoner 446744 biljoner 70709 miljoner 551115 eller 18 triljoner 446744 biljoner 70 miljarder 709 miljoner 551115. Se 21 mars 1999 16.54.48 .

Kjell Elfström

Du har kanske rätt om förutsättningarna, att bara kapningar är tillåtna. Ordet vedträ i frågan fick mig att tänka i andra banor. Stora klabbar blir det. Tack för lösningen.

Kjell Elfström

Svar:

Villkoret är att det skall finnas tal s och t sådana att (3,0,3) + t(0,2,−1) = (1,0,3) + s(a,1,−1). Villkoret på tredjekoordinaterna blir att 3 − t = 3 − s, dvs t = s. Villkoret på andrakoordinaterna blir därför 2t = s = t, vilket visar att t = s = 0. Förstakoordinaternas ekvation blir nu 3 = 1, dvs en motsägelse. Detta visar att linjerna inte skär varandra för något värde på a. (Du har kanske skrivit av uppgiften fel.)

Kjell Elfström

Svar:

De regler du anger motsäger i viss mån bilden. Du skriver bredvid varandra, alternativt två kort innan men på bilden verkar det gå bra med tre kort före också. Kan man tänka sig att man lägger ut alla 52 korten i en rad och sedan tillämpar reglerna?

Kjell Elfström

Svar:

Bokstaven R förekommer två gånger och P tre gånger. De övriga sex bokstäverna förekommer en gång var. Jag förutsätter att vi inte ser skillnad mellan P:na och heller inte mellan R:en. Utan de i uppgiften nämnda begränsningarna finns det 11!/(3!⋅2!) permutationer. När vi räknar på hur många av dessa som innehåller två R i följd kan vi tänka på de båda R:en som en enhet och vi har alltså tre P:n och sju andra enheter, nämligen RR, A, E, S, K, O och G. Dessa kan permuteras på 10!/3! sätt. Vi räknar sedan på hur många permutationer det finns med mins tre P:n i följd. Vi använder nu enheterna PP, P, R, R, A, E, S, K, O och G. Det finns nu 10!/2! permutationer men vi har fått med permutationerna med tre P:n i följd två gånger, en gång som P,PP och en gång som PP,P. Det finns 9!/2! permutationer med 3 P:n i följd. (Använd enheterna PPP, R, R, A, E, S, K, O, G). Vi har nu 10!/3! + 10!/2! − 9!/2! permutationer med två eller fler R eller P:n. Vissa av dessa innehåller både två R och minst två P:n och dessa har räknats med två gånger. För att räkna efter hur många sådana det finns använder vi enheterna RR, P, PP, A, E, S, K, O och G och får 9!. Även denna gång har de med tre P:n räknats två gånger och vi får draga ifrån 8!. Det finns därför 10!/3! + 10!/2! − 9!/2! − 9! + 8! förbjudna permutationer. Antalet tillåtna permutationer är därför 11!/(3!⋅2!) − (10!/3! + 10!/2! − 9!/2! − 9! + 8!) = 1411200.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inget namn på påståendet, som dock är ganska lätt att bevisa. Låt sträckan AB vara given, låt D vara ögats punkt på avståndet d från sträckan och C den punkt på sträckan som är sådan att DC och AB är vinkelräta. Sätt c = AB, a = AC, b = BC och låt α och β vara vinklarna DAC resp DBC. Då är a + b = c och

Enligt olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde är ab ≤ ((a + b)/2)² = c²/4 med likhet om och endast om a = b. Detta visar att

med likhet om och endast om a = b, vilket visar att α + β är maximal då a = b.

Kjell Elfström

Svar:

För att bevisa att det finns ett reellt tal x sådant att x² = 2 och x > 0 så måste man införa de reella talen på något sätt först. Detta kan ske axiomatiskt på så sätt att man säger att alla räkne- och ordningslagar som gäller för rationella tal också skall gälla för de reella talen. Dessutom brukar man införa axiomet om övre gräns som säger att varje icke-tom uppåt begränsad mängd av reella tal har en minsta övre gräns. Alternativt kan man bygga upp de reella talen på något sätt som gör att ovanstående axiom blir uppfyllda.

När det är gjort kan man bilda mängden A = {x ∈ R; x > 0 och x² < 2}. Det är då lätt att visa att A inte är tom, eftersom t ex talet 1 tillhör A. Vidare är A uppåt begränsad ty om x > 2 så är x² > 4 > 2, vilket visar att alla tal som tillhör A är mindre än eller lika med 2. Enligt axiomet om övre gräns har A en minsta övre gräns c som självklart är positiv. Antag först att c² < 2. Låt δ vara ett tal sådant att 0 < δ < 1. Då är

Därför är (c + δ)² < 2 om δ < (2 − c²)/(2c + 1) och 0 < δ < 1 och det är klart att det finns ett sådant reellt tal δ. Detta ger oss motsägelsen att c inte är en övre gräns, eftersom c + δ är ett större tal som ligger i A. Vi har nu visat att c² ≥ 2. Sedan antar man att c² > 2. Då kan man på ungefär samma sätt visa att det finns ett tal δ > 0 sådant att (c − δ)² > 2 och få motsägelsen att det finns en mindre övre gräns än c. Detta visar att c² ≤ 2. Eftersom c² ≤ 2 och c² ≥ 2 så är c² = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Venn-diagram kan alltid ritas i två dimensioner. Se What is a Venn Diagram?.

Kjell Elfström

Svar:

Se The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Svar:

Någon sluten formel för n! känner jag inte till. Det finns dock ett antal mer eller mindre snabba algoritmer för att beräkna n!. Se Factorial under Computation.

Kjell Elfström

Svar:

Linjen genom (2,0) har en ekvation y = k(x − 2). Linjerna skär x-axeln i (−4,0) och (2,0) så triangelbasen är 2 − (−4) = 6. Eftersom arean är 54 så skall höjden vara 18. De båda linjernas skärningspunkt har alltså y-koordinaten ±18. Insatt i den kända linjens ekvation ger detta skärningspunkterna (5,18) resp. (−13,−18). Den sökta linjen får ekvationen y = 6x − 12 resp. y = (9/14)x − 9/7. Det finns kanske någon figur till uppgiften som visar att det bara är den första linjen som kan ifrågakomma.

Området ligger mellan kurvorna y = f(x) och y = g(x), där f(x) = 2x + 8 och g(x) = 0 i intervallet [−4,2] och 6x − 12 i intervallet [2,5]. Arean blir

Beräknar du dessa båda integraler och adderar dem så får du värdet 54.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom det går 10 cm på en dm så går det 10³ = 1000 cm³ på en dm³ och en liter är detsamma som en dm³.

Kjell Elfström

Svar:

Den rymmer 60⋅18⋅14 = 15120 cm³, dvs drygt 15 liter.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte vilka samband du är ute efter. Det verkar som om man får välja a, b och c fritt och då finns det inga särskilda samband mellan dem. Deriverar man andragradsuttrycket får man 2ax + b. Om a är positiv så är derivatan negativ till vänster om −b/(2a) och positiv till höger om denna punkt, vilket ger att funktionen har ett lokalt minimum i punkten −b/(2a). Är a i stället negativ blir det av liknande skäl ett lokalt maximum i −b/(2a). Liknande undersökning kan göras i fallet med tredjegradspolynomet. Jag är inte alls säker på att detta svar passar till din fråga. Du får i så fall ställa den igen på ett tydligare sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Patienten är inte alltid lösbar. Se An unsolvable instance of Free Cell för ett exempel.

Kjell Elfström

Svar:

Mer träning på att lösa uppgifter i vilka de fyra räknesätten ingår kan hjälpa. Man behöver inte nödvändigtvis använda de traditionella uppställningarna för t ex addition utan personen kan uppmanas att utföra beräkningarna på sitt eget sätt som kanske bättre passar hans eller hennes taluppfattning. Jag rekommenderar dig att söka efter taluppfattning eller number sense på internet; där finns ett antal artiklar.

Kjell Elfström

Svar:

Man löser den karakteristiska ekvationen r³ − 3r² + 3r − 1 = (r − 1)³ = 0 och den har tripelroten r = 1. Därför ges den allmänna lösningen till differentialekvationen av y = (Ax² + Bx + C)e^x, där A, B och C är godtyckliga konstanter. Allmänt gäller om differentialekvationen har det karakteristiska polynomet

där r_j, j = 1,…m, är polynomets olika komplexa nollställen så ges lösningen till motsvarande differentialekvation av

där P_j(x) är ett godtyckligt polynom av grad mindre än k_j.

Kjell Elfström

Svar:

Man får att x^y = 99999999/1234567,89. För att bestämma en av x och y så måste den andra vara känd.

Kjell Elfström

Svar:

Om storheten från början är a och ökningen är p% så är storheten efter ökningen b = a + (p/100)a = (1 + p/100)a. Handlar det om en minskning med p% blir b = a − (p/100)a = (1 − p/100)a. Tänker man på minskningar som negativa ökningar så räcker den första formeln. Om både a och b är kända och man vill beräkna p så kan man lösa ut p ur formeln och få 1 + p/100 = b/a ⇔ p = 100(b/a − 1).

Kjell Elfström

Svar:

Det svenska namnet är predikatlogik och på engelska används ofta termen first-order logic. Du kan själv söka dig fram till någon lämplig sida med hjälp av dessa sökord.

Kjell Elfström

Svar:

Hur man beräknar närmevärden till irrationella tal varierar ofta mycket beroende på vilka tal det är. När det gäller att beräkna kvadratrötter, vilket är det besvärliga i beräkningen av φ, så kan man med fördel använda Newton-Raphsons metod. Söker du efter denna från vår söksida finner du den beskriven och exemplifierad. På sidan Pi - Wikipedia finner du några metoder att beräkna π. Talet e kan beräknas med hjälp av Taylors formel genom

För små värden på x behöver man bara taga med några få termer i summan medan antalet termer blir större för större x. För formler som dessa krävs det att man kan uppskatta felet man begår när man avslutar beräkningsprocessen och för detta får jag be att hänvisa till läroböcker i envariabelanalys. Newton-Raphsons metod och Taylors formel brukar utredas ganska grundligt i dessa.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, i den meningen att det finns ”grammatiska” regler som styr hur språkelement kan sättas samman till nya språkelement. Det är den syntaktiska delen. Den semantiska delen av matematiken handlar om vilka språkelement som skall anses vara sanna. Härvid utser man vissa språkelement som sanna grundelement och kallar dem för axiom. Förutom dessa krävs regler för hur man härleder nya sanna element utifrån axiomen och sådana element som man redan har härlett. Matematiken behöver egentligen inte handla om någonting utan kan leva sitt eget liv oberoende av tillämpningar.

De som säger att matematik är fysikens språk menar någonting annat. Då används matematiska utsagor för att beskriva en del av verkligheten.

Kjell Elfström

Svar:

Vad betyder pyramidens bas? Att det skulle vara basarean finner jag föga troligt. Om du preciserar frågan i stället för att bara upprepa den kan jag kanske svara. Jag antar att det är en pyramid med kvadratisk botten. Hur förhåller sig klotdiametern, pyramidhöjden och bottenkanten till varandra?

Kjell Elfström

Svar:

Jag menade att volymförhållandet är kuben på längdförhållandet för godtyckliga likformiga figurer, inte bara koner.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström