Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar oktober 2003

Svar:

p-adiska tal används flitigt inom talteorin. Vi har t ex Hasse-Minkowskis sats som säger att en kvadratisk form med rationella koefficienter har icke-triviala rationella nollställen om och endast om den har icke-triviala reella nollställen och p-adiska nollställen för alla primtal p.

Kjell Elfström

Svar:

Du skall nog bestämma omega så att determinanten blir noll.

Kjell Elfström

Svar:

Projektionen

ligger närmast f.

Kjell Elfström

Svar:

Om x₀ = y₀ så är x₁ = Ax₀ = Ay₀. Upprepad multiplikation med A visar att den entydiga lösningen ges av x_k = A^ky₀. Om x⁽¹⁾ och x⁽²⁾ är lösningar och a och b tal så är

vilket visar att ax⁽¹⁾ + bx⁽²⁾ är en lösning. Lösningsmängden är heller inte tom eftersom x_k = 0 är en lösning. Detta visar att lösningsmängden är ett underrum till (Rⁿ)^oo. Låt y₁,...,y_n vara den vanliga basen i Rⁿ och x^(k), k = 1,2,...,n motsvarande entydiga lösningar. Det är då inte svårt att visa att de senare är lineärt oberoende och genererar lösningsrummet.

Mängden av lineärkombinationer av c_m^kv_m är n-dimensionell och innehållen i lösningsmängden som också är n-dimensionell. Lösningsmängden måste därför vara lika med mängden av sådana lineärkombinationer.

Kjell Elfström

Svar:

Problem av detta slag är ofta svåra att lösa. Att lösa problemet så allmänt som du önskar går inte, åtminstone inte om man kräver att f är strängt växande. I så fall måste man kräva att g(0) = 1 och att g(x) <> x för alla x, vilket medför att g(x) > x för alla x eftersom g enligt förutsättningarna är kontinuerlig. Ansätter man f(x) = §₀^x h(t) dt kan ekvationen skrivas

vilket skulle kunna vara en utgångspunkt för ett existensbevis. Villkoren på f betyder att h är positiv och avtagande.

Kjell Elfström

Svar:

I allmänhet kan man inte skriva G som någon sorts produkt av H och F. Begreppet semi-direkt produkt kan ändå vara av intresse. Se t ex Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer. I Zassenhaus: The Thory of Groups finns ett avsnitt, Extension Theory, i vilket han undersöker grupperna G, som är sådana att G/H är isomorf med F för fixt H och F. Detta antyder också att G inte kan skrivas entydigt som en sådan produkt.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, den tomma pizzan är medräknad. Måste du ha pålägg får du räkna bort den tomma pizzan och svaret blir 31.

Kjell Elfström

Svar:

Se 9 september 2002 14.47.01.

Kjell Elfström

Svar:

Multiplicera den andra likheten med R₁R₂ så får du R₁R₂/10 = R₂ + R₁ = 100, vilket ger att R₁R₂ = 1000. Multiplicera den första likheten med R₁ så får du 100R₁ = R₁² + R₁R₂ = R₁² + 1000, vilket ger att R₁² - 100R₁ = -1000, vilket efter kvadratkomplettering blir (R₁ - 50)² = 50² - 1000 = 1500 <==> R₁ = 50 ± 1500^1/2. Insättning i likheten för seriekoppling ger sedan att R₂ = 50 ± 1500^1/2. Tecknen i uttrycken för R₁ och R₂ skall vara olika.

Kjell Elfström

Svar:

Jag hänvisar till litteraturen, så som jag gjorde i svaret till 20 februari 1998 15.24.21.

Kjell Elfström

Svar:

I svaret till 5 februari 1999 00.44.27 redovisas härledningen av en formel för problemet där korten är numrerade från 1 till 52. Problemet i din fråga, där flera kort har samma nummer, verkar vara svårare och jag har inte hittat någon formel. Efter att ha tänkt en del på problemet tror jag dock att sannolikheten hamnar i närheten av e^-4.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till programmeringsfaciliteterna i excel tillräckligt väl för att kunna hjälpa dig. Det finns dock 5852925 olika kombinationer och varje kombination består av 30 celler i excel. Kalkylarket kommer alltså att ta ganska stor plats och du kommer antagligen inte att ha särskilt stor glädje av resultatet.

Kjell Elfström

Svar:

På grund av lineariteten är

Matrisen är alltså

Kjell Elfström

Svar:

Du har rätt i att paradoxen, om det nu är en sådan, uppkommer på grund av att det finns oändligt många rum. En vanlig definition av oändlig mängd är att elementen i en sådan skall kunna paras ihop med elementen i en äkta delmängd av mängden. Det är också det vi gör när vi flyttar gästerna.

Kjell Elfström

Svar:

Om det för en lineär avbildning F finns en vektor e skild från noll som är sådan att Fe = re, där r är en skalär så kallas r för ett egenvärde till F. Vektorn e kallas för en egenvektor.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte tillräckligt insatt i statistiska metoder för att ge ett bra svar på denna fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = arccos x. Då är 0 <= t <= pi och x = cos t. Ekvationen kan skrivas 2t = arcsin cos t och vi ser att 0 <= t <= pi/4. För sådana värden på t är den senare ekvationen ekvivalent med sin 2t = cos t, vilket är ekvivalent med 2sin t cos t = cos t. Denna ekvation är uppfylld då cos t = 0 eller sin t = 1/2. Den enda lösningen t i intervallet [0,pi/4] är t = pi/6, vilket motsvarar x = cos(pi/6) = 3^1/2/2.

Kjell Elfström

Svar:

Det kan man inte. Om man kan uttrycka sambandet mellan vektorns och bildens koordinater med hjälp av en matris på det sätt du anger i frågan måste avbildningen vara lineär. För vissa andra avbildningar kan sambandet specificeras med hjälp av matriser, t ex kvadratiska eller bilineära former, men det ser då annorlunda ut: x^tAx resp y^tAx. I allmänhet går det inte alls..

Kjell Elfström

f(x,y) = [x y] [ 1  0.5  [x
                 0.5  1]  y]

[  1  0.5
  0.5  1 ]

Svar:

Vi får förutsätta att f är en kvadratisk form på R² så att vektorn (x₁,x₂) avbildas av f på f(x₁,x₂) = x₁² + x₁x₂ + x₂². Då blir det särskilt enkelt att ange matrisen för f med avseende på standardbasen eftersom koordinaterna för vektorn (x₁,x₂) är (x₁,x₂). Vi skall då bara finna en symmetrisk matris A sådan att vektorn som har koordinaterna (x₁,x₂), dvs vektorn (x₁,x₂), avbildas på x^tAx (nu tänker jag mig koordinaterna som en kolonnvektor) och det är ju bara att avläsa matriselementen i uttrycket för f(x₁,x₂). Även här sammanfaller matrisen för själva avbildningen med matrisen som anger koordinatsambandet.

Kjell Elfström

    1  1
A =
    1 -1

Svar:

Ja, du har tänkt rätt. Det som verkar har förbryllat dig tidigare är att vektorerna ser likadana ut som koordinaterna då vektorrummet är Rⁿ. Används standardbasen är dessutom en vektors koordinater och sjäva vektorn exakt samma n-tippel. Om A är den matris du anger så kan vi skriva f(x) = f(x₁,x₂) = (x₁ + x₂,x₁ - x₂) eller f(x,y) = Ax, vilket vi vill. Bortsett från typografiska skillnader (det ingår kommatecken och talparet är liggande i det första fall, i det andra saknas kommatecken och talparet står upp) är det samma sak. Används standardbasen kan koordinatsambandet för avbildningen f skrivas på samma sätt. Då är f(x) koordinaterna för bilden av den vektor som har koordinaterna x och en vektor är då standardbasen används sina egna koordinater.

Kjell Elfström

Svar:

Låt C: |z| = c vara en cirkel, där s < c < S. Antag att serien summa_-oo^ooa_kz^k konvergerar likformigt mot f(z) på C. Antag att j är ett heltal. Låt epsilon vara ett positivt tal. På grund av den likformiga konvergensen finns heltal m och n, sådana att m < j < n och |f(z) - summa_mⁿa_kz^k| < epsilon, då z ligger på C. Vi integrerar och får

Eftersom (1/(2pi i))§_Cz^kdz = 1 då k = -1 och 0 annars kan olikheten ovan skrivas

och eftersom epsilon är godtyckligt så måste

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till detta.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan String Theory Mathematics finns en hel lista över användbara matematikkunskaper vid studiet av M-teori, litet väl mycket kan tyckas för en gymnasist. Våra studenter läser ingenting om tensorer de två första terminerna. Jag tror att ett projektarbete av detta slag bör vara mer av översiktlig karaktär.

Kjell Elfström

Svar:

Generera kompositionerna rekursivt. För att generera alla kompositioner av m med r delar behöver vi väsentligen bara för varje heltal i i intervallet [0,m] generera alla kompositioner av m - i med r - 1 delar. Programmet

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void p_c(int m, int r, int R, int *parts)
{
    int i;

    if (r == 1)
    {
        *(parts ++) = m;
        for (; R; R--)
            printf("%d ", *(parts - R));
        printf("\n");
        return;
    }

    for (i = 0; i <= m; i++)
    {
        *parts = i;
        p_c(m - i, r - 1, R, parts + 1);
    }
}

void print_comp(int m, int r)
{
    int *parts;
    if ((parts = (int *)malloc(r*sizeof(int))) == NULL)
    {
        printf("Minnet fullt\n");
        return;
    }
    p_c(m, r, r, parts);
    free(parts);
}

int main()
{
    print_comp(4,3);
    return 0;
}

0 0 4 
0 1 3 
0 2 2 
0 3 1 
0 4 0 
1 0 3 
1 1 2 
1 2 1 
1 3 0 
2 0 2 
2 1 1 
2 2 0 
3 0 1 
3 1 0 
4 0 0 

Kjell Elfström

Svar:

Om man definierar pi som förhållandet mellan omkrets och diameter i en cirkel så kan det variera med innebörden av cirkel. Normalt har pi dock det värde det har oberoende av vilken sorts geomtri man arbetar med.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, du räknar samma kommitte flera gånger. Väljer du ut Ada och Beda så har du (¹⁰₂) möjligheter att komplettera till en kommitte. Du kan i stället välja Cecilia och Disa och har då också (¹⁰₂) möjligheter att komplettera till en kommitte. Men kommitten bestående av alla fyra kvinnorna har då räknats med två gånger.

Kjell Elfström

Svar:

Svaret är att det kan den inte. Av alla rektanglar med en given omkrets är kvadraten den som har störst area. Jag antar att du med firkant menar en kvadrat, dvs en rektangel i vilken alla sidorna är lika långa.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till om det finns någon standard. Man måste emellertid ange i vilken ordning rotationerna kring axlarna sker för att känna till slutresultatet. Vill man rotera vektorn (x,y) vinkeln t radianer moturs i ett tvådimesionellt koordinatsystem blir den resulterande vektorn A(x,y)^t, där A är matrisen

När man roterar (x,y,z) kring z-axeln, moturs sett från den positiva z-axeln, roterar bara vektorns projektion (x,y,0) kring origo i xy-planet. Denna rotation har därför matrisen

Rotation kring y-axeln, moturs sett från positiva y-axeln, har matrisen

Rotation kring x-axeln, moturs sett från positiva x-axeln, har matrisen

Den resulterande vektorn fås genom att multiplicera (x,y,z)^t, där t står för transponering, med rotationsmatriserna från vänster i den ordning rotationerna sker. Föredrar du att multiplicera vektorn med matriser från höger skall du multiplicera (x,y,z) (otransponerad) med matrisernas transponat.

Kjell Elfström

Svar:

Du måste ha skrivit fel. Det bör nog vara (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁x₂,y₁ + y₂).

a) Om (a,b) är nollelementet så är (x,y) + (a,b) = (xa,y + b) = (x,y) för alla positiva tal x och alla tal y. Man ser att detta är ekvivalent med att a = 1, b = 0. Inversen till ett element (x,y) är alltså (1/x,-y).

b) <a(x₁,y₁) + b(x₂,y₂),(x₃,y₃)> = <(x₁^ax₂^b,ay₁ + by₂),(x₃,y₃)> = (aln x₁ + bln x₂)ln x₃ + (ay₁ + by₂)y₃. Visa att detta är samma sak som a<(x₁,y₁),(x₃,y₃)> + b<(x₂,y₂),(x₃,y₃)>. Symmetrin <( x₁,y₁),(x₂,y₂)> = <( x₂,y₂),(x₁,y₁)> är självklar, liksom att <( x,y),(x,y)> = 0 om och endast om (x,y) = 0 = (1,0).

c) En ON-bas är (e,0), (1,1).

d) Avbilda (e^a,b) = a(e,0) + b(1,1) i Vpå (a,b) i R², dvs (x,y) på (ln x,y).

Kjell Elfström

Svar:

1 miljard är 10⁹ och 1 miljon är 10⁶. Därför är 1 miljon miljarder 10⁶·10⁹ = 10¹⁵. Talet kan skrivas som en etta följd av 15 nollor.

Kjell Elfström

Svar:

Se 2 september 2002 10.15.21.

Kjell Elfström

Svar:

Då p <> 2 är serien divergent så vi antar att p = 2. Då är ||2|| < 1. Seriens summa är -log(1 - 2) = -log(-1) och det gäller att 2log(-1) = log((-1)²) = log 1 = 0, varför log(-1) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Alla tal är delbara med 1 och sig själva. a = 1 uppfyller kravet att det bara är delbart med ±1 och ±a men är trots det inget primtal. Ett ytterligare krav är att a >= 2. Man vill att varje heltal på ett entydigt sätt skall kunna skrivas som en produkt av primtal och så vore inte fallet om man betraktade 1 som primtal. Man betraktar av den anledningen heller inte -1 eller -p, där p är ett primtal, som primtal trots att de uppfyller ovan nämnda krav.

Kjell Elfström

Svar:

Kvoten q måste vara konstant eftersom divisorns gradtal är minst lika stort som dividendens. Det gäller att

Insättning av x = 1 ger att 11 = 6q + 5, vilket visar att q = 1. Alltså är

Kjell Elfström

Svar:

Punkten ((1 + (-1))/2,(5 + (-1))/2,(3 + (-5))/2) = (0,2,-1) ligger i planet och (1/2)QP = (1,3,4) är en normalvektor. Planets ekvation på normalfprm är därför x + 3(y - 2) + 4(z + 1) = 0. Sätt y = s och z = t och lös ut x så får du planets ekvation på parameterform.

Kjell Elfström

Svar:

Se 1 maj 1999 16.00.19.

Kjell Elfström

Svar:

När du säger parallellt med flera plan förutsätter jag att du menar att du först roterar vektorn parallellt med det ena planet och sedan roterar den resulterande vektorn parallellt med det andra planet. Du skall då först multiplicera med den första rotationens matris och sedan med den andra. Att resultaten från matrismultiplikationerna blir olika beror på att de resulterande vektorerna blir olika. Ordningen är inte oväsentlig. Det räcker att rotera parallellt med t ex xy- och xz-planen. Ibland måste du dock rotera parallellt med det ena först, ibland med det andra. Vill du t ex förflytta nordpolen (0,0,1) måste du normalt börja med att rotera parallellt med xz-planet. Vill du flytta (0,1,0) måste du normalt börja med en rotation parallellt med xy-planet.

Kjell Elfström

Svar:

Inför polära koordinater, x = r cos t, y = r sin t. Då blir integralen §_pi/4^pi/3§₀² r/(16 - r²)^1/2 drdt = (pi/12)[-(16 - r²)^1/2]₀².

Kjell Elfström

Svar:

Den blir 0 på grund av symmetri. Ser du inte det så parametrisera med x = cos t, y = sin t. Då blir integralen

som är 0 eftersom integranden är udda.

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 februari 2003 16.56.13.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen zⁿ = w, där n är ett positivt heltal och w en komplex konstant, är en binomisk ekvation. Skriv z och w på polär form, z = re^it och w = se^iu. Då lyder ekvationen

Identifierar vi belopp och argument får vi

vilket är ekvivalent med

eftersom k = k₀ och k = k₀ + n ger samma värde på z.

I exemplet i frågan skriver vi z = re^it och 8 = 8e⁰. Då är r = 8^1/3 = 2 och 3t = 0 + 2pi k <==> t = 2pi k/3. Lösningarna är 2e⁰ = 2, 2e^2pi/3 = -1 + 3^1/2i och 2e^4pi/3 = -1 - 3^1/2i.

Kjell Elfström

Svar:

Betrakta den lineära avbildningen F : U -> V, där U och V är ett m- resp. n-dimensionellt vektorrum. Låt e₁,...,e_m och f₁,...,f_n vara baser i U resp. V. Då kan vi skriva

Eftersom F är lineär är

Om u har koordinaterna (x₁,...,x_m) med avseende på basen i U och v = Fu har koordinaterna (y₁,...,y_n) med avseende på basen i V så är alltså y = Ax, där A är matrisen (a_ik).

Kjell Elfström

Svar:

a/ En mängd med 7 element skall delas upp i 3 icke-tomma delmängder så att varje delmängd har antingen 1, 2 eller 3 element. Då måste någon av de tre mängderna ha 3 element ty om alla delmängderna har högst 2 element blir det högst 6 element totalt. Om två delmängder har 3 element måste den återstående ha 1 eleemnt. Om precis en delmängd har 3 element måste de övriga ha två var. Detta svarar mot att skriva 7 som 3 + 3 + 1 eller 3 + 2 + 2. Vi räknar på de båda fallen vart för sig. Låt oss ta 3 + 3 + 1-fallet först. Då skall ett element i den stora mängden med 7 element vara ensamt och detta element kan väljas ut på 7 sätt. Nu återstår 6 element. Vi väljer ut ett A-lag och ett B-lag med tre element vardera. A-laget kan väljas på (⁶₃) sätt och B-laget måste sedan bestå av de överblivna elementen. Multiplicerar vi ihop dessa tal får vi att antalet sätt att välja ut ett ensamt element och ett A-lag och ett B-lag är 7·(⁶₃). Detta antal är dubbelt så stort som antalet efterfrågade uppdelningar, ty om vi bara byter namn på A- och B-laget får vi ju samma uppdelning. Antalet uppdelningar blir alltså 7·(⁶₃)/2 = 70. Vi tänker likadant i 3 + 2 + 2-fallet. 3-mängden kan väljas på (⁷₃) sätt, A-laget på (⁴₂) sätt. Vi får nu (⁷₃)(⁴₂)/2 = 105 uppdelningar. Totalt blir det 70 + 105 = 175 uppdelningar i tre delmängder med 1, 2 eller 3 element.

b/ Jag tolkar frågan som att vi skall bestämma antalet partitioner av en 9-mängd i tre delar utan inskränkning på antalet element i delarna. Om man vill kan man resonera likadant som ovan. Man måste då först ta reda på hur många element de olika delarna kan ha. Vi får 7+1+1, 6+2+1, 5+3+1, 5+2+2, 4+4+1, 4+3+2 och 3+3+3, totalt sju fall. Man kan emellertid också resonera på följande sätt. Antag att vi vill dela upp en n-mängd i k delar. Låt {ⁿ_k} beteckna antalet sådana partitioner. Fixera ett element i n-mängden. De återstående elementen utgör då en (n - 1)-mängd. Delar vi in denna i k - 1 delar och låter det fixa elementet utgöra en egen del får vi en uppdelning av n-mängden i k delar. Det finns därför {^n - 1_k - 1} partitioner av n-mängden i vilka det fixa elementet är ensamt. Dela nu in (n - 1)-mängden i k delar och lägg till det fixa elementet till en av de k delarna. För varje partition av (n - 1)-mängden i k-delar får vi på så sätt k partitioner av n-mängden i k delar. Det blir k{^n - 1_k} partitioner av n-mängden i vilka det fixa elementet inte är ensamt. Vi får därför följande rekursionsformel.

Vi har också självklart att {ⁿ_n} = {ⁿ₁} = 1. Vi kan ställa upp talen i en triangel, som Pascals triangel. Översta raden svarar mot n = 1, nästa mot n = 2 osv. Det vänstra skiktet svarar mot k = 1, nästa mot k = 2 osv.

Triangeln konstrueras genom att vi börjar med ettorna längst ut till vänster och höger och sedan använder rekursionsformeln. Trean på tredje raden fås som 1 + 2·1, sjuan på nästa rad som 1 + 2·3 och sexan som 3 + 3·1. Vi avläser att {⁹₃} = 3025.

En ekvivalensrelation delar upp en mängd i delmängder, som kallas ekvivalensklasser. Elementen i en delmängd står i denna relation till varandra. Element från olika delmängder står inte i relationen.

Kjell Elfström

Svar:

Det är väl tillräckligt enkelt. Om du vill faktorisera det kan du tänka på x som t ², där t = x^1/2. Då är täljaren t ² - 4t + 3. Nollställena till detta uttryck är 1 och 3, varför täljaren kan skrivas (t - 1)(t - 3). Nämnaren kan skrivas som (t + 1)(t - 1)(x + 1) med hjälp av konjugatregeln. Uttrycket kan därför skrivas

Kjell Elfström

Svar:

Låt triangelns sida vara x och kvadratens y. Då är 3x + 4y = 160, varav y = 40 - (3/4)x. Enligt Pythagoras sats är triangelns höjd (3^1/2/2)x så figurernas sammanlagda area är

Förenkla uttrycket, derivera och bestäm derivatans teckenväxling.

Kjell Elfström

Svar:

Om y = ke^-2x + 5 så är differentialekvationens vänsterled dy/dx = -2ke^-2x + 5. Dess högerled är 3 - k²e^-4x + 10 - 45ke^-2x + 5. Dessa uttryck kan inte vara lika för alla x eftersom det ena går mot 0 och det andra mot 3 då x --> oo.

Kjell Elfström

Svar:

Om p(x) = a_nxⁿ + a_n - 1x^n - 1 + ^... + a₁x + a₀, där a_n <> 0, är ett polynom av grad n så kallas ekvationen p(x) = 0 en algebraisk ekvation av grad n. Det finns formler av ett visst slag för att lösa sådana ekvationer av grad 1, 2, 3 och 4. Det finns inga sådana formler för ekvationer av högre grad och man kan bevisa att det inte kan finnas några. Se 31 januari 2003 13.35.11, 18 mars 1997 02.44.41 och 14 december 1997 13.32.37.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen f är mycket riktigt en avbildning från R³ till R men det är inte en lineär avbildning utan en kvadratisk form. Ekvationen är f(x,y,z) = 1. Ekvationen har inte någon definitionsmängd eller värdemängd men funktionen har. Definitionsmängden är t ex R³, vilket du redan konstaterat och att värdemängden är en del av R framgår direkt av formella skäl. Att sedan värdemängden är hela R är inte svårt att inse. Andragradsytan är mängden av punkter (x,y,z) i R³ som är sådana att f(x,y,z) = 1. Hur man bestämmer typen av yta framgår av din lärobok i avsnitten om kvadratiska former.

Kjell Elfström

Svar:

Sådan hjälp som du ber om kräver en dialog och det skulle bli en utdragen historia i denna frågespalt. Jag föreslår att du tar upp saken med din lärare på Komvux.

Kjell Elfström

Svar:

Använd formlerna i svaret till 13 oktober 2003 11.03.08. Att räkna för hand är naturligtvis allt för arbetskrävande utan beräkningarna får utföras med hjälp av dator. Upplysningen om att det säljs 100000 bilar per år är betydelselös.

Programmet

#include <stdio.h>

double poss(int k, int n, double *p)
{
   if (k && (k < n))
      return (*p)*poss(k - 1, n - 1, p + 1) + (1 - (*p))*poss(k, n - 1, p + 1);
   if (n == 0)
      return 1.0;
   if (k == 0)
      return (1 - (*p))*poss(k, n - 1, p + 1);
   return (*p)*poss(k - 1, n - 1, p + 1);
}

int main()
{
   double p[] = {0.9, 0.5, 0.25, 0.25, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05};
   int k;

   for (k = 0; k <= 12; k++)
      printf("P(%2d strömställare) = %1.15f\n", k, poss(k, 12, p));

   return 0;
}

P( 0 strömställare) = 0.018658699630005
P( 1 strömställare) = 0.206882423967773
P( 2 strömställare) = 0.379640504075439
P( 3 strömställare) = 0.272228224139648
P( 4 strömställare) = 0.098994437383667
P( 5 strömställare) = 0.020658464021484
P( 6 strömställare) = 0.002693146548340
P( 7 strömställare) = 0.000230384091797
P( 8 strömställare) = 0.000013200051636
P( 9 strömställare) = 0.000000503604492
P(10 strömställare) = 0.000000012309814
P(11 strömställare) = 0.000000000174805
P(12 strömställare) = 0.000000000001099

Kjell Elfström

Svar:

En kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt intervall [A,B] har ett största värde där. Eftersom funktionen i frågan är noll i ändpunkterna och positiv i det öppna intervallet (A,B) måste det största värdet antagas i det öppna intervallet. Om en funktion är deriverbar i ett intervall och det största värdet antas i en inre punkt (inte en ändpunkt) i intervallet så måste derivatan vara noll i den punkten. Minst ett av derivatans båda nollställen ligger alltså i intervallet och eftersom båda är positiva ligger det minsta i intervallet. Eftersom f '(0) > 0 och derivatan växlar tecken i nollställena måste derivatan växla tecken från plus till minus i det minsta nollstället och från minus till plus i det största. Det största nollstället kan alltså inte vara en maximipunkt. Tänker man litet till så inser man att det inte ens kan ligga i intervallet.

Kjell Elfström

 1 2
 3 4

Svar:

Om avbildningen är F så bestäms en egenvektor e av Fe = le, där l är egenvärdet. Motsvarande koordinatsamband är Ax = lx, där x är koordinaterna för e med avseende på basen e₁,e₂ så svaret är ja.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan är nog så enkel men svaret beror på många faktorer, såsom underlagets friktion mm. Eftersom bilens rörelseenergi är proportionell mot kvadraten på hastigheten blir bromssträckan b också ungefär proportionell mot kvadraten på hastigheten, dvs b = kv². Modellen är inte exakt eftersom andra faktorer som luftmotstånd spelar in. Tror man på modellen så kan konstanten k experimentellt bestämmas för ett visst underlag genom att man gör en provbromsning med en känd hastighet v. Fysikerna kan kanske ge dig ett bättre svar.

Kjell Elfström

Svar:

När du deriverar varje komponent för sig får du (1,f '(t)) och tangentens riktningskoefficient är f '(t) = f '(t)/1.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten att ingen tärning visar en sexa är (5/6)³ = 125/216. Sannolikheten för att en viss tärning visar en sexa och de övriga två något annat är (1/6)(5/6)². Sannolikheten för precis en sexa är därför 3(1/6)(5/6)² = 25/72. Sannolikheten för att en viss tärning visar något annat än en sexa och de övriga en sexa är (5/6)(1/6)². Sannolikheten att få precis 2 sexor är 3(5/6)(1/6)² = 5/72. Sannolikheten att alla visar sexor är (1/6)³ = 1/216. Väntevärdet för bruttovinsten blir

Kjell Elfström

Värden     K=1         K=2              K=3
j=1             0,1          0,2                0,3
j=2            0,2           0,1               0,1

Svar:

Sannolikheten för att X = 1 är 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6. Sannolikheten för att X = 2 är 0,4. Nu kan du beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för X med de vanliga formlerna och sedan göra likadant med Y.

XY = 2 då (X,Y) = (1,2) eller (2,1). Sannolikheten för att XY = 2 är därför 0,2 + 0,2 = 0,4 enligt tabellen. Beräkna sannolikheterna för de övriga utfallen 1, 3, 4 och 6 och bestäm sedan väntevärdet.

Nu har du alla uppgifter som behövs för att beräkna korrelationskoefficienten.

Kjell Elfström

Svar:

Vilket svar man får beror på vilken fråga man ställer. Om frågan är hur stor ökningen är i procent av det ursprungliga priset dividerar vi ökningen 600 med 200 och får 3, dvs 300%. Frågar vi i stället hur stort det nya priset är i förhållande till det gamla dividerar vi det nya priset 800 med 200 och får 4, dvs 400%.

Kjell Elfström

Svar:

Utför subtraktionen. 10¹⁰⁰ är ett tal med en etta följd av enbart nollor. När man drar ifrån 1 får man låna ett tio-tal. Sista siffran är alltså 10 - 1 = 9. Men nu fattas det ett tiotal. Vi får låna ett hundratal och har då 9 tiotal. Efter att vi lånade ett hundratal fattas det ett och vi lånar ett tusental osv.

Kjell Elfström

f(x,y) = [x y] [ 1  0.5  [x
                 0.5  1]  y]

Svar:

Nej, det är ingen lineär avbildning utan en kvadratisk form. Kvadratiska former har i likhet med lineära avbildningar inga baser. Har man en bas för rummet kan man däremot beskriva den kvadratiska formen genom att man anger hur koordinaterna för vektorerna förändras av formen och detta koordinatsamband kan anges med hjälp av en matris. Det blir normalt olika matriser för olika baser även då det är samma kvadratiska form.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till något färdigt kommando. Med tanke på Hessianens komplexitet måste man nog tillgripa nomeriska metoder. Du kanske med enkla metoder kan bevisa konkaviteten utanför något begränsat område och sedan beräkna Hessianen i ett stort antal punkter i den återstå delen.

Kjell Elfström

Svar:

Avbilningar har inte baser, bara matriser med avseende på baser. Se 21 oktober 2003 14.43.41 och 21 oktober 2003 14.36.23.

Kjell Elfström

Svar:

Tag två vinkelräta riktade sträckor med samma längd och låt dem representera två vektorer e₁ och e₂. Låter vi sträckornas längd vara längdenheten får de dessutom längden 1. Då kan varje vektor i planet skrivas u = x₁e₁ + x₂e₂ med entydigt bestämda koordinater x₁ och x₂. Vi kan då välja att för varje val av koordinater låta avbildningen F avbilda u = x₁e₁ + x₂e₂ på t ex vektorn v = Fu = (x₁ + x₂)e₁ + (x₁ - x₂)e₂. Basvektorerna hör inte ihop med avbildningen, vi använder dem bara för att beskriva vad avbildningen gör. Vi hade kunnat använda en anna bas för att beskriva samma avbildning men då hade koefficienterna i motsvarande uttryck för v förmodligen blivit annorlunda. Med avseende på den bas vi använde är avbildningens mastris den samma som för avbildningen i 21 oktober 2003 14.36.23, fast avbildningen där är från R² till R² och basen därför en annan eftersom vi här skiljer mellan planet och R².

Kjell Elfström

Svar:

T ex f(x,y) = (x + y,x - y). Detta är dessutom en lineär avbildning vars matris i standardbasen (1,0), (0,1) är

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom y-axeln är en normal till kurvan skall ytterligare precis två normaler gå genom punkten y. Om a <> 0 så går normalerna genom (a,a⁴) och (-a,a⁴) genom samma punkt på y-axeln. Villkoret innebär alltså att det genom (0,y) skall gå en normal till kurvan från precis en punkt (a,a⁴) med a > 0. Eftersom Dx⁴ = 4x³ så är normalens riktningskoefficient -1/(4a³). Normalens ekvation är därför

Den skär y-axeln då y = a⁴ + 1/(4a²) = f(a²), där f(t) = t² + 1/(4t). Vi undersöker f(t), t > 0. Det gäller att f '(t) = 2t - 1/(4t²) och man ser enkelt att den enda punkt i vilken derivatan växlar tecken är där t = 1/2 och att den där växlar från negativ till positiv. Eftersom f(t) --> oo då t --> 0⁺ och då t --> oo så har ekvationen y = f(t) precis en lösning t bara då y = f(1/2) = 3/4.

Kjell Elfström

Svar:

Jag fick följande bokförslag från mina kolleger vid Matematisk statistik. Jens Ledet Jensen: Saddlepoint Approximation. ISBN-0198522959.

Kjell Elfström

Svar:

Låt F vara Fouriertransformen av f för fixt t. Man får att den uppfyller F_t' = (D(i ksi)² - ui ksi)F. Lös denna ordinära differentialekvation. F(ksi,t) = C(ksi)e^-D ksi2te^-ui ksi t. Sätter vi t = 0 får vi att C = F₀, där F₀ är Fouriertransformen av f₀. Enligt räknereglerna för Fouriertransformen är produkten av exponentialfunktionerna lika med Fouriertransformen av E(x,t) = (1/(4Dt pi)^1/2)e^{-(x - ut)2/(4Dt)}. F är därför Fouriertransformen av faltningen E*f₀, varav

Kjell Elfström

Svar:

Gör du ett snitt genom klotets mitt ser du en rektangel inskriven i en cirkel med radien R. Längden av den rektangelsida som utgör burkens bottendiameter sätter vi till 2r. Då är burkens bottenarea pi r². Höjden av burken utgör då den andra rektangelsidan som vi sätter till h. Rektangelns diameter är 2R. Enligt Pythagoras sats är 4R² = 4r² + h², vilket ger att r² = R² - h²/4. Burkens volym är

Bestäm nu det största värdet av f(h) genom att derivera och studera derivatans tecken.

Kjell Elfström

Svar:

Matrisen är

Markera på vilka punkter kvadratens hörn avbildas. Förbind dessa med räta linjestycken så får du parallellogrammen som kvadraten avbildas på. Determinanten är lika med areaförstoringen.

Kjell Elfström

Svar:

Andraderivatan är derivatan av derivatan. y' är hastigheten med vilken y förändras och y'' är hastigheten med vilken hasigheten y' förändras, dvs accelerationen av y.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt förutsättningarna är det A = k > 0, där A är matrisen

Sätt e = gcd(a,c) och f = gcd(b,d). Då delas k av ef, dvs k = efg för något heltal g. Det finns heltal x₀ och y₀ sådana att ax₀ + cy₀ = e. Därför är

en lösning till ekvationen ax + cy = eg för varje heltal n. Att x och y också löser ekvationen bx + dy = 0 betyder att

Eftersom f | b och f | d finns det ett heltal n som löser denna ekvation. Det finns alltså heltal x och y, sådana att ax + cy = eg och bx + dy = 0. Samtidigt finns u och v sådana att bu + dv = f. Om U är matrisen

så är produkten B = UA matrisen

där h är något heltal. Eftersom det B = efg = k så är U unimodulär, dvs elementen i V = U ^-1 är också heltal. Vi har alltså att

där V är unimodulär. Det är nu lätt att se att B avbildar kvadraten K = [0,1)×[0,1) på en parallellogram P i vilken bara de sidor som möts i origo skall ingå. Dess bas har längden f och utgör en del av x₂-axeln. Dess höjd är parallell med x₁-axeln och är eg. De punkter i P vilkas koordinater är heltal ligger alla på någon av linjerna x₁ = 0,x₁ = 1 ,x₁ = 2,...,x₁ = eg - 1. Eftersom varje sådan linje har f punkter med heltalskoordinater gemensamma med P finns det egf = k punkter med heltalskoordinater i P. Eftersom V är unimodulär avbildas P av V på en parallellogram Q som också har k punkter med heltalskoordinater. Det följer att bilden AK = Q har k punkter med heltalskoordinater.

Ett annat bevis bygger på att bilden AK_mn har lika många punkter med heltalskoordinater för alla heltal m och n, där K_mn är kvadraten [m,m + 1)×[n,n + 1). Säg att detta antal är h. Det gäller även att arean av AK_mn är k för alla heltal m och n. Kvadraten K_n = [0,n)×[0,n) består av n² sådana kvadrater. Bilden AK_n har p(n) = hn² punkter med heltalskoordinater och arean a(n) = kn². Det är uppenbart att p(n)/a(n) --> 1 då n --> oo. Eftersom kvoten p(n)/a(n) är konstant lika med h/k måste h = k.

Jag förstår inte varför förutsättningen om de största gemensamma delarna finns med, men det är kanske för att förvilla.

Kjell Elfström

n^3 = a(n)+b(n)+c(n) Skall utläsas som binomialkoefficienter.
        3    2    1 

Svar:

Högerledet är

Skall likheten gälla för alla heltal n >= 3 så måste a/6 = 1, (b - a)/2 = 0 och (a/3 - b/2 + c) = 0. Lös ut a, b och c.

Kjell Elfström

Svar:

Vilken är frågan?

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du menar (2 + 3)³⁴⁵. Det är

13952482803738708279001264017399181633934448178989241469911204140962312450
03342524017880886059780309630350408146208530556909840530131736756745657096
44780425044618410324229157837946269494989261006546348367618470831530430587
00859546661376953125.

Kjell Elfström

Svar:

I själva gränsvärdesdefinitionen brukar man använda lambda. Om det är generaliserade integraler du tänker på så använder man ofta bokstaven R.

Kjell Elfström

Svar:

Jo, visst kan man det. Titta i din analysbok så hittar du säkert något exempel.

Kjell Elfström

Svar:

Normalt går det inte att ange något exakt värde om man inte anser arccos(4/65^1/2) vara ett sådant. Man kan använda approximativa metoder, t ex lösa ekvationen med Newton-Raphsons metod.

Kjell Elfström

Svar:

Att täljaren kan skrivas så följer av den definition av betingad sannolikhet som du anger, det är bara att byta ut A och B mot varandra i formeln. För att både A och B skall inträffa skall A inträffa och under den betingelsen skall sedan B inträffa.

Kjell Elfström

Svar:

Matematik F är namnet på lokala kurser vid olika skolor så innehållet varierar. Om du är intresserad av matematik tycker jag absolut att du skall läsa kursen som brukar vara en fördjupning inom någon intressant del av matematiken. Prata med din matematiklärare hur kursen är på din skola.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = x^s. Då blir integralen (1/s)§₀^oo(t ^1/s - 1/(1 + t))dt. Med a = 1/s behöver du nu bara visa att §₀^oo(t ^a - 1/(1 + t))dt = pi/sin(pi a). Betrakta det komplexa talplanet uppskuret längs den negativa reella axeln och låt C vara kurvan som erhålles då du startar i -R, följer den reella axeln till -epsilon ovanför snittet, följer cirkeln |z| = epsilon tills du kommer till -epsilon under snittet, återvänder till -R utefter axeln under snittet och sedan följer cirkeln |z| = R till punkten -R ovanför snittet. Då är I = §_C(z^a - 1/(1 - z))dz = -2pi i enligt residysatsen. Du kan nämligen förbinda den mindre och större cirkeln med ett linjestycke i t ex första kvadranten och dela upp C i två delar. Integranden är analytisk i den del i vilken inte z = 1 ligger och i den andra har integranden en enkel pol i z = 1. Om I₁ och I₂ är integralerna utefter cirklarna så kan vi nu skriva

Visa att I₁ och I₂ går mot noll då epsilon --> 0 och R --> oo och slå samman de kvarvarande integralerna till en integral och använd småningom Eulers formler.

Kjell Elfström

Svar:

En serie summa a_k av p-adiska tal är konvergent om och endast om |a_n| --> 0 då n --> oo. Skriv x = p^me, där e är ett enhetselement och m ett heltal och tänk efter vad kriteriet betyder för talet m.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt x = bt. Då blir integralen (1/b)§₀^oo((ln t)/(1 + t²))dt + (1/b)§₀^oo((ln b)/(1 + t²))dt. Substitutionen t = 1/u ger att

vilket visar att I = 0. Den sökta integralen är därför pi(ln b)/(2b).

Kjell Elfström

Svar:

Enligt förutsättningen att funktionerna är icke-försvinnande så är f = p/r och g = q/r hela och det gäller att f + g = -1. Funktionerna f och g antar därför varken värdet 0 eller -1. Enligt Picards sats är de därför konstanta.

Kjell Elfström

Svar:

Man sätter x = sin t. Då är dx = cos t dt och (1 - x²)^1/2 = (1 - sin²t)^1/2 = (cos²t)^1/2 = cos t, vilket ger att (1 - x²)^1/2dx = cos t cos t dt = cos²t dt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är förmodligen baser för vektorrum som avses. En lineär avbildning på ett ändligdimensionellt vektorrum U har en matris med avseende på en viss bas för U. Byter man till en annan bas ändras inte avbildningen men avbildningens matris blir ofta en annan.

Kjell Elfström

Svar:

Ursprungligen kommer det från ett grekiskt ord som betyder kunskap eller läroämne.

Kjell Elfström

Svar:

Det är bara för n = 1 som a_n = n⁴ + 4ⁿ är ett primtal. Om n > 0 är jämnt är a_n > 2 och delbart med 2 så därför måste n vara udda. Men då är

där

Det är lätt att se att a > b > 1 då n > 2, vilket visar att a_n har äkta delare då n är ett udda heltal större än 1.

Kjell Elfström

Svar:

Nej, det tror jag inte. Bokstaven verkar inte dyka upp i det sammanhanget före den stringenta definitionen av gränsvärde.

Kjell Elfström

Svar:

Jag behöver inte veta vikten, problemet var att finna avvikaren.

Kjell Elfström

d*vektorn(x)/dt= (0  2)* vektorn(x)+sint(0)
                 (1 -1)                 (1)

Svar:

Ansätt x₁ = a sin t + b cos t, x₂ = c sin t + d cos t, sätt in och bestäm a, b, c och d för att få en partikulärlösning. För att lösa det homogena systemet bestämmer vi egenvärdena till matrisen. Dessa är 1 och -2. En bas av egenvektorer är e₁ = (2,1) och e₂ = (1,1). Skriv x = z₁(t) e₁ + z₂(t) e₂ där z₁ och z₂ är reellvärda funktioner av en reell variabel. Systemet övergår i

Du kan nu lösa differentialekvationerna z₁' = z₁ och z₂' = -2z₂ och sedan sätta in i uttrycket för x.

Kjell Elfström

Svar:

T ex Klaus Fritzsche och Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. (Springer-Verlag, 2002.)

Kjell Elfström

Svar:

y är ju en funktion av t och dy/dt är derivatan av y med avseende på t. Derivatan är hastigheten med vilken y växer per enhet t. T ex kan t vara tiden.

Kjell Elfström

Svar:

Multplicera båda led med e så får du x³ = 0,4e <==> x = (0,4e)^1/3.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte säker på att det är en fördel att börja i schack. Det är bevisat att precis ett av följande tre påståenden är sant.

1) Det finns en strategi för vit som alltid resulterar i vit vinst.
2) Det finns en strategi för svart som alltid resulterar i svart vinst.
3 Det finns strategier för vit och svart som alltid garanterar minst remi.

Vilket av de tre påståendena som är sant är ännu inte känt.

Jag tror inte mer har sagts om kinaschack än vad Gardner kände till.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan läsa om paradoxen och ett lösningsförsök på The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?.

Kjell Elfström

Svar:

De mest kända svenska matematikerna finner du på sidan Russia and Scandinavia.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen säger att f(g(x)) och f(x) har samma derivata och därför skiljer sig åt med en konstant. Mer kan man nog inte säga utan att ha ytterligare villkor.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror du har fel tecken före den sista termen. Enligt binomialsatsen är

Svaret är alltså (⁵⁰₀) = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Att ett tal a har n decimala siffror betyder att 10^n - 1 <= a < 10ⁿ, vilket är ekvivalent med att n - 1 <= lg a < n. Om b är antalet binära siffror så är 2^b - 1 <= a < 2^b, vilket ger att (b - 1)lg 2 <= lg a < b lg 2. Sätter vi samman olikheterna får vi

vilket ger att

Kjell Elfström

Svar:

En avbildning f är lineär om f(ax + by) = af(x) + bf(y) för alla tal a och b och alla vektorer (i det vektorrum det är fråga om) x och y. Avbildningen i frågan avbildar R² på R och är inte lineär. T ex är

Kjell Elfström

                                     1 2
                                     3 4.

Svar:

Det enda man kan se är att den lineära avbildningen är en avbildning från ett 2-dimensionellt vektorrum U på ett 2-dimensionellt vektorrum V eftersom matrisen är en 2×2-matris och att den i någon bas för U och någon bas för V har denna matris. Det kan vara en rent geometrisk avbildning av planet på sig självt och då är basvektorerna "geometriska" men kan också vara en avbildning av R² på R², i vilket fall basvektorerna är talpar.

Kjell Elfström

Svar:

Normalt betyder "pencil of lines" mängden av alla linjer genom en viss punkt. I projektiv geometri har man också oändlighetspunkter och mängden av alla (parallella) linjer genom en sådan kallas "pencil of parallel lines". På svenska blir det linjeknippe.

Kjell Elfström

Svar:

Då a skall divideras med b är det operationen a/b som skall utföras. Jag har aldrig stött på det alternativa språkbruk som du nämner.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du känner till rektangelmetoden för enkelintegraler. Man delar in integrationsintervallet i ett antal lika långa delintervall och approximerar funktionen med en kontant i varje delintervall. Om integrationsintervallet är [a,b] använder man delningspunkterna x_k = a + k(b - a)/n och approximerar funktionen f i intervallet [x_k - 1,x_k] med f(x_k). Integralen approximeras sedan med summa_k = 1ⁿf(x_k)(x_k - x_k - 1). Samma sak kan göras med dubbelintegraler. Det är speciellt enkelt om integrationsområdet är en rektangel. Då delar man in detta område i ett antal små delrektanglar och approximerar funktionen i varje del med en konstant. Integralen över en liten rektangel approximeras med funktionsvärdet multiplicerat med rektangelarean. Är området inte rektangulärt får man också approximera området med något enklare område. För att ha glädje av dessa tekniker behöver man också kunna analysera felen och jag hänvisar till böcker i numerisk analys, där också mer raffinerade metoder tas upp. Många matematikprogram såsom Maple, Matlab och Mathcad klarar numerisk integration.

Kjell Elfström

3x  -y +z = 2
-x -3y +2z=-1
 x -2y +az= 0

2x + ay = 1
 x - ay = a

Svar:

Se 2 september 2002 15.06.47.

Kjell Elfström

Svar:

Gamma-funktionen definieras genom

då z > 0. Den kan utvidgas till en analytisk funktion i hela det komplexa talplanet utom där z = 0,-1,-2,... Man kan enkelt med partiell integration och induktion visa att Gamma(n + 1) = n! då n är ett naturligt tal. Det värde din räknare ger är förmodligen Gamma(5/2) = 3·pi^1/2/4.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tackar för bidraget.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan inte uttrycka de primitiva funktionerna till denna funktion med hjälp av elementära funktioner.

Kjell Elfström

Svar:

Det är frågan den 7 oktober 2003 13.49.18 du hänvisar till. Om du bara subtraherar s en gång från S får du ju

Kurvan y = cos x kan erhållas genom att kurvan y = sin x flyttas pi/2 enheter åt vänster. Det gäller ju att cos x = sin(x + pi/2). Den första funktionen antar i x samma värde som den senare antar i x + pi/2.

Kjell Elfström

Svar:

Det väsentliga är att det är tydligt vad diagrammet visar. Om du vill åskådliggöra viktstrukturen hos en befolkningsgrupp delar du kanske in gruppen i klasser och räknar efter hur många som väger mellan 0 och 10 kg, antalet mellan 10 och 20 kg osv. Då är det naturligt att den första stapeln sträcker sig från 0 till 10 på den horisontella axeln, nästa stapel från 10 till 20 osv. Då framgår det tydligt att höjden på den första stapeln anger antalet personer som väger mellan 0 och 10 kg. Vikten som man mäter här är en så kallad kontinuerlig stokastisk variabel. Enkelt uttryckt kan den antaga vilket värde som helst. Om man i stället kastar tärning och vill åskådliggöra hur många ettor, tvåor, treor osv man får är det kanske inte lika självklart att den första stapeln skall täcka hela intervallet från 0,5 till 1,5 på den horisontella axeln. Man kan ju t ex aldrig få utfallet 0,9.

Kjell Elfström

Svar:

Ditt antagande är felaktigt på grund av att thorium och bly har olika atomvikt. Det fanns 3 + (232/208)·0,0376 gram thorium från början.

Kjell Elfström

Svar:

Använd rekursionsformeln (15) på Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Utför multiplikationen i högerledet och identifiera koefficienter så får du

Kvadrerar du den första likheten och utnyttjar den tredje får du b² + c² - 4 = a⁴. Kvadrerar du den andra får du a²(b² + c² + 4) = 9. Lös ut b² + c² ur den första av dessa likheter och sätt in i den andra.

Kjell Elfström

Antal   Resultat
1	0
2	8
3	11
4	4
5	9
6	16
7	0
8	0
9	0

Svar:

Man måste göra ett antagande om fördelningen för att kunna svara på frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Karakteristikerna härleds ur ekvationen

Då x₁ < 0 är ekvationen hyperbolisk och karakteristikerna ges av

Kjell Elfström

Svar:

Om z = y³, där y = tan x, så är

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan 2(x - 6)x²/(x - 4)² växlar då x > 4 bara tecken då x = 6 och man ser på derivatans teckenväxling att funktionens minsta värde antas så x = 6.

Kjell Elfström

Svar:

Om f är udda så gäller det att

Definitionsmässigt är gränsvärdet lika med f '(-x) och det följer att f '(-x) = f '(x).

Kjell Elfström

Svar:

Inte vad jag känner till.

Kjell Elfström

Svar:

Se 1 oktober 2003 22.28.23.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att frågan är på hur många sätt man kan välja ut 4 element ur en mängd med 16 element utan att ta hänsyn till i vilken orning man väljer elementen. Svaret blir (¹⁶₄) = 16·15·14·13/(1·2·3·4). Det första elementet kan nämligen väljas på 16 sätt. Nästa kan vi välja på 15 sätt, nästa igen på 14 sätt och det sista på 13 sätt. Antalet sätt blir därför 16·15·14·13. Men om vi räknar så får vi antalet sätt att välja ut elementen i en viss ordning. Vi kan räkna upp samma fyra element på 4·3·2·1 sätt. Vi kan ju på samma sätt som tidigare välja 4 olika element först, 3 på andra plats osv. Resultatet är att varje kombination kommit med 1·2·3·4 gånger och därför dividerar vi med detta tal.

Kjell Elfström

Svar:

Om det inte finns något mönster i sannolikheterna får man helt enkelt sätta i gång att räkna. Om sannolikheten för att strömställare S_k väljs är p_k och sannolikheten för att den inte väljs är q_k = 1 - p_k blir sannolikheten att alla tolv väljs lika med produkten p₁p₂^...p₁₂. Sannolikheten för att precis elva väljs blir summan av de tolv produkter i vilka elva p_k och en q_k förekommer, alltså

Sannolikheten för att precis tio väljs blir på samma sätt summan av produkterna i vilka tio p_k och två q_k förekommer. Det blir totalt (¹²₂) = 66 termer i denna summa. Sannolikheten för att fler än nio väljs blir summan av de tre på så sätt uträknade sannolikheterna.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är mer en fråga om fysik än matematik. Gå till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns 6³ möjliga utfall. Vi kan räkna på antalet fall där precis två tärningar visar ettor och sedan multiplicera med 6. Vi skall då välja de två tärningarna och det kan göras på 3 olika sätt. Den tredje tärningen kan sedan visa 5 olika antal ögon. Det blir 15 utfall. Multiplicerar vi detta med 6 får vi att antalet gynnsamma utfall är 90. Sannolikheten är därför 90/6³ = 5/12.

Kjell Elfström

Svar:

Se 25 maj 2003 12.21.19.

Kjell Elfström

Svar:

Om du först adderar de båda ekvationerna och därefter subtraherar dem från varandra får du ett nytt ekvivalent ekvationssystem.

Nu kan du dividera bort 10091 från den första ekvationen och eftersom 1295 går tre gånger i 3885 dividera med 1295 i den sista.

Nu kan du gå vidare själv.

Kjell Elfström

Svar:

Om variabelbytet D₁ -> D₂ är lineärt så är funktionaldeterminanten lika med determinanten av avbildningens matris. Denna determinant anger förhållandet mellan areorna av D₂ och D₁. Över små rektanglar är funktionen som skall integreras ungefär konstant och samma förhållande gäller mellan volymerna. Är inte avbildningen lineär är funktionaldeterminanten i varje punkt lika med determinanten av en lineär approximation av avbildningen så det ovan beskrivna volymsförhållande gäller lokalt.

Kjell Elfström

Svar:

Se 18 januari 1999 20.37.54.

Kjell Elfström

Svar:

När man säger att hypotesen är oavgörbar så menar man normalt att den inte kan bevisas eller motbevisas utifrån ett visst axiomsystem. En hypotes kan vara sann men ej möjlig att bevisa inom systemet. Om man alltså lyckades bevisa (med ett meta-bevis) att det inte finns något motbevis så har man visat att hypotesen är sann eftersom ett motexempel är ett motbevis. Detta visar dock inte att det är möjligt att bevisa satsen inom systemet men det visar att det skulle vara möjligt att lägga till hypotesen som ett axiom.

Numera är Fermats stora sats ett dåligt exempel på dylika resonemang eftersom den faktiskt är bevisad.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller alltid att

I det allmänna fallet kan man inte säga mer.

Kjell Elfström

Svar:

Du nöjde dig kanske inte med svaret 2.

Kjell Elfström

  1 2 .
  8 1

Svar:

Avbildningen har den matrisen med avseende på någon bas. Att säga en en bas av ekvivalensklasser av riktade sträckor är en standardbas är meningslöst. Vilken skulle det vara? När man övergår till att räkna med koordinater motsvaras denna bas av standardbasen (1,0), (0,1) i R². Man inför den nya basen genom att ange basvektorernas koordinater med avseende på den gamla basen.

Kjell Elfström

Svar:

Det är rätt. En avbildning F på ett vektorrum kallas lineär om F(sx + ty) = sFx + tFy för alla tal s och t och alla vektorer x och y. Eftersom R också är ett vektorrum med den vanliga additionen och multiplikationen så kan x och y vara tal.

Kjell Elfström

Svar:

Ordningen har ingen betydelse. Det kan vara en person som kastar ett mynt tio gånger i rad eller tio personer som kastar likvärdiga mynt samtidigt.

Kjell Elfström

Svar:

Länkskafferiet har en del användbara länkar. Du finner problemtexter till Skolornas matematiktävlings kvalificeringstävlingar på Problem och lösningar på nätet. Du kan själv söka vidare efter matematiktävling på internet. Jag tror inte det finns genvägar, men med hårt arbete och envishet kan man nå ganska långt.

Kjell Elfström

Svar:

Välj ut tre platser för de tre lika böckerna. Detta kan göras på (¹⁰₃) olika sätt. Placera in de tre böckerna på de platserna. Ordna sedan de återstående sju böckerna i den önskade ordningen och placera in dem på de tomma platserna. Böckerna kan ordnas på 7! sätt. Det totala antalet placeringar är alltså (¹⁰₃)·7!.

Kjell Elfström

Svar:

Betrakta den homogena lineära differensekvationen

Dess karakteristiska ekvation är

Det är också lätt att återskapa differensekvationen från den karakteristiska ekvationen. Det gäller att x_n = r ⁿ är en lösning till differensekvationen om och endast om t = r är en rot till den karakteristiska ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Se Hypercubes och Hypercube images.

Kjell Elfström

Svar:

Se 1 oktober 2003 22.28.23.

Kjell Elfström

Svar:

En funktion f är Riemannintegrerbar om och endast om det till varje epsilon > 0 finns en sträckvis konstant funktion g sådan att §^*|f - g| < epsilon, där §^* betecknar den Riemannska överintegralen.

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att f skall ligga i L^p, där p >= 1 är att det till varje epsilon > 0 finns en funktion g i C₀ sådan att §^*|f - g| ^p < epsilon ^p, där §^* nu betecknar den Lebesgueska överintegralen. Eftersom funktioner i C₀ kan approximeras med sträckvis konstanta funktioner så är uppgifterna i boken korrekta.

Kjell Elfström

Svar:

60·60·24·365 = 31536000.

Kjell Elfström

Svar:

Multiplicerar du båda led i den ursprungliga uttrycket med F₂^* får du F₁F₂^* = e^{-jw(mx + ny)}|F₂|². Tar du absolutbeloppet av båda led får du att |F₁F₂^*| = |F₂|² och du får det önskade resultatet efter division.

Kjell Elfström

Svar:

Att två mängder A och B är lika mäktiga betyder att det finns en bijektiv funktion f från den ena mängden till den andra. Om A = N och B = Z kan vi definiera f genom f(n) = k om n = 2k - 1 är udda och f(n) = -k om n = 2k är jämnt. Vi får då en uppräkning 0,1,-1,2,-2,3,-3,... av de hela talen. Detta visar att heltalen och de naturliga talen är "lika många". Även de rationella talen är lika många som de naturliga. Ett rationellt tal kan skrivas a/b, där a och b är relativt prima, dvs har största gemensamma delaren 1. Det är då lätt att räkna upp de positiva rationella talen. Börja med 1/1. Tag sedan alla där a + b = 3. 1/2 och 2/1. Sedan alla där summan är 4. 3/1, 1/3. (I 2/2 är a och b inte relativt prima.) I denna uppräkning kommer alla rationella positiva tal med. Man kan sedan räkna upp de negativa på samma sätt och fläta ihop uppräkningarna och sätta talet 0 först. Däremot finns det fler reella tal än naturliga. Se 25 september 1997 14.22.24.

Kjell Elfström

Svar:

Du skall avgöra för vilka värden på x, y och z som det finns en lösning (u,v) till ekvationssystemet. Adderar du 12 gånger den andra ekvationen till 7 gånger den tredje får du det ekvivalenta systemet

Man ser att systemet inte har någon lösning om 12y + 7z inte är noll eftersom man då får en motsägelse i den sista ekvationen. Om däremot 12y + 7z = 0 har systemet en lösning. Man kan ju lösa ut v ur den andra ekvationen och när det är gjort lösa ut u ur den första. (x,y,z) är därför koordinaterna för en punkt i planet om och endast om 12y + 7z = 0, vilket alltså är planets ekvation. Att x inte förekommer i ekvationen innebär att planet är parallellt med x-axeln.

Kjell Elfström

Svar:

Jag håller inte med om att olika människor skriver på olika sätt. Det stämmer inte med min erfarenhet. Att 5 är större än 3 kan man skriva som 5 > 3. Detta kan också uttryckas som att 3 är mindre än 5, 3 < 5. Det större talet skall stå vid den öppna änden av tecknet.

Kjell Elfström

Svar:

Se 13 februari 2002 14.02.10.

Kjell Elfström

Svar:

I matematiken brukar talen betraktas som odefinierade objekt vilkas egenskaper fastslås i axiom. Ett tal är ett heltal om det förekommer bland talen ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... är kanske tillräcklig information.

Kjell Elfström

Svar:

Det är formeln på slutet som är fel. Det skall vara S=5.1874-2*s.

Kjell Elfström

Svar:

Olikheten i ledningen kan skrivas ((n + 1)/n)ⁿ < e. Multiplicerar vi båda led med n + 1 får vi (n + 1)^n + 1/nⁿ < e(n + 1). Eftersom n ett godtyckligt positivt heltal gäller olikheten (k + 1)^k + 1/k^k < e(k + 1) för k = 1,2,3,...,n - 1. Multiplicera dessa n - 1 olikheter med varandra.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten att få träff i det första och bom i det andra försöket är p(1 - p). Det är sannolikheten för att få bom i det första och träff i det andra försöket också. Adderar du dessa lika stora sannolikheter får du sannolikheten för att få precis en träff på två försök.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till att bokstaven skulle ha någon sådan betydelse.

Kjell Elfström

Svar:

Jo. Jag har rättat felet. Tack för hjälpen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kommer att avstå från att deltaga i denna tävling. (Åtminstone under oktober.)

Kjell Elfström

Svar:

^alog x = (ln x)/(ln a).

Kjell Elfström

Svar:

Lager k verkar innehålla (2k - 1)² block.

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 januari 2002 23.08.27.

Kjell Elfström

Svar:

Se 1 oktober 2003 14.50.17.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte att man kan uttrycka den allmänna summan med hjälp av en sluten formel. En liknande fast inte lika snabbt växande summa hittar du i 28 oktober 2002 10.06.14. Att beräkna värdet i det specifika fallet med 64 termer är naturligtvis i princip möjligt, men jag avstår från det.

Kjell Elfström

Svar:

Inom området finsansiell matematik studerar man bland annat prissättning av värdepapper med hjälp av matematiska metoder. Se t ex Financial mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är delvis en fysikfråga men att beräkna den maximala höjden exakt kan inte gå.

Kjell Elfström

Svar:

1. Påståendet är trivialt då n = 0. Antag att det är sant för ett visst värde på n. Då är

också delbart med 5.

2. Vore det rationellt kunde vi skriva 3^1/2 = a/b, där den största gemensamma delaren till heltalen a och b är 1. Genom att kvadrera båda led får vi 3b² = a². Eftersom 3 är ett primtal måste a delas av 3, dvs a = 3c. Detta ger att 3b² = 9c² så b² = 3c². Men nu följer det att 3 delar b och vi får motsägelsen att största gemensamma delaren till a och b är större än 1.

3 a) För varje sektor har vi k val. Det ger oss kⁿ val totalt enligt multiplikationsprincipen.

b) Om cirkeln har två fält kan vi välja k färger för det ena och sedan k - 1 för det andra (alla färger utom den vi valde till det första fältet). Det gör att a₂ = k(k - 1). Samma resonemang ger att a₃ = k(k - 1)(k - 2). Adderar du dessa får du att a₃ + a₂ = k(k - 1)² så påståendet är visat för n = 2. Antag att påståendet är visat för ett visst värde på n och betrakta en cirkel med n + 2 fält. Antag att fälten är numrerade med början på 1. Skär vi ut sektor n + 2 och töjer materialet något kan vi föra samman snitten och bilda en cirkel med n + 1 fält. I denna gränsar fält 1 och n  + 1 till varandra. I en tillåten färgning av (n + 2)-cirkeln är antingen fält 1 och n + 1 likafärgade eller olikfärgade. Är de olikfärgade har också (n + 1)-cirkeln fått en tillåten färgläggning. Varje tillåten (n + 1)-cirkel ger upphov till (k - 2)a_n + 1 tillåtna (n + 2)-cirklar eftersom vi kan färga fält n + 2 med vilken färg som helst utom med färgerna i fält 1 och n + 1. Om i stället fält 1 och n + 1 har samma färg kan vi ge fält n + 2 alla färger utom en, dvs k - 1 färger. Vi kan nu betrakta (n + 1)-cirkeln som en tillåten n-cirkel genom att föra samman fält 1 och n + 1 till ett fält (de har ju samma färg). På så sätt ger varje tillåten n-cirkel upphov till k - 1 tillåtna (n + 2)-cirklar, sammanlagt (k - 1)a_n. Antalet tillåtna (n + 2)-cirklar är därför a_n + 2 = (k - 2)a_n + 1 + (k - 1)a_n. Det följer att

och induktionsbeviset är klart.

Den homogena ekvationen a_n + 1 + a_n = 0 har lösningen a_n = C(-1)ⁿ. Man ser ganska lätt att en partikulärlösning till ekvationen är a_n = (k - 1)ⁿ. Den allänna lösningen är därför a_n = (k - 1)ⁿ + C(-1)ⁿ. Utnyttjar vi att a₂ = k(k - 1) får vi C = k - 1, varför a_n = (k - 1)ⁿ + (k - 1)(-1)ⁿ.

Kjell Elfström

Svar:

Se The Voronoi Web Site under Applications. Där finns en omfångsrik lista.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kan kanske anse det vara självklart att rektangelns sidor är axelparallella. Om (x,y,z) är koordinaterna för ett bashörn, där både x och y är positiva, så är volymen 2x·2y·(3 - z)/3. Vi skall alltså maximera funktionen f = xy(3 - z). Dess gradient är (y(3 - z),x(3 - z),-xy). Gradienten av funktionen i bivillkorets vänsterled är 2(x/9,y,z - 2). Enligt metoden med Lagranges multiplikatorer skall gradienterna vara proportionella. Eftersom x, y och (z - 3) alla är skilda från noll i en maximipunkt betyder detta att

Den första likheten ger att x² = 9y² och den andra att (3 - z)(2 - z) = y². Utnyttjar vi också att bivillkoret skall vara uppfyllt får vi

Lös ut z ur denna ekvation och bestäm sedan x och y.

Kjell Elfström

Svar:

Det kanske Gunnar kan acceptera. Jag vet inte om han tillåter sig att använda .5 som ett skrivsätt för 0,5. Tack.

Kjell Elfström

Svar:

Använd cosinussatsen.

Kjell Elfström

Svar:

Egentligen går f(x) mot -oo då x --> oo. Man kan säga att det obegränsade området har oändligt stor area. (En del obegränsade områden har ändligt stor area.) Den exakta innebörden är att om A(R) är arean som begränsas av x-axeln, där x >= 1, funktionsgrafen och linjen x = R så gäller det att A(R) --> oo då R --> oo. Jag skulle inte uttrycka förhållandet som du föreslår. Det är rätt att säga att hela områdets area är oändlig och att säga att det begränsade områdets area går mot oändligheten då den bortre begränsningen går mot oändligheten.

Kjell Elfström

Svar:

Det heter romb på svenska. Det är en fyrhörning i vilken alla sidor är lika långa.

Kjell Elfström

Svar:

Om r_M och r_F är motorremskivans respektive fläktremskivans radie och v_M och v_F motsvarande varvtal så gäller det att r_Fv_v = r_Mv_M. Det sökta varvtalet blir 63·2820/71 rpm om jag tolkar dy rätt.

Kjell Elfström

Svar:

Jag sökte efter Fast mental arithmetic och hittade några boktitlar på Amazon.com. Jag har inte läst några av dessa böcker.

Kjell Elfström

Svar:

Diofantos, Fibonacci, Fermat och Gauss har alla gjort betydelsefulla insatser. Du kan läsa om dem på The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Svar:

Båda uträkningarna är felaktiga. Kvadreringsregeln ger att y = (5x)² -2·1·5x + 1² = 25x² - 10x + 1. Derivatan blir y' = 50x - 10 och den är noll då x = 1/5. I den andra räkningen glömmer du inre derivatan, men det påverkar inte svaret. Använder man kedjeregeln får man att derivatan är 2(5x - 1)·5 = 10(5x - 1).

Kjell Elfström

Svar:

Någon rak generell formel går inte att finna. Man är för nästan alla n-värden tvungen att lösa ekvationen numeriskt. Vill man snabba upp inringningsproceduren kan man använda följande iterativa metod. Gissa ett värde r₀. Beräkna sedan successivt nya värden genom

Formeln är Newton-Raphsons metod tillämpad på problemet.

Kjell Elfström

Svar:

Det är snarare en filosofisk än matematisk fråga. Om man anser att talen är en mänsklig uppfinning så är svaret nej. Finns talen oberoende av oss så är svaret ja. Om det inte gäller talet utan siffran 0 svarar jag nekande. Se A history of Zero.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte hittat något om detta. Se dock Palindromic Numbers in other bases.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till begreppen bundna och fria vektorer.

Kjell Elfström

Svar:

Räkningarna blir desamma oavsett vilka riktade sträckor med vissa längder som basvektorerna representeras av. Vilka sträckor som du väljer beror på tillämpningssituationen.

Kjell Elfström

                                  ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                                + ? ? ? ? ? ? ? ? ?
                                 _________________
                                = 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Svar:

Genom att flytta runt siffrorna litet fick jag 261739485 + 725914836 = 987654321. Jag kan inte enge någon särskild metod.

Kjell Elfström

Svar:

Välj x så att dess primfaktorisering innehåller varje primtal ett antal gånger som är delbart med 3. Då kommer x² att vara ett sådant tal. Om t ex x = 2³·5³ så är x² = 2⁶·5⁶ = (2²·5²)³. Att finna en algoritm som räknar upp dessa tal i storleksordning är inte enkelt.

Kjell Elfström

Svar:

Jag får det till inte mindre än sju femmor!

Kjell Elfström

Svar:

Om 9,7 är ett korrekt avrundat värde har detta två gällande (eller signifikanta) siffror och en korrekt decimal. 4,69 har tre gällande siffror och två korrekta decimaler, 1,234·10⁵ = 1234·10² har 4 gällande siffror och 0 korrekta decimaler. Om A är ett närmevärde till a säges A ha k korrekta decimaler om |A - a| <= 0,5·10^-k. Skrivs närmevärdet som ett heltal gånger en tiopotens är antalet signifikanta siffror lika med antalet siffror i heltalet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att problemet är att partikeln skall förflytta sig med en viss hastighet. Du har då behov av att veta vilken punkt på parabeln som ligger på ett visst avstånd (utefter parabeln) från en annan punkt. Låt oss för enkelhets skull antaga att parabelns ekvation är y = x². Vi söker avståndet mellan de två punkterna (a,a²) och (x,x²) och det är

Om a är känt så vill du bestämma x så att avståndet är d. Då skall du lösa ekvationen

Den kan inte lösas exakt. Sätt f(x) = x(1 + 4x²)^1/2/ 2 + ln(2x + (1 + 4x²)^1/2)/4. Ekvationen kan lösas numeriskt med hjälp av Newton-Raphsons metod. Välj en första grov approximation x₀ och bestäm sedan successivt allt bättre närmevärden x_n med hjälp av formeln

Antag nu att parabelns ekvation är y = Ax² + Bx + C. Kvadratkompletter du så får du

Du kan använda ekvationen ovan med smärre modifikationer. Antag som innan att avståendet skall vara d och att x-koordinaterna för punkterna är a och x. Byt ut d i ekvationen mot d/A och a mot a + B/(2A). Lös sedan ekvationen och drag B/(2A) från lösningen för att få punktens x-koordinat.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns 100·100 = 10000 möjliga utfall. Om den röda visar 1 finns 21 gynnsamma värden för den blå. Visar den röda 2 finns 22 gynnsamma värden för den blå osv. upp till att den röda visar 80. Visar den röda mer än 80 är alla utfall för den blå gynnsamma. Antalet gynnsamma utfall blir

Sannolikheten är därför 684/1000 = 171/250.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström