Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar januari 2006

Svar:

Det finns inget bråk som ligger närmast π. Varje tal med ändlig decimalutveckling kan skrivas som ett bråk. Tar man bara med tillräckligt många decimaler i utvecklingen av π kan man få bråktal som ligger så nära π som man vill.

Kjell Elfström

Svar:

8 hela är 8⋅8 = 64 åttondedelar. Skillnaden blir 59/8.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom varje pil kan ge högst 60 så kan man inte få mer än 180. Med två pilar kan man (bland annat) få 0, 20, 20 + 20 = 40, 20 + 40 = 60, 20 + 60 = 80, 40 + 60 = 100 och 60 + 60 = 120. Eftersom den tredje pilen kan ge alla tal i intervallet [0,20] visar detta att man kan få alla naturliga tal upp till och med 140. Det återstår att undersöka vilka tal i intervallet [141,180] som är möjliga att få. 60 + 60 på två pilar och en dubbel på den tredje ger alla jämna tal [141,160]. 60 + 57 på två pilar och en dubbel på den tredje ger alla udda tal i [141,160] utom 159. Eftersom 159 kan fås som 60 + 60 + 39 visar detta att alla tal i [0,160] är möjliga. Intervallet [161,180] återstår. 60 + 60 på två pilar och en trippel på den tredje ger alla tal som är delbara med 3 i intervallet. 60 + 50 = 110 = 111 − 1 = 3⋅37 − 1. Därför ger 60 + 50 på två pilar och en trippel på den tredje alla tal som är ett mindre än ett tal delbart med 3 upp till och med 170. I intervallet [161,180] kan man därför få 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 171, 174, 177, 180. De tal som återstår är 163, 166, 169, 172, 173, 175, 176, 178, 179. Med en trippel kan man få högst 60 + 50 + 50 = 160. För att få mer än 160 måste man alltså ha minst två tripelpilar. Den tredje måste vara 50 eller en trippel ty annars får man högst 160. Det visar att de tal i intervallet [161,170] som är möjliga måste vara delbara med 3 eller ett mindre än ett sådant tal. För att få mer än 170 måste man ha tre tripplar. De möjliga talen i [171,180] är därför delbara med 3. Detta visar att de tal man inte kan få är 163, 166, 169, 172, 173, 175, 176, 178, 179 (och alla tal som är större än 180).

Kjell Elfström

Svar:

Se 28 oktober 2005 19.10.48.

Kjell Elfström

Svar:

Det handlar inte om att göra mängden kontinuerlig utan i stället om att ange vad det betyder att funktioner definierade bara på heltalen är kontinuerliga. För att göra det behöver man veta vad det betyder att två punkter ligger nära varandra. Att den reellvärd funktion f definierad på mängden av reella tal är kontinuerlig i en punkt a betyder definitionsmässigt att f(x) → f(a) då x → a. Om d(x₁,x₂) = |x₁ − x₂| är den vanliga avståndsfunktionen på R betyder detta att det till varje ε > 0 skall finnas ett δ > 0 sådant att d(f(x),f(a)) < ε om d(x,a) < 0. Att funktionen f är kontinuerlig betyder att f är kontinuerlig för varje a ∈ R.

För att ange vad kontinuitet innebär för funktioner definierade på Z skall man därför först skaffa sig en avståndsfunktion på Z. Det kan vara naturligt att även här låta d(n₁,n₂) = |n₁ − n₂|. Man måste också ha en avståndsfunktion på värdemängden. I exemplet med den reellvärda funktionen ovan använde vi samma avståndsfunktion på definitionsmängden som på målmängden men det behöver man inte göra. I fallet med funktioner definierade på Z med värden i R kan det dock vara naturligt att använda avståndsfunktionen d(x₁,x₂) = |x₁ − x₂| även på målmängden. Definitionen av kontinuitet för funktioner f från Z till R i en punkt m blir då att det till varje ε > 0 skall finnas ett δ > 0 sådant att |f(n) − f(m)| < ε om |n − m| < δ. Resultatet blir att alla funktioner blir kontinuerliga. Det är bara att välja t ex δ = 1/2. Då måste ju n = m med följd att |f(n) − f(m)| = 0 < ε.

Det finns andra sätt att mäta avstånd mellan heltal. Man har t ex den p-adiska topologin i vilket ett heltal betraktas som litet om det är delbart med en hög potens av primtalet p. Om t ex p = 7 så är 5 ett stort tal medan 7¹⁰ = 282475249 är litet. Denna topologi används inom vissa delar av talteorin.

Derivata går inte att definiera på det vanliga sättet som gränsvärde av en differenskvot även om man har en avståndsfunktion eftersom det inte finns några små heltal h, skilda från noll. Ett sätt att generalisera derivatan av f i punkten n är att ta differensen f(n + 1) − f(n). En naturlig generalisering av integral är att låta ∫_a^b f(n) dn = ∑_{k = a + 1}^b f(k).

Kjell Elfström

3   0   och   4  -1   svaret ska bli 12,-4, 4 i första kolonnen, hur?
-1  2         0  2
1   1

Svar:

Använd definitionen av matrismultiplikation. Elementet på rad i, kolonn k i produkten är skalärprodukten mellan rad i i den vänstra och kolonn k i den högra matrisen. Rad 1 i den vänstra är (3 0), kolonn 1 i den högra är (4 0) (jag skriver den som en rad av typografiska skäl). Skalärprodukten blir 3⋅4 + 0⋅0 = 12. Detta blir elementet på plats (1,1) i produkten. Elementet på plats (2,1) är skalärprodukten av raden (−1 2) och kolonnen (4 0) som är lika med (−1 )⋅4 + 2⋅0 = −4. På samma sätt blir elementet på plats (3,1) skalärprodukten mellan (1 1) och (4 0) som är 4.

Kjell Elfström

Svar:

De metoder jag känner till bygger på att man utesluter alla utom ändligt många tal och sedan prövar dessa. Den ena metoden bygger på lösandet av så kallade lineära diofantiska ekvationer. Låt c vara antalet grodor. Om häxan köper x paket med fem grodor och y paket med 8 grodor så skall det gälla att 5x + 8y = c. När man bara söker heltalslösningar x och y kallas ekvationen diofantisk. Lösandet bygger på att man på något sätt hittar en lösning. En vanlig metod för att göra det är Euklides algoritm. I det här fallet ser man dock ganska enkelt att x = 5c, y = −3c är en lösning. Man kan sedan visa att samtliga lösningar ges av x = 5c − 8n, y = − 3c + 5n, där n är ett godtyckligt heltal. Vi skall nu avgöra för vilka värden på c det finns icke-negativa heltalslösningar x och y. Villkoret blir att 5c − 8n ≥ 0 och −3c + 5n ≥ 0. Löser vi ut n får vi att 3c/5 ≤ n ≤ 5c/8. Om avståndet mellan 5c/8 och 3c/5 är 1 eller mer får det alltid plats ett heltal n mellan dem. Eftersom avståndet är 5c/8 − 3c/5 = c/40 så finns det alltså en icke-negativ lösning om c ≥ 40. Man får sedan pröva alla c-värden från och med 1 till och med 39.

Man kan lösa problemet även om man inte känner till teorin för diofantiska ekvationer. Om c är en multipel 8y av 8 är det klart att att det går att köpa c grodor. Man köper y paket med åtta grodor och inga med fem. Det gör att man kan köpa 0, 8, 16, 24 och 32. Köper man dessutom ett paket med fem grodor får man också de möjliga värdena 5, 13, 21, 29 och 37. Dessa tio olika tal slutar på olika siffror. Man inser att man kan köpa till ett jämnt antal paket med fem grodor och på så sätt få varje c-värde större än eller lika med 40.

För att sedan systematiskt pröva vilka tal mindre än 40 som är möjliga att få kan man i uttrycket c = 5x + 8y först låta x = 0 och låta y genomlöpa värdena 0,1,2,3,4. Sedan låter man x = 1, y = 0,1,2,3,4, sedan x = 2, y = 0,1,2,3 osv. Sista gången låter man x vara 7 och då måste y = 0. Det största tal mindre än 40 som inte förekommer i den lista man får är 27.

Kjell Elfström

Svar:

Det ligger 1 riskorn på ruta 1, 2 på ruta 2, 2² på ruta 3, 2³ på ruta 4. Man inser att det ligger 2⁶³ riskorn på ruta 64.

Kjell Elfström

Svar:

Har du x kronor nu så har du x(1 + 0,05 − 0,015)¹⁵ = x(1,035)¹⁵ kronor om 15 år. Lös ut x ur ekvationen x(1,035)¹⁵ = 1200.

Kjell Elfström

Svar:

a_n + 1 = 2a_n + 2.

Kjell Elfström

Svar:

Man skall välja 1 söndrig lampa och det kan göras på 2 sätt. De hela lamporna kan väljas ut på (⁸₃) sätt. Multiplikationsprincipen ger att det finns 2⋅(⁸₃) = 112 möjliga val.

Kjell Elfström

L1: x=2t          L2: x=t
    y=3+2t            y=5-4t
    z=5-3t            z=-1+6t

Svar:

Bilda planet som innehåller den ena linjen och är parallellt med den andra. Planet som innehåller L₁ och är parallellt med L₂ innehåller t ex punkten (2,3,5) och har basvektorerna (2,2,−3) och (1,−4,6). Skriv planets ekvation på normalform. Det sökta avståndet fås sedan som det kortaste avståndet mellan en godtycklig punkt på L₂, t ex (0,5,−1), och planet. För att beräkna detta kan avståndsformeln (punkt-plan) användas.

Kjell Elfström

Svar:

Låt, som i det tidigare svaret, x vara halva kordan. Arean av sektorn med medelpunktsvinkeln 2φ är lika med φ. Den övre rätvinkliga triangelns kateter är cos φ och sin φ. Hela den likbenta triangelns area är därför cos φ sin φ. Segmentets area är följaktligen φ − cos φ sin φ. Använd nu att φ = arcsin x, sin φ = x och cos φ = √(1 − sin² φ) = √(1 − x²).

Kjell Elfström

Svar:

Den är definierad då x > 3y. Värdemängden är R. Sätt y = 0 och låt x genomlöpa alla positiva värden.

Kjell Elfström

Svar:

T ex ((4 + √4)! + 4!)/4!.

Kjell Elfström

Svar:

1. Kalla den primitiva funktionen för F(x). Då ger två partiella integrationer att

Nu kan du lösa ut F(x) ur ekvationen.

2. Sätt t = sin x och gör sedan en partialbråksuppdelning.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom det är fyra vektorer i R⁴ utgör de en bas om och endast om de är lineärt oberoende. Bilda den determinant vars kolonner utgörs av vektorerna. Addera de tre första raderna till den sista raden. Drag därefter den första kolonnen från de övriga tre kolonnerna. Utveckla sedan efter den sista raden.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att dx/dt = 4 och dz/dt = −6. Eftersom y = 1/(1/x + 1/z) = xz/(x + z) så är dy/dt = (((dx/dt)z + x(dz/dt))(x + z) − xz(dx/dt + dz/dt))/(x + z)². Sätt nu in att dx/dt = 4, dz/dt −6, x = z = 40.

Kjell Elfström

Svar:

Genom att renodla begrepp ser man ofta saker som man inte skulle ha sett annars. Ibland ser man som bekant inte skogen för alla träd.

Kjell Elfström

Svar:

Trachtenbergs system består av metoder för snabba aritmetiska beräkningar. Det ligger nog inte i tidsandan att införa något sådant i skolorna. Det finns de som menar att lång division inte behövs eftersom man kan använda miniräknare.

Kjell Elfström

Svar:

”Alltså” skrivs som en prick över två prickar (∴). Två prickar över en (∵) används ibland för ”eftersom”. Tecknen finns definierade i TeX och har i Unicode beteckningarna ”therefore” resp. ”because”.

Kjell Elfström

Svar:

Det anses att människor med matematisk begåvning ofta är musikaliska. Jag vet inte hur stark kopplingen är.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns ganska många artiklar om sudoku på internet. Några förslag till projektarbeten hittar ni på sidan Projekt. Matematik i andra kulturer och matematikerbiografier finns på The MacTutor History of Mathematics archive. Det finns också många artiklar på nätet om π, t ex A history of Pi.

Kjell Elfström

Svar:

Det är två olikheter som skall vara uppfyllda, dels −3 ≤ a + 2 och dels a + 2 < 11 − 2a. I den första olikheten subtraherar vi 2 från båda led och får att a ≥ −5. I den andra flyttar vi också över och byter tecken och får 3a < 9, vilket är ekvivalent med a < 3. Det gäller därför att a uppfyller båda olikheterna då −5 ≤ a < 3.

Kjell Elfström

Svar:

Se 13 maj 2004 14.45.56.

Kjell Elfström

Svar:

Se 31 januari 2002 18.12.44.

Kjell Elfström

Svar:

Se bland gratisprogrammen på sidan Other Sources of Math Software Information.

Kjell Elfström

F   98,6    212
C   37      100

Svar:

Enligt förutsättningarna är C = kF + m. Tabellen ger att 37 = 98,6k + m och 100 = 212k + m. Subtraherar vi den ena ekvationen från den andra får vi 100 − 37 = (212 − 98,6)k. Lös ut k ur denna ekvation och bestäm sedan m genom insättning av k-värdet i en av ekvationerna.

Kjell Elfström

Svar:

Addera alla siffrorna i talen 0,1,…,999999 och lägg därefter till 1. Det finns 10⁶ entalssiffror, 10⁵ av var och en av siffrorna 0,1,…,9. Summan av entalssiffrorna är därför 10⁵(0 + 1 + ^… + 9) = 45⋅10⁵. Man inser att uppsättningen av 10-talssiffror är densamma. Siffrorna är bara uppräknade i en annan ordning. Samma sak kan sägas om 100-talssiffrorna, 1000-talssiffrorna, 10000-talssiffrorna och 100000-talssiffrorna. Summerar vi och lägger till 1 får vi därför 6⋅45⋅10⁵ + 1 = 27000001.

Kjell Elfström

Svar:

Vänsterledet är lika med 32y + 5. Ekvationen är därför ekvivalent med 29y = −28. Lösningen är y = −28/29.

Kjell Elfström

Svar:

Räkna modulo 11. Eftersom 10 ≡ −1 (mod 11) så är 10^k ≡ (−1)^k (mod 11). Vi får att

och det följer att a är delbart med 11 om och endast om den alternerande siffersumman är delbar med 11.

Kjell Elfström

Svar:

Det är tillräckligt att visa påståendet då x = 0. Antag först att f är två gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning av 0. Då är enligt Taylors formel

och

för några tal ξ₁ och ξ₂ mellan −h och h. Det följer att

på grund av att f ″ är kontinuerlig i 0. Definiera i det allmänna fallet g(x) = f(0) + f ′(0)x + f ″(0)x²/2. Då är g två gånger kontinuerligt deriverbar varför påståendet gäller om f = g. Sätt f₁ = f − g. Då är f₁(0) = f₁′(0) = f₁″(0) = 0. Eftersom f = f₁ + g räcker det att vi visar påståendet för funktionen f₁. Det gäller enligt medelvärdessatsen att

där ξ uppfyller att |ξ| < |h|. Eftersom den deriverbara funktionen f₁′ av en variabel är differentierbar så finns det en funktion ε sådan att

och ε(x) → 0 då x → 0. Vi får att

Kjell Elfström

Svar:

För varje talföljd a_n som är sådan att a_n + 2 = a_n + 1 + a_n från och med ett visst värde på n gäller att kvoten går mot det gyllene snittet. Detta gäller oberoende av startvärdena. Om följden är uppbyggd på liknande sätt i något annat avseende, t ex om a_n + 2 = 2a_n + 1 + 3a_n, behöver inte kvoten gå mot det gyllene snittet.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på hur många smörgåsar tanterna åt. De åt kanske inga alls och i så fall gick det åt 126⋅3 = 378 smörgåsar.

Kjell Elfström

Svar:

Man kallar ofta längdgrader för longituder. Talet π är förhållandet mellan omkretsen och diametern i en cirkel. Vet man att diametern är 6 m kan man alltså beräkna omkretsen till 6π m. Ett ungefärligt värde på π är 3,14. Konstanten ingår också i formeln för arean av en cirkel. Om radien är r så är arean πr². Radien är halva diametern och för cirkeln ovan är alltså radien 3 m och arean π⋅3² = 9π m.

Kjell Elfström

Svar:

1) Fönstret var kanske en kvadrat med diagonalerna 1 placerat med två motstående hörn utefter en lodlinje från början. Sedan roterade snickaren det ett kvarts varv och förstorade det så att sidorna fick längden 1. Från början hade det enligt Pythagoras sats sidan 1/√2 och arean 1/2. I det andra fallet är arean 1.

2) Jag kan inte se att det går att få ut fler än fem. Skär ut fyra rutor genom att skära bort en kvadrat från varje hörn. Det återstår sedan en figur som ser ut som ett plustecken. Ur denna kan man skära ut ytterligare en ruta.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om du känner till begreppet kongruens modulo ett positivt heltal men detta begrepp förenklar bevisföringen. Man säger att a ≡ b (mod n) om a − b är delbar med n. Det innebär att a och b ger samma rest vid heltalsdivision med n. I fortsättningen kommer jag med kongruens mena kongruens modulo talet n = 9 och skriver bara a ≡ b. Vi noterar följande räkneregler som gäller även då n ≠ 9:

1) a ≡ b och c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d.

2) a ≡ b och c ≡ d ⇒ ac ≡ bd.

Eftersom 10 ≡ 1 så är enligt 2) 10ⁿ ≡ 1ⁿ = 1. Låt a = a_n⋅10ⁿ + a_n − 1⋅10^n − 1 + ^… + a₁⋅10 + a₀ vara ett naturligt tal och s_a = a_n + a_n − 1 + ^… + a₁ + a₀ dess siffersumma. Då är a ≡ s_a enligt reglerna 1) och 2) och konstaterandet strax efter dem. Betrakta nu en produkt ab. Då gäller att ab ≡ s_ab och eftersom a ≡ s_a och b ≡ s_b så följer av regel 2) att ab ≡ s_as_b. Det gäller alltså att s_ab ≡ s_as_b, dvs produktens siffersumma och produkten av siffersummorna är kongruenta modulo 9. Det betyder inte nödvändigtvis att de är lika som din fråga kanske antyder. Man kan dock fortsätta att ta siffersummor av båda led upprepade gånger ända tills man får ensiffriga tal. Dessa ensiffriga tal måste vara lika.

Antag t ex att a = b = 99. Då är ab = 9801, s_ab = 18, s_a = s_b = 18, s_as_b = 324. Här ser vi att s_ab ≠ s_as_b. Tar vi däremot siffersummorna av dessa tal får vi 9 i båda fallen.

Kjell Elfström

Svar:

Måttet av en tetraeder i n dimensioner är måttet av bastetraedern (i n − 1 dimensioner) multiplicerad med höjden dividerad med n. Låt höjden vara utefter x₁-axeln från x₁ = 0 till x₁ = h. Skär man tetraedern med multiplanet x₁ = x får man en (n − 1)-dimensionell tetraeder. Förhållandet mellan måttet av denna och måttet av bastetraedern är på grund av likformighet (x/h)^n − 1. Måttet av tetraedern vid x₁ = x blir därför (x^n − 1/h^n − 1)V, där V är måttet av bastetraedern. Måttet av den n-dimensionella tetraedern blir därför ∫₀^h x₁^n − 1dx₁V/h^n − 1 varav påståendet följer.

Kjell Elfström

Svar:

Serien är inte en geometrisk serie. Dessutom kan inte summationen börja på n = 0 på grund av faktorn n i nämnaren. För att serien skall vara konvergent krävs att y < 0. Jag kan inte se hur man kan ge summan på sluten form. Jag kan heller inte ange ett approximativt värde utan att känna y.

Kjell Elfström

Svar:

Runda  0: ( 0,24), ( 1,23), ( 2,22), ( 3,21), ( 4,20), ( 5,19), ( 6,18), ( 7,17), ( 8,16), ( 9,15), (10,14), (11,13), (25,12)
Runda  1: ( 1, 0), ( 2,24), ( 3,23), ( 4,22), ( 5,21), ( 6,20), ( 7,19), ( 8,18), ( 9,17), (10,16), (11,15), (12,14), (13,25)
Runda  2: ( 2, 1), ( 3, 0), ( 4,24), ( 5,23), ( 6,22), ( 7,21), ( 8,20), ( 9,19), (10,18), (11,17), (12,16), (13,15), (25,14)
Runda  3: ( 3, 2), ( 4, 1), ( 5, 0), ( 6,24), ( 7,23), ( 8,22), ( 9,21), (10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (15,25)
Runda  4: ( 4, 3), ( 5, 2), ( 6, 1), ( 7, 0), ( 8,24), ( 9,23), (10,22), (11,21), (12,20), (13,19), (14,18), (15,17), (25,16)
Runda  5: ( 5, 4), ( 6, 3), ( 7, 2), ( 8, 1), ( 9, 0), (10,24), (11,23), (12,22), (13,21), (14,20), (15,19), (16,18), (17,25)
Runda  6: ( 6, 5), ( 7, 4), ( 8, 3), ( 9, 2), (10, 1), (11, 0), (12,24), (13,23), (14,22), (15,21), (16,20), (17,19), (25,18)
Runda  7: ( 7, 6), ( 8, 5), ( 9, 4), (10, 3), (11, 2), (12, 1), (13, 0), (14,24), (15,23), (16,22), (17,21), (18,20), (19,25)
Runda  8: ( 8, 7), ( 9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1), (15, 0), (16,24), (17,23), (18,22), (19,21), (25,20)
Runda  9: ( 9, 8), (10, 7), (11, 6), (12, 5), (13, 4), (14, 3), (15, 2), (16, 1), (17, 0), (18,24), (19,23), (20,22), (21,25)
Runda 10: (10, 9), (11, 8), (12, 7), (13, 6), (14, 5), (15, 4), (16, 3), (17, 2), (18, 1), (19, 0), (20,24), (21,23), (25,22)
Runda 11: (11,10), (12, 9), (13, 8), (14, 7), (15, 6), (16, 5), (17, 4), (18, 3), (19, 2), (20, 1), (21, 0), (22,24), (23,25)
Runda 12: (12,11), (13,10), (14, 9), (15, 8), (16, 7), (17, 6), (18, 5), (19, 4), (20, 3), (21, 2), (22, 1), (23, 0), (25,24)
Runda 13: (13,12), (14,11), (15,10), (16, 9), (17, 8), (18, 7), (19, 6), (20, 5), (21, 4), (22, 3), (23, 2), (24, 1), ( 0,25)
Runda 14: (14,13), (15,12), (16,11), (17,10), (18, 9), (19, 8), (20, 7), (21, 6), (22, 5), (23, 4), (24, 3), ( 0, 2), (25, 1)
Runda 15: (15,14), (16,13), (17,12), (18,11), (19,10), (20, 9), (21, 8), (22, 7), (23, 6), (24, 5), ( 0, 4), ( 1, 3), ( 2,25)
Runda 16: (16,15), (17,14), (18,13), (19,12), (20,11), (21,10), (22, 9), (23, 8), (24, 7), ( 0, 6), ( 1, 5), ( 2, 4), (25, 3)
Runda 17: (17,16), (18,15), (19,14), (20,13), (21,12), (22,11), (23,10), (24, 9), ( 0, 8), ( 1, 7), ( 2, 6), ( 3, 5), ( 4,25)
Runda 18: (18,17), (19,16), (20,15), (21,14), (22,13), (23,12), (24,11), ( 0,10), ( 1, 9), ( 2, 8), ( 3, 7), ( 4, 6), (25, 5)
Runda 19: (19,18), (20,17), (21,16), (22,15), (23,14), (24,13), ( 0,12), ( 1,11), ( 2,10), ( 3, 9), ( 4, 8), ( 5, 7), ( 6,25)
Runda 20: (20,19), (21,18), (22,17), (23,16), (24,15), ( 0,14), ( 1,13), ( 2,12), ( 3,11), ( 4,10), ( 5, 9), ( 6, 8), (25, 7)
Runda 21: (21,20), (22,19), (23,18), (24,17), ( 0,16), ( 1,15), ( 2,14), ( 3,13), ( 4,12), ( 5,11), ( 6,10), ( 7, 9), ( 8,25)
Runda 22: (22,21), (23,20), (24,19), ( 0,18), ( 1,17), ( 2,16), ( 3,15), ( 4,14), ( 5,13), ( 6,12), ( 7,11), ( 8,10), (25, 9)
Runda 23: (23,22), (24,21), ( 0,20), ( 1,19), ( 2,18), ( 3,17), ( 4,16), ( 5,15), ( 6,14), ( 7,13), ( 8,12), ( 9,11), (10,25)
Runda 24: (24,23), ( 0,22), ( 1,21), ( 2,20), ( 3,19), ( 4,18), ( 5,17), ( 6,16), ( 7,15), ( 8,14), ( 9,13), (10,12), (25,11)

Kjell Elfström

Svar:

Väntevärdet är enkelt i det första fallet. Väntevärdet i varje enskilt spel är (1/20)vinstbeloppet och därför är det sammanlagda väntevärdet 10(1/20)vinstbeloppet = (1/2)vinstbeloppet. Det är alltså samma väntevärde som i det andra fallet. Om du menar sannolikheten för vinst vid minst en dragning så har du räknat rätt i båda fallen.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, många. Maple används av många matematiker men kostar pengar. Se Guide to Available Mathematical Software.

Kjell Elfström

Svar:

Jag visste inte att frågan handlade om Malmö. Se 29 mars 1997 22.55.39.

Kjell Elfström

Svar:

Normalt krävs det att man har studier på nivån 61-80 poäng i ämnet man vill bli forskarstuderande i. I matematik krävs minst 80 poäng matematik, varav minst 20 poäng på nivån 61-80 poäng. När man sedan söker en doktorandtjänst konkurrerar man med andra sökande som kan vara mer meriterade.

Kjell Elfström

Svar:

För negativa k blir gränsvärdet, som du gissar, (1/2)(k − √(k² + 4)). Värdet är gränsvärdet av den rekursivt definierade talföljden a₀ = k, a_n + 1 = k + 1/a_n.

Kjell Elfström

Svar:

Ett bråktal a/b är ju resultatet av en division mellan två heltal a och b. Samtidigt är det ju så att resultatet inte alltid är ett heltal utan man har behov att införa ett nytt slags tal som kallas rationella tal. På samma sätt är ju a + b resultatet av en addition samtidigt som det är ett tal. I fallet med addition behöver man dock inte införa några nya tal eftersom resultatet alltid är ett heltal om a och b är heltal. Att förklara för barn vad rationella tal är verkar för mig vara samma sak som att förklara hur de tillämpas. Illustrera med tårtbitar.

Kjell Elfström

Svar:

Se 15 december 2002 17.34.59.

Kjell Elfström

Svar:

∞ har ingen självständig betydelse. Man kan alltså inte säga att ∞ är ett tal. Det förekommer i sammansatta uttryck som t ex 1/x² → ∞ då x → 0 men det betyder inte att 1/0 är definierat och är lika med ∞. På samma sätt innehåller inte intervallet [0,∞) något oändligt tal utan består bara av alla vanliga reella tal som är större än eller lika med 0.

Kjell Elfström

Svar:

Låt s₁ och s₂ vara de sökta sträckorna. Då är s₁ + s₂ = 50. Antag att tiden det tar för dem att mötas är t. Då är s₁ = 7t och s₂ = 9t. De båda ekvationerna ger att 16t = 50, varav t = 25/8. Vi får att s₁ = 175/8 mil och s₂ = 225/8 mil.

Kjell Elfström

Svar:

Överföringsfunktionen har en pol i det högra halvplanet, vilket gör systemet instabilt. Skickar man in en sinusfunktion kommer det ut en summa där en av termerna är en multipel av en exponentialfunktion som går mot ∞ då t → ∞.

Kjell Elfström

Svar:

Euklides algoritm är ett snabbt och bra sätt. Se Euclidean Algorithm eller sök bland våra tidigare svar.

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att beräkna volymen och bestäm a därefter. Kurvan skär x-axeln då x = a. Volymen bli därför

Derivera med avseende på a och gör som vanligt.

Kjell Elfström

Svar:

Se den översta figuren på sidan Golden Ratio. Hela rektangeln skall vara likformig med den nedre rektangeln. Det betyder att φ/1 = 1/(φ − 1) och denna ekvation har en positiv lösning. nämligen φ = (1 + √5)/2. Det har länge inom konsten ansetts att denna proportion är särskilt vacker.

Kjell Elfström

Svar:

Summan 7 kan fås som 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 och 6 + 1, dvs på 6 olika sätt. Det totala antalet utfall är 6⋅6 = 36 eftersom varje tärning kan visa sex olika sidor. Sannolikheten för att få 7 är därför 6/36 = 1/6. Som jämförelse kan nämnas att 2 bara kan fås på ett enda sätt, nämligen som 1 + 1. Sannolikheten att få 2 är därför 1/36.

Kjell Elfström

Svar:

Någon exakt medianålder går inte att bestämma utifrån förutsättningarna. Ett approximativt värde får man om man ser till att det till vänster om medianåldern finns lika stor area som det finns till höger. Histogrammets totala area är 10⋅12 + 10⋅72 + 10⋅68. Låt m vara medianåldern. Vi gissar att m ligger mellan 30 och 40 år. Till vänster om m är då arean 10⋅12 + (m − 30)⋅72 och till höger är arean (40 − m)⋅72 + 10⋅68. Lös ut m ur ekvationen. Hade gissningen varit felaktig hade vi märkt det när vi löste ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns i allmänhet flera olika tänkbara lösningar. Ibland finns det reella lösningar, ibland inte. T ex är 2^1/2 = 1.414… en lösning till ekvationen x² = 2. Det finns emellertid en till, nämligen −2^1/2 = −1.414… Här är räknaren säkerligen programmerad att visa den positiva lösningen. Tar man i stället (−1)^1/2 så måste man få ett icke-reellt svar eftersom ekvationen x² = −1 inte har reella lösningar. När man kommer till exponenter som inte är heltal måste man först klargöra vad potensen skall betyda. Håller man sig till rationella exponenter m/n, där m och n inte har några gemensamma primtalsfaktorer, bör definitionen vara sådan att x = a^m/n är en lösning till ekvationen xⁿ = a^m. Eftersom 0,8 = 4/5 så skall (−2)^0,8 vara en lösning till x⁵ = (−2)⁴ = 16 och det finns ju reella sådana. Tar man i stället x = (−2)^0,7 så skall detta tal lösa ekvationen x¹⁰ = (−2)⁷ = −128 och här finns ingen reell lösning.

Kjell Elfström

Svar:

3% betyder 3/100 eller 0,03. 3% av 400 är 0,03⋅400 = 12.

Kjell Elfström

Svar:

Stolpdiagram brukar användas när frekvenser av diskreta storheter skall redovisas, särskilt då storheten bara kan vara ett heltal. Ett försäkringsbolag har kanske tagit reda på hur många skador deras försäkringstagare drabbats av under ett år. Man kan då rita en stolpe för 0 skador, en för 1 skada, en för 2 skador osv. och låta stolpens höjd motsvara antalet personer som drabbats av så många skador. Undersöker man i stället hur många skador som folk i olika åldrar drabbas av kan det vara naturligt med ett stapeldiagram. Man har då åldrarna på x-axeln och delar kanske in försäkringstagarna i olika åldersgrupper, säg 0-10, 10-20, 20-30 osv. Den första stapeln bas täcker då området från 0 till 10, den andra från 10 till 20 osv. Det är naturligt att använda staplar i detta fall eftersom man kan tänka sig att göra intervallen allt mindre så att staplarnas överdelar alltmer närmar sig en kontinuerlig kurva.

Kjell Elfström

Svar:

Man måste veta vilken sorts funktion det är. Om man vet att det är en rät linje räcker det att känna två punkter på grafen, är det ett andragradspolynom räcker det att känna tre punkter. Grafen kan vara på formen y = Ce^kx och då räcker två punkter osv.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att

och

Utvecklingen blir

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att bottensexhörningens hörn ligger på en cirkel med radien r och att motstående hörn ligger på en halvcirkel som är vinkelrät mot marken och har radien r. Skär man tältet med ett plan parallellt med marken på höjden z så får man en sexhörning. Pythagoras sats ger att denna sexhörnings halva diameter är √(r² − z²). Var och en av de sex trianglarna i sexhörningen har därför två sidor vilkas längd är √(r² − z²). Mittpunktsvinkeln är 2π/6 = π/3. Sinussatsen ger att varje triangel har arean (√(r² − z²))² sin(π/3)/2 = (√3)(r² − z²)/4. Hela sexhörningens area är därför 3(√3)(r² − z²)/2. Integrera från 0 till r.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Position Of The Sun eller sök efter liknande fraser på internet. Det är ganska komplicerade samband men det mesta är trigonometri.

Kjell Elfström

Svar:

Här är man hänvisad till numeriska metoder. Jag tvivlar på att man kan lösa den exakt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är bland annat ett test av dator- och programmeringsteknik. T ex har felaktigheter i processorer upptäckts tack vare dessa försök. Dessutom är modern kryptoteknik baserad på att stora heltal tar lång tid att faktorisera i primfaktorer. Därför kan det vara värdefullt att testa gränserna.

Kjell Elfström

Svar:

Det bör räcka att se till att tyngdpunkten är i navet. Kontakta Nationellt resurscentrum för fysik för säkerhets skull.

Kjell Elfström

Svar:

Se 12 oktober 2005 16.14.19. Integralerna där kan beräknas exakt men det blir vidlyftiga uttryck.

Kjell Elfström

Svar:

Jag väljer att avstå från att beräkna denna sannolikhet eftersom räkningarna blir ganska omfattande. Man får utreda vilka kortkombinationer på bordet som gör att den första handen vinner mot denna andra och sedan addera sannolikheterna för dessa. Anledningen till att räkningarna blir omfattande är att det blir många fall att taga hänsyn till.

Kjell Elfström

Svar:

Koncentrationerna är c₁ = 0,0002 resp. c₂ = 0,000002. Antag att hela volymen är V₁ före spädningen. Hur stor volym V skall då tillföras. Volymen av ämnet som man räknar koncentrationen av är före och efter spädningen V₁c₁. Koncentrationen efter spädningen är därför V₁c₁/(V₁ + V). Eftersom koncentrationen efter spädningen skall vara c₂ gäller det att V₁c₁/(V₁ + V) = c₂, vilket ger att V = V₁(c₁ − c₂)/c₂.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att korten behöver komma i den angivna ordningen och det är en möjlig anledningen till att du får fel. Att dra 5 kort ur en kortlek med 52 kort kan göras på (⁵²₅) = 52⋅51⋅50⋅49⋅48/(1⋅2⋅3⋅4⋅5) sätt om man inte tar hänsyn till ordningsföljden. Tar man heller inte hänsyn till ordningsföljden när man räknar på de gynnsamma fallen så finns det bara ett sätt att få de fem korten på. Sannolikheten blir därför 1/(⁵²₅) = 1⋅2⋅3⋅4⋅5/(52⋅51⋅50⋅49⋅48). Se 16 december 2005 13.26.46 för räkningar av liknande slag.

Se Schrödinger Equation.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skulle lösa den så här:

Kjell Elfström

Svar:

Det är en rimlig begäran. Jag tror att den skall fungera nu.

Kjell Elfström

Svar:

Att r′ = −s′ följer av att r + s = 1. Tecknet <> användes i brist på bättre för ”skilt från”. Jag skulle idag ha använt tecknet ≠. När du deriverar f med avseende på t får du en faktor r′ i den första termen och en faktor s′ i den andra termen som inre derivator. Utför derivationen så får du se. Eftersom r′ = −s′ så kan du bryta ut en faktor r′ ur derivatan. Eftersom denna faktor inte är noll måste den återstående faktorn vara noll. Om du vill derivera mer ”handgripligt” kan du sätta in att r = t/(2π) och s = 1 − r = 1 − t/(2π) i uttrycket för f och sedan derivera med avseende på t. Därefter kan du lösa ekvationen f ′(t) = 0 numeriskt.

Resten av lösningen är kanske onödigt komplicerad om det bara gäller att finna en numerisk lösning. Jag var inställd på att finna en exakt lösning.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan alla men inte i rätt ordning. På sidan The Pi Page finns ett stort antal π-decimaler uppradade.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte svara på den frågan. Olika människor har olika svårt för olika delar av matematiken och kurser med väsentligen samma innehåll kan upplevas som olika svåra beroende på undervisningsform och hur examinationen är upplagd.

Kjell Elfström

Svar:

Det hela bygger på att det ofta är mycket lättare att jämföra en funktion med noll än att jämföra två funktioner med varandra. Många matematiska satser understöder sådana resonemang. T ex gäller det att f är växande på ett intervall I om f ′(x) ≥ 0 då x ∈ I. Någon sats som säger att f växer snabbare än g om f ′(x) ≥ g′(x) brukar aldrig nämnas. Vet man att f ′(x) ≥ g′(x) utnyttjar man i stället ett h′(x) ≥ 0, där h(x) = f(x) − g(x), och drar slutsatsen att h är växande.

Kjell Elfström

Svar:

Monstret kan alltså inte få två likadana vapen. Antalet kombinationer (välj ut två av fem) är (⁵₂) = 5⋅4/(2⋅1) = 10. Antalet kombinationer i vilka det sökta vapnet inte ingår är (välj två av fyra) (⁴₂) = 4⋅3/(2⋅1) = 6. Antalet kombinationer i vilka det ingår är därför 10 − 6 = 4. Sannolikheten blir 4/10 = 2/5.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt x = a sin t. Då är dx = a cos t dt och vi får att

Kjell Elfström

Svar:

Skall det undersökas om den är konvergent? Eftersom 0 ≤ |cos(nx)/n²| ≤ 1/n² är serien ∑|cos(nx)/n²| konvergent enligt en jämförelsesats för positiva serier. Det visar att den ursprungliga serien är absolutkonvergent och därför konvergent enligt en annan sats som ni säkert tagit upp.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen z³ = −8 (du har skrivit fel, det är (−8)^1/3 som skall beräknas) har tre olika komplexa lösningar och räknaren ger tydligen en annan än den reella .

Kjell Elfström

Svar:

Enligt formeln för den geometriska serien är

Utvecklingen är giltig då |t/3| < 1 ⇔ |t| < 3. Ersätt nu t med x − 3. Att det blir Taylorutvecklingen man får med detta förfarande kan man motivera med entydighetssatsen.

Du kan naturligtvis också derivera. Det gäller att f^(k)(x) = (−1)^kk!/x^k + 1 och därför att f^(k)(3) = (−1)^kk!/3^k + 1. Serien blir

Kjell Elfström

Svar:

Informationen räcker inte för att besvara frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Tankegången verkar vara riktig. Tangenten går genom en punkt (p,p² − 2p + 9) och har riktningskoefficient 2p − 2. Dess ekvation är därför y − (p² − 2p + 9) = (2p − 2)(x − p). Sätt in x = y = 0 så får du −(p² − 2p + 9) = −(2p − 2)p. Nu behöver du bara lösa ut p ur denna andragradsekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Vilket m-värde du än väljer så får ekvationen bara en lösning. Det finns alltså inget sådant m-värde som du söker.

Kjell Elfström

a) x = 2 + 2t             b) x = 5 - t
   y = 6 - t                 y = 3 - t
   z = 3 - 2t                z = 3 + 4t

Svar:

Om problemet skall vara möjligt att lösa så måste plan 2 innehålla båda linjerna, vilket innebär att linjerna är parallella eller skär varandra. Det visar sig att linjerna skär varandra i punkten (6,4,−1). Låt plan 2 vara planet som innehåller denna punkt och är parallellt med linjernas riktningsvektorer (2,−1,−2) och (−1,−1,4). Det finns sedan flera olika val för plan 1 och 3. Plan 1 kan t ex innehålla punkten (6,4,−1) och vara parallellt med vektorn (2,−1,−2) och en annan vektor som inte är en lineärkombination av linjernas riktningsvektorer. Plan 3 kan bestämmas på samma sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är inte sant att 2iπ = 0 och det beror på att den komplexa logaritmen inte är entydigt bestämd. Likheten e^a + bi = e^c + di är ekvivalent med att a = c och b = d + 2πn för något heltal n.

Kjell Elfström

Svar:

Din sista fråga är lättast. Sannolikheten för att ett visst kast visar klave är 1/2. Försöken är oberoende och därför är sannolikheten att alla kasten visar klave (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = (1/2)⁴ = 1/16.

Kräver vi att två utvalda kast, t ex det första och tredje, skall visa krona och de båda övriga klave så blir sannolikheten (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16 även nu. Sannolikheten att få krona i kronkasten är ju 1/2 och sannolikheten för klave i klavekasten är också 1/2. Nu är det ju inte bara krona i kast 1 och 3 som ger det önskade utfallet. Krona i kast 1 och 4 går ju lika bra och har samma sannolikhet. De båda kronkasten kan väljas ut på (⁴₂) = 6 sätt. Den sökta sannolikheten blir därför 6⋅(1/16) = 3/8.

Kjell Elfström

Svar:

EFF delar inte ut några priser för metoder med vilkas hjälp man kan finna stora Mersenneprimtal. Det är upptäckten av de faktiska primtalen som belönas. Vill du få ett pris för ett primtal som du funnit med din metod så måste du visa att talet verkligen är ett primtal och det kan göras genom att du visar att metoden fungerar eller på något annat metodoberoende sätt. De officiella reglerna finns publicerade hos Electronic Frontier Foundation.

Kjell Elfström

Svar:

Låt p vara det ursprungliga sannolikhetsmåttet och q det betingade. En ingrediens som måste ingå i definitionen är att q(A) = kp(A ∩ B) skall vara proportionell mot p(A ∩ B) och det är också tillräckligt om man betänker att q skall vara ett sannolikhetsmått. Om utfallsrummet är Ω och vi sätter A = Ω får vi att 1 = q(Ω) = kp(Ω ∩ B) = kp(B) och det ger att k = 1/p(B).

Kjell Elfström

Svar:

Jag inser inte att informationen är tillräcklig.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, du har rätt. Jag har ändrat i det ursprungliga svaret. Tack för påpekandet.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, det verkar rimligt att kalla denna siffra för ental. Nästa binära siffra bör heta 2-tal, nästa 4-tal osv.

Kjell Elfström

Svar:

Det har ingenting med antalet dagar på ett år att göra. Se 9 december 2002 17.13.58.

Kjell Elfström

Svar:

1. Derivatan blir (−14,7/(1 + 4,94e^−0,0256x)²)⋅4,94⋅(−0,0256)e^−0,0256x.

2. Derivatan bli här −200e^−kx(−k) = 200ke^−kx. Om k är ett positivt tal så måste alltså derivatan vara positiv.

Kjell Elfström

Svar:

Av din beskrivning framgår att ni skall betala i förhållande till vad ni tjänar. Du tjänar 24000/18000 = 4/3 gånger så mycket som hon. Om hon betalar x skall du betala (4/3)x och summan skall bli 1000. Det ger att x + (4/3)x = 1000, dvs (1 + 4/3)x = 1000 eller x = 1000/(1 + 4/3) = 3000/7 kr. Om räkningen är på y kronor skall hon betala 3y/7 kronor och du 4y/7 kronor.

Kjell Elfström

Svar:

Menar du på hur många sätt dessa fyra element kan permuteras? Det finns 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 permutationer av fyra element. Det första kan ju väljas på 4 sätt, nästa på 3 sätt, nästa på 2 sätt och det sista på 1 sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Olikheten gäller uppenbarligen för n = 4. Antag att n² ≤ 2ⁿ, där n ≥ 4. Då är

Kjell Elfström

Svar:

Projektiv geometri handlar om egenskaper invarianta under projektiva transformationer. Se Projective transformation.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till någon lista där de räkneord du söker finns upptagna och vet inte om det finns någon officiell nomenklatur. Du kan ju själv försöka bilda räkneorden utifrån de latinska räkneorden som finns på sidan Numerals (Numeralia). 10¹⁸⁰ skulle kanske bli trigintiljon. Om din lista är allvarligt menad skall du kanske också konsultera någon som har större kunskaper i latin än jag.

Kjell Elfström

Svar:

Växande och avtagande är inte punktvisa egenskaper hos funktioner. Att f är strängt växande på intervallet I innebär att om x₁ < x₂ och både x₁ och x₂ tillhör I så är f(x₁) < f(x₂). Definitionen av strängt avtagande är likartad: om x₁ < x₂ och både x₁ och x₂ tillhör I så är f(x₁) > f(x₂). Det är enkelt att se direkt från definitionen att f(x) = x² är strängt avtagande i (−∞,0] och strängt växande i [0,∞), där alltså 0 ingår i båda intervallen.

Kjell Elfström

Svar:

Talföljden kan skrivas a,a + d,a + 2d,…,a + kd,… Det första och sjunde elementet är a resp. a + 6d och det ger oss att 2a + 6d = 40. Att produkten av det första och fjärde elementet är 160 ger att a(a + 5d) = 160. Lös nu ut a och d ur dessa båda ekvationer.

Kjell Elfström

Svar:

Se under Vanliga frågor. Jag tror inte man kan lösa problemet på något enklare sätt om man vill finna den optimala lösningen. Jag föreslår att du ber att få en annan projektuppgift om du inte klarar denna svåra uppgift.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, konform och biholomorf är samma sak. Det brukar bevisas i elementära böcker i komplex analys, ofta i anslutning till ”open mapping theorem”.

Kjell Elfström

Svar:

1) Då y ≥ 6/5 är 3x + 2 = 5y − 6, då y ≤ 6/5 är 3x + 2 = −5y + 6. Hörnet måste då ha y-koordinat 6/5.

2) Gör som i 1), dvs se till att bli av med absolutbeloppen. Då x ≥ 2 och y ≥ 7 lyder sambandet x − 2 + y − 7 = 4. Rita upp detta linjestycke. Gör sedan likadant i fallen x ≥ 2 och y < 7, x < 2 och y ≥ 7, x < 2 och y < 7.

3) Här skall du dela upp i fallen x ≥ 0 och x < 0.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan inte lösa problemet utan att göra antaganden om funktionernas typer. Det framgår kanske på något sätt av grafernas utseende vilken sorts funktioner det rör sig om. Är det en läxuppgift i skolan föreslår jag att du ber läraren om hjälp.

Kjell Elfström

Svar:

Spelet verkar vara rättvist i den meningen att innan några lotter dragits så har alla deltagare samma sannolikhet att vinna förstapris. När 6:e-platsvinnaren utsetts kan inte den personen vinna 1:a pris längre men det gör ju inte spelet orättvist.

Kjell Elfström

Svar:

Min romb är faktiskt också en kvadrat men inte den kvadrat du anger. Med den kvadrat du anger blir t ex cosk v = 1 då −π/4 ≤ v ≤ π/4 och cosk v = −1 då 3π/4 ≤ v ≤ 5π/4. Genom att studera rätvinkliga trianglar ser man också att cosk v = tan(π/2 − v) = cot v då π/4 ≤ v ≤ 3π/4 och att cosk v = −cot v då 5π/4 ≤ v ≤ 7π/4. Detta gör cosk v känd för alla vinklar v eftersom cosk har perioden 2π. På samma sätt kan du härleda formler för sink v.

Kjell Elfström

Svar:

Använd kvadreringsregeln. (√(Av/2) − √(4/v))² + 2√(2A) = (√(Av/2))² + (√(4/v))² − 2√(Av/2)√(4/v) + 2√(2A) = Av/2 + 4/v −2√(4Av/(2v)) + 2√(2A). De båda sista termerna tar ut varandra. Metoden kallas kvadratkomplettering men om den är obekant så kan du ju derivera t(v) i stället och sätta derivatan lika med noll. Använder du kvadratkomplettering får du den kortaste tiden t(v) då kvadraten (√(Av/2) − √(4/v))² är noll. Den kortaste tiden blir enligt det förra svaret ungefär 1. Det betyder att r + b/2 + 4/v = t(v) = 1, vilket ger att r + b/2 = 1⋅v − 4 som är ungefär 6. Efter denna genväg behöver du inget svar på din andra fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom temperaturen T avtar exponentiellt med tiden t kan man skriva T = Ce^−kt eller T = Ce^kt eller T = Ca^t, vilket man vill. Själv skulle jag föredra det första sättet eftersom konstanten k blir positiv på grund av minustecknet framför. I det andra skrivsättet blir konstanten negativ i stället (minus-tecknet är inbakat i k). Eftersom a^t = (e^ln a)t = e^(ln a)t så motsvarar det sista skrivsättet det andra med k = ln a. Att förloppet är exponentiellt avtagande medför att 0 < a < 1 vilket ger att k = ln a < 0.

Vi bestämmer oss för att skriva att T = Ce^−kt. Då är T ′ = −kCe^−kt och man får att Ce^−4k = 76, −kCe^−4k = −4,1. Detta ger att 76k = 4,1. Du kan nu lösa ut k och sedan lösa ut C, som är temperaturen vid tiden 0.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns flera sätt att göra detta på. T ex kan man utnyttja att en monoton funktion definierad på ett intervall är kontinuerlig om dess värdemängd är ett intervall. Med hjälp av detta ser man t ex att sin är kontinuerlig dels på intervallet [−π/2,π/2] och dels på intervallet [π/2,3π/2], vilket visar att sin är kontinuerlig i [−π/2,3π/2]. Att sin är kontinuerlig på hela R följer sedan av att funktionen är 2π-periodisk. Att cos är kontinuerlig kan bevisas på samma sätt. Alternativt kan man använda att cos x = sin(π/2 − x) och att sammansättningar av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga. Ett mer elementärt bevis för att sin är kontinuerlig får man om man använder att sin x − sin y = 2cos((x + y)/2)sin((x − y)/2) samt att |sin x| ≤ |x|. Man får med hjälp av detta att

vilket visar att sin x → sin a då x → a. Det följer också att sin är likformigt kontinuerlig på R.

Kjell Elfström

Svar:

Bestäm dig först för om du vill äta kött eller fisk. I köttfallet har vi 7 varmrätter, 3 + 4 = 7 förrätter, 2 soppor och 9 efterrätter. Det ger 7⋅7⋅2⋅9 möjliga måltider med kött som varmrätt. Antalet fiskmåltider blir på samma sätt 4⋅(3 + 3)⋅2⋅9.

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 februari 2005 17.10.56 för ett exempel på hur man använder Euklides algoritm.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan ju pröva dig fram. Det finns bara 8 restklasser att pröva med. Annars betyder kongruensen att 5x − 8y = −2 för något heltal y. Detta är en diofantisk ekvation och man ser omedelbart att x = −2, y = −1 är en lösning. Samtliga lösningar ges därför av x = −2 + 8n, y = −1 + 5n.

Kjell Elfström

Svar:

Hur man löser problemet beror på vilken metod man lärt sig. Använder man matriser kan man skriva rekursionen som

Kalla matrisen för A. Matrisen har egenvärdena λ₁ = 1 + √3 och λ₂ = 1 − √3. Egenvektorer är e₁ = (√3 − 1,1) resp. e₂ = (1 + √3,−1). Eftersom (Q_n,R_n) är ett element i R² kan vi skriva (Q_n,R_n) = c_ne₁ + d_ne₂. Vi bestämmer också x₁ och x₂ så att (1,2) = x₁e₁ + x₂e₂ och det visar sig att x₁ = (√3)/2 − 1 och x₂ = (√3)/2 + 1. Matrisekvationens vänsterled kan skrivas c_ne₁ + d_ne₂. Det gäller att (Q_n − 1,R_n − 1) = c_n − 1e₁ + d_n − 1e₂ och eftersom e₁ och e₂ är egenvektorer till A kan högerledet skrivas c_n − 1λ₁e₁ + d_n − 1λ₂e₂ + x₁e₁ + x₂e₂. Identifierar vi koordinater får vi att c_n = c_n − 1λ₁ + x₁ och d_n = d_n − 1λ₁ + x₂. Startvärdena c₀ och d₀ kan bestämmas om man känner startvärden Q₀ och R₀. Sedan får man

och man inser att

Man får på samma sätt att

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström