Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar mars 2006

Svar:

Jag förutsätter att man får placera vikter i mittenhålet och att de båda 50-gramsvikterna går att skilja från varandra. Om x₁, x₂, x₃ och x₄ är positionerna för 10-, 50-, 50- resp. 100-gramsvikten och om vi mäter i 10-gramsenheter så är villkoret för jämvikt

Här är −15 ≤ x_k ≤ 15. Inför vi y_k genom x_k = y_k − 15 så får vi

där 0 ≤ y_k ≤ 30. Antalet lösningar till denna ekvation är koefficienten för x³¹⁵ i utvecklingen av

Eftersom termer i den första summan som svarar mot k-värden som inte är delbara med 5 får vi samma koefficient för x³¹⁵ i utvecklingen av

Sätter vi t = x⁵ blir svaret lika med koefficienten för t⁶³ i utvecklingen av

Det är lätt att se att täljaren är lika med 1 − t⁷ − 2t³¹ + 2t³⁸ + t⁶⁴p(t), där p(t) är ett polynom. Partialbråksuppdelar vi får vi

Taylorutveckling ger att

och

Multiplicerar vi ihop finner vi efter litet räknande att den sökta koefficienten blir 3357.

Kjell Elfström

Svar:

Om formeln är rätt så bör väl jämvikt inträffa då k/A₀ = (A₁/A₀)√(2gh). Du har nog av misstag fått med ett t i din lösning. A₀ förkommer på båda sidor om likhetstecknet och kan tagas bort. Vi får, om vi löser ut roten att √(2gh) = k/A₁. Kvadrera nu båda led så får du 2gh = (k/A₁)² och du kan lösa ut h.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar inte som om vi har boken. Jag kommer heller aldrig att införa en sådan inskicksservice som du nämner. En anledning är säkerhetsrisken, en annan att jag vill fortsätta att publicera frågorna i så gott som oredigerat skick. Man kan skriva ”integralen från a till b av f(x)” eller något liknande.

Kjell Elfström

Svar:

Vinkeln mellan den första och den andra flygriktningen är 90°. Om den första sträckans längd är x så ger Pythagoras sats att x² + (2x)² = 350².

Kjell Elfström

Svar:

Den vanliga matrismultiplikationen uppfyller associativa lagen. Det gör att man kan skriva z = B(Ax) eller z = (BA)x, vilket man vill i det förra svaret. Tänker man sig att z beror direkt på x så blir alltså den avbildningens matris lika med BA. Betecknar vi din operation med * så gäller det att A*B = BA^t. Man får att (A*B)*C = C(A*B)^t = CAB^t och A*(B*C) = (B*C)A^t = CB^tA^t. En annan anledning till att den vanliga definitionen används är att i någon mening ser ekvationssystemet ut som motsvarande matrisekvation. Elementen y₁,…,y_p står ju lodrätt till höger om likhetstecknen.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom den tävlande väljer slumpmässigt den första gången är sannolikheten att han valde rätt då 1/3. Det betyder att sannolikheten att han valde fel är 2/3. Byter han dörr är därför sannolikheten 2/3 att det blir rätt den andra gången.

Kjell Elfström

Svar:

Definiera a_n genom a₁ = a₂ = 1 och a_n + 2 = a_n + 1 + a_n då n ≥ 1. Vi räknar modulo 5. Det gäller att a₁ = a₂ ≡ 1 (mod 5) och a_n + 2 ≡ a_n + 1 + a_n (mod 5) då n ≥ 1. Om a_n ≡ 0 (mod 5) så får vi att a_n + 2 ≡ 0 + a_n + 1 ≡ a_n + 1, a_n + 3 ≡ a_n + 1 + a_n + 2 ≡ 2a_n + 1, a_n + 4 ≡ a_n + 2 + a_n + 3 ≡ 3a_n + 1, a_n + 5 ≡ a_n + 3 + a_n + 4 ≡ 5a_n + 1 ≡ 0 (mod 5). Om ett element a_n är delbart med 5 så är alltså också elementet a_n + 5 delbart med 5.

Kjell Elfström

Svar:

Följden kommer inte att överensstämma med Fibonacciföljden från element 5. De första elementen i den följden är 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Du kanske menar att från och med det femte elementet så är varje element summan av sina två förgångare och det stämmer ju även för 9. Jag är böjd att tro att följden är felaktigt angiven i provbanken. Skall det inte vara 3,6,9,15,24,39,… i stället?

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att den geometriska serien ∑_n = 0^∞ aⁿ är konvergent om och endast |a| < 1. Därför är serien konvergent om och endast om |e^x| < 1 ⇔ x < 0.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att bussen startar 10 meter framför löparen. Bussens hastighet är vid tiden t lika med v = t m/s. För sträckan s den tillryggalagt gäller därför att s′ = t, vilket medför att s = t²/2 + C. Väljer vi löparens startposition som utgångspunkt så får vi att C = 10. Bussen befinner sig vid tiden t på avståndet t²/2 + 10 från löparens startposition. Löparen befinner sig på avståndet 6t från samma punkt. Lös nu ut t ur sambandet 6t = t²/2 + 6. Vid den minsta roten hinner löparen upp bussen och springer sedan om bussen. Vid den andra roten når bussen upp löparen.

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att lösa ekvationen allmänt. Lösningarna ges av y = C₁e^x + C₂e^2x. Du vet att y(0) = 1. Det ger att C₁ + C₂ = 1, varför C₂ = 1− C₁. Det gäller därför att y(x) = C₁e^x + (1 − C₁)e^2x. Det gäller att y′ = C₁e^x + 2(1 − C₁)e^2x. För att y skall ha ett maximivärde i 0 så måste y′(0) = C₁ + 2(1 − C₁) = 0 ⇔ C₁ = 2. Om y skall uppfylla villkoren så måste alltså y = 2e^x − e^2x. Eftersom y′ = 2e^x − 2e^2x = 2e^x(1 − e^x) så är y strängt växande i (−∞,0] och strängt avtagande i [0,∞), vilket visar att y verkligen antar sitt största värde då x = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Systemets enda kritiska punkt är (0,0). Att det andra högerledet är noll är ekvivalent med att e^x = e^y. Sätter vi det första högerledet lika med noll får vi alltså att 2e^x = 2, vilket är ekvivalent med att x = 0 och sedan får vi även y = 0.

Taylorutvecklar man e^x kring x = 0 får man e^x = 1 + x + x²e^θx/2, där θ är ett tal mellan 0 och 1. För små värden på x är därför e^x ≈ 1 + x.

Då (x,y) ligger nära den kritiska punkten (0,0) gäller det därför att e^x ≈ 1 + x och e^y ≈ 1 + y. Nära den kritiska punkten gäller det därför approximativt att

Detta lineära system har egenvärdena λ = ±√2. Låt e = (a,b) vara en egenvektor till ett av egenvärdena och antag att (x(t),y(t)) ligger på linjen (x,y) = se. Då är (x(t),y(t)) = se för något reellt tal s och systemets högerled är lika med λse = λ(x(t),y(t)). När (x(t),y(t)) ligger på denna linje gäller alltså att (x′(t),y′(t)) = λ(x(t),y(t)). En lösningskurva som skär linjen kommer alltså i skärningspunkten att ha en tangent som är parallell med linjen. De båda strålar som utgår från den karakteristiska punkten och följer linjen kommer också att vara lösningskurvor.

I detta fall är båda egenvärdena positiva och det betyder att (x′,y′) och (x,y) är riktade åt samma håll när (x,y) ligger på någon av de fyra lineära lösningsstrålarna. Den karakteristiska punkten är därför en källa. Se också Linear Systems of Differential Equations. Där är strålarna ritade med rött eller blått beroende på vilket av egenvärdena strålen hör till.

Kjell Elfström

Svar:

Det är summor i vilka termerna tar ut varandra som i följande exempel.

Eftersom termen kan skrivas 1/(k(k + 1)) ger detta oss formeln

Ett annat exempel är ∑_k = 1ⁿ (a_k − a_k − 1) = a_n − a₀ i 29 mars 2006 13.14.27.

Namnet kommer av likheten med gammaldags teleskop som bestod av rörsektioner som kunde skjutas in i varandra. Bara ändsektionerna syns när teleskopet är ihopskjutet.

Kjell Elfström

n
∑(i^2 + 2i)
i=1

Svar:

Sätt a_k = (k + 2)(k + 1)k och observera att a_k − a_k − 1 = (k + 2)(k + 1)k − (k + 1)k(k − 1) = (k + 2 − k + 1)k(k − 1) = 3k(k + 1). Det ger att

Eftersom den aritmetiska summan ∑_k = 1ⁿ k är lika med n(n + 1)/2 så blir summan i frågan lika med

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att någon enskild person kan få äran av att ha kommit på matematik. Matematik har vuxit fram gradvis. En viktig faktor i matematikens historia var handel och ägande av jord. Man behövde kunna bokföra och beräkna areor.

Matematiken upplevs av många som svår. De tycker kanske att den är abstrakt och förstår inte hur den kan tillämpas. Ändå klarar de flesta av de basfärdigheter som lärs ut i grundskolan. Delar av matematiken är naturligtvis genuint svåra men denna uppdelning i lätt och svårt finns nog inom alla ämnen.

Kjell Elfström

Svar:

För godtyckliga plana figurer beräknas tyngdpunktens koordinater med hjälp av dubbelintegraler. Det är alltså flervariabelanalys du skall läsa.

Kjell Elfström

Svar:

Se The Mathematics of Fermat's Last Theorem under ”A note on prerequisites”.

Kjell Elfström

Svar:

För html-dokument finns det koder för många matematiska tecken. Numera använder jag inte paragraftecken utan koderna &int; och &sum; för att få ∫ resp. ∑. Dessa och många fler koder finner du på sidan Test pages for Unicode character ranges. För snygg utskrift på papper eller i pdf-format använder de flesta matematiker typsättningssystemet TeX. Dokumenten under Vanliga frågor är typsatta med hjälp av TeX. Det är förmodligen det system som ger de snyggaste matematiska dokumenten. En annan fördel är att det är ”free software” och kan laddas ner gratis från internet. En nackdel är att man får lägga ner en del tid på att lära sig systemet. TeX brukar följa med de flesta Linuxdistributioner men finns också för windows och Macintosh och kan laddas ner från CTAN.

Kjell Elfström

     3sin t - sin 3t
lim  ----------------  
t->0 3tan t - tan 3t

Svar:

Skriv uttrycket som

Faktorn cos t cos 3t har gränsvärdet 1. Taylorutveckla de i den återstående delen av uttrycket ingående funktionerna och beräkna på så sätt gränsvärdet av denna.

Kjell Elfström

Svar:

Låt f vara en funktion från en delmängd av Rⁿ till R. Då säges f vara differentierbar i x ∈ Rⁿ om f är definierad i en omgivning av x och det finns ett element a ∈ Rⁿ och en funktion ε från en punkterad omgivning av 0 i Rⁿ till R som är sådana att ε(h) → 0 då |h| → 0 och

då h ligger i en omgivning av 0. Här betecknar <a,h> = ∑_k = 1ⁿ a_kh_k skalärprodukten i Rⁿ. Väljer vi h = (h₁,0,…,0) får vi om f är differentierbar att

Det gäller alltså att f är deriverbar med avseende på x₁ med ∂f/∂x₁ = a₁. På samma sätt är naturligtvis f deriverbar med avseende på x_k med derivata ∂f/∂x_k = a_k. En differentierbar funktion är alltså deriverbar. En deriverbar funktion behöver däremot inte vara differentierbar. Ett exempel är funktionen f definierad genom f(x,y) = 0 om (x,y) = (0,0) och f(x,y) = 2xy/√(x² + y²) annars. Denna funktion är självklart deriverbar i (0,0) eftersom (f(h,0) − f(0,0))/h = 0 och (f(0,k) − f(0,0))/k = 0 för alla nollskilda h och k. Om den är differentierbar i (0,0) så är 2hk/√(h² + k²) = f(h,k) = √(h² + k²)ε(h,k) och vi får att ε(h,k) = 2hk/(h² + k²), vilket ger motsägelsen att ε(h,k) inte går mot noll.

För funktioner av en reell variabel betyder dock deriverbarhet och differentierbarhet samma sak. Om f är deriverbar i x så kan vi låta ε(h) = (h/|h|)((f(x + h) − f(x))/h − f ′(x)). Vi finner att ε(h) → 0 då h → 0 och att f(x + h) = f(x) + hf ′(x) + |h|ε(h).

Kjell Elfström

Svar:

Det nya påståendet är inte heller sant, fast det är inte lika uppenbart. Jag räknade på det och fann att avstånden varierade mellan ungefär 1,85 och 1,90 när avståndet från ett hörn till medelpunkten är 1.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt Peanos axiomsystem för de naturliga talen är 0 ett tal och varje tal förutom 0 kan erhållas som efterföljaren till precis ett tal. Om n är ett tal så kan vi beteckna efterföljaren med Sn. Man kan sedan definiera 1 som S0, 2 som S1, 3 som S2 osv. Man kan sedan definiera att a < b om antingen b = Sa eller Sa < b. Definitionen är rekursiv. För att se att 8 < 9 behöver man bara konstatera att 9 = S8 men för att se att 3 < 5 får man först konstatera att 3 < 4 eftersom 4 = S3 och sedan att 5 = S4 och eftersom 3 < 4 så är 3 < 5.

Kjell Elfström

Svar:

Som jag förstår frågan skall ni fyra gånger dela upp de sex personerna i två grupper om tre personer. Det är omöjligt om man kräver att två personer inte får hamna i samma grupp mer än två gånger.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt f_n(x) = ∑_k = 0ⁿ x^k/k!. Vi visar med induktion över n att f_2n(x) > 0 för alla reella x då n = 0,1,2,… För n = 0 är påståendet trivialt. Antag att det är sant för ett visst n ≥ 0. Det gäller att f ′_2n + 2 = f_2n + 1 och f ′_2n + 1 = f_2n. Eftersom f_2n(x) > 0 för alla reella x så är f_2n + 1 strängt växande och eftersom f_2n + 1 är ett polynom av udda gradtal så har f_2n + 1 precis ett nollställe a. Man får att f_2n + 2 antar sitt minsta värde i a. Det är också klart att a ≠ 0. Därför får vi att f_2n + 2(x) ≥ f_2n + 2(a) = f_2n + 1(a) + a^2n + 2/(2n + 2)! = 0 + a^2n + 2/(2n + 2)! > 0 för alla reella x.

Kjell Elfström

Svar:

Vem som kom på ordet matematik (det är så det stavas) vet jag inte. Se 18 oktober 2003 19.56.45.

Kjell Elfström

Svar:

Carlesonmått är ett visst slags mått. Se Carleson measure för en definition.

Kjell Elfström

Svar:

Det är Alef₀ som är det minsta oändliga kardinaltalet och som står får mäktigheten hos uppräkneliga mängder. Kalla kardinaltalet för mängden av reella tal för c. Då säger kontinuumhypotesen att c = Alef₁, det andra kardinaltalet. Detta är något som varken kan bevisas eller motvisas utifrån axiomen i de vanliga axiomsystemen för mängdläran. Detta visades av Paul Cohen 1963. Det är alltså fritt fram att lägga till antingen kontinuumhypotesen eller dess negation som ett axiom, allt efter tycke och smak. Utan ytterligare sådana axiom är det omöjligt att ge exempel på mängder med kardinaltal Alef₂ och Alef₃ också. Se Continuum Hypothesis.

Kjell Elfström

Svar:

Om man trycker in de 10000 koderna den ena efter den andra så blir det 40000 knapptryckningar. Det går att komma lindrigare undan än så eftersom koder kan överlappa varandra. Att det inte går att komma undan med färre än 10003 tryckningar är klart. Den första koden kräver fyra knapptryckningar och sedan kräver var och en av de återstående 9999 koderna minst en knapptryckning var. 10003 knapptryckningar är faktiskt också tillräckligt. Vi börjar med att tänka oss att knapptryckningarna bildar en cykel så att t ex följden 0123 anses täcka koderna 0123, 1230, 2301 och 3012. I så fall är det tillräckligt med 10000 tryckningar för att täcka in alla koder. För att se det bildar vi ett träd i vilket noderna består av alla knapptryckningar av längd 3. Vi förbinder två noder med varandra om den ena noden slutar på samma två knappar som den andra börjar på. Då har varje nod lika många inkommande som utgående kanter och därför ett jämnt antal förbindelser. Självklart är trädet också sammanhängande, dvs det är möjligt att ta sig från vilken nod som helst till vilken annan nod som helst. Det är ju bara att skifta in en siffra i taget. En välkänd sats säger nu att detta träd har en Eulercykel. En Eulercykel är en väg i trädet som börjar och slutar i samma nod och som använder varje kant precis en gång. Eftersom det finns 10000 kanter i trädet är det tillräckligt med 10000 knapptryckningar. Om vi inte tillåter cykliska följder är det bara att välja en cyklisk följd av längd 10000 och lägga till de tre siffror som den börjar med på slutet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad det betyder att en funktion är växande i en punkt men jag antar att det handlar om derivatans tecken. Derivatan blir ((2 − 2x)(x + 6) − (48 + 2x − x²))/(x + 6)² = −1 för alla x ≠ −6. Utför man divisionen (48 + 2x − x²)/(x + 6) så får man kvoten 8 − x och detta är klart en avtagande funktion på hela R.

Kjell Elfström

Svar:

Använder Kalle en sten som boll? Eftersom y verkar ange höjden över utgångspunkten så slår bollen i vattnet då y = −10, vilket betyder att x²/120 − x/4 = 10. Rötterna till denna andragradsekvation är x = 15 ± 5√57 och bara den positiva roten duger.

Kjell Elfström

Svar:

Det nominella värdet blir 1,03⋅200 milj. Om detta motsvarar värdet x för ett år sedan så skall 1,02x = 1,03⋅200 milj, dvs x = (1,03/1,02)⋅200 milj., vilket alltså blir det reella värdet.

Kjell Elfström

Svar:

Om 100 godisbitar delas ut i en klass och varje barn får 4 bitar så finns det 100/4 = 25 barn i klassen. Om varje barn i stället får en halv bit så finns det 100/(1/2) = 200 barn i klassen. Man bör alltså tänka efter hur många halvor det går i 100 i stället för att tänka att man delar upp 100 på 1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Med den vanliga definitionen av matrismultiplikationen kan ekvationssystemet

skrivas Ax = y med kolonnmatriser x och y. Om kolonnen z beror på y på ett liknande sätt, z = By, kan sambandet mellan x och z skrivas z = BAx. Med din definition skulle x varit en rad och y en kolonn och det senare sambandet hade fått skrivas z = B(Ax)^t, där t betecknar transponering, vilket skulle ha gett klumpigare beteckningar.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte funnit någon lösning på problemet. Man konstaterar att f(0) = 0 genom att sätta x = y = 0 och sedan att f är en udda funktion genom att sätta y = 0. Det är egentligen allt jag har kommit fram till. Förutom f(x) = x duger också f(x) = −x men jag vet inte om dessa är alla lösningar.

Kjell Elfström

Svar:

1. Om försäljningspriset är x så tillverkas det y telefoner. Vinsten är y(x − 1500) = −x³/3240 + 25x²/54 + 1900x − 2850000 = f(x). Derivatan blir f ′(x) = (25/27)x − x²/1080 + 1900 = (−1/1080)(x² − 1000x + 2052000) och den är noll då x = 500 ± 20√(5755).

2. Om höjden och basradien är h resp. r så är h + 2r = 80 och volymen är πr²h = πr²(80 − 2r) = 80πr² − 2πr³. Derivera.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att f((1/4)^1/3) = 2(1/4)^1/6 − (1/4)^2/3 = 2(1/4)^1/6 − (1/4)^4/6 = 2(1/4)^1/6 − (1/4)^1/6(1/4)^1/2 = (1/4)^1/6(2 − 1/2) = (1/2)^1/3⋅3/2 = 3⋅2^2/3/4.

Kjell Elfström

Svar:

Om x = a/b och y = c/d så är xy = ac/(bd), x/y = ad/(bc), x + y = (ad + bc)/(bd) och x − y = (ad − bc)/(bd).

Kjell Elfström

Svar:

Carleson visade 1966 att Fourierserien av varje funktion i L² konvergerar nästan överallt, dvs utom möjligen på en nollmängd i Lebesgues mening. Se Convergence of Fourier series. Carlesonmått spelar stor roll i komplex och harmonisk analys i enhetscirkelskivan och är väsentliga för lösandet av Coronaproblemet. Se Hardy Spaces and the Corona Problem.

Kjell Elfström

Svar:

2 kronor.

Kjell Elfström

Svar:

Se exempel 2 i Några integraler under Vanliga frågor om röret ligger ner. Om det står upp så kan du använda att volymen av en cylinder är πr²h, där r är radien och h höjden.

Kjell Elfström

Svar:

Om du vet omkretsen så känner du också radien r eftersom omkretsen är 2πr. Radien och höjden h utgör kateter i en rätvinklig triangel och om θ är basvinkeln gäller att h  = r tan θ och därför att volymen är πhr²/3 = π tan θ r³/3.

Kjell Elfström

Svar:

Se 18 oktober 2003 19.56.45.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt f(x) = (x + 81)^1/4. Då ger Taylors formel att

för något ξ mellan 0 och x. Tillämpat på x = 4 ger detta värdet 3 + 4/108 = 82/27. Man ser att 85^1/4 ≤ 82/27 och att felets absolutbelopp ej överstiger 3/(32⋅81^7/4) = 1/23328.

Kjell Elfström

Svar:

Bestäm det största intervallet för g(1,8) på samma sätt som i 22 mars 2006 11.31.08.

Kjell Elfström

Svar:

Att f ″ ≥ 0 innebär att f ′ är växande och vi får att f ′(x) ≥ f ′(2) = − 1 då x ≥ 2. Olikheten f ″(x) ≤ 1/x är ekvivalent med (d/dx)(f ′(x) − ln x) ≤ 0 och innebär att f ′(x) − ln x är avtagande. Vi får därför att f ′(x) − ln x ≤ f ′(2) − ln 2 ⇔ f ′(x) ≤ ln x − 1 − ln 2 då x ≥ 2. Vi har alltså fått att

Den första olikheten är ekvivalent med (d/dx)(f(x) + x) ≥ 0, vilket visar att f(x) + x är växande och därför är f(x) + x ≥ f(2) + 2 = 6 ⇔ f(x) ≥ 6 − x då x ≥ 2. Den andra olikheten säger att (d/dx)(f(x) − x ln x + x − x(1 + ln 2)) ≤ 0 och vi får att f(x) − x ln x + x + x(1 + ln 2) ≤ 4 − 2 ln 2 + 2 + 2(1 + ln 2) = 8 och därför att f(x) ≤ 8 + x ln x − x(2 + ln 2). Vi får att

Kjell Elfström

Svar:

Jag föreslår att du söker efter mathematicians nineteenth century på internet. Du kan också ta hjälp av Indexes of Biographies.

Kjell Elfström

Svar:

Se exempel 2 i Några integraler under Vanliga frågor.

Kjell Elfström

Svar:

Du menar att ditt påstående skulle bevisa Cauchy-Schwarz olikhet men Cauchy-Schwarz olikhet behövs för att visa att vinkeln v är väldefinierad. Man har en skalärprodukt given och vill definiera v genom cos v = <x,y>/|x||y|, 0 ≤ v ≤ π, och då måste man veta att −1 ≤ <x,y>/|x||y| ≤ 1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om det finns någon vedertagen definition av vinkelsumma i en cirkel och det finns ju i egentlig mening heller ingen vinkelsumma. Vill man nödvändigtvis tänka sig att det finns en vinkelsumma vore det naturliga att säga att den är oändligt stor. Varför den skulle vara 360° kan jag inte förstå. Summan av medelpunktsvinklarna om man skär upp cirkeln som en tårta är naturligtvis 360° men det är en annan sak.

Kjell Elfström

Svar:

Tyngdaccelerationen är g ≈ 9,8 m/s². Om luftmotståndet försummas så ges hastigheten v av att v′ = g, vilket betyder att v = gt + C, där C är konstant. Om vi låter t = 0 motsvara den tidpunkt då bilen släpps så är C = 0. Om s är sträckan så gäller att s′ = v = gt och vi får s = gt²/2 + D. Låter vi sträckan 0 motsvara bilens höjd när den släpps så är D = 0 och vi får att s = gt²/2. Om fallhöjden är h gäller att tiden för kollisionen ges av h = s = gt²/2 och man får att t = √(2h/g). Insatt i uttrycket för v ger detta att v = √(2gh).

Kjell Elfström

Svar:

Det finns 999999 − 99999 = 900000 sexsiffriga tal. Hälften av dem är jämna så svaret blir 450000.

Ett alternativt sätt är att använda att den första siffran kan väljas på 9 sätt, den sista på 5 sätt och de övriga på 10 sätt. Multiplikationsprincipen ger svaret 9⋅10⁴⋅5 = 450000.

Kjell Elfström

Svar:

Beräkna medelvärdena m_x och m_y. Beräkna sedan s_xx = ∑_k = 1ⁿ (x_k − m_x)² och s_xy = ∑_k = 1ⁿ (x_k − m_x)(y_k − m_y). Koefficienterna i den sökta linjen y = ax + b ges nu av a = s_xy/s_xx och b = m_y − am_x.

Kjell Elfström

Svar:

Det är inte sant att alla diagonaler i en regelbunden heptagon är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla uttrycket för f(x). Derivatan f ′(x) = 3x² + 2x − 1 har nollställena −1 och 1/3. Teckenundersökning visar att f är strängt växande i (−∞,−1], strängt avtagande i [−1,1/3] och strängt växande i [1/3,∞). Det gäller att f(−1) > 0 och f(1/3) = 0. Funktionen har därför två reella nollställen, ett i 1/3 och ett till vänster om −1. Det finns därför bara en positiv rot till ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Låt a₁,…,a_n vara positiva tal och definiera A, G och H genom A = (1/n)∑_k = 1ⁿ a_k, G = (∏_k = 1ⁿ a_k)^1/n och 1/H = (1/n)∑_k = 1ⁿ (1/a_k). Då är H ≤ G ≤ A.

För ett bevis av att G ≤ A, se 18 maj 2005 08.53.10. Observera sedan att 1/H är det aritmetiska medelvärdet av talen 1/a₁,…,1/a_n och därför är 1/H ≥ (∏_k = 1ⁿ (1/a_k))^1/n = 1/G, vilket medför att H ≤ G.

Kjell Elfström

Svar:

Om polynomet är f(x) = ax³ + bx² + cx + d så är f(0) = d = 1. Det gäller att f ′(x) = 3ax² + 2bx + c och därför att f ′(0) = c = 1. De övriga två villkoren ger att 3a + 2b + 1 = 0 och 27a + 6b + 1 = 0. Lös ut a och b.

2. Det gäller att f ′(x) = 6x² − 18x + 12 = 0 då x = 1 eller 2. Teckenundersökning visar att f har ett lokalt maximum i 1 och ett lokalt minimum i 2. Det gäller att f(1) = 6, f(2) = 5. Det gäller också att f(x) → −∞ då x → −∞ och f(x) → ∞ då x → ∞. Rita nu kurvan och konstatera att den skär linjen y = a en gång då a < 5 eller a > 6, två gånger då a = 5 eller a = 6 och tre gånger då 5 < a < 6.

Kjell Elfström

Svar:

1. Om sidorna är x och y så är xy = 900. Staketets längd är 2(x + y) = 2(x + 900/x). Derivatan 2(1 − 900/x²) växlar tecken då x = 30 på ett sådant sätt att man ser att staketlängden är minst då x = y = 30.

2. Derivera.

Kjell Elfström

Svar:

Sekantens riktningskoefficient är (13 − 5)/(2 − 1) = 8. Funktionens derivata är f ′(x) = 3x² + 2x − 2. Ekvationen f ′(x) = 8 har två rötter varav bara den ena ligger i intervallet (1,2).

Kjell Elfström

Svar:

1. Att säga att en funktion är växande för alla x är på sätt och vis felaktigt även om man i detta fall förstår vad som menas. Uttryckssättet antyder att en funktion kan vara växande i en punkt x och att den är det i varje punkt x. Det rätta är att säga att f är växande på intervallet (−∞,∞). Eftersom både x och e^x är växande måste deras summa vara växande. Vill du visa det med hjälp av derivator behöver du bara konstatera att derivatan 1 + e^x ≥ 0 för alla x.

2. Om f(x) = x − 1/x så är f ′(x) = 1 + 1/x². Här är också f ′(x) ≥ 0 för alla x ≠ 0 men funktionen är trots det inte växande. Man kan bara konstatera att den är växande dels på intervallet (−∞,0) och dels på intervallet (0,∞). Att den inte är växande i hela sin definitionsmängd visas t ex av att f(1/2) = −3/2 ≤ 3/2 = f(−1/2). Använd också att f(x) → ∞ då x → ∞, f(x) → −∞ då x → 0⁺, f(x) → ∞ då x → 0⁻ och f(x) → −∞ då x → −∞.

Kjell Elfström

Svar:

Vad sannolikheten blir beror på upplägget. Om din vän avtalat med sina grannar att en av dem slumpmässigt skall öppna sin dörr lönar det sig för dig att byta dörr precis som i det första problemet där tävlingsledaren öppnar en tom dörr. Om det är så att din vän inte vet att du kommer och det är lika sannolikt att han eller någon av hans grannar öppnar dörren tjänar du inte på att byta.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet sätt att placera n identiska element i r olika fack är (^{n + r − 1}_n) = (^{n + r − 1}_r − 1). För att se det tänker vi oss att de n elementen och r − 1 skiljeväggar placeras i en rad och det kan göras på (^{n + r − 1}_n) sätt.

Antag nu att det finns p personer och att vi skall placera ut dem på ett cirkulärt år med 365 dagar. Två olika personer får inte hamna på samma dag och heller inte intill varandra. Vi väljer position för en fix person och det kan göras på 365 sätt. När vi skall placera ut de övriga p − 1 personerna har vi 362 dagar till vårt förfogande. Mellan två av de p − 1 personerna skall det finnas minst en dag. Det återstår 362 − (p − 2) − (p − 1) = 365 − 2p dagar att placera in i de p facken mellan, före eller efter personerna och det kan göras på (^{365 − 2p + p − 1}_p − 1) = (^364 − p_p − 1) sätt. När vi bestämt dagarna ordnar vi de p − 1 personerna. Antalet sätt att placera ut födelsedagsbarnen blir därför 365(^364 − p_p − 1)⋅(p − 1)! = 365(364 − p)!/(365 − 2p)!.

Sannolikheten att minst två personer fyller år på samma dag eller på intilliggande dagar är därför

Det gäller att P(p) < 1/2 om och endast om p < 14.

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 december 2005 17.19.10.

Kjell Elfström

Svar:

Se 18 mars 1997 02.44.41.

Kjell Elfström

Svar:

Jag citerar den ungerske matematikern Paul Erdős: ”mathematics is not yet ready for such problems”. Det problem ni försöker attackera kallas Collatz problem och är (än så länge) olöst. Se Collatz problem.

Kjell Elfström

Svar:

En olikhet mellan två andragradspolynom kan efter överflyttning skrivas som en olikhet mellan ett andragradspolynom och noll. T ex betyder 2x² + x + 1 ≥ x² + 4x − 1 samma sak som x² − 3x + 2 ≥ 0. För att lösa den senare börjar man att lösa motsvarande ekvation x² − 3x + 2 = 0 och den har rötterna x = 1 och x = 2. Nu kan vi faktorisera vänsterledet och skriva olikheten som f(x) = (x − 1)(x − 2) ≥ 0. Man utnyttjar sedan att f(x) är noll om någon av faktorerna är noll, negativt om ett udda antal faktorer är negativa och positivt annars. Gör lämpligen en teckentabell.

Vi ser att f(x) ≥ 0 då x ≤ 1 eller x ≥ 2.

Med tredjegradsfunktioner menas säkerligen polynomfunktioner av grad 3. En sådan har utseendet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. För att kunna rita grafen med någon precision behöver man kunna derivera. Det är kanske enkla tredjegradskurvor som y = x³ som avses. Se i boken.

Kjell Elfström

Svar:

Den nya talföljden konvergerar naturligtvis om den ursprungliga talföljden konvergerar eftersom den nya består av vartannat element i den gamla. Den nya konvergerar i så fall snabbare om man räknar antalet iterationer men inte nödvändigtvis om man räknar beräkningstiden. Ett iterationssteg i den nya följden bör om man ser till det formella uttrycket ta ungefär lika lång tid att beräkna som två i den gamla. Ibland kan man naturligtvis hitta beräkningstekniska genvägar som gör att den nya följden kan beräknas snabbare.

Kjell Elfström

Svar:

Du har skrivit fel i ekvation (3) men det är ett rent skrivfel och påverkar inte din lösning. Någon lösning av det slag du kommer fram till finns inte då a = ±bi.

Kalla ekvationens vänsterled för F(y). Man kan finna en partikulärlösning genom att skriva sin x = (e^ix − e^−ix)/(2i) och finna lösningar y₁ och y₂ till de båda ekvationerna F(y) = e^ix och F(y) = e^−ix. Då kommer y = (y₁ − y₂)/(2i) att vara en lösning till den ursprungliga ekvationen. För att finna en lösning y till ekvationen F(y) = e^ix ansätter vi y = ze^ix. Då är y′ = (z′ + iz)e^ix och ekvationen övergår i

Då ai + b ≠ 0 har denna ekvation en konstant lösning z = 1/(ai + b). Om också −ai + b ≠ 0 så har ekvationen F(ze^−ix) = e^−ix en konstant lösning och du återfår de lösningar du redan funnit. Om ai + b = 0 finns det ingen konstant lösning z. En lösning är nu z = x/a, vilket ger y = y₁ = (x/a)e^ix = (x/a)(cos x + i sin x). En lösning till ekvationen F(y) = e^−ix är y = y₂ = (1/(−ai + b))(cos x − i sin x). Addera dessa lösningar och dividera med 2i i fallet där ai + b = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Den nya månadslönen blir 160 + 1,021x respektive 1,028x. Sätt uttrycken lika och lös ut x. Beräkna sedan den nya månadslönen för detta x.

Kjell Elfström

Svar:

Hela cirkelns omkrets är 2πr, där r är radien. Halvcirkelbågen är därför πr. Lägger man till diametern får man πr + 2r = (2 + π)r.

Kjell Elfström

Svar:

Nej, man måste börja någonstans. Det är först när man har axiom och härledningsregler som kan bevisa satser utifrån dessa axiom. Matematiken uttalar sig inte om verkligheten. Man kan införa axiom för geometrin och härleda satser utifrån dessa. Den geometri man får på detta sätt kan kanske användas till att beskriva någon verklighet om axiomen är väl valda men det är inte en uppgift för matematiker att avgöra det. Det får de som sysslar med empiriska vetenskaper försöka ta reda på och de kan aldrig bevisa något i matematisk mening.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen y = sinh x är ekvivalent med

Eftersom e^x > 0 duger bara den positiva roten. Vi får att x = ln(y + √(1 + y²)).

Kjell Elfström

Svar:

U:et har alltså inga runda delar utan begränsas av räta linjer. Att hitta en funktion att sätta in koordinaterna i är inte så lätt. Du kan ta fram ekvationerna för de räta linjerna och för var och en av linjerna använda ekvationen till att avgöra vilken sida om linjen som punkten hamnar. Det blir dock ganska omfattande räkningar om det är många linjer.

Kjell Elfström

Svar:

Du äger 15% av A och B äger 85% av A. B äger också C. Säg att A är värt en krona och C 2 kronor och målet är att ditt aktieinnehav skall motsvara samma förmögenhet efter transaktionen som före. Före transaktionen motsvarar ditt aktieinnehav 15 öre. Efter transaktionen äger B hela A och hela C, en förmögenhet på sammanlagt 3 kronor. Du skulle i så fall få 5% av aktierna i B.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har ofta hänvisat till Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.

Kjell Elfström

1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6 
1+6=7
1+7=8
1+8=9
1+9=10
1+10=11

2+1=3
2+3=5
2+4=6 
2+5=7
2+6=8
2+7=9
2+8=10 
2+9=11
2+10=12

Svar:

Jag tror inte att jag förstår frågan. Om kravet är att varje tal bara får användas en gång i varje rad så kan det inte bli särskilt många kolumner att addera.

Kjell Elfström

Svar:

Låt p(m,n) beteckna sannolikheten för att göra precis m mål vid n kast när man startar med sannolikheten 1/2. Då är

Om man gjort mål i senaste kastet så är sannolikheten för att missa n − 1 gånger i följd och göra mål i kast nummer n lika med

Detta ger oss rekursionsformeln

För m = 3, n = 9 får man

Kjell Elfström

Svar:

Se 7 mars 2006 12.27.01.

Kjell Elfström

Svar:

Ansatsen y = ∑_k = 0^∞a_kx^k ger att y′ = ∑_k = 1^∞ka_kx^k − 1, y″ = ∑_k = 2^∞k(k − 1)a_kx^k − 2. Insatt ger detta att

Detta ger att a₁ = 0 och a_k = −a_k − 2/k² då k ≥ 2, vilket ger att a_k = 0 då k är udda och a_2k = (−1)^ka₀/(4^k(k!)²), k = 0,1,2,…

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = ln(3x + 1). Då är dt = 3dx/(3x + 1) och integralen övergår i ∫₀^ln 4(t/3)dt.

Kjell Elfström

Svar:

Kan du hålla siffrorna i huvudet kan du använda kort division. Själv skulle jag använda någon metod lik liggande stolen.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att k² = r² − 4. Volymen blir

och derivatan blir 8πr.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen ax + by + c⋅0 = 0 har en icke-trivial lösning. Linjen (a,b,c) har alltså en ideal punkt.

Kjell Elfström

Svar:

Man bör inte skriva roten ur a om a är ett negativt eller icke-reellt tal eftersom roten inte är entydigt bestämd. Det är den i och för sig inte heller när a är icke-negativt men då är konventionen att √a är den icke-negativa roten till ekvationen x² = a.

Ditt påstående betyder att (i√a)² = −a, vilket det är om a ≥ 0.

Kjell Elfström

Svar:

Som i R³, z = 0. Vill man inte ha med oändlighetspunkterna får man lägga till att w ≠ 0.

Kjell Elfström

Svar:

Det räcker att bestämma var hörnen hamnar eftersom räta linjer avbildas på räta linjer. Drag linjen genom punkten (a,b,c) som skall avbildas och punkten (0,0,40). Den har ekvationen (x,y,z) = (0,0,40) + t(a,b,c − 40) och skär xy-planet då t = 40/(40 − c). Bildpunkten har därför koordinaterna t(a,b,0). I homogena koordinater avbildas därför (a,b,c,1) på (a,b,0,1 − c/40), vilket motsvarar en lineär avbildning.

Kjell Elfström

Svar:

Gör liknämnigt.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att abcd − dcab = 1000a + 100b + 10c + d − 1000d − 100c − 10b − a = 999a + 90b − 90c − 999d och alla koefficienterna är delbara med 9.

Kjell Elfström

Svar:

Du skriver inte hur kurvorna skall sammanfogas. Jag antar slutet på den första kurvan skall fogas samman med början av den andra. För den första kurvan gäller att x = u², x′ = 2u, x″ = 2, y = u + u³/2, y′ = 1 + 3u²/2, y″ = 3u. För den andra att x = a + bu + cu², x′ = b + 2cu, x″ = 2c, y = d + eu + fu², y′ = e + 2fu, y″ = 2f. Bestäm konstanterna så att den första kurvans derivator i punkten u = 1 överensstämmer med den andra kurvans derivator i u = 0.

Kjell Elfström

Svar:

1. En parametrisering av kurvan är r = (x,y) = t(1,1), 0 ≤ t ≤ 1. Kurvintegralen ∫F·dr = ∫₀¹ F·r′(t)dt = ∫₀¹ (t²t⋅1 + t³⋅1)dt. Nu är det en vanlig integral som du kan beräkna själv. Under integralerna har skalärprodukten betecknats med en multiplikationsprick.

2. En parametrisering av kurvan är r = (t,t²), −2 ≤ t ≤ 1. Derivatan är r′ = (1,2t). Skalärprodukten under integraltecknet blir (t² − 2t⋅t²)⋅1 + ((t²)² − 2t⋅t²)⋅2t.

3. Här är r = (t,t³) och F = (1,3). Gör som innan.

Kjell Elfström

Svar:

1) Denna ekvation kan inte lösas exakt i elementära funktioner.

2) Att f(x) = 0 betyder att g(x) = −x ln x = t. Det gäller att g′(x) = −ln x − 1 = 0 om och endast om x = e⁻¹. Funktionen g har ett maximum lika med g(e⁻¹) = e⁻¹. g är strängt växande i (0,e⁻¹] och strängt avtagande i [e⁻¹,∞). Det gäller att g(x) → 0 då x → 0 och g(x) = −∞ då x → ∞. Rita en figur nu så ser du att g(x) = t har två olika rötter precis då 0 < t < e⁻¹.

Kjell Elfström

Svar:

Området kan beskrivas genom 0 ≤ y ≤ 2, y/2 ≤ x ≤ y/2 + 1. Integralen blir ∫₀²∫_y/2^y/2 + 1 e^x + y dxdy. Det finns ingen anledning att göra något variabelbyte här.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar som om klotets radie är 2. Då borde det vara kurvan y = √(4 − x²) som roterar kring x-axeln. Då y = k är x = ±√(4 − k²). De delar av klotet som ligger till vänster om x = x₁ = −√(4 − k²) eller till höger om x = x₂ = √(4 − k²) är bortborrade. Du kan därför beräkna volymen av den del av klotet som ligger mellan dessa båda x-värden och sedan draga ifrån det kvarvarande cylindriska hålets volym. Den kvarvarande volymen blir π∫_x1^x₂ (4 − x²) dx − πk²(x₂ − x₁).

Kjell Elfström

Svar:

Eulers fi-funktion är multiplikativ. Det betyder att φ(1) = 1 och φ(ab) = φ(a)φ(b) om a och b är relativt prima. En aritmetisk funktion f som uppfyller att f(ab) = f(a)f(b) för alla a och b kallas fullständigt multiplikativ och det är inte φ. Om p₁,…,p_k är olika primtal gäller att p_i^n_i, i = 1,…,k är relativt prima och därför är φ(p₁^n₁…p_k^n_k) = φ(p₁^n₁)^…φ(p_k^n_k). Det gäller också att φ(pⁿ) = p^n − 1(p − 1) om p är ett primtal men det följer inte av multiplikativiteten.

Jag vet inte hur man beräknar multipliciteterna på ett effektivt sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Man måste först klargöra vad det betyder att två mängder är lika stora. När det gäller ändliga mängder kan man ju räkna efter hur många element de har och avgöra om de är lika stora på det sättet. Du kommer kanske fram till att du har 5 fingrar på varje hand och vet därför att du har lika många på dina båda händer. Detta sätt går inte att generalisera till oändliga mängder. Du kan emellertid avgöra att du har lika många fingrar på dina händer genom att para ihop vänsterhandens fingrar med högerhandens. Om varje finger på den ena handen motsvarar precis ett finger på den andra så har du lika många. Du har då bildat en bijektiv funktion f från den ena mängden till den andra. Om mängderna heter A och B innebär bijektiviteten att f(x₁) och f(x₂) är olika om x₂ och x₂ är olika element i A och att varje element y i B kan skrivas y = f(x) för något element x i A. Två mängder A och B säges vara lika mäktiga om det finns en bijektion f från A till B. När det gäller oändliga mängder kan man få överraskande resultat. Mängden N av naturliga tal och mängden Z av alla heltal är till exempel lika mäktiga. Man kan ju avbilda 0 på 0, 1 på −1, 2 på 1, 3 på −2, 4 på 2 osv. Man kan visa att mängden av hela tal är lika mäktig som mängden av rationella tal. Däremot är mängden R av reella tal större än mängden Q av rationella tal i den meningen att det finns en injektiv funktion från Q till R men ingen bijektiv funktion. Att en funktion f är injektiv innebär att f(x₁) och f(x₂) är olika för olika x₁ och x₂. Vilken injektiv funktion f från Q till R man än väljer finns det alltså något element y i R som inte kan skrivas f(x) för något element x i Q.

Om någon av mängderna A och B är oändlig så är unionen A ∪ B lika mäktig som den mäktigaste av de båda mängderna. Man kan införa så kallade kardinaltal för olika mäktigheter på samma sätt som naturliga tal beskriver storleken av ändliga mängder. Då gäller att card(A) + card(B) = card(B) om B är oändlig och minst lika mäktig som A. Genom att ta unionen av två oändliga mängder kan man alltså aldrig få en mängd om är mäktigare än den största av mängderna. Man kan dock alltid bilda en mäktigare mängd än en given mängd A. Man bildar mängden P(A) som är mängden av alla delmängder till A. P(A) är alltid mäktigare än A. Om A är en ändlig mängd med n element så är antalet element i P(A) lika med 2ⁿ. Om kardinaltalet för den oändliga mängden A är c så säger man att P(A) har kardinaltalet 2^c och det gäller alltså att 2^c > c för alla kardinaltal c (även ändliga).

Kjell Elfström

Svar:

Om det första talet är a så är summan 5a + (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 5a + 20 = 205. Vi får att a = 37.

Kjell Elfström

Svar:

Låt r vara jordradien. Låt A och B vara två punkter på jordytan på avståndet x längs jordytan. Drag tangenten till jordytan i A och drag en stråle från jordens medelpunkt O genom B och antag att strålen träffar tangenten i C. Då är vinkeln AOC lika med x/r. Avståndet OC blir r/cos(x/r) och avståndet BC blir r/cos(x/r) − r. Detta gäller bara då x < πr/2.

Kjell Elfström

Svar:

Ställ upp divisionen som vanligt och tag kvoten 0 första gången och sedan kvoten 9 och resten 1 i varje steg.

Kjell Elfström

Svar:

Se 25 februari 1999 22.01.24.

Kjell Elfström

Svar:

Här i Lund krävs 10 poäng matematik. Många läser kursen Matematik för naturvetare 1. Det krävs Matematik A-D på gymnasiet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är övertygad om att du klarar femman. Gör både som din mor och far säger. Lär dig tabellen så bra du kan och tag det lugnt. Kan du tabellen bra men blir blockerad när läraren förhör dig kommer det ändå att fungera i framtiden.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt x₁ = x − C/k₃ och x₂ = y − k₁C/(k₂k₃). Då övergår systemet i

Systemets egenvärden är λ = −(k₁ + k₂ + k₃)/2 ± (√((k₁ + k₂ + k₃)² − 4k₂k₃))/2. Eftersom

är egenvärdena reella, olika och negativa.

Sätt r = √((k₁ + k₂ + k₃)² − 4k₂k₃). Då kan egenvärdena skrivas λ₁ = −(k₁ + k₂ + k₃)/2 + r/2 och λ₂ = −(k₁ + k₂ + k₃)/2 − r/2. Motsvarande egenvektorer är e₁ = ((−k₁ + k₂ − k₃)/2 + r/2,k₁) och e₂ = ((−k₁ + k₂ − k₃)/2 − r/2,k₁). Vi får att

Begynnelsevillkoret innebär att x₁(0) = −C/k₃ och x₂(0) = −k₁C/(k₂k₃). Bestäm nu c₁ och c₂ med hjälp av detta och lös ut x och y enligt ansatserna.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att stödord tillför särskilt mycket till inlärningen av matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tycker inte att man skall betrakta en ekvation som saknar lösningar som felaktig. I en tillämpning i vilken man förväntar sig att en lösning skall finnas kan det kanske finnas skäl att anse ekvationen vara felaktig, men inte nödvändigtvis. Det kan vara så att den modell man använder på ett korrekt sätt leder fram till en ekvation som saknar lösningar och då är det inte ekvationen som är felaktig. Antingen beskriver inte grundantagandena verkligheten på ett korrekt sätt eller så har modellen avslöjat oväntade egenskaper hos verkligheten.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan tänka sig att man vill definiera en vektorprodukt på Rⁿ, försett med den vanliga skalärprodukten. Vektorprodukten skall då uppfylla

1. u×u = 0,

2. (u×v)⋅u = (u×v)⋅v = 0,

3. |u×v| = |u||v| om u⋅v = 0.

Detta är bara möjligt om n = 1, 3 eller 7. Då n = 1 kan vi sätta u×v = 0 för alla u och v och då n = 3 duger den vanliga vektorprodukten. Följande identitet gäller såväl den endimensionella som den tredimensionella vektorprodukten men följer inte av de definierande axiomen ovan.

4. u×(v×w) = (u⋅w)v − (u⋅v)w.

Se vidare på Multi-dimensional vector product.

Kjell Elfström

Svar:

Man brukar inte tala om kvadratroten i bestämd form när det gäller icke-positiva tal. Ekvationen z² = i har rötterna ±(−1/√2 + i/√2).

Kjell Elfström

Svar:

Räknar vi om till meter per sekund så kör mopeden med hastigheten 10 och bilen med hastigheten 500t/3. Vid tiden t befinner sig mopeden på avståndet s_m = 10t från trafikljuset. Om s_b betecknar sträckan bilen tillryggalagt så gäller att s_b′ = v = 500t/3 och därför är s_b = 500t²/6 + C = 250t²/3 + C. Eftersom s_b(0) = 0 så är C = 0. Mopeden och bilen befinner sig lika långt från trafikljuset då 10t = 250t²/3. Denna ekvation har lösningarna t = 0 och t = 3/25. Mopeden (och bilen) befinner sig då s_m(3/25) = 6/5 meter från trafikljuset.

2) Starta klockan när det andra tåget startar. Då har det första hunnit 150 km. Vid tiden t befinner sig det första tåget på avståndet 150 + 75t och det andra på avståndet 125t från stationen. Sätt uttrycken lika och lös ut t. Bestäm sedan avståndet genom att sätta in t i något av avståndsuttrycken.

Kjell Elfström

Svar:

När timvisaren rör sig ett varv rör sig minutvisaren 12 varv. När timvisaren rört sig x varv har minutvisaren alltså rört sig 12x varv. Villkoret att de skall befinna sig i rät vinkel i förhållande till varandra är att 11x = 12x − x = ±1/4 + n, där n är ett heltal. Eftersom 0 ≤ x ≤ 1 skall det gälla att 0 ≤ 1/44 + n/11 ≤ 1 ⇔ −1/4 ≤ n ≤ 43/4 i fallet med plustecken och eftersom n är ett heltal betyder detta att 0 ≤ n ≤ 10. I fallet med minustecknet får man på samma sätt att 1 ≤ n ≤ 11. Det blir 22 tillfällen då klockan går ett halvt dygn från 12 till 12.

Kjell Elfström

Svar:

En integrerande faktor är e^x. Se vidare under 8 mars 2006 18.16.10.

Kjell Elfström

Svar:

En integrerande faktor är e^3x/5. Ekvationen övergår i

som är ekvivalent med

Kjell Elfström

Svar:

Drag två gånger den andra ekvationen från den första så får du det ekvivalenta systemet

Om koefficienten för x i den första ekvationen inte är noll kan man lösa ut x ur den första ekvationen och sedan y ur den andra. För att lösning skall saknas måste alltså a = −1/2. Då lyder den första ekvationen 0 = b − 12. Om nu b verkligen är 12 kan man lösa systemet men om b inte är 12 ger den första ekvationen en motsägelse. Man kan alltså välja a = −1/2 och låta b vara vilket tal som helst utom 12.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan av 1 är 0, derivatan av sin är cos och derivatan av cos är −sin. Derivatan blir därför cos x cos 270 − sin x sin270. Derivatan av det andra uttrycket blir cos(x + 270).

Kjell Elfström

Svar:

När du läser detta svar har du förmodligen redan hämtat boken i skolan.

Kjell Elfström

Svar:

En kilometer är 1000 meter och en timme 3600 sekunder. Det blir alltså 216000/3600 m/s.

Kjell Elfström

Svar:

Sidan MatlabLecture6.pdf kan kanske hjälpa dig hur man skriver matlabprogrammet.

Om e₁ och e₂ är en bas av egenvektorer med egenvärden λ₁ och λ₂ så kan vi skriva y = z₁e₁ + z₂e₂. Eftersom y′ = z₁′e₁ + z₂′e₂ = Ay = z₁λ₁e₁ + z₂λ₂e₂ får man att z₁′ = λ₁z₁ och z₂′ = λ₂z₂, vilket är ekvivalent med att z₁ = c₁e^λ₁t, z₂ = c₂e^λ₂t. Egenvärdena är 1 och 3 och motsvarande bas av egenvektorer t ex (1,1), (−1,1).

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att räkna hur många kuber det finns med mittkuben borttagen. Tar man bort en sidomittkub får man ett objekt, det spelar ingen roll vilken sidas mittkub man tar bort. Det blir ändå samma objekt. På samma sätt får man bara ett nytt objekt oavsett vilken kantmittkub man tar bort. Slutligen får man ett nytt objekt om man tar bort ett godtyckligt hörn. Det blir 3 olika objekt med mittkuben borttagen.

Räkna sedan på antalet objekt med en sidomittkub borta. Den med kubens mitt borta är redan medräknad. Vi kan tar bort en annan sidomittkub. Här får man skilja på om man tar bort motstående sidas eller en närliggande sidas mitt. Det ger 2 objekt. Tag bort en kantmittkub. Om kanten gränsar till sidan med mitten borttagen får man ett objekt och om den inte gör det ett annat. Tag sedan bort ett hörn. Här får man också skilja på om hörnet gränsar till sidan med mitten borta eller inte. Totalt 6 objekt.

Tag sedan bort en kantmittkub. Fallen med kubmittkuben eller en sidomittkub borta är redan medräknade. Tag bort ytterligare en kantmittkub. Vi får 3 fall där de båda kuberna förekommer på samma sida av kuben och 3 fall där de inte gör det. Man kan i stället ta bort ett hörn. Nu får du fortsätta på egen hand. Det sista huvudfallet är när två hörn är borta.

Kjell Elfström

Svar:

Det är väl problemkonstruktören som inte tänkt sig för och sådant händer ju.

Om f(x + 2y) = f(x)f(y) för alla reella tal x och y så är f(x) = 0 för alla x eller så är f(x) = 1 för alla x. Det gäller ju att

och

Detta visar att för varje x gäller antingen att f(x) = 0 eller f(x) = 1. Antag att f(x) = 0 för något x. Om z är ett godtyckligt reellt tal kan vi skriva z = x + 2y, där y = (z − x)/2 och få att f(z) = 0. Detta visar att om f(x) = 0 för något x så är f(x) = 0 för alla x.

Kjell Elfström

Svar:

Högre aritmetik brukar också kallas talteori.

Kjell Elfström

Svar:

Nej, man har inte visat att cirkeln är en figur som har störst area givet en viss omkrets bara för att man visat att det inte kan finnas någon annan figur som har störst area. Det behöver ju inte finnas någon figur alls som har störst area i förhållande till omkretsen. Kan man dessutom visa att det måste finnas någon figur som har störst area så måste det vara cirkeln men det är alltså den detaljen som saknas i beviset som du har läst.

För ett bevis att det faktiskt finns en figur med störst area i förhållande till omkretsen, se Isoperimetriska problemet eller Varför ser man så få fyrkantiga träd?.

Kjell Elfström

Svar:

Välj först N så stort att |∑_n = k^N f_n(x) − F(x)| < ε för alla x i en omgivning av x₀. Använd sedan att

Triangelolikheten ger att

Tag sedan omgivningen så liten så att |f_n(x) − f_n(x₀)| < ε/N för n = k,…,N och alla x i omgivningen.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns oändligt många decimaltal mellan två olika tal, vilka som helst.

Kjell Elfström

Svar:

Använd att lg a + lg b = lg(ab) så får du att

Kjell Elfström

Svar:

Ingenstans vad jag vet. Det står dock ganska mycket om det om man följer länkarna på sidan The Mathematics of Fermat's Last Theorem.

Kjell Elfström

Svar:

Man får falldefiniera funktionen. f(x) = 10x om x ≤ 50 och 500 + 3(x − 50) = 350 + 3x om x > 50.

Kjell Elfström

Svar:

Definiera a_n genom a_n = s_n + 1 − s_n. Då är a_n = −a_n − 1/2 = (−1)ⁿa₀/2ⁿ. Om m > n följer det att

Använd Cauchy-Schwarz olikhet som tillämpad på vektorerna u = (|a₁|,|a₂|,…,|a_n|) och v = (|b₁|,|b₂|,…,|b_n|) ger

Kjell Elfström

Svar:

Drar du de fyra diagonalerna så uppstår åtta likbenta kongruenta trianglar, var och en med centrumvinkeln 2π/8 = π/4. Om d = 1205 är diametern så är de lika långa sidorna i triangeln r = d/2. Om s är triangelns tredje sida så ger cosinussatsen att s² = 2r² − 2r²cos(π/4) = 2r²(1 − 1/√2) = (2 − √2)r². Sidan är alltså √(2 − √2)r.

Kjell Elfström

Svar:

Låt a, b och c vara längderna av sidorna AB, BC resp. CA. Antag att vinkeln A är 2α och att vinkeln C är 2γ. Antag vidare att bisektrisen till A har längden d och att bisektrisen till C har längden e. Antag att den första och andra bisektrisen skär motstående sida i A′ resp. C ′. Då gäller att

eftersom 2α + 2γ = π/2. Sätter vi t = tan α så får vi att

Låt nu φ och ψ vara vinklarna AC′C resp. CA′A. Då ger sinussatsen att

Eftersom α + γ = π/4 så är sin 2γ = cos 2α och cos γ = (1/√2)(cos α + sin α). Dividerar vi likheterna ovan får vi att

vilket är ekvivalent med

Kjell Elfström

Svar:

Antag att linjen skär x-axeln då x = a. Då är linjens ekvation y = 3 − 3(x − 3)/(a − 3). Då x = 0 så är y = 3 + 9/(a − 3). Triangelarean är 24 = a(3 + 9/(a − 3))/2. Lös denna andragradsekvation så får du de båda möjliga a-värdena.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom 161 är produkten av primtalen 7 och 23 räcker det att visa att talet är delbart med vart och ett av dessa primtal. Eftersom 15 ≡ −1 och 8 ≡ 1 (mod 7) så är

Eftersom 15 ≡ −8 (mod 23) följer det att talet är delbart med 23 på samma sätt.

Jag förstår däremot inte hur man skulle kunna visa påståendet med hjälp av en miniräknare.

Kjell Elfström

Svar:

Jag avstår från att beräkna sannolikheterna för vinst om man följer reglerna utan beräknar bara sannolikheten att motståndaren får en större summa om den förste spelaren har en viss summa och inga andra kort än hans två har dragits. Antag att korten har valörerna a och b och att deras summa är σ. Antalet kort som återstår i leken är 50. Vi drar först ett och sedan ett. Det första kortet kan väljas på 50 sätt och nästa på 49 sätt. Det ger att antalet möjliga utfall är 50⋅49 = 2450. Vi börjar med att antaga att σ ≥ 15. Vi räknar på motståndarens valörkombinationer. Han kan få summan 28 bara på ett sätt. Det krävs att båda valörerna är äss. Man inser att han kan få summan 29 − k på k sätt om 1 ≤ k ≤ 13. Ersätter vi k med 29 − k ser vi att han kan få summan k på 29 − k sätt om 16 ≤ k ≤ 28. Antalet valörkombinationer som ger en summa som är större än σ är därför

Om vi kräver att de båda valörerna är lika med x så skall 2x > σ ⇔ x > σ/2. Om σ är ett jämnt tal betyder det att x ≥ σ/2 + 1 och om σ är udda att x ≥ (σ − 1)/2 + 1. Båda dessa olikheter kan skrivas x ≥ [σ/2] + 1, där [c] betecknar heltalsdelen av det reella talet c. Antalet valörkombinationer med lika valörer är därför

Antag nu att a är mindre än b, dvs 2 ≤ a < b ≤ 14. Av de valörpar som ger en större summa än σ finns det ett vars valörer båda är lika med b och inget vars valörer båda är lika med a. Antag att den första valören är lika med a. Då kan inte den andra vara b eller mindre eftersom summan i så fall är för liten. Däremot kan den andra valören vara vilken som helst av b + 1,b + 2,…,14. Det ger 14 − b par där den första valören är a. Antag att den första valören är b och den andra inte b. Då kan den andra vara någon av a + 1,… b − 1,b + 1,…,14. Det ger 13 − a par där valörerna är olika och den första valören är lika med b. I inget av dessa par är den andra valören a eller b. Det gör att vi får

par där den första eller andra valören är ett a eller b och valörerna är olika. Antalet par där valörerna är olika och båda skilda från a och b är

Antalet par med lika valör och ingen lika med a eller b är

Nu skall vi beräkna antalet gynnsamma kortpar. Om båda valörerna är olika och ingen lika med a eller b har vi 4 kort i varje valör att välja bland. Det blir 4² = 16 möjligheter för varje valörpar. Om båda valörerna är lika och ingen lika med a eller b kan det första kortet väljas på 4 sätt och det andra på 3 sätt. Det ger 4 ⋅ 3 = 12 kortpar. Om båda valörerna är b kan korten väljas på 3⋅2 = 6 sätt. Om ett kort är a eller b och det andra varken a eller b så finns det 3⋅4 = 12 möjligheter. Sannolikheten blir

Sannolikheten att summan är större än σ är densamma som sannolikheten att summan är mindre än 32 − σ. Om σ < 15 får vi därför att den sökta sannolikheten blir

I fall a = b blir funktionerna f och g naturligtvis desamma. Du får själv tänka igenom resten av stegen i det fallet.

Kjell Elfström

Svar:

De tekniska detaljerna får du läsa om i räknarens manual. Vi antar att talet finns inmatat i heltalsvariabeln a och att vi vill ha resultatet i strängen s. Följande pseudokod kan kanske hjälpa dig.

Om a = 0, sätt s = "0", skriv ut s och avsluta
Töm s
Så länge som a ≠ 0
{
   r = resten vid division av a med 2
   a = a/2 (heltalsdivision)
   lägg till r till vänster i s
}
Skriv ut s

Kjell Elfström

Svar:

Gå till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Se lie2003.ps, exemple 3.4, sidan 13.

Kjell Elfström

Svar:

Se 16 januari 2006 23.35.18.

Kjell Elfström

Svar:

Denna fråga är mer språkvetenskaplig än matematisk. Prova t ex med Språkfrågelådan.

Kjell Elfström

Svar:

Derivera. Det gäller att v = kRr² − kr³ och därför att v′ = 2kRr − 3kr² = kr(2R − 3r). Derivatan är noll då r = 0 eller r = 2R/3. Av teckenväxlingen ser man att v är som störst då r = 2R/3.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström