Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar november 2005

Svar:

Skriv om integranden som (1 − cos(x/2))/2.

Kjell Elfström

Svar:

Det är tilltalande att tänka sig att ljusstrålar rör sig på ett sätt som minimerar avståndet. Eftersom de inte rör sig rätlinjigt inför man en icke-euklidisk geometri så att strålarna rör sig utefter geodeter i denna geometri. Kopplingen till differentialgeometri är därmed uppenbar.

Kjell Elfström

Svar:

Skriv cos 2q = 2cos²q − 1 och sätt sedan x = cos q. Man ser att den tredjegradsekvation du får har roten x = −1/2. Använd faktorsatsen för att finna övriga lösningar x och bestäm q genom sambandet mellan q och x.

Kjell Elfström

Svar:

Integranden i a-uppgiften är √(1 + cos x) = √(2cos²(x/2)) = (√2)cos(x/2) enligt formeln i ledningen. Sätt x = −(π/2 − v) i b-uppgiften så får du samma integrand som i a-uppgiften men andra gränser.

Kjell Elfström

Svar:

Det enklaste exemplet jag kan komma på är f(x) = −e^−x.

Kjell Elfström

Svar:

Skall speglarna tangera en cirkel? I vilket fall som helst så är det möjligt med en enda spegel. Se t ex Light Traps. Kräver man att speglarna skall vara cirkulära eller plana tror jag fortfarande att problemet är olöst. Se problem 31 på sidan The Open Problems Project.

Kjell Elfström

Svar:

Dividera först med högstagradskoefficienten.

Kvadratkomplettera sedan.

Sätt sedan z − (1 + i) = x + iy. Insatt ger detta

Identifiera real- och imaginärdelar samt använd att absolutbeloppen av ekvationens led skall vara lika.

Addition och subtraktion av den första och tredje ekvationen ger att x² = 9 resp. y² = 4. Den andra ekvationen ger att x och y har olika tecken. Det betyder att x + iy = ±(3 − 2i). Nu kan du bestämma z.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt w = z − 1/4 − i/4. Då övergår ekvationen i w⁴ = −1 + i√3 = 2e^2πi/3. Skriv sedan w = re^iθ. Ekvationen övergår då i r⁴e^4iθ = 2e^2πi/3. Identifierar vi belopp och argument så får vi att r = 2^1/4 och θ = (2π/3 + 2πk)/4 = πi/6 + πk/2. De fyra lösningarna till ekvationen fås då k = 0,1,2,3 och jag tror att du kan slutföra lösningen på egen hand.

Kjell Elfström

Svar:

Använd standardgränsvärdet (ln(1 + t))/t → 1 då t → 0. Börja med att sätta t = 1/(3x). Då är x = 1/(3t) och uttrycket kan skrivas (ln(1 + t)/t)²/9. Gränsvärdet är därför 1²/9 = 1/9.

Kjell Elfström

Svar:

En mycket enkel uppgift som också kan lösas utan Herons formel är: Beräkna arean av en triangel med sidorna 3, 4 och 5. Svaret skall bli 6. Se Problem Solving with Heron's Formula för litet mer avancerade uppgifter.

Det är svårare att konstruera elementära icke-triviala problem på Brahmaguptas formel eftersom de tal man måste räkna med blir mer komplicerade, åtminstone om man vill ha exakta svar. Du kan ta fyra punkter på enhetscirkeln och beräkna arean av den fyrhörning i vilken punkterna utgör hörn. Punkterna kan t ex vara (1,0), (0,1), (−1/2,−√3/2), (0,−1). Beräkna först kantlängderna och använd sedan Brahmaguptas formel.

Kjell Elfström

Svar:

Egentligen gör man samma sak i de båda fallen men de tal man använder har olika tecken. När man adderar 75 och 49 uppstår det 14 ental. Man tar bort 10 av dessa från entalskolumnen och lägger till ett tiotal till tiotalskolumnen. Man skriver dock inte ut −10 i entalskolumnen utan drar 10 från 14 i huvudet och bokför den fyra som blir kvar. När man lånar vid subtraktion tar man bort ett tiotal från tiotalskolumnen och lägger till 10 ental till entalskolumnen. Skillnaden är alltså bokföringsmässig. Vid fullständig bokföring skulle man vid addition skrivit −10 i entalskolumnen och +1 i tiotalskolumnen. Vid subtraktion skulle man skrivit +10 i entalskolumnen och −1 i tiotalskolumnen. Man brukar inte skriva ut −10 vid addition och vid subtraktion brukar man i stället för att skriva −1 skriva ett streck över tiotalssiffran och ersätta den med ett tal som är ett mindre.

Kjell Elfström

Svar:

Sök efter 0^0 från söksidan så finner du att det är olämpligt att definiera 0^0.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är en direkt tillämpning av formlerna för rotationsvolymer. Volymen av kroppen som uppstår då kurvan y = f(x), 0 ≤ a ≤ x ≤ b, roterar kring x-axeln är π∫_a^b(f(x))²dx. I a-uppgiften får vi därför volymen π∫_π/4^π/2sin²(2x) dx = π∫_π/4^π/2((1 − cos 4x)/2) dx, en integral som du själv kan beräkna. Volymen som uppstår då kurvan roterar kring y-axeln är 2π∫_a^bxf(x) dx = 2π∫_π/4^π/2x sin x dx. Integrera partiellt.

Kjell Elfström

Svar:

Den mängden du anger innehåller både 333 och 666 och 333 delar 666. Det är kanske ett skrivfel. Mängden som består av de udda talen 669,671,673,…,1999,2001 och de jämna talen 334,336,…,666 innehåller 834 element och uppfyller kraven. Jag har inte funnit något bevis för att det inte finns större delmängder som uppfyller kraven.

Kjell Elfström

Svar:

Är uppgiften att bestämma Maclaurinpolynomet av en viss ordning? I så fall kan du använda standardutvecklingen av sin u. Det gäller att

där B är en funktion som är begränsad i en omgivning av 0. Utveckla först sin x genom att ersätta u med x. Sätt sedan in

i utvecklingen ovan. Du behöver inte använda samma värde på n i de båda utvecklingarna. Vilka värden som skall användas beror på ordningen av det slutliga Maclaurinpolynomet.

Kjell Elfström

Svar:

Det ligger nära till hands att sätta B − Cr = x men vi kommer då att få en oönskad konstant. Sätt därför x = λ(B − Cr). Man får då att du/dr = (du/dx)(dx/dr) = −λCdu/dx och d²u/dr² = (λC)²d²u/dx². Ekvationen Ad²u/dr² − Bu + Cru = 0 övergår i Aλ²C²d²u/dx² − λxu = 0. Välj λ = 1/(Ac²).

Kjell Elfström

Svar:

Jag löste problemet på det sättet.

Kjell Elfström

Svar:

Nej. Areorna förhåller sig inte som massorna. Man kan heller inte använda volymerna om man inte känner densiteterna.

Kjell Elfström

Svar:

a) Låt x vara avståndet från bakhjulen till tyngdpunkten och sätt m = 1200. Vridmomentet kring bakhjulen är noll. Vi får xmg = 3,4⋅0,6mg, vilket ger att x = 3,4⋅0,6 = 2,04. Tyngdpunkten ligger alltså 2,04 m framför bakhjulen.

b) I det ögonblick framhjulen börjar lätta vilar hela bilen på bakhjulen och vridmomentet kring dem är noll. Vi får 2,04mg = 1,2F, vilket ger att F = 2,04mg/1,2 = 204g N.

c) Eftersom bilen är i jämvikt och tyngdpunkten nu förskjutits till bakhjulen så är kraften mg + F.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att y = (y₁,y₂,…,y_n) är närmevärden till x = (x₁,x₂,…,x_n) och att f är en differentierbar funktion av n variabler. Med Δx_i = y_i − x_i och Δf = f(y) − f(x) så gäller det att

Det gäller därför att

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att

Använd nu standardgränsvärdet (e^t − 1)/t → 1 då t → 0 med t = 2xh + h².

Kjell Elfström

Svar:

I A-uppgiften är antalet gynnsamma utfall lika med 10 och det totala antalet utfall är 7 + 3 + 10 = 20. Sannolikheten blir 10/20 = 1/2. I B blir sannolikheten på samma sätt 3/20. Det finns 13 kulor som inte är röda. Sannolikheten i C blir 13/20.

Kjell Elfström

Svar:

Problemet, som bara är löst för några få värden på N, kallas Thomsons problem. Se Spherical Code. Se också Platonic Solid.

Kjell Elfström

Svar:

Talet x = a/b är det tal x för vilket det gäller att a = bx. Om a = m/n, b = p/q och x = mq/(np) så gäller det att bx = pmq/(qnp) och förkortning ger att bx = m/n = a. Det gäller alltså att mq/(np) är kvoten mellan a och b. Det har nog varit känt nästan så länge som räkning med bråk har använts.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du på något algoritmiskt sätt vill sortera ett antal tal. Frågan hör i så fall mer till datalogi än matematik. Sök efter ”sorting algorithms” på internet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte. Ibland används sådana beteckningar för högergränsvärden.

Kjell Elfström

Svar:

Linjen skär x-axeln då x = 4 och y-axeln då y = 6/b. Arean är (4⋅6/b)/2 = 12/b. Att arean är 6 ger att b = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen blir π∫₀^πsin²x dx = π∫₀^π(1/2 − (cos 2x)/2)dx = π²/2. Arean är 2π∫₀¹y√(1 + (dy/dx)²) dx = 2π∫₀^π(sin x)√(1 + cos²x) dx. Gör variabelbytet t = cos x så övergår integralen i 2π∫₋₁¹√(1 + t²) dt = 2π(√2 - ln(√2 − 1)). Läs om hur man beräknar den sista integralen i Några integraler under Vanliga frågor.

Kjell Elfström

Svar:

Det är klart att x-koordinaten är lika med noll. Halvcirkelns area är V = πR²/2. y-koordinaten är (∫∫_C y dxdy)/V där integralen skall beräknas över halvcirkelskivan C. I polära koordinater kan området beskrivas av (x,y) = r(cos θ,sin θ), 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π. Dubbelintegralen blir därför ∫₀^π∫₀^Rr²sin θ dθdr = 2R³/3. Tyngdpunktens y-koordinat blir 4R/(3π).

Kjell Elfström

Svar:

Kan man diagonalisera A, dvs skriva A = T⁻¹DT, där D är en diagonalmatris så kan man använda att Aⁿ = T⁻¹DⁿT. Dⁿ kan beräknas genom att man upphöjer diagonalelementen till n.

Kjell Elfström

Svar:

Martins tre återstående kort måste vara olika och får inte vara kungar. Det tre valörerna kan väljas på (¹²₃) sätt och det finns fyra möjliga kort i varje valör. Det ger (¹²₃)⋅4³ gynnsamma fall. Antalet möjliga fall är (⁴⁸₃). Beräkna kvoten.

Kjell Elfström

Svar:

Någon relevant information finns på sidan The symbol for percent.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att (a²)^1/2 = |a|.

Kjell Elfström

Svar:

Se 5 september 2005 17.24.27.

Svar:

1. Inkomsten per år är pF(p) = F₀p − kp^3/2. Derivatan är F ′(p) = F₀− (3k/2)√p. Derivatan är noll då p = 4F₀²/(9k²).

2. Lös ut h ur formeln för volymen. Man får h = 3V/(πr²). Deriverar får vi dh/dt = = (3(dV/dt)πr² − 3V⋅π⋅2rdr/dt)/(π²r⁴). Eftersom r och h är kända vid tidpunkten så kan du använda volymformeln för att beräkna V. Sätt sedan in värdena på V, r, dV/dt och dr/dt i uttrycket för dh/dt.

Kjell Elfström

Svar:

Man är hänvisad till numeriska metoder.

Kjell Elfström

Svar:

Tetraedern skär xy-planet utefter linjen y = 2 − 2x, z = 0. Punkterna (1,0,0) och (0,2,0) skall ju ligga på denna linje. Det ger oss att 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2x. Planet som innehåller de tre hörnen (1,0,0), (0,2,0) och (0,0,4) har ekvationen z = 4 − 4x − 2y. Den tredje olikheten är därför 0 ≤ z ≤ 4 − 4x − 2y.

Kjell Elfström

Svar:

Se 19 september 2002 17.32.01.

Kjell Elfström

Svar:

Ja. Välj först valörerna. Den lägsta kan vara A,2,3,…10. Det finns alltå 10 olika begynnelsevalörer. När denna valör är bestämd kan man välja vart och ett av de fem korten på 4 sätt. Det ger 10⋅4⁵ stegar. Bland dessa är de stegar som också är straight flush medräknade. Eftersom det finns 40 straight flush så bör det korrekta antalet vara 10240 − 40 = 10200.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen är separabel. Man skriver om den som y′ = k√y ⇔ y′/√y = k. Här är vänsterledet derivatan med avseende på x av funktionen 2√y och högerledet är derivatan av kx. Att dessa derivator är lika betyder att funktionernas skillnad är konstant, dvs 2√y = kx + C.

Kjell Elfström

Svar:

Multiplicera ekvationens båda led med de ingående nämnarna så blir du av med dem.

Kjell Elfström

Svar:

Differenskvoten är en funktion g av z som har ett gränsvärde A ≠ 0 då z → z₀, nämligen derivatan. Jag tror du har gått rätt till väga för att lösa den första uppgiften, nämligen att |g(z)| → |A| då z → z₀. Triangelolikheten ger ||g(z)| − |A|| ≤ |g(z) − A| och det högra absolutbeloppet går mot 0 då z → z₀ enligt definition av gränsvärde för komplexvärda funktioner av en komplex variabel.

Eftersom A ≠ 0 så kan vi skriva A = |A|e^iθ och g(z) = |g(z)|e^iθ(z) för z nära z₀, där θ och θ(z) är bestämda sånär som på en multipel av 2π. Det gäller enligt gränsvärdeslagarna att e^iθ(z) − e^iθ = g(z)/|g(z)| − A/|A| → A/|A| − A/|A| = 0 då z → z₀. Det följer att |cos θ(z) − cos θ| ≤ |e^iθ(z) − e^iθ| → 0 då z → z₀ och |sin θ(z) − sin θ| ≤ |e^iθ(z) − e^iθ| → 0 då z → z₀.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar vara svårt att lösa ut den ena positionen som en exakt funktion av den andra. Placera origo i A och antag att AB har längden 1. Låt y-axeln gå genom A och F och antag att F har koordinaterna (0,−f). Antag vidare att FC har längden r och att längden av BC är d. Punkten B har då koordinater (cos t,sin t) och C har koordinater (rcos φ − f,rsin φ). Att avståndet mellan punkterna är d betyder att (cos t + f − r cos φ)² + (sin t − r sin φ)² = d². Utvecklar man kan man använda trigonometriska ettan på ett par ställen men jag kan inte se hur man på ett enkelt sätt kan lösa ut φ som funktion av t.

Kjell Elfström

Svar:

Jag får kvoten till omkring 558%. 363 är alltså 558% av 65 men ökningen 363 − 65 är 458% av 65. Uttrycker man sig så som jag har gjort här tror jag knappast att några missförstånd kan uppstå. Det riktiga anser jag, om man vill skriva mindre utförligt, är att säga att ökningen är 458%.

Kjell Elfström

Svar:

Likformiga trianglar ger att (x + 2 + 2 + 6)/6 = (x + 2)/2, dvs x = 2. För vinkeln t gäller därför att cos t = 6/12 = 1/2, vilket ger att t = π/3. Vi får sedan att y = 8sin t = 4√3. Arean av parallelltrapetset mellan cirkelradierna är 4√3⋅(6+2)/2 = 16√3. De båda cirkelsektorerna vilkas areor skall subtraheras från parallelltrapetsets har areorna (t/2)⋅6² = 6π och ((π − t)/2)⋅2² = 4π/3. Den sökta arean är därför 16√3 − 22π/3 cm².

Kjell Elfström

Svar:

Lösningen är enklare än så. Antag först att n = 2k är jämnt. Betrakta den nedre vänstra fjärdedelen av rutnätet. Den innehåller k² rutor. Färgerna på de rutor som befinner sig under eller på diagonalen som går från nedre vänstra till övre högra hörnet i denna kvadrat bestämmer de övriga rutornas färger. Man inser också att dessa rutor kan färgläggas fritt. Antalet rutor under och på diagonalen är 1 + 2 + ^… + k = k(k + 1)/2 = n(n + 2)/8. Tänk själv igenom fallet då n = 2k + 1 är udda.

Kjell Elfström

Svar:

Om den årliga värdeökningen är p% så är värdet efter ett år 7(1 + p/100), efter ytterligare ett år (7(1 + p/100))(1 + p/100) = 7(1 + p/100)² och man inser att värdet efter de 112 åren år lika med 7(1 + p/100)¹¹² = 14000000. Detta är ekvivalent med (1 + p/100)¹¹² = 2000000. Tar vi 112:e-roten ur båda led får vi 1 + p/100 = 2000000^1/112 och sedan att p = 100(2000000^1/112 - 1). Den årliga ökningen blir knappt 14%.

Kjell Elfström

Svar:

Skall det stå att H tangerar sidan DA? I så fall förstår jag problemet. Hörnet E ligger på sidan AB och hörnet H på sidan DA. Sidan FG ligger på en linje som går genom D och skär sidan BC.

Vi kan antaga att a = 1. På grund av likformighet behöver vi sedan bara multiplicera det erhållna svaret med a. Låt sträckorna HA och AE vara b resp. c. Då är b² + c² = 1. Trianglarna HAE och DGH är likformiga. Det ger att (2 − b)/1 = 1/c, dvs c = 1/(2 − b). Insatt ger detta att b² + 1/(2 − b)² = 1. Om x är den sökta sträckan så ger det faktum att trianglarna FDC och HEA är likformiga att x/2 = 1/c = 2 − b, varför x = 4 − 2b. Man kan lösa ut b exakt ur fjärdegradsekvationen ovan men uttrycket blir mycket otympligt. Ett närmevärde till b är 0,6634677247. Ett närmevärde till x är 2,673064548.

Kjell Elfström

Svar:

När man gör ett koordinatbyte får man en annan funktion som uppfyller en differentialekvation. Denna ekvation kan vara enklare att lösa än den ursprungliga och utifrån lösningarna kan man sedan skapa lösningarna till den ursprungliga ekvationen. Ibland låter man den eller de beroende variablerna genomgå en transformation, ibland de oberoende och ibland båda. Skriver man ner ordentligt vad koordinatbytet innbär skall det gå att se att man får en ekvivalent ekvation. Ett enkelt exempel där man kan byta den beroende variabeln är i ekvationen y′ = y. Sätt y = e^xz. Detta är tillåtet eftersom vi kan välja z(x) = e^−xy(x). Eftersom y′ = e^x(z′ + z) får man genom insättning ekvationen (z′ + z)e^x = ze^x och eftersom e^x ≠ 0 är denna ekvation ekvivalent med z′ = 0. Lösningarna till denna ekvation ges av z = C, där C är en godtycklig konstant. Lösningarna till den ursprungliga ekvationen ges därför av y = Ce^x. Differentialekvationen xy′ + y = 0, x > 0, kan lösas genom att man gör variabelbytet x = e^t, eller ekvivalent t = ln x. Vanligen skriver man då dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (dy/dt)/x, varefter ekvationen övergår i dy/dt + y = 0. Man kan sedan lösa denna ekvation och få y = Ce^−t = C/x. Det som kan verka förbryllande här är att y betecknar två olika funktioner, en av x och en av t. Vill man skilja på dem så kan man för funktionen av t införa beteckningen z(t) = y(e^t). Då är y(x) = y(e^ln x) = z(ln x) och vi får att y′(x) = z′(ln x)/x = z′(t)/x. Ekvationen övergår i z′(t) + z(t) = 0. Denna har lösningarna z(t) = Ce^−t och vi får y(x) = z(ln x) = C/x. Jag tror dessa enkla exempel kan få dig att förstå tankegången också när det gäller system av differentialekvationer.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom T^s − 1e^−(a + x) är oberoende av t kan vi skriva

Gör substitutionen u = t/T. Vi får då

Genom att införa T(x + a) som ny variabel ser man att f är växande om och endast om g, definierad genom

är växande.

Se 2005-11-21-22-14-55.pdf för ett bevis av detta.

Kjell Elfström

Svar:

Taylorutvecklar man funktionen f kring punkten 0 och tar med n + 1 termer så får man

Om det för ett fixt värde på x gäller att R_n + 1(x) → 0 då n → ∞ så kommer serien ∑_k = 0^∞f ^(k)(0)x^k/k! att konvergera mot f(x), Om f(x) = sin x så är detta sant för varje värde på x. Det betyder att man kan använda Taylorutvecklingen för att beräkna sin x med önskad noggrannhet bara man tar med tillräckligt många termer i utvecklingen. Samma sak gäller t ex funktionerna cos x och e^x. För andra funktioner f konvergerar serien mot f(x) bara för vissa värden på x. Om t ex f(x) = ln(1 + x) konveregrar Taylorserien mot f(x) då −1 < x ≤ 1 och divergerar då x > 1. Även om serien konvergerar mot f(x) kan konvergensen vara så långsam att approximation med en avhuggen Taylorutveckling är praktiskt oanvändbar. Detta gäller t ex om man vill approximera ln 2 = ln(1 + 1) med 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ^… + (−1)^n + 1/n. Ibland kan man kringgå problemet genom att Taylorutveckla kring en annan punkt än 0 eller skriva om funktionen på något sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte exakt hur man tänkt sig att räkna på det men är övertygad om att statistiska metoder används. Frågan är inte rent matematisk. Problemet kräver någon sorts förklaringsmodell som man sedan kan räkna på och modellen bestämmer hur beräkningarna görs. Resultatet kan alltid ifrågasättas genom att man ifrågasätter grundförutsättningarna.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom x = y² är ekvivalent med y = √x blir volymen volymskillnaden

Kjell Elfström

Svar:

Vi kan skriva kurvans ekvation som x = √y, 0 ≤ y ≤ 1 så arean blir

Kjell Elfström

Svar:

Vi börjar med att försöka få roten ensam i det ena ledet. Addera mc² till båda led.

Dividera båda led med mc².

Invertera båda led.

Kvadrera båda led.

Addera v²/c² till och subtrahera vänsterledet från båda led.

Drag roten ur båda led.

Multiplicera båda led med c.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan Geometric Construction visas hur en femhörning kan konstrueras med passare och linjal om det är det frågan handlar om. Handlar den om att mäta upp en femhörning så kan du använda en gradskiva. Den regelbundna femhörningen består av fem likbenta trianglar, var och en med medelpunktsvinkeln (360/5)° = 72°

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till talföljden. Möjligen menar du Fibonaccitalen 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… som börjar med två ettor och i vilken sedan varje element erhålles som summan av dess båda närmaste föregångare. På sidan Fibonacci Numbers and the Golden Section finns mycket information om talföljden. Följ gärna länken Fibonacci Numbers and Nature.

Kjell Elfström

Svar:

Conrey och Li lär 1998 med ett exempel ha visat att de Branges metod inte fungerar. Se Riemann Hypothesis.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att 2 + (−1) = 2 − 1 = 1 och därför att 2 = 2 + 0 = 2 + ((−1) − (−1)) = (2 + (−1)) − (−1) = 1 − (−1).

Kjell Elfström

Svar:

Newtons metod är en mycket effektiv metod. Ett problem med den är dock att man måste utföra divisioner som är tråkiga att göra för hand och långsamma på datorer. Se Methods of computing square roots och följ länkarna Shifting nth-root algorithm och N-th root algorithm. Särskilt den första länken kan vara intressant eftersom metoden där inte kräver divisioner.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad primdagar är. Ett primtal är ett heltal n större än eller lika med två som bara är delbart med ±1 och ±n. T ex är 7 ett primtal eftersom det bara är delbart med −1, 1, −7 och 7. Däremot är 6 inte ett primtal eftersom det förutom att vara delbart med ±1 och ±6 också är delbart med ±2 och ±3.

Kjell Elfström

Svar:

Sådana kurser finns vid vissa universitet och högskolor. Sök efter ”kurs "matematikens historia"” på Google så får du själv se. I kursen Matematik för lärare vid Matematikcentrum i Lund ingår matematikens historia som ett delmoment.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan hör egentligen inte hemma här. Utsagan kan inte ses som ett bevis för att Descartes existerar. Jag ser på den mer som ett axiom som antyder betydelsen av begreppet (mänsklig) existens.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att integralen skall vara ∫∫((x² + y²)/(x²(1 + x² + y²)^3/2)) dxdy, er integral är nämligen divergent. Övergå till polära koordinater x = r cos θ, y = r sin θ. Området kan då beskrivas av arctan a = α < θ < β = arctan b, r > 0. Integralen övergår i

som är en produkt av två enkelintegraler.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att elevernas åldrar är x_k, k = 1,…,27, och att avhopparens ålder är x₂₇. Det gäller då att (1/27)∑_k = 1²⁷x_k = 37 och (1/26)∑_k = 1²⁶x_k = 36. Multiplicerar vi likheterna med 27 och 26 så får vi ∑_k = 1²⁷x_k = 27⋅37 resp. ∑_k = 1²⁶x_k = 26⋅36. Drar vi den andra likhetens led från den förstas så får vi x₂₇ = 27⋅37 − 26⋅36 = 63.

Kjell Elfström

Svar:

En breather är en lösning till en vågekvation som avtar då |x| → ∞ och som är periodisk i t. Se t ex http://www-m8.mathematik.tu-muenchen.de/personen/denzler/breacmp.ps som handlar om Gordon-ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad som gäller och egentligen spelar det ingen roll eftersom faktorernas ordning saknar betydelse. Jag tror att de flesta har en tendens att tänka på 3⋅2 som 3 burkar med vardera 2 kakor och inte 2 burkar med vardera 3 kakor. Om man anser att man skall få tvåans tabell genom att starta med 2 och sedan successivt lägga till tvåor så föredrar man nog därför din dotters variant.

Kjell Elfström

Svar:

Att bestämma faktorerna och att bestämma nollställen till funktionen är väsentligen samma sak. Antar vi för enkelhets skull att högstagradskoefficienten är 1 kan kurvans ekvation skrivas y = x² + px + q. Kvadratkomplettering ger y = (x + p/2)² + q − p²/4. Man ser att funktionen är symmetrisk med avseende på x = −p/2. Det är ju också kvadratkomplettering man utför när man vill bestämma nollställena. Att y = 0 betyder att (x + p/2)² = p²/4 − q, varför nollställena är −p/2 ± √(p²/4 − q). Man ser också att funktionen antar sitt minsta värde då x = −p/2 eftersom en kvadrat inte kan vara negativ. Symmetripunkten kan därför fås genom derivation eftersom derivatan måste vara noll i den enda extrempunkten. Derivatan är y′ = 2x + p och dess nollställe är, som vi förväntade, x = −p/2.

För att rita en principskiss behöver man ingen värdetabell. Vill man däremot rita en skiss ur vilken man kan avläsa numeriska värden måste man ha en ganska omfattande värdetabell och plotta noggrannt.

Kjell Elfström

Svar:

Varje tärningskast kan utfalla på 6 sätt. Kastar man tre tärningar blir antalet möjliga utfall därför 6³. Det är lätt att inse att det bara finns 6 gynnsamma utfall. Sannolikheten blir därför 6/6³ = 1/6² = 1/36.

Kjell Elfström

Svar:

Faktorisera nämnaren, x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1). Gör sedan en ansats för partialbråksuppdelning:

Multiplikation av båda led med vänsterledets nämnare ger

Insättning av x = −1 och x = 5 ger att B = −2 resp. A = 3. Integralen blir alltså

Kjell Elfström

Svar:

Någon officiell standard finns inte. Många använder TeX-commandon. TeX är ett i matematiska kretsar mycket använt textbehandlingssystem som är särskilt väl lämpat för att typsätta matematik. T ex skriver man a^{b+c} för a^b + c, a_{n+1} för a_n + 1, \int_{a}^{b}{f(x)dx} för ∫_a^b f(x) dx och \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}} för ∑_k = 0ⁿ(ⁿ_k)a^kb^n − k.

Nackdelen med att använda detta skrivsätt är att det kan bli ganska kryptiskt för den oinvigde och även för den invigde ibland. Den som har tillgång till TeX kan dock enkelt kopiera in formlerna i ett dokument för typsättning.

Se The Not So Short Introduction to LaTeX 2_ε, kapitlet Typesetting Mathematical Formulae, för ytterligare exempel.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan ta Cynthia Lanius’ Lessons: The History of Geometry som utgångspunkt för fortsatt sökande.

Kjell Elfström

Svar:

Den relativa tillväxthastigheten vid tiden t är y(t)′/y(t) = −1,4%. Under en tidsperiod blir inte minskningen 1,4% eftersom ränta-på-ränta-effekter tillkommer. Sätter man in pengar på banken, som ger 1% årlig ränta, så har beloppet på två år vuxit med 2,1% och inte med 1% + 1% = 2%.

Kjell Elfström

Svar:

Egentligen ingenting. Stryker man detta axiom får man objekt som har mindre struktur än metriska rum och som därför också är svårare att säga någonting meningsfullt om. Att man väljer att definiera metrik på det sätt som görs beror på att metriska rum är modellerade efter Rⁿ, där axiomet gäller med den naturliga metriken.

Kjell Elfström

Svar:

Om n ≥ 2 inte är ett primtal så finns det heltal a och b, båda större än eller lika med 2, sådana att n = ab. Om båda är större än √n så är ab > √n√n = n. Minst ett av dem är alltså mindre än eller lika med √n.

Kjell Elfström

Svar:

Andelen cp-skadade är 200/200000 = 1/1000 = 0,001 = 0,1%.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan har nollställen i punkterna 0 och a. Vi ser att derivatan är negativ då x < 0 och positiv då 0 < x < a och då x > a. Funktionen f är därför strängt avtagande i intervallet (−∞,0] och strängt växande i [0,∞). Funktionen har en lokal minimipunkt då x = 0 och en terrasspunkt då x = a.

Kjell Elfström

Svar:

Talet verkar vara korrekt uppställt. Avrundat till närmaste heltal blir det

Kjell Elfström

Svar:

Vi börjar med att bestämma den givna diagonalens mittpunkt och den är ((6 + 10)/2,(9 + 3)/2) = (8,6). De sökta punkterna kallar vi P och Q.

Den högra triangeln i figuren fås genom rotation av den vänstra triangeln ett kvarts varv medurs kring mittpunkten (8,6). Skillnaden i y-koordinat mellan punkterna (6,9) och (8,6) är 3. Detta måste därför vara skillnaden i x-koordinat mellan punkten P och (8,6). P har alltså x-koordinaten 11. Skillnaden i x-koordinat mellan (8,6) och (6,9) är 2. Detta är skillnaden i y-koordinat mellan P och (8,6). P har därför y-koordinat 8. Vi får att P har koordinaterna (11,8). Bestäm själv koordinaterna för Q på samma sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Skriv om funktionen som y(x) = 100e^x ln 2. Derivatan är y′(x) = 100(ln 2)e^x ln 2 och y′(x) = 10000 då e^x ln 2 = 100/(ln 2). Det betyder att x ln 2 = ln(100/(ln 2)), dvs x = ln(100/(ln 2))/(ln 2).

Kjell Elfström

Svar:

Om den är rektangulär så är omkretsen 5,5 + 2 + 5,5 + 2 = 2⋅5,5 + 2⋅2 = 15 dm.

Kjell Elfström

Svar:

Det brukar gå ganska bra att beskriva sådana problem i ord. Beteckna triangelhörn och skärningspunkter mellan linjer och/eller cirklar med bokstäverna A, B, C osv. Kalla sträckan mellan punkterna A och B för AB. Ange vinklar med t ex ABC. Detta är då vinkeln vid hörnet B i triangeln med hörnen A, B och C.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att hon har x 50-öringar, y enkronor och z femkronor. Då är x = 2z, x + y + z = 280 och x/2 + y + 5z = 445. Ekvationssystemet blir alltså

Drag den första ekvationen från de båda övriga.

Drag två gånger den andra ekvationen från den sista.

Nu ger den sista ekvationen att z = 330/6 = 55. Den andra ekvationen ger att y = 280 − 3⋅55 = 115 och den första ekvationen ger att x = 2⋅55 = 110.

Kjell Elfström

Svar:

Linjen genom punkterna (-40,-20) och (50,80) har riktningskoefficienten (80 − (-20))/(50 − ( 40)) = 10/9. Om θ är vinkeln mellan denna linje och x-axeln så är tan θ = 10/9. Vinkeln φ mellan x-axeln och den nya riktningen är φ = θ − 60° = θ − π/3. Vi får att

Förlänger vi med konjaget till nämnaren får vi

Det gäller att k = tan φ är riktningskoefficient för den nya riktningen. Linjen genom punkten (40,50) med riktningskoefficient k har ekvationen y − 50 = k(x − 40) och den ursprungliga kurslinjen har ekvationen y − 80 = (10/9)(x − 50). För att få x-koordinaten för linjernas skärningspunkt kan vi subtrahera ekvationerna från varandra och få

vilket ger att x = (360k − 230)/(9k − 10). Sätter vi in detta värde i någon av ekvationerna får vi y = (620k − 500)/(9k − 10). Vi får att skärningspunkten har koordinaterna x₀ = (5540 − 510√3)/181 ≈ 25,73 och y₀ = (31740 − 1700√3)/543 ≈ 53,03. Nu behöver du bara beräkna resans längd med hjälp av avståndsformeln och sedan tidsåtgången. Resans längd blir √((x₀ + 40)² + (y₀ + 20)²) + √((40 − x₀)² + (50 − y₀)²).

Kjell Elfström

Svar:

Kalla vektorn (1,1,1) för u och låt u′ och u″ vara de ortogonala projektionerna på planets normal resp. på planet. Då är u = u′ + u″ och strålen kommer efter reflexionen att ha riktningen u″ − u′ = u − 2u′. En enhetsnormal till planet är e = (1/√14)(2,1,3), varför u′ = (u|e)e = (6/14)(2,1,3) = (3/7)(2,1,3). Den reflekterade strålens riktning är alltså (1/7)(−5,1,−11) eller om man så vill (−5,1,−11).

Kjell Elfström

Svar:

Du behöver inte ha räknat fel. Avståndet från en punkt ut till kanten är oändligt. Se formeln under D-distance på sidan Disk and Upper Half-Plane Models of Hyperbolic Geometry.

Kjell Elfström

Svar:

Tänk på punkterna som punkterna z₁ och z₂ i det komplexa talplanet. Diagonalens mittpunkt är (z₁ + z₂)/2. Roterar man halva diagonalen ett kvarts varv så får man vektorn i(z₂ − z₁)/2. De båda övriga hörnen ges därför av (z₁ + z₂)/2 ± i(z₂ − z₁)/2.

Kjell Elfström

Svar:

Vi får antaga att det är känt att ∫₀^∞ e^−x2dx = (√π)/2 och då följer det efter en enkel variabelsubstitution att ∫₀^∞ e^−ax2dx = (√(π/a))/2. Definierar vi (2n − 1)!! rekursivt genom (2⋅0 − 1)!! = 1 och (2(n + 1) − 1)!! = (2n + 1)⋅(2n − 1)!!, n ≥ 0, så ser vi att formeln stämmer för n = 0. Antag att formeln gäller för ett visst naturligt tal n. Då är

Partiell integration och induktionsantagandet ger därför att

Kjell Elfström

Svar:

Kurvan kan också skrivas x = √y, 0 ≤ y ≤ 1 så volymen blir π ∫₀¹(√y)²dy =  π ∫₀¹y dy = π/2.

Kjell Elfström

Svar:

1. Vid divisionen p(x) = (x² + 1)q(x) + r(x) är resten r(x) entydigt bestämd om man föreskriver att r(x) är nollpolynomet eller deg(r(x)) < deg(x² + 1) = 2. f(p(x)) = p(x) + 〈x² + 1〉. E är ingen underring till R[x] eftersom multiplikation kan leda ut ur E.

2. Om p är ett primtal så är <p> ett maximalt ideal i Z. <p> och <q> är olika om p och q är olika primtal.

3. a) Om r är ett heltal så gäller det att r(2m + 3n) = 2(rm) + 3(rn) tillhör I. Också 2m₁ + 3n₁ − (2m₁ + 3n₁) = 2(m₁ − m₂) + 3(n₁ − n₂) tillhör I.

b) Eftersom 1 = 2(−1) + 3⋅1 ∈ I så är I = <1>, vilket visar att I i likhet med alla andra ideal i Z principalt.

Kjell Elfström

Svar:

1. Ett ideal H i ringen R är en icke-tom delmängd till R som är sådan att rh och hr tillhör H om h tillhör H och som dessutom utgör en undergrupp till den additiva gruppen R. Påståendet följer alltså direkt av definitionen.

2. Om h tillhör mZ och r tillhör Z så är h = mn för något heltal n och det gäller att rh = hr = mnr tillhör mZ eftersom nr är ett heltal. Dessutom gäller det att mn₁ − mn₂ = m(n₁ − n₂) tillhör mZ. Beteckna restklasserna i Z_m med 0′,1′,…,(m − 1)′ och visa att φ definierad genom φ(n′) = n + mZ är en isomorfism. Z är ett integritetsområde som inte är en kropp. Z_p är en kropp om p är ett primtal.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte när uppgifter som denna dyker upp i skolan. Det enda som krävs för att lösa den är Pythagoras sats och kännedom om hur man beräknar volymen av en kub. Antag att kubens kantlängd är a. Diagonalen i bottenkvadraten har då längden (√2)a enligt Pythagoras sats. Kallar vi diagonalen för d så gäller nämligen att d ² = a² + a² = 2a². Kalla nu rymddiagonalen för r. De båda diagonalerna och en av kubens kanter bildar då en rätvinklig triangel. Pythagoras sats ger nu att r² = a² + d ² = 3a². Detta ger att r = (√3)a.

Vet man att rymddiagonalen är 1 så måste alltså kantlängden vara 1/√3 och volymen blir (1/√3)³ = 1/(3√3) = √3/9.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen har oändligt många lösningar. Ett sätt att få ett grepp om lösningsmängden är att sätta y = 2s, z = 2t och lösa ut x = 5s + 3t + 9/2. Lösningsmängden utgör alltså ett plan som går genom punkten (9/2,0,0) och har basvektorerna (5,2,0) och (3,0,2).

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att införa u = √x och v = √y. Systemet kan då skrivas

och vi söker icke-negativa lösningar. Den naturliga vägen att gå är att lösa ut v som funktion av u ur den andra ekvationen och sätta in i den första. Problemet är att vi får en fjärdegradsekvation. I den här uppgiften kan man dock se att u = 2, v = 3 är en lösning. Att systemet inte kan ha fler lösningar med både u och v icke-negativa är uppenbart. Lösningsmängden är ju skärningen mellan de två parablerna u = 11 − v² och v = 7 − u². Lösningen till det ursprungliga systemet är alltså x = 4, y = 9.

Kjell Elfström

Svar:

Om varans pris exklusive moms är a och momssatsen är p% så är priset inklusive moms b = a + pa/100 = a(1 + p/100) = a(100 + p)/100. Här kan vi lösa ut a som funktion av b och få a = 100b/(100 + p). Om skattesatsen är 12% och priset inklusive moms är b = 225 så blir priset utan moms a = 100⋅225/112 = 5625/28 ≈ 200,89.

Kjell Elfström

Svar:

Formeln för den geometriska summan är

Det räcker att känna till formeln då den första termen är lika med 1 eftersom man annars kan bryta ut den första termen ur summan så som jag gör här nedan.

Räknar vi på hur långt Akilles hunnit i svaret till 6 mars 2003 20.05.18 får vi

enligt formeln ovan med r = 1/10 och n ersatt av n + 2.

Antag att sköldpaddans försprång är a och att Akilles springer k gånger så fort som sköldpaddan. Akilles startar i en punkt P₀ och sköldpaddan i punkten P₁ på avståndet a från P₀. När Akilles hunnit till P₁ har sköldpaddan hunnit till P₂ på avståndet a/k från P₁. När Akilles kommit till P₂ är sköldpaddan i P₃ på avståndet (a/k)/k = a/k² från P₂ osv. Punkten P_n ligger därför på avståndet

från Akilles utgångspunkt P₀. Gränsvärdet blir ak/(k − 1).

Kjell Elfström

Svar:

Antar vi att 1,5 liter Coca Cola väger 1,5 kg så är andelen socker 38⋅3/1500 = 19/250 = 7,6%.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte vad du menar med att d skulle bli lineär om man stryker axiom 4. Det fjärde axiomet är naturligt för ett avståndsbegrepp. Det säger väsentligen att vägen inte blir kortare om man tar en omväg.

Kjell Elfström

Svar:

Pythagoras sats handlar om kantlängderna i en rätvinklig triangel, dvs en triangel i vilken en av vinklarna är rät.

Sidan c som står mot den räta vinkeln kallas hypotenusan och de båda övriga sidorna kallas för kateter. I ord säger Pythagoras sats att summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. Det betyder att

Vet man t ex att de båda kateterna i en rätvinklig triangel har längden 1 så får man hypotenusan c genom 1² + 1² = c², dvs c = √2. Om kateterna är 3 och 4 så får man c ur 3² + 4² = c². Det ger att c² = 25 varav c = 5. I denna rätvinkliga triangel har alla kanter heltalslängder och en sådan rätvinklig triangel kallas för en Pythagoreisk triangel. En triangel som har kanterna 3, 4 och 5 måste vara rätvinklig mellan sidorna 3 och 4. Detta kan användas till att konstruera rätvinkliga trianglar. Tag ett snöre av längden 12 och sätt ett märke på snöret efter 3 längdenheter och ett märke efter ytterligare 4 längdenheter. Forma sedan snöret till en triangel med hörn i märkena och ändpunkterna, som alltså sammanfaller. Denna triangel måste bli rätvinklig vid det första märket.

Kjell Elfström

Svar:

Beteckningen ∫ f(x) dx står för en primitiv funktion till f. Enligt definitionen är det därför så att (d/dx)(∫ f(x) dx) = f(x). Integralkalkylens huvudsats säger att under vissa förutsättningar så är den bestämda integralen ∫_a^x f(t) dt en primitiv funktion till f och är något som måste bevisas.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom c = a/|a| + b/|b| = xa +’yb, där x och y är positiva så pekar vektorn c mellan a och b. Det räcker därför att visa att c bildar samma vinkel med a som med b. Om vi betecknar skalärprodukten med · och vinklarna med θ_a och θ_b så gäller det att

Gör du en likadan beräkning av θ_b, eller enklare: utnyttjar symmetrin, så ser du att cos θ_a = cos θ_b, vilket innebär att vinklarna är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att spindelns radie är r och att varvtalet är v varv per tidsenhet. Då kommer spindelns ytterhastighet att vara 2πrv längdenheter per tidesenhet. Vill du hålla ytterhastigheten konstant lika med k längdenheter per tidsenhet så skall du justera varvtalet v så att v = k/(2πr).

Kjell Elfström

Svar:

1 + 1 = 2. Att två bulldegar blir en när man slår ihop dem motsäger inte detta. Inte heller det faktum att om man slår ihop två dynamitstavar så kan båda försvinna och kanske man själv också. Man får i stället se på det som att addition är tillämplig när man samlar ihop äpplen (utan att slå ihop dem för hårt) men inte när slår ihop bulldegar eller dynamitstavar (för hårt).

Kjell Elfström

Svar:

Separera variablerna: y′/(y − 2) = 1/(1 − x). Här är vänsterledet derivatan med avseende på x av ln|y − 2| och högerledet är derivatan av −ln|1 − x|. Att dessa båda derivator är lika betyder att ln|y − 2| = ln|1 − x| + C. Att y(0) = 0 ger att ln|−2| = ln|1| + C, dvs C = ln 2. Detta ger att ln|y − 2| = ln|1 − x| + ln 2 = ln(2|1 − x|), dvs |y − 2| = 2|1 − x|. Då y < 2 är |y − 2| = 2 − y, varför y = 2 − 2|1 − x|.

Kjell Elfström

Svar:

Cirkeln med medelpunkt i origo och radien 2 har ekvationen x² + y² = 2² = 4. Löser man ut y så får man y = ±√(4 − x²). Kurvan y = √(4 − x²) är endast den norra halvcirkeln. Området mellan denna och x-axeln har arean (1/2)π⋅2² = 2π.

Kjell Elfström

Svar:

Du behöver bara testa om n är delbart med heltalen d som är sådana att 2 ≤ d ≤ √n. Om n har en äkta delare som är större än √n så måste det också ha en som är mindre än √n. Du behöver också bara testa med primtal men det kräver att du snabbt kan lista alla primtal som är mindre än eller lika med √n. I praktiken blir det kanske ingen tidsbesparing. Man kan också välja ett heltal a som inte är delbart med n och undersöka om a^n − 1 − 1 är delbart med n. Om så inte är fallet så kan inte n vara ett primtal. Nackdelen med denna metod är att om a^n − 1 − 1 är delbart med n så måste inte n vara ett primtal. Man kan utnyttja metoden för att ganska snabbt utesluta många av de tal som inte är primtal. Om metoden inte ger ett svar får man tillämpa någon långsammare men säker metod. Dessa metoder är mycket elementära. Det finns snabbare algoritmer, särskilt när talen n har en viss form. Se vidare på Finding primes & proving primality.

Kjell Elfström

Svar:

1555⋅1,15⋅0,80 kr.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten är 2/7. Välj en av personerna. Att den andra personen är född dagen före eller efter har sannolikheten 2/7.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till några program med det syftet. Datorprogram med vilkas hjälp man kan göra beräkningar och lösa matematiska problem finns det dock en hel del av. Se t ex NIST Guide to Available Mathematical Software.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, till en konstant funktion.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen saknar heltalslösningar om det är sådana du söker. Räknar man modulo 16 så är vänsterledet −z² och högerledet 5. Genom att pröva alla de sexton möjliga värdena på z ser man att −z² aldrig kan bli 5 modulo 16.

Om det är reella lösningar du söker kan du låta x och y vara vilka reella tal som helst som är sådana att 16xy ≥ 325 och lösa ut z som z = ±√(16xy − 325).

Kjell Elfström

Svar:

Exemplet i boken härrör från en artikel av Y. Katznelson och Karl Stromberg i American Mathematical Monthly, No. 4, April, 1974, pp. 349-354.

Kjell Elfström

Svar:

Du har glömt en del av härledningen:

Jag rensade också bort de onödiga delarna. Felet är att den regel √a√b = √(ab) som gäller för icke-negativa tal a och b inte gäller när a och b är negativa.

Kjell Elfström

Svar:

1. Elva och tolv kommer från ord som betyder en över respektive två över. Det är vad man har kvar när man dragit bort 10. Elva hette på fornsvenska ällivu och heter elleve på danska och eleven på engelska. Den första delen av ordet kommer från räkneordet en och den andra är besläktad med leva i betydelsen lämna. Jämför engelskans leave. Tolv förklaras på samma sätt. Räkneorden som slutar på ton har egentligen den sammansättning som du önskar fast med orddelarna omkastade. Suffixet ton kommer nämligen från ett germanskt ord tehun som betydde tio. Jämför med tyska zehn.

2. Nej, det tycker jag inte. Vi har ju båda varit barn och klarat oss väl utan denna nymodighet.

3. Eftersom det heter tiotalister, tjugotalister osv. så vore kanske det bästa att kalla dem för nolltalister. Jag tror att folk skulle tro att entalister var någonting annat.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen är 129,6 dm³ och enligt uppgifter jag hämtat från internet är densiteten för kalksten ungefär 2,7 kg/dm³. Det skulle ge en vikt på ungeför 350 kg. Är det inte kalksten utan ett material med en annan densitet får man naturligtvis en annan vikt.

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att bestämma vinklarna i triangeln. Kalla vinkeln som står mot sidan 4 för α och vinkeln som står mot sidan 6 för β. Då ger cosinussatsen att cos α = 3/4, vilket ger att sin α = √(1 − cos²α) = (√7)/4. Om h är höjden så är sin α = h/5, vilket ger att h = 5(√7)/4. Medianen m delar sidan 6 i två delar med längden 3. Cosinussatsen ger att m² = 3² + 5² − 2⋅3⋅5cos α och vi får att m = √(23/2). Cosinussatsen ger att cos β = 1/8. Därför är cos²(β/2) = (1 + cos β)/2 = 9/16, varav cos(β/2) = 3/4. Vi noterar att α och β/2 är lika stora och kan bestämma bisektrisen b genom cos(β/2) = (5/2)/b. Vi får b = 10/3.

Kjell Elfström

Svar:

Medelvärdet är ỹ = (1/(2a))∫_−a^a √(a² − x²) dx. Integralen är halva arean av en cirkel med radien a och det ger att medelvärdet är (1/(2a))πa²/2 = aπ/4.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kan skriva a^x = e^x ln a. En primitiv funktion till a^x är därför (1/ln a)a^x. Partiell integration ger att

Kjell Elfström

Svar:

Funktionerna cos och sin brukar för icke-reella tal z definieras med hjälp av Eulers formler så att t ex sin z = (e^iz − e^−iz)/(2i). Därför är cos och sin vanliga envärda funktioner från C till C.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att påståendet är sant om man formulerar om det något: ”Visa att man måste vika längs någon av bisektriserna för att få minimal area.” Det är nämligen inte likgiltigt vilken av bisektriserna man väljer, vilket din formulering antyder. Detta inses om man väljer en likbent, men inte liksidig triangel. Väljer man bisektrisen till vinkeln mellan de båda lika långa sidorna får figuren halva triangelarean men om man väljer någon av de övriga bisektriserna får man en större figur.

Man kan ganska enkelt med ett kontinuitetsresonemang bevisa att det finns en vikning som ger minimal area. Det räcker därför att visa att om man inte viker längs en bisektris så kan man alltid hitta en vikning som ger mindre area. Jag har inte funnit något elegant sätt att bevisa detta. När man gjort vikningen, säg på ett bord, så kommer en del av bordet att täckas av två delar från triangeln. Att figuren har minimal area är detsamma som att denna överlappning har maximal area. I figuren nedan är det lätt att visa att det mörkröda triangulära området kan göras större genom att man roterar linjen L moturs runt punkten P. Den mörkröda triangeln kommer att få större bas men samma höjd. Det blir dock en del olika fall att gå igenom.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar som om ditt svar är svar på frågan om vilket väntevärdet är för antalet observationer man gjort när man för första gången sett alla kombinationer. I så fall är resonemanget korrekt men jag uppfattade inte den ursprungliga frågan på det sättet.

Kjell Elfström

Svar:

Tag en ring R₁ med etta och en ring R₂ utan etta och sätt R = R₁×R₂. Då utgör mängden R₁′ = {(a,0); a ∈ R₁} en underring till R med etta. Du kan t ex ta R₁ = Z och R₂ = 2Z = {2n; n ∈ Z}. En polynomring över en kropp är en Euklidisk ring, vilket medför att de flesta av de satser som gäller för polynomringen över Q, R eller C gäller. För en godtycklig ring är många av dessa satser inte sanna.

Kjell Elfström

Svar:

I R[x] saknar polynomet nollställen, i C[x] har det nollställena ±i och i Z₂[x] har det nollstället 1. Polynomet kan inte ha fler nollställen än dess gradtal, som är 2.

Kjell Elfström

Svar:

I Z₃ finns bara 3 element, varför inget polynom över Z₃ kan ha fler än 3 nollställen. Polynomet x(x − 1)(x − 2) = x³ − x över Z₃ har tre nollställen.

1. Om F är en ändlig kropp är svaret ja. Antag att F har n element x₁,…,x_n och låt polynomet vara ∏_k = 1ⁿ(x − x_k). Om kroppen F har oändligt många element och p(x) = 0 för alla x i F så måste p vara nollpolynomet. Ett polynom kan nämligen inte ha fler nollställen än dess gradtal. Om polynomet p har grad n och n + 1 nollställen x₁,…,x_n + 1 så är p delbart med x − x_k då k = 1,…,n + 1 och eftersom dessa polynom är relativt prima så är p delbart med deras produkt som har större gradtal än p och det är en motsägelse.

2. Betrakta polynomet p(x) = a(x) − b(x).

Kjell Elfström

Svar:

Om grafen ej är sammanhängande så består den av två disjunkta grafer med kromatiska polynom Χ₁ och Χ₂ och det gäller då att Χ₁(t)Χ₂(t) = t(t − 1)ⁿ. På grund av entydig faktorisering i ringen av polynom över R är något av polynomen på formen t(t − 1)^p och det andra på formen (t − 1)^q. Detta är en motsägelse eftersom ett kromatiskt polynom måste ha den konstanta termen noll.

Kjell Elfström

Svar:

Inte nödvändigtvis. (4/9)^1/2 = 2/3.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan läsa dokumentet http://www.acad.polyu.edu.hk/~mackchan/Teaching0405/ama202/PDE.pdf.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte funnit någon information om hur många symboler det kan finnas på en trisslott. Jag antar att antalet symboler är n. Man skall med återläggning draga en symbol 9 gånger och det kan göras på n⁹ sätt. För att beräkna antalet lotter med minst tre lika kan man taga det totala antalet och draga ifrån de lotter på vilka varje symbol förekommer högst två gånger. Vi tar först de lotter på vilka alla symbolerna är olika. Vi väljer ut de 9 symbolerna och det kan göras på (ⁿ₉) sätt. Vi ordnar sedan dessa 9 symboler och det kan göras på 9! sätt. Det ger oss (ⁿ₉)⋅9! lotter. Vi räknar sedan ut antalet lotter på vilka en symbol förekommer två gånger och de övriga högst en gång. Den som förekommer två gånger kan väljas ut på (ⁿ₁) sätt och de övriga på (^n − 1₇) sätt. Symbolerna kan sedan räknas upp på 9!/2 sätt. Antalet blir (ⁿ₁)(^n − 1₇)⋅9!/2. Vi tar sedan de lotter som har två symboler två gånger och de övriga högst en gång. Antalet blir (ⁿ₂)(^n − 2₅)⋅9!/2². Två symboler tre gånger ger (ⁿ₃)(^n − 3₃)⋅9!/2³ och två symboler fyra gånger ger (ⁿ₄)(^n − 4₁)⋅9!/2⁴ lotter. Sannolikheten blir

Antalet lotter med höst två likadana symboler kan också beräknas som koefficienten för x⁹/9! i utvecklingen av (1 + x + x²/2)ⁿ.

Kjell Elfström

Svar:

Partiklar rör sig utefter kurvor. Hur lång väg har de tillryggalagt? De kortaste vägarna på buktiga ytor är oftast inte utefter räta linjer. Hur långt är det mellan två punkter på en buktig yta? Svaren på sådana frågor kan vara intressanta när man vill beräkna arbetet som krävs för att förflytta partiklarna eller bränslemängden som åtgår vi färd på den buktiga ytan.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom 1/x är derivatan av ln x så borde substitutionen t = ln x göra susen. Då är nämligen dt = dx/x och integralen övergår i ∫ t²dt = t³/3 + C = (ln x)³/3 + C.

Kjell Elfström

Svar:

Kurvorna skär varandra i punkterna (2,±2). Förhållandet blir detsamma om vi bara betraktar de delar av ytorna som befinner sig ovanför x-axeln. Den norra delen av parabeln har ekvationen y = √(2x), varför området som begränsas av denna kurva, x-axeln och linjen x = 2 har arean ∫₀²√(2x) dx = 8/3. Den del av den norra halvcirkelskivan som ligger till höger om linjen x = 2 har arean ∫₂^√8√(8 − x²)dx. Gör variabelbytet x = √8t så får du att denna area är 8∫_1/√2¹√(1 − t²)dt = π − 2. Om hur man beräknar integralen kan du läsa i dokumentet ”Några integraler” på sidan Vanliga frågor. Den sammanlagda arean blir π + 2/3 och eftersom den norra halvcirkelslivan har arean 4π blir förhållandet (π + 2/3)/(3π − 2/3) = (3π + 2)/(9π − 2).

Kjell Elfström

Svar:

Botanisera bland gratisprogrammen på sidan Other Sources of Math Software Information.

Kjell Elfström

Svar:

Det är den inte. Av att x < y följer inte att x⋅0 < y⋅0. Däremot gäller att om x < y och z > 0 så är xz < yz. Om x ≠ 0 och y ≠ 0 så är 0 < x och därav följer det att 0 = 0⋅y < xy.

Kjell Elfström

Svar:

Det vet jag inte. Lösningen kan vara av det slaget att den ger inspiration till lösningar av många andra problem.

Kjell Elfström

Svar:

Om du menar P vs NP så finns problemet beskrivet på ett, som jag tycker, enkelt sätt på sidan P vs NP.

Kjell Elfström

Svar:

1. Bryt ut x^0,7. Ekvationen blir x^0,7(49x^1,1 − 3,5) = 0. Vänsterledet är en produkt av två faktorer och en sådan är noll bara då någon av faktorerna är noll. Antingen är x^0,7 = 0, vilket bara kan inträffa om x = 0, eller så är 49x^1,1 − 3,5 = 0, vilket är detsamma som att x^1,1 = 3,5/49 = 1/14. Detta är i sin tur ekvivalent med att x = (1/14)^1/1,1 = 1/14^1/1,1. Ekvationen har alltså de båda rötterna 0 och 1/14^1/1,1.

2. Lös först ut logaritmen så får du att lg(x/19 + 3,1) = 1,4/3 = 7/15. Detta är enligt definitionen av lg ekvivalent med att x/19 + 3,1 = 10^7/15. Du kan själv ta över räkningarna härifrån.

Kjell Elfström

Svar:

10^−7,5 är i likhet med π, e och √2 ett reellt tal. Är det så att ni bara accepterar tal på en viss form så tycker jag ni skall skriva ut det på provet så eleverna vet vad som gäller. I vilket fall som helst så kan man fråga sig vilket syftet skulle vara med att underkänna svaret 10^−7,5. Är de som svarar så sämre i matematik än de som svarar 5⋅10⁻⁸? Godkänn svaret!

Kjell Elfström

Svar:

Svaret på denna fråga blir för långt för att publiceras här. Läs på sidan The Universal Transverse Mercator System.

Kjell Elfström

Svar:

Man bevisar inte parallellaxiomet eller dess negation. Den geometri i vilken parallellaxiomet och de övriga Euklidiska postulaten gäller kallas definitionsmässigt för Euklidisk geometri. Stipulerar man ett axiom som motsäger parallellaxiomet får man en icke-Euklidisk geometri. Vilken geometri man använder i tillämpningar beror på hur man anser att världen är beskaffad och det har ingenting med matematik att göra.

Kjell Elfström

Svar:

Produkten 1⋅2⋅3⋅⋅⋅n av de n första positiva heltalen betecknas n! och uttalas n-fakultet. Därför är 85! = 1⋅2⋅3⋅⋅⋅85.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tolkar problemet som att Dale och Kitt försöker lösa problemet oberoende av varandra. Då kan problemet lösas av båda två, av bara den ena eller av ingen av dem. Sannolikheten att båda löser problemet är 0,65⋅0,75. Sannolikheten att någon av dem löser problemet är därför 0,65 + 0,75 − 0,65⋅0,75. Sannolikheten att Dale löser problemet om någon av dem löser det är alltså 0,65/(0,65 + 0,75 − 0,65⋅0,75).

Kjell Elfström

Svar:

Stick en lodrät pinne i marken och mät pinnens skugga när solen står som högst. Om pinnens längd (ovanför marken) är a och skuggans längd b så är tan α = b/a, där α är den sökta vinkeln. Nu var kanske Erastothenes inte bekant med de trigonometriska funktionerna men man kan rita av vinkeln och mäta med en noggrannt graderad gradskiva.

Du kan också läsa på sidan Find the Circumference of the Earth - the Ancient Greek Way!.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förenklar problemet genom att antaga att varje par av människor får lika många barn och får samtliga när de är tjugo år. Antag att varje par föder 2x barn. Då föder Adam och Eva 2x barn som bildar x par. Dessa par föder x⋅2x = 2x² barn som bildar x² par. Man inser att den n:e generationen efter Adam och Eva består av xⁿ par, dvs 2xⁿ människor. På 10000 år blir det 10000/20 = 500 generationer och det gäller därför att 2x⁵⁰⁰ = 6×10⁹, dvs 2x = 2(3⋅10⁹)^1/500 ≈ 2,1.

Kjell Elfström

Svar:

Räkning med bråktal består väsentligen i att kunna utföra de fyra räknesätten på dem och att kunna förkorta. Multiplikation och division av bråktal är enkel. Addition och subtraktion kräver att man gör liknämnigt. Lär dig dessa metoder och lär dig hur man förkortar så kan du räkna med bråk.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström