Lunds universitets sigill
Matematikcentrum
Matematik MNF
 Fråga Lund om matematik
Frågor och svar november 2003 		Frågor och svar oktober 2003 Läs frågor och svar Frågor och svar december 2003

30 november 2003 20.36.05
hej mitt namn är Estrella och jag vill ha hjälp med bevisen av kvotregeln inom gränsvärden. tack
Estrella

Svar:

Kvotregeln då x --> oo lyder som följer. Om f(x) -->A då x --> oo, g(x) -->B då x --> oo och B <> 0 så gäller det att f(x)/g(x) --> A/B då x --> oo. Jag beisar denna regel. Kvotregeln då x --> -oo eller x --> a bevisas på väsentligen samma sätt. Låt epsilon vara ett positivt tal och sätt e = epsilon|B|2/(2(|A| + |B|)), a(x) = f(x) - A och b(x) = g(x) - B. Då finns tal omega1 och omega2 sådana att

|a(x)| < e då x > omega1   och   |b(x)| < e då x > omega2.

Eftersom B <> 0 så är |B|/2 > 0. Vi kan därför också använda gränsvärdesdefinitionen med epsilon = |B|/2 och få att

|g(x) - B| < |B|/2 då x > omega3.

Då x > omega3 är därför enligt triangelolikheten |B| = |g(x) - B - g(x)| <= |g(x) - B| + |g(x)| < |B|/2 + |g(x)| ==> |g(x)| > |B|/2. Det följer nu att

|f(x)/g(x) - A/B| = |Bf(x) - Ag(x)|/|Bg(x)| = |Ba(x) - Ab(x)|/|Bg(x)| <= (|B||a(x)| + |A||b(x)|)/(|B||g(x)|) < 2((|B| + |A|)/|B|2)e = epsilon

då x > omega = max(omega1,omega2,omega3).

Kjell Elfström

30 november 2003 18.45.16
Visa att en funktion f är kontinuerlig i punkten x=a om och endast om f(a_n) --> f(a), då n --> oo, för varje talföljd (a_n)_{n=1}^oo sådan att a_n --> a, då n -->oo.
A.K

Svar:

Om f är kontinuerlig i a så gäller att f(x) --> f(a) då x --> a. Därav följer att f(an) --> f(a) då n --> oo om an --> a då n --> oo. Den delen av beviset har du förmodligen redan klarat av. Antag nu att f inte är kontinuerlig i a. Då gäller inte att f(x) --> f(a) då x --> a. Nu är det bara att negera gränsvärdesdefinitionen. Det finns alltså ett tal epsilon > 0 sådant att det till varje delta > 0 finns ett tal x sådant att |x - a| < delta och |f(x) - f(a)| >= epsilon. Till delta = 1/n finns det alltså ett tal an sådant att |an - a| < 1/n och |f(an) - f(a)| >= epsilon. Det gäller därför att an --> a då n --> oo men inte att f(an) --> f(a) då n --> oo.

Kjell Elfström

30 november 2003 18.24.16
Volymen för ett klot är V = (4/3)pi*r^3 vad får man om man successivt deriverar eller integrerar denna formel (med avseende på r) ? Vilket samband råder och hur inser man detta samband ?
Johan

Svar:

Se 4 november 2003 07.43.26.

Kjell Elfström

30 november 2003 16.36.57
Om jag har en kvadrat som jag undersöker vilka rörelser som man kan göra med den, vad kan jag då få för rörelser och hur kan en sammansättningstabell se ut? Finns det neutrala element? Finns det motsatta element? Är en del element motsatta till sig själva?
pia johansson

Svar:

Det måste handla om symmetrier. En symmetri är en bijektiv avbildning av kvadraten på sig själv som bevarar avstånd. En symmetri är bestämd av hur hörnen avbildas. Kalla hörnen för A, B, C och D. Vi antar att de är uppräknade så att om man går runt kvadraten moturs så passerar man hörnen i bokstavsordning. Det är då klart att grannhörn avbildas på grannhörn så att hörnen kommer att vara antingen i bokstavsordning eller omvänd bokstavsordning efter avbildningen. Det finns alltså 8 symmetrier. Vi kallar den avbildning som inte gör något alls för I. Kalla rotation moturs ett kvart varv för R. Då är rotation ett halvt varv R 2 och rotation tre kvarts varv R 3. Dessa fyra symmetrier är de symmetrier som bevarar ordningen på hörnen. Vi betecknar med S symmetrin som innebär spegling i diagonalen genom hörnen A och C. A avbildas alltså på A, C på C, B på D och D på B. De fyra symmetrier som ändrar ordningsföljden på hörnen är S, RS, R2S och R3S. I dessa görs alltså speglingen först och därefter rotationen. De åtta symmetrierna är alltså I, R, R 2, R 3, S, RS, R 2S och R 3S. För att ange multiplikationstabellen behöver vi egentligen bara taga reda på vilken av dessa symmetrier som symmetrin SR motsvarar. Detta är alltså först rotation, sedan spegling. Denna symmetri avbildar A på D, B på C, C på B och D på A. Detta är samma symmetri som R 3S. Vi får alltså SR = R 3S. Med hjälp av denna räkneregel ser vi t ex att

(SR)R = (R 3S)R = R 3(SR) = R 3(R 3S) = R 6S = R 2S.

Vi får sedan att

SR 3 = SR 2R = R 2SR = R 2R 3S = R 5S = RS

osv. Hela multiplikationstabellen blir

  I R R 2 R 3 S RS R 2S R 3S
I I R R 2 R 3 S RS R 2S R 3S
R R R 2 R 3 I RS R 2S R 3S S
R 2 R 2 R 3 I R R 2S R 3S S RS
R 3 R 3 I R R 2 R 3S S RS R 2S
S S R 3S R 2S RS I R 3 R 2 R
RS RS S R 3S R 2S R I R 3 R 2
R 2S R 2S RS S R 3S R 2 R I R 3
R 3S R 3S R 2S RS S R 3 R 2 R I

Ur tabellen kan vi avläsa att alla element har inverser och att alla element utom R och R 3 är sina egna inverser.

Kjell Elfström

30 november 2003 15.35.43
Hej!
Hur löses problemet: Bestäm ekvationen för dem eller de tangenter till funktionen Y=4x-x^2 som passerar genom punkten (2,6)
Ric

Svar:

Funktionens derivata är 4 - 2x. Tangenten till den punkt på kurvan vars x-koordinat är a har därför ekvationen y - (4a - a2) = (4 - 2a)(x - a). Att tangenten går genom (2,6) betyder att

6 - (4a - a2) = (4 - 2a)(2 - a).

Lös ut a ur denna andragradsekvation och sätt in rötterna i tangentekvationen.

Kjell Elfström

29 november 2003 22.39.23
hallå. Har stött på 2 problem.
Problem 1: Skall bestäma samtliga lösningar till: -2sin(pi/2*x)+2 cos(pi/2*x)=2
Problem 2: Med hjälp av eulers formler skriva om: sin^3*x*cosy som ett uttryck i förstapotenser av sinus.
fredrik k

Svar:

Jag kallar x pi/2 för t. Ekvationen kan efter division med 2 skrivas cos t - sin t = 1. Vänsterledet är av formen a cos t + b sin t. Man observerar att med C = (a2 + b2)1/2, A = a/C och B = b/C så kan uttrycket skrivas C (A cos t + B sin t). Det fina med denna omskrivning är att A 2 + B 2 = 1, varför (A,B) är en punkt på enhetscirkeln. Det finns alltså ett tal u, sådant att A = cos u och B = sin u. Därför kan vi skriva

a cos t + b sin t = C (cos t cos u + sin t sin u) = C cos(t - u).

I vårt fall är a = 1 och b = -1 så C = 21/2, A = 1/21/2 och B = -1/21/2. Vår ekvation kan alltså skrivas

21/2 cos(t - u) = 1   <==>    cos(t - u) = 1/21/2   <==>   t - u = ±pi/4 + 2pi n.

Vinkeln u skall väljas så att cos u = 1/21/2 och sin u = -1/21/2. En vinkel som duger är u = -pi/4. Lösningen ges alltså av t = -pi/4 ± pi/4 + 2pi n, vilket kan skrivas som t = 2pi n eller t = -pi/2 + 2pi n. Vi får x = 4n eller x = -1 + 4n.

Vi har att sin x = (eix - e-ix)/(2i) och cos x = (eix + e-ix)/2. Detta ger att

sin3 x cos x = (1/(2i)3)(e3ix - 3eix + 3e-ix - e-3ix)(eix + e-ix)/2 = -(1/8)(1/(2i))(e4ix - e-4ix - 2(e2ix - e-2ix)) = (1/4) sin 2x - (1/8) sin 4x.

Kjell Elfström

29 november 2003 22.29.24
Hej ! Vad används topologiska rum för rent praktiskt,ge gärna ett konkret exempel,eller är de endast till för matematikens egen skull ?
Anders Ståhl

Svar:

Topologin är en viktig grund för analysen som har tillämpningar inom de flesta vetenskaper, speciellt de naturvetenskapliga. Toologin har också mer direkta tillämpningar. Inom kemi och molekylärbiologi kan nämnas att polymerer och DNA har intressanta topologiska och geometriska egenskaper som studeras med matematiska metoder. Grafteorin är en topologisk gren av matematiken som har stor betydelse inom datavetenskapen och inom fysiken används topologin inom t ex kvantfältteorin.

Kjell Elfström

29 november 2003 20.00.16
Hej, jag undrar om man i något sammanhang har nytta av derivatan till enhetscirkeln med avseende på vinkeln x;
lutningskoefficienten k = deltaY / deltaX = cos(x) / -sin(x)
Anders Kedegård, 3TE, Strömstad Gymnasium

Svar:

Se 24 november 2003 23.11.42. Man kan också skriva cirkelns ekvation på parameterform x = cos t, y = sin t. Då är x' = -sin t och y' = cos t. Det följer att en riktningsvektor för tangenten är v = (v1,v2) = (-sin t,cos t). Dess riktningskoefficient är v2/v1 = (cos t)/(- sin t). Här är t vinkeln medan x och y är koordinater. Vi kan också tänka på t som tiden. Om ett föremål roterar runt cirkeln så att den tillryggalagda vinkeln efter t tidsenheter är t radianer så är vektorn v föremålets hastighet och vektorns längd (v12 + v22)1/2 = 11/2 = 1 längdenhet/tidsenhet är lika med föremålets fart vid tiden t. Detta är också den fart som föremålet skulle få om det fortsatte i tangentens riktning.

Kjell Elfström

29 november 2003 18.10.17
Hej!
Jag går på Åk 8 och jag har problem med följande uppgiften:
Två maskiner tillverkar huvudvärkstabletter. Den ena maskinen tillverkar tre tabletter per sekund och den andra två tabletter per sekund. Vid ett tillfälle skulle 100 000 tabletter tillverkas. under produktionen fick den snabbare maskinen ett stopp på 1 h 15 min. Hur lång tid tog det att tillverka tabletterna?
Hälsningar
Linus S

Svar:

Antag att det tog x timmar. Den snabbare maskinen gick då x - 1,25 timmar och den lånsammare x timmar. Eftersom 1 timme är 3600 sekunder tillverkades det då 3·3600(x - 1,25) + 2·3600x = 100000 tabletter. Utvecklar vi vänsterledet får vi 5·3600x - 3,75·3600 = 100000 vilket ger att x = 113500/18000 = 1135/180 = 227/36  = 6,3 timmar, dvs 6 timmar 18 minuter .

Kjell Elfström

29 november 2003 15.13.05
Hur bevisar man att
lim(h går mot 0)(1+h)^((a^h-1)/(h^2))=a
P.s. sjyst sida
en som inte vet hur man gör

Svar:

Skriv om uttrycket som e f(h), där

f(h) = (ln(1 + h))(ah - 1)/h2 = ((ln(1 + h))/h)(eh ln a - 1)/h = ((ln(1 + h))/h)((eh ln a - 1)/(h ln a)) ln a.

Använd standardgränsvärdena för att visa att f(h) --> ln a då h --> 0 och drag slutsaten att e f(h) --> eln a = a då h --> 0.

Kjell Elfström

29 november 2003 13.24.56
Hur gör man för att räkna ut logaritmen för 80 i huvudet?
Malin

Svar:

Det finns många olika sätt att med hjälp av de fyra räknesätten beräkna närmevärden till logaritmer. Jag förutsätter att det är tiologaritmen för 80 du vill beräkna även om det inte har någon principiell betydelse vilken bas man använder. Vi använder att 10x är en strängt växande funktion så att om x < y så är 10x < 10y. Vi antar att lg 80 = x0 + 10-1x1 + 10-2x2 + 10-3x3 + ..., där 0 <= xk < 10. Då är 80 = 10x0 + 10-1x1 + 10-2x2 + 10-3x3 + .... Eftersom 101 < 80 < 102 så är x0 = 1. Det ger oss att 80 = 101 + 10-1x1 + 10-2x2 + 10-3x3 + ... = 101·1010-1x1 + 10-2x2 + 10-3x3 + ..., varför 8 = 80/101 = 1010-1x1 + 10-2x2 + 10-3x3 + .... Upphöjer vi båda led till 10 får vi 1073741824 = 810 = 10x1 + 10-1x2 + 10-2x3 + .... Eftersom 109 < 1073741824 < 1010 så är x1 = 9. Dividera likheten med 10x1 = 109 och upphöj resultatet till 10 och bestäm x2 på samma sätt osv. Jag medger att algoritmen förutsätter att man är ganska duktig på huvudräkning men den fungerar väl i ett datorprogram.

Kjell Elfström

29 november 2003 11.23.42
Hej! En vinkel som är 10 grader kallas spetsig och en vinkel som är 150 grader är trubbig. Vad kallar man en vinkel på 350 grader? Den har ju samma form som den på 10 grader (och ser ju ganska spetsig ut), men den är större än 90 grader där gränsen mellan spetsig och trubbig går.
Magnus Karlsson

Svar:

En vinkel definieras normalt som två strålar som utgår från en punkt. Vinkelns mått definieras då som storleken av den minsta rotation som överför den ena strålen på den andra, varvid en rotation ett helt varv har storleken 360°. Vinkelmåttet kan på så sätt aldrig vara större än 180° och heller inte negativt. Den vinkel som du säger har måttet 350° har alltså måttet 10° och är spetsig. En rotation kan, till skillnad från en vinkel ha hur stort mått som helst. Rotationsmåttet kan även vara negativt. Rotationer moturs brukar ges positiva och rotationer medurs negativa mått.

Kjell Elfström

29 november 2003 08.15.18
Är det teoretiskt omöjligt att bevisa att något inte existerar, som till exempel att Gud inte kan finnas?
Bill Persson

Svar:

Detta är, gud ske lov, en filosofisk fråga.

Kjell Elfström

28 november 2003 22.48.02
varför 4 skrivs med IIII på klockor men IV annars?
Lars Andersson Grycksbo

Svar:

Det verkar finnas olika teorier om detta. En säger att urtavlorna blir mer symmetriska om IIII används eftersom VIII uppvägs bättre av IIII än av IV. En annan säger att IV är mer svårläst än IIII i den ovanliga vinkeln. Den senare teorin verkar ganska befängd tycker jag eftersom man ganska lätt kan avläsa tiden på en urtavla som helt saknar siffror. En reflexion man kan göra är att i äldre tid var beteckningar som IIII och XXXX ganska vanliga men ersattes småningom av de kortare beteckningarna IV och XL som tog mindre plats. På urtavlor fanns inget behov av denna platsbesparing vilket skulle kunna förklara att sedvänjan levde kvar. Ingen av dessa teorier behöver dock vara korrekt.

Kjell Elfström

28 november 2003 14.39.31
Vad är skillnaden mellan ett axiom och ett postulat?
Daniel

Svar:

Vanligen används termerna synonymt. Ibland kallar man dock logiska grundsatser som är giltiga i alla teorier för axiom och grundsatser specifika för en viss teori för postulat. Man skulle då kunna kalla en grundsats som t ex (A eller (icke A)) för ett axiom medan t ex Euklides parallellpostulat skulle kallas postulat.

Kjell Elfström

28 november 2003 14.32.15
Hej,
du säger i ditt svar till (18 november 2003 21.50.05) att det inte finns någon mängd som kan innehålla allting. Finns det någon konkret anledning till det? Man tycker ju att man kan definiera mängden av allt som finns.
Daniel

Svar:

Med de vanligaste axiomsystemen för mängdläran kan det inte finnas någon mängd som består av alla mängder. Man vill nämligen ur en mängd kunna välja ut mängden av alla element med en viss egenskap och har axiom som garanterar detta. Hade det då funnits en mängd bestående av alla mängder hade vi ur denna kunnat välja ut mängden M som består av alla mängder som inte tillhör sig själva. Detta leder till en motsägelse: Om M tillhör M så har ju M denna egenskap, dvs M tillhör inte M. Om M inte tillhör M så saknar M egenskapen, dvs M tillhör M. Vi får alltså motsägelsen att M tillhör M om och endast om M inte tillhör M.

Kjell Elfström

28 november 2003 13.10.25
Hej ! Enligt ditt svar från 18 Nov. så är R\R = R-R är lika med noll,dvs den tomma mängden.Om grundmängden är R och jag drar ifrån R så blir det inget kvar,förutom det tomma mängden alltså noll,har jag förstått rätt så blir komplementet till R då inget dvs den tomma mängden.Låter något märkligt men är kanske i slutändan logiskt !
Lars,Hässelby

Svar:

Du verkar ha förstått rätt. Tomma mängden spelar samma roll i mängdläran som talet 0 i vanlig aritmetik.

Kjell Elfström

28 november 2003 11.28.30
Hej Kjell!
Om man tar ut slumpmässigt 23 personer, vad är sannolikheten att två eller fler har samma födelsedag. Jag har sett lösningen där man tar den komplementära händelsen, men det är en sak jag inte förstår. Är inte komplementära händelsen av (INGEN har samma födelsedag) = (ALLA har samma födelsedag), eftersom unionen av dessa två händelser ska vara hela utfallsrummet? Alltså jag ser inte varför komplementära händelsen av "två eller flera har samma födelsedag" ska vara "ingen har samma födelsdag". Kan du förtydliga det för mig?
Dessutom hur beräknar man sannolikheten att EXAKT 4 personer har samma födelsedag?
Tack!
Filip

Svar:

De två händelser du anser vara komplementära är A: Alla fyller år på samma dag och B: Personerna fyller år på olika dagar. Men ett utfall där Kalle fyller år den 1 januari, Stina och Ulla båda den 2 januari och övriga 20 personer på andra dagar kan inte höra till någon av dessa händelser. Händelserna kan alltså inte vara komplementära (om det finns fler än två personer). Komplementhändelsen till B är C: minst två personer fyller år samma dag. Tänk efter. Du kommer till gruppen och Kalle säger: "Alla här fyller år på olika dagar". Men så ser du Stina och Ulla, som du vet fyller år på samma dag. Visst inser du väl att Kalle ljuger? Det räcker alltså att det finns två personer med samma födelsedag för att du skall veta att Kalle har fel.

De fyra som skall ha födelsedag samma dag kan väljas ut på (234) sätt. Deras gemensamma födelsedag kan väljas på 365 sätt. De övriga 19 personernas födelsedagar kan sedan väljas på 364·363···346 = 364!/(364 - 19)! sätt. Sannlikheten blir alltså ((234)·365·364!/(364 - 19)!)/36523.

Kjell Elfström

27 november 2003 17.08.02
En kombinatorisk fråga. Vid en kassa i en systembutik står först A1 och sedan i tur och ordning A2, A3, A4, A5 och A6 i kö. Vid en annan kassa står på motsvarande sätt B1, B2, B3, B4 och B5 i kö. Dessa kassor skall stängas och de köande skall samtliga ställa sig i kö vid en nyöppnad kassa så att ordningen mellan A1, …, A6 bevaras, liksom ordningen mellan B1, …, B5. Dessutom kommer A3 och B2 (som inte har träffars på länge och har mycket att prata om) att ställa sig intill varandra i den nya kön. På hur många sätt kan den nya kön se ut?
Henrik

Svar:

A3 och B2 kan stå på 2 sätt i förhållande till varandra. Före detta par skall A1, A2 och B1 stå. B1 skall stå på en av dessa tre platser och när hans plats är bestämd är också platserna för A1 och A2 bestämda. Det ger oss 3 sätt att arrangera den del av kön som är före paret A3 och B2. Efter paret finns 6 platser. Av dessa skall tre väljas ut åt personerna från den gamla B-kön. Det kan göras på (63) sätt. När de tre platserna är valda är ordningen bestämd. Vi får alltså 2·3·(63) = 120 möjliga köer.

Kjell Elfström

27 november 2003 10.39.36
Jag undrar hur man löser denna ekvation algebraiskt inte numeriskt (t.ex. Newton-Rhapson).
e^(0.2x)=x^2
Hur gör man?
Svegne

Svar:

Man kan inte lösa den exakt uttryckt i elementära funktioner.

Kjell Elfström

27 november 2003 02.55.04
På hur många olika sätt skulle man kunna turordna bollarna i en triangel på ett biljarbord? Vill be om ett svar i en matematisk förkortning tack!
Erik

Svar:

Lägger man först upp triangeln i ett fixt läge på bordet och sedan börjar fylla den med bollar med början i det ena hörnet så kan den första bollen väljas på 15 sätt, nästa på 14 osv. Antalet sätt blir 15·14···2·1 = 15! = 1307674368000. Betraktar man arrangemang som lika om det ena kan erhållas från det andra genom att man roterar hela den fyllda triangeln så finns det 15!/3 = 435891456000 arrangemang. Betraktar man arrangemang som lika om det ena kan fås från det andra genom att man antingen roterar triangeln eller vänder upp och ner på den eller utför en kombination av dessa operationer så finns det 15!/6 = 217945728000 arrangemang.

Kjell Elfström

26 november 2003 20.17.07
Hej!
jag går på Södertörns högskola och läser GIS.
Min fru och jag undrar om den spanska matematiken på grundskolan årskurs 7-9 är mycket svårare än den Svenska? och om den spanska matematiken skiljer sig från den Svenska matematiken? då man räknar ut tal och löser problem. Vi har en vän i Spanien som säger att man räknar på ett annat sätt än i Sverige.
bjornlennartlind@yahoo.se

Svar:

Jag är inte insatt i hur matematikundervisningen bedrivs i den spanska grundskolan.

Kjell Elfström

26 november 2003 18.27.41
2 oktober 2003 19.58.12
Ett SVAR på en gammal fråga " 25 september 2003 12.02.48 Hur kan man uttrycka talet 41 med endast fem 5:or?
Jag tror jag hittat en godkänd lösning på detta:
5! - (5!/5) - 55 = 41
120 - 24 - 55 = 41
Frågan är om fakultetstecknet är godkänt...
Sebastian Palm

Svar:

Din lösning är utan tvekan godkänd.

Kjell Elfström

26 november 2003 15.44.44
Hej!
Jag försökte beräkna derivatan av e^x utgående från definitionen för derivata:
(f(x+h)-f(x))/h (h går mot 0), men det gick inte att lösa detta gränsvärde.
Har man räknat ut att derivatan av e^x är e^x på något annat sätt? Om derivatan är samma som funktionen betyder det väl att riktningskoefficienten för tangenten till e^x är samma som derivatan av e^x för alla värden på x. Kan det vara på detta sätt man sett att derivatan av e^x är just e^x?
Per

Svar:

Man kan bevisa att talföljden (1 + 1/n)n är växande och uppåt begränsad. Den måste därför ha ett gränsvärde då n --> oo och detta kallar man e. Man visar att (1 + x)1/x --> e då x --> 0. Det är sedan lätt att inse att e > 1. Det går också att visa att ax är strängt växande så a > 1. Det visar att funktionen ex är strängt växande så att den har en invers som kallas ln. Det är sedan ganska enkelt att visa logaritmlagarna utifrån potenslagarna. Det följer nu att

(ln(1 + x))/x = ln((1 + x)1/x) --> ln e = 1 då x --> 0.

Sätter vi y = ex - 1 så är x = ln(1 + y) och vi får att

(ex - 1)/x = y/ln(1 + y) --> 1 då x --> 0,

eftersom y --> 0 då x --> 0. Nu får vi att

(ex + h - ex)/h = ex(eh - 1)/h --> ex·1 = ex då h --> 0.

Kjell Elfström

26 november 2003 15.20.41
Hej igen och tack för ditt svar senast! Jag sökte just om Banach-Tarskis paradoxen och fann intressant material om detta teorem. Mina frågor är denna gång: Har det någon gång genomförts något experiment i praktiken som bekräftat detta? Det måste ju även finnas en gräns för hur mycket man kan utnyttja en given volym; om man kan skapa 2 identiska klot från ett så borde ju nx2 klot vara möjliga att skapa, eller?
Joakim Skoglund

Svar:

Banach-Tarskis uppdelning av sfären kan inte göras i praktiken. De delar som man måste dela upp sfären i är inte mätbara och icke mätbara mängder kan inte karvas ut ur en riktig sfär.

Kjell Elfström

26 november 2003 14.01.08
>Hur räknar man ut sinus? Dvs hur räknar miniräknaren ut sinus? McLaurin utveckling kanske? Men hur härleder man isåfall McLaurin utvecklingen för sinus?
>Jacob Falkman
>
>Svar:
>
>De algoritmer jag sett för uträkning av sinusvärden har byggt på Maclaurinutvecklingen. Enligt Taylors formel har vi
>
>f(x) = f(0) + f '(0)x/1! + f ''(0)x2/2! + ... f (n)(0)xn/n! + Rn(x).
>
>Här är Rn(x) = f(n + 1)(c)xn + 1/(n + 1)!, där c är ett tal mellan 0 och x. Om f(x) = sin x ger detta att
>
>sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)kx2k + 1/(2k + 1)! + R(x).
>
>Här är R(x) = (-1)2k + 3x2k + 3 (cos c)/(2k + 3)!, vilket gör att du kan använda feluppskattningen
>
>|R(x)| <= |x|2k + 3/(2k + 3)!.
>
>Motsvarande formel för cosinus är
>
>cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + (-1)kx2k/(2k)! + R(x).
>
>där felet kan uppskattas genom
>
>|R(x)| <= |x|2k + 2/(2k + 2)!.
>
>För små värden på x minskar felet mycket snabbt vilket innebär att du kan använda ett ganska litet värde på k. I praktiken behöver du bara använda formeln för x mellan t ex 0 och pi/4. Övriga cosinus- och sinusvärden kan sedan fås med hjälp av trigonometriska formler.
>
>Kjell Elfström

Hej Kjell
En hårdvarurelaterad kommentar till frågan 19 november 2003 19.37.49. Kanske lite utanför ämnet, men ett annat sätt att beräkna sinus.
Om man vill ha dedikerad hårdvara som beräknar sinus med en rimlig noggrannhet (8-10 decimaler) är det vanligt att man använder CORDIC-algoritmen (COordinate Rotation DIgital Computer). Det är en väldig elegant lösning för att tex beräkna sin, cos, arcsin, arccos, arctan, kartetisk till polär representation mm. Det fina med den algoritmen är att man bara använder addition och skiftning som är snabba och tar lite plats på kislet som man tillverkar hårdvaran av. Däremot är multiplikation och division dyrbara i hårdvara i den meningen att de tar lång tid att utföra och tar stor plats. Om man inte har krav på att beräkningen ska gå väldigt snabbt och redan har multiplikation och division tillgängliga i någon programerbar struktur (som ofta är fallet för en miniräknare) kan den billigaste lösningen i kr kanske ändå vara en Maclaurinutveckling. En sökning på google torde ge massor av information (på engelska).

Svar:

Tack så mycket för dessa upplysningar.

Kjell Elfström

26 november 2003 12.27.41
Hej.
Jag har hört att Heisenbergs obestämbbarhetsrelation härleds matematiskt från Scrödinger-ekvationen. Kan ni visa hur det går till och förklara noggrannt (gärna om det går att förstå för en som endast läst tom Matte F och liknande).
Tack på förhand
erik

Svar:

Nej, jag tror att man behöver mer förkunskaper än de man får efter att ha läst Matematik F för att förstå härledningarna. Se t ex Quantum dynamics.

Kjell Elfström

26 november 2003 12.12.12
Varför skrivs andraderivatan av funktionen y(x) som d^2y/dx^2 och INTE d^2y/d^2x? Ett svar som en vanlig gymnasist skulle vara uppskattat.
Christian Savemark

Svar:

Beteckningen dy/dx härrör från Leibniz. Han tänkte på dy och dx som två oändligt små tal, infinitesimaler, som ändå inte var noll. Vi tittar på den moderna definitionen av derivata. Med delta y =  y(x + delta x) - y(x) så är derivatan av funktionen y i punkten x gränsvärdet av delta y/delta x då delta x --> 0. Då delta x är litet är derivatan ungefär lika med delta y/delta x. Andraderivatan blir på samma sätt ungeför lika med

(delta y(x + delta x)/delta x - delta y(x)/delta x)/delta x = (delta y(x + delta x) - delta y(x))/(delta x)2 =  delta delta y/(delta x)2

I nämnaren är det alltså talet delta x som skall kvadreras medan det i täljaren står differensen av differensen av y och det är naturligt att skriva den senare delta2y.

Kjell Elfström

25 november 2003 22.31.44
Hej. En horisontell linje ska dras genom grafen: y=x^4+cx^3+12x^2-5x+2, sa att den korsar grafen i 4 punkter. Vilka varden kan c anta for att detta ska kunna handa? Tackar Master.
jan-inge S.

Svar:

De exakta gränserna för vilka värden c kan antaga är rötter till en tredjegradsekvation och blir otympliga. Man konstaterar att ett nödvändigt och tillräckligt villkor är att derivatan f '(x) = 4x3 + 3cx2 + 24x - 5 har tre olika reella nollställen. Vi sätter derivatan lika med noll. Med g(x) = (5 - 24x - 4x3)/x2 är denna ekvation ekvivalent med ekvationen g(x) = 3c. Vi undersöker kurvan y = g(x). Deriverar vi g får vi g'(x) = -2(2x3 -12x + 5)/x3. Närmevärden till derivatans nollställen x1, x2 och x3 är -2,635984139, 0,4299094651 resp. 2,206074674. Genom att också studera gränsvärdena då x --> 0 och ±oo finner man att de sökta c-värdena ges av 3c > g(x1) eller g(x2) < 3c < g(x3).

Kjell Elfström

25 november 2003 11.59.01
Hej,
Har en fråga som kanske är rätt enkel att lösa.
Skulle vilja veta och det går att härleda en funktions utseende utifrån följande information.
En värdering av en vara (Z) är beroende av tre olika faktorer. Dessa tre faktorer kallar vi a, b och c.
a och b står i relation till varandra där b aldrig kan vara större än a (dock lika med)
Vidare vet vi att om någon av faktorerna a, b eller c = 0 så är Z=0
Fördubblas c så fördubblas även Z, halveras c så halveras även Z osv.
Nedan kommer resultat av hur Z förändras utifrån a, b och c.

Ex 1
a=1
b=1
c=100
Z=340

Ex 2
a=1
b=1
c=500
Z=1702

Ex 3
a=4
b=2
c=100
Z=335

Frågan är: Hur ser formeln ut som ger följande resultat ?
Hälsningar
Peter
Peter Englund

Svar:

Det kan man inte säga med så liten information. Om man vet vilken typ av modell som gäller kan man ofta bestämma parametervärden med hjälp av minstakvadratmetoden. Det kanske är så att man kan vänta sig ett samband av typen

Z = x1a + x2b + x3c.

Då kan parametrarna x1, x2 och x3 bestämmas med minstakvadratmetoden. Det krävs då många fler mätningar än de tre som finns i exemplen för att man skall få tillförlitliga värden på parametrarna. Minstakvadratmetoden finns tillgänglig i t ex Excel. Du kan också söka efter den från vår söksida.

Kjell Elfström

25 november 2003 11.38.49
Hej
Vi spelar boule och är mellan 15 till 48 st.
Vi spelar 4 omgångar under en kväll och den som har flest vinster och bästa kvot vinner.
Nu har det klagats på lottningen man får spela mot samma spelare flera gånger och med samma medspelare flera gånger. Har ni något bra förslag om lottningsförfarandet. När spelaren kommer får han ett nummer som sedan har behandlats med ett program i Exel så får vi de 4 omgångarna utskrivna och klara men som sagt de innehåller fel som jag inte klarar av att rätta till. Vi lottar så att det alltid blir jämnt antal lag och så många dubbellag som möjligt därefter trippellag och förhoppningsvis skall man bara behöva spela en trippelmatch om det går.
Tack på förhand.
Jim Kellerman

Svar:

Är det så att det lottas fram ett antal lag som skall hålla ihop under hela kvällen? Problemet skulle väl i så fall vara att ungefär samma spelare spelar tillsammans eller möts nästa kväll? Excelprogrammet ger kanske inte helt slumpmässiga lag. En mycket enkel modell är ju att det finns fixa laguppställningar i vilka det anges vilka spelarnummer som spelar i de olika lagen. Varje spelare får sedan ett slumpmässigt valt nummer som på så sätt bestämmer lagtillhörighet.

Kjell Elfström

24 november 2003 23.11.42
Jag undrar om man tillämpat derivata på enhetscirkeln i något sammanhang och till vad skulle detta kunna vara användbart?
Jag har nämligen löst problemet:
y' = k = (sin(x)*cos(X))/(cos(x)^2 - 1)) , x kan inte vara n + 90 grader då derivatan till funktionen i denna punkt blir oändligt stor eller oändligt liten.
Jag har deriverat med avseende på vinkeln x.
Anders Kedegård, Strömstad Gymnasium

Svar:

Jag måste göra dig besviken genom att tala om att det är ett faktum som varit känt länge. Riktningskoefficienten kan skrivas som -cot x vilket man inser om man använder trigonometriska ettan på din nämnare. x kan inte vara n pi = n·180°.

Att cirkeltangenten är intressant kan följande enkla exempel visa. Roterar man ett föremål fäst i ett rep roterar föremålet efter en cirkel. Går repet av fortsätter föremålet i tangentens riktning.

Kjell Elfström

24 november 2003 21.28.20
Hej!
Jag skulle behöva lite hjälp med att bestämma följande integraler.
(integralen) ∫ arctan√x dx
och
(integralen) ∫ dx / (x (1-x²)^ ¾)
Tack på förhand
Jim

Svar:

Sätt t = x1/2. Då är x = t 2 och dx = 2t dt. Integralen övergår i §2t arctan t dt. Integrera partiellt. Enklast räkningar får man om man väljer den primitiva funktionen t 2 + 1 till 2t.

§2t arctan t dt = (t 2 + 1)arctan t - §((t 2 + 1)/(t 2 + 1))dt = (t 2 + 1)arctan t - t + C = (x + 1)arctan x1/2 - x1/2 + C.

Den andra integralen kan jag inte uttrycka med hjälp av elementära funktioner.

Kjell Elfström

24 november 2003 11.59.06
Hej!jag har en fråga om Utböjning t.ex. u av ett membran som uppfyller vågekvationwn med fashastigheten c i ett rektangulär område med sidorna a respektiv b. På randen gäller Dirichlets homogena randvilkor. Hur kan jag bestämma allmäna lösningen för utböjningen och speciella egenfrekvenserna?
Jonas

Svar:

Se Wave Equation.

Kjell Elfström

24 november 2003 11.58.58
Hej!
Jag undrar var det finns för- och nackdelar med intervallhalveringsmetoden, fixpunktmetoden, Nwethon-Raphson samt Sekantmetoden.
P.S. Är tacksam för svar.
Tack på förhand.
Lagrange

Svar:

Titta på konvergenshastighet och om man är garanterad att metoderna ger talföljder som konvergerar mot en rot.

Kjell Elfström

24 november 2003 08.53.48
Vad är problemen med det binära talsystemet???
Patrik

Svar:

Vill man hitta något problem kan man väl nämna att det normalt krävs fler siffror för att framställa ett tal i det binära än i det decimala systemet.

Kjell Elfström

24 november 2003 08.46.18
Hej
1.Vad betyder riktningskoefficienten?
2.riktningskoefficienten till X2+x, i punkten a(x upphöjd 2 + x)med Fermats metod.
Anna

Svar:

För en linje y = kx + m är riktningskoefficienten lika med k. Om linjen är tangentlinje till en kurva y = f(x) i en punkt (a,f(a)) så är linjens riktningskoefficient lika med f '(a). Se 13 november 2003 11.48.12.

Kjell Elfström

23 november 2003 23.57.25
I Jan Peterssons bok "Matematisk Analys Del 1" nämns två dikter som rätt tolkade ger pi med 14 respektive 7 decimaler, nämligen:
"How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving Fourier integrals" samt "May I have a large container of coffee". Problemet är bara att jag inte vet hur dom ska tolkas? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Räkna antalet bokstäver i orden.

Kjell Elfström

23 november 2003 21.15.21
Hej, har några frågor om algebra och kombinatorik.
1. Antag att vi har 9 röda och 6 svarta bollar. Hur många följder av längd 15 kan vi bilda av dessa bollar, givet att de första r bollarna är svarta? svaret ska vara (15-r över 9), (14-r över 8) kan också gälla. Hur resonerar man? Det är väl så att r kan variera.
2. I en mängd med 11 element skall man bestämma två delmängder A och B, sådana att A innehåller 6 element occh B innehåller 5 element varav 2 element är gemensamma i A och B. På hur många sätt kan detta göras? Svaret ska vara (11 över 2)* (9 över 4)* (5 över 3). Hur är det tänkt?
3. Antag att vi har en mängd A bestående av 12 element och en mängd B bestående av 8 element, och antag att A snitt B består av 4 element. På hur många sätt kan vi välja ut 4 element från AUB, om vi kräver att något av de utvalda elementen skall tillhöra A och något skall tillhöra B? Svaret skall vara (16 över 4) - ( ( 8 över 4 ) + ( 4 över 4)) Hur är det tänkt? Tyvärr kan jag inte rita figur, det brukar vara lättare att förstå med figur.
Rune Berglund Tullinge

Svar:

1) Om de r första skall vara svarta så skall 9 röda och 6 - r svarta bollar placeras på de 15 - r sista platserna. Positionerna för de 9 röda bollarna kan väljas på (15 - r9) sätt och när det har gjorts är också plateserna för de svarta bollarna bestämda. Detta är inte samma sak som (14 - r8).

2) De två gemensamma elementen kan väljas på (112) sätt. Sedan finns 9 element kvar. Välj ut de 4 resterande elementen i A. Det (94) sätt. Nu återstår 5 element. Välj ut de resterande 3 i B. Det kan göras på (53) sätt.

3) Det finns 4 element som ligger i både A och B. Därför ligger 8 element bara i A och 4 element bara i B. Totalt finns det därför 16 element. Att välja ut 4 av dessa kan göras på (164) sätt. Bland dessa är ett antal val förbjudna, nämligen de där alla fyra elementen kommer från de 8 elementen som bara ligger i A och de där alla fyra kommer från de 4 element som ligger bara i B. Det finns (84) + (44) förbjudna val och detta antal skall räknas bort från det totala antalet val.

Kjell Elfström

23 november 2003 20.48.43
Jag har stött på frasen "reductio ad absurdum" är detta något som används i matematiken och vad betyder det? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Det är latin för motsägelsebevis.

Kjell Elfström

23 november 2003 18.20.56
Jag har tre frågor som jag har samlat på mig under veckan,
Låt (X,M) vara ett måttrum och {\mu_k} en sekvens av positiva mått på M sådana att \mu_1 <= \mu_2 <= ..., visa att mängdfunktionen \mu(A) = \lim_{k \to \infty} \mu_k(A), A \in M är ett positivt mått. Jag har funnit ett sätt men endast med "epsilons", skulle vara tacksam för ett "finare" bevis. (\mu är ett positivt mått om en funktion u: M -> [0,\infty] satisfierar \mu({}) = 0, \mu(A \sqcup B) = \mu(A) + \mu(B) om A,B \in M och om måttet är fullständigt additiv)
Hur visar man att den stängda bollen {v \in V | |v| <= 1} i ett inreprodukt-rum V är kompakt om och endast om V är av ändlig dimension?
Låt V vara ett reellt vektorrum av ändlig dimension n och {v_i | 1 <= i <= m} en "spanning set" som är linjärt oberoende över Q. Låt G vara mängden av alla heltalskombinatoioner \sum_{i=1}^m a_iv_i, a_i \in Z. Visa att om n = m så är G en diskret delmängd av V, och visa om m > n så finns för varje e > 0 ett icke-noll v \in G så att |v| < e.
Lukas Horosiewicz, NV3a

Svar:

Jag tror nog att du löst den första uppgiften på ett tillfredställande sätt.

Det gäller att ett metriskt rum är kompakt om och endast om varje följd har en konvergent delföljd. Antag först att dimensionen är ändlig och välj en ON-bas e1,...,en för V. Antag att vk är en följd i V, sådan att |vk| <= 1. Skriv vk = x1(k)e1 + ... + xn(k)en. Då är |xi(k)| <= 1. Följden x1(k) har därför en konvergent delföljd x1(k(j)). Vi döper nu om elementen vk(j) och kallar dem vk. Då är alltså x1(k) konvergent. Följden x2(k) har nu en konvergent delföljd. Vi upprepar resonemanget och får att vk = x1(k)e1 + ... + xn(k)en där alla följderna xi(k) är konvergenta. Det följer att delföljden vk också är konvergent. Om V är oändligdimensionellt så kan vi finna en följd av parvis ortogonala vektorer vk, alla av längden 1. Det gäller då att |vk - vj| = 21/2 om j och k är olika. Följden kan därför inte ha en konvergent delföljd.

Om n = m är vektorerna lineärt oberoende över R också eftersom de genererar det n-dimensionella rummet. Antag att  v = summa aivi, där ai är heltal, och låt O bestå av alla vektorer summa bivi, där ai - 1/2 < bi < ai + 1/2. Då är O en öppen mängd och på grund av att vi är lineärt oberoende är v den enda punkten som ligger både i O och G. Antag nu att m > n. Då är vektorerna vi, i = 1,2,...,m, lineärt beroende över R. Det finns alltså reella tal ai, inte alla noll, sådana att

a1v1 + ... + amvm = 0

Eftersom vektorerna är lineärt oberoende över Q är minst ett av talen ai irrationellt. Det är välkänt, se t ex Hardy and Wright: The Thoery of Numbers, att om ai, i = 1,2,...,m, är reella tal, inte alla rationella, så finns det ett oändligt antal lösningar till systemet |pi/q - ai| < 1/q1 + 1/m, i = 1,2,...,m, av olikheter. Det följer att om e > 0 så finns det ett heltal q, sådant att qai skiljer sig från ett heltal pi, för varje i, med mindre än e. Vi får att

|p1v1 + ... + pmvm| = |p1v1 + ... + pmvm - q(a1v1 + ... + amvm)| < em·max|vi|.

Kjell Elfström

23 november 2003 16.46.12
Vilken metod passar för att finna tidskillnade mellan två personer som springer längs en exp-kurva fram till position x. Personerna håller olika hastighet.
Johan E

Svar:

Jag tror att det är tillräckligt att jag redovisar hur man kan beräkna avståndet mellan två punkter på en exponentialkurva. Vi antar att kurvan har formen y = ex och beräknar avståndet utefter kurvan från punkten (a,ea) till punkten (b,eb). Denna båglängd är L = §ab(1 + e2x)1/2dx. Sätt t = (1 + e2x)1/2. Då är e2x = t2 - 1, varav x = (1/2)ln(t2 - 1). Detta ger att dx = t dt/(t2 - 1) och vi får att

L = §AB (t2/(t2 - 1))dt = §AB (1 + 1/(t2 - 1))dt = §AB (1 + (1/2)(1/(t - 1) - 1/(t + 1)))dt = [t + (1/2)ln((t - 1)/(t + 1))]AB,

där A = (1 + e2a)1/2 och B = (1 + e2b)1/2.

Kjell Elfström

23 november 2003 16.24.41
Hejsan Kjell!
Jag har länge funderat på följande: Jag har en "bucklig" yta, dvs den är både konkav och konvex, och flera linjer (kända riktningar och fotpunkter) i 3D. Den buckliga ytan kan tex vara en ellipsoid (eller en del av en ellipsoid ) vars ytbucklighet utgörs av två överlagrade "sinusar", en i täta-led och en i fi-led om sfäriska koordinater används för att skapa ellipsoiden. I övrigt använder jag kartesiska koordinater.
Problemet kan alltså liknas vid solstrålar som går igenom en genomskinlig avlång golfboll.
Hur kan jag avgöra a) om någon av mina linjer inte skär ytan, b) hur många gånger en linje skär den buckliga ytan, c) skärningspunkterna mellan linjen och ytan.
(Om jag har en hel "bucklig ellipsoid" som skärs av en linje måste det naturligtvis finnas ett jämt antal skärningspunkter, men om jag bara har en del av ytan kan det även finnas ojämt antal skärningspunkter.)
Jag har letat mycket efter en lösning men det verkar vara knepigare än jag först trodde.
Christina

Svar:

Har man ytans ekvation på formen F(x,y,z) = 0 och linjens ekvation på parameterform (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) så ges t-värdena för skärningspunkterna av ekvationen

F(x0 + ta,y0 + tb,z0 + tc) = 0.

Om problemet att bestämma skärningspunkterna är lätt eller svårt beror på hur svårt det är att lösa denna ekvation. Det går inte att göra ett allmängiltigt uttalande.

Kjell Elfström

23 november 2003 14.17.40
Det blev nog ett missförstånd på den frågan om magiska kvadraten på 5*5 rutor om man kunde få ett annat tal i mittenrutan än 13 Jag menar att man ska använda talen 1-25 och inte talen 0-24.
Tord Långberg

Svar:

Jag obeserverade inte att talen började med 0. Ökar man varje tal med 1 får man en vanlig magisk kvadrat men den får ju tyvärr 13 i mitten. Jag har korrigerat svaret till 14 november 2003 10.16.20.

Kjell Elfström

23 november 2003 13.25.46
Jag har problem med en trigonometrisk funktion som borde vara hyfsatt lätt att lösa, jag hittar att pi/2 är en lösning men kan inte få fram dom övriga. Funktionen är sin(3X)sin(4X)-cos(4X)cos(5X)=0
Christian Stotzer

Svar:

Vi har att

cos(a - b) - cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b - (cos a cos b - sin a sin b) = 2 sin a sin b

och

cos(a - b) + cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b + (cos a cos b - sin a sin b) = 2 cos a cos b

Sätter vi a = 4x och b = 3x i den första likheten får vi

2 sin 4x sin 3x = cos x - cos 7x

och a = 5x, b = 4x i den andra ger

2 cos 5x cos 4x = cos x + cos 9x.

Ekvationen kan alltså skrivas

cos 7x = -cos 9x = cos (pi + 9x),

vilket är ekvivalent med

7x = ±(pi + 9x) + 2pi n,

där n är ett godtyckligt heltal. Löser man ut x så får man x = pi/2 + pi n eller x = pi/16 + n pi/8.

Kjell Elfström

23 november 2003 03.32.32
Kan ni rekommendera någon bra nybörjar bok på ämnet logik, gärna en på svenska? Tack på förhand
Johan

Svar:

Jag känner inte till någon sådan bok på svenska. Jag vet heller inte riktig vad du är ute efter. Mendelson: Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand Reinhold och Hilbert, Ackermann: Mathematical Logic, Chelsea är ett par böcker i matematisk logik. Om det bara är logiska beteckningar och liknande du är ute efter kan du slå upp inledningen till nästan vilken nybörjarbok i matematik som helst.

Kjell Elfström

23 november 2003 03.30.22
Finns det någon som helst regelbundenhet när det gäller primtalen? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Troligen inte. Se Are Prime Numbers Regularly Ordered?.

Kjell Elfström

23 november 2003 03.27.30
Vad är det för skillnad på begreppen "logik" och "matematik" ? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Förenklat kan man säga att till satslogiken hör utsagor som " 'A ==> A' är sant". Till predikatlogiken hör påståenden som " 'för alla x gäller P(x) eller (inte P(x))' är sant". Matematiken består av axiom och härledningar av satser med hjälp av logiken. I matematisk logik används matematiken för att studera logiken.

Kjell Elfström

22 november 2003 19.02.52
har gjort en egen uppgift inför vårat prov i matte C. Har en kon med sidan 5m. Vad är den största möjliga volym konen kan anta? Antog att radien var x och höjden H.. (x^2)+(H^2) = 5^2 osv.. Skulle vilja veta vad du får för svar så jag vet om jag gjort rätt..
Klas

Svar:

Volymen är V = pi x2H/3 = (pi/3)H(52 - H2) = (pi/3)(25H - H3). Derivatan är V ' = (pi/3)(25 - 3H2) och dess teckenväxling visar att V är så stor som möjligt då H = 5/31/2. Volymen är då 250·31/2pi/27.

Kjell Elfström

22 november 2003 15.24.26
Hej Lund! Har ett par frågor som jag väldigt gärna skulle vilja ha svar på.. Hoppas på att du kan hjälpa mig.. Mina frågor är följande:
Kan man bevisa pytagoras sats? Om ja, Hur?? Tack på förhand..
3£

Svar:

Det finns flera bevis för satsen. Se Pythagorean Theorem eller någon gymnasiebok i matematik.

Kjell Elfström

22 november 2003 12.16.54
Hej ! I svaret den 15.November skriver du att den "tomma mängden är komplementet till hela R" ? Var kan man läsa om detta,hör det till topologin eller mängdläran eller reel analys,kanske vet du också någon titel på bok som tar upp ämnet ?
Tommy,Lidingö

Svar:

I strikt mening hör sådana påståenden till mängdläran men används mycket inom alla grenar av matematiken. I nästan varje nybörjarbok i analys eller algebra brukar det finnas ett inledande kapitel 0 som tar upp sådana saker. Två böcker som vi använder i undervisningen och som båda har dylika kapitel är Vretblad: Algebra och geometri. Gleerups förlag 1999 och Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys. Studentlitteratur 1991.

Kjell Elfström

22 november 2003 11.47.42
Hej. Den här frågan är lite svår att formulera, den låter så otroligt dum. Men jag ska försöka. Säg att jag vill utse den bästa konstnären (relativ fråga, men det är bara ett exempel). Jag har hundra länder att välja mellan, en kandidat i varje. Sverige är ett av länderna. Är det då verkligen en procentsz chans att konstnären bor i Sverige? Jag går i sjuan nu, och har tragglat mig genom många sidor och procent, jag vet att det mest logiska borde vara att vinnarkandidaten bodde i Sverige, men kan man inte vända på frågan? Vrida om perspektivet lite, liksom? Frågan jag ställer är: Är det riktigt att säga att det är femtio procents chans att konstnären bor i Sverige? Eftersom han/hon... lika gärna kunde bo där?
Längtar efter svar!
Kalla mig inte dum, kalla mig frågvis.

Svar:

Frågan verkar vara mer av filosofisk än matematisk karaktär. Vid tärningskast bedömer man sannolikheten för en sexa till 1/6 = 16,7%. Om man sedan kastar tärningen ett stort antal gånger och det i genomsnitt kommer en sexa var sjätte gång så anser man nog att bedömningen var riktig. Skulle det visa sig att sexorna dyker upp oftare eller mer sällan kanske man drar slutsatsen att någon mixtrat med tärningen och bedömer fortsättningsvis sannolikheterna annorlunda, eller så skyller man på slumpen. En sexa kan ju faktiskt dyka upp 100 gånger i följd även om ingen gjort någon åverkan på tärningen. När det gäller experiement som inte kan upprepas är det väl inte riktigt klart vad en korrekt sannolikhetsbedömning är. Om den vinnande konstnären utses genom lottdragning är det nog rätt att säga att sannolikheten att den svenske vinner är 1%. Är du enväldig domare och den svenske konstnären är din bror bedömer din släkt kanske sannolikheten till 0 eller 100%. Jag som inte känner dina släkförhållanden skulle kanske anse 50% vara en rimlig bedömning. Antingen tycker du mycket om din bror och väljer honom eller så avskyr ni varandra och du väljer en annan konstnär. Om vinnaren utses med hjälp av en jury skulle nog bedömningen bli att svensken väljs med sannolikheten 1% om man inte har några stalltips. Vadhållningsföretag gör sannolikhetsbedömningar av detta slag för att beräkna oddsen. De skulle nog aldrig bedöma sannolikheten till 1% eftersom de skulle försöka ta reda på så mycket som möjligt om faktorer som påverkar utgången och göra bedömningen därefter.

Kjell Elfström

22 november 2003 11.13.43
Hej, jag har en fråga. Frida ska baka en kaka som enligt receptet ska gräddas i en rund form med diametern 22 cm. Hon har ingen sådan form, men däremot har hon flera rektangulära formar. Hon måste dock välja en form så att kakan får samma tjocklek som den skulle fått i den runda formen. Kan du ge mig två förslag på mått som den rektangulära formen kan ha?
Annah

Svar:

Den runda formens bottenarea är pi(22/2)2 = 121pi cm2. Den rekatngulära formen skall ha samma bottenarea. En form med bottenmåtten 121 cm×pi cm går kanske inte in i ugnen. Om bottnen skall vara kvadratisk skall dess sida väljas till 11·pi1/2 cm. pi1/2 är detsamma som roten ur pi.

Kjell Elfström

22 november 2003 04.35.21
Jag tror att rörelseenergi definieras som (mv^2)/2 , jag vet att rörelseenergin ej är en vektorstorhet men att hastighet är det. Innebär detta att v^2 är skalärprodukten av vektorerna v och v ? Och att det är vanlig produkt mellan m och v^2 ? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Ja, om du inte vill betrakta v som hastighetsvektorns storlek, i vilket fall v·v är vanlig multiplikation.

Kjell Elfström

22 november 2003 04.06.33
Jag tror att jag har hört talas om Riemannsummor, hur definieras en sådan? Tack på förhand.
Johan

Svar:

En Riemannsumma hörande till en indelning a = x0 < x1 < ... < xk - 1 < xk < ... < xn = b av ett intervall [a,b] och en funktion f definierad på intervallet är en summa av formen

summak = 1n f(ck)(xk - xk - 1),

där ck är ett tal i [xk - 1,xk], k = 1,2,...,n. Om indelningen väljs lämpligt är summan ofta en bra approximation av §ab f(x) dx.

Kjell Elfström

22 november 2003 03.45.58
I svaret till 15 november 2003 03.03.10 nämner du "standardkoordinatsystemet", hur definieras detta ? Kan man tala om ett koordinatsystem i R^4 ? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Ett koordinatsystem är en punkt Q (origo) tillsammans med en bas e1,e2,...,en. Med standardsystemet avsåg jag det där Q = (0,0,...,0) och e1,e2,...,en är standardbasen.

Kjell Elfström

21 november 2003 19.11.20
Hur varmt är det om det först är 0 grader celsius och det blir dubbelt så varmt? Man kan ju få det till både
0 grader = 273 grader kelvin.. alltså. 546kelvin = 273C
0 grader = 32 grader fahrenheit.. alltså. 64fahrenheit = 18C
0 grader = 0 grader celsius.. alltså. 0celsius = 0C
Hans Nordfjäll

Svar:

Den absoluta skalan känns naturligast att använda i detta fall. Själv skulle jag be om ett förtydligande om någon sade "dubbelt så varmt som" och jag var tillräckligt intresserad av att veta vad han menade.

Kjell Elfström

21 november 2003 16.29.44
kurvbågen y = e^x, 0<=x<=ln(6+2) roterar ett varv kring x-axeln. Bestäm rotationsytans area??
Bosse

Svar:

Formeln för rotationsarean är

A = 2pi §ab y(1 + (dy/dx)2)1/2 dx.

I detta fall är a = 0, b = ln 8 och y = dy/dx = ex. (Skall det stå 6 + 2, eller har du skrivit fel?) Arean blir

2pi §ab ex(1 + e2x)1/2 dx.

Sätt t = ex. Då är dt = ex dx och arean kan skrivas

A = 2pi §08(1 + t 2)1/2dt.

Denna integral finns nog behandlad i din kursbok.

Kjell Elfström

21 november 2003 14.15.39
Jag undrar hur det kan komma sig att en given yta kan bli större genom att fördela denna i mindre bitar och placera om dem? Antag att vi har en kvadrat med ytan 25 kvadratcentimeter. Vi delar den i mindre delar och fogar ihop den på nytt, nu är ytan 26 kvadratcentimeter!! Hur är detta egentligen möjligt!?
Mvh Joakim Skoglund
Joakim Skoglund

Svar:

Är det Banach-Tarskis paradox du tänker på? Se 17 mars 1997 20.56.58.

Kjell Elfström

20 november 2003 15.39.55
en kula skjuts mot en mjuk vägg. då blir kulans hastighet proportionell mot en konstant k. kulans utgångshastighet när den träffar väggen är v0, och 'b' är väggens brädd. vad måste k då vara, om vi har v0 och b givna? ska lösas med hjälp av differentialekvationer, linjära av första ordningen, typ y' = -ky'
hol

Svar:

Förtydliga frågan.

Kjell Elfström

20 november 2003 15.03.51
Hej!
Hur bevisar man enklast att x^y=y^x endast har lösningarna (x,y)=(2,4) eller (4,2) eller x=y?
Andreas

Svar:

Vi förutsätter att x och y är positiva tal. Logaritmerar vi båda led får vi den ekvivalenta ekvationen y ln x = x ln y. Dividera båda led med xy så övergår ekvationen i ekvationen

f(x) = f(y),

där f(x) = (1/x)ln x. Det gäller att f '(x) = (1 - ln x)/x2, vilket visar att f har ett strängt maximum i punkten (e,1/e). Funktionen är strängt växande i intervallet (0,e] och strängt avtagande i [e,oo). Vidare gäller det att f(x) --> -oo då x --> 0+, f(x) --> 0 då x --> oo och f(1) = 0. Rita en figur! Vi tänker nu på y som en konstant och undersöker hur många lösningar x ekvationen har. Då y <= 1 så är f(y) <= 0, vilket visar att ekvationen har en lösning. Då y = e är f(y) = 1/e. Ekvationen har en lösning. Då 1 < y < e eller y > e är 0 < f(y) < 1/e och ekvationen har två lösningar. I samtliga fall är naturligtvis x = y en lösning. I de fall ekvationen har två lösningar ligger den ena mellan 1 och e och den andra är större än e.

Antag nu att (x,y) är en lösning där x och y är olika positiva heltal. Vi kan antaga att y < x. Då är 1 < y < e och x > e. Detta visar att y = 2 eftersom 2 är det enda heltalet mellan 1 och e. Vi vet att det finns precis ett x skilt från y som satisfierar ekvationen för detta fixa y-värde och eftersom x = 4 löser ekvationen så måste x = 4. Om i stället x < y så ger samma resonemang att x = 2 och y = 4.

Kjell Elfström

20 november 2003 15.03.48
Hej! Jag undrar var man kan hitta historia om polynom, hur det uppkom och sånt? Tacksam för alla svar..
Amir

Svar:

Se Quadratic, cubic and quartic equations. Den förste som använde beteckningen polynom lär har varit François Viéta, se Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P).

Kjell Elfström

20 november 2003 14.44.45
Om fyra stycken ska till en dans 10km från startrutan vem kommer fram först? om två st. har en cykel som dom delar på under resans gång eller dom två som går hela vägen. Dom två som delar på cykeln har kommit överens om att den ena cyklar 1km. den andre börjar gå,när han har cyklat 1km. så lägger han cykeln i diket och börjar gå.När den andre kommer fram så tar han cykeln, cyklar 1km. lägger cykeln och så håller dom på tills dom kommit fram.Dom andra två går hela vägen vem kommer fram först och varför???
Soda

Svar:

Jag förutsätter att alla fyra färdas med samma hastighet när de går och att de som cyklar färdas snabbare när de cyklar än när de går. Jag förutsätter också att cykeln, när den används, framförs med samma hastighet. När den som börjar cykla cyklat den första kilometern har de övriga tre hunnit sträckan x < 1 km. När de når fram till cykeln har den som började cykla hunnit ytterligare 1 - x km. När andrecyklisten cyklat sin kilometer har den förste cyklisten hunnit ytterligare x km, totalt 2 km. Cyklisterna når alltså tvåkilometersmärket samtidigt, Fotgängarna har då hunnit 1 + x km. Genom att fortsätta resonemanget inser man att de två cyklisterna kommer fram till dansen samtidigt eftersom 10 km är ett helt antal tvåkilometerslängder. De gående kommer senare.

Kjell Elfström

20 november 2003 13.18.56
Jag har fått ett problem som jag kämpar med.
En man kommer till en by där alla som bor i byn har antingen en röd eller en blå prick i nacken. Får man reda på vilken färg man själv har i nacken så tar man livet av sig. Men ingen i byn talar om för någon annan vilken förg den personen har i nacken, men man kan se alla de andras prickar. En främling utan prick har varit i byn och innan hon åker därifrån råkar hon säga: "minst en av er har en blå prick i nacken". När hon kommer tillbaka senare så är alla invånarna döda.
Varför?
Jag undrar om detta påståendet stämmer, dör verkligen invånarna vid i alla fall?
Anders Lund

Svar:

Om det bara finns en blåprick ser han att alla andra är röda och drager slutsatsen att han själv är blå. Han tar därför omedelbart livet av sig, De övriga, som ser att han är blå och har tagit livet av sig, måste sedan draga slutsatsen att han tog livet av sig för att han visste att han var den ende blåpricken. De tar därför också livet av sig. Antag att det finns två blåprickar. Var och en av dem tänker att vore han röd så skulle den andre omedelbart taga livet av sig. När inget självmord begås drager båda slutsatsen att de är blå och tar konsekvenserna av detta. De röda begår därefter självmord. Detta resonemang bygger på att byborna tänker i steg som tar en viss tid. Genom att se efter hur många tankesteg som krävdes för att en person skulle taga sitt liv förstår de övriga hur personen tänkte och kan draga rätt slutsatser om sin egen färg. Fortsättningen av beviset kan genomföras som ett induktionsbevis. Om byborna dör i byar med n blåprickar och det i en by finns n + 1 blåprickar så tänker varje blåprick att vore han röd skulle det finnas n blåprickar som skulle genomföra dessa tankesteg och därefter taga sitt liv. Om blåprickarna överlever detta antal tankesteg måste de draga slutsatsen att de är blå och taga sitt liv. Rödprickarna förstår sedan att de är röda.

Kjell Elfström

20 november 2003 09.12.39
1 5 4 9 0 6 7 ? ? ?
I raden ovan finns sju av våra tio siffror ordnade efter ett visst system. Siffrorna 2,3 och 8 skall stå där frågetecknen finns. Men var skall de olika siffrorna stå?
Sina Hatef

Svar:

Siffrorna verkar vara ordnade i bokstavsordning. De tre sista bör därför vara tre, två, åtta.

Kjell Elfström

19 november 2003 23.50.46
Om man har en låda med kvadratisk botten och utan lock. Hur får man då ett uttryck för dess maximala volym samt vad blir dess höjd h och bas b. (Viker man ut hela lådan så har den arean A.)
Jarro

Svar:

Antag att lådans höjd är h och dess bredd b. Då är volymen V = b2h. Arean är A = b2 + 4bh. Löser vi ut 4bh ur uttrycket för arean så får vi 4bh = A - b2. Detta ger att 4V = b·4bh = bA - b3. Derivation visar att volymen är maximal då b = (A/3)1/2. Volymen är då (1/4)(bA - b3) = 31/2A3/2/18 och h = V/b2 = (3A)1/2/6.

Kjell Elfström

19 november 2003 22.13.06
Vi har en urna 12 stycken bollar sådana att 3 är röda, 3 blå, 3 gula och 3 gröna. På hur många sätt kan vi plocka 9 bollar om vi tar hänsyn till ordningen vi plockar dem, men inte räknar två bollar av samma färg som olika dvs. en kombination med röd blå röd är samma som den där vi byter plats på den första respektive sista bollen.
Jag har löst uppgiften och fått det till 1367520st, jag vet inte om det är rätt och det känns som att det sätt jag använt mig av för att få fram svaret skulle kunna förenklas. Kan du förklara hur man på enklast sätt löser detta problemet samt hur man skall tänka?
rutger jönåker

Svar:

Vi delar upp i tre fall beroende på färgkombinationen hos de tre oplockade bollarna.

Fall 1: De tre kvarvarande bollarna har tre olika färger. Då har 3 bollar av en färg tagits upp. Av var av de övriga tre färgerna har 2 bollar tagits. Betraktar vi bollarna som helt olika kan vi arrangera dem på 9! sätt. Bollarna i de olika färgerna kan inbördes permuteras på 3!·2!·2!·2! sätt. Det ger oss 9!/(3!·2!·2!·2!) sätt när färgerna på de tre kvarvarande bollarna är bestämda. Färgerna på dessa kan väljas på (43) sätt. Totalt finns alltså

(43)9!/(3!·2!·2!·2!) = 9!/12

sätt att arrangera bollarna i detta fall.

Fall 2: De kvarvarande bollarna har två olika färger, två bollar i en färg och en boll i den andra. Färgerna hos dessa kan väljas på 4·3 sätt. Vi får denna gång

4·3·9!/(3!·3!·2!·1!) = 9!/6

sätt.

Fall 3: De kvarvarande bollarna har samma färg, vilken kan väljas på 4 sätt. Vi får

4·9!/(3!·3!·3!) = 9!/54

sätt.

Sammanlagt blir det

9!·29/108 = 97440

sätt.

Kjell Elfström

19 november 2003 22.10.17
Finns det en sats som säger att om a=b så är b=a. Vad hater den i så fall? Vilka är egentligen de mest grundläggande deffinitionerna som matematiken bygger på.
Anders

Svar:

I ett formellt system betraktas två element som lika om allt som inom systemet kan sägas om det ena också kan sägas om det andra. Då denna definition är symmetrisk gäller automatiskt att a = b om och endast om b = a. Ett sätt att bygga upp matematiken är genom att man börjar med mängdläran och ett axiomsystem för den. Man definierar sedan heltalen som vissa mängder, går vidare med de rationella talen, de reella osv. I mängdläran finns bara ett grundläggande predikat och det är "tillhör" I axiomatisk mängdlära finns bara mängder och en mängd kan tillhöra en annan. Ett vanligt förekommande axiom är det som säger att om det för två mängder A och B gäller att

x tillhör A <==> x tillhör B   för alla mängder x

så är A = B. Att A = B betyder definitionsmässigt dels att

x tillhör A <==> x tillhör B   för alla x

och dels att

A tillhör x <==> B tillhör x   för alla x

eftersom detta gör A och B omöjliga att skilja från varandra med hjälp av predikatet "tillhör".

Kjell Elfström

19 november 2003 19.37.49
Hej
Hur räknar man ut sinus? Dvs hur räknar miniräknaren ut sinus? McLaurin utveckling kanske? Men hur härleder man isåfall McLaurin utvecklingen för sinus?
Jacob Falkman

Svar:

De algoritmer jag sett för uträkning av sinusvärden har byggt på Maclaurinutvecklingen. Enligt Taylors formel har vi

f(x) = f(0) + f '(0)x/1! + f ''(0)x2/2! + ... f (n)(0)xn/n! + Rn(x).

Här är Rn(x) = f(n + 1)(c)xn + 1/(n + 1)!, där c är ett tal mellan 0 och x. Om f(x) = sin x ger detta att

sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)kx2k + 1/(2k + 1)! + R(x).

Här är R(x) = (-1)2k + 3x2k + 3 (cos c)/(2k + 3)!, vilket gör att du kan använda feluppskattningen

|R(x)| <= |x|2k + 3/(2k + 3)!.

Motsvarande formel för cosinus är

cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + (-1)kx2k/(2k)! + R(x).

där felet kan uppskattas genom

|R(x)| <= |x|2k + 2/(2k + 2)!.

För små värden på x minskar felet mycket snabbt vilket innebär att du kan använda ett ganska litet värde på k. I praktiken behöver du bara använda formeln för x mellan t ex 0 och pi/4. Övriga cosinus- och sinusvärden kan sedan fås med hjälp av trigonometriska formler.

Kjell Elfström

19 november 2003 18.55.29
Hej! Jag har en fråga om primtal och kryptering. Jo det är så att jag jobbar på ett krypteringsprogramm och skulle behöva en logaritm som kan räkna ut primtal snabbt. Trodde att enda metoden var att testa sig fram genom att dela talet i hela föregående talföljd, men kom på en metod som är mycket snabbare, men kräver mera minne.
void met(nr)
{
  bool primtal; int antal;
  int z[100000][2];
  antal = 0;

  for (int i = 3;i < nr + 1;i = i + 2)
  {
    primtal = true;
    if (antal > 0)
    {
    
      for (int y = 1;y < antal + 1;y++)
      {
        z[y][0]--;
        if (z[y][0] == 0)
        {
          primtal = false;
          z[y][0] = z[y][1];
        }
      }

    }

    if (primtal == true)
    {
      antal++;
      cout << i << "\n";
      z[antal][0] = z[antal][1] = i;
    }
  }
  cout << "Antal:" << antal << "\n";
}
Vet du vilken metod man brukar använda när man räknar ut primtal i stordatorer? Hörde föresten att man kommit på en metod att räkna ut om ett tal är ett primtal som går mycket snabbare än tidigare metoder. Stämmer det?
Jogge

Svar:

Ditt program är väl väsentligen Eratosthenes såll. Jag föreslår att går till sidan Data Encryption Page och läser om Rabin-Millers test. Svaret på din sista fråga är ja. Se Primality Testing is Easy. Metoden avgör säkert om ett tal är primtal till skillnad frön många andra "snabba" metoder som bygger på delvis statistiska metoder. Metoden kan bara användas för att avgöra om ett tal är ett primtal, inte för att faktorisera det om det inte skulle vara ett primtal.

Kjell Elfström

19 november 2003 17.54.48
Hej!
Hur mäter man höjden på berg? Finns det olika sätt?
Jack Johnson

Svar:

En metod är barometerhöjdmätning, där man utnyttjar att lufttrycket avtar på ett bestämt sätt med höjden. Trigonometrisk höjdmätning med hjälp av vinkelbestämning ger större noggrannhet. Slutligen kan nämnas geodetisk punktbestämning med hjälp av satellitlaser eller GPS-systemet.

Kjell Elfström

19 november 2003 17.29.16
Om man släpper en sten i en brunn och vill bestämma dess djup med hjälp av tiden det tar för ljudet att transporteras tillbaks till örat. hur går man då tillväga om man kan räkna bort luftmotståndet men inte tiden det tar för ljudet att nå från botten till örat. s=(a*t^2)/2 och ljudets hastighet i luft ligger till grund för lösningen men jag får inte ihop det. Snälla hjälp
Oskar martinsson

Svar:

Se 10 november 1998 09.09.49.

Kjell Elfström

19 november 2003 12.20.31
Vad verkligen menar infinity?
suuntala@helsinki.fi

Svar:

Infinity är engelska för oändligheten.

Kjell Elfström

19 november 2003 11.58.33
Hur går man till väga för att beräkna följande: 12-2,5(14,5-4,5)= ???
Jerker Sjöstrand

Svar:

14,5 - 4,5 = 10.
2,5·10 = 25.
12 - 25 = -13.

Kjell Elfström

19 november 2003 11.30.16
Hej Kjelle!
Givet en funktion f(x) = [1 + y(x)]/x, givet också 2000:te derivatan av y(x) vid punkten x=0 är lika med 1. Var blir då 2002:da derivatan av f(x) i punkten x=0?
Laki

Svar:

Det är ju inte säkert att f är deriverbar. Även om så är fallet kan man inte uttala sig och den 2002:a derivatan. Om t ex y(x) = x2000/2000! + ax2003/2002! - 1 så är y(2000)(0) = 1 och f (2002)(0) = a.

Kjell Elfström

19 november 2003 09.33.57
Hur löser man ekvationen 92-5x=92*0,93^x
Går den att lösa?
När lär man sig detta?
David Fallgren

Svar:

En rot till ekvationen är naturligtvis x = 0. Man kan visa att ekvationen har ytterligare en rot genom att derivera funktionen f(x) = 5x + 92·0,93x - 92, bestämma derivatans nollställen och undersöka hur derivatans tecken varierar. Man konstaterar att f har ett minimum, som måste vara mindre än noll. Till vänster om detta minimum är f strängt avtagande och till höger strängt växande. Eftersom f(x) --> oo både då x --> oo och då x --> -oo har f precis två nollställen. Denna analys kan (nästan) genomföras med hjälp av gymnasiematematiken. Man kan inte bestämma den andra roten exakt men med numeriska metoder kan man få fram att den är ungefär 8,393731223.

Kjell Elfström

19 november 2003 00.15.02
Jag fick en uppgift i skolan. Som jag skulle lösa över helgen och tvistade lite över det rätta svaret. Kalle ska lägga plattor på sin nya altan. Altan är kvadratisk och är 16 meter på vardera sida. Plattorna är 20x20 cm stora. Första rutan ska målas med en prick. Andra rutan ska ha två prickar. Där efter ska följande ruta ha tidigare rutans antal prickar i kvadrat. Enligt mig ska detta bli 2^(2^6398) prickar på sista plattan. Den delen är ju rätt enkel. Men vi var tvungen att skriva ut totalt antal prickar för alla plattor i tiopotensform. Jag får inte fram något vettigt svar. Kan Ni hjälpa mig?
Örjan Larsson

Svar:

Det totala antalet prickar blir 1 + summak = 06398 2(2k). Jag känner inte till någon formel med vars hjälp man beräknar denna summa.

Kjell Elfström

18 november 2003 21.50.05
Hej ! Hur har man kommit på att komplementet till de reela talen,R^n är den tomma mängden ? För mig vore det mer rimligt att de komplexa talen skulle vara komplementet.Finns det någon logik i detta eller är det bara så enligt definitionen ?Vem är då upphovsmannen till detta kan det vara Cantor ?Sen att begripa att en tom mängd även kan vara både öppen och sluten låter obegripligt för mig !
Lars,Hässelby

Svar:

Man kan bara tala om komplementet till en mängd med avseende på en grundmängd. Något absolut komplement finns inte eftersom det inte finns någon mängd som består av "allting". Vilken grundmängden är ges ofta av sammanhanget. I reell analys är grundmängden oftast R medan den i komplax analys är C. I reell analys är därför komplementet till R den tomma mängden medan det i komplax analys är mängden av alla icke-reella tal. Man kan skriva dessa komplement på ett otvetydigt sätt som R \ R resp. C \ R.

Att tomma mängden är både öppen och sluten förklarades i 15 november 2003 21.12.21. Det följer alltså från definitionen med hjälp av logikens lagar. Man bör inte dra för stora växlar på ordvalen. En dörr kan inte både vara öppen och stängd samtidigt men en mängd kan vara både öppen och sluten. På samma sätt måste en dörr vara öppen eller stängd men det finns mängder som varken är det ena eller det andra, t ex det halvöppna intervallet [0,1).

Kjell Elfström

18 november 2003 21.07.42
Hej
Om man har en ekvation som ska integreras som redan innehåller flera olika samman satta funktioner alltså t.ex. integralen av roten ur 1 + (a^2x^2b^2/(a^2-x^2))
mvh maria h

Svar:

Det finns olika tekniker för att integrera olika slags sammansättningar av funktioner. Bland dem kan nämnas variabelsubstitution och partiell integration. Någon metod som fungerar för alla funktioner finns inte. Alla kontinuerliga funktioner har primitiva funktioner men i de flesta fall går det inte att uttrycka dessa med hjälp av de elementära funktionerna. Det går t ex att bevisa att det är omöjligt att bestämma §ex2dx uttryckt i elementära funktioner. Däremot går det utmärkt att bestämma §xex2dx = (1/2)ex2 + C med hjälp av variabelsubstitution och §xexdx = (x - 1)ex + C med hjälp av partiell integration.

Kjell Elfström

18 november 2003 19.17.23
Jag undrar: Varför blir (e^(pi*i))+1 = 0?
Jonathan Svärdén

Svar:

Det följer av definitionen ea + bi = ea(cos b + i sin b). Sätt a = 0 och b = pi.

Kjell Elfström

18 november 2003 17.25.50
Vad menas med tiopotensform i matematiken
Bilal

Svar:

Det är förmodligen den form man använder när man skriver ett tal på formen ±a10b, där b är ett heltal. T ex 1,2·103 i stället för 1200.

Kjell Elfström

18 november 2003 16.57.26
Jag har problem med den här ekvationen:
"om två år är vår hund ludde två gånger så gammal som för ett år sedan" Hur gammal är Ludde nu?
En kamrat hävdar att svaret är 4år eftersom det passar in. Men jag tycker att svaret borde vara 3år matematiskt sett. Facit till den här uppgiften är också 3år. Så kan ni hjälpa mig har jag och Facit fel och min kompis rätt eller tvärtom? Tacksam för svar!
Robert Juslenius

Svar:

Om hunden är x år nu så var den x - 1 år för ett år sedan och om två år är den x + 2 år. Enligt förutsättningarna är x + 2 = 2(x - 1). Denna ekvation har lösningen x = 4. Det verkar vara fel i facit.

Kjell Elfström

18 november 2003 15.02.24
Är ln(e)=1?
Kan man lösa ut ln(y)=ln(x^2) till y=x^2?
Tack på förhand.
Per Karlsson

Svar:

Ja, ln x = y om och endast om x = ey. Det följer att ln x1 = ln x2 om och endast om x1 = x2 så svaret på din andra fråga är också ja.

Kjell Elfström

18 november 2003 14.38.21
Jag sparar i en fond och vill räkna ut hur mycket den är värd efter 10 år med en årlig avkastning på 10%. Jag betalade in ett startbelopp på 25.000kr och därefter sätter jag in 500kr/mån.
I exemplet ska hänsyn tas till avkastningsskatten och avgifter som är 3% på varje inbetalning och årsavgiften, som är 0,65% av fondvärdet plus en fast avgift på 265 kr
Finns det nån formel för detta?
Peter Eriksson

Svar:

Det har betydelse om årsavgiften betalas vid årets början eller slut och likaså när insättningsavgifterna betalas. Jag antar att insättningsavgiften betalas när insättningen sker och att årsavgiften tas ut vid årets slut. Då kan vi direkt draga ifrån insättningsavgiften och antaga att vi sätter in K = 24250 kr från början och sedan M = 485 kr varje gång. Sätt p = 0,1 och r = 1 + p = 1,1. Vid det första årets slut har vi dels grundbeloppet med dess avkastning, dels summan av månadsinbetalningarna och deras avkastning. Det som kommer från grundplåten är rK. Den första månadsinbetalningen har förräntats i 11 månader och ger bidraget M + (11/12)pM. Den andra ger på samma sätt bidraget M + (10/12)pM. Efter ett år är kapitalet

rK + 12M + (pM/12)(11 + 10 + 9 + ... + 1 + 0) = rK + (12 + 11p/2)M = rK + qM,

där q = (12 + 11p/2). Nu skall årsavgiften betalas. Sätt s = 1 - 0,0065 = 0,9935 och A = 265. Då återstår

s(rK + qM) - A = srK + sqM - A.

Detta är nu det ingående kapitalet som motsvarar K. Efter ytterligare ett år har vi därför

sr(srK + sqM - A) + sqM - A = (sr)2K + (1 + sr)(sqM - A).

Efter n år är kapitalet efter att avgifterna betalts

(sr)nK + (1 + sr + ... + (sr)n - 1)(sqM - A) = (sr)nK + (((sr)n - 1)/(sr - 1))(sqM - A),

där den sista likheten följer av formeln för den geometriska summan.

Kjell Elfström

18 november 2003 10.05.14
I en bas (e1, e2, e3) i rummet är f1=(1,0,1), f2=(0,1,1) och f3=(1,1,0). Visa att (f1, f2, f3) också är en bas i rummet och ange sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna. Bestäm koordinaterna för e1+2f3 i de båda baserna.
Frida

Svar:

Tre vektorer i rummet urgör en bas för rummet om och endast om de är lineärt oberoende. Det betyder att ekvationen x1f1 + x2f2 + x3f3 = 0 bara skall ha den triviala lösningen x1 = x2 = x3 = 0. Ersätter man vektorerna med deras koordinater får man ekvationssystemet

x1     + x3 = 0
    x2 + x3 = 0
x1 + x2     = 0

Lös detta och konstatera att x1 = x2 = x3 = 0.

Antag att en vektor u har koordinaterna (x1,x2,x3) och (y1,y2,y3) med avseende på e- resp. f-basen. Då är

u = x1e1 + x2e2 + x3e3 = y1f1 + y2f2 + y3f3 = y1(e1 + e3) + y2(e2 + e3) + y3(e1 + e2) = (y1 + y3)e1 + (y2 + y3)e2 + (y1 + y2)e3.

Du kan nu avläsa sambandet.

x1 = y1 + y3,   x2 = y2 + y3,   x3 = y1 + y2.

Koordinaterna för e1 + 2f3 är (1,0,0) + 2(1,1,0) = (3,2,0) med avseende på e-basen. Då är x1 = 3, x2 = 2 och x3 = 0. Lös ut koordinaterna (y1,y2,y3) ur sambandet.

Kjell Elfström

18 november 2003 09.05.13
Hej! Håller på med ett redovisningsarbete om cosinus/sinus kvadraticus, dvs en enhetscirkel utbytt mot en kvadrat med sidan 1. De två nya funktionerna definieras sink(v) och cosk(v). Någon som har några revolutionerande idéer om detta?

Svar:

Se 15 maj 2003 16.27.09.

Kjell Elfström

18 november 2003 08.06.18
Jag undrar hur det blir när man börjar en mening med km2 (ursäkta, kan inte upphöja tvåan här) om man kan skriva Km2 eller vad betydelsen av det blir då?
Pia Rosberg, piaros@edu.gislaved.se

Svar:

Om man önskar börja en mening med en enhetsangivelse använder man förmodligen ordet på ett sådant sätt att det är bättre att skriva ut det. Du kan alltså inleda meningen med "Kvadratkilometer". Passar inte det kan du skriva "Enheten km2". Jag tycker inte man skall inleda med bara km2 och heller inte med Km2.

Kjell Elfström

17 november 2003 18.16.29
Hej!
Jag behöver hjälp med att bestämma den inversa funktionen till den komplexa uttrycket y(x)=exp(j*x). I mitt arbete kan antas att x\in[-\pi,\pi], men kan ni lösa problemet för alla x oxå? MVH
Magnus Svensson

Svar:

Om y = a + ib, där a2 + b2 = 1, så har ekvationen

eix = cos x + i sin x = a + bi

precis en lösning x i det halvöppna intervallet (-pi,pi]. x ges av

cos x = a   och   sin x = b.

Då b >= 0 är x = arccos a och då b < 0 är x = -arccos a.

Kjell Elfström

17 november 2003 12.09.35
Vi vet att:
intergral(f(x))dx från -1 till 9 är 25.75a a.e.
f(x)=C*e^(kx)
f'(a)=-4
och
f(0)=10
Är detta lösligt, om ja, vad är a? Fick frågan på ett prov, men läraren gav mig inte svaret efteråt.
Tacksam för svar.
Fredrik B.

Svar:

f(0) = 10 ger att C = 10. Integralen är därför [(10/k)ekx]-19 = (10/k)(e9k - e-k) = 103/4. Uppgiften om derivatan ger 10keka = -4. Om man känner k kan a lösas ut ur den sista likheten genom att man logaritmerar båda leden. Jag ser dock inte hur k kan bestämmas annat än med numeriska metoder.

Kjell Elfström

16 november 2003 22.02.16
Man har tolv kulor och en balansvåg. Alla kulorna har samma vikt utom en av kulorna som väger antingen mer eller mindre än dem andra. Man får göra högst tre olika vägningar för att komma fram till vilken av dem som urskiljer sig viktmässigt. Hur gör man?
Erik Svensson

Svar:

Se 9 april 1997 20.59.45.

Kjell Elfström

16 november 2003 20.30.48
Jag har hört från en vän att Bourbakisterna definierade mått lite annorlunda än vad man gör vanligtvis idag i inledande kurser med linjära funktionaler, hur lyder deras definition? Och vilka konsekvenser får detta gentemot den vanliga sigma-algebra-defintionen.
Lukas Horosiewicz, NV3A

Svar:

De olika angreppssätten leder till samma måtteori. Bygger man upp måtteorin med hjälp av funktionaler börjar man med att definiera integralen av en funktion. Mängdmåtten fås sedan som integralerna av mängdernas karakteristiska funktioner.

Kjell Elfström

16 november 2003 18.32.07
Finns det någon oändlig sigma-algebra som har räknebart antal element? Om ja, kan du hitta något exempel, om nej någon outline till bevis?
Lukas Horosiewicz, NV3A

Svar:

Alla oändliga sigmaalgebror är överuppräkneliga.

Låt S vara en oändlig sigmaalgebra på en mängd X. Vi börjar med att visa att det finns en uppräknelig delmängd T av S, sådan att elementen i T är parvis disjunkta delmängder av X. Eftersom S är oändlig finns en uppräknelig delmängd av S. Låt An vara en uppräkning av dess element. Om B är en delmängd av X låter vi B 0 och B 1 beteckna X \ B resp. B. Låt för varje följd (en)n = 1oo, där en är en nolla eller en etta, A(e) vara snittet av mängderna Anen. Det är då klart att mängderna A(e) är parvis disjunkta och tillhör S. Vidare är X unionen av mängderna A(e). Låt nämligen x vara ett element i X och definiera följden e genom en = 1 om x tillhör An och 0 annars. Då tillhör x mängden A(e). Man inser nu lätt att mängderna An också är unioner av mängder A(e). Eftersom det finns oändligt många mängder An måste det därför också finnas oändligt många icke-tomma mängder A(e). Vi kan låta T vara en uppräknelig delmängd av mängden av icke-tomma mängder A(e).

Eftersom T är oändlig är mängden P(T) av delmängder till T överuppräknelig. Till varje delmängd U av T kan vi ordna unionen av mängderna i U som är ett element i S. Eftersom mängderna i T är parvis disjunkta är denna avbildning från P(T) till S injektiv, vilket visar att S är överuppräknelig.

Kjell Elfström

16 november 2003 16.50.01
Hejsan! Vad tror ni (inte alla, men många) gymnasieelevers ovilja mot matematik beror på? Och varför måste man läsa ända upp till Ma D för att kunna bli läkare?
Mejfang Wang

Svar:

Matematik är ett abstrakt ämne och upplevs nog som svårt av många av den anledningen. Man kan kanske fånga de ointresserade elevernas intresse genom att visa på fler tillämpade exempel och låta dem räkna på fler verkliga problem. Medicinen har många beröringspunkter med de naturvetenskapliga ämnena och där är ju matematiken en viktig ingrediens. För att förstå naturvetenskapliga böcker och artiklar behöver man ofta vara förtrogen med matematiken.

Kjell Elfström

16 november 2003 11.49.13
Hej ! En topologisk fråga: X = [0,1] U (2,3) tillhör R. Nu sägs det att detta är ett ickesammanhängande rum,men hur vet jag detta ? Hur resonerar man här ? X kan tydligen delas upp i öppna delmängder,men intervallet [0,1] är ju slutet !
Lars,Hässelby

Svar:

[0,1] är en öppen mängd i X med den från R inducerade topologin eftersom [0,1] t ex kan skrivas som snittet av X och den i R öppna mängden (-1/2,3/2).

Kjell Elfström

16 november 2003 04.34.38
Vad är derivatan av x^x?
Samuel

Svar:

Skriver man xx = ex ln x och deriverar så får man

D xx = ex ln x(1·ln x + x·(1/x)) = xx(1 + ln x).

Kjell Elfström

15 november 2003 21.12.21
Hej ! I svaret från den 8 Nov. säger du att den tomma mängden är öppen alt. sluten hur ska detta förstås ?Hur resonerar man när det gäller öppet eller slutet angående den tomma mängden ?
Lasse,Hässelby

Svar:

Den tomma mängden är både öppen och sluten. Att den är sluten följer direkt av att den är komplementmängden till hela R , vilken är öppen. Att den är öppen följer av att påståendet

x tillhör O ==> det finns ett öppet intervall I innehållande x sådant att I är en delmängd av O

är sant för alla tal x om O är tomma mängden. Det beror på att förleden "x tillhör O" är falsk vilket gör hela implikationen sann.

Kjell Elfström

15 november 2003 20.17.07
Var finner jag reglerna för hur man kontrollerar om ett tal är delbart med ett litet primtal? T.ex att 183 är delbart med 3 för att talsumman i 183 (1+8+3=12) är delbar med 3.
David Bogislaus

Svar:

Ett tal är delbart med 3 eller 9 om och endast om siffersumman är delbar med 3 resp. 9. Liknande regler kan härledas för andra divisorer men de blir mer komplicerade. Ett tal a kan skrivas

a = an10n + an - 110n - 1 + ... + a110 + a0

Vi vill kanske skaffa oss en delbarhetsregel för division med 7. Utnyttja då att 10 = 3 (mod 7). (Likhetstecknet betyder här kongruent med, dvs "ger samma rest som".) Då är 102 = 32 = 9 = 2, 103 = 33 = 27 = -1, 104 = 34 = -3, 105 = 102·103 = -2, 106 = 103·103 = 1, 107 = 3. Mönstret upprepas så att 10k och 10k + 6 ger samma rest. Kallar vi resten vid division av 10k med 7 för rk så gäller att 7 delar a om och endast om 7 delar den generaliserade siffersumman

a0r0 + a1r1 + ... + anrn.

T ex är 1234 inte delbart med 7 eftersom

4·1 + 3·3 + 2·2 + 1(-1) = 16

inte är delbart med 7.

Kjell Elfström

15 november 2003 15.30.21
Finns det några funktioner för vilka Riemannintegralen konvergerar men där Lebesgueintegralen divergerar? Det finns ju en sats som säger att om en funktion f är Riemannintegrerbar så är den Lebesgueintegrerbar och de två integralerna sammanfaller, men ändå har jag hört att det finns funktioner där detta inte stämmer! Hur kan det komma sig?
Lukas Horosiewicz, NV3A

Svar:

Om en funktion är Riemannintegrerbar så är den Lebesgueintegrerbar. Detta gäller dock inte när man betraktar generaliserade Riemannintegraler. T ex är den generaliserade Riemannintegralen §1oo((sin x)/x) dx konvergent men integranden är inte Lebesgueintgrerbar på (1,oo). Om en funktion f är Lebesgueintegrerbar så är också |f| Lebesgueintegrerbar. Motsvarande förhållande gäller inte för generaliserade Riemannintegraler.

Kjell Elfström

15 november 2003 15.26.50
Hur visar man att varje Borelmängd i R^n är en Lebesguemängd?
Lukas Horosiewicz, NV3A

Svar:

De öppna mängderna är Lebesguemängder och Borelmängderna tillhör varje sigmaalgebra som omfattar de öppna mängderna.

Kjell Elfström

15 november 2003 03.15.09
Antag att f(x) = x på intervallet [0,1] och 0 annars. Då antar jag att vi kan derivera den som vanligt på intervallet (0,1) men hur gör vi i ändpunkterna ? Jag har hört att derivatan måste existera i en omgivning till den punkt man deriverar i, men i ändpunkterna finns det ju bara omgivning till höger respektive vänster? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Man kräver att funktionen skall vara definierad i en omgivning av en punkt för att derivatan skall existera i punkten. Funktionen du anger är definierad för alla reella x men är ändå inte deriverbar i 0 och 1 eftersom differenskvoten saknar gränsvärden i dessa punkter.

Kjell Elfström

15 november 2003 03.03.10
Kan man tala om en ortsvektor i R^n då n>3 och vi inte längre kan åskådliggöra det hela med geometriska vektorer? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Ja. Man kan betrakta elementen i Rn ömsom som punkter, ömsom som vektorer. I standardkoordinatsystemet är ortsvektorn till x lika med x.

Kjell Elfström

15 november 2003 02.50.41
Jag har funderat lite grann på ln. När man deriverar så får man ju 1/x både för ln(-x) och ln(x) så jag antar att när man integrerar 1/x så måste man använda beloppstecken enligt ln(abs(x)) eftersom man inte vet tecknet på x. Kan man då säga att man bara behöver använda absolutbeloppet när man integrerar, dvs utgår ifrån 1/x ? Och om man utgår ifrån ln så är det givet (i uppgiften) om det är beloppstecken eller ej? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Ja. Det gäller att D ln |x| = 1/x om x <> 0, D ln x = 1/x om x > 0 och D ln(-x) = 1/x om x < 0. Det följer t ex att ln(-x) är en primitiv funktion till 1/x då x < 0.

Kjell Elfström

15 november 2003 02.35.57
Jag vet att Arne Beurling är en av sveriges främsta matematiker nånsin. Skulle vara intressant att känna till någonting han upptäckt och vad han forskat inom ? Jag vet att han knäckte koden till den tyska G-skrivaren men jag är mer intresserad av hans matematiska bedrifter? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Du kan läsa om honom på Arne Carl-August Beurling.

Kjell Elfström

15 november 2003 02.27.22
Pytagoras sats lyder: c^2 = a^2 + b^2. Kan man utgående från denna bevisa att c > a + b ? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Nej, och det är heller inte sant. Däremot gäller under förutsättning att a och b är positiva att

c2 = a2 + b2 < a2 + b2 + 2ab = (a + b)2,

vilket ger att c < a + b.

Kjell Elfström

14 november 2003 15.54.25
Hej,tack för en underbar sajt.Vart kan man hitta information om shallow water ekvationerna eller litteratur om detta. Kan ni korommendera några böcker eller artiklar.
Med vänlig hälsning.
Reynaldo Garcia
Reynaldo Garcia

Svar:

På sidan Fundamentals of Geophysical Fluid Dynamics finns föreläsningsanteckningar i postscriptformat samt litteraturtips.

Kjell Elfström

14 november 2003 13.23.41
Hej!
Jag håller på med dansföreställningar och skall bygga ett ihåligt halvklot som scenografi till en föreställning. Jag har då fått tipset att bygga det som en fotboll med en metod som kallas buckminster fuller då det skulle vara enkelt, stabilt, billigt och lätt att montera ihop/isär. Har sedan tragglat runt på mängder av sajter med oändliga länkar utan att hitta några formelsamlingar på hur man räknar ut det. Det enda som jag hittade var att det skulle vara 12 femhörningar och sedan ett antal sexhörningar beroende på vilken form man vill ha det. Så jag skulle veta den enklaste formeln för hur man räknar ut det.
MVH
Olof Persson
Olof Persson

Svar:

Skär du bort hörnen på en ikosaeder och täpper till hålen med femhörningar får du en sådan figur. En ikosaeder är en regelbunden tolvhörning och kan byggas upp av 20 liksidiga kongruenta trianglar. Antag att du vill göra en "boll" i vilken avståndet från mitten till en av sexhörningarnas mitt är r. Gör då en liksidig triangel med sidan s = (12/(3·31/2 + 151/2))r = 1,323r. Skär bort triangelns hörn så att s/3 av varje triangelsida återstår. Du har då fått en regelbunden sexhörning med sidan s/3. Tillverka 20 sådana sexhörningar och 12 femhörningar, var och en med sidan s/3 och sätt ihop byggstenarna.

Kjell Elfström

14 november 2003 11.59.44
Oddset för att få en viss färg i roulette 10 ggr i rad innan spelet börjat är väl (18/37)^10 Men jag undrar hur stor chansen är om man vill ha svaret som exempelvis 1 på 2000 eller 3 på 5000.
Karl

Svar:

Sannolikheten är så stor om färgen är röd eller svart. (18/37)10 = 3570467226624/4808584372417849. Detta tal kan inte förkortas ytterligare.

Kjell Elfström

14 november 2003 11.17.58
Hej! Jag hörde talas om något som kallas för "hypercomplex numbers", vad är det för något och vad kan det användas till?
Erik

Svar:

De komplexa talen är ju en tvådimensionell utvidgning av de reella. Med den vanliga komplexa additionen och multiplikationen bibehålls alla vanliga räkneregler. Vill man utvidga systemet, t ex införa fler olika oberoende imaginära enheter, i, j, k osv, och definiera addition och multiplikation av dessa nya tal så får man göra avkall på en del räkneregler. Sådana system brukar kallas hyperkomplexa tal. Se Hypercomplex Number.

Kjell Elfström

14 november 2003 10.16.20
Hej
Är det möjligt med en magisk kvadrat på 5*5 rutor med talen 1-25 att få ett annat tal än 13 i mittenrutan.
Tord Långberg

Svar:

Du hittar en på sidan Grogono Magic Squares Website med 16 i mitten. Om du ökar alla tal med 1 får du en "vanlig" magisk kvadrat i vilken elementen är heltalen 1,2,...,25. Den får talet 17 i mitten. Du finner även en metod för att generera magiska kvadrater.

Kjell Elfström

14 november 2003 08.09.18
Hej! jag har gått och funderat på ett problem nu i en vecka som jag har börjat undra om det är olösligt, du har en figur med ett visst antal väggar som ska passeras var sin gång, och endast en gång. Alla väggar ska passeras och Varje vägg har blivit markerad med ett blått kryss på ritningen över figuren som finns på adressen:http://it.hule.harryda.se/itda00b/jenott/fig.gif

Svar:

Om man inte startar eller slutar i ett visst rum måste man ha gått in i och ut ur detta rum lika många gånger. Skall färden vara möjlig får alltså högst två rum ha ett udda antal dörrar. I figuren har tre rum ett udda antal dörrar, vilket visar att färden är omöjlig.

Kjell Elfström

14 november 2003 00.10.23
Hejigen och tack igen för en fin sajt. Mina prroblem denna gång.Hur räknar man pokerhänder. Jag vet att det finns (52över5) pokerhänder.Av dem 13(52-4) för fyrtal, är det korrekt? Det är vad min lärare säger. Borde det då finnas 13(52-39 för tretal (triss),låter litet.Hur räknar maan möjliga händer med par. Två par är enligt en lärare 13*12/2 *(4över2)*(4över 29* (52-8).stämmer det?Och hur räknar man sstraight flush? och kåk? alltså par occh triss? Ärdet inte en chance på 2.598.960 = (52över5) att få Royal straight flush eller exakt samma hand nästa gång.För att tillspetsa det om korten ska komma isamma ordning i given så måste man dividera med (13!)^5 eller är det 13*12*11*10*9 Vore tacksam försvar
Rune Berglund Tullinge

Svar:

Fyrtalsvalören kan väljas på 13 sätt. När fyrtalet valts finns 48 kort kvar att välja som det femte kortet. Det finns alltså 13·48 olika fyrtal. När vi räknar på antalet tretal börjar vi med att notera att ett fyrtal eller en kåk inte räknas som ett tretal. Tretalsvalören kan väljas på 13 sätt. Vi skall sedan välja ut tre kort i denna valör och det kan göras på (43) = 4 sätt. Det återstår två valörer att välja av de tolv återstående och det kan göras på (122) = 66 sätt. I varje valör skall vi välja ut ett kort, vilket kan göras på 4·4 = 16 sätt. Det finns därför 13·4·66·16 tretal. I två par skall vi välja ut två valörer för paren och det kan göras på (132) sätt. I var och en av dessa valörer skall vi välja ut två kort, vilket kan göras på (42)(42) sätt. Det femte kortet får inte vara ett kort av dessa valörer och det finns 44 kort att välja. Formeln är alltså rätt men du har skrivit en nia i stället för en parentes. I par skall vi välja en valör för paret. Det kan göras på 13 sätt. Parkorten kan sedan väljas på (42) sätt. Vi skall sedan välja tre olika andra valörer till de återstående korten, vilket kan göras på (123) sätt. Därefter ett kort i varje valör. 4·4·4 sätt. Multiplicera ihop dessa tal. I kåk skall en tretalsvalör och en parvalör väljas, 13·12 sätt. Välj sedan tretalskorten, (43) sätt. Sedan parkorten, (42) sätt. Multiplicera. En royal straight flush är väl en straight flush med äss i topp och det är klart att det finns 4 sådana. Det finns 4·9 = 36 andra straight flush. (A2345,23456,...,910KnDK.) I flush kan färgen väljas på 4 sätt och korten därefter på (135) sätt. Det blir 4·(135) flushar inklusive straight flush och royal straight flush. Räknas dessa bort återstår 4·(135) - 40 flushar. I straight kan toppkortet väljas på 10 sätt, färgerna sedan på 45 sätt. Det blir 10·45 händer med straight inklusive straight flush och royal straight flush, vilka du skall räkna bort. Sannolikheten att få en royal straight flush är 4/(525). (Du verkar tro att det bara finns en royal straight flush men det finns fyra.) Sannolikheten att få en viss hand är 1/(525). Fem kort kan arrangeras på 5! = 5·4·3·2·1 = 120 sätt. Tar man hänsyn till ordningen finns det alltså 120 gånger så många händer.

Kjell Elfström

13 november 2003 19.56.45
Hejsan! jag har en fråga till dig/er och jag skulle behöva lite hjälp. Det är mer 2 frågor i en som jag håller på att jobba med.
1. Hur ändras trycket (N/cm²) på ett tvärsnitt i en människas ben om längden tiofaldigas.
2. Hur stor skulle en jätte kunna bli om benen tål ett tryck på 1000N/cm² och en normal människas ben har en tvärsnittsyta på 8cm²? (1 kg har tyngden 10 N).
Vore extremt tacksam utifall jag kunde få ett svar på detta, uppskattningar och uträkning (om det är godtagbart). Jag har tyvärr inte internet tillgång så ofta så om du/ni skulle kunna maila svaret till abehimself@hotmail.com skulle det uppskatta riktigt mycket. Tack på förhand!
A. Vikström

Svar:

Se 31 januari 2002 18.12.44.

Kjell Elfström

13 november 2003 11.48.12
snälla kan ni svara på mina frågor? 1.Bestäm med samma metod som Fermat maximum av 4x minus upphöjd 2. 2.Bestäm med samma metod som Fermat riktningskoefficienten till x upphöjd i 2+x i punkten a. 3 Var brister denna metod? Hur skiljer sig denna metod från den vi normalat använder?
Susan Golestani

Svar:

Se History of the Differential from the 17th Century.

Kjell Elfström

12 november 2003 22.37.07
Om man definierar sin och cos genom Taylor-serier, hur gör man med pi? Definierar man det som ett lämpligt nollställe? Kan man se att sin och cos har period 2pi på detta sätt?
Boris

Svar:

Man kan definiera pi som det minsta positiva nollstället till funktionen sin. Man måste naturligtvis visa att det finns ett sådant först. Det är lätt att med hjälp av Taylors formel visa att det finns precis en funktion c sådan att c'' + c = 0, c(0) = 1, c'(0) = 0 och precis en funktion s, sådan att s'' + s = 0, s(0) = 0, s'(0) = 1. Antar man att det finns två i något av fallen får man nämligen att skillnaden y uppfyller samma differentialekvation men att y(0) = y'(0) = 0. På grund av y uppfyller differentialekvationen så är y(k)(0) = 0 för alla k, vilket leder till att y(x) = (-1)ny(cn)x2n/((2n)!). Eftersom y är kontinuerlig på det kompakta intervallet med ändpunkter 0 och x och cn tillhör detta intervall så är y(cn)begränsad. Det följer att y(x) = 0.

Genom att utnyttja denna entydighet kan man visa bland andra additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln. Det är också lätt att visa att 1 - x2/2 <= cos x <= 1 - x2/2 + x4/24. Detta visar att cos har ett minsta positivt nollställe a. Man kan visa att sin har ett minsta positivt nollställe på samma sätt och beteckna det med pi. Med hjälp av additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln är det lätt att visa att pi = 2a. Periodiciteten följer också av dessa formler.

Kjell Elfström

12 november 2003 16.23.27
Ifall man ser på en väldigt komplex matematisk formel så är den igentligen inte mera komplex och klanderlig än vad en enkel ensiffer addition skulle kunna förefalla? Stämmer inte detta? Allt handlar i grova drag om att se delmomenten i den enskilda formeln och skapa en förhållning dem emellan och där efter skapa en, enligt vår verklighetsuppfattning, grafisk förhållning.
M.

Svar:

Komplexa problem löses ofta genom att delas upp i enklare delproblem. Ibland kan ett problem åskådliggöras grafiskt men inte alltid.

Kjell Elfström

12 november 2003 15.30.24
a) vid en vetenskaplig fakultet har 60% av studenterna läst företagsekonomi och 45% statistik. båda ämnena har 30% läst. hur många procent av studenterna har läst minst ett av dessa ämnen?
b) 35% har läst nationalekonomi, 15% både företagsekonomi och nationalekonomi och 20% både statistik och nationalekonomi. 10% har läst alla tre ämnena. hur många procent har läst minst ett av de tre ämnena? vore väldigt tacksam för ett svar där du beskriver hur man går tillväga eftersom jag verkligen försökt men inte kommer på hur man ska göra.
MVH
Laki
Laki

Svar:

a) Vi kan dela upp studenterna i disjunkta klasser: de som bara läst företagsekonomi, de som bara läst statistik, de som läst båda ämnena och de som inte läst något. Varje student tillhör precis en av klasserna. 60% - 30% = 30% har läst bara företagsekonomi och 45% - 30% = 15% har läst bara statistik och, vilket ingick i frågeformuleringen, 30% har läst båda ämnena. 30% + 15% + 30% = 75% har alltså läst något ämne.

b) Detta verkar vara en fortsättning på a-uppgiften. Det är enklast att rita upp ett mängddiagram med de tre mängderna, vilket jag föreslår att du gör. De som läst nationalekonomi kan delas upp i fyra klasser: de som bara läst nationalekonomi, de som läst bara nationalekonomi och statistik, de som bara läst nationalekonomi och företagsekonomi och de som läst alla tre ämnena. Den sista klassen innehåller 10%. Den näst sista innehåller 15% - 10% = 5%, den näst första 20% - 10% = 10%. Av dem som läst nationalekonomi har alltså 35% - 10% - 5% - 10% = 10% läst bara nationalekonomi. I a-uppgiften såg vi att 75% hade läst något av de övriga ämnena. 75% + 10% = 85% har alltså läst något av de tre ämnena.

Kjell Elfström

12 november 2003 13.54.37
Hej! jag går på komvux nu och har fått i arbete att forska lite om Tredjegradsekvationer och fjärdegradsekvationer. Jag skulle vilja ha några metoder eller tips på bra böcker som du kan hänvisa till. Jag kan lite om Newtons rahpsons metod och Iteration metoden, men skulle vilja veta om det finns något annat sätt att lösa ekvationerna på. Tack på förhand
Micke

Svar:

Tredje- och fjärdegradsekvationer kan lösas exakt i den meningen att lösningarna kan framställas som rotuttryck. Se 14 december 1997 13.32.37.

Kjell Elfström

12 november 2003 13.39.44
Tack för svaret på "tre dörrar" temat, det fanns ju massor av detta tidigare i er db.
Men jag måste bara få fråga, Hur i herrans frid kan ni allt detta?
Jag har läst igenom många av frågorna från flera månader och i olika år, jag måste säga att jag är mycket imponerad av vad ni kan, det måste vara roligt att kunna språka om och förstå logiken utan att fundera. Är det så att om poletten trillat ned så är allt igentligen enkelt bara man fattat logiken i tänkandet, och därefter ger det ena det andra och så trillar det på.
Är detta med logiken något som ni alltid har haft med er sedan ni var små och gick i grundskolan? för inte går det väl att öva och plugga stenhårt och att tvinga sig till att begripa? Om ni nu har haft lätt för logiken går det igen i tex förståelsen för hur en växellåda fungerar, hur ett krettskort hänger ihop eller stannar det vid just matten?
Jag som knappt klarade av gymnasiet kommer att fortsätta att läsa frågor o svar trotts att jag knappt begriper vad jag läser, roliga uttryck och frågeställningar, kanske fastnar det något. att 1 och 2 inte är några bestämda tal har jag lärt mig i dag, och eftersom pi inte är heller bestämt så finns ingen bestämd mittpunkt (om jag förstod rätt) hmm...trotts passare? då är ju cirkeln bestämd i sin omkrets men pi är det inte så... ja.. inte tusan vet jag, nu spårade det ur igen......
Hoppas ni orkar fortsätta med att svara på frågor från oss vanliga.
Torgny Ahlfors

Svar:

Man kan träna sig att tänka i matematiska banor även om jag tror att många duktiga matematiker har en medfödd begåvning för ämnet. Många matematiker jag känner till är ganska begåvade på andra områden också. Efterhand som man lär sig mer matematik känner man igen allt fler problemställningar och kan lösa många problem bara för att man löst liknande tidigare. Det finns frågor här som tagit ganska lång tid att besvara och faktiskt något enstaka problem som inte lösts, t ex ett visst stryktipsproblem. Ibland känner man inte till en viss del av matematiken och får slå upp definitioner mm i litteraturen så man förstår vad frågan handlar om. När man väl förstår frågan kan det visa sig vara ett lätt problem att lösa men ibland får man gå till litteraturen också för att hitta lösningen.

Kjell Elfström

12 november 2003 13.01.59
Vad ar Zipf's law?
Andrej Nikitin hem@AN7756.spb.edu

Svar:

Se Zipf's Law.

Kjell Elfström

12 november 2003 11.22.15
Finns det någon generell funktion för att beräkna maxvolymen av ett klot inneslutet i vilken pyramid, med kvadratisk basyta, som helst?
Lennart Nilsson

Svar:

Jag vet inte om jag får förutsätta att pyramiden är rak, dvs att toppen ligger rakt ovanför bottenkvadratens mittpunkt, men jag gör det ändå. Antag att bottnens sida är 2s och att pyramidens höjd är h. Skär vi pyramiden med ett plan genom toppen och mittpunkterna på två motstående sidor i kvadraten uppstår en likbent triangel med basen 2s och höjden h. Om det inskrivna klotets radie är r syns ett tvärsnitt av klotet som en i triangeln inskriven cirkel med radien r. Triangelns båda lika långa sidor har enligt Pythagoras sats längden d = (h2 + s2)1/2. Likformiga trianglar ger att d/s = (h - r)/r = h/r - 1, varav r = hs/(s + d) = hs/(s + (h2 + s2)1/2). För ett fixt värde på h kan vi skriva r = h/(1 + ((h/s)2 + 1)1/2) < h/2. Vi ser att det för ett fixt h inte finns något största värde på r som ju kan komma godtyckligt nära h/2 men aldrig antaga värdet h/2. Om i stället s är fixt ser man på liknande sätt att r < s men aldrig kan antaga värdet s.

Kjell Elfström

12 november 2003 10.10.16
Jag skall bestämma alla räta linjer som är tangenter till kurvan y= f(x)= x^2 / (x-1) och som går igenom punkten (2,0) Svar så snart som möjligt... Panik.. =)
Jim Viitanen (sunborn62@hotmail.com)

Svar:

En sådan linje tangerar kurvan i en punkt (a,f(a)) och dess ekvation är

y - f(a) = f '(a)(x - a).

Att den går genom (2,0) betyder att

0 - f(a) = f '(a)(2 - a).

Eftersom f '(a) = a(a - 2)/(a - 1)2 kan denna ekvation skrivas

a2/(a - 1) = a(a - 2)2/(a - 1)2

eller ekvivalent

a((a - 2)2 - a(a - 1)) = 0.

Denna ekvation har rötterna a = 0 och a = 5/4. Sätt in dessa a-värden i tangentens ekvation så får du ekvationerna för de båda linjerna.

Kjell Elfström

12 november 2003 09.49.35
Hej! Jag undrar om ni kan förklara hur Arkimedes kilteorem fungerade.
Tomas Johansson

Svar:

Nej, tyvärr inte. Du kan läsa om det återfunna manuskriptet på Archimedes' Secret men så mycket matematik innehåller sidan inte.

Kjell Elfström

11 november 2003 16.21.39
Hejsan! Hur går man tillväga för att lösa följande problem? Fem olika brev skall placeras i tre olika fack. På hur många sätt kan detta ske om högst ett fack får vara tomt?
Jimmy K

Svar:

För varje brev finns 3 möjliga fack. Bortser vi från inskränkningen att inte alla breven får hamna i samma fack så finns det alltså 35 möjliga fördelningar. Räknar vi bort de tre förbjudna fördelningarna får vi 35 - 3 = 240 tillåtna fördelningar.

Kjell Elfström

11 november 2003 14.31.46
Om man har bokstäverna A,E,M,O,U,Y. På hur många sätt kan man arrangera dessa till 6-bokstävers ord utan att orden ME och YOU ingår.
Rune Berglund Tullinge.

Svar:

Man kan arrangera bokstäverna på 6! sätt. När vi räknar på hur många ord ME ingår i kan vi betrakta ME som en enda bokstav och inser att ME förkommer i 5! ord. På samma sätt förekommer YOU i 4! ord. När vi räknar på antalet ord med både ME och YOU kan vi tänka oss att vi skall bilda ett ord med bokstäverna ME, YOU och A. Det finns 3! sådana ord. Det sökta antalet är därför 6! - (5! + 4!) + 3!.

Kjell Elfström

11 november 2003 13.50.34
En bil långt fram i en bilkö tvingas stanna. Varför får de sista bilarna i kön bromsa hårdare än de främre? Eller är det inte så? Är det tillräckligt för att undvika olyckor att alla håller ett avstånd motsvarande reaktionssträckan (om alla har samma bromssträcka), eller beror det av köns längd?
Svante

Svar:

Antag att avståndet mellan två bilar i kön är lika med den efterföljandes reaktionssträcka. Avståndet är avståndet mellan den bakomvarandes framdel och den framförvarandes bakdel. Om den främre bilen börjar bromsa när dess bakdel befinner sig i punkten P kommer den bakre att börja bromsa en stund senare när dess framdel befinnser sig i P. Den bakre bilens framdel kommer att fara fram på samma sätt som den främre bilens bakdel med en viss fördröjning och någon kollision kommer inte att ske. Under dessa ideala betingelser spelar det altså inge roll hur lång kön är.

En anledning till att bilarna längre bak i kön får bromsa hårdare är att föraren i den första bilen har fri sikt och ser hindret i god tid. Det gör förmodlingen förarna i några av de efterföljande också. De främre bilarna börjar kanske rentav bromsa samtidigt. Bilförarna längst bak ser inte hindret utan bara den framförvarande bilens bromslyktor och börjar därför bromsa först en stund efter att den framförvarande börjat bromsa.

Kjell Elfström

10 november 2003 21.28.20
Hej ! Topologisk fråga: Hur bevisar man att det inte finns någon kontinuerlig surjektiv funktion från intervallet [0,1] till intervallet (0,1) ?
Klas Lind

Svar:

Det följer av att en kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt intervall antar såväl ett största som ett minsta värde. Detta brukar bevisas i elementära böcker i envariabelanalys.

Kjell Elfström

10 november 2003 18.54.55
Jag tar den på engelska då jag inte känner till de svenska termerna:
By the term positive sequence we describe a sequence of real number {s_k} such that all quadratic (hankel) forms \sum_{i,k=0}^m s_{i+k}x_ix_k (m = 0,1,...) are positive definite. Why is the positive property of the sequence equivalent to that all determinants
D_k = |s_0 s_1 ... s_k; s_1 s_2 ... s_{k+1} ; ... ; s_k s_{k+1} ... s_{2k}| are positive (k = 0,1,...)?
En till fråga, i litteraturen nämns Hankel forms, jag antar att det är quadratic forms med några andra premiser, vilka? Har inte hittat någon definition på google.
Dessutom, hur definieras en oändlig Jacobi-matris?
Lukas Horosiewicz, NV3A

Svar:

En kvadratisk form q på Rn kan skrivas

q(x) = xtQx,

där Q är en symmetrisk n×n-matris och xt betecknar transponatet av vektorn x. Om matriselementen qi k = si + k bara beror på i + k kallas den för en Hankel-form. Denna förutsättning behövs inte för att visa påståendet i frågan.

Låt q vara en kvadratisk form på Rn med symmetrisk matris Q = (qjk)j,k = 1n och låt Qm vara matrisen (qjk)j,k = 1m för m = 1,2,...,n. Då gäller att q är positivt definit om och endast om det Qm > 0 för m = 1,2,...,n.

Bevis. Låter vi qm vara den kvadratiska form på Rm som har matrisen Qm är det självklart att q är positivt definit om och endast om qm, m = 1,2,...,n, är positivt definita. Antag först att q är positivt definit så att qm är positivt definit. Vi kan via ett basbyte diagonalisera Qm så att T tQmT = D är en diagonalmatris. Eftersom qm är positivt definit är alla diagonalelementen i D positiva och det följer att det D > 0. Eftersom det D = (det T)2det Qm så är även det Qm > 0.
Omvänt, antag att det Qm > 0 då m = 1,2,...,n. Låt (sm+,sm-) vara tröghetsindex för qm, dvs sm+ och sm- är den maximala dimensionen på underrum av Rm på vilka qm är positivt resp. negativt definit. Vi diagonaliserar Qm som innan. Då är sm+ och sm- antalet positiva resp. negativa diagonalelement i D. Eftersom det D > 0 så är sm+ + sm- = m och sm- är ett jämnt tal. När m ökar kan inte sm+ och sm- minska. När m ökar med 1 så ökar därför den ena med 1 och den andra ändras inte. Eftersom sm- är jämnt för alla m måste det vara sm+ som ökar. Självklart måste q1 vara positivt definit och vi får att sn- = sn - 1- = ... = s1- = 0, vilket visar att q = qn är positivt definit.

En Jacobimatris är en kvadratisk matris (aik), sådan att aik = 0 då |i - k| > 1. Om vi låter indexmängden vara Z+×Z+ får vi en oändlig Jacobimatris.

Kjell Elfström

9 november 2003 22.53.28
Hej,tack för en underbar sajt. Jag studerar lite på egen hand optimering och har lite problem med några uppgifter. Det är såhär att man ska maximera 5x_1-7x_2+13x_4 då -1<= xi<=1 för i=1..5. Fråga två. S=(a,b,c) är tre ekvidistanta punkter på enhetscirkeln x^2+y^2 =1, z=0 i R^3. Antag att a ligger på positiva x-axeln. Låt C vara det konvexa höljet till S. Skriv C på formen C={u i R^3:Au<=b} för lämpligt valda A,b. Tredje frågan-- Låt D vara den ortogonala projektionen av C på planet z=1 i R^3. Låt K vara den minsta slutna konvexa kon ( med origo som vertex) som innehåller D. Skriv K på formen K={u i R^3:Au<=b} för lämpligt valda A,b. Rune Berglund Tullinge.

Svar:

I första uppgiften kan du använda lineär programmering, vilket bör tas upp i den bok du läser. Jag genomför inte räkningarna i svaret eftersom det blir alltför mycket att redovisa. I den andra uppgiften skall du inte låta dig skrämmas av de fina orden, "konvexa höljet". Mängden är rektangeln med hörn i de tre punkterna. Skriv upp ekvationerna för de tre linjerna som går genom de tre punktparen. Kräver du att (x,y) skall ligga på den ena sidan om en sådan linje får du en olikhet som innehåller x och y. På så sätt får du tre olikheter som skall vara uppfyllda för att (x,y) skall ligga i triangeln. Villkoret z = 0 kan skrivas som z <= 0 och -z <= 0. Du får alltså fem olikheter som beskriver mängden och dessa kan du skriva i matrisform. Konen är en tetraeder. Bestäm ekvationerna för dess begränsningsplan och kräv att (x,y,z) ligger på rätt sida om vart och ett av de fyra planen.

Kjell Elfström

9 november 2003 17.51.15
Hejsan. Den naturliga logaritmen e är sin egen derivata. E kan även skrivas lim n -> 0 (1 + n)^(1/n). Hur kan jag visa att e är sin egen derivata utifrån detta?
Patrik

Svar:

Den naturliga logaritmen ln är inte sin egen derivata. Däremot är Dex = ex. Det gäller att (ln(1 + x))/x = ln((1 + x)1/x) --> ln e = 1 då x --> 0. Därför gäller att

(ln(x + h) - ln x)/h = (1/x)(ln(1 + h/x))/(h/x) --> 1/x då h --> 0.

Detta visar att D ln x = 1/x. Sätt k = eh - 1. Då gäller att

(ex + h - ex)/h = ex(eh - 1)/h = ex/((ln(1 + k))/k) --> ex/1 = ex då h --> 0,

ty k --> 0 då h --> 0.

Kjell Elfström

9 november 2003 16.57.45
Hejsan. Hur löser jag detta problem: Åtta identiska föremål skall placeras i tre olika lådor. Hur många möjliga fördelningar finns det om varje låda måste innehålla åtminstone ett föremål?
Jimmy K

Svar:

Svaret är koefficienten för x8 i utvecklingen av

(x + x2 + x3 + ... )3 = x3(1 - x)-3.

Taylorutveckla och avläs koefficienten.

Kjell Elfström

8 november 2003 22.21.54
Hej ! Inom topologin så verkar andra regler gälla för öppna och slutna mängder,än vad man är van vid,hur förklarar ni detta ?
Lars,Hässelby

Svar:

Jag vet inte vilka regler du syftar på men anser att du har fel. I den elementära analysen definierar man öppna och slutna intervall. Ett slutet intervall är av formen [a,b], där a och b är tal, och ett öppet av formen (a,b), där a och b är tal eller ±oo. I det första fallet ingår ändpunkterna, i det andra inte. En öppen mängd O i R är en mängd som är sådan att det till varje punkt x i O finns ett öppet intervall som innehåller x och som är innehållet i O. En mängd S kallas sluten om det till varje x utanför S finns ett öppet intervall som innehåller x och inte har några punkter gemensamma med S.

Med denna definition är R och tomma mängden öppna och en union av öppna mängder öppen. Precis de regler som skall gälla för en topologi är alltså uppfyllda.

De öppna intervallen kommer med denna definition att vara öppna mängder och de slutna intervallen slutna mängder. Det öppna intervallet (-oo,oo) kommer att vara både en öppen och en sluten mängd eftersom komplementet inte innehåller några punkter och detta kan motsäga den elementrära definitionen av öppet intervall. X = R är i likhet med tomma mängden både öppen och sluten, precis så som gäller i alla topologiska rum X.

Kjell Elfström

8 november 2003 20.05.41
Jag har lite problem med en diff. ekvation. Om man använder kraftekvationen på gravitationslagen får man att a = G * m/r^2. Vad är lösningen till denna ekvation (om a är andraderivatan av r)?
Sven Brandt

Svar:

Eftersom kraften minskar r bör du ha ett minustecken i formeln. Du vill alltså lösa differentialekvationen r'' = -k/r2, där k är en positiv konstant. Börja med att multiplicera ekvationen med 2r'. Då får vi

2r'r'' = -2kr'/r2.

Nu är vänsterledet (d/dt)(r')2och högerledet (d/dt)(2k/r), varför ekvationen övergår i

(r')2 = C + 2k/r,

där C är en konstant. Vi får, eftersom r' bör vara negativ, att

r' = -(C + 2k/r)1/2,

vilket kan skrivas som

§(C + 2k/r)-1/2 dr = -§ 1 dt.

Man kan gå vidare här t ex genom att sätta r = x2 och integrera partiellt eller sätta hela rotuttrycket lika med x och på så sätt på sikt lösa ut t som funktion av r, men jag avstår från detta.

Kjell Elfström

8 november 2003 16.18.48
Jag hörde någonstans att man har beräknat miljoner decimaler på pi, hur är detta möjligt?? Har det, eller snarare går det, testa så perfekta cirklar? Hur många decimaler på pi behövs det för att beräkna universums omkrets med atomär felmarginal? eller hur får man reda på det o beräknar det?
Kristoffer Schill

Svar:

Hur man beräknar decimalerna i pi kan du läsa om på The Pi Page. Se under Arctangent formulas for PI. Om radien är 1026 m och man använder 36 korrekta decimaler i pi blir felet högst 10-10 m, 1/3 av atomdiametern om den är 3·10-10 m.

Kjell Elfström

7 november 2003 22.43.38
Jag har en liten fundering angående talet pi. Pi ska ju uttrycka förhållandet mellan en cirkels radie och dess omkrets. talet pi är inget exakt tal vilket inebär att antingen kan en cirkels omkrets eller dess radie inte bestämmas vilket förefaller märkligt. Det skulle innebära att om man känner cirkelns radie så kan man inte ange dess omkrets fast man kan konstruera den med en passare vilket ju i sin tur innebär att det finns ett exakt värde på förhållandet. Antingen sluter inte omkretsen riktigt runt eller så är den för stor; eller så kommer medelpunkten att inte vara en punkt utan en liten cirkel! Kan ni reda ut begreppen för mig?
Anders Eriksson

Svar:

pi är förhållandet mellan omkretsen och diametern.

När man säger att en sträcka har längden 2 meter så menar man att man kan lägga två stavar lika långa som en meterstav efter varandra på sträckan så att det går jämnt ut. Hur är det då när en sträcka är 2/3 meter. Vi kan då ta en meterstav och dela denna i tre lika långa delar. Lägger vi två av dessa på sträckan kommer det att gå jämnt ut. Det faktum att pi inte är ett rationellt tal betyder bara att vi inte kan ta en stav lika lång som omkretsen och dela denna i ett helt antal lika långa delar och lägga ett antal av dessa på diametern så att det går jämnt ut. Det finns alltså ingen längdenhet av vilken det går ett helt antal både på diametern och omkretsen. Detta är inte det samma som att säga att förhållandet mellan omkrets och diameter inte är bestämt.

Kjell Elfström

7 november 2003 22.36.10
Har två frågor:
1) Vad är konvektiv derivata ?
2) Vad är skillnaden mellan "vanlig" Fourier-transform och komplex fouriertransform ?
Magnus

Svar:

Konvektiv derivata förekommer bland annat inom hydrodynamiken. Se Convective Derivative och klicka där på Euler's Equations of Inviscid Motion och Navier-Stokes Equations.

Angående den komplexa Fouriertransformen föreslår jag att du läser kapitel 31 i The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.

Kjell Elfström

7 november 2003 17.36.16
Hur definieras det ortogonala komplementet? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Det ortogonala komplementet till en mängd M av vektorer i ett vektorrum U försett med en skalärprodukt <.|.> är mängden av vektorer u i U som är sådana att <u|v> = 0 för alla vektorer v i M.

Kjell Elfström

7 november 2003 14.50.07
Jag undrar om roulettekulan har något minne?Varför frågar jag? Jo, en del säger det, andra säger att den inte har det. Vad anser ni?
Mvh och tack på förhand!
Roger Andersson

Svar:

Det är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström

7 november 2003 14.41.25
Hur räknar man om mass% till volym% Är det mass% / densitet eller mass% * densitet ????
karina Linder

Svar:

Vi antar att en vätska A med densiteten rA och en annan vätska B med densiteten rB är blandade i delarna mA resp. mB massenheter. Den massa som A utgör av hela blandningen är då mA/(mA + mB) = vArA/(vArA + vBrB). Något sådant enkelt förhållande som du anger finns alltså inte. Då volymen A är liten i förhållande till hela volymen kan vi göra approximationen rA = rB i nämnaren och få att mA/(mA + mB) = vArA/(vArB + vBrB) = (rA/rB)vA/(vA + vB), dvs viktsprocenten är ungefär lika med volymsprocenten gånger faktorn rA/rB eller ekvivalent volymsprocenten är ungefär viktsprocenten gånger faktorn rB/rA. Om ämnet B är vatten så är rB = 1 och faktorn i det senare fallet blir 1/rA.

Kjell Elfström

7 november 2003 14.16.43
Hej! Bestäm störsts och minsta värdet av funktionen f(x,y,z)= xyz då x^3+y^3+z^3=1 och x≥0,y≥0.z≥0. MVH
Niklas

Svar:

Det minsta värdet är naturligtvis 0. Använder vi olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde får vi

xyz = (x3y3z3)1/3 <= (x3 + y3 + z3)/3 = 1/3

med likhet om och endast om x = y = z. Det största värdet är alltså 1/3.

Kjell Elfström

7 november 2003 10.28.36
vad betyder x mega
zainab

Svar:

Ställ frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

7 november 2003 02.07.29
Hej !
För en linjär avbildningsmatris kan man tolka determinanten geometriskt som en areaskala (volymskala) för avbildningen och den är således invariant vid basbyten. Frågan är huruvida spåret av matrisen (trace på eng) har någon trevlig geometrisk eller fysikalisk tolkning som gör att man kan inse att det är invariant vid basbyten (vilket det ju är) ?
/Johan
Johan P

Svar:

Antag att vi har ett vätskeflöde och att flödeshastigheten i punkten x i Rn är Ax, där A är en n×n-matris. Vätskeflödet ut från ett område med volymen 1 är då lika med spåret av A. Om flödeshastigheten F inte ges av en lineär avbildning ges motsvarande flöde av divergensen av F , som är spåret av funktionaldeterminanten hörande till F.

Kjell Elfström

7 november 2003 00.57.44
Jag vet att 1 = 0.999999... men hur bevisar man detta ? Jag är då intresserad av ett bevis som är matematiskt hållbart, och som inte bara ger en indikation på att det är på detta viset. Tack på förhand.
Johan

Svar:

Man måste veta vad 0,9999... betyder och det måste vara summan av den geometriska serien 9 summak = 1oo10-k. Att denna summa är 1 kan du själv visa.

Kjell Elfström

7 november 2003 00.45.51
Jag har funderat mycket på förhållandet mellan funktioner, tex f(x)= x^2 , och deras grafiska kurvor som man ofta ritar upp för att underlätta förståelsen, tex när man beräknar integraler. En funktion är väl helt definierad om man känner till dess uttryck samt dess värdemängd och definitionsmängd? Vilken roll spelar den grafiska biten ? Och på vilket sätt hänger den grafiska tolkningen och funktionen samman? Tack på förhand.
Johan

Svar:

Den grafiska biten tillför ingen ytterligare information. Många människor har ändå lättare att skaffa sig en uppfattning av hur funktionen uppför sig om de ser dess graf uppritad. En bild säger mer än tusen ord.

Kjell Elfström

7 november 2003 00.06.17
anta att man har integralen, där I står för ett integraltecken:
sqrt(x)
I  cos(t^2)dt
2
altså integralen av cos(t^2) mellan 2 och roten ur x... om man vill derivera detta blir ju det enligt analysens huvudsats cos(x^2)/(2*sqrt(x)) i boken jag tittade i stod uppgiften för alla x > 0.. men om x är lägre än 1 är ju den "övre" integrationsgränsen lägre än den undre. och enligt analysens huvudsats måste den övre vara större än den undre gränsen? Vet att man kan sätta ett minustecken framför integralen i detta fall för att flytta ner sqrt(x), men hur bör man tänka och hur blir det rätt? för så länge den övre integrationsgränsen är lägre, kommer ju arean under f(x) hela tiden att minska
Niklas

Svar:

Om f är kontinuerlig i [a,b] och c och x tillhör detta intervall så är S(x) = §cx f(t) dt deriverbar i x med derivatan f(x) oberoende av vilket av talen c och x som är störst. Man kan nämligen skriva

S(x) = §ca f(t) dt + §ax f(t) dt.

Den första integralen efter likhetstecknet är konstant och derivatan av den andra är f(x).

Kjell Elfström

6 november 2003 13.01.04
Hej
jag fick en fråga eller ja ett påstående från en riskmanager på ett försäkringbolag som löd så här:
I ett populärt fråge program på TV så har en deltagare kvalificerat sig till möjligheten att vinna en bil, eller om det var pengar, skit samma, saken var den att det fanns tre dörrar att öppna. Bakom en av det tre fanns vinsten, bakom en annan fanns det en get(som man inte vann)och bakom det tredje fanns en nitlott. Alla tre varianter placeras slumpmässigt ut vid varje tävlingstillfälle. Nu frågar programledaren deltagaren om han vill att han skall visa bakom vilken dörr geten står, och det vill då dom flesta, programledaren öppnat då den dörren där geten står.
Nu frågar riskmanagern mig om jag skulle gjort samma sak? ja det är väl i det närmaste självklart då måste ju mina changser öka eftersom det då bara återstår 2 dörrar och då måste det ju vara 50%changs att jag tar rätt, annars är det ju bara 33%changs att jag tar rätt, men då svarade han att jag har fel och så förklarade han för mig varför mina changser att vinna vinsten blir sämmre av att jag får veta vart geten står. jag kommer nu inte alls ihåg hur det var och jag tycker nog fortafarande att det skulle vara bäst att få se vart geten står Vet ni hur det mattematisk skulle kunna visas att det är bättre att inte veta vart geten står?
Torgny Ahlfors

Svar:

Är du säker på att du redovisat alla förutsättningar? En liknande fråga ställdes den, 1 mars 2003 12.47.57 men där var förutsättningarna annorlunda.

Kjell Elfström

5 november 2003 22.30.11
Hvordan beviser man følgende sætning: Hvis f er differentiabel i intervallet I og der for alle a, b i I gælder at (f(b)-f(a))/(b-a) = f'((a+b)/2), så er f et andengradspolynomium? Geometrisk betyder dette, at en korde til funktionens graf er parallel med tangenten til det grafpunkt, hvis x-koordinat ligger midt mellem x-koordinaterne til kordens endepunkter. Det ser ud til at være en smuk egenskab ved andengradspolynomiet.
Jens Carstensen

Svar:

Det är lätt att se att f är oändligt många gånger deriverbar i det inre av I. Antag nämligen att x ligger i det inre av I och välj a så att x ± a också ligger i det inre av I. Då är

f '(x) = f '(((x + a) + (x - a))/2) = (f(x + a) - f(x - a))/(2a).

Eftersom högerledet är deriverbart i x så är också vänsterledet deriverbart i x och vi får

f ''(x) = (f '(x + a) - f '(x - a))/(2a).

Resonemanget kan nu upprepas i det oändliga. Genom att låta a och x byta roller får vi från den första formeln för ett fixt a i I och alla tillräckligt små x att

f(a + x) - f(a - x) = 2xf '(a)

Deriverar vi denna likhet med avseende på x får vi

f '(a + x) + f '(a - x) = 2f '(a).

Vi deriverar igen och får

f ''(a + x) - f ''(a - x) = 0.

Ytterligare en derivering ger att

f '''(a + x) + f '''(a - x) = 0.

Nu kan vi låta x --> 0 och få att 2f '''(a) = 0, vilket visar att f '''(a) = 0 för alla a i det inre av I.

Kjell Elfström

5 november 2003 20.42.32
Hej,
Jag undrar om det är någon skillnad mellan arccos(x) och cos^-1(x), jag har nämligen hört att arccos(x) ger en båglängd, medan cos^-1(x) ger vinkeln i radianer. Detta ger oss samma numeriska värde, men enheterna är inte desamma. Jag minns inte var jag hörde detta, men med tanke på ordvalet "arc" (=båge) verkar det finnas ett uns trovärdighet iallafall. Jag har försökt söka på internet, men hittar ingenting om detta. Kanske var det tänkt så från början, men folk slutade bry sig eftersom det ändå ger samma värde? :)
Tack på förhand!
tomas

Svar:

Båglängd och vinkel i radianer är samma sak, när man med båglängd menar den utskurna bågens längd hos en enhetscirkel. Radian är egentligen ingen enhet utan mer ett tillägg. Vinkeln mätt på detta sätt är dimensionslös eftersom den anger förhållandet mellan bågens och radiens längder. Det är alltså ingen skillnad mellan arccos och cos-1. I matematisk litteratur används nästan uteslutande beteckningen arccos. cos-1 förekommer ofta på räknare. Det är bäst att undvika att använda den senare beteckningen. Konventionen att cos2x betecknar (cos x)2 kan leda till tvetydighet i fråga om betydelsen av cos-1 x. Det skulle kunna beteckna såväl arccos x som 1/(cos x).

Kjell Elfström

5 november 2003 20.15.16
Har kört fast på ett tal jag inte blir klok på! Talet ser ut så här:
Utför en numerisk derivering av y=1,15^x för x=2
Svaret anges med 4 korrekta decimaler.
Robert

Svar:

Jag vet inte vilken metod ni använder. Ofta används Taylorutvecklingar och eventuellt Richardsonextrapolation. Sätter vi x = 2 + t så kan kanske omskrivningen 1,15x = 1,1521,15t = 1,3225et ln 1,15 hjälpa dig. Uttrycket skall deriveras i punkten t = 0.

Kjell Elfström

5 november 2003 13.55.23
Hej Kjell
ex. e bas för det tvådimensionella vektorrummet V. Ange matrisen för den linjära avbildningen F som byter plats på e1+e2 och 2e1+e2. Bestäm sedan vektorer f1, f2 s.a. F(f1)=f1 och F(f2)=-f2. välj f1, f2 som bas. ange Fs matris i denna bas.
Mvh Johan

Svar:

Eftersom A(1 1)t = (2 1)t och A(2 1)t = (1 1)t så är AB = C, där kolonnerna i B är (1 1)t, (2 1)t och kolonnerna i C är (2 1)t, (1 1)t. Vi får att A = CB -1. Det visar sig sedan mycket riktigt att egenvärdena till A är ±1. Låt f1 och f2 vara egenvektorer hörande till dessa egenvärden. Kolonnerna i matrisen för F med avseende på basen f1,f2 är koordinaterna för Ff1 och Ff2 med avseende på basen f1,f2, dvs (1 0)t och (0 -1)t.

Kjell Elfström

4 november 2003 17.58.38
Hej!
Jag behöver hjälp med att beräkna följande:
1^T * C^{-1} * 1 = ? (1)
där 1 är ETT-vektorn av storlek (Nx1), och C^{-1} är inversen av (NxN)-matrisen C.
C-matrisens element, C_{x,y}, kan skrivas
C_{x,y} = \delta(x-y)*a + min(x,y)*b (2)
där \delta är en dirac/impuls funktion, x&y heltal \in[0,N-1], och a och b positiva konstanter.
För t.ex. N=3 ser C-matrisen ut på följande sätt: 
[a,  0,  0;
 0, a+b, b
 0,  b, a+2b]
Lösningen på ekvation (1) bör vara lika med summan av samtliga element i C^{-1}. Problemet är enkelt för t.ex. N=2 och N=3, men för stora N (N=100) hänger jag inte med mer. Eftersom konstanterna a, b och N är intressanta för mig vill jag svaret skall vara en funktion av a, b och N. Jag hoppas att Ni kan hjälpa mig med detta problem. Jag kommer ingen vart själv...
Magnus Svensson

Svar:

Det verkar inte troligt att det går att finna en hanterlig allmän formel.

Kjell Elfström

4 november 2003 16.16.13
Hej! Jag är en student som kämpar med ett problem som ska göras med hjälp av datorprogrammet, Geometer´s Sketchpad.
Frågan lyder:
På en godtycklig cirkels periferi finns en fix punkt P. På samma cirkels periferi finns en godtycklig punkt Q, skild från punkten P. Punkterna sammanbinds med ett linjesegment, en korda.
Tredela (i lika stora delar) längden av denna korda i segmenten PA, AB och BQ och studera locus för A och B för olika placeringar av punkten Q på cirkelperiferin.
Frida

Svar:

Jag antar att det är tredelningen som är problemet. Kan man förlänga en godtycklig sträcka tre gånger kan man också dela en i tre delar. Se Constructible Numbers.

Kjell Elfström

4 november 2003 12.27.09
Hej!
jag försöker att få till Buffons nålproblem därför att min bror sa att det var lätt. och ja, det var ju lätt om man använder den "enkla versionen". Dock så tycker inte min mattelärare att det är godtagbart. jag måste förklara mer vad som händer men jag förstår inte VARFÖR det bli som det blir. hur kan man räkna med pi när man skall få ut det?
Kan ni hjälpa mig att förstå vad som händer och varför man kan få ut pi?
tack på förhand!
Elias

Svar:

Se 18 april 2001 18.21.47, 13 april 2001 09.31.32 eller 1 december 1999 16.23.38.

Kjell Elfström

4 november 2003 07.43.26
Hej Kjell.
Om man har ett klot och deriverar med avseende på radien R, så får man 4*pi*R2, dvs klotets area. Analogt; Deriverar man cirkelns area får man A-prim = cirkelns omkrets. Kan man tolka dessa resultat på något vis, geometriskt/analytiskt? Uttrycker t.ex klotets area förändringen av volymen på något sätt? Och om man deriverar arean och får V-biss =8*pi*R.
Kan denna andraderivata tolkas? Sista frågan; Om man har ett klot och istället integrerar över volymen; hur tolkar man då pi*R4/3? En sfär i 4:e dimensionen kanske? Tacksam för svar.
Erik

Svar:

Om V(R) och A(R) är volymen resp. arean av det n-dimensionella klotet med radien R så gäller att V '(R) = A(R). Åtminstone då n = 2 eller 3 är det lätt att inse geometriskt. Ökar man radien med delta R får man det nya klotet genom att kring det gamla lägga ett skal med tjockleken delta R och arean A(R). Volymen av detta skal är ungefär A(R)delta R, varför delta V/delta R är ungefär lika med A(R). Samma förhållande gäller för övrigt för kvadrater och kuber om man uttrycker volym och area som funktioner av diametern i stället för sidan. Att man då n = 3 får omkretsen gånger 4 när man deriverar arean är inte lika enkelt att inse. Se också Ball.

Kjell Elfström

3 november 2003 22.06.06
Hej kjell!
Hur löser jag en sådan integral: Bestäm ett uttryck för integralen
I = §xexp(x)cos(x) dx
Det verkar inte för mig som om flera av termerna skulle försvinna eller bli lika efter partiell integration. Jag måste missa något. Tack,
Ulrik Svedrup

Svar:

Integrera partiellt, varvid du skall derivera x och bestämma primitiv funktion till excos x. Sätt F(x) = § excos x dx. Partiell integration två gånger ger att

F(x) = exsin x - § exsin x dx = exsin x - (-ex cos x + § excos x dx) = ex(sin x + cos x) - F(x),

varav F(x) = (1/2)ex(sin x + cos x) + D. Den sökta integralen är därför

I = xF(x) - §F(x) dx,

där du nu kan bestämma § F(x) dx på samma sätt som jag bestämde F(x). Du kan välja D = 0 eftersom F kan väljas godtyckligt.

Kjell Elfström

3 november 2003 20.33.26
Hej!
Jag undrar om det finns någon formel för att räkna ut arean av en regelbunden månghörning (alla sidor är lika långa), då jag vet antalet hörn och sidan.
Emil

Svar:

Antag att månghörningen har n hörn (och sidor). Den är då sammansatt av n kongruenta trianglar. Det räcker att vi kan beräkna arean av en sådan triangel. Det är sedan bara att mutliplicera denna area med n för att få arean av månghörningen. Kalla triangelns hörn för A, B och C och antag att C är det hörn som ligger i månghörningens mittpunkt. Låt vidare M vara mittpunkten på sträckan AB. Enligt förutsättningarna är triangelbasen AB = s känd. Vinkeln C är 2pi/n och halva vinkeln ACM är därför pi/n. Eftersom AM = s/2 så är triangelns höjd MC = (s/2)cot(pi/n). Triangelarean är därför (s2/4)cot(pi/n), vilket ger att månghörningens area är (ns2/4)cot(pi/n).

Kjell Elfström

3 november 2003 16.37.04
Varför ska man skriva när du har en kalkulator på datorn?
Fredrik

Svar:

Jag skickade frågan till min kalkylator, men fick tyvärr inget svar.

Kjell Elfström

3 november 2003 13.00.50
Hej Kjell, tack för en otroligt bra sida. Nu till min fråga.
Hur integrerar man funktionen y(x)=(cos x)^(sin x)?

Svar:

Det går inte att uttrycka en primitiv funktion med hjälp av elementära funktioner. Man får nöja sig med numerisk beräkning av motsvarande bestämda integraler.

Kjell Elfström

2 november 2003 18.39.12
Hej Kjell!
Skulle du kunna hjälpa mig med detta steg för steg? På ett visst företag där sjukfrånvaron var oroväckande under dom två senaste åren har dom anställda sedan årskiftet 2001/2002 haft möjlighet att motionera på arbetstid uner tre timmar per vecka. Det var frivilligt om man ville utnyttja denna förmån och dom som valde att vara med kunde motionera på egen hand eller delta i någon av dom gemensamma motionsaktiviteter som startades. Efter ett halvår gjordes en utvärdering av detta försök med frivillig motion på arbetstid, vid vilken man bla anväde följande uppgifter:
60% av personalen hade varit med i den frivilliga motionen och 40%hade inte varit med. 20% av dom som inte varit med i den frivilliga motionen hade varit sjuka under den föregående veckan, medan bara 10% av dom som deltagit i motionen hade varit sjuka föregående vecka.
a) vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald anställd vid detta företag varit sjuk under den föregående veckan?
b) Om en anställd vid detta företag väljs ut slumpmässigt och det visar sig att personen varit sjuk föregående vecka, vad då är då den betingade sannolikheten att personen deltagit i den frivilliga motionen?
Jonas

Svar:

a) 0,1·0,6 + 0,2·0,4 = 0,06 + 0,08 = 0,14.

b) Andelen sjuka som var med i den frivilliga motionen är 0,06/0,14 = 3/7.

Kjell Elfström

2 november 2003 18.14.22
hej Kjell! Jag skulle vara tacksam om du kunde hjälpa mig med två uppgifter steg för steg.
En kontinuerlig s.w.X har en täthetsfunktion som är 0 utanför intervallet (0 , 1) och inom detta intervall gäller att fx(x)=(Beta+1) * x upphöjt till beta
a)härled för ett stickprov av storleken en formel för ML-skattningen av parameter beta
b)beräkna ML skattningens värde för ett stickprov med dom fyra observationerna: x1 = 0,30 x2=0,35 x3=0,55 x4=0,62
Jonas

Svar:

Jag skriver beta som b nedan. Man skall maximera g(b) = f(x1)f(x2)f(x3)f(x4) = (b + 1)4(x1x2x3x4)b. Vi skriver x1x2x3x4 = x och observerar att ln x < 0. Om vi deriverar (b + 1)4xb med avseende på b får vi

g'(b) = 4(b + 1)3xb + (b + 1)4xbln x = (b + 1)3xb(4 + (b + 1)ln x).

Derivatans nollställen är -1 och -4/ln x - 1. Teckenundersökning visar att g har ett lokalt minimum i den första och ett lokalt maximum i den andra punkten. Med tanke på funktionens utseende måste vi nog antaga att t ex b > 0 ty om b får vara ett godtyckligt reellt tal har g inget maximum. Med detta antagande inträffar maximum då b = -4/ln x - 1.

Kjell Elfström

2 november 2003 15.20.16
Om Taylor serien av funktionen f, kring varje punkt i dess definitions intervall har minst en koefficient lika med noll då är f ett polynom ?
if Taylor series of function f around every point has at least one coefficient equal to zero, then f is a polynomial.
Filip

Svar:

Välj ett kompakt delintervall I av definitionsintervallet. Då är I lika med unionen av mängderna In = {x i I; f (n)(x) = 0}, n=0,1,2... Eftersom I är överuppräknelig måste någon mängd In vara oändlig. För ett sådant värde på n kan vi, på grund av att I är kompakt, finna en konvergent följd av olika tal xk, sådan att f (n)(xk) = 0. Vi får förutsätta att Taylorserierna har positiva konvergensradier. Då kan funktionen utvidgas till en analytisk funktion i en öppen mängd innehållande definitionsintervallet och det följer att f (n)(x) = 0 för alla x i definitionsintervallet.

Kjell Elfström

2 november 2003 11.48.18
Min Morfar lärde mig en gång nioräkning . Hur man kontrollerar att en multiplikation är rätt.Jag har glömt men vet ni ?
Per Jonson

Svar:

Se Casting Out Nines.

Kjell Elfström

2 november 2003 10.44.02
Under 1700-talet var det vanligt att konstnärer roade sig med att måla en förvrängd bild på en plan yta. Ställde man sedan en spegel i form av en rak cylinder på den målade ytan så blev bilden korrekt i spegeln. Denna metod kallas för anamorfos. Jag undrar, utan att behöva gå in på detaljer, vad för typ av matematisk transformation som beskriver denna överföring. Nån form av matris eller liknande? Tacksam för svar.
Erik

Svar:

Transformationerna kallas inversioner. Se Inversion.

Kjell Elfström

1 november 2003 17.47.52
Bestäm en bas för det linjära höljet
[(1,1,2,2,3),(1,1,-2,1,1),(1,1,-2,3,1),(2,2,0,3,4)]
och komplettera denna bas till en bas för R^5. Tack på förhand.
Johan

Svar:

Kalla vektorerna för u1, u2, u3 och u4 och undersök för vilka y = (y1,...,y5) det finns tal x1, x2, x3 och x4 sådana att x1u1 + x2u2 + x3u3 + x4u4 + = y. Vi får ekvationssystemet

x1 + x2 + x3 + 2x4 = y1
x1 + x2 + x3 + 2x4 = y2
2x1 - 2x2 - 2x3     = y3
2x1 + x2 + 3x3 + 3x4 = y4
3x1 + x2 + x3 + 4x4 = y5

Eliminerar vi får vi att det är lösbart om och endast om y1 - y2 = 0 och 4y1 + y3 - 2y5 = 0. Löser vi ut yk får vi t ex att

y = s1v1 + s2v2 + s3v3,

där v1 = (1,1,-4,0,0), v2 = (0,0,0,1,0), v3 = (0,0,2,0,1), som alltså är en bas för det lineära höljet. Vi ser också att v4 = (-1,1,0,0,0), v5 = (4,0,1,0,-2) är en bas för det ortogonala komplementet. vk, k=1,2,3,4,5 är alltså en bas för R5.

Kjell Elfström

1 november 2003 10.50.31
Hej Kjell
jag har en fråga, hur beräknar man följande:
lim(n-->oänd.) integralen på ((3x^10)/(1+x^10)dx från n till (n+2)
kanske ska man använda integralkalkylens medelvärdessats? Vad säger den oss?
Johan

Svar:

Integralen kan med hjälp av integralkalkylens medelvärdessats skrivas 2·3ksin10/(1 + ksin10), där n <= xsin <= n + 2. Därför gäller det att xsin --> oo då n --> oo varav det följer att det sökta gränsvärdet är 6.

Kjell Elfström

1 november 2003 01.34.50
Jag tänkte bestämma matrisen för den lineära avbildningen f(x,y) = (x + y,x - y) i basen e1=(1,4) , e2=(3,2). Först konstaterar vi att
f(e1) = f(1,4) = (5,-3)
f(e2) = f(3,2) = (5,1)
Sedan bestämmer vi koordinaterna för vektorerna f(e1) och f(e2) i basen (e1,e2) enligt
(5,-3) = a(1,4) + b(3,2) = (a + 3b, 4a+ 2b)
(5,1) = c(1,4) + d(3,2) = (c + 3d, 4c + 2d)
Löser vi ekvationssystemen får vi att a = -1.9 , b = 2.3 , c = -0.7 , d = 1.9
Matrisen blir då
     a  c
A =  
     b  d
Har jag gjort rätt? Tacksam för svar.
Johan

Svar:

Ja.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström
Ansvarig är Kjell Elfström 		Frågor och svar oktober 2003 Läs frågor och svar Frågor och svar december 2003