Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar april 2006

Svar:

Låt v_k, k = 1,2,…,n, vara punkternas ortsvektorer. Om s är kvadratsumman och (u|v) betecknar skalärprodukten mellan vektorerna u och v så är

Detta bevisar olikheten och visar att likhet gäller om och endast om ∑_j = 1ⁿ v_j = 0, vilket kan inträffa även då inte punkterna utgör hörn i en regelbunden polyeder.

Kjell Elfström

Svar:

De flesta integrander har primitiva funktioner som inte kan uttryckas med hjälp av elementära funktioner och för dessa finns inga metoder alls. Jag tror inte heller det är möjligt att ange någon algoritm med vilkens hjälp man klarar av alla de övriga integranderna. Man får nöja sig med de tips man brukar få i läroböcker i analys. Där brukar man ange generella metoder för rationella integrander och integrander som är rationella funktioner av cos x och sin x och några typer till.

Kjell Elfström

Svar:

Derivera. f ′(x) = 1 + tan²x, f ″(x) = 2 (tan x)(1 + tan²x) = 2 tan x + 2 tan³x, f ′′′(x) = 2(1 + tan²x) + 2⋅3 (tan²x)(1 + tan²x). Vi ser att f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ″(0) = 0 och f ′′′(0) = 2. Taylorpolynomet av ordning 3 är därför x + x³/3. Man brukar säga Taylorpolynomet av ordningen 3. Om f ′′′(0) = 0 har detta polynom ett lägre gradtal än 3.

Kjell Elfström

Svar:

Om d är avståndet mellan P = (x,√x) och Q = (3/2,0) så är d ² = (x − 3/2)² + (√x − 0)² = x² − 2x + 9/4 = (x − 1)² + 5/4. Vi ser att det minsta värdet av d ² är 5/4 och antages då x = 1. Det minsta värdet av d är därför (√5)/2 och antages då x = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Sekantens riktningskoefficient är (13 − 5)/(2 − 1) = 8. Tangenten i den punkt på kurvan med x-koordinat x har riktningskoefficienten y′ = 3x² + 2x − 2. Ekvationen 3x² + 2x − 2 = 8 har rötterna x = (±√31 − 1)/3, av vilka bara den största ligger i intervallet (1,2).

Kjell Elfström

Svar:

1. Derivatan då x = 1 är 1 − 2x = −1. Normalens riktningskoefficient är därför −(1/(−1)) = 1 och dess ekvation y − 0 = 1⋅(x − 1) ⇔ y = x − 1. I skärningspunkterna är y = x − x² och y = x − 1, vilket medför att x − x² = x − 1. Denna ekvation har rötterna x = ±1. Normalen skär alltså kurvan i de båda punkterna (1,0) och (−1,−2).

2. a) Om a < 0 så är f ′(x) = 3x² − a > 0 för alla x.

b) Om a > 0 så är f ′(x) = 3x² − a = 3(x + √(a/3))(x − √(a/3)) och man ser att derivatan är positiv i (−∞,−√(a/3)), negativ i (−√(a/3),√(a/3)) och positiv i (√(a/3),∞). Funktionen har alltså ett lokalt maximum i −√(a/3) och ett lokalt minimum i √(a/3).

Kjell Elfström

Svar:

Antag att de tre sektorvinklarna är 2α, 2β och 2γ, så att sin α = 1/(2r), sin β = 1/r och sin γ = 3/(2r). Eftersom α + β + γ = π/2 så är

Multiplikation av båda led med 2r² ger

Kvadrering, överflyttning av termer och division med 2r ger

Denna ekvation har två negativa rötter och en positiv, som är omkring 2,0565.

Kjell Elfström

Svar:

Kvadratkompletterar vi vänsterledet får vi

Överflyttning och division med a ger ekvationen

vilket visar påståendet.

Kjell Elfström

Svar:

Inversen kan bestämmas genom att man löser ekvationssystemet Ax = y för ett allmänt högerled y. Det gäller att Ax = y ⇔ x = A⁻¹y och man kan avläsa A⁻¹ som koefficientmatrisen för lösningen. Om A är matrisen

så skall vi lösa systemet

Lösningen ges av

och man kan avläsa att inversen A⁻¹ är

En förutsättning för att det skall finnas en invers är att ekvationssystemet har en entydig lösning för varje högerled y. Denna metod för att finna inversen fungerar för kvadratiska matriser av godtycklig ordning, inte bara 3×3-matriser. För att beräkna determinanten av en 3×3-matris kan man använda Sarrus regel. Determinanten av

är

Denna metod fungerar däremot bara för 3×3-matriser.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom linjen skall gå genom origo är dess ekvation y = ax för någon konstant a. Om punkterna är (x_k,y_k), k = 1,2,…,n, så är det kvadratsumman s(a) = ∑_k = 1ⁿ(y_k − ax_k)² som skall minimeras. Utvecklar vi kvadraterna får vi

Med A = ∑_k = 1ⁿ y_k², B = ∑_k = 1ⁿ x_ky_k och C = ∑_k = 1ⁿ x_k² blir

som är minimal då a = B/C.

Kjell Elfström

Svar:

Det vet jag inte utan att känna till mer om förutsättningarna för sågandet.

Kjell Elfström

Svar:

Du har rätt. Det kan inte finnas någon lösningskurva som går genom punkten (1,0) eftersom ekvationens vänsterled är 0 i den punkten medan högerledet är 1.

Kjell Elfström

Svar:

Om den röda kulan visar 1 finns det 21 blå kulor som ger en summa överstigande 80. Visar den 2 finns det 20 osv fram till och med att den visar 80, då det finns 100 blå kulor som ger en summa större än 80. Visar den 81 eller mer går det bra med vilken blå kula som helst. Antalet gynnsamma utfall är därför

enligt formeln för den aritmetiska summan. Antalet möjliga utfall är 100² = 10000. Sannolikheten blir 171/250.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på hur pyramidens höjd förhåller sig till bottenkantens längd. Det blir i alla fall π gånger en konstant.

Kjell Elfström

Svar:

En deciliter är 100 cm³. Om höjden är 6 och radien r så är volymen 6πr² = 100, vilket ger att r = √(50/(3π)). Då är omkretsen 2πr = 2π√(50/(3π)). Omkretsen och diametern skall rymmas inom 24 cm och det betyder att 2π√(50/(3π)) + 2√(50/(3π)) ≤ 24. Nu behöver du bara räkna ut talet till vänster i olikheten för att se om olikheten är uppfylld.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom 0⁰ är odefinierat så kan inte x = 0 komma i fråga. Man kan, om man vet vad en logaritm är, logaritmera båda led och lösa ekvationen på det sättet. Därför kan man visa att de enda lösningarna är x = 1 och x = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Talen i följden du har angivit kan skrivas 2ⁿ, n = 0,1,2,… eller 2^n − 1 om du vill börja numreringen på n = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Om man redan har härlett formeln för φ(n) för godtyckligt n så kan man naturligtvis bevisa multiplikativiteten så som du gör. Normalt visar man formeln för n = p^k, bevisar multiplikativiteten med hjälp av kinesiska restklassatsen och får sedan direkt formeln för godtyckligt n.

Funktioner med värden i C definierade för alla positiva heltal brukar kallas aritmetiska funktioner. En mängd sådana funktioner används inom talteorin, t ex Eulers φ, Möbius μ och von Mangoldts Λ. De betecknas ofta med grekiska bokstäver. En funktion som avbildar olika element i definitionsmängden på olika element i målmängden kallas injektiv. Om värdemängden är lika med målmängden kallas den för surjektiv. En funktion som är både injektiv och surjektiv kallas bijektiv. Observera att begreppet surjektiv kräver att en målmängd finns angiven.

Kjell Elfström

Svar:

Om bara ansatsen höjs med 3 meter men själva längdhoppsgropen är kvar i sitt ursprungliga läge är det väl klart att längdhopparen kommer att komma litet längre. Risken är dock ganska stor att han slår sig ordentligt i fallet. Om hela anläggningen höjs upp 3 meter är det för många faktorer som spelar in för att jag skall kunna ge ett trovärdigt svar. Prova att ställa frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

I en ekvation av formen a^x = b löser man ut x genom att logaritmera båda led och får då x ln a = ln b, vilket ger att x = (ln b)/(ln a). Om logaritmer läser man i gymnasiet. Ekvationen 3^x = 6 har t ex lösningen x = (ln 6)/(ln 3). Har du en räknare med en ln-knapp kan du åtminstone räkna ut ett ungefärligt värde på lösningen. Utom i undantagsfall kan man bara få ungefärliga lösningar till denna typ av ekvationer.

Kjell Elfström

Svar:

Om det fyrsiffriga talet är 1000a₃ + 100a₂ + 10a₁ + a₀ så skall det gälla att

Talen a₀,a₁,a₂ och a₃ är talets siffror. Det gäller att

och därför är a₃ antingen 1 eller 2. Om a₃ = 2 ser man enkelt att den enda möjligheten är att a₂ = a₁ = 0 och a₀ = 1. Om a₃ = 1 så är

Om a₂ är mindre än 9 kan vänsterledet inte komma upp i 1003. Därför är a₂ = 9 och 11a₁ + 2a₀ = 1003 − 101⋅9 = 94. Om a₁ är 6 eller mindre blir talet för litet. Om a₁ är 7 eller 9 blir talet udda, vilket det inte är. Enda möjligheten är att a₁ = 8 och då är a₀ = 3.

Kjell Elfström

Svar:

Det är en felskrift. Stryk de båda nämnarna 2ab i det sista uttrycket på den raden. Författaren har förkortat a²b² mot ab i dessa nämnare och multiplicerat ihop de båda tvåorna med fyran och fått 16 men glömt att ta bort nämnarna. Du kan också läsa beviset hos Fråga Lund om matematik under Vanliga frågor.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på vilken nivå det handlar om. Det finns några projekt för avancerade gymnasister. Högstadiets matematiktävling och Skolornas matematiktävling (för gymnasister) har problemtexter publicerade. Du hittar fler länkar på Bengt’s Math Page.

Kjell Elfström

Svar:

Den första frågan besvarade jag den 25 april 2006 13.43.32. Man kan visa att

där φ = (1 + √5)/2. Eftersom φ⁻¹ ≈ 0,6 så är termen (−φ)⁻ⁿ näst intill försumbar. Löser vi olikheten φⁿ/√5 > 10000 får vi n > ln(10000√5)/(ln φ) ≈ 20,8. Beräknar vi F_n för n = 20 och för n = 21 med hjälp av den fullständiga formeln och utnyttjar att F_n är växande så finner vi att F₂₁ = 10946 är det första Fibonaccitalet som är större än 10000. Det kan man naturligtvis också komma fram till genom att direkt använda rekursionsformeln och utföra de 19 additionerna som krävs för att beräkna F₂₁.

Kjell Elfström

Svar:

Formeln kan enkelt visas med hjälp av induktion. För n = 1 lyder den F₁ = F₃ − 1, vilket är sant eftersom F₃ = 2. Antag att formeln gäller för alla n sådana att 1 ≤ n < N. Då gäller att

enligt induktionsantagandet, vilket visar att påståendet är sant för n = N.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan Math in Daily Life finns en del vardagliga användningsområden för matematiken. Du kan också söka efter ”matematik i vardagen” på internet. En hel del av de dokument du finner handlar om hur barn använder matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Multiplicera först båda leden med 100 för att bli av med nämnaren. Multiplikation med ett positivt tal bevarar olikheten. Då får man 10x − (5x + 1) > 100. Utveckla sedan vänsterledet. 5x − 1 > 100. Addera 1 till båda led. 5x > 101. Dividera båda led med 5. x > 101/5.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att den ena kateten är 16x och den andra 9x. Då ger Pythagoras sats att 80² = 16²x² + 9²x² = 337x². Vi får att x² = 80²/337 = 6400/337, varav x = √(6400/337). Nu behöver du bara beräkna 9x och 16x för att få kateternas längder.

Kjell Elfström

Svar:

Att tillväxten sker exponentiellt betyder att antalet är y(t) = Ce^gt, för några konstanter C och g. Att bakterierna fördubblas på 45 minuter betyder att Ce^45g = 2C, varav g = (ln 2)/45. Eftersom (y′(t))/(y(t)) = gCe^gt/(Ce^gt) = g är den relativa tillväxthastigheten g = (ln 2)/45 ≈ 0,015 = 1,5%.

30 minuter efter att det fanns 1000000 bakterier är y′ = 1000000ge^30g ≈ 24451 bakterier per minut.

Kjell Elfström

Svar:

X = 1 och X = 2 är inte lösningar eftersom det finns två kvadrater och inga resp. ett primtal i intervallet [0,X] för dessa värden på X. X = 3 är en lösning ty då finns det två kvadrater och två primtal i intervallet. X = 5 och X = 6 är lösningar (tre kvadrater och tre primtal). X = 9 och X = 10 är också lösningar (fyra kvadrater, fyra primtal).

Om π(x) är antalet primtal som inte överstiger x är det känt att π(x) > x/(ln x) då x ≥ 17. Antalet kvadrater i [0,x] är 1 + [√x]. För x sådana att x/(ln x) > 1 + √x kan det alltså inte finnas lika många primtal som kvadrater i [0,x]. Sätt f(x) = √x − (5/4) ln x. Då är f ′(x) = 1/(2√x) − 5/(4x) = (√x − 5/2)/(2x) > 0 då x > 25/4. Det medför att f är strängt växande då x ≥ 25/4 och vi får att f(x) > f(25/4) > 0 då x > 25/4. Detta ger att x/(ln x) ≥ (5/4)√x = √x + (1/4)√x > √x + 1 då x ≥ 17, vilket visar att det inte finns några lösningar x ≥ 17.

Kjell Elfström

Svar:

Stefan och Johan närmar sig varandra med hastigheten 8 km/h och därför tar det dem 1/4 timme att mötas. Under hela den tiden springer hunden med hastigheten 20 km/h och han har därför sprungit 20⋅(1/4) = 5 km.

Kjell Elfström

Svar:

Timvisaren står mitt emellan 5 och 6, vilket är 1/24 varv från 6, där minutvisaren befinner sig. (360/24)° = 15°.

Kjell Elfström

7-?-?
?-12-?  PS;skall före ställa en kvadrat!
5-?-?

Svar:

Kalla talet mellan sjuan och femman för x. Då är summan i den första kolonnen 12 + x. Eftersom summan av mittenraden skall vara 12 + x så måste talet till höger om 12 vara 0. Kalla talet längst ner till höger för y. Då är diagonalsumman 12 + x = 7 + 12 + y, varav y = x − 7. På samma sätt blir elementet längst upp till höger x − 5. Summan i den tredje kolonnen är x − 5 + x − 7. Eftersom denna summa skall vara x + 12 får vi att x = 24. Nu vet vi att de gemensamma summorna är 36 och kan fylla i 10 i mitten längst upp och 14 i mitten längst ner.

Kjell Elfström

Svar:

Med liggande stolen. Alternativt kan man tänka att 5/8 är 1000 gånger så litet som 5000/8. Utför man divisionen så får man 5000/8 = 625 och det betyder att 5/8 = 0,625.

Kjell Elfström

Svar:

a⁰ = 1 för alla tal a ≠ 0.

Kjell Elfström

Svar:

De ortogonala funktionerna tas ofta fram som egenfunktioner till differentialoperatorer. T ex är e^inx en egenfunktion till differentialoperatorn D. Att använda sådana funktioner motsvarar, när de spänner upp rummet, diagonalisering i Rⁿ.

Kjell Elfström

Svar:

Volymförhållandet är kuben av längdförhållandet så den stora konens volym är 8 gånger så stor som den lillas. Att visa det stringent skulle föra för långt. Idén är att detta trivialt gäller för kroppar som är kuber. Volymen av en kropp kan definieras genom att man fyller ut kroppen med små kuber och låter dem bli mindre och mindre men fler och fler. Volymen kan då, om kroppen är tillräckligt regulär, fås som gränsvärdet av kubernas volymsumma.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att det skall stå x⁴ − 2x² − 8 = 0. Ekvationen som är en fjärdegradsekvation kan på grund av frånvaron av x³- och x-termer betraktas som en andragradsekvation. Sätt t = x². Då övergår ekvationen i t ² − 2t − 8 = 0, som är en vanlig andragradsekvation. Den kan säkerligen både du och dina vänner lösa. Den har lösningarna t = 4 och t = −2. Sedan återstår det att lösa ekvationerna x² = 4 och x² = −2. Den första ekvationen har lösningarna x = ±2 och den andra x = ±(√2)i. De enda reella lösningarna är x = ±2. Har du inte läst om komplexa tal så kan du bortse från de båda övriga lösningarna.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte varför påståendet att Eulers fi-funktions är multiplikativ skulle vara självklart. Du säger att man skriver φ(mn) som en produkt, men det har väl betydelse vilken produkt det är? Det skall ju gälla att φ(mn) = φ(m)φ(n) om (m,n) = 1. Det är klart att om x inte är delbar med m och y inte med n så är inte xy delbar med mn. Men x₁y₁ och x₂y₂ kan ju ge samma restklass modulo mn utan att x₁ ≡ x₂ (mod m) och y₁ ≡ y₂ (mod n). Avbildningen (x,y) → xy är alltså ingen bijektion.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på hur många kulor du drar men jag antar att du drar två kulor och vill veta sannolikheten att båda är blå. Sannolikheten är antalet sätt att dra två blå kulor dividerad med antalet sätt att dra två kulor, vilka som helst. Man säger att sannolikheten är kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. Det finns 25 kulor. Den första kan dras på 25 sätt och den andra på 24 sätt eftersom vi inte kan dra den redan dragna kulan. Det ger oss 25⋅24 möjliga utfall. Om kulorna måste vara blå så kan den första dras på 7 sätt och den andra på 6 sätt. Antalet gynnsamma utfall blir 7⋅6 och sannolikheten blir (7⋅6)/(25⋅24) = 7/100.

Kjell Elfström

Svar:

För säkerhets skull hänvisar jag dig till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att ni använder liggande stolen eller någon annan liknande uppställning för att utföra division. I så fall tror jag att jag kan svara nej på frågan. Alla sådana uppställningar fungerar likadant.

Kjell Elfström

Svar:

Multiplicera båda led med ls så blir du av med nämnarna och får s(x + 200) = l(2x − 200). Multiplicera sedan in s och l i parenteserna. sx + 200s = 2lx − 200l. Flytta över x-termerna till den ena och konstanterna till den andra sidan om likhetstecknet. 2lx − sx = 200s + 200l. Bryt ut x ur uttrycket till vänster. (2l − s)x = 200s + 200l = 200(s + l). Dividera leden med koefficienten för x och du får lösningen x = 200(s + l)/(2l − s).

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten är som vanligt antalet gynnsamma utfall dividerat med det totala antalet utfall och det totala antalet utfall är 2¹⁰⁰. Så långt var det lätt. Att beräkna antalet gynnsamma utfall är litet svårare. Säg att vi kastar myntet n gånger. Markerar vi klave med 0 och krona med 1 så får vi en följd av n binära siffror (nollor och ettor). Vi frågar oss nu i hur många sådana följder det finns fler än fem likadana siffror i rad.

Beteckna med a_n antalet följder som har fler än fem likadana siffror i rad och slutar på en nolla. På grund av symmetri kommer också a_n att vara antalet följder som har fler än fem likadana siffror i rad och slutar på en etta. Det är klart att a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = 0. Antag att n ≥ 6. Alla följder som slutar på sex nollor har fler än fem lika siffror i följd och det finns 2^n − 6 sådana följder eftersom de n − 6 första siffrorna kan väljas godtyckligt. Om den näst sista siffran är en etta så måste den inledande följden om n − 1 siffror ha mer än fem lika siffror i följd för att hela följden skall ha det och det finns a_n − 1 sådana följder som slutar på en etta. Sedan har vi följderna som slutar på 100. Här måste den inledande följden om n − 2 siffror ha mer än fem lika siffror i följd och det finns a_n − 2 sådana. Sedan tar vi följderna som slutar på 1000, 10000 och 10000, som ger bidragen a_n − 3, a_n − 4 resp. a_n − 5. Detta ger oss rekursionsformeln

Utnyttjar man att a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = 0 så får man att a₆ = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2^6 − 6 = 1, att a₇ = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2^7 − 6 = 3 osv. Det är klart att man inte vill beräkna a₁₀₀ för hand men med hjälp av en dator fick jag att a₁₀₀ = 511383276428359177630841007992. Antalet gynnsamma utfall är 2a₁₀₀ eftersom följden kan sluta på en nolla såväl som på en etta. Sannolikheten blir därför

Kjell Elfström

Svar:

Uttrycket är ingen ekvation utan bara ett uttryck som skall förenklas. Jag måste erkänna att jag inte alls förstår dina lösningsförslag. 4x betyder 4 gånger x. Om x är t ex talet 5 så blir 4x = 20. Multiplikation binder starkare än addition så i uttrycket skall man först utföra multiplikationerna. Det gör att man kan tänka på 3, −4x, 2 och 7x som termer som skall adderas. Börja med att stuva om: 3 + 2 + 7x − 4x. Talen 3 och 2 kan nu adderas och vi får 5 + 7x − 4x. Ur deluttrycket 7x − 4x kan vi bryta ut x och få att hela uttrycket blir 5 + (7 − 4)x. Eftersom 7 − 4 = 3 så blir uttrycket 5 + 3x.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns bara fem rumsfyllande konvexa polyedrar. Du kan följa länkarna på sidan du refererar till ovan och avläsa deras volymer och areor. Om det gäller godtyckliga rumsfyllande polyedrar så vet jag inte. Alla är förmodligen inte kända.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt x = sin²t. Då är dx = 2 cos t sin t dt och integralen övergår i ∫₀^π/2 ((2 cos t sin t)/√(sin²t cos²t)) dt = ∫₀^π/2 2 dt = π.

Kjell Elfström

Svar:

Om det är 2^2k pjäser på en ruta så är det (2^2k)² = 2^2k + 1 pjäser på nästa. Det ger oss antalet 1 + ∑_k = 0⁶² 2^2k. Jag vet inte hur man beräknar denna summa på annat sätt än att faktiskt utföra additionen men bara den sista termen har omkring 10¹⁸ decimala siffror. Problemet är alltså i praktiken olösbart.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att brons längd är b och att ynglingens hastighet är x. Då tar det ynglingen tiden t = b/(3x) att nå fram till broänden närmast tåget och då har tåget nått till samma punkt. Den sammanlagda tiden det tar för tåget att nå den andra broänden är t + b/60 = b/(3x) + b/60. Ynglingen når den andra änden efter tiden 2b/(3x) och därför är b/(3x) + b/60 = 2b/(3x). Här kan vi dividera bort b och få ekvationen 1/(3x) + 1/60 = 2/(3x), som har lösningen x = 20.

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att multiplicera båda leden med 5 så får du 15x − (2x + 2) = 5, vilket kan skrivas som 13x − 2 = 5. Flytta sedan över tvåan och dividera med 13 så får du x = 7/13.

Kjell Elfström

Svar:

Inom en hundraårsperiod från din födelse inträffar annandag pingst den 4 juni följande år: 1990, 2001, 2063, 2074, 2085. Beräkningen gjorde jag med följande program som baseras på Knuths påskprogram. Annandag pingst inträffar 50 dagar efter påskdagen.

 
#include <stdio.h>
int easter(int year)
{
  int g, c, x, z, d, e, n;
  g = year % 19 + 1;
  c = year / 100 + 1;
  x = (3 * c) / 4 - 12;
  z = (8 * c + 5) / 25 - 5;
  d = (5 * year) / 4 - x - 10;
  e = (11 * g + 20 + z - x) % 30;
  e += (e == 24) || ((e == 25) && (g > 11));
  if ((n = 44 - e) < 21) n += 30;
    n += 7 - (d + n) % 7;
  return n; /* Om n > 31 kommer påskdagen i april */
}

int main()
{
  int i;
  for (i = 1990; i < 2090; i++)
    if(easter(i) + 50 - 31 - 30 - 31 == 4)
      printf("%d\n",i);
}

Kjell Elfström

Svar:

Antag att cirkeldiametern är d. Rektangelns tyngdpunkt befinner sig i cirkeln medelpunkt, varför cirkeldiametern utgör diagonal i den inskrivna rektangeln. Om rektangelsidorna är x och y så ger Pythagoras sats att y² = d ² − x² och om A är rektangelarean så är A² = (xy)² = x²(d ² − x²) = −(x² − d ²/2)² + d ⁴/4. A² är alltså mindre än eller lika med d ⁴/4 med likhet bara då x² = d ²/2. Detta visar att den maximala arean är d ²/2 och då är x² = d ²/2 och därför är också y² = d ²/2. Rektangeln med maximal area är alltså en kvadrat.

Kjell Elfström

Svar:

Uttrycket f(x) är kvoten mellan täljaren t(x) = x²(y(x) + 1) och nämnaren n(x) = y(x) − 1. Enligt produktregeln är t′(x) = 2x(y + 1) + x²y′ och det gäller att n′(x) = y′. Enligt kvotregeln är därför

Det verkar som om det är ett teckenfel i den formel du anger men annars ser den riktig ut.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan 3x² + 2ax + b skall vara noll då x = −1 och då x = 3. Detta ger att 3 − 2a + b = 0 och 27 + 6a + b = 0. Lös ut a och b ur detta ekvationssystem.

Kjell Elfström

Svar:

När något avbildas i skala a:b är bilden a/b gånger så stor som originalet. I ditt fall skall bilden av linjalen vara 1/8 gånger så stor, eller 8 gånger så liten som linjalen. Eftersom linjalen i verkligheten är 30 cm skall bilden vara 30/8 = 3,75 cm. Avstånden mellan centimeterstrecken skall vara 1/8 = 0,125 cm på bilden.

Kjell Elfström

Svar:

Femtegradsekvationen

är ett sådant exempel som du söker. Att förklara det för en som bara har kunskaper på ettbetygsnivå i matematik skulle bli för omfattande. Området, som kallas Galoisteori, brukar behandlas i böcker om abstrakt algebra. Man kan t ex ta vilken femtegradsekvation p(x) = 0 som helst som är sådan att p(x) är irreducibelt och har tre olika reella och två icke-reella nollställen. Att p(x) är irreducibelt betyder att p(x) inte kan skrivas som produkten av två icke-konstanta polynom med rationella koefficienter. Eisensteins kriterium säger att om ett primtal p delar alla koefficienter a₀,a₁,…,a_n − 1 utom högstagradskoefficienten i polynomet p(x) = a_nxⁿ + a_n − 1x^n − 1 + ^… + a₁x + a₀ och p² inte delar a₀, där a₀,…,a_n är heltal, så är p(x) irreducibelt. Polynomet p(x) = x⁵ − 2x⁴ + 2 i exemplet är därför irreducibelt. Man kan ju välja p = 2 i kriteriet. Att p(x) har tre olika reella nollställen och två icke-reella kan du själv visa med metoder från envariabelanalysen.

Kjell Elfström

Svar:

Drar man den andra ekvationen från den första så får man

Inför man w = y − z så ger detta att

Lös ut w ur denna ekvation och använd resultatet till att uttrycka z som en funktion av y. Sätt sedan in detta i någon av de ursprungliga ekvationerna så får du en differentialekvation i enbart y.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att ellipsens ekvation är x²/a² + y²/b² = 1 och att skärningslinjen är x = c. Löser man ut y får man att y = ±b√(1 − (x/a)²). Arean till höger om linjen x = c är därför

Sätter man x = at så får man att

enligt sats 5 i Några integraler under Vanliga frågor.

Kjell Elfström

Svar:

Följer man anvisningarna får man y₀(t) = 1, y₁(t) = 1 + 3∫₀^t x² dx = 1 + t³, y₂(t) = 1 + 3∫₀^t (x² + x⁵) dx = 1 + t³ + t⁶/2. Fortsätter man något steg till kan man nog gissa att

vilket sedan kan bevisas med induktion. Man ser att y_k(t) → e^t3 då k → ∞.

Man kan också lösa ekvationen direkt genom att derivera båda leden i ekvationen och få att

enligt integralkalkylens huvudsats. Denna lineära differentialekvation har lösningarna y(t) = Ce^t3. Sedan sätter man in y(t) i ekvationen för att bestämma C.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att det finns några genvägar. Övning ger färdighet.

Kjell Elfström

Svar:

Ställ frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Ställ frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

De båda uttrycken är inte lika. Att däremot

kan man konstatera genom direkt uträkning. Att gå från det vänstra till det högra uttrycket kallas för partialbråksuppdelning. Antag att p(x) och q(x) är två polynom och att gradtalet för p(x) är mindre än gradtalet för q(x). Då kan q(x) faktoriseras i faktorer av grad ett och två, där andragradsfaktorerna saknar reella nollställen. Samma faktor kan klart förekomma flera gånger och vi kan skriva

Här är alltså q_i(x) = a_ix + b_i eller q_i(x) = c_ix² + d_ix + e_i och i det senare fallet saknar q_i(x) reella nollställen. Låt g_i vara gradtalet av (q_i(x))^n_i, som alltså är n_i i det första och 2n_i i det andra fallet. Då säger satsen om partialbråksuppdelning att det finns polynom p_i(x) av grad mindre än g_i, sådana att

Sätt q₁(n) = 4n + 2 och q₂(n) = 4n − 2. Då är 1/((4n + 2)(4n − 2)) = p(n)/q(n), där p(n) = 1 och q(n) = (4n + 2)(4n − 2) = q₁(n)q₂(n). Polynomen p₁(n) och p₂(n) som nämns i satsen är här av grad mindre än 1 och är därför konstanter A₁ och A₂. Satsen säger därför att det finns konstanter A₁ och A₂ sådana att

Det gäller då att bestämma dem. Vi multiplicerar ekvationens båda led med vänsterledets nämnare och får

Eftersom de båda ytterpolynomen är lika för alla n så måste deras koefficienter vara lika och vi får att 1 = 2(A₂ − A₁) och 0 = 4(A₁ + A₂). Löser vi detta ekvationssystem får vi att A₁ = −1/4 och A₂ = 1/4 och har kommit fram till (den av mig korrigerade) formeln.

Kjell Elfström

Svar:

De båda volymerna förhåller sig på grund av likformighet som kuberna på längderna. Om den sökta volymen är x så är därför x/393,4 = 4³/(11,5)³. Lös nu ut x.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan Mathematics and architecture finns något om hur matematik använts i arkitekturen med tonvikt på estetik.

Kjell Elfström

Svar:

Kastar man myntet n gånger och får krona k gånger så blir balansen k − (n − k) = 2k − n. Balansen bör inte ligga på 0 efter n kast. Om n är udda så kan inte ens balansen vara 0. Gör man däremot ett stort antal kastserier med n kast i varje serie så är det troligt att medelvärdet av alla balanserna hamnar ganska nära väntevärdet 0. Sannolikheten att få k kronor i en kastserie med n kast är (ⁿ_k)(1/2)ⁿ. Då n = 2m är jämnt är sannolikheten att få balansen 0 därför (^2m_m)(1/2)^2m och detta tal är inte särskilt stort. Det är naturligtvis mer sannolikt att inte få balansen 0. Av alla de möjliga balanserna är dock 0 den som har störst sannolikhet. Om n är udda är balanserna 1 och −1 lika sannolika och dessa balanser är mer sannolika än någon annan enskild balans. Om n är jämnt och man har möjlighet att satsa pengar på händelserna ”att få balansen 0” och ”att inte få balansen 0” skall man därför välja det senare. Om man däremot måste satsa på en viss balans skall man välja 0.

Så till din egentliga fråga. Om balansen efter ett visst antal kast är y så är den vanligast förekommande totalbalansen n kast senare också y om n är ett jämnt tal. De sista n kasten i serien ger ju den vanligaste balansen 0 och hela seriens balans får vi genom att addera y till delbalansen. Utför vi ett stort antal kastserier med m + n kast som är sådana att balansen efter de m första kasten är y så hamnar den genomsnittliga totalbalansen för dessa kastserier i närheten av y. De serier vi beräknar medelvärdet på hör ju till en speciellt utvald skara. Det är inte mer märkligt än att medellängden av alla svenskar som är minst 2 meter långa rimligen är större än medellängden av alla svenskar.

Kjell Elfström

Svar:

I de flesta nybörjarböcker i envariabelanalys brukar man på ett eller annat sätt visa att a^1/2 = √a om a är ett positivt tal. Hur det gör beror dock på hur man definierar a^1/2. Ibland definierar man potensen x = a^p/q, där p och q är positiva heltal, som den positiva lösningen till ekvationen x^q = a^p och i så fall är ju saken klar. Med p = 1 och q = 2 så får man att (a^1/2)² = a och därför att a^1/2 = √a. Att genomföra definitionen på detta sätt kräver dock en hel del arbete och eftertanke medan själva beviset för ditt påstående blir enkelt att genomföra. Man kan också definiera ln x genom ln x = ∫₁^x dt/t och med hjälp av satser från integrationsteorin visa att ln x är strängt växande och därför har en invers som vi kallar exp. Det gäller alltså att y = ln x om och endast om x = exp y då x > 0 och y ∈ R. Man kan sedan definiera a^x = exp(x ln a). Man visar sedan utifrån definitionen logaritm- och potenslagar, bland andra en som som säger att exp(x + y) = exp(x)exp(y). Man får sedan att (a^1/2)² = (exp((1/2)ln a))² = exp(2(1/2)ln a) = exp(ln a) = a. Här blir definitionen ganska enkel, när man lärt sig teorin för integraler, medan beviset blir aningen mer komplicerat. De båda definitionerna av a^x ger naturligtvis samma resultat.

Kjell Elfström

Svar:

Clay Mathematics Institute har en enkel beskrivning på sidan Poincaré Conjecture. Förmodandet säger att en enkelt sammanhängande sluten 3-mångfald måste vara väsentligen en 3-sfär. Två topologiska rum är väsentligen samma sak, homeomorfa, om det finns en bijektion f mellan dem som är sådan att både f och f⁻¹ är kontinuerliga.

Kjell Elfström

Svar:

Kvadratkomplettering ger att f(x) = x² + 6x + a = (x + 3)² + a − 9. Ekvationen f(x) = 0 är därför ekvivalent med (x + 3)² = 9 − a. Om högerledet är positivt har ekvationen två olika reella rötter, om det är negativt finns två olika icke-reella rötter. Det är bara då högerledet är noll, dvs då a = 9, som ekvationen har en dubbelrot och den är då lika med −3. Man kan också lösa problemet genom att derivera. Att x är (minst) en dubbelrot betyder att f(x) = f ′(x) = 0. Eftersom f ′(x) = 2x + 6 så är den enda möjliga dubbelroten lika med x = −3. Insättning av x = −3 i ekvationen f(x) = 0 ger att (−3)² − 6⋅3 + a = 0, vilket ger att a = 9.

Kjell Elfström

[-1  0    D       0         [y1     [0
 0  -1    0       D       *  y2  =   0
 D     a1*D+a2  a3*D+a4      y3      0
 0   D a5*D+a6  a7*D+a8 ]    y4]     0]   , där D=d/dz

[D-B1  0    0       0       [g1     [0
 0    D-B2  0       0     *  g2  =   0
 0     0    D-B3    0        g3      0
 0     0    0      D-B4 ]    g4]     0]    

Svar:

Har jag rätt om jag gissar att elementet i rad 3 kolonn 2 skall vara en nolla? För att lösa detta system av differentialekvationer skulle jag först lösa ut y′_k, k = 1,2,3,4, som funktioner av y_i, i = 1,2,3,4. Det handlar alltså bara om att lösa ett lineärt ekvationssystem, inte att lösa differentialekvationer. Man får då

Kalla högerledets koefficientmatris för B och bestäm egenvärdena b_k, k = 1,2,3,4, till B genom att lösa ekvationen det(B − bE) = 0. Om det finns en bas av egenvektorer till B, vilket det finns om t ex alla egenvärdena är olika eller B är en symmetrisk matris, så gäller det att Ψ⁻¹BΨ = D är diagonalmatrisen vars diagonalelement är egenvärdena och Ψ är matrisen vars kolonner utgörs av egenvektorerna. Eftersom Ψ är inverterbar så är systemet Ψg = y entydigt lösbart för varje y och det gäller att y′ = (ψg)′ = Ψ(g′). Vi får att By = y′ ⇔ BΨg = Ψg′ ⇔ g′ = Ψ⁻¹BΨg = Dg, vilket är ekvivalent med det andra systemet i din fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Om man använder ordet rest i dess matematiska betydelse så kan fler rester förekomma. Man utför en division av a med b när man finner en kvot q och en rest r sådana att a = qb + r. Eftersom 10 = 2⋅3 + 4 så är 4 en möjlig rest vid division av 10 med 3. Men 10 = 3⋅3 + 1 så 1 är också en rest och resten 1 uppfyller att 0 ≤ 1 < 3. Den sats du vill få bevisad kallas divisionsalgoritmen och säger att om a ≥ 0 och b > 0 så finns det tal q och r sådana att

Påståendet kan bevisas med induktion över a. Om a = 0 kan vi välja q = 0 och r = 0. Antag att påståendet är sant för alla a sådana att 0 ≤ a < A. Vi skall då visa att det är sant även då a = A. Om b > A så duger q = 0 och r = A. Om 0 < b ≤ A sätter vi a = A − b. Då är 0 ≤ a < A och enligt induktionsantagandet finns q′ och r sådana att a = A − b = q′b + r och 0 ≤ r < b och vi får att A = qb + r, där q = q′ + 1.

Idén bakom beviset är division genom successiv subtraktion: Om b > a blir kvoten noll och resten r = a < b. Om b ≤ a så kan vi dra b från a. Om vi sedan har mindre än b kvar är vi klara. Annars drar ifrån ett b till och fortsätter på det sättet tills vi fått mindre än b kvar.

Kjell Elfström

Svar:

Välj ut en viss enhet. Denna kan kopplas ihop med 25 olika enheter. När det är gjort skall de återstående 24 enheterna paras ihop. Gör likadant igen, välj ut en fix enhet. Den kan kopplas ihop med 23 olika enheter. Fortsätt på det sättet. Antalet möjliga kopplingar blir 25⋅23⋅21⋅⋅⋅3⋅1 = 26!/(2¹³13!).

Kjell Elfström

Svar:

Det är en bra idé tycker jag men klassificeringen skulle behöva drivas längre med tanke på att det är över 10000 frågor i databasen. Själv börjar jag uppleva sökfunktionen som något långsam. Detta är dock saker som får vänta eftersom jag har ont om tid att göra något utvecklingsarbete för närvarande.

Kjell Elfström

Svar:

Ett dynamiskt system är en en mångfald M tillsammans med en tidsdomän T och för varje t ∈ T en diffeomorfism f ^t på M. Ofta är M = Rⁿ och T mängden av alla reella tal, mängden av positiva reella tal, eller mängden av naturliga tal. I det senare fallet kallas systemet diskret, i de tidigare kontinuerligt. Ett exempel på dynamiskt kontinuerligt system får man med M = R, T = R och f ^t(x) = xe^t. Här är y(t) = f ^t den allmänna lösningen till en differentialekvation y′ = y och det är ofta i form av differentialekvationer eller system av sådana som kontinuerliga dynamiska system anges. Man kan tänka på ett dynamiskt system som en uppsättning punkter vilkas lägen beror på tiden t på ett bestämt sätt. I exemplet anger f ^t värdet av en storhet som tillväxer exponentiellt och har värdet x vid tiden t = 0. Som ett exempel på ett diskret dynamiskt system kan man ta bankränta. Här är kapitalet år n lika med xrⁿ. f ⁿ avbildar här begynnelsekapitalet x på ett nytt kapital f ⁿ(x) = xrⁿ och i detta fall är tidsdomänen T = N, dvs bara hela icke-negativa tidpunkter n är tillåtna. Diskreta dynamiska system anges ofta i form av differensekvationer och en differensekvation som motsvarar bankräntan är f ^n + 1 = rf ⁿ. Vanligt förekommande beskrivningar av fraktaler hör till området dynamiska system.

Kurser i dynamiska system brukar ges vid Lunds tekniska högskola.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att derivatan av ln|f(x)| är lika med f ′(x)/f(x) och därför att ∫ (f ′(x)/f(x)) dx = ln|f(x)| + C. Tillämpat på f(x) = cos x ger detta att ∫ tan x dx = −∫ (f ′(x)/f(x)) dx = −ln|cos x| + C.

Kjell Elfström

Svar:

Någon generell metod för att lösa denna typ av ekvationer finns inte. Siffrorna verkar i denna uppgift vara anpassade så att man skall ”se” lösningen. Funktionerna är lika för x = 0 och för x = π/4. För att visa att det inte finns några skärningspunkter mellan 0 och π/4 kan man derivera skillnaden f(x) = tan x − 4x/π. Derivatan är f ′(x) = 1/cos²x − 4/π och f ′(x) = 0 ⇔ cos x = ±√(π/4). Derivatan har alltså högst ett nollställe i [0,π/4] så f kan inte ha några nollställen i (0,π/4).

Kjell Elfström

Svar:

Om P₁ har koordinaterna (x₁,y₁) och P₂ har koordinaterna (x₂,y₂) så är avståndet mellan P₁ och P₂ lika med √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). För att se det inför vi punkten Q med koordinaterna (x₂,y₁). Triangeln P₁QP₂ är då rätvinklig vid Q och formeln följer med hjälp av Pythagoras sats. Formeln kallas ibland för avståndsformeln även om detta namn används också i andra sammanhang.

Kjell Elfström

Svar:

Kastar man 25%-tärningen två gånger är sannolikheten att man bommar båda gångerna (3/4)² = 9/16. Sannolikheten för minst en träff är därför 1 − 9/16 = 7/16. Sannolikheten att man träffar båda gångerna är (1/4)² = 1/16 så sannolikheten för precis en träff är 7/16 − 1/16 = 3/8.

Kjell Elfström

Svar:

Nej i båda fallen. Tag en vanlig polygon i ett plan. Du kan alltid kröka planet inuti polygonen så att polygonen fortfarande ligger på en plan yta. Det innebär att polygonen fortsätter att vara en geodetisk polygon med samma sidor och vinklar som tidigare men att arean förändras.

Kjell Elfström

Svar:

Normalt är det skillnad mellan stora och små bokstäver i matematiken men jag tror att stora och lilla y står för samma sak i denna uppgift. Jag ersätter därför alla stora bokstäver med små. Ekvationerna kan då skrivas 2x + 5y = 15 och 3 − 2x = 6y. Adderar vi de båda vänsterleden till varandra och högerleden till varandra får vi en ny ekvation 5y + 3 = 15 + 6y och vi får att y = −12. Insatt i någon av de ursprungliga ekvationerna ger det att x = 75/2.

Kjell Elfström

Svar:

I varje position kan tecknet väljas på 16 sätt. Det blir 16⁶ = 16777216 teckenkombinationer.

Kjell Elfström

Svar:

Om den kortare kateten är x så är den längre x + 4 och Pythagoras sats ger att x² + (x + 4)² = 20². Utvecklar man detta så får man 2x² + 8x = 384. Lös nu denna andragradsekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Fixera en punkt på cirkeln och låt T(s) vara temperaturen i den punkt som ligger på avståndet s från den fixa punkten när vi rör oss i en bestämd riktning utefter cirkeln. Låt p vara cirkelns omkrets. Då gäller det att T(s + p) = T(s). Temperaturskillnaden mellan de diametralt motsatta punkterna s och s + p/2 är f(s) = T(s + p/2) − T(s) och det gäller att f(p/2) = T(p) − T(p/2) = T(0) − T(p/2) = −f(0). Om T beror kontinuerligt på s så är också f kontinuerlig. Om f(0) = 0 är saken klar. Annars har f(0) och f(p/2) har olika tecken och satsen om mellanliggande värden ger att det finns en punkt s mellan 0 och p/2 sådan att f(s) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Om y är antalet fiskar i slutet av ett år så är antalet i slutet av nästa år 1,45y − 400. Från början finns det y₀ = 1000. I slutet av år 1 är antalet y₁ = 1,45⋅y₀ − 400. I slutet av år 2 är det y₂ = 1,45y₁ − 400 = (1,45)²y₀ − 1,45⋅400 − 400. Fortsätter man på det sättet så inser man att

enligt formeln för den geometriska summan. Att antalet överstiger 2000 betyder att

Kjell Elfström

Svar:

Antag att antalet barn var n. Då väger barnen som fanns innan nykomlingen tillsammans 20n kg. Den sammanlagda vikten efter att det nya barnet kommit är 20n + 28 och medelvärdet är 20,4 = (20n + 28)/(n + 1). Löser man denna ekvation får man n = 19.

Kjell Elfström

Svar:

Det heter derivata. Låt f vara en funktion. Ekvationen y = f(x) definierar då en kurva i xy-planet. Om funktionen är tillräckligt ”hygglig” finns det till varje punkt (x,f(x)) på kurvan en tangentlinje. Riktningskoefficienten för denna tangentlinje är derivatan av f i punkten x och betecknas med f ′(x). Antag t ex att f(x) = x². Då är, kan man visa, f ′(x) = 2x. Punkten (3,9) ligger på kurvan och i denna punkt har tangentlinjen riktningskoefficienten f ′(3) = 6.

Om funktionen är positiv i intervallet [a,b] begränsar kurvan, x-axeln och de båda linjerna x = a och x = b ett område. Om funktionen är tillräckligt hygglig så är arean av detta område integralen av f(x) från a till b och denna betecknas med ∫_a^b f(x) dx. Om derivator och integraler lär man sig i gymnasiet, kurs D.

Kjell Elfström

Svar:

Det är klart att uttrycket skall ha formen π(r + a)² − b = πr² + 2πar + πa² − b och då skall πa = x. Man får π(r + x/π)² − x²/π.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan ställdes den 2 mars 2006 18.17.08 och jag fick inte intrycket av att den handlade om poker. Om korten är a = 7 och b = 10 så är σ = a + b = 17. Eftersom σ ≥ 15 så skall du inte använda formeln som du anger i denna fråga utan

Denna formel kan användas då korten har olika valör och deras summa σ är minst 15. Har korten olika valör och summan är mindre än 15 skall du använda den andra formeln. Är korten 2 och 3 så är σ = 5 och sannolikheten blir

[x] är det största heltal som är mindre än eller lika med x. T ex är [17/2] = 8 och [26/2] = 13. Fallet med två kort av samma valör avstod jag från att behandla.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen är golvarean gånger höjden, alltså 269,5 m³ och 1 m³ är 1000 liter.

Kjell Elfström

Svar:

Tanken är kanske att man skall skriva funktionen som en funktion sammansatt av enkla elementära funktioner.

y = 1 − y₁,
y₁ = 3y₂,
y₂ = √y₃,
y₃ = x + 1

är en möjlig uppdelning.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns egentligen inte tillräcklig information för att svara på detta. Jag antog att en normal människa väger 80 kg och har ben med tvärsnittsarean 8 cm² och då skulle den människan kunna bli 10 gånger så lång. Hur lång hon kan bli beror på hur lång hon var före förstoringen.

Kjell Elfström

Svar:

Tack för tillägget.

Kjell Elfström

Svar:

Problemet med vissa statistiska mått är att det förekommer motstridiga definitioner. Med de definitioner av variationsbredd och kvartilavstånd som finns i dokumentet dataanalys.pdf kan kvartilavståndet och variationsbredden vara lika, vilket de är i ditt exempel. Kvartilavståndet kan aldrig överstiga variationsbredden och likhet kan bara gälla om alla data är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Nej. Tag ett irrationellt tal x. Då är {x} en sluten mängd och därför är R\{x} en öppen mängd som innehåller alla rationella tal. Däremot måste en sluten delmängd A av R som innehåller Q vara hela R. Detta är innebörden av att Q är en tät delmängd av R. Antag nämligen att något tal x inte tillhör A. Då ligger x i komplementet A′ som är en öppen mängd. Ett öppet intervall som innehåller x måste då vara innehållet i A′ och det är omöjligt eftersom det finns rationella tal godtyckligt nära x.

Kjell Elfström

Svar:

Om det handlar om att skatta det genomsnittliga antalet pokerhänder med ett par så spelar det ingen roll om man blandar mellan de tio händerna eller låter bli. Låt p vara sannolikheten att få ett par. Antag att man blandar leken och delar ut tio pokerhänder, samlar ihop korten, blandar och delar ut tio händer och fortsätter på det sättet ett stort antal gånger, säg 1000 gånger. Då finns 1000 förstahänder och 1000p av dessa bör uppvisa ett par. Det finns också 1000 andrahänder och även 1000p av dessa bör uppvisa ett par. Man kan resonera på samma sätt för de åtta återstående händerna och får 10⋅1000p = 10000p par i genomsnitt. Blandar man i stället mellan varje hand så skall man blanda och dela ut en hand 10000 gånger och då får man också 10000p par i genomsnitt.

Om det i stället handlar om t ex i hur många av utdelningarna man får 10 händer med par så bör väntevärdet påverkas av blandningen. Man kan jämföra med att man har en urna med en svart och en vit kula och upprepar försöket att välja två kulor ur urnan. Man får då i genomsnitt en svart kula varannan gång oberoende av om man lägger tillbaka kulan efter den första dragningen eller ej. Frågar man i stället i hur många av dubbeldragningarna man får två svarta kulor så blir det naturligtvis helt olika svar beroende på om man lägger tillbaka den första kulan eller ej. Lägger man inte tillbaka den första kulan kan man ju inte få två svarta kulor medan om man lägger tillbaka den så får man två svarta kulor i var fjärde dubbeldragning.

Kjell Elfström

Svar:

Du har skrivit fel. Den andra termen bör vara −10x³. Det blir samma sak om du dividerar direkt med x² − 5x + 4 som om du först dividerar med x − 1 och sedan med x − 4. I båda fallen blir det x² − 5x + 6. Risken för felräkning ökar kanske något om man räknar i två steg och det är nog det som har hänt dig.

Kjell Elfström

Svar:

Om λ är ett egenvärde till A så finns det en egenvektor e ≠ 0 sådan att Ae = λe. Därför är A²e = A(λe) = λ²e, vilket visar att λ² är ett egenvärde till A². Detta visar också att varje egenvektor till A är en egenvektor till A². Om A är diagonaliserbar så måste alltså också A² vara diagonaliserbar.

Eftersom det(A² − λE) = det((A − (√λ)E)(A + (√λ)E)) = det(A − (√λ)E)det(A + (√λ)E) så måste antingen √λ eller −√λ vara ett nollställe till den karakteristiska ekvationen för A om λ är ett egenvärde till A². Om √λ är reellt så är alltså antingen √λ eller −√λ egenvärde till A.

A² kan vara diagonaliserbar utan att A är det. Detta kan naturligtvis inträffa när A har icke-reella egenvärden men också då A har reella egenvärden för vilka den geometriska multipliciteten understiger den algebraiska. T ex har matrisen

bara egenvärdet 0. Egenvektorerna som hör till detta egenvärde är t(1,0), t ≠ 0 så det finns ingen bas av egenvektorer till A för R². Matrisen A² = 0 har också bara egenvärdet 0 men här är alla nollskilda vektorer i R² egenvektorer.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan du nämner finns fyra ekvivalenta påståenden för att en hermitesk matris är positivt definit, inte semidefinit, som du skriver. Cⁿ är rummet av alla n-tipler (z₁,…,z_n) av komplexa tal försett med skalärprodukten <z|w> = z₁w₁^* + ^… + z_nw_n^*, där * betecknar komplext konjugat. En hermitesk matris M har endast reella egenvärden och enligt spektralsatsen finns en ortogonal bas för Cⁿ av egenvektorer till M. Det betyder att det finns en unitär matris U sådan att U^*MU = D är en diagonalmatris med egenvärdena på huvuddiagonalen. En unitär matris U är en matris som uppfyller att U^*U = E.

Det gäller för varje w att

Om 1 på sidan Positive-definite matrix är uppfylld så är den vänstra olikheten ovan uppfylld för vektorn w med en etta i position k och nollor för övrigt och det visar att λ_k > 0. Eftersom k är godtyckligt betyder det att 2 är uppfylld. Om 2 är uppfylld så gäller den högra olikheten för alla w och väljer man w = U^*z så får man att z^*Mz > 0 för alla z, vilket betyder att 1 är uppfylld.

Att 1 och 3 är ekvivalenta följer direkt av definitionen av skalärprodukt. Se Inner product.

Vi visar nu att 1 medför 4. Antag att M är positivt definit och diagonalisera M, så att M = UDU^*, där U är unitär och D är en diagonalmatris med positiva element på huvuddiagonalen. Det gäller att det(M) = |det(U)|²det(D) > 0 eftersom det(U) ≠ 0 och det(D) > 0. Låt M_k vara den övre vänstra kvadratiska k×k-delmatrisen av M. Eftersom M är positivt definit så är z^*Mz > 0 för alla z = (z₁,…,z_k,0,…0) utom då w = (z₁,…,z_k) = (0,…,0). Detta ger att w^*M_kw > 0 för alla w ∈ C^k utom w = 0, vilket visar att M_k är positivt definit och därför är också det(M_k) > 0.

Innan vi går vidare och visar omvändningen behöver vi ett hjälpresultat.

Antag att M är icke-singulär, så att det(M) ≠ 0. Då är inte 0 ett egenvärde till M. Räknar vi egenvärdena med deras multiplicitet så finns det p positiva och m negativa där p + m = n. Vi låter V⁺ vara underrummet av Cⁿ som genereras av alla egenvektorer som hör till positiva egenvärden och V⁻ underrummet som genereras av egenvektorer hörande till negativa egenvärden. Enligt spektralsatsen finns det en ON-bas av egenvektorer. Det följer att Cⁿ är den direkta summan av V⁺ och V⁻. Det betyder att varje vektor v i Cⁿ entydigt kan skrivas v = v⁺ + v⁻ med v⁺ ∈ V⁺ och v⁻ ∈ V⁻. De basegenvektorer v₁,…,v_k som hör till positiva egenvärden utgör en bas för V⁺. Om v ∈ V⁺\{0} är v = ∑_j = 0^k z_jv_j och det följer att v^*Mv = ∑_j = 0^k |z_j|²|v_j|²λ_j > 0. På samma sätt är v^*Mv < 0 om v ∈ V⁻\{0}. Antag nu att W är ett underrum till Cⁿ och att w^*Mw > 0 för alla w ∈ W\{0}. Då är W ∩ V⁻ = {0} och det följer att dim(W) ≤ dim(V⁺) = p.

Vi visar nu med induktion över n att om M är en n×n-matris som är hermitesk och det(M_k) > 0, k = 1,2,…,n, så är M positivt definit. Då n = 1 är påståendet trivialt.

Låt n vara ett positivt heltal och antag att påståendet är bevisat för mindre heltal. Om det(M_k) > 0, k = 1,…,n − 1,n, så följer det av induktionsantagandet att M_n − 1 är positivt definit. Eftersom det(M) > 0 så är M icke-singulär. Sätt W = {z ∈ Cⁿ; z_n = 0}. Det gäller på grund av att M_n − 1 är positivt definit att w^*Mw > 0 då w ∈ W\{0}. Därför är n − 1 = dim(W) ≤ p enligt hjälpresultatet. Det följer att p = n eller p = n − 1. Det andra fallet kan inte inträffa, ty om M har precis ett egenvärde λ_n och de övriga är positiva så är det(M) = |det(U)|²λ₁λ₂^…λ_n < 0. Alltså är p = n och M är positivt definit.

Ekvivalenserna mellan de tre första påståendena är så gott som triviala när man känner till spektralsatsen. Ekvivalensen mellan det fjärde och övriga påståenden kallas Sylvesters kriterium och beviset för detta återfinns i många läroböcker i lineär algebra och matristeori.

Kjell Elfström

Svar:

Kedjebråksutvecklingen av √2 är 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(…)))). Vi beräknar några konvergenter: 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Nästa täljare måste vara större än 99. Det gäller att |99/70 − √2| är mindre än |p/q − √2| för varje annat rationellt tal p/q med q ≤ 70. Beräknar man √2 − 99/70 får man ungefär −0,000072152. Det gäller att √2 − 99/71 ≈ 0,019847365. Den senare skillnaden är positiv. Ökar man nämnaren mer får man en större positiv skillnad och minskar man täljaren blir skillnaden än större. Det visar att 99/70 är den bästa approximationen p/q med 1 < p < 100 och 1 < q < 100. Se Continued fractions and good approximations.

Kjell Elfström

Svar:

Drag x-axeln genom pyramidens topp vinkelrätt mot bottnen, som har arean B. Låt B(c) vara arean av snittet mellan pyramiden och planet x = c. Likformighet ger då att (x/h)² = B(x)/B och vi får att B(x) = Bx²/h². Volymen blir därför ∫₀^h (Bx²/h²) dx = ·[Bx³/(3h²)]₀^h = Bh/3. Härledningen fungerar inte bara för pyramider utan för alla typer av koner där basytan har en area.

Kjell Elfström

Svar:

En förutsättning förutom att g(x) ≠ 0 är naturligtvis att f och g är deriverbara i x. Vi bevisar först att om f är deriverbar i x så är f kontinuerlig i x. Det gäller att f(x + h) − f(x) = ((f(x + h) − f(x))/h)h → f ′(x)⋅0 = 0 då h → 0. Detta visar att f(y) → f(x) då y → x, vilket betyder att f är kontinuerlig i x. Bilda för ett fixt tal x funktionerna a(h) = f(x + h) − f(x) och b(h) = g(x + h) − g(x). Eftersom g är kontinuerlig i x så gäller det att g(x + h) → g(x) då h → 0. Eftersom f och g är deriverbara i x så gäller det att a(h)/h → f ′(x) då h → 0 och b(h)/h → g ′(x) då h → 0. Vi får att

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 februari 2002 21.36.53.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt fyrfärgsteoremet är till tillräckligt med fyra färger oberoende av hur gränserna mellan länderna går. Tre färger är inte tillräckligt för alla möjliga gränsdragningar. Den senare delen av detta påstående är trivial. Den första delen bevisades av Appel och Haken 1977, 124 år efter att problemet framlades av Guthrie. Se också Four-Color Theorem.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt z = x + iy. Då kan ekvationen skrivas e^x + iy = −e ⇔ e^xe^iy = e⋅e^πi. Identifierar vi beloppen får vi att e^x = e ⇔ x = 1. Identifierar vi argumenten får vi y = π + 2πn. Vi får att z = 1 + π(1 + 2n)i och |z|² = 1 + π²(1 + 2n)². På grund av |z|² < 25 och 1 + 2n > 0 så måste n = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Tangeringspunkten (x,y) skall ligga på båda kurvorna och funktionerna skall ha samma derivata i x. Det sista villkoret ger att 2ax = 1/x, varav x = 1/√(2a). Insatt i parabelns ekvation ger detta att y = a/(2a) = 1/2. Att punkten också ligger på logaritmkurvan innebär att ln(1/√(2a)) = 1/2 ⇔ 1/√(2a) = √e ⇔ a = 1/(2e).

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att något särskilt slags derivator avses. Du har kanske sett formuleringen i någon problemsamling: ”Compute the indicated derivatives”. En tänkbar översättning skulle kunna vara ”beräkna (nedan) angivna derivator”.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på vad som är känt om triangeln.

Kjell Elfström

Svar:

Det är inte sant. Väljer man H_k = −1/k och a_k = k(k − 1) så gäller det att H_k → H = 0 då k → ∞, a_k → ∞ då k → ∞ och

Kjell Elfström

Svar:

Du menar nog inte serien utan funktionsföljden. Eftersom sup|xⁿ| = 1 på intervallet [0,1) så kan inte xⁿ konvergera likformigt mot 0 på [0,1). Funktionen g behövs alltså. Låt ε > 0. Eftersom g är kontinuerlig och g(1) = 0 så finns ett tal δ > 0 sådant att |g(x)| < ε då 1 − δ < x ≤ 1. Det gäller också att g är begränsad på [0,1], |g(x)| ≤ B då 0 ≤ x ≤ 1. Då 0 ≤ x ≤ 1 − δ är |xⁿg(x)| ≤ B(1 − δ)ⁿ < ε om n > (ln(ε/B))/ln(1 − δ) och då 1 − δ < x ≤ 1 så är |xⁿg(x)| < 1⋅ε = ε för alla n.

Kjell Elfström

Svar:

Förklaringen kan finnas på sidan The Extra Square.

Kjell Elfström

Svar:

Om x är ett tal så är −x det tal som uppfyller x + (−x) = 0. Om nu y = −x så gäller därför att y + x = 0 och det visar att −y = x, dvs −(−x) = x.

För att visa att (−x)(−y) = xy utnyttjar vi att x(y + (−y)) = x⋅0 = 0 och får med hjälp av distributiva lagen att xy + x(−y) = 0. Det betyder enligt definitionen att x(−y) = −(xy). Tillämpat på −x och y ger detta att (−x)(−y) = −((−x)y) = −(−(xy)) = xy.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström