Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar november 2002

Svar:

Formeln för partiell integration lyder

H är här en primitiv funktion till h. Den högra integralen är också integralen av en produkt men har man tur så är den enklare än den ursprungliga.

Kjell Elfström

Svar:

Arean är A = pi r². Vi får att

Kjell Elfström

Svar:

Medeltemperaturen blir ytintegralen av T över sfären dividerad med sfärens area. Ytintegralen är

på grund av symmetri. Integralen kan nu beräknas genom att du parametriserar sfären, t ex rymdpolära koordinater.

Kjell Elfström

Svar:

Man har helt enkelt definierat e^a + bi som e^a(cos b + i sin b). Anledningen till att göra denna sällsamma definition är att de trigonometriska lagarna leder till att de vanliga potenslagarna fortsätter att gälla också för potenser definerade på detta sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Se Eric Weisstein's World od Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga utan en ekonomisk men svaret är ja.

Kjell Elfström

Svar:

De enda positiva rötterna är 2 och 4. Logaritmen som man definierar den i envariabelanalysen är bara definierad för positiva reella tal. I komplex analys definieras logaritmer för godtyckliga komplexa tal skilda från noll.

Kjell Elfström

Svar:

En stokastisk variabel är enkelt uttryckt en slumpmässig talvariabel. Exempel på stokastiska variabler är antalet ögon vid kast med en tärning, antalet kast som ger krona vid 10 kast med ett mynt, antalet defekta glödlampor i en kartong, längden av ett telefonsamtal och längden hos människor. Olika stokastiska variabler har fördelningar av olika slag. Antalet ögon vid kast med en tärning är rektangelfördelad; alla utfallen är lika sannolika. Antalet kronor vid myntkastning och antalet defekta glödlampor är binomialfördelade, längden av telefonsamtalet är exponentialfördelad och längden av människor normalfördelad. En stokastisk variabel som antar värdena 1,2,3,...,n är binomialfördelad om sannolikheten för att den skall ha värdet k är (ⁿ_k)p^kq^n - k, där 0 <= p <= 1 och q = 1 - p. (ⁿ_k) definieras som n!/(k!(n - k)!), där k! = 1·2·3^...(k - 1)k om k > 0 och 0! = 1. (ⁿ_k) är antalet sätt att ur en mängd med n element välja k element. Man bryr sig härvid inte om i vilken ordning elementen väljs, bara vilka de är. Antag att sannolikheten att myntet visar krona är p. Då är sannolikheten att det visar klave q = 1 - p. Att vid en kastserie med n kast få krona i k förutbestämda kast och klave i de återstående n - k kasten är p^kq^n - k. Att får krona i precis k kast, vilka som helst, är (ⁿ_k)p^kq^n - k eftersom de k kronokasten kan väljas på (ⁿ_k) sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Om man bestämmer sig för att få klave i tre förutbestämda kast och krona i det som är kvar blir sannolikheten (1/2)⁴. Eftersom kronkastet kan väljas på 4 sätt blir sannolikheten 4·(1/2)⁴ = 1/4.

Svar:

Om sidorna från början var a och b så var arean ab. Efter att rektangeln vuxit är sidorna 2a och (3/2)b och dess area är 40 = 2a·(3/2)b = 3ab. Från början var arean alltså 40/3.

Kjell Elfström

Svar:

Georg Cantor studerade mängder som särskilda matematiska objekt. Matematiker har väl länge använt mängder, t ex mängden av heltal. Det fanns dock en ovilja mot att betrakta dem som matematiska objekt, särskilt oändliga mängder. Cantor upptäckte t ex att det fanns oändliga mängder av olika storlek. Många matematiker var ändå skeptiska mot mängdläran i början. Med mängdlärans intåg i analysen är den numera en rumsren del av matematiken. Så gott som all matematik kan uttryckas i termer av mängdlära. T ex kan mängden av heltal definieras som mängden av vissa mängder, därefter kan de rationella, reella och komplexa talen defineras på liknande sätt.

Kjell Elfström

Svar:

a) Sätt t = sin x. Du får integralen § dt/(3 + t²) = 3^-1/2 arctan(3^-1/2t) + C.

b) Sätt t = ln(3x + 1).

Kjell Elfström

Svar:

Vi skall alltså beräkna Z (mod 10⁸). Eftersom 13 och 10⁸ är relativt prima så gäller det att 13^fi(108) = 1 (mod 10⁸), där fi är Eulers fi-funktion. Vi har att fi(10⁸) = fi(2⁸5⁸) = (2 - 1)2⁷·(5 - 1)5⁷ = 4·10⁷. Vi har emellertid litet tur. Det visar sig att ordningen av 13 (mod 10⁸⁾ är mindre, nämligen 5·10⁶. Därför är 13¹⁰⁸ = 1 (mod 10⁸) eftersom 5·10⁶ delar 10⁸. Om m = n (mod 10⁸) är därför 13^m = 13ⁿ (mod 10⁸). Börja med att konstatera att 13¹³ = 6592253 (mod 10⁸). Det ger att 13¹³¹³ = 13^6592253 = 88549053 (mod 10⁸). Efter ytterligare några iterationer får man resten 55045053 två gånger i följd, vilket medför att alla de efterföljande resterna också blir 55045053, vilket är svaret.

Kjell Elfström

Svar:

Du får skriva vad du vill men 0/0 är odefinierat. Det är olämpligt ty man kan förledas att tro att gränsvärden av funktioner på formen f(x)/g(x) där f(x) och g(x) båda går mot 0 är 1, vilket ofta är felaktigt.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan ställdes den 26 november 2002 16.46.53. Jag börjar med e-uppgiften.

e) Talföljden definieras rekursivt genom a₁ = c, a_n + 1 = c^a_n. Om den är växande och uppåt begränsad har den ett gränsvärde A. Vi visar att a_n <= e med induktion. Eftersom e^1/e <= e så är a₁ <= e. Antag att a_n <= e. Då är a_n + 1 = c^a_n <= c^e <= (e^1/e)^e = e.

För att den visa att den är växande börjar vi med att konstatera att funktionen f(x) = c^x är växande för sådana värden på c. Vi kan nu använda induktion för att visa att a_n <= a_n + 1. Eftersom a₁ = c och a₂ = c^c och c >= 1 så är a₁ <= a₂. Antag att a_n <= a_n + 1. Då är a_n + 1 = f(a_n) <= f(a_n + 1) = a_n + 2.

Talföljden har alltså ett gränsvärde A och eftersom a_n <= e så är A <= e. Enligt vad som tidigare visats är x = A en rot till ekvationen c^x = x. I de fall ekvationen har mer än en rot så är en större än e och en mindre än e. A måste alltså vara den mindre roten. Därför är enligt vad som visats tidigare A = e^-W(-ln c).

d) Sätt f(x) = x^1/x - c (se svaret på a-uppgiften). Om du vill svara med ett värde x med k decimaler och hävda att de är korrekta behöver du bara kontrollera att f(x - (1/2)10^-k) och f(x + (1/2)10^-k) har olika tecken och att x + (1/2)10^-k <= e.

Kjell Elfström

Svar:

Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen. I varje bevis av medelvärdessatsen jag har sett börjar man med att bevisa Rolles sats och visar sedan att medelvärdessatsen följer av Rolles sats. I din kursbok görs det tydligen på något annat sätt. Byt ut "Rolles sats" mot "medelvärdessatsen" i mitt förra svar.

Kjell Elfström

Svar:

I b-uppgiften förutsatte jag att du undersökt kurvan z = we^w. Gör det genom att derivera och undersöka gränsvärden. Du finner då t ex att den har ett minimum -1/e för z = -1. Du ser också att för vissa värden på z så finns det två rötter till ekvationen we^w = z, en som är mindre än -1 och en som är större än -1. Jag förutsätter att W(z) är det större värdet för sådana värden på z. Jag har svårt att se att c-uppgiften kan förklaras tydligare.

Kjell Elfström

Svar:

En primitiv funktion till högerledet är -v₀ ln|M + m| - gt. Jag förutsätter att v₀, M och g är konstanter. Därför är V = -v₀ ln|M + m| - gt + C, där C är en konstant.

Kjell Elfström

Svar:

Vad är frågan?

Kjell Elfström

Svar:

Valvkurvan är en parabel med maximum i x = 0. Antag att dörren upptar intervallet [-x,x]. Då är dess bredd 2x och dess höjd 3(1 - x²). Arean är därför 6x(1 - x²). Derivera denna funktion och gör teckenstudium av derivatan för att bestämma maximum.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att tankens längd ärL, att dess radie är r och att a är avståndet från toppen ner till ytan. Då är volymen

där t = (r - a)/r. För en härledning, se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns det upplysningar om hos Skolverket.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan bara ge dig en rekursionsformel. Antag att n stycken s-sidiga tärningar kastas och att vi bortser från de a lägsta. Beteckna med E(s,n,a) väntevärdet av de kvarvarande n - a tärningarnas summa. Då är naturligtvis E(1,n,a) = n - a. Antag att alla täningar utom k stycken visar värdet s. Om k <= a så blir summan (n - a)s. Om a < k <= n så blir väntevärdet (n - k)s + E(s - 1,k,a). Det finns (ⁿ_k)s^k sätt att få precis k stycken tärningar som inte visar s. Därför blir

Kjell Elfström

Svar:

Tittar man på en viss burk får den rätt lapp i genomsnitt i 1/9 av fallen. Eftersom det är nio burkar blir väntevärdet 9·(1/9) = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan inte lösa den ekvationen exakt.

Kjell Elfström

Svar:

När de fysikaliska antagandena är gjorda faller nog de matematiska formlerna ut. Einstein inspirerades av samtida fysiker och matematiker. Michelson-Morleys experiment visade att ljusets hastighet var oberoende av referenssystem och Hendrik Lorentz and George FitzGerald postulerade att kroppar som rör sig verkar vara kortare. Den matematiska formeln kallas Lorentz-FitzGerald contraction. Se också t ex Relativity.

Kjell Elfström

Svar:

Jag gissar att integralen är §₀^oo((1 + x^1/2)/(x² + x^1/2))dx. Sätt f(x) = (1 + x^1/2)/(x² + x^1/2). För små x uppför sig täljaren som 1 och nämnaren som x^1/2. Sätt g(x) = 1/x^1/2. Då är §₀¹g(x) dx konvergent och f(x)/g(x) --> 1 > 0 då x --> 0⁺. Det visar enligt jämförelsesatsen att §₀¹f(x) dx är konvergent. Visa att §₁^oof(x) dx är konvergent genom att jämföra med g(x) = x^1/2/x² = 1/x^3/2.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att ängens radie är 1 och låt Q vara ängens medelpunkt. Antag att repets längd är r och att tjuren är bunden i punkten R. Inför vinklarna a och b enligt figuren.

Triangel RQS är likbent, varför r = 2cos a och b = pi - 2a. Arean av triangeln RQS är därför enligt areasatsen A₁ = (r/2)sin a = cos a sin a. Arean av cirkelsektorn QRS är A₂ = b/2 = pi/2 - a och arean av cirkelsektorn RPS är A₃ = ar²/2 = 2a cos²a. I summan A₂ + A₃ ingår arean A₁ två gånger. Arean av området PRS är därför A₂ + A₃ - A₁, varför arean av det område tjuren kan beta är

Sätter vi c = 2a blir

Att den betbara arean är halva ängens area innebär att A = pi/2, vilket ger ekvationen

Löser man denna ekvation numeriskt får man c = 1,905695729, vilket ger att r = 1,158728473.

Kjell Elfström

Svar:

Det förra inlägget kom den 27 november 2002 00.09.27.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kände inte till den försvenskningen av faltning. Tack för upplysningarna.

Kjell Elfström

f´(x)=lim(h->0) f(x+h)-f(x)
      ____________________
               h
(c-c)/h=0

Svar:

Eftersom f(x) = c för alla x så måste täljaren vara 0 för varje värde på h skilt från noll. Därför är differenskvoten noll för alla h skilda från noll och därmed är gränsvärdet då h --> 0 också noll.

Kjell Elfström

Svar:

Det tror jag ingen vet.

Kjell Elfström

Svar:

Det belopp du angivit är det som du har x - 1 år efter den första insättningen. Ekvationen kan skrivas

Det sista steget fick vi genom att logaritmera båda led. Ett närmevärde är x = 14.

Kjell Elfström

Svar:

Likheterna innebär att a_k = A för k = 1,2,...,n, vilket betyder att alla elementen är lika med A.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har tyvärr inte tillräcklig erfarenhet av tekniska beräkningar av detta slag.

Kjell Elfström

Svar:

a) Ekvationen c^x = x är ekvivalent med ekvationen f(x) = x^1/x = c, så dessa ekvationer har lika många positiva rötter. Derivatan är f '(x) = x^1/x - 2(1 - ln x). Funktionen har ett maximum e^1/e för x = e. Skriver man f(x) = e^(ln x)/x är det också enkelt att se att f(x) --> 0 då x --> 0 och att f(x) --> 1 då x --> oo. Ekvationen har ingen rot om c <= 0 eller c > e^1/e, en rot om c = e^1/e eller 0 < c <= 1 och två rötter om 1 < c < e^1/e.

b) Det gäller att 0 < c <= e^1/e <==> -ln c >= -1/e. Ekvationen we^w = -ln c har alltså minst en rot w då 0 < c <= e^1/e. Den rot w som uppfyller att w >= -1 är W(-ln c), där W är Lamberts W-funktion. Därför är x = e^-W(-ln c) <= e. Ekvationen c^x = x är ekvivalent med (ln x)/x = ln c. Sätter vi in x = e^-W(-ln c) i vänsterledet får vi -W(-ln c)e^W(-ln c) och detta är --ln c = ln c enligt definitionen av W. Det betyder att x är den minsta roten till ekvationen c^x = x.

c) Om a_n har ett gränsvärde x då n --> oo så gäller det att a_n + 1 = c^a_n --> c^x då n --> oo. Eftersom a_n + 1 --> x då n --> oo så är c^x = x. Om c > e^1/e så har ekvationen c^x = x ingen rot och därför kan inte gränsvärdet existera.

Kjell Elfström

Svar:

För ett system av differentialekvationer

innebär ett fasporträtt att man ritar ut punkterna (x(t),y(t)) i ett xy-system då t varierar. Man kan i ett fasporträtt inte utläsa hur x och y beror på t, bara hur de beror på varandra. Låt nu y''(t) + ay'(t) + by(t) = h(t) vara en andra ordningens differentialekvation. Sätter vi z(t) = y'(t) kan den skrivas om som ett system

Att göra ett fasporträtt för en andra ordningens differentialekvation innebär att rita upp hur z (dvs y') beror på y.

Kjell Elfström

Svar:

Båda går nog bra. Själv använder jag ofta uppskatta, t ex "jag uppskattar att talet är...".

Kjell Elfström

Svar:

Se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström

Svar:

Medelkraften är Delta(mv)/Delta t. Eftersom lägesenergin i utgångsläget och rörelseenergin vid studsögonblicket är lika så är mv²/2 = mgh, vilket ger att hastigheten när bollen slår i golvet är (2gh)^1/2 = (64g)^1/2 = 8g^1/2. Hastigheten som bollen har när den studsar upp fås på samma sätt och är 6g^1/2 men med omvänt tecken. Därför är Delta(mv) = 8mg^1/2 + 6mg^1/2 = 14·0,35·9,82^1/2. Dividera med Delta t = 12,5·10^-3.

Kjell Elfström

Svar:

Se 26 november 2002 13.04.42.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, det går att bevisa med induktion. Förutsättningen är att en blå tomte går över så snart han vet att han är blå och att en tomte som vet att han är röd eller inte vet sin färg avstår från att gå över. Påståendet är att om det finns n blå tomtar så tar det n dagar innan alla blå tomtar vet sin färg. Vi bevisar påståndet först för n = 1. Men då är det självklart eftersom den blå tomten vet att det finns minst en blå tomte och alla tomtar han ser är röda. Han kan gå över. Antag att påståendet är sant för n = p och att det finns p + 1 blå tomtar. Varje blå tomte vet att det finns p eller p + 1 blå tomtar. Om han själv är blå finns det p  + 1 blå tomtar. Den (p + 1):a dagen vet en blå tomte att han är blå ty hade han inte varit det skulle det funnits p blå tomtar och de skulle ha gått över dagen före.

Kjell Elfström

Svar:

Derivera implicit med avseende på x. Vi får

Sätt in de kända värdena på x och y och lös ut y'. Ekvationen blir y - 1/2 = y'(x + 1).

Kjell Elfström

Svar:

Det är svårt att beskriva hur problemlösandet går till. Många problem får nog kallas rutinproblem och det gäller gymnasie- och grundskoleproblemen samt problemen hämtade från de inledande universitetskurserna. Erfarenhet är ofta en god hjälp. Med erfarenheten kommer förmodligen också en förmåga att se vad i ett problem som är relevant. En del svåra problem innehåller kanske beståndsdelar från problem man sett tidigare. Att ett problem känns svårt kan bero på att lösningen kräver flera tankesteg som man måste kombinera eller att det är hämtat från en del av matematiken som man inte känner till så väl. Många matematiska problem kan bara lösas av specialister inom vissa områden av matematiken och för att svara på frågor om sådana problem får man gå till litteraturen.

Kjell Elfström

Svar:

Vi förutsätter att det är en rak cirkulär kon. Låt r vara avståndet från toppen till kanten mätt utefter sidan och p bottenomkretsen. (Känner man höjden och radien kan man lätt räkna ut r och p.) Skär man upp konen med ett rakt snitt från toppen till bottnen så att snittet bildar rät vinkel med bottnen så får man en cirkelsektor med radien r och bågen p. Eftersom cirkeln har omkretsen 2pi r är sektorns area p/(2pi r) av cirkelns, dvs (p/(2pi r))pi r² = pr/2. Sektorns area är lika stor som konens.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet element per mol är Avogadros konstant som är 6,02214·10²³. Med element avses atomer eller molekyler. 1 mol kväveatomer N innehåller 6,02214·10²³ atomer N medan 1 mol kvävemolekyler N² innehåller 6,02214·10²³ molekyler N², alltså dubbelt så många atomer N.

Kjell Elfström

Svar:

Låt y(t) och z(t) vara mängden resp. koncentrationen förorening i rummet vid tiden t. Då är y(0) = 60. Förorening strömmar ut med hastigheten 5z mg/min och in med hastigheten 0,5·4 = 2 mg/min. Detta ger differentialekvationen y' = 2 - 5z = 2 - 5y/60 = 2 - y/12, som har lösningen y = 6 + 54e^-x/12.

Kjell Elfström

Svar:

Om a² + b² = 1 så ligger punkten (a,b) på enhetscirkeln. Därför finns ett tal (vinkel) v, sådant att a = cos v och b = sin v. Då är

Om inte a² + b² = 1 så kan vi sätta C = (a² + b²)^1/2. Om A = a/C och B = b/C så är A ² + B ² = a²/C ² + b²/C ² = (a² + b²)/C ² = 1 och

där cos v = A och sin v = B.

Om b = 3/2 och a = -3^1/2/2 så är C = (a² + b²)^1/2 = (1/2)(3² + 3)^1/2 = (1/2)·12^1/2 = 3^1/2, A = -1/2 och B = 3^1/2/2. En vinkel v som uppfyller cos v = -1/2 och sin v = 3^1/2/2 är v = 2pi/3. Vi kan alltså skriva

f(x) = 0 då x + 2pi/3 = n pi, där n är ett heltal.

Kjell Elfström

Svar:

Likheterna är egentligen likheter mellan serier på formen summa_k = n^ooa_k·10^-k, där 0 <= a_k < 10, och operationerna är tillåtna på sådana serier.

Kjell Elfström

Svar:

Använd regeln a(b + c) = ab + ac.

Kjell Elfström

Svar:

Att man inte kan vika ett papper hur många gånger som helst måste bero på att man inte kan vika pappersbuntar vars tjocklek överstiger en viss gräns. Om man kan vika pappersbuntar på en tjocklek upp till d men inte däröver så går det att vika papperet ett i förväg bestämt antal gånger n bara papperet är tillräckligt tunt. Om papperets tjocklek är x så är tjockleken efter n vikningar 2ⁿx. Om x < 2^-nd skulle det gå att vika det n gånger.

Kjell Elfström

Svar:

Likheten är ekvivalent med

Vänsterledet är

Kjell Elfström

Svar:

En potens aⁿ, där n är ett positivt heltal är en produkt med n faktorer a. För positiva heltal m och n gäller vissa potenslagar, bl a a^maⁿ = a^m + n. När man sedan skall definiera potenser för andra exponenter än positiva heltal så vill man att potenslagarna skall fortsätta att gälla även för dessa exponenter. Det betyder att man vill att aⁿa⁰ = a^n + 0 = aⁿ. Det enda möjliga sättet att definera a⁰ är därför som 1.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen för tangenten till kurvan y = f(x) i punkten (a,f(a)) är y - f(a) = f '(a)(x - a). I detta fall y - (a² + 2) = 2a(x - a). (x,y) = (0,0) ligger på linjen om och endast om -(a² + 2) = 2a(-a), dvs a = ±2^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, det tänker jag göra.

Kjell Elfström

Svar:

20 är väl inte ett tal skrivet i det binära systemet. Om jag förstår det rätt borde det vara 100 (som är 4 i tiosystemet). 100 går ingen gång i 10. Lägg till en nolla till 10 precis som vid vanlig division. 100 går 1 gång i 100. Resten är 0. Divisionen är klar och kvoten är 0,1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till vilka behov det finns av matematik i tandläkarutbildningen.

Kjell Elfström

Svar:

Du förutsätter att omgivningens temperatur är 0 grader. I så fall är det samma lösningsmetod som den jag använde men med skillnaden att du sätter t = 0 vid dödsögonblicket. Svaret blir detsamma som i följdfrågan 20 november 2002 15.31.02.

Kjell Elfström

Svar:

1) log₂16 = log₂2⁴ = 4.
2) log₄(1/2) = log₄4^-1/2 = -1/2.
3) lg 25 + lg 4 = lg(25·4) = lg 10² = 2.
4) log₅125 = log₅5³ = 3.
5) Använd att (log_ab)(log_bc) = log_ac så får du att (log₅2)(log₂25) = log₅25 = 2.

Kjell Elfström

Svar:

D(cos x) = sin x. D(-ln(3x²)) = -6x(1/(3x²)) = -2/x. D(15x) = 15. Addera dessa derivator.

Kjell Elfström

Svar:

Ja och det är inte särskilt svårt om man inte ställer några krav på funktionen. Anmärkningsvärt är att man kan hitta en kontinuerlig funktion som inte är deriverbar någonstans. Definiera funktionen f₀ på intervallet [0,1] genom f₀(x) = x om 0 <= x <= 1/2 och f₀(x) = 1 - x då 1/2 < x <= 1. Fortsätt f₀ periodiskt så att den får perioden 1. Då är f₀ en sågtandsfunktion med hörn i alla halvpunkter n/2, där n är ett heltal. I dessa punkter är f₀ inte deriverbar. Definiera sedan f₁ genom f₁(x) = (1/2)f₀(2x). Denna funktion har hörn i alla fjärdedelspunkter men topparna är hälften så höga som topparna hos f₀. Definiera f_k genom f_k(x) = 2^-kf₀(2^kx) och sätt T(x) = summa_k = 0^oo f_k(x). Då kan man visa att T är kontinuerlig men inte deriverbar någonstans.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan ju pröva Svenska Matematiklänkar eller söka efter matematikprogram eller matteprogram.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skulle tro att det är en funktion som är sin(x_k) för vissa punkter x_k och som är konstant mellan dessa punkter.

Kjell Elfström

Svar:

[Viskositetsmätning]

Ekvationen är en andra ordningens lineär homogen differentialekvation, vars karakteristiska ekvation är t² + (P/m)t + k/m = 0. Den har rötterna t = -a ± bi, där a = P/(2m) och b = W = (P ² - 4mk)^1/2/(2m), varför lösningarna till differentialekvationen ges av

Om x₁ och x₂ är tidpunkterna för två maxvärden i följd så är bx₂ - bx₁ = 2pi, varför x₂ - x₁ = 2pi/b.

[Airys ekvation]

Ansätt y = summa_k = 0^ooa_kx^k. Då är

och

Vi ser direkt att a_2 + 3k = 0. a₀ = y(0) och a₁ = y'(0) kan väljas fritt. Sätter vi a₀ = 1 och a₁ = 0 får vi en lösning och om vi sätter a₀ = 0 och a₁ = 1 får vi en annan och de är lineärt oberoende. Bestäm en rekursionsformel ur vilken du kan lösa ut koefficienterna.

Kjell Elfström

Svar:

Sök efter "0^0" från vår söksida.

Kjell Elfström

Svar:

Den riktade sträckan från medelpunkten till hörnet representeras av 2i - (1 + i) = -1 + i. Roterar man denna vektor vinklarna pi/3 och -pi/3 får man de riktade sträckorna e^pi i/3(-1 + i) resp. e^-pi i/3(-1 + i). Addera dessa vektorer till medelpunkten 1 + i så får du hörnen.

Kjell Elfström

Svar:

Lamberts W-funktion definieras som inversen till funktionen f(w) = we^w, w >= -1. Eftersom W(x)e^W(x) = x så är W 'e^W + WW 'e^W = 1, vilket ger att W ' = e^-W/(1 + W).

Kjell Elfström

Visa att ¢²©ú   cos((2k-1)x) = sin(2nx)/2sinx,   n=1,2,3....
         k=1                 

Svar:

Det verkar som en del tecken du skickat inte förstås av scriptet. Jag gissar att det skall stå summa_k = 1^oocos((2k - 1)x) = sin(2nx)/(2sin x). Då n = 1 är vänsterledet cos x och högerledet sin(2x)/(2sin x) = 2sin x cos x/(2sin x) = cos x. Antag att VL_n = HL_n. Då är

medan

vilket visar att VL_n + 1 = HL_n + 1.

Kjell Elfström

Svar:

Logaritmera båda led.

Kjell Elfström

Svar:

Använder vi att log a + log b = log ab så blir uttrycket

där den sista likheten följer av trigonometriska ettan.

Kjell Elfström

Svar:

Det största värdet av cos(x + v) är 1 då 0 <= x <= 2pi. Det följer av att funktionen cos har perioden 2pi och att dess största värde är 1. Eftersom A > 0 så är A det största värdet av funktionen i frågan, vilket ger att A = 3. Eftersom cos(pi/4 + v) = 1 bara då pi/4 + v = 2pi n, där n är ett heltal, så är v = 2pi n - pi/4. Det enda värdet på n för vilket -pi <= v <= pi är n = 0 så v = -pi/4.

Kjell Elfström

Svar:

Se 5 mars 2001 16.50.40.

Kjell Elfström

Svar:

Ljusintensiteten är y = (k sin t)/d ², där t är vinkeln, d avståndet och k en positiv konstant. Låt x vara det lodräta avståndet från bordsytan till ljuskällan. Då är enligt Pythagoras sats d ² = a² + x² och sin t = x/d. Det ger att y = f(x) = kx/(a² + x²)^3/2. Derivatan f '(x) är noll då x = a/2^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att det finns två punkter x₁ och x₂, sådana att 0 <= x₁ < x₂ <= 1 och f(x₁) = f(x₂) = 0. Då finns det enligt Rolles sats tillämpad på intervallet [x₁,x₂] en punkt x₃, sådan att x₁ < x₃ < x₂ och f '(x₃) = 0. Enligt förutsättningarna är därför |f(x₃)| > 1. Låt x₄ vara den av punkterna x₁ och x₂ som ligger närmast x₃. Då är |x₃ - x₄| <= 1/2 eftersom längden av [0,1] är 1. Vi tillämpar medelvärdessatsen på intervallet med ändpunkterna x₃ och x₄. Det finns då ett tal x₅ mellan x₃ och x₄, sådant att

vilket är en motsägelse.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns funktioner som är kontinuerliga i R men inte är deriverbara i någon punkt. Även om vi förutsätter att derivatan existerar överallt behöver derivatan inte vara styckvis kontinuerlig. Volterra visade 1881 att det finns en funktion som är deriverbar i [0,1] och har en begränsad derivata som inte ens är Riemannintegrerbar.

Kjell Elfström

Svar:

Arean av en cirkel med radien r är pi r². pi är en konstant som är ungefär lika med 3,14.

Kjell Elfström

Svar:

121.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte svara på hur många olika sätt det finns. Se Quadratic, cubic and quartic equations.

Kjell Elfström

Svar:

Medelhastigheten är (s(5) - s(0))/5 = 10. Hastigheten är s'(t) = 20 - 4t. Likhet gäller då t = 2,5.

Kjell Elfström

Svar:

Om man antar att antalet tittare är proportionellt mot antalet sålda lotter så bör antalet tittare ha varit (37/59)·1,98 miljoner i veckan våren 2002. 59 - 37 miljoner färre lotter såldes. Intäkten 1996 var 25·59 miljoner kronor, i våras var den 40·37 miljoner kronor. Om man antar att utgifterna var ungefär desamma så är intäkternas förändring ett bra mått på lönsamhetens förändring.

Kjell Elfström

Svar:

Jag hoppas Eva läser detta.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar konstigt att visa att antalet enligt den ena modellen växer snabbare än antalet enligt den andra med induktion. Däremot kan man visa att antalet enligt den ena modellen är större än antalet enligt den andra med induktion. Med tanke på den sista frågan kan man kanske förmoda att antalen är 1,2,3,5,8,13,..., dvs a_n + 2 = a_n + 1 + a_n, a₁ = 1, a₂ = 2. Modellen bygger på att plantorna inte producerar några avkommor året efter sin tillkomst men att de sedan producerar en avkomma per år. Vi bevisar att n <= a_n <= 2^n - 1 då n >= 1. Då n = 1 eller n = 2 gäller likhet så då är olikheterna bevisade. Antag att påståendet är sant för n = p och n = p + 1. Då är a_p + 2 = a_p + 1 + a_p >= p + 1 + p >= p + 2 eftersom p >= 1. Vi får på samma sätt att a_p + 2 <= 2^p + 2^p - 1 <= 2^p + 1.

Kjell Elfström

Svar:

När man skriver 2000 i tresystemet anger man heltal a₀,a₁,...,a_n, sådana att 0 <= a_k < 3 och

Alla termer utom eventuellt den sista i högerledet är delbara med 3. Det betyder att den är resten vid division av 2000 med 3. Dividerar vi 2000 med 3 får vi kvoten 666 och resten 2, så 2000 = 666·3 + 2. Vi kan sedan gå vidare och göra samma sak med 666. Nu blir kvoten 222 och resten 0. Vi har nu 2000 = (222·3 + 0)·3 + 2. Vi fortsätter och dividerar 222 med 3. Kvot 74, rest 0.

Fortsätter vi får vi 74 = 24·3 + 2.

Dividerar vi även 2 med 3 finner vi att kvoten blir 0 och resten 2. Vi är klara.

Att omvandla från tresystemet till tiosystemet är enklare. Säg att vi vill skriva 2101_tre i tiosystemet. Då är

Kjell Elfström

Svar:

ger att u·v = -4.

Kjell Elfström

Svar:

Det går naturligtvis inte att angiva någon upphovsman till matematiken. Matematiken har vuxit fram gradvis under en väldigt lång tid. Om matematikens historia kan du läsa på t ex The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Svar:

Utvecklar du den första kvadraten i den första ekvationen i ekvationssystemet så får du u² + 16² = 32x. Utvecklar du den första kvadraten i den andra ekvationen får du 2uz = u² + 16² = 32x, vilket ger att z = 16x/u. Detta ger att

vilket kan förkortas ytterligare till x³/(x - 8).

Kjell Elfström

Svar:

Nej, det finns mig veterligen ingen känd sådan formel. Se Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Om g(x) = f(x + a) så är f(x) = g(x - a). Kurvan y = g(x) fås alltså genom att förflytta kurvan y = f(x) a enheter åt vänster om a > 0 och -a enheter åt höger om a < 0.

Kjell Elfström

Svar:

Integrera partiellt.

Kjell Elfström

Svar:

Integrera partiellt.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt s_a(x) = summa_k = 0^oo(2k)^ax^2k/(2k)!. Det räcker naturligtvis att kunna beräkna s_a(1) ty sedan är det bara att multiplicera med e^-a. Enligt svaret till 21 november 2002 00.24.29 framgår det att s₀(x) = cosh x. Vi har att

Det följer att s_a(x) = (x d/dx)^a cosh x. Vi får t ex att s₁(x) = x sinh x och s₂(x) = x(sinh x + x cosh x) = x sinh x + x²cosh x, varför s₀(1) = cosh 1, s₁(1) = sinh 1 och s₂(1) = cosh 1 + sinh 1. Att ge någon sluten formel tror jag inte är möjligt.

Kjell Elfström

Svar:

Om a är det första elementet i talföljden och d är skillnaden mellan ett element och det föregående så är summan av de n första elementen S(n) = n(2a + (n - 1)d)/2. Vi får

vilket ger att d = -3/10 och a = 335/100. Detta ger att S(30) = -30 enligt samma formel.

Kjell Elfström

Svar:

e^a = summa_j = 0^oo(a ^j/j!) och e^-a = summa_j = 0^oo((-a) ^j/j!) ger att

Dividera nu båda led med e^a.

Kjell Elfström

Svar:

Se 19 november 2002 19.54.02. Jag var primärt intresserad av att lösa stegproblemet och då är x + y > 0. Vill man finna samtliga rötter till fjärdegradsekvationen får man ta hänsyn till fallet x + y = 1 - 101^1/2 också. Ekvationens fyra rötter motsvarar de fyra sätten att placera stegen så att dess ändpunkter hamnar på koordinataxlarna och så att stegen eller dess förlängning går genom punkten (1,1).

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = x². Då är dt = 2x dx. Integralen övergår i

Kjell Elfström

Svar:

Det förmodligen bästa sättet att lösa olikheter som denna är att börja med att skriva om olikheten som en olikhet med 0 i det ena ledet. Vi flyttar över och får

Gör sedan liknämnigt.

Faktorisera genom att lösa ekvationen x² - 2x - 3 = 0. Den har rötterna -1 och 3, varför x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3).

Uttrycket f(x) i vänsterledet är positivt om och endast om ett jämnt antal av faktorerna är negativa och inga är noll.

Olikheten är alltså uppfylld om och endast om -3/2 < x < -1 eller x > 3.

Kjell Elfström

Svar:

-3(ln(29,5/37))/(ln(29,5/25,1)) timmar före kl. 15.00.

Kjell Elfström

Svar:

Man skall nog använda Newtons avkylningslag. Om y är kroppstemperaturen och y^* omgivningens temperatur så gäller att y' = -k(y - y^*). Löser vi differentialekvationen får vi y = y^* + Ce^-kt. Låter vi nu t = t₀ vara tidpunkten för mordet och t = 0 motsvara kl.15.00 får vi

Hade nu omgivningens temperatur y^* varit känd hade vi kunnat lösa ut C ur den andra ekvationen, därefter k ur den tredje och slutligen t₀ ur den första. Utan den informationen går det inte att bestämma dödsögonblicket.

Kjell Elfström

Svar:

Man ser att x = 1 är en rot, varför x - 1 delar polynomet. polynomdivision ger att x³ - 2x² - 41x + 42 = (x² - x - 42)(x - 1). Den första faktorn har nollställena -6 och 7. Den andra har nollstället 1. Ekvationen har alltså rötterna -6, 1 och 7.

Kjell Elfström

Svar:

Se The History of Mathematical Symbols.

Kjell Elfström

Svar:

Tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan y = f(x) har ekvationen y - f(a) = f '(a)(x - a). I detta fall är f '(a) = 6a - 2. I punkten (1,1) är tangentens ekvation därför y - 1 = 4(x - 1) och i punkten (-1,5) är den y - 5 = -8(x + 1). Skärningspunkten (x,y) uppfyller båda ekvationerna. Lös ekvationssystemet som består av de båda tangenternas ekvationer.

Kjell Elfström

Svar:

Du ställde den förra frågan den 15 november 2002 21.59.17. Jag sade i mitt förra svar att jag inspirerades till lösningen av de geometriska förutsättningarna. Ger jag dig tillräcklig ledning är problemet ingen utmaning längre så jag ger dig lösningen. Låt x vara avståndet från väggen till stegens fot och y avståndet från marken till toppen av stegen. Då ger likformiga trianglar att (y - 1)/1 = y/x, vilket också kan skrivas x + y = xy. Pythagoras sats ger att x² + y² = 100. Vi får då (x + y)² = x² + y² + 2xy = 100 + 2(x + y). Detta kan efter kvadratkomplettering skrivas (x + y - 1)² = 101, varför x + y = r, där r = 1 + 101^1/2. Sätter vi in x = r - y i x² + y² = 100 så får vi y² - ry = 50 - r²/2. Denna ekvation har rötterna

Kjell Elfström

Svar:

Om k är det insatta kapitalet 60000, a årsavgiften 125 och r = 1,08 så är kapitalet efter ett år kr - a. Efter ytterligare ett år (kr - a)r - a = kr² - a(1 + r), efter ytterligare ett år (kr² - a(1 + r))r - a = kr³ - a(1 + r + r²). Efter n år är kapitalet krⁿ - a(1 + r + ^... + r^n - 1). Enligt formeln för den geometriska summan blir kapitalet krⁿ - a(rⁿ - 1)/(r - 1).

Kjell Elfström

Svar:

Om man antar att sannolikheten för att råka ut för en olycka bara beror på den den tid som tillbragts på vägen och ökar med tiden så har du rätt. Jag tror att det finns personer som ifrågasätter detta antagande.

Kjell Elfström

Svar:

Om d inte är noll så är både a och b skilda från noll. Vi kan lösa ut den ena av dem, t ex b, ur den andra ekvationen. Vi får b = d/a. Vi sätter in detta i den första ekvationen och får a + d/a = c. Eftersom a inte är noll får vi en ekvivalent ekvation, a² + d = ac, om vi multiplicerar båda led med a. Vi kvadratkompletterar och får

Villkoret för att ekvationssystemet skall ha reella lösningar är alltså att c² - 4d >= 0. Vi får nu att

I lösningen skall vi välja plustecknet för den ena av a och b och minustecknet för den andra. Det är inte svårt att se att detta är lösningen även då d = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Att det inte är korrekt kommer sig av att dy och dx inte står för något om man betraktar dem isolerade. Det är inga tal och vad skall då multiplikationen vara? Det är endast kombinationen dy/dx som betyder något, nämligen derivatan av y med avseende på x. Uttrycket är alltså ingen kvot, det ser bara ut så. Metoden duger därför inte som härledning av lösningen, däremot som minnesregel. Beteckningen dy/dx härstammar från Leibniz. På hans tid betraktade man dy och dx som oändligt små tal som ändå inte var noll, så kallade infinitesimaler. Detta förklarar hur beteckningen kom till. På 1960-talet utvecklade Abraham Robinson så kallad nonstandard analysis, i vilken man på ett logiskt tillfredsställande sätt inför infinitesimaler.

Kjell Elfström

Svar:

Se Jetons: Their Use and History.

Kjell Elfström

Svar:

Skärningspunkterna är -1 ± (a + 1)^1/2. Arean är

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på hur funktionen h ser ut. Du kan pröva att rita upp ytan för några olika val av h.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att koordinatsystemet är ortonormerat. Sätt P = (13,22) och Q = (49,70). Då är u = PQ = (36,48) = 12(3,4), varför |u| = 12(3² + 4²)^1/2 = 60. Låter vi vektorn v = (x,y) representera långsidan så skall u och v vara ortogonala, vilket betyder att 3x + 4y = 0. Vi får att v = t(4,-3). |v| = 100 ger att 5|t| = 100, vilket ger att t = ±20, så v = (80,-60) eller (-80,60). Koordinaterna för de andra båda hörnen är antingen (13,22) + (80,-60) = (93,-38) och (49,70) + (80,-60) = (129,10) eller (13,22) - (80,-60) = (-67,82) och (49,70) - (80,-60) = (-31,130).

Kjell Elfström

Svar:

Frågan har ställts åtskilliga gånger. Sök på söksidan efter "0^0".

Kjell Elfström

Svar:

Det var ju bra att vi fick den gåtan löst. Tack för hjälpen.

Kjell Elfström

Svar:

Skärningen mellan ett plan och en cirkulär konisk yta är, bortsett från några urartningsfall, antingen en ellips, en parabel eller en hyperbel. Detta är de så kallade kägelsnitten såsom de definierades av den grekiske matematikern Apollonios.

Kjell Elfström

Svar:

Vektorprodukten u×v definieras som den vektor w som är sådan att |w| är arean av den parallellogram som u och v spänner upp, w är ortogonal mot u och v och u,v,w är positivt orienterade. Man inser att det bara finns en sådan vektor w. Definitionen är geometrisk i den meningen att den inte anger några samband mellan koordinater. Man visar därefter att om e₁,e₂,e₃ är en ortonormerad bas och om en vektor u har koordinaterna (x₁,x₂,x₃) med avseende på denna bas så är |u| = (x₁² + x₂² + x₃²)^1/2 och det beviset har ingenting med vektorprodukten att göra. Man visar också, under förutsättning att e₁,e₂,e₃ förutom att vara ortonormerad också är positivt orienterad, att koordinaterna för u×v är (x₂y₃ - x₃y₂,x₃y₁ - x₁y₃,x₁y₂ - x₂y₁) om u och v har koordinaterna (x₁,x₂,x₃) resp. (y₁,y₂,y₃) med avseende på basen i fråga. Om formeln för längden av en vektor inte bevisas i den litteratur i lineär algebra som du har läst så bör du välja en annan bok. Det behövs inget separat bevis för att |u||v| sin theta = (x₁² + x₂² + x₃²)^1/2, där (x₁,x₂,x₃) är koordinaterna för u×v. Det första uttrycket är ju arean för parallellogrammen och det kan visas utan vektorräkning. Det andra uttrycket är längden av vektorprodukten och det påståendet visas allmänt för vektorer. Eftersom vektorproduktens längd definitionsmässigt är arean av parallellogrammen följer likheten.

Kjell Elfström

Svar:

Låt x(t) och y(t) vara avståndet från punkten A till väggen respektive avståndet från B till golvet. Vi kan låta tidpunkten i fråga motsvara t = 0. Då är x(0) = 20, x'(0) = 3 och y'(0) = -6/5. Om r är stångens längd så ger Pythagoras sats att (x(t))² + (y(t))² = r². Deriverar vi likheten med avseende på t så får vi

Detta gäller speciellt då t = 0, vilket ger att

Vi får att y(0) = 50 och därför att r = (20² + 50²)^1/2 = 10·29^1/2. Stångens längd är 29^1/2 meter.

Kjell Elfström

Svar:

Om punkterna är P₀, P₁, P₂ och P₃ så kan man undersöka om vektorerna u₁ = P₀P₁, u₂ = P₀P₂, u₃ = P₀P₃ är parallella med samma plan och det är de om och endast om de är lineärt beroende.

Kjell Elfström

Svar:

Använd regeln för derivering av en kvot. Derivatan blir

Du får själv förenkla täljaren.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte lyckats hitta något sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Jag klarade av att lösa ekvationen 1/sqrt(100-h²) = (h-1)/h exakt, delvis inspirerad av de geometriska förutsättningarna. Jag har inte kontrollerat om omskrivningen h⁴ - 2h³ - 98h² + 200h - 100 = 0 är korrekt och använde ingen sådan omskrivning. Vill du ha fler tips får du återkomma.

Kjell Elfström

Svar:

Någon med signaturen Banibal ställde samma fråga den 9 november 2002 17.05.05 och fick svar. Den nya triangelns area är 3/4 av den gamlas.

Kjell Elfström

Svar:

Av svaret till 9 april 1997 20.59.45 framgår det att du har rätt.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten för att man valde fel dörr från början är 2/3. I de fall man valde fel från början blir det rätt efter dörrbyte. Byter man dörr är sannolikheten 2/3 att vinna, medan den bara är 1/3 om man inte byter.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kvadratkompletterar andragradspolynomet f(x) = ax² + bx + c.

Eftersom en kvadrat inte är negativ inser man att funktionen har ett minimum eller maximum i x = -b/(2a) (då kvadraten (x + b/(2a))² är noll) beroende på om a är positiv respektive negativ. Funktionsvärdet är då c - b²/(4a) = c - a(b/(2a))². Villkoret att f skall ha lokalt minimum i (1,0) kan då formuleras som att a > 0, b/(2a) = -1 och c - a = 0. T ex duger a = c = 1, b = -2.

Man ser också i den kvadratkompletterade formen att kurvan erhållits genom att ändra skala på kurvan y = x², eventuellt spegla den i x-axeln och förflytta den resulterande kurvan parallellt med axlarna. Man inser direkt att de efterfrågande kurvorna är på formen a(x - 1)², där a är en positiv konstant.

Kjell Elfström

Svar:

En transposition är en permutation som byter plats på två element. Varje permutation kan skrivas som en produkt av transpositioner, antingen ett udda eller ett jämnt antal. Ingen permutation kan skrivas både som en produkt av ett udda antal och ett jämnt antal transpositioner. De som kan skrivas som produkten av ett jämnt antal kallas jämna och de övriga udda.

Kjell Elfström

Svar:

Det är nog snarast att betrakta som en definition. Se 2 november 2002 01.44.24.

Kjell Elfström

Svar:

Vi deriverar och får f '(x) = 3x² - 6 = 3(x + 2^1/2)(x - 2^1/2). Detta visar att f har ett lokalt minimum då x = 2^1/2. Villkoret att värdet skall vara 0 ger att 0 = f(2^1/2) = 2·2^1/2 - 6·2^1/2 + a, vilket ger att a = 4·2^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Man skriver funktionen som en Fourierserie. Om t ex u(x) = |x| då -Pi <= x <= Pi och u har perioden 2Pi så är u en jämn funktion. Dess Fourierserie är därför a₀/2 + summa_n = 1^oo a_ncos nx, där a_n = (2/Pi)§₀^Pi u(x)cos nx dx. Vi får att a₀ = Pi och a_n = (2/Pi)((-1)ⁿ - 1)/n². Eftersom summa_n = 1^oo|a_n| är konvergent så konvergerar Fourierserien punktvis mot funktionen, dvs

för varje x.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan kanske få hjälp på Fråga kollegiet eller Nationellt resurscentrum för matematikundervisning. Du kan också söka efter t ex specialpedagogik eller dyskalkyli på internet. Tyvärr kan jag inte hjälpa dig mer än så.

Kjell Elfström

Svar:

Låt m vara kulans massa och r dess radie. Kulan påverkas av kraften mg, där g är tyngdaccelerationen, och denna kraft skall uppväga den kraft som det undanträngda vattnet påverkar kulan med. Vi antager att vattnets densitet är 1. Den senare kraften är då enligt Arkimedes princip V, där V är volymen av den delen av kulan som ligger under vattenytan. Om kulan sticker upp d längdenheter ovanför vattenytan är volymen av den delen av kulan som ligger under vattenytan

För att bestämma d som funktion av m och r skall man lösa ekvationen

vilket lämpligen göres numeriskt. För att rita grafen till kurvan för ett fixt värde på r kan du rita m som funktion av d fast med koordinataxlarna omkastade. Eftersom m = pV, där p är kulans densitet och V dess volym, så kan sambandet ovan skrivas

Kjell Elfström

Svar:

Man måste nog lära sig krypa innan man kan gå men för den matematikintresserade kan naturligtvis gymnasiekursen kännas påfrestande ibland. Det kan den säkerligen för den ointresserade också, fast av andra skäl. Jämför din egen fråga med frågan från den 5 november 2002 19.49.58. En del gymnasister tenterar gymnasiets matematikkurser för att börja läsa matematik på universitetet redan medan de går på gymnasiet.

Kjell Elfström

Svar:

Ibland går det litet för fort. Felet är åtgjort.

Kjell Elfström

Svar:

I de flesta av vardagslivets skeden behöver man nog inte ens tiopotenser. Man kan gå och handla, sköta hemmet, hyra lägenhet och till och med räkna ut skatten utan att känna till potenser. Nu är det väl inte för att klara dylika bestyr som man går på gymnasiet. Potenser med basen e används flitigt i nästan alla naturvetenskaper och i många andra vetenskaper också. T ex sönderfaller radioaktivt material exponentiellt. I biologin antar man att tillväxt sker exponentiellt då det finns gott om utrymme och näring. Potenser med basen 2 används mycket i datavetenskap. T ex är 1 kB detsamma som 2¹⁰ = 1024 byte. I en del av gymnasiets yrkesprogram kan det säkert vara svårt att motivera de elever som önskar se omedelbara resultat att lära sig potenser.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = 2^x. t + 1/t = 17/4 har rötterna t = 4 eller t = 1/4, vilket ger x = 2 eller x = -2.

Kjell Elfström

Svar:

Om a är en produkt av olika primtal a = p₁^n₁p₂^n₂... p_m^n_m så är a^1/2 ett rationellt tal bara då alla exponenterna n_i är jämna tal. Antag nämligen att någon exponent är udda och att a^1/2 är rationellt, a^1/2 = b/c. Då är ac² = b². Primfaktoriserar vi även b och c, så kommer vänsterledet att innehålla en udda antal av någon primfaktor men högerledet innehåller bara jämna antal, vilket strider mot entydigheten hos primfaktoriseringar. I fallet med a = 6 = 2·3 kan vi resonera direkt på följande sätt. Antag att 6^1/2 är rationellt. Då finns relativt prima positiva heltal b och c, sådana att 6^1/2 = b/c. Vi får att 6c² = b². Detta visar att 2 delar b, vilket ger att 6c² = 4d ². Vi får 3c² = 2b². Eftersom 2 och 3 är relativt prima så delas c² av 2 och eftersom 2 är ett primtal så måste 2 dela c. Detta motsäger att b och c är relativt prima. 2 är ett sådant primtal som förekommer i faktoriseringen av 6 ett udda antal gånger. Vi hade i detta fall kunnat byta ut 2 mot 3 i resonemanget och fått motsägelsen att 3 delar både b och c.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet termer är 7, som är ett udda tal. Du kan inte gruppera dem så du får en summa med 4 termer. Den första termen är 5/2, kvoten är -2/3 och antalet termer är 7. Summan blir

Kjell Elfström

Svar:

Jag trodde att jag redan hade hjälpt dig. Du har förmodligen inte läst svaret till 6 november 2002 17.45.28.

Kjell Elfström

Svar:

Sök efter "(-1)(-1)" på vår söksida.

Kjell Elfström

Svar:

Hur en linje eller yta eller motsvarande i högre dimensioner kan böjas kan beskrivas av egenskaper hos så kallade kvadratiska former. Ur ett algebraiskt perspektiv studeras sådana i den lineära algebran. De används ofta inom differentialgeometrin, vilken är den gren av matematiken till vilken din fråga hör. Ett begrepp som är relevant i sammanhanget är krökning, curvature på engelska. Jag känner inte till så mycket om populärlitteratur i ämnet.

Kjell Elfström

Svar:

Ett tal n är sammansatt bara om det kan skrivas n = ab, där 1 < a < n och 1 < b < n. Om a > n^1/2 och b > n^1/2 så är n = ab > n^1/2n^1/2 = n, vilket är orimligt. Ett sammansatt tal måste alltså ha minst en faktor som är större än 1 och mindre än eller lika med n^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Använd att (sin (x/2))(cos(x/2))/2 = (1/4) sin x, vilket följer av formeln sin(2t) = 2 (sin t)(cos t) med t = x/2.

Kjell Elfström

Svar:

Jag får be att hänvisa till litterauren, t ex Hairer m fl: Geometric Numerical Integration, Springer 2002.

Kjell Elfström

Svar:

Planet har basvektorerna (1,2,1) - (1,0,0) = (0,2,1) och (2,1,0) - (1,0,0) = (1,1,0). Dess ekvation på parameterform är därför (x,y,z) = (1,0,0) + s(0,2,1) + t(1,1,0). Drar vi förstakoordinaten och 2 gånger tredjekoordinaten från andrakoordinaten får vi (x - 1,y - x - 2z + 1,z) = (t,0,s). Det finns lösningar s och t bara då y - x - 2z + 1 = 0, vilket är planets ekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kan representera ankomsttiderna med punkter (x,y), där x och y anger ankomsttiden i timmar efter kl. 13.00 för A resp. B. Om A anländer vid en viss tidpunkt x kommer personerna att råkas om B kommer tidigast 1/6 timme före x och senast 1/6 timme efter x. Varken A eller B kan dock komma före tiden 0 eller efter tiden 1. I figuren är det gynnsamma området färglagt grönt då B kommer före A och rött då B kommer efter A. Arean av det vita området är (5/6)² = 25/36, varför sannolikheten för att personerna träffas är 1 - 25/36 = 11/36.

Kjell Elfström

Svar:

Vattenkonens area är proportionell mot h², där h är vattenkonens höjd, dvs. djupet. Därav följer att läckagets hastighet också är proportionell mot h². Låt V vara volymen och p påfyllningshastigheten. Då är

där k är en konstant. Likformiga trianglar ger att r = h/5, där r är vattenkonens radie. Det ger att volymen är V = Pi r²h/3 = Pi h³/75, varför dV/dh = Pi h²/25. Detta ger att

Sätter vi in att p = 100, h = 24 och dh/dt = -0,6 = -3/5 får vi att k = 100/24² + 3Pi/125. För att nivån skall vara konstant skall dV/dt = p - kh² vara noll. Det ger att p = kh² = 100 + 3Pi·24²/125 om h = 24.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns en diger litteraturlista avseende det gyllene snittet på MathSoft Constants. Om i vilket avseende det gyllene snittet är det mest irrationella talet kan du läsa på sidan The most irrational number. Där finns också mycket om kedjebråksutvecklingar och om andra tal som är mer eller mindre irrationella.

Kjell Elfström

Svar:

Det handlar förmodligen för binas del inte bara om att minimera utrymmet utan också om att minimera vaxåtgången för mellanväggsbyggandet. Det så kallade Honeycomb conjecture säger att det i så fall är sexhörningen som är den optimala formen. Förmodandet bevisades 1999 av Thomas C. Hales och artikeln finns på Mathematics, abstract math.MG/9906042.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att a, b, c och d är positiva tal. Om a/b < c/d så är a/b < (a + c)/(b + d) < c/d. Eftersom alla inblandade tal är positiva så är den vänstra olikheten ekvivalent med att a(b + d) < b(a + c). Det betyder att ab + ad < ab + bc. Detta är i sin tur ekvivalent med ad < bc, vilket följer av förutsättningen a/b < c/d. Den högra olikheten bevisas på samma sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Du frågar om relationen A ~ B är transitiv där A ~ B om och endast om AB = BA. Nej det är den inte. Tag två matriser A och B som inte kommuterar och låt E vara enhetsmatrisen. Då gäller att A ~ E och E ~ B men inte A ~ B.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du menar kurvor vars ekvationer är givna på parameterform. Så kan t ex ekvationen för en rät linje skrivas x = x₀ + at, y = y₀ + bt, t till R. Här är (x₀,y₀) koordinaterna för en fix punkt på linjen och (a,b) koordinaterna för en vektor som är parallell med linjen. Om a inte är noll kan man lösa ut t ur den första ekvationen och sätta in i den andra och få linjens ekvation på formen y = kx + m. Om däremot a = 0 så är linjen parallell med y-axeln och det går inte att skriva y som en funktion av x. En cirkel med radie r och medelpunkt (x₀,y₀) har ekvationen x = x₀ + rcos t, y = y₀ + rsin t. Hela cirkeln kan inte beskrivas med en ekvation av formen y = f(x) eftersom två olika y-värden hör till x då x tillhör det öppna intervallet (x₀ - r,x₀ + r). Däremot kan t ex den övre halvcirkeln beskrivas av en sådan ekvation. Många kurvor är inte funktionskurvor och ett sätt att beskriva dem är på parameterform. Det kan vara naturligt även av andra skäl. Kanske är t en tidpunkt och (x,y) koordinaterna för den position en partikel befinner sig i vid tidpunkten t. Även om kurvan är en funktionskurva ger parameterformen då mer information om partikelns rörelse än motsvarande ekvation på formen y = f(x). Den senare ger ju bara information om det spår partikeln lämnat.

På frågan om det går att bestämma samtliga skärningspunkter går det inte att ge ett allmänt svar. Det beror i hög grad på hur funktionerna ser ut. Antag att x = f(t), y = g(t), där f och g är kontinuerligt deriverbara och antag att f '(t) <> 0 i en viss punkt t. Då är f strängt monoton i en omgivning av t och har därför en invers f ^-1, som är deriverbar. Det gäller att (f ^-1)'(x) = 1/f '(t) där x = f(t). Vi kan lösa ut y = g(f ^-1(x)) som funktion av x. Enligt kedjeregeln är

Kjell Elfström

Svar:

Ja, jag anser att du löst problemet på ett korrekt sätt, även om du utelämnat en del led.

Kjell Elfström

Svar:

Låt D vara drakens position, P din position och Q punkten på marken rakt under draken. Vinkeln mot horisonten förutsätter jag vara vinkeln a = QPD. Låt s vara avståndet mellan P och Q. Enligt förutsättningarna är s'(t) = 8 vid tidpunkten t ifråga. Eftersom tan a = 100/s får vi om vi deriverar båda led med avseende på t att a'/cos² a = -100s'/s². Eftersom cos²a = s²/200² får vi att a' = -s'/400 = -1/50.

Kjell Elfström

Svar:

Vi antar att behållarens volym skall vara V. Volymen av cylinderdelen är Pi r²h, där r är cylinderns (och därmed halvklotets) radie och h är cylinderns höjd. Volymen av den buktiga delen är 2Pi r³/3. Volymen är alltså

och löser vi ut h så får vi h = (V - 2Pi r³/3)/(Pi r²). Arean av cylindern är 2Pi rh och av halvsfären 2Pi r². Sätter vi in uttrycket ovan för h i areauttrycket får vi

Derivatan A' är -2V/r² + 4Pi r/3 och dess nollställe r = (3V/(4Pi))^1/3. Det är lätt att se av derivatans tecken att detta värde på r ger den minimala materialåtgången. Räkna själv ut motsvarande värde på h utifrån sambandet mellan h och r.

Kjell Elfström

Svar:

Sätter vi y = 0 ger sambandet att f(x + f(0)) = f(x). Sätter vi x = 0 i stället så får vi f(f(y)) = y + f(0). Den sista identiteten ger att f är injektiv ty om f(y₁) = f(y₂) så är y₁ + f(0) = f(f(y₁)) = f(f(y₂)) = y₂ + f(0), vilket ger att y₁ = y₂. Den första identiteten ger därför att f(0) = 0, varefter den andra ger att f(f(y)) = y. Sambandet i frågan ger nu att f(x + y) = f(x + f(f(y))) = f(y) + f(x) = f(x) + f(y). Detta ger att f(-x) + f(x) = f(0), varav f(-x) = -f(x). Det följer nu med hjälp av induktion att f(nx) = nf(x) om n är ett heltal. Genom att ersätta x med x/m och multiplicera likheten med m, där m är ett nollskilt heltal, så får vi att mf((n/m)x) = mnf(x/m) = nf(x) ,varav det följer att f((n/m)x) = (n/m)f(x). Det gäller alltså att f(rx) = rf(x) för alla rationella tal r och alla reella tal x. Om r är ett reellt tal så kan vi välja en följd r_n av rationella tal sådan att r_n --> r då n --> oo. Kontinuiteten hos f ger att f(r_nx) --> f(rx) då n --> oo. Eftersom r_nf(x) --> rf(x) då n --> oo följer det att f(rx) = rf(x) för alla reella tal r och x. Med x = 1 ger detta att f(r) = rf(1) för alla reella r. Sätter vi a = f(1) och byter ut r mot x får vi att f(x) = ax. Vi får sedan att 1 = f(f(1)) = f(a) = a², vilket ger att a = ±1. Kontroll mot sambandet i frågan visar att de båda funktionerna f(x) = x och f(x) = -x löser funktionalekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Upphöjer man e till det vänstra och högra ledet får man e^{ln x + ln(x + 2)} = e^ln xe^ln(x + 2) = x(x + 2) resp. e. Det ger oss ekvationen

Denna ekvation har två rötter men bara den ena är acceptabel eftersom den andra är negativ.

Kjell Elfström

Svar:

Om n är ett primtal så är det mer eller mindre självklart att algoritmen svarar PRIME. Den kan inte hoppa ut vid 1. Den kan heller inte hoppa ut vid 4 eftersom r < n där. Alltså hamnar den i 11. Om n är ett primtal så är den kongruens som står angiven i avsnittet 2 Basic Idea and Approach uppfylld för alla r och a. Därför hoppar den inte ut vid 12 heller utan når 13 och svarar PRIME.

Beviset för att algoritmen svarar COMPOSITE om n inte är ett primtal är mycket mer komplicerat och bygger bl a på de talteoretiska resultaten lemma 3.2 och lemma 3.3. Om n har formen n = a^b svarar algoritmen uppenbarligen rätt redan vid 1. Beviset bygger sedan på att det finns ett primtal r sådant att r - 1 har en tillräckligt stor primfaktor q som är sådan att q delar ordningen av n modulo r. Ordningen är det minsta positiva heltal o, sådant att r delar n^o - 1. Den första delen av beviset består i att visa att det finns ett sådant primtal r. Den andra delen visar sedan att det för ett sådant r finns ett tal a mellan 1 och 2r^1/2 log n, sådant att rad 12 svarar COMPOSITE. De tal n för vilka algoritmen svarar PRIME om man startar på rad 2 är de tal som är potenser p^b av primtal. Det är därför man måste göra testet på rad 1.

Tyvärr finns det inte utrymme för en längre utläggning av beviset. För att följa det måste man nog ha läst någon kurs i abstrakt algebra. Om man accepterar de talteoretiska resultaten är det förmodligen tillräckligt med en sådan kurs.

Kjell Elfström

Svar:

Om räntesatsen är p% per år och kapitalet från början är K kr, så är det efter n år Krⁿ kr, där r = 1 + p/100. Antag nu att den årliga inflationen är i%. Det betyder att det som kostar K kr ett år senare kostar (1 + i/100)K kr. Man kan också uttrycka detta som att det som nu kostar K kr för ett år sedan kostade K/(1 + i/100). Sätt s = 1 + i/100. Antag att vi sätter in K kr på banken till räntesatsen p% och att inflationen är i% per år. Det kapital vi kommer att ha om n år är Krⁿ kr och det kommer att motsvara Krⁿ/sⁿ = K(r/s)ⁿ kr i dagens penningvärde. Förlänger vi med 1 - i/100 får vi

Det visar att om p och i är små så ger metoden att multiplicera med (1 + (p - i)/100)ⁿ en bra approximation.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till någon annan symbol för oändligheten bortsett från infinity, infty och andra varianter som man är tvungen att använda i vissa matematikprogram. För en kort historik, se Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.

Kjell Elfström

Svar:

Vi vill visa ett påstående P_n, som beror på talet n, för alla positiva heltal n. Enligt induktionsprincipen är det då tillräckligt att visa det första påståendet P₁ och dessutom visa att om påståendet P_n är sant så är också P_n + 1 sant. Man inser då att t ex P₃ är sant på följande sätt: Vi vet att P₁ är sant eftersom vi bevisat det. Vi vet också att P₂ är sant under förutsättning att P₁ är sant. Men P₁ är ju sant och därför är P₂ sant. Nu vet vi att P₃ är sant under förutsättning att P₂ är sant. Men vi vet att P₂ är sant så därför är P₃ sant. Så kan vi hålla på att resonera och komma fram till att vilket som helst av påståendena är sant. Påståendet P_n behöver inte alls handla om någon summa även om så ofta är fallet i övningsuppgifter på induktion.

I ditt exempel är påståendet P_n att antalet diagonaler i en n-hörning är n(n - 3)/2 och detta påstående skall visas för alla heltal n >= 3.

Det första steget är att visa P₃. I en trehörning finns inga diagonaler och eftersom 3(3 - 3)/2 = 0 så är P₃ sant.

I induktionens andra steg antar vi att P_n är sant och skall visa att under den förutsättningen också P_n + 1 är sant. Antag alltså att antalet diagonaler i en n-hörning, där n >= 3, är n(n - 3)/2. Räkna upp hörnen i en given (n + 1)-hörning genom att börja på ett visst hörn och sedan gå runt tills du kommer till hörnet före det du började på. Vi kallar hörnen för h₁,h₂,...h_n,h_n + 1. Om vi tar bort hörnet h_n + 1 och binder samman hörnen h_n och h₁ med en rät linje så får vi en n-hörning. Den har enligt antagandet n(n - 3)/2 diagonaler. Dessa diagonaler är också diagonaler i (n + 1)-hörningen. De diagonaler i (n + 1)-hörningen som inte är diagonaler i n-hörningen är dels sammanbindningslinjen mellan h_n och h₁ och dels de diagonaler som utgår från hörnet h_n + 1 och slutar i något av hörnen h₂,h₃,...,h_n - 1. Antalet diagonaler i (n + 1)-hörningen är alltså n(n - 3)/2 + 1 + (n - 2) = (n² - n - 2)/2. Detta är lika med (n + 1)((n + 1) - 3)/2 och därför är påståendet P_n + 1 sant.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att triangeln har kantvektorerna u och v. Då är två kanter i den nya triangeln (1/2)(u + v) och (1/2)(u - v - v) = (1/2)(u - 2v). Den ursprungliga triangelns area är (1/2)|u × v|. Den nya triangelns area är (1/2)|(1/2)(u + v) × (1/2)(u - 2v)| = (1/8)|-3(u × v)| = 3/8|u × v|.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen x² + px + q = 0 löses genom att man skriver om den som x² + px = -q och adderar (p/2)² till båda leden. Den övergår då i (x + p/2)² = (p/2)² - q, vilken har rötterna x = -p/2 ± ((p/2)² - q)^1/2 = (-p ± (p² - 4q)^1/2)/2. Man kan om man vill hävda att man använt det du kallar nollproduktmetoden på den produkt man får om man flyttar över högerledet i ekvationen (x + p/2)² = (p/2)² - q och använder konjugatregeln. Jag känner inte till vilken variant av formeln som är i ropet för närvarande i svenska skolor. Eftersom det går lika snabbt att kvadratkomplettera finns det heller ingen anledning att lära sig någon formel.

Kjell Elfström

Svar:

The straight line.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = 2y så är x = y² + C, där C är en konstant. x(0) = 4, y(0) = 3 ger att C = -5 och vi får att x = y² - 5. Eftersom y' = -x = 5 - y² = (5^1/2 - y)(5^1/2 + y) så är y = 5^1/2 ett stabilt jämviktsläge. När y kommit tillräckligt nära 5^1/2 kommer x att vara så nära 0 att x-stammen får anses vara utrotad. Om y(0) = 2 kommer x och y båda att gå mot 0 då t --> oo.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad professorsspelet är.

Kjell Elfström

Svar:

Vänsterledet är

Förläng det första bråket med k och det andra med n - k. Vi får att vänsterledet kan skrivas

vilket är lika med högerledet.

Kjell Elfström

Svar:

Exemplet var olyckligt valt eftersom integralen är divergent. I ett enkelt sammanhängande område som inte innehåller 0 är logaritmen en envärd analytisk funktion och det gör att x^a också är en analytisk funktion i ett sådant område. I allmänhet får nog integranden bestämma hur integrationskurvan skall väljas.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom f(x) = (ln x)^1 - x = e^{(1 - x)ln(ln x)} så är

Kjell Elfström

Svar:

Det är inte en matematisk fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Om n = 0 så är a_n = n⁴ + 3n + 1 en heltalskvadrat så jag antar att påståendet skall visas då n är ett positivt heltal. Då n = 1 är a_n = 5 inte en heltalskvadrat. Antag att n >= 2. Då är 3n < (2n)n = 2n², varför (n²)² = n⁴ < a_n < n⁴ + 2n² + 1 = (n² + 1)². Eftersom det inte finns några heltalskvadrater mellan (n²)² och (n² + 1)² så är a_n inte en heltalskvadrat.

Kjell Elfström

Svar:

Värdemängden i a) är densamma som till funktionen f(t) = cos t då t tillhör [-3Pi/4,Pi/2], vilket man inser om man sätter t = 3x. I [-3Pi/4,0] är f växande och kontinuerlig. Den antar där alla värden mellan f(-3Pi/4) = -1/2^1/2 och f(0) = 1. I [0,Pi/2] är f avtagande och kontinuerlig och antar därför alla värden mellan 0 och 1. Detta visar att svaret i facit är rätt.

I b) avtar funktionen i [-1,0] och växer i [0,2]. Dess minsta värde är -3 och antas då x = 0. Det största är 5 och antas då x = 2. Eftersom funktionen är kontinuerlig så antar den alla värden i [-3,5].

Kjell Elfström

Svar:

Man får givetvis samma svar om antar att cirklarnas radier är 1 och att avståndet mellan medelpunkterna är 1/5. Det gemensamma området består av två cirkelsegment som vart och ett ser ut som det blå området i cirkeln i 2 september 2002 10.15.21. Med x = 1/10 blir arean av en sådan halva arccos(1/10) - (1/10)·(99/100)^1/2 = arccos(1/10) - (3/100)·11^1/2. Hela området består också av två cirkelsegment som vart och ett är en hel cirkelskiva med en gemensam halva borttagen. Arean av varje sådan del är alltså Pi - (arccos(1/10) - (3/100)·11^1/2). Förhållandet mellan arean av det gemensamma området och arean av hela området är kvoten mellan areorna ovan och är ungefär 77%.

Kjell Elfström

Svar:

I integralens definition förutsätts att felet går mot 0. Man bildar nämligen under- och överrektanglar till området under grafen för varje indelning av integrationsintervallet. En undersumma och en översumma hörande till indelningen är den sammanlagda arean av underrektanglarna resp. överrektanglarna. Integralen definieras bara då skillnaden mellan översumma och undersumma kan göras godtyckligt liten. Eftersom den area man vill definiera skall vara större än undersumman och mindre än översumman måste felet också kunna göras godtyckligt litet bara indelningen görs tillräckligt fin.

Kjell Elfström

Svar:

Vilken bild?

Kjell Elfström

Svar:

De två kronorna ingår i de 27 kronorna eftersom rummet kostade 25 kronor. Frågan bör vara vart de tre kronorna tog vägen och det vet vi ju!

Kjell Elfström

Svar:

Nej, n, n + 1 och n + 2 är kongruenta med -1, 0 och 1 (mod 3), fast kanske inte i den ordningen. Det visar att vänsterledet är kongruent med (-1)² + 0² + 1² = 2 (mod 3). Högerledet är kongruent med 0² = 0 eller (±1)² = 1 (mod 3).

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vilken typ av multiplikationstävlingar du menar; om det är övningar på multiplikationstabellen för de lägre klasserna eller något mer avancerat. I vilket fall som helst så är jag nog inte till mycket hjälp. Om det är det senare kan du kanske hitta något på Mathematics according to Bengt Månsson under Problems Solving.

Kjell Elfström

Svar:

Tack för tipset.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte se något fel i din lösning. Du kanske deriverar fel. I stället för att maximera a kan du maximera a² = 4r²h² - h⁴. Derivatan blir 4h(2r² - h²). Det är nu lätt att se att maximum inträffar då b² = h² = 2r².

Kjell Elfström

Svar:

Om vi inte vet något mer om funktionen f så måste den inte vara kontinuerlig. Ett exempel är f definierad genom f(x) = 0 då ||x|| <= 1 och f(x) = x annars. Om f är lineär är den kontinuerlig eftersom ||f(x) - f(y)|| = ||f(x - y)|| <= ||x - y||.

Kjell Elfström

Svar:

Vi förutsätter att farkosten fortsätter i tangentens riktning när motorn stängs av. Antag att detta sker i punkten (a,a² + 4a) på parabeln. Linjen genom denna punkt och (3,4) har riktningskoefficienten (a² + 4a - 4)/(a - 3). Villkoret att linjen är tangent till kurvan är att dess riktningskoefficient är lika med derivatan av x² + 4x i punkten x = a. Detta ger (a² + 4a - 4)/(a - 3) = 2a + 4. Löser du denna ekvation så får du två lösningar. Vilken som skall väljas beror på i vilken riktning astronauten färdas längs parabeln.

Kjell Elfström

Svar:

Låt c vara ett positivt heltal. Vi söker samtliga lösningar (x,y), där x och y är positiva heltal, till ekvationen x² - y² = c. Det är klart att x > y. Ekvationen kan skrivas som (x + y)(x - y) = c. Faktorerna x + y och x - y är antingen båda jämna eller båda udda och x + y > c^1/2 > x - y. Om c inte har sådana faktorer finns ingen lösning. Detta visar att lösning saknas om c = 1, c = 4 eller c = 2d, där d är ett udda heltal. Antag att c = ab, där a > b och både a och b är jämna eller båda är udda. Ekvationssystemet x + y = a, x - y = b har lösningen x = (a + b)/2, y = (a - b)/2 och båda är enligt förutsättningarna positiva heltal. Detta visar att ekvationen har en lösning om c > 1 är udda eller c = 4d, där d > 1. I det första fallet kan vi välja a = c och b = 1 och i det andra a = 2d och b = 2. Man inser att samtliga lösningar till ekvationen ges av x = (a + b)/2, y = (a - b)/2, där c = ab, där a > b och både a och b är jämna eller båda är udda.

Kjell Elfström

Svar:

Utvecklar vi vänsterledet får vi

Jag förutsätter att x och y är reella tal. Då är real- och imaginärdelen av vänsterledet 2x - 3y resp. -(3x + 2y). Vi får ekvationssystemet

Lös det.

Kjell Elfström

Svar:

Förhållandet mellan omkretsen och diametern är detsamma för alla cirklar och denna konstant kallas Pi. Ett ungefärligt värde är 3,14.

Kjell Elfström

Svar:

a) Löser vi den lineära differentialekvationen v' + (k/m)v = g får vi, om vi sätter v₀ = v(0), att

Med sluthastigheten måste menas gränsvärdet av v då t --> oo och detta är mg/k. Eftersom sluthastigheterna, m och g är kända kan vi lösa ut konstanten k och få ett värde k₁ som svarar mot fall utan fallskärm och ett värde k₂ som motsvarar fall med fallskärm. Vi kan antaga att hon uppnått sluthastigheten 65 då hon vecklar ut skärmen, eftersom hon snabbt når en hastighet i närheten av sluthastigheten. Jag vet inte vad syftet med hoppet är men jag antar att hon vill komma helskinnad ut ur äventyret. Även om vi förutsätter det så vet jag inte vilken islagshastighet hon tål. Antag att hon tål 10 m/s. Om vi sätter t = 0 när hon vecklar ut skärmen kommer hennes hastighet att vara

Vill vi att hennes landningshastighet skall vara 10 m/s är det bara att lösa ut t ur ekvationen v(t) = 10 för att få hennes falltid med skärm. När vi nu vet falltiden t₂ med skärm kan vi beräkna fallsträckan s₂ med skärm som integralen av v från 0 till t₂. Fallsträckan utan skärm är s₁ = 2400 - s₂. Denna fallsträcka kan också beräknas som

där t₁ är falltiden utan skärm. Ur denna ekvation kan man eftersom s₁ är känd lösa ut den efterfrågade tiden t₁, dock bara approximativt.

b) I princip likadant. Ekvationen bör gå att lösa t ex då alfa är 0 eller 2.

Kjell Elfström

Svar:

Den första figuren nedan visar hur man kan draga en mittpunktsnormal till sträckan AB. Då kan man också dela en vinkel mitt itu. Man placerar passarens ena spets i vinkelspetsen och ritar en cirkel som i den andra figuren. Denna skär vinkelbenen i punkterna A och B. Sedan behöver man bara rita mittpunktsnormalen till AB. Då kan man också rita en diameter AB till cirkeln i den tredje figuren. Man börjar med att rita en linje som skär cirkeln i två punkter och drager sedan mittpunktsnormalen till den så erhållna sträckan. Diametern CD är sedan mittpunktsnormal till AB. På så sätt konstruerar man samtidigt cirkelns medelpunkt E. Mittpunkten F på sträckan DE kan konstrueras eftersom man kan konstruera mittpunktsnormaler. Sedan ritar man bisektrisen FG till vinkeln EFB och erhåller punkten G. Slutligen ritar man en linje genom G som är vinkelrät mod AB. Det kan man göra genom att rita en cirkel som har medelpunkten G och går genom E. Den skär sträckan EB i en punkt E' till höger om G. GH är mittpunktsnormal till EE'.

Vi visar nu att cirkelbågen BH är en femtedel av hela cirkeln. Om vi sätter cirkelns radie till 1 så ger Pythagoras sats att FB² = 1² + (1/2)² = 5/4, varav FB = 5^1/2/2. Bisektrissatsen säger att EG/EF = GB/FB. Om vi sätter x = EG så är GB = 1 - x och vi får x/(1/2) = (1 - x)/(5^1/2/2), vilket ger att x = 1/(5^1/2 + 1) = (5^1/2 - 1)/4. Den sista likheten fick vi genom att förlänga med konjugatet 5^1/2 - 1. Det som nu återstår att visa är att cos(2Pi/5) = (5^1/2 - 1)/4. Sätt z = e^2Pi i/5. Då är enligt Eulers formler 2cos(2Pi/5) = z + z^-1. Vi får

enligt formeln för den geometriska summan. Löser man ut cos(2Pi/5) ur denna andragradsekvation får man den önskade likheten.

Kjell Elfström

Svar:

Den förra frågan ställdes den 29 oktober 2002 12.43.49. Schackbrädena tillverkas av enfärgade svarta och vita klossar. På så sätt får man en spelplan på vardera sidan av brädet. Det vi har räknat på är antalet möjliga sådana bräden. Bara för att man roterar brädet ett kvarts varv eller vänder det upp och ned blir det ju inte ett annat bräde.

Enligt din tolkning så måste brädet vara symmetriskt med avseende på diagonalerna, linjen mellan d- och e-linjen samt linjen mellan 4:e och 5:e raden. Hela brädets färg bestäms av färgen på rutorna a1, b1, b2, c1, c2, c3, d1, d2, d3 och d4. Dessa tio rutor kan färgläggas på 2¹⁰ = 1024 sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är svårt att i förväg veta vad man behöver lära sig. Behövs tysk- eller spanskundervisning när det går lika bra med engelska? Att lära eleverna mer än det absolut oundgängliga hör till grundskolans uppgifter och det är väl tydligare i dagens samhälle än i gårdagens eftersom så många fortsätter med högre studier. Skillnaden mellan kort och lång division är egentligen bara att man vid kort division tvingas att göra mellanräkningarna i huvudet eller om man inte klarar det i en uppställning vid sidan om huvuduppställningen. Lång division har klara bokföringsmässiga fördelar. När man sedan i gymnasiet stöter på polynomdivision har man säkert glädje av att ha sett lång division med heltal. Tag bort kort division i stället!

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du vill veta vilka derivationsregler som är tillämpbara. Skriv uttrycket som 4x^-1 och utnyttja att D(xⁿ) = nx^n - 1 samt att D(af(x)) = af '(x) om a är en konstant. Vi får att D(4/x) = 4((-1)x^-2) = -4/x².

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t =3 + cos x. Då är dt = -sin x dx.

Kjell Elfström

Svar:

Frågorna är olika formulerade och därför har de olika svar. I det ena fallet springer personen dubbelt så fort nerför som uppför trappan. I det andra fallet springer han med samma hastighet men nedfärden tar bara halva tiden för uppfärden. Att tolka "springer dubbelt så snabbt" som att det tar halva tiden tycker jag är onaturligt då underlaget rör sig.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan Länkskafferiet finns några historiska länkar.

Kjell Elfström

Svar:

Under förutsättningen att nedfärden tar hälften så lång tid som uppfärden är ditt resonemang korrekt. Förutsättningen är dock att du springer dubbelt så fort ner som upp, vilket inte är samma sak.

Kjell Elfström

Svar:

Något om komplexa tal finns i åtskilliga böcker om matematikens historia. Se t ex Bell: The Development of Mathematics, McGraw-Hill, 1945 och Smith: History of Mathematics, vol. II, Dover, 1958.

Kjell Elfström

Svar:

Låt sidorna vara x och y. Då är 2x + 2y = 100, vilket ger att y = 50 - x. Arean är xy = 50x - x² = A(x). Jag tror att det är meningen att ni skall derivera A nu för att bestämma den maximala arean.

Kjell Elfström

Svar:

Integrerar vi partiellt ett par gånger får vi

Fortsätter vi så får vi

Om F(x) = (2/Pi^1/2)§₀^xe^-t2dt så är

där |r_n(x)| <= (2n + 1)!!/(2x²)^n + 1. Serien är en asymptotisk serie för 1 - F(x). Man kan alltså inte hålla x fixt och få allt bättre approximationer genom att ta större och större värden på n. Däremot går x²ⁿr_n(x) mot 0 då x går mot oo för varje fixt värde på n.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte tillräckligt insatt i statistik för att ge ett kvalificerat svar på frågan. Någon inom Statistisk konsulttjänst kanske kan hjälpa dig.

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 maj 1999 14.55.40.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen f(x) = sin(1/x) är udda. Det ligger nära till hands att försöka med ett tredjegradspolynom på formen g(x) = ax³ + bx. Då är g också en udda funktion och det räcker att bestämma a och b så att g(1/Pi) = f(1/Pi) och g'(1/Pi) = f '(1/Pi).

Kjell Elfström

Svar:

Antag först att f är deriverbar i z = x + iy. Sätt e(h) = (f(z + h) - f(z))/h - f '(z) då h <> 0 är ett komplext tal nära origo och e(0) = 0. Då är

och e(h) --> 0 då h --> 0.

Omvänt, om

och e(h) --> 0 då h --> 0 så är f deriverbar i z och f '(z) = a.

Antag att f är deriverbar i x + iy och sätt f '(x + iy) = a + bi. Om vi ersätter det komplexa talet h med h + ki och e(h) med d(h,k) + ie(h,k) får vi

Identifierar vi real- och imaginärdelar får vi, eftersom (hd(h,k) - ke(h,k))/(h² + k²)^1/2 --> 0 och (he(h,k) + kd(h,k))/(h² + k²)^1/2 --> 0 då (h,k) --> (0,0), att u och v är differentierbara i punkten (x,y) och att u'_x = a = v'_y och u'_y = -b = -v'_x.

Antag nu att u och v är differentierbara i (x,y) och uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer. Då är

och

där u'_x = a = v'_y, u'_y = -b = -v'_x och d(h,k)/(h² + k²)^1/2 --> 0 då (h,k) --> (0,0) och e(h,k)/(h² + k²)^1/2 --> 0 då (h,k) --> (0,0). Då är

vilket visar att f är deriverbar i x + iy.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex 3 november 2001 19.44.11 och 27 oktober 1999 15.48.36.

Kjell Elfström

Svar:

Det ser ju ut som en gles Fourierserieutveckling. Jag har dock inte lyckats lösa problemet och har heller inte hittat något om serien. Jag konstaterar dock att om man deriverar två gånger så får man realdelen av -summa_k = 0^oo e^{((2k + 1)2 - 4)it}, något som får mig att tvivla på att det går att finna någon sluten formel. Se 28 oktober 2002 10.06.14.

Kjell Elfström

Svar:

Tack för hjälpen.

Kjell Elfström

Svar:

Antar vi att x är ett reellt tal så är x² = |x|² och ekvationen kan skrivas t² + 3t + 1 = 0, där t = |x|. Denna ekvation har rötterna -(3 ± 5^1/2)/2. Båda är negativa och eftersom t >= 0 saknar den ursprungliga ekvationen reella rötter. Vi ser efter om det finns komplexa rötter x. Sätt x = u + vi. Då är x² = u² - v² + 2uvi och |x| = (u² + v²)^1/2. Ekvationen kan skrivas

Vi ser att imaginärdelen uv måste vara noll så antingen är u eller v noll. Om v = 0 saknas lösning eftersom den ursprungliga ekvationen saknar reella rötter. Alltså är u = 0 och ekvationen kan skrivas -|v|² + 3|v| + 1 = 0. Sätter vi t = |v| så får vi t = (3 ± 13^1/2)/2. Bara den ena är positiv och vi får att |v| = t = (3 + 13^1/2)/2 vilket ger att v = ±(3 + 13^1/2)/2. Den ursprungliga ekvationen har alltså rötterna x = ±((3 + 13^1/2)/2)i.

Eftersom -Pi/2 < arctan ax < Pi/2 så är arcsin(x/a) <> ±Pi/2. Alltså är |x| < |a|. Ekvationen är ekvivalent med

Antingen är x = 0 eller så är cos(arcsin(x/a)) = 1/a². Eftersom -Pi/2 < arcsin(x/a) < Pi/2 så är cos(arcsin(x/a)) > 0 och vi kan skriva den senare ekvationen som

vilket enligt trigonometriska ettan är ekvivalent med

Denna ekvation är ekvivalent med att x² = (a⁴ - 1)/a² och saknar reella rötter om |a| < 1. Sammanfattningsvis har alltså den ursprungliga ekvationen roten 0 för alla värden skilda från noll på parametern a. Om |a| > 1 tillkommer rötterna x = ±(a⁴ - 1)^1/2/a.

Kjell Elfström

Svar:

Absolutbeloppet |a| av ett reellt tal a definieras som a om a >=0 och -a annars. T ex är |5| = 5 eftersom 5 >= 0 och |-4| = -(-4) = 4 eftersom -4 < 0. Avståndet på tallinjen mellan punkterna a och b är |a - b|. Om a >= b är avståndet nämligen a - b och om a < b är det b - a.

Kjell Elfström

Svar:

Ett polärt koordinatsystem i planet består av en punkt P (en pol) och en riktning. Om man har en punkt Q i planet kan man ange dess läge genom att ange vinkeln t mellan sträckan PQ och den fixa riktningen och avståndet r från P till Q. Dessa tal (r,t) kallas de polära koordinaterna för Q med avseende på det givna polära koordinatsystemet. Man kan jämföra med att läget av punkter på jordklotet bestäms genom att man anger avståndet mellan punkten och nordpolen samt vinkeln mellan meridianen genom Greenwhich och storcirkeln genom punkten och norpolen. Tänker man sig att jordklotet är en ballong så kan man göra ett hål i sydpolen och dra ut resten av ballongen till ett plan. Nordpolen och riktningen från nordpolen genom Greewhich utgör då ett planpolärt koordinatsystem.

Kjell Elfström

Svar:

Har du inte skrivit fel. Om A och B är två händelser så gäller att P(A eller B) = P(A) + P(B) - P(A och B). Jag skulle vilja påstå att två ömsesidigt uteslutande händelser inte kan inträffa samtigt och att formeln för sådana reduceras till P(A eller B) = P(A) + P(B) eftersom P(A och B) = 0 i det fallet. Vid kast med en tärning så är händelsen att få en etta och händelsen att få en tvåa ömsesidigt uteslutande. Det är att få jämnt resp. udda också. Däremot inte händelsen att få ett jämnt antal ögon och händelsen att antalet ögon är mindre än 4.

Kjell Elfström

Svar:

Regressionsanalys används för att anpassa kurvor på viss form till givna data. Ett exempel är när man har en modell för hur y beror på x och ett antal mätresultat i form av punkter (x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n). Det gäller då att bestämma funktionen så att avvikelsen av mätdata från modellen blir så liten som möjligt. Man kanske antar att modellen är lineär så att y = ax + b för några konstanter a och b. Modellen förutsäger vissa värden på y, nämligen koordinaterna av vektorn u = (ax₁ + b,ax₂ + b,ax₃ + b,...,ax_n + b) och de faktiska y-värdena är v = (y₁,y₂,y₃,...,y_n). Om man har en avståndsfunktion d(u,v) för att mäta avstånd mellan sådana vektorer så gäller det att bestämma a och b så att d(u,v) blir så liten som möjligt. En möjlig avståndsfunktion för avståndet mellan u = (u₁,u₂,u₃,...,u_n) och v = (v₁,v₂,v₃,...,v_n) är

Den som används oftast är emellertid

Det är en generalisering av avståndet mellan punkter i planet eller rummet och ger enklast räkningar. Här gäller det alltså att minimera kvadratsumman

och metoden kallas därför minsta-kvadrat-metoden. När parametrarna a och b förekommer lineärt som i denna modell kallas det lineär regression och man kan direkt använda metoder hämtade från den lineära algebran. Det har ingenting att göra med att funktionen y = ax + b är lineär. Även i t ex y = ax² + bx + c eller y = acos x + b förekommer parametrarna lineärt. Däremot inte i y = acos(bx + c). Ofta får man använda ickelineär regression, vilket är mer komplicerat. I vissa fall kan man dock skriva om funktionerna. Om y = Ae^kx så kan sambandet skrivas som ln y = ln A + kx. Om vi betraktar z = ln y som funktion av x får vi en lineär modell där vi med lineär regression kan bestämma ln A (och därmed A) och k med lineär regression. Ibland handlar det om att anpassa funktioner av en viss typ till en given funktion. Det gäller kanske att hitta ett polynom p(x) = ax³ + bx² + cx + d som ansluter till en funktion f(x) på ett intervall [A,B]. Att i minstakvadratnorm minimera avståndet betyder då att bestämma a, b, c och d så att integralen §_A^B(p(x) - f(x))²dx blir så liten som möjligt.

Kjell Elfström

Svar:

Indelningen är ett minne från det babyloniska talsystemet som hade sextio som bas och inte tio som vårt. Av samma skäl går det 60 minuter på en timme. Se An overview of Babylonian mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Professionella matematiker använder oftast TeX för att skriva matematik. TeX ger mycket snygga utskrifter om man använder det rätt, men det är inte alldeles enkelt att lära sig. TeX för Linux och andra UNIX-system kan laddas ner från The teTeX Homepage. Har du ett DOS-baserat system kan du ladda ner programmet från MiKTeX. Några symbolmanipulerande program finns omnämnda i svaret till 19 maj 1999 19.31.12. De är till skillnad från TeX dock inte gratis.

Kjell Elfström

Svar:

Man får utgå från t ex Peanos axiomsystem för de naturliga talen. Sök efter Peano från vår söksida, så hittar du tidigare liknande frågor. Man definerar 1 som efterföljaren 0' till 0 och 2 som efterföljaren 1' till 1. Addition definieras rekursivt genom a + 0 = a och a + b' = (a + b)'. Vi får 1 + 1 = 1 + 0' = (1 + 0)' = 1' = 2. Jag har inte sett något nedskrivet bevis för just detta påstående men antar att Peano själv visade det.

Kjell Elfström

Svar:

D(e^sin x) = e^sin xcos x. D²(e^sin x) = e^sin xcos² x - e^sin xsin x. D³(e^sin x) = e^sin xcos³x - 2e^sin xcos x sin x - e^sin xsin x cos x - e^sin xcos x. Nu kan du förenkla.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom arcsin x tillhör intervallet [-Pi/2,Pi/] och arccos x tillhör intervallet [0,Pi] så måste arccos x tillhöra [0,Pi/4], vilket betyder att 1/2^1/2 <= x <= 1. För sädana x är ekvationen ekvivalent med att

Eftersom sin(arccos x) >= 0 så är

Vi kan alltså skriva ekvationen

Eftersom x = 0 inte är en rot till den ursprungliga ekvationen kan vi dividera med x, kvadrera båda led och få att 1 = 4(1 - x²). Denna ekvation har rötterna x = ±3^1/2/2. Den negativa roten duger inte. Prövning (eftersom vi kvadrerade måste vi pröva) ger att den positiva roten löser den ursprungliga ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar vara en övning i anslutning till medelvärdessatsen, som säger att det finns sådana punkter. Kalla punkten för c. (I medelvärdessatsen brukar punkten betecknas med den grekiska bokstaven xi.) Villkoret är att tangentens riktningskoefficient f '(c) och linjens riktningskoefficient (f(2) - f(0))/(2 - 0) är lika. Lös ut c ur den ekvation detta ger.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström