Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar oktober 2002

Svar:

Det är en gymnasiekurs i matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Ibland använder vi beteckningen sqrt för "kvadratroten ur". Det är förkortningen för engelskans square root. Att vi inte använder rot beror på att det kan ha en annan betydelse.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att antalet lag är ett jämnt tal n = 2m och numrera lagen 0,1,2,...,n - 1. Matcherna representeras då av talpar (x,y), där 0 <= x <= n - 1 och 0 <= y <= n - 1. Vi koncentrerar oss på problemet att bestämma turordningen i en turnering där alla möter alla en gång. Sedan är det bara att spela samma turnering en gång till. Det laget som spelade hemma första gången får spela borta andra gången. Enkelturneringen består av n - 1 rundor med vardera m matcher. I varje runda skall varje lag spela precis en gång. Ett lag spelar inte mot sig självt och möter varje annat lag precis en gång under turneringen. Numrera rundorna 0,1,2,...n - 2 och matcherna i en runda som 0,1,2,...,m - 1. Eftersom matcherna kan betraktas som punkter i ett plan ligger det nära till hands att försöka skriva planets ekvation på parameterform:

där s betecknar matchnumret inom rundan och r betecknar rundans nummer. Naturligtvis måste vi räkna modulo något heltal eftersom matchnumrena kan hamna utanför tillåtet intervall annars. Att räkna modulo n som är ett jämnt tal verkade inte ge den önskade entydigheten att inte (x,y) förekom två gånger och att inte både (x,y) och (y,x) fick förekomma. Jag beslöt mig för att räkna modulo (n - 1) i stället och valde P = (0,-1), u = (1,-1) och v = (1,1). Jag valde inte P = (0,0) eftersom (x,x) inte får förekomma. u och v valde jag för de är lineärt oberoende när man räknar modulo ett udda tal. Följande matchschema verkar ha de önskade egenskaperna.

I runda r, 0 <= r <= n - 2, spelas matcherna

De ingående talen skall räknas modulo n - 1. Vi ser att i den sista matchen i varje omgång spelar alltid lag n - 1. Om antalet lag är udda kan vi låta n vara ett mer än antalet och låta det andra laget som skulle ha deltagit i den sista matchen stå över den omgången.

Jag överlåter åt dig att visa att schemat har de önskade egenskaperna.

int mod(int a,int n)
{
return((a+n)%n);
}

void printmatches(int n)
{
int M,N;
int s,r ;
N=n+(n&1);
M=(N>>1);
for (r=0;r<N-1;r++)
{
	printf("Runda %d: ",r);
	for (s=0;s<M-1;s++)
		printf("(%d,%d), ",mod(s+r,N-1),mod(-1-s+r,N-1));
	if (n&1)
		printf("%d står över\n",mod(M-1+r,N-1));
	else
 		printf ("(%d,%d)\n",mod(M-1+r,N-1),N-1);
}		
}

Kjell Elfström

Svar:

Problemet dyker inte bara upp när a (jag skriver a i stället för alfa) är ickereellt. Tag t ex a = 1/2. Eftersom ekvationen w² = z har två lösningar för alla komplexa tal z utom noll så måste vi här bestämma oss för vilken av dessa båda lösningar som skall vara z^1/2. Man bestämmer kanske sig för att det skall vara den positiva lösningen då z är positivt, så att z^1/2 = sqrt(z) för reella positiva värden på z. Man vill sedan definiera f(z) = z^1/2 även för andra komplexa tal på ett sådant sätt att funktionen blir kontinuerlig. Vi betraktar för enkelhets skull komplexa tal z på formen z = e^it, dvs komplexa tal på enhetscirkeln. Det kan då vara naturligt att definiera z^1/2 som e^it/2. För t = 0 ger detta det önskade resultatet 1^1/2 = 1. Men vad händer då vi går runt cirkeln? Även då t = 2Pi har z = e^it värdet 1 och vi får 1^1/2 = e^i Pi = -1.

En naturlig definition av z^a är z^a = e^alog z. Vad är då log z. Det bör vara ett komplext tal w, sådant att e^w = z. Även här är problemet att det finns många sådana tal w. Betraktar vi åter talen på enhetscirkeln så skall logaritmen för e^it vara it + 2Pi in, där n är ett heltal. Här råkar man i princip ut för samma problem som innan. Om vi väljer n = 0 då t = 0 så att log 1 = 0 och fortsätter runt enhetscirkeln så blir logaritmen 2Pi i för e^2Pi i = 1.

Problemet är att vi kan följa en väg runt origo och komma tillbaka till startpunkten. Om området är enkelt sammanhängande och inte innehåller origo är en sådan vandring omöjlig.

Man kan utveckla kring andra punkter än 0, precis som i envariabelanalysen, men egentligen räcker det att kunna utveckla kring 0. Vill man utveckla funktionen f kring en punkt a kan man lika väl utveckla g(z) = f(z + a) kring 0. T ex är ju utvecklingen av ln(z + 1) kring 0 en utveckling av ln z kring 1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag får be dig kontakta LTH. På Vita hyllan finns telefonnummer och epostadress till deras expedition.

Kjell Elfström

Svar:

Det kan jag inte svara på. På sidan The Fields Medal finns vinnarna av Fieldsmedaljen som ges till framstående och lovande matematiker.

Kjell Elfström

Svar:

Se Eric Weisstein's World of Mathematics. Beviset finns antytt där.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns det nästan alltid när det gäller kombinatorik. Börja med att välja ut en person. Det finns då 15 olika personer som denne kan bilda par med. Välj sedan en av de återstående. Han kan bilda par med 13 olika. Fortsätter vi så så får vi 15·13·11·9·7·5·3·1 = 2027025 sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är bara den inbördes placeringen som har betydelse. Vi kan alltså placera hedersgästen på en viss plats och därefter räkna efter på hur många sätt vi kan placera ut de övriga gästerna. De personer som är av samma kön som hedersgästen skall placeras på nio olika stolar. Detta kan göras på 9! sätt. På de återstående 10 stolarna placerar vi gästerna av det andra könet och det kan göras på 10! sätt. Vi får 9!·10! möjliga sätt att placera gästerna.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan ställdes ursprungligen den 12 september 2002 01.26.39.

(1) Utvecklingen i vänsterledet får man genom att Taylorutveckla sin t, dividera både sin t och utvecklingen med t och sätta in t = Pi z. Vad gäller högerledet är idén att funktionen sin(Pi z)/(Pi z) har nollställena ±1,±2,±3,... Om nollställena varit ändligt många och funktionen sin(Pi z)/(Pi z) hade varit ett polynom hade vi kunnat faktorisera detta polynom som

Eftersom (gräns-) värdet av sin(Pi z)/(Pi z) är 1 då z = 0 skall den konstanta termen i produktutvecklingen vara 1. För att detta skall gälla skall alltså k vara (-1/1²)(-1/2²)(-1/3²)^... (vi förutsätter fortfarande felaktigt bara ändligt många faktorer) och vi får

Att rättfärdiga detta resonemang, dvs att visa att denna oändliga produkt har gränsvärdet sin(Pi z)/(Pi z), är något som ofta görs i kurser om analytiska funktioner.

(2) I vänsterledet är det är bara att avläsa. -Pi²/3! = -Pi²/6. Om högerledet varit en produkt av bara ändligt många faktorer så kunde vi multplicera ihop faktorerna. Bidragen till z²-termen får man genom att välja en etta ur alla parenteser utom en och man inser att koefficienten för z² hade blivit en ändlig summa -summa(1/n²). Nu är det inte ändligt många faktorer och summan får oändligt många termer, men likhet gäller ändå. Detta visas också ofta i kurser om analytiska funktioner.

Kjell Elfström

Svar:

a) Utnyttja att ln x² = 2ln|x|. Bestäm en primitiv funktion genom partiell integration. Integrera 2 och derivera ln|x|.

b) Integranden kan skrivas (1/3^1/2)(1/(1 - ((2/3^1/2)x)²)^1/2). Utnyttja nu att D(arcsin t) = 1/(1 - t²)^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt z = re^it. Eftersom 5 - 5i = 5·2^1/2e^-Pi i/4 är ekvationen ekvivalent med

Två komplexa tal är lika bara om deras belopp är lika och argumenten skiljer sig åt med en heltalsmultipel av 2Pi. Detta ger att r = (5·2^1/2)^1/3 och t = (2k/3 - 1/12)Pi, där k är ett godtyckligt heltal. Eftersom k och k + 3 ger samma värde på z så ges samtliga rötter av k-värdena 0, 1 och 2. Vill man svara på formen a + bi kan man utnyttja att e^-Pi i/12 = e^Pi i/4e^-Pi i/3.

Kjell Elfström

Svar:

Sidan A history of Zero ger kanske inte ett direkt svar på frågan men är läsvärd.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om jag förstår frågan. Är det fråga om att uppdela vektorn v som (har en representant som) går från A till B i komposanter parallella med x- y- och z-axlarna bestämmer man först koordinaterna för vektorn v. Dessa är (4000 - 1000,2000 - 1000,1000 -1000) = (3000,1000,0). Komposantvektorerna blir (3000,0,0), (0,1000,0) resp. (0,0,0).

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen kan skrivas f(x) = x + x³ + x⁵ - a = 0. Om x_n är en approximativ lösning kan det ligga nära till hands att kompensera med funktionens avvikelse från noll. Vi prövar med följande rekursionsföljd.

Vi väljer att draga ifrån funktionsvärdet från den approximativa roten eftersom f är växande. Kalla den exakta roten för b. Då är |b| <= |a|. Drag b från båda led i rekursionsformeln. Använder vi att f(b) = 0 och medelvärdessatsen får vi

där c_n är ett tal mellan x_n och b. Om faktorn (5c_n⁴ + 3c_n²) <= 1 för alla n så avtar felet |x_n - b|. Om x₀ väljs mellan -a och a kommer i så fall x_n att ligga mellan -a och a för alla n. Då ligger också c_n mellan -a och a. (Man kan ju välja x₀ = 0 eller x₀ = a.) Antag nu att |a| <= 1/5. Då är 5c_n⁴ + 3c_n² <= 16/125. Vi får då att

varav

om x₀ = a och |a| <= 1/5. Om n >= (ln(10⁵/5))/(ln(125/16)) så blir felet tillräckligt litet.

Kjell Elfström

Svar:

Vi använder John B. Fraleigh, A first course in Abstract Algebra, 6th ed., Addison-Wesley i vår kurs Algebra 2. Grundläggande läroböcker i abstrakt algebra förutsätter oftast att man läst matematik ett par terminer. Det krävs normalt inte att man har så mycket förkunskaper utan mer att man har erfarenhet av det matematiska tankesättet. Boken finns i bokhandeln här i Lund. På stadsbibliotek och liknande finns väl sällan böcker av detta slag.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan v' = 2KRr - 3Kr² är noll då r = 0 eller r = (2/3)R. Det största värdet antages i någon av dessa punkter eller i någon av ändpunkterna. Jämför värdena eller gör ett teckenstudium av derivatan.

Kjell Elfström

Svar:

Derivera höjdfunktionen och bestäm på så sätt dess största värde.

Kjell Elfström

Svar:

Låt a vara ett tal i definitionsmängden till f. Om det gäller att f(a) >= f(x) för alla x i definitionsmängden kallas a en maximipunkt. Vänder vi på olikhetstecknet får vi en minimipunkt. Maximi- och minimipunkter kallas för extrempunkter. Om en funktion f är definierad på ett kompakt intervall och om f är kontinuerlig där så har f såväl en maximipunkt som en minimipunkt. Extrempunkter kan för en sådan funktion bara förekomma i ändpunkterna till intervallet, i inre punkter där derivatan inte existerar och i inre punkter där derivatan är noll.

Kjell Elfström

Svar:

Gränsvärdena av f(x) är a och 1 då x --> 0 från vänster respektive höger och f(0) = 1. Funktionen blir alltså kontinuerlig för x = 0 om vi sätter a = 1. Vänster- och högerderivatan är 1 resp. 0 så någon tangent kan inte komma i fråga.

Se List of Staff.

Kjell Elfström

consider the 2*2 problem, there are the following possible boards:

oo 
oo 

xo 
oo 

xx 
oo 

xo 
ox 

xx 
xo 

xx 
xx 

Svar:

Det är nog ingen ledning i egentlig mening, bara ett exempel som visar lösningarna om schackbräden bara hade haft fyra rutor. Fördelen med sådana små bräden är ju att man på ett litet utrymme kan skriva upp alla lösningarna.

Om jag har förstått problemet rätt så finns det betydligt många fler möjligheter än 888. Om man inte likställer färgläggningar som kan erhållas ur varandra genom att man roterar brädet eller speglar det så kan varje ruta färgläggas på två sätt och det finns 64 rutor. Det ger 2⁶⁴ = 18446744073709551616 möjligheter. Nu förväntar vi oss dock ett mindre antal. Den färgläggningen där de vänstra 32 rutorna är svarta och de högra 32 rutorna är vita skall betraktas som samma som den där den vänstra delen är vit och den högra delen är svart eftersom den ena kan fås ur den andra genom att man speglar brädet i linjen mellan d- och e-linjen. Även färgläggningen där de övre 32 rutorna är svarta och de nedre är vita är samma som dessa två eftersom den kan erhållas genom att man roterar den andra ett kvarts varv moturs.

Det finns 8 symmetrier av en kvadrat, dvs 8 sätt att rotera eller spegla brädet. Dessa är I, R, R², R³, S, RS, R²S och R³S. I betyder identiteten då man lämnar brädet oförändrat. R är rotation ett kvarts varv moturs, R² är två sådana rotationer i följd, dvs rotation ett halvt varv. R³ är på samma sätt rotation trekvarts varv. S betyder spegling i, låt oss säga, diagonalen som går från det nedre vänstra till det övre högra hörnet. R^kS betyder att man först speglar och därefter roterar k kvarts varv. Om vi betecknar hörnen med A, B, C och D med början på det nedre vänstra hörnet och vidare i moturs riktning så visar tabellen var hörnen hamnar efter respektive operation.

Vi ser att vi lika väl kunde ha beskrivit R³, S, RS, R²S och R³S som rotation ett kvarts varv medurs, spegling i diagonalen från nedre vänstra till övre högra hörnet, spegling i linjen mellan d- och e-linjen, spegling i diagonalen från nedre högra till övre vänstra hörnet respektive spegling i linjen mellan 4:e och 5:e raden. I fortsättningen tänker vi på dem på det sättet.

För att lösa problemet använder vi Burnsides formel. Låt X vara mängden av alla möjliga färgläggningar. Då innehåller X 2⁶⁴ element. Mängden G som består av de 8 symmetrierna är en grupp under sammansättning. Om s tillhör X och a tillhör G menar vi med as den färgläggning man får om man tillämpar symmetrin a på det bräde som har färgläggningen s. Om t ex a = R och s är brädet med vänstra halvan svart och högra vit så är as färgläggningen där övre halvan är vit och nedre svart. Om s är en fix färgläggning så är Gs mängden av färgläggningar som kan erhållas från s med hjälp av symmetrierna. Gs kallas en bana och det är antalet olika banor som söks. Om a är en fix symmetri så skall vi med X_a mena mängden av färgläggningar som inte ändras om vi tillämpar symmetrin a på brädet. Om a är identiteten I så är X_a mängden av alla färgläggningar och om a = S så består X_a av de färläggningar som är sådana att den övre vänstra delen är spegelbilden av den nedre högra. Vi använder beteckningen |M| för antalet element i mängden M och skriver ner Burnsides formel:

Vi vet att |G| = 8 och behöver bara beräkna |X_a| för de 8 olika symmetrierna a. Enklast är fallet där a = I. Eftersom I inte ändrar några färgläggningar så är |X_I| = 2⁶⁴. Då a = R eller a = R³ bestäms färgläggningen av färgen på t ex de 16 rutor som finns i övre högra hörnet. I båda fallen får vi |X_a| = 2¹⁶. Då a = R² kan vi fritt välja färg på t ex rutorna i övre halvan, varvid färgerna i nedre halvan bestäms av valet i övre halvan. Det ger att |X_a| = 2³². Vad gäller speglingarna S och R²S kan vi fritt välja färg på de 8 rutorna på respektive diagonal. Vi kan även välja färg fritt på de 28 rutorna på den ena sidan om diagonalrutorna. Färgen på rutorna på den andra sidan bestäms sedan av detta val. I båda fallen är |X_a| = 2³⁶. Slutligen är |X_a| = 2³² då a = RS eller a = R³S. Enligt Burnsides formel är antalet banor

Kjell Elfström

Svar:

Det känner jag inte till. Spelteori är en del av matematiken. Se om du hittar något i artiklarna som inleds med Game på sidan Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Ja. Om de måste vara olika brukar det i allmänhet stå särskilt angivet.

Kjell Elfström

Svar:

Variabelsubstitution är en teknik som används vid intgration. Den motsvarar kedjeregeln (du känner kanske till begreppet inre derivata) vid derivation. Låt F vara en primitiv funktion till f. Eftersom

så är F(g(x)) en primitiv funktion till f(g(x))g'(x). I § 2x cos x² dx har vi turen att se att integranden är på formen f(g(x))g'(x), där f(y) = cos y och g(x) = x². För att finna en primitiv funktion till 2x cos x² behöver vi bara hitta en primitiv funktion F till f och en sådan är F(y) = sin y. Vi får alltså att

Formeln kan skrivas

För att få vänsterledet kan man alltså bestämma högerledet uttryckt i y och när det är gjort ersätta y med g(x). Om man i vänsterledet sätter y = g(x) så är dy/dx = g'(x) och man kan räkna formellt som

Nu är det inte så ofta som man råkar se att integranden har rätt form men man kan använda formeln från höger till vänster också. Jag byter plats på leden och byter samtidigt plats på x och y.

Låt oss exemplifiera med §(1/(1 + e^x))dx. Vi sätter y = e^x. Då är x = g(y) = ln y och g'(y) = dx/dy = 1/y. Vi får

För att lyckas krävs det att man hittar rätt variabelbyte x = g(y) och det kan ibland vara svårt. Metoden fungerar heller inte på alla "besvärliga" integraler. Skriver man upp en integral på måfå så är det bara i sällsynta undantagsfall som det går att finna en primitiv funktion uttryckt i de elementära funktionerna.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns formler för att lösa fjärdegradsekvationer men problemet är att lösningen inte blir hanterbar. Om någon storhet är mycket liten i förhållande till de övriga kan man försumma den och försöka uppskatta hur stort felet blir vid denna förenkling av problemet. Om t ex T är mycket nära noll är T ⁴ kanske försumbar. Om T i stället är stor är det kanske acceptabelt att försumma termen aT eller c. Värdena på konstanterna och T får avgöra. Slutligen kan man naturligtvis lösa ut T numeriskt ur ekvationen, t ex med hjälp av Newton-Raphsons metod.

Kjell Elfström

Svar:

Det är en likhet mellan två uttryck som innehåller en eller flera obekanta. Ett exempel är 4x + 2 = 10. Man söker det tal x som uppfyller ekvationen, dvs som gör likheten sann. En lösning är i detta fall x = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Det är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Låt D vara mittpunkten på sträckan BC, E den inskrivna cirkelns medelpunkt och F och G medelpunkterna av cirklarna som innehåller tangeringspunkterna B resp. C. Kalla de ursprungliga cirklarna radier för R och den inskrivna cirkelns radie r. Då är AGCD en kvadrat med sidan R, så dess area är R². Halva arean av området ABC får vi om vi från kvadratarean drar arean av cirkelsektorn GAC. Sektorns area är (Pi/4)R², varför halva arean av området ABC är R² - (Pi/4)R² = R²(1 - Pi/4). Områdets area är därför R²(2 - Pi/2). Sträckan AD är R och sträckan ED är r, varför AE = R - r. Pythagoras sats tillämpad på den rätvinkliga triangeln EAG ger att (R + r)² = R² + (R - r)². Utvecklar vi kvadraterna får vi att r = R/4. Den inskrivna cirkelns area är därför Pi R²/16. Förhållandet mellan denna cirkelarea och arean av området ABC är därför (Pi R²/16)/(R²(2 - Pi/2)) = Pi/(8(4 - Pi)), knappt 46%.

Kjell Elfström

Svar:

3⁴ = 81 och 3²⁰⁰⁰ = 3^4·500 = (3⁴)⁵⁰⁰ = 81⁵⁰⁰, vilket måste ha entalssiffran 1.

Kjell Elfström

Svar:

Nej och jag har heller inte hittat någon på Internet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte tillräckliga kunskaper i statistik för att kunna ge ett kvalificerat svar.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen f(x) = summa_k = 1 ^oo x^k2 är sånär som på ett variabelbyte identisk med theta-funktionen theta(x) = summa_k = -oo^oo e^k2Pi ix. Funktionen är nära besläktad med summa_k = 1^oo(1/(k²Pi))sin(k²Pi x), en funktion som Riemann introducerade för att visa att en kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar. Han lyckades inte visa att den inte var deriverbar någonstans och det är heller inte sant. Den är emellertid inte deriverbar i några irrationella punkter, vilket har visats av Hardy. Senare har Gerver visat att den är deriverbar med derivatan -1/2 i rationella punkter p/q, där p och q är relativt prima udda heltal, och att den inte är deriverbar i några andra punkter.

Några slutna uttryck med vilkas hjälp funktionen kan beräknas finns inte. Uppenbarligen är konvergensradien 1 för potensserien f(x) = summa_k = 1 ^oo x^k2. Då x --> 1 från vänster uppför sig f(x) som g(x) = (1/2)(Pi/(x - 1))^1/2, vilket betyder att f(x)/g(x) --> 1 då x --> 1^-.

Kjell Elfström

Svar:

Bevismetoden användes i Eulers ursprungliga bevis. Se den andra delen av svaret till 12 september 2002 01.26.39 för bevisidén. Det fullständiga beviset är inte särskilt svårt men det kräver en del förkunskaper om analytiska funktioner och tar en del utrymme i anspråk. För detaljer måste jag därför hänvisa till någon bok om analytiska funktioner, t ex Titchmarsh: Theory of Functions, Oxford University Press. Genom att jämföra koefficienterna för z⁴ får man också att summa_k = 1^oo(1/k⁴) = Pi⁴/90. Funktionen (grekiskt z)(s) = summa_n = 1^oo (1/n^s) kallas Riemanns zetafunktion. Se vidare i Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror gränserna skall vara -Pi/2 och Pi/2. Arean under grafen till kurvan y = cos x är §_-Pi/2^Pi/2 cos x dx = [sin x]_-Pi/2^Pi/2 = 2. Arean under grafen till y = 1 - kx² är §_-Pi/2^Pi/2 (1 - kx²) dx = [x - kx³/3]_-Pi/2^Pi/2 = Pi - kPi ³/12. De båda areorna är lika då k = 12(Pi - 2)/Pi³.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kan placera en av bastrianglarna så att dess hörn befinner sig i (0,0,0), (3^1/2r/2,-r/2,0) och (3^1/2r/2,r/2,0). Om (x,y,0) är en punkt på någon av de radiella sidorna av triangeln så är höjden över punkten (r² - x² - y²)^1/2. Höjden över triangelytan beror bara på x och är z = f(x,y) = f(x,(1/3^1/2)x) = (r² - (4/3)x²)^1/2. Volymen av den delen av tältet som befinner sig över triangeln är §₀^31/2r/2§_-(1/3^1/2)x^(1/31/2)x (r² - (4/3)x²)^1/2 dydx. Multiplicera denna integral med 6 för att få hela volymen.

Kjell Elfström

Svar:

2²⁰/2 = 2²⁰/2¹ = 2^20 - 1 = 2¹⁹. 2²⁰/4 = 2²⁰/2² = 2^20 - 2 = 2¹⁸.

Kjell Elfström

Svar:

Ett Dedekindsnitt X är en mängd av rationella tal med följande egenskaper:

1) X innehåller minst ett rationellt tal, men inte alla rationella tal
2) Om x tillhör X och y < x så gäller att y tillhör X
3) X innehåller inget största rationellt tal

Om x är ett rationellt tal så är X = {y ; y < x} ett Dedekindsnitt. Man kallar ett snitt definierat på detta sätt för ett rationellt snitt och man indentifierar sådana snitt med de rationella talen. Förutom dessa rationella snitt finns ytterligare snitt. Dessa kallas irrationella snitt. T ex är X = {x ; x < 0 eller x² < 2} ett irrationellt snitt. De rationella och de irrationella snitten utgör definitionsmässigt de reella talen. Man säger att X < Y om det finns ett rationellt tal x så att x tillhör Y men inte X. Summan av X + Y av X och Y definieras genom X + Y = {x + y ; x tillhör X och y tillhör Y}. Att definiera multiplikation är litet mer komplicerat så jag avstår från det här.

Det finns lika många reella tal i intervallet (0,1) som i intervallet (1,1000). Två mängder A och B har definitionsmässigt lika många element om det finns en bijektiv funktion f från A till B. Att den är bijektiv betyder att olika element i A avbildas på olika element i B och att varje element i B är ett funktionsvärde. En bijektiv funktion från (0,1) till (1,1000) är f(x) = 999x + 1.

Kjell Elfström

Svar:

Standardfelet beräknas med hjälp av formeln

Den andra frågan kan jag inte svara på. Jag är inte statistiker men anar att man måste känna till mer om den verkliga pulsens fördelning än vad som framgår av frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla triangelns hörn för A, B och C och antag att AB = 10, AC = BC = a. Låt P vara den punkt i triangeln där de tre dragna linjerna möts och M och N mittpunkten på sidan AB resp. BC. Eftersom PB = PC = x så är vinkeln CNP rät. Även vinkeln CMB är rät och därför är trianglarna CMB och CNP likformiga. Om h är höjden MC ger det att a/h = x/(a/2), varför x = a²/(2h). Enligt Pythagoras sats så är h² = a² - 10² och vi får x = a²/(2(a² - 100)^1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Problemet är ett tätpackningsproblem. Se Eric Weistein's World of Mathematics för mer information.

Kjell Elfström

Svar:

En handelsresande skall besöka n olika städer och återvända till utgångspunkten vid resans slut. Varje stad skall besökas en gång och avstånden mellan städerna är kända. Handelsresandeproblemet är att bestämma i vilken ordning som städerna skall besökas för att minimera den totala resvägen. Man känner inte till någon annan metod för att lösa problemet än att gå igenom de (n - 1)! möjliga färdvägarna. Problemet är mycket allmängiltigt eftersom städerna kan ersättas med punkter av något slag och avstånden med kostnader i form av pengar eller tid eller något annat. Se också Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Elementen är ekvivalensklasserna [x] = {x + n ; n tillhör Z³} där x = (x₁,x₂,x₃) genomlöper alla element i R³. Om [(x₁,x₂,x₃)] är ett element i R³/Z³ så finns det ett entydigt bestämt element (y₁,y₂,y₃) i enhetskuben K = [0,1)×,[0,1)×[0,1) sådant att [(x₁,x₂,x₃)] = [(y₁,y₂,y₃)]. Additionen i R³/Z³ definieras av [x] + [y] = [x + y]. Vi kan alltså tänka på R³/Z³ som K. Addition i K definieras då genom (x₁,x₂,x₃) + (y₁,y₂,y₃) = (z₁,z₂,z₃), där z_i är decimaldelen av x_i + y_i.

Kjell Elfström

Svar:

T är inverterbar om och endast om M är inverterbar och det är den om och endast om dess determinant är skild från noll. Genom att utveckla determinanten efter en kolonn i taget med början från vänster inser man att determinanten är produkten av diagonalelementen.

Kjell Elfström

Svar:

Hej Erik!

Oändligtdimensionella representationer brukar betraktas i fullständiga topologiska vektorrum såsom Hilbertrum, Banachrum eller Frechetrum. I dessa fall induceras en representation av liealgebran endast i ett tätt underrum - Gårdingunderrummet.

Weyl's "unitarian trick" gör det möjligt att i en Hilbertrumsrepresentation, genom att ev. ändra skalärprodukten, men utan att ändra topologin, uppnå att en fixerad maximal kompakt undergrupp (SO(2) i fallet SL(2,R)) verkar unitärt. Detta behöver dock inte innebära att hela SL(2,R), som är ickekompakt, verkar unitärt.

De unitära irreducibla representationerna utgör en delklass till de irreducibla Hilbertrumsrepresentationerna. Klassifikationen av de parametervärden som svarar mot unitära representationer har varit ett av huvudproblemen i representationsteori för halvenkla ändligtdimensionella Liegrupper de senaste 40 åren. I fallet SL(2,R) är de dock kända.

För utförligare utredningar hänvisar jag till

S.Lang, SL(2,R), Graduate Texts in Mathematics 105, Springer Verlag, 1985.

D.A. Vogan, Representations of Real Reductive Liegroups, Birkhäuser, 1981.

Arne Meurman

Svar:

Använd sambandet mellan rötter och koefficienter. Om nollställena är x₁, x₂ och x₃ så är

Detta ger att

Sätt nu x₁ = -2, x₂ = 1 + 2i och x₃ = 1 - 2i och bestäm b, c och d uttryckta i a. Använd sedan att f(-1) = 8 för att bestämma a.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt w = z² och lös ekvationen w² + 4w + 8 = 0. Då är z² = w = 2(-1 ± i). Lös nu ut z ur dessa båda binomiska ekvationer genom att sätta z = re^it.

Kjell Elfström

Svar:

Nej. Absolutbeloppet av vänsterledet är |z|/|z(konjugat)| = 1. Beloppet av högerledet är (3^1/2 - 1)/2.

Kjell Elfström

Svar:

Det skall vara 70 g silver i bägaren. Antag att han tar x g av legeringen och (100 - x) g av det rena silvret. Då innehåller bägaren (0,6x + 100 - x) g silver. Lös nu ekvationen 0,6x + 100 - x = 70.

Kjell Elfström

Svar:

Bilda den linje som går genom P och är parallell med planets normalvektor (3,-1,-2). Den sökta punkten är linjens skärningspunkt med planet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till något effektivt sätt att lösa problemet på. Mängderna A och B är väl ändliga så det behövs bara ändligt många prövningar. Det blir emellertid många om antalet punkter är stort och dimensionen stor.

Kjell Elfström

Svar:

Noll anses vara ett tal, numera också ett naturligt tal.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att du går någon matematikkurs och att förmodar att frågorna är hämtade från något häfte med repetitionsfrågor. Du finner säkerligen svaren i kursboken.

Kjell Elfström

Svar:

Det är ingen matematisk fråga. Själv upplever jag att det som sker strax kommer att ske tidigare än det som sker om en stund. Hur mycket tidigare varierar dock från situation till situation.

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen du vill lösa är x³ = 1 och det hade varit naturligare att svaret blivit x = 1^1/3. Detta hade dock förlett en att tro att det bara finns en rot, nämligen x = 1. Vi börjar med att lösa ekvationen x³ = 1. En sådan ekvation kallas binomisk. För att finna samtliga komplexa rötter till ekvationen sätter vi x = re^it. Då är ekvationen ekvivalent med

Enligt potenslagarna kan vi skriva om vänsterledet och få

Två komplexa tal är lika om och endast om deras belopp är lika och deras argument skiljer sig åt med en heltalsmultipel av 2Pi. Detta ger att ekvationen är ekvivalent med att

där k är ett godtyckligt heltal. Det betyder att r = 1 och t = (2Pi/3)k, varför ekvationens rötter ges av x = e^(2Pi/3)ki. Eftersom k och k + 3 ger samma värde på x får vi de tre rötterna x = e^(2Pi/3)ki, k = 0,1,2. Skriver vi dem på formen a + bi blir de 1, -1/2 ± (3^1/2/2)i. Detta är de tre tredjerötterna till 1. Vill du finna de tre tredjerötterna till -1 löser du i stället ekvationen x³ = -1. Utnyttja då att -1 = e^Pi i. Man inser att tredjerötterna ur 1 och -1 skiljer sig åt endast med avseende på tecknet.

Kjell Elfström

Svar:

Utför polynomdivisionen så får du

Bestäm nu a så att resten är nollpolynomet.

Kjell Elfström

Svar:

Det är en andragradsekvation där det inte räcker att draga roten ur. Skriv om den som x² - 0,027x = -0,613. Vi lägger till kvadraten av halva koefficienten för x till båda leden och får att ekvationen kan skrivas som

Det vi har gjort kallas för kvadratkomplettering. Enligt kvadreringsregeln kan vänsterledet skrivas (x - 0,027/2)² och ekvationen övergår i

Eftersom högerledet är negativt och vänsterledet en kvadrat så finns det ingen reell lösning till ekvationen. Hade den ursprungliga ekvationen varit 0,027x = x² - 0,063 hade vi kunnat skriva om den som

Här kan vi gå vidare och få att x - 0,027/2 = ±((0,027/2)² + 0,613)^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Du anser förmodligen att den rumsfyllande kurvan är en union av något som kan motsvara funktionsgrafer av envariabelfunktioner och att den därför skulle vara en nollmängd. För Lebesgueintegralen gäller det att unionen av uppräkneligt många nollmängder är en nollmängd så kurvan kan inte vara en sådan union. Godtyckliga unioner av nollmängder behöver inte vara nollmängder. Tänk bara på att en enstaka punkt är en nollmängd men att en mängd alltid kan skrivas som unionen av de mängder som innehåller precis en punkt ur mängden i fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Använd logaritmlagarna för att skriva om funktionen.

Vi får att

varför x = (2/7)^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Placera ut två cirklar så att de tangerar mittcirkeln och varandra utvändigt. Om P₀ är mittcirkelns och P₁ och P₂ de yttre cirklarnas medelpunkter så är triangeln P₀P₁P₂ liksidig. Vinkeln P₁P₀P₂ är alltså 60°. Eftersom det går 6·60° = 360° på ett helt varv följer det att man kan placera 6 cirklar som tangerar mittcirkeln så att två närliggande tangerar varandra.

Kjell Elfström

Svar:

Likformighet ger att h = mr, där m är en konstant. Detta ger att ln h = ln m + ln r. Deriverar vi båda led med avseende på t så får vi h'/h = r'/r. Eftersom V = Pi r²h/3 så är

Derivation ger nu att

och utnyttjar vi att V ' = k så får vi

Vi använder sedan att A = Pi r² och får på samma sätt som innan att

Löser vi ut A' får vi

Som framgår av räkningarna behövs inte förutsättningen om att V ' är konstant. Det räcker att man vet att V ' = k vid tidpunkten i fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Vi betecknar skalärprodukten med ·. Då är

Enligt 2) är a·(b - c) = 0. Detta ger att

På samma sätt följer det av 2) att

Enligt 3) är därför

vilket ger att |a|² = |b - c|². Utvecklar vi nu högerledet får vi att

Enligt 1) är därför

och detta ger att

varför t = Pi/3.

Kjell Elfström

Svar:

Prova att ställa frågan till Nationellt resurscentrum för matematikundervisning.

Kjell Elfström

Svar:

Om den andra cylinderns höjd och radie är h resp. r så är motsvarande värden för den första cylindern 2h resp. r/2. Volymerna av cylinder 1 och 2 är Pi(r/2)²(2h) = Pi r²h/2 resp. Pi r²h.

Kjell Elfström

Svar:

Se 23 oktober 2002 15.35.38 och 16 oktober 2002 23.12.54.

Kjell Elfström

Svar:

Se 19 september 2002 12.24.07. Den alternativa lösningen där är enklast och en bra approximation. Låt r vara den tomma rullens radie och R radien av rullen med väven på. Låt vidare c vara vävens tjocklek och sätt n = (R - r)/c. Då är vävens längd ungefär 2Pi(rn + cn(n + 1)/2).

Kjell Elfström

Svar:

(4³)² = 4^3·2 = 4⁶. 4⁶·4^-8 = 4^6 - 8 = 4^-2 = 1/4² = 1/16.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror lodräta asymptoter, åtminstone principiellt, är ganska okomplicerade och koncentrerar mig på sneda asymptoter. För enkelhets skull tar jag bara upp asymptoter då x --> oo (och inte -oo). Linjen y = kx + m är en asymptot till kuvan y = f(x) (då x --> oo) om f(x) - (kx + m) --> 0 då x --> oo. Det betyder att kurvan närmar sig linjen obegränsat.

Om f är en rationell funktion kan man bestämma asymptoter med hjälp av polynomdivision. Om t ex f(x) = (2x² - x - 2)/(x + 1) får vi efter division att f(x) = 2x - 3 + 1/(x + 1) och eftersom 1/(x + 1) --> 0 då x --> oo följer det direkt att f(x) - (2x - 3) --> 0 då x --> oo. Detta visar att y = 2x - 3 är en asymptot.

Antag nu att y = kx + m är en asymptot. Då gäller det att f(x) - (kx + m) --> 0 då x --> oo. Dividerar vi med x går uttrycket fortfarande mot noll. f(x)/x - k - m/x --> 0 då x --> oo. Eftersom m/x --> 0 följer det att f(x)/x --> k då x --> oo. Det enda möjliga k-värdet för en asymptot är alltså gränsvärdet av f(x)/x. Om detta gränsvärde saknas finns ingen asymptot. Även om gränsvärdet existerar är det inte säkert att det finns någon asymptot. Om gränsvärdet k existerar undersöker vi om gränsvärdet m av f(x) - kx existerar. Om så är fallet är y = kx + m en asymptot enligt definitionen och annars finns det ingen asymptot.

Exempel 1. f(x) = (x³ + 1)/(x + 2). Här går f(x)/x mot oo då x --> oo varför sned asymptot saknas.

Exempel 2. f(x) = ln x - x. Här är f(x)/x = (ln x)/x - 1. Gränsvärdet är k = -1. f(x) - (-1)x = ln x. Gränsvärdet m saknas. Asymptot saknas alltså trots att gränsvärdet k existerade.

Exempel 3. f(x) = (4x² + 1)^1/2 - 1. Här får vi genom att förlänga med konjugatkvantiteten att

Sätt k = 2. Då får vi genom att förlänga med konjugatkvantiteten att

Linjen y = 2x - 1 är alltså en asymptot.

Kjell Elfström

Svar:

Det är bättre att låta högerledet stå som det står. Tänker man på 4x som 2(2x) får man nämligen att vänsterledet är 10(sin 2x)(cos 2x). Ekvationen kan alltså skrivas (sin 2x)(10cos 2x - 3) = 0. Antingen är sin 2x = 0 eller så är cos 2x = 3/10. Eftersom jag inte tror att du känner till arccos ger jag ingen exakt lösning utan överlåter åt dig att lösa ekvationerna numeriskt med hjälp av räknare.

Kjell Elfström

Svar:

Rita området så ser du att det är en kvartscirkel. Den första olikheten anger en cirkel med radien 2 och medelpunkt i -1 + 2i.

Kjell Elfström

Svar:

Man vet inte vem som kom på att det fanns ett konstant förhållande mellan omkrets och diameter i en cirkel, men det måste ha varit för mycket länge sedan. En av de första som med teoretiska metoder bestämde ett närmevärde till förhållandet pi (som inte är exakt 3,14) anses vara Arkimedes. Se A history of Pi och A chronology of pi.

Kjell Elfström

Svar:

Låt A stå för att Albert är skyldig och B för att Börje är skyldig. Om Albert är skyldig är det han säger falskt. Satslogiskt kan vi skriva detta

Gör du en sanningstabell för detta påstående (som är sant) så kommer du att se att det bara är sant om A är falskt.

Kjell Elfström

Svar:

Se 25 januari 2001 10.14.08.

Kjell Elfström

Svar:

Om du gör som du själv föreslår får du -2iy³ - 5y² + 18iy + 45 = 0. Real- och imaginärdelarna av ekvationens båda led måste vara lika. Detta ger

Den andra ekvationen har rötterna y = ±3. Båda dessa löser även den första ekvationen. Det innebär att z = ±3i löser den ursprungliga ekvationen. Enligt faktorsatsen delar (z - 3i)(z + 3i) = z² + 9 det ursprungliga vänsterledet. Utför vi polynomdivisionen får vi att

Ekvationen har alltså rötterna ±3i och -5/2.

Kjell Elfström

Svar:

Kulans hastighet har en horisontell och en vertikal komponent. Att den horisontella komponenten är 900 m/s från början är betydelselöst. Tyngdaccelerationen är ungefär 9,8 m/s². Det innebär att den vertikala komponenten v ökar med 9,8 m/s i sekunden. Den är noll när kulan lämnar vapnet och därefter är v = 9,8t. Om s den vertikala sträckan kulan tillryggalagt så är s' = v och vi får s = 4,9t² eftersom s = 0 från början. Om vi vet vapenmynningens avstånd h i meter från jordytan så får vi tiden t i sekunder genom att lösa ekvationen 4,9t² = h. Denna lösning tar inte hänsyn till luftmotstånd och till det faktum att jorden inte är plan.

Kjell Elfström

Svar:

Se 2 oktober 2002 12.35.42.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om några särskilda pilar som används specifikt för injektioner resp. surjektioner. Man brukar ange en godtycklig funktion f från en mängd A till en mängd B med f:A-->B. Pilen skrivs \rightarrow i TeX.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen av en cylinder är Pi hr², volymen av ett klot (4/3)Pi r³. Arean av ett klot är 4Pi r². Arean av en cirkelsektor är (a/2)r², där a är vinkeln mätt i radianer.

1) Om man klipper upp konen med ett rakt snitt från spetsen till bascirkeln vinkelrätt mot denna får man en figur som utan areaförändring kan plattas ut till en cirkelsektor. Sektorns radie är 8 cm. Konens bottencirkel har omkretsen 2·4Pi = 8Pi cm, vilket medför att sektorbågen har längden 8 Pi cm. Sektorvinkeln är alltså 8 Pi/8 = Pi, varför sektorns area, och därmed konens mantelarea, är (Pi/2)·8² cm². Jag vet inte om konens bottenarea skall ingå i konens area men skall den det får du lägga till Pi·4² cm². Klotytan är 4Pi r². Sätt detta lika med konarean och lös ut r.

2) Glasburkens volym är 3,6·Pi·2,4² cm³. Volymen av en droppe är (4/3)Pi·0,3³ cm³.

Koppar väger tydligen 105/11,8 g/cm³. Koppartrådens volym är 125·0,04²Pi cm³. Multiplicerar du dessa tal med varandra får du vikten.

Kjell Elfström

Svar:

Om n är ett heltal så är e^{ln 0,02 + i Pi + 2i Pi n} = e^ln 0,02e ^i Pie ^2i Pi n = 0,02·(-1)·1 = -0,02. Det gör att det är rimligt att definiera ln(-0,02) som ln 0,02 + i Pi + 2i Pi n. Den komplexa logaritmen är en så kallad flervärd funktion men om man bestämmer sig för ett visst värde på n blir det en envärd vanlig funktion.

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 februari 2002 21.36.53.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad du menar. Har det kanske med felslut att göra som i frågan 21 oktober 2002 21.18.55? I så fall är det inte matematiken det är fel på.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom det(AB) = det(A)det(B) så medför likheten att (det(B))³ = det(B), varför det(B) = 0 eller det(B) = ±1.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom determinanten är lineär med avseende på varje kolonn så är det(-B) = (-1)ⁿdet(B) om B är en n×n-matris. Eftersom det(B ^t ) = det(B) medför likheten i frågan att det(B) = -det(B), varför det(B) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Om IQ-testen är tillförlitliga bör hon väl få 53 nästa gång också. Om det är testresultaten som är normalfördelade och om vi antar att nästa testresultat är oberoende av det förra så är sannolikheten

Jag vet inte hur det erhållna testresultatet påverkar nästa så jag kan inte ge dig ett bättre svar.

Kjell Elfström

Svar:

När ett visst tal x uppfyller en ekvation, t ex x² = x, så är uttrycken lika för det talet x. Det är då en vanlig likhet. Om det i stället är så att alla tal x uppfyller en likhet, t ex (x + 1)² = x² + 2x + 1, så är uttrycken identiskt lika. Man kan välja att skriva

eller bara

Kjell Elfström

Svar:

Se 11 september 2002 13.12.12. Jag tror utrymmet här är för litet för att lära en grundskoleelev division med liggande stolen. Be din lärare om ytterligare hjälp.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förutsätter att x och X är samma variabel, vilken vi kallar x. Multiplicera båda sidor med x för att bli av med nämnaren i högerledet. Multiplicera sedan båda sidor med x + 1 för att bli av med vänsterledets nämnare. Efter dessa operationer är ekvationen ekvivalent med ekvationen 5x = 4(x + 1) som har roten x = 4.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte igen exakt det du skriver. Sök efter sqrt(-1) från vår söksida så får du se ett ofta omnämnt felslut.

Kjell Elfström

Svar:

Mig veterligt förekommer ingen forskning i ämnet, som förmodligen är fullständigt uttömt. Definitionen av a/b, då b <> 0, är ju att det är den entydigt bestämda lösningen till ekvationen bx = a. Försöker man tillämpa den då a = b = 0 misslyckas man eftersom lösningen då inte är entydigt bestämd. Väsentligen likadana problem dyker upp när man försöker definiera 0⁰. Det är ju rimligt att kräva att om f(x) och g(x) båda går mot 0 då x går mot något tal eller ±oo så skall gränsvärdet av (f(x))^g(x) vara 0⁰. Nu är det emellertid så att x^x går mot 1 då x går mot 0 från höger medan x^1/ln x går mot e då x går mot 0 från höger. Liknande överväganden gör att man heller inte definierar nollteroten.

Kjell Elfström

Svar:

Drar du a gånger den första ekvationen från den andra får du det ekvivalenta systemet

Om 3a + b är skilt från noll så har systemet en entydig lösning. Då kan man nämligen lösa ut y ur den sista ekvationen genom att dividera med 3a + b och därefter lösa ut x ur den första ekvationen. För att det skall finnas oändligt många lösningar måste alltså 3a + b = 0 men om 1 - 2a ej är noll finns inga lösningar eftersom den sista ekvationen då ger en motsägelse. Om, å andra sidan, 1 - 2a = 0 så säger den sista ekvationen bara att 0 = 0. Ekvationssystemet är alltså ekvivalent med den första ekvationen som uppenbarligen har oändligt många lösningar. Svaret är alltså a = 1/2, b = -3/2.

Kjell Elfström

Svar:

Se 25 april 1997 22.15.38.

Kjell Elfström

Svar:

Om det t ex i en undersökning av prisutvecklingen för en vara står att index för åren 1980, 1990 och 2000 är 70, 100 resp. 140 så inser man att varan var 140/100 = 1,4 = 140% så dyr 2000 som den var 1990 utan att man vet vilken valuta priserna är angivna i. På samma sätt förstår man att priset 1980 var 70/140 = 50% av vad det var år 2000. I själva verket är inte talen priserna i någon existerande valuta utan bara jämförelsetal. Man har satt priset 1990 till 100, dvs 100% av vad det var 1990. Man kan direkt avläsa att priset 1980 var 70% och att priset 2000 var 140% av priset 1990. Däremot finns det ingen möjlighet att se priset i kronor. Får du däremot på något sätt reda på att varans pris 1990 faktiskt var 1000 kr så vet du att priset år 2000 var 1400 kr.

Kjell Elfström

Svar:

Låt d vara diagonalen u + v + w och låt r vara längden av vektorerna u, v och w. Då är

eftersom u är ortogonal mot v och w. Vidare är

Om t är vinkeln mellan u och d så är

Ett bättre sätt är att stipulera att de tre vektorerna u, v och w har längden 1. De utgör då en ortonormerad bas i rummet och d har koordinaterna (1,1,1) med avseende på denna bas. Vi får

Kjell Elfström

Svar:

Det går inte att avgöra med den information som finns. Om X och Y är antalet söndriga krukor i lådan resp. i stickprovet är det, åtminstone principiellt, lätt att beräkna de betingade sannolikheterna P(Y = y | X <= 3) och P(Y = y | X >= 10). Problemet är att vi vill bstämma y så att P(X<=3 | Y = y) <= 0,05 och P(X>=10 | Y = y) >= 0,70. För att se vari problemet består tittar vi på den första olikheten. Sätt p = P(X <= 3). Då är enligt Bayes sats

Vi måste alltså känna fördelningen av X. Intuitivt är det klart att om lådorna vanligtvis innehåller många söndriga krukor kan man ha lägre y-värden än om de ofta innehåller få söndriga krukor.

Kjell Elfström

Svar:

På många bibliotek finns det möjlighet till fjärrlån via Libris. Du kan själv söka efter boktitlar från deras söksida, men man kan inte låna böcker direkt utan måste vända sig till ett bibliotek. Om du är intresserad av att köpa böcker kan du besöka Kungliga bibliotekets lista med Internetboklådor. En del av boklådorna där har ett stort utbud matematikböcker.

Kjell Elfström

Svar:

Tack Bengt. Jag kände till formlerna mycket väl men tänkte i min enfald att det skulle vara en funktion definerad genom ett slutet uttryck. Jag har lagt till din länk i det ursprungliga svaret.

Kjell Elfström

Svar:

Tack. Jag har rättat mitt misstag.

Kjell Elfström

Svar:

Se A history of Zero.

Kjell Elfström

Svar:

Spelet kan beställas från sidan Cheops pyramid.

Kjell Elfström

Svar:

Om u + v och u - v är de båda diagonalvektorerna så spänner u och v upp en parallellogram med samma area. Vi får u = (3,-1,-2) och v = (1,4,1). Deras vektorprodukt är u×v = (7,-5,13). Dess längd är (49 + 25 + 169)^1/2 = 243^1/2, vilket är detsamma som det som står i facit.

Kjell Elfström

Svar:

Sätter man uttrycken lika får man sqrt(1 - x²) = 1/2. Kvadrerar man så får man 1 - x² = 1/4, dvs x = ±3^1/2/2. Se 26 februari 2002 13.44.29.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har tidigare fått frågor om svensk-engelska lexika med matematiska begrepp men har inte lyckats hitta några användbara sådana; se 8 september 2002 22.47.23. Det här med etymologin av matematiska termer är heller inte lätt. Det finns åtminstone en bra sida med begreppens historik; se Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Svenska akademiens ordbok har tillfredställande förklaringar av en del matematiska begrepp.

Kjell Elfström

Svar:

Jag får också en tredjegradsekvation som jag helst avstår från att försöka lösa. Söker du efter tredjegradsekvation från vår söksida hittar du en lösningsmetod för den allmänna tredjegradsekvationen, men den är ganska besvärlig att använda.

Kjell Elfström

Svar:

Skriver vi de två vektorerna på koordinatform får vi u = (2,-1,2) och v = (1,2,1). Låt w = (x,y,z). Att w är ortogonal mot u och v betyder att skalärprodukterna u·w och v·w är noll. Detta kan skrivas

Löser man detta ekvationssystem får man w = t(1,0,-1), där t är ett godtyckligt reellt tal. Att w har längden 2 betyder att |t|(1² + 0² + (-1)²)^1/2 = 2 så t = ±2^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Att bestämma egenvärden till 3×3-matriser innebär att lösa tredjegradsekvationer och är i allmänhet så svårt som det verkar vara. I detta fall verkar det vara svårt att se några fiffiga rad- eller kolonnoperationer, men utvecklar man bara determinanten, på vilket sätt som helst, så kan man enkelt gissa en rot till den karakteristiska ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan förmodligen lösa en andragradsekvation så jag hjälper dig bara att ställa upp den. Kalla höjden, basen och längden av de båda lika långa sidorna för h, b resp. s. Då är 2s + b = 50 och h = b - 1. Pythagoras sats ger att s² = h² + (b/2)². Detta ger att s² = (49 - 2s)² + (25 - s)². Ekvationen har två rötter men bara den ena duger eftersom b blir negativ för den andra.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns alltså något värdefullt bakom precis en av dörrarna. Det var inte slumpen som gjorde att dörr A öppnades utan lotteriföreståndaren öppnade denna dörr med vetskap om att det inte fanns något bakom den. I en tredjedel av fallen har kvinnan valt rätt dörr från början, i två tredjedelar av fallen har hon valt fel. Byter hon dörr blir alltså sannolikheten att hon väljer fel dörr 1/3 och att hon väljer rätt 2/3.

Kjell Elfström

Svar:

Man brukar ofta anse att potensfunktionen x^a bara är definierad för positiva värden på x, även om den för vissa exponenter går att definiera även för negativa värden. Detta har man tydligen inte tagit hänsyn till vid konstruktionen av räknaren. Det är emellertid ingen större förlust eftersom graferna i de fallen antingen är symmetriska med avseende på y-axeln eller med avseende på origo.

Kjell Elfström

Svar:

Kvadratkompletterar man vänsterledet i (p - 10)(p + 14) = x² får man (p + 2)² = 12² + x². Om y = 12 och z = p + 2 gäller det därför att x² + y² = z². Man säger att(x,y,z) är en Pythagoreisk tripel. Om d delar både x och y så delar d även z. Om d är den största gemensamma delaren till x och y så gäller att (x/d)² + (y/d)² = (z/d)². Vi antar därför att x och y är relativt prima. Tripeln kallas då en primitiv Pythagoreisk tripel. Då kan inte alla tre talen vara jämna. Alla tre kan uppenbarligen inte heller vara udda. Om z är jämn så är x och y udda. Då är x = 2i + 1, y = 2j + 1 och z = 2k. Utvecklar vi får vi 4(i² + i + j² + j) + 2 = 4k², vilket är omöjligt. Därför är z udda och en av x och y udda och den andra jämn. Antag att x är udda och skriv likheten som x² = (z + y)(z - y). Då är z + y och z - y relativt prima. Annars skulle det nämligen finnas ett primtal q som delar båda och eftersom båda är udda är q udda. Då delar q även deras summa 2z och deras skillnad 2y och därför delar q både y och z. Eftersom z + y och z - y är relativt prima och deras produkt är x² så måste z + y och z - y vara heltalskvadrater a² resp. b². Detta inser man om man faktoriserar z + y, z - y och x i produkter av primtal. Varje ingående primtal förekommer ett jämnt antal gånger i x² och därför måste z + y och z - y vara produkter av ett jämnt antal primtal. Vi får att x = ab, y = (a² - b²)/2 och z = (a² + b²)/2. Man inser också att a och b är udda och relativt prima. Om något av talen x och y i den ursprungliga Pythagoreiska tripeln är 12 så är det efter division med den största gemensamma delaren lika med 12, 6, 4, 3, 2 eller 1. Vi går igenom de olika fallen och börjar med 12. Vi antar i utredningen om primitiva tripler antar att x är udda och y är jämn så y = 12. Då är (a + b)(a - b) = 24. Eftersom a + b > a - b och båda är jämna behöver vi bara undersöka fallen där ((a + b,a - b) är (12,2) och (6,4). Då är (a,b) (7,5) resp. (5,1). Dessa ger de primitiva Pythagoreiska triplerna (35,12,37) resp. (5,12,13). I fallet 6 är den enda möjligheten att (a - b) = 2 och a + b = 6 men det ger jämna värden på a och b. Fallet 4 ger den primitiva tripeln (3,4,5). I fallet 3 skall ab = 3 eftersom 3 är udda och vi får igen tripeln (3,4,5). De övriga fallen ger ingenting. De båda första triplerna ger p = 35 resp. 11. I fallet 4 ger tripeln (3,4,5) att p + 2 = 3·5 = 15, varför p = 13. I fallet 3 ger tripeln (3,4,5) att p + 2 = 4·5 = 20, varför p = 18.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte tillgång till boken och vet inte hur de definierar direkt relation. Den gren av matematiken du talar om kallas kombinatorik.

Kjell Elfström

Svar:

Svaren finns inte i en miniräknare i form av någon stor tabell. I stället kan man säga att det är formler som finns där. Vill man t ex räkna ut arean av en rektangel med sidorna 5 och 6 så går man normalt inte till en stor tabell och slår upp svaret utan man använder formeln arean = ab, där a och b är sidorna, sätter a = 5 och b = 6 och får att arean är 5·6 = 30. Med formelns hjälp kan man beräkna arean av alla möjliga rektanglar. Eftersom det finns oändligt många möjligheter för sidlängderna skulle det inte ens gå att skapa en tabell som ger alla dessa svar.

Kjell Elfström

Svar:

Se 17 oktober 2002 20.55.17.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = x + 1. Då går t mot 0 då x går mot -1. Eftersom x² - 1 = (x + 1)(x - 1) så övergår uttrycket i ((e ^t - 1)/t)/(t - 2) --> 1/(0 - 2) = -1/2 då x --> -1.

Kjell Elfström

Svar:

Se Prime Formulas.

Kjell Elfström

Svar:

Nej, det har jag inte hört. När det långsamma tåget tillryggalagt 1/3 av sträckan har det snabba tillryggalagt 2/3.

Kjell Elfström

Svar:

För två vektorer som är skilda från nollvektorn gäller det att de är parallella om och endast om de är lineärt beroende. Nollvektorn och en annan vektor är alltid lineärt beroende. Därför kan det vara naturligt att anse att nollvektorn är parallell med varje vektor och att den därför har alla riktningar.

Kjell Elfström

Svar:

Att n är udda betyder att n = 2k + 1 för något heltal k. Då är n² - 1 = (n + 1)(n - 1) = 4(k + 1)k. Eftersom något av talen k och k + 1 är jämnt så är n² - 1 delbart med 8. Om n inte är delbart med 3 så är antingen n + 1 eller n - 1 delbart med 3, varför 3 delar n² - 1. Eftersom 3 och 8 är relativt prima så är n² - 1 delbart med 3·8 = 24.

Kjell Elfström

Svar:

Området är en cirkelsektor med radien 3 och vinkeln 2Pi/3. Arean av en cirkelsektor med radien r och vinkeln a är ar²/2.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till vad vikning står för i matematiken. Om Alias transformation och Aliasing kan du läsa på Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Utför en polynomdivision. x/(x + 1) = ((x + 1) - 1)/(x + 1) = (x + 1)/(x + 1) - 1/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1).

Man måste antaga att den stora konens höjd är 1 för att få det resultatet. Om den lilla konens höjd är h och den stora konens höjd är 1 så ger likformiga trianglar att r/R = (1 - h)/1 = 1 - h, vilket ger önskat resultat.

Kjell Elfström

Svar:

Låt r och s vara botten- resp. toppradien och h höjden av "lampskärmen". Då är r = 25,4, s = 12,7 och h = 52,4 om vi räknar i millimeter. Inför nu höjden k av toppkonen, sidlängderna a och b och vinkeln t enligt figuren.

Den gröna delen i den högra figuren kan böjas och fogas samman till den gröna delen i den vänstra figuren.

Likformiga trianglar ger att k/s = h/(r - s), varför k = hs/(r - s). Pythagoras sats ger sedan att a² = k² + s² och b² = h² + (r - s)². Toppcirkelns omkrets är 2Pi s. Detta är också längden av den mindre bågen i den lilla cirkeln i den högra figuren. Vinkeln t är därför 2Pi s/a radianer. Det visar sig att a = b = 53,9 mm och t = 84,8°

Kjell Elfström

{ ax+2y+3z=1 
  3x+z=-21    
 -x+y+z=a  }

Svar:

Lös ekvationssystemet genom att först dra 2 gånger den sista ekvationen från den första och därefter dra den andra ekvationen från den nya första ekvationen. Du får då

Om a = 1 så ger den första ekvationen en motsägelse så ekvationssystemet saknar lösning. Om a <> 1 så har ekvationssystemet en entydigt bestämd lösning. Man kan nämligen lösa ut x ur den första ekvationen på bara ett sätt, därefter z ur den andra och sedan y ur den tredje på bara ett sätt.

Du har kanske skrivit in frågan fel. Om det i stället för -21 i den mellersta ekvationen står -1 blir systemet efter eliminationen likadant bortsett från att det i den första och andra ekvationens högerled står 2 - 2a resp. -1. Om a <> 1 är även då lösningen entydig. Om a = 1 säger den första ekvationen bara att 0 = 0. Man kan sedan sätta z = t och lösa ut x och y uttryckta i t. På så sätt får man ekvationen på parameterform för skärningslinjen.

Kjell Elfström

Svar:

Bortsett från att de inledande fyra siffrorna är lika så tror jag inte det.

Kjell Elfström

Svar:

Det första steget är att sluta tycka att man är dum. Sedan får man väl gå vidare på något sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Förmodligen menar du §_-oo^xexp(-t²) dt. Du verkar ha glömt minustecknet. Vi konstaterar att

Det räcker att utveckla §₀^xexp(-t²) dt och det kan man göra genom att integrera integrandens Taylorutveckling term för term. Man kan också beräkna ett närmevärde till den ursprungliga integralen genom att beräkna den senare integralen med någon numerisk integrationsmetod, t ex Simpsons formel.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, många, t ex på Eric Weisstein's World of Mathematics. Förmodligen är det mindre avancerade formler du är ute efter. Tables and Formulas passar dem som går i grundskolan och Math Reference Tables är lämplig för gymnasister. Länkskafferiet är en sida som är användbar i skolarbetet och har många länkar till matematik och naturvetenskap.

Kjell Elfström

Svar:

Kan det vara värmekapacitivitet? Se Specific Heat.

Kjell Elfström

Svar:

Detta verkar vara en filosofifråga och sådana har ofta inga entydiga svar.

Kjell Elfström

Svar:

Att en funktion är deriverbar i en punkt är inte detsamma som att den är kontinuerlig där. Om den är deriverbar måste den vara kontinuerlig men inte tvärtom. Funktionen är deriverbar, och därför kontinuerlig, i alla punkter där den är definierad, dvs då x <> -1/2 och x <> 4.

Vi börjar med att konstatera att (d/dt)(tln|t|) = 1·ln|t| + t(1/t) = ln|t| + 1. Med t = 2x + 1 så är (d/dx)((1/2)tln|t|) = 2·(1/2)(1 + ln|t|) = 1 + ln|2x + 1| eftersom den inre derivatan dt/dx = 2. Vi får också att (d/dx)((x - 4)ln|x - 4|) = 1 + ln|x - 4|. Det är nu lätt att se att y'(x) = ln|2x + 1| - ln|x - 4| - 1 och att y'(x) = 0 om och endast om ln(|2x + 1|/|x - 4|) = 1, vilket är ekvivalent med att (2x + 1)/(x - 4) = ±e. Löser vi ut x så får vi x = (4e - 1)/(e + 2) eller x = (4e + 1)/(e - 2). Det är lätt att se att det första nollstället ligger i (0,4) och det andra i (4,oo). Eftersom y' är kontinuerlig i de båda intervallen, y'(0) = -ln 4 - 1 < 0, y'(x) --> oo då x --> 4 och y'(x) --> ln 2 - 1 < 0 då x --> oo så växlar derivatan tecken i de båda nollställena. y har ett lokalt minimum i den första punkten och ett lokalt maximum i den andra.

Eftersom tln t --> 0 då t --> 0⁺ så gäller det att också att tln (-t) = -((-t)ln (-t)) --> 0 då t --> 0^-. Detta ger att tln|t| --> 0 då t --> 0. Detta visar att (2x + 1)ln|2x + 1| --> 0 då x --> -1/2 och (x - 4)ln|x - 4| --> 0 då x --> 4. Vi får att y(x) --> (9/2)(ln(9/2) - 1) då x --> -1/2 och y(x) --> 9(ln 3 - 1) då x --> 4. Detta visar att lodräta asymptoter saknas. För att undersöka om sneda asymptoter finns börjar vi med att studera gränsvärdena av (y(x))/x då x --> ±oo. Eftersom

så är båda gränsvärdena ln 2 - 1. Om det finns en asymptot y = kx + m så måste k = ln 2 - 1 och y(x) - kx --> m då x --> oo eller x --> -oo.

Summan av de tre sista termerna går mot oo då x --> ±oo. Vi studerar den första termen, som då |x| är stort är

Av att ln(1 + t)/t --> 1 då t --> 0 följer nu att den första termen går mot 5/2 då x --> ±oo. Det gäller alltså att y(x) - kx --> oo då x --> ±oo. Sneda asymptoter saknas.

Kjell Elfström

Svar:

Det är förmodligen den rimligaste tolkningen av genomsnittlig ökning. Jag borde naturligtvis haft med den i mitt ursprungliga svar men har nu lagt till den. Se 12 oktober 2002 01.00.09. I den första tolkningen är den genomsnittliga årliga ökningstakten 15%, i den andra är den genomsnittliga årliga ökningen 15% av omsättningen 1997. Den tredje tolkningens genomsnitt är ett mer avancerat medelvärde, ett så kallat geometriskt medelvärde av de årliga ökningstakterna. Om det är det senare medelvärdet som efterfrågas så är ditt svar fel, också då tillväxten inte är negativ. Jag avstår från att bedöma huruvida du borde ha fått poäng för din lösning.

Kjell Elfström

Svar:

Om båda gavlarna är formade som likadana parallelltrapets är volymen tanklängden gånger parallelltrapetsets area. Antag att trapetsets höjd är H, dess bredd vid bottnen A och bredden vid toppen B. När behållaren är fylld till höjden h utgör den delen av trapetset som täcks av innehållet också ett trapets. Dess nedre del har bredden a = A och dess övre har bredden b = (B - A)h/H + A. Trapetsets area är (a + b)h/2.

Kjell Elfström

Svar:

Se Igor Podlubny: Fractional Differential Equations och Eric Weisstein's World of Mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Helst skall man lära sig matematik på ett sådant sätt att man slipper lära sig en mängd utantillkunskaper. Det kan man uppnå genom att försöka förstå hur de olika delarna av matematiken hänger samman. I stället för att lära sig en formel utantill kan man försöka förstå varför formeln gäller och lära sig att härleda den. Sådana kunskaper är ofta lättare att komma ihåg.

Kjell Elfström

Svar:

Se Sinusoidal steady state response för att se hur formlerna ser ut. I ditt fall är G(iw) = 1/(1 - w² + iw) så

Det maximala värdet av amplituden a|G(iw)| är alltså 2a/3^1/2 och antages då w = 1/2^1/2. Fär detta värde på w är G(iw) = 1/(1/2 + i/2^1/2) och arg(G(iw)) = -arctan 2^1/2. Svaret blir (2a/3^1/2) cos(t/2^1/2 - arctan 2^1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Sätt u = AB = (-1,4,1). Ekvationen för linjen genom A och B är (x,y,z) = OA + tu = (1,0,2) + t(-1,4,1). Eftersom den sökta skärningspunkten P ligger på denna linje så är OP = OA + tu. Vektorn CP = OP - OC = OA + tu - OC = CA + tu är ortogonal mot u. Detta ger att

Sätt in detta värde på t i uttrycket för OP så får du OP = (7/9,8/9,20/9).

Kjell Elfström

Svar:

Under antiken kände man inte till begreppen integral och derivata och hade inga generella metoder att bestämma hastighet, area och volym utan metoderna varierade från fall till fall. Vad gäller den första frågan hänvisar jag till The `Analyst' Controversy.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt t = |x|. Då är t >= 0. Ekvationen övergår i

Fall 1: 0 <= t < 1/6^1/2. Här är det som står under absolutbeloppet negativt så ekvationen kan skrivas

Denna ekvation har rötterna t = 0 och t = t = 1/6. Båda ligger i intervallet [0,1/6^1/2).

Fall 2: t >= 1/6^1/2. Nu kan ekvationen skrivas

Denna ekvation har endast en positiv rot och det är t = 1/2, som ligger i [1/6^1/2,oo).

Den ursprungliga ekvationen har alltså rötterna x = 0, x = ±1/6 och x = ±1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Vänsterledet kan skrivas e^x/2 så ekvationen är ekvivalent med ekvationen x/2 = x^1/2, vilken har rötterna x = 0 och x = 4.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex 14 oktober 2002 19.04.50 och 8 september 2002 13.41.34.

Kjell Elfström

Svar:

Uttrycker vi vänsterledet f(a,b,c) i de elementära symmetriska polynomen r = a + b + c, s = ab + bc + ca och t = abc får vi

Detta visar att r är ett jämnt heltal och därför är också a ± b ± c jämna. Definiera nu x, y och z genom

Då är

Vi får f(a,b,c) = 32(x + y + z) - 8xyz. Sätter vi

så motsvaras varje heltalslösning till f(a,b,c) = 0 av precis en heltalslösning till g(x,y,z) = 0 och tvärtom. Det är lätt att visa att om |x| >= 4, |y| >= 4 och |z| >= 4 så är |g(x,y,z)| > 0. Om någon av x, y och z är noll så är någon av a, b och c noll. På grund av symmetri och av att g är udda kan vi antaga att x = 1, x = 2 eller x = 3. Sätter vi in t ex x = 1 så får vi g(x,y,z) = 4 + 4(y + z) - yz. Vi inser som tidigare att det finns ett tal B > 0, sådant att om |y| >= B och |z| >= B så är g(1,y,z) <> 0. På grund av symmetri räcker det att pröva med y-värden i intervallet [-B + 1,B - 1]. Man kan även hitta en sådan gräns då x = 2 eller x = 3. Detta visar att ekvationen bara kan ha ändligt många heltalslösningar och att samtliga kan hittas med ett ändligt antal prövningar.

Kjell Elfström

Svar:

Att lösa ekvationer som t ex 5x + 4 = 14 gör man vanligen genom att utföra likadana operationer på båda led tills den obekanta står ensam på den ena sidan likhetstecknet. I exemplet kan vi börja med att dra 4 från båda led. Vi får då 5x + 4 - 4 = 14 - 4, dvs 5x = 10. Därefter dividerar vi båda led med 5. (5x)/5 = 10/5 och får x = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Om temperaturen sjunker 5° per timme så är den nere i -7°.

Kjell Elfström

Svar:

Om sidorna är x och y så är x + y = 120 och 7x = 3y. Lös detta ekvationssystem.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Mathematics in China. Du kan själv söka. Försök med history+of+chinese+mathematics på Altavista.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, så kan man göra. Jag kan försöka beräkna volymen om du ger mig ekvationen för den icke plana sidan.

Kjell Elfström

Svar:

y = kx^a är en potensfunktion, inte en logaritmfunktion. Du har, förmodar jag, mätvärden (x_i,y_i) som du antar ligger ungefär på en kurva av nämnda form. Du förväntar dig alltså inte att de skall ligga på en rät linje och därför skall du inte använda minsta kvadratmetoden direkt på mätvärdena. Skriver vi om likheten genom att logaritmera båda led får vi ln y = ln k + a ln x. Värdena (z_i,w_i), där w_i = ln y_i och z_i = ln x_i, skall ligga ungefär på linjen w = az + b, där b = ln k. Använd minstakvadratmetoden för att bestämma a och b. Du får sedan k genom k = e^b.

Kjell Elfström

Svar:

Tangentens ekvation är y - f(a) = f '(a)(x - a). Denna skär x-axeln i punkten P = (x,0), där x - a = -f(a)/f '(a). Triangelarean är därför (x - a)f(a)/2 = -(f(a))²/(2f '(a)) = 1/2.

Kjell Elfström

Svar:

10Q/Q^1/2 = 10Q^1/2. Derivatan blir 10·(1/2)Q^-1/2 = 5/Q^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Punkten (3,3) ligger på kurvan. Den sökta linjen har ekvationen y - 3 = k(x - 3) där k är dess riktningskoefficient. Linjen skär x-axeln då x = 3 - 3/k. Man inser att skärningspunkten måste ligga mellan 0 och 3. Linjen delar området i två delar, en till vänster och över linjen och en till höger och under linjen. Den högra delen består i sin tur av två delar, varav en är en triangel. Triangelns bas är 3 - (3 - 3/k) = 3/k och dess höjd är 3. Triangelarean är därför 9/(2k). Arean av den andra delen är §₃⁴(4x - x²)dx = 5/3. Arean av den högra delen är därför summan 9/(2k) + 5/3 av dessa areor. Arean av hela området är §₀⁴(4x - x²)dx = 32/3. Vi får ekvationen 9/(2k) + 5/3 = 16/3, som har lösningen k = 27/22.

Kjell Elfström

Svar:

Högerledet är konstant så dess derivata är noll. Vänsterledet är (x(t))² + (y(t))². Derivatan blir 2x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t). x'(t) och y'(t) är de "inre" derivatorna.

Kjell Elfström

Svar:

Den korrekta härledningen ser ut som i 26 februari 2002 13.44.29. Du glömmer att man skall "multiplicera" med dx = (cos t)dt.

Kjell Elfström

Svar:

Man drar ifrån. Att subtrahera ett tal från ett annat är det samma som att räkna ut skillnaden mellan det andra och det första talet. När man subtraherar 5 från 11 får man 11 - 5 = 6.

Kjell Elfström

Svar:

Faltningen h*x (eller convolution) definieras på sidan 120 i ovan nämnda bok. Korrelationen är h*x_-, där x_-(k) = x(-k). Om x innehåller signalen h så kommer signalerna att förstärka varandra i korrelationen mellan x och h. Du får en symmetrisk spets. Korrelationen används för ett avgöra om en i förväg känd signal h finns i x. Med hjälp av Fouriertransformen kan man analysera signaler genom att dela upp dem i sinus- och cosinuskomponenter med olika frekvens. Se kapitel 8.

Kjell Elfström

Svar:

Ett villkor för att det skall finnas ett sådant plan är att linjerna är vinkelräta. En riktningsvektor till den första linjen är n = (-1,-2,1) och den är vinkelrät mot den andra linjens riktningsvektor (1,-2,-3), vilket man ser om man beräknar deras skalärprodukt. Utnyttja att n är en normalvektor till planet. Tag sedan en punkt, vilken som helst på L₂, t ex (1,3,-2) och utnyttja att den ligger i planet. Planets ekvation blir

För att få ekvationen på parameterform behöver du bara sätta y = s, z = t och lösa ut x ur ekvationen ovan.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att kvadraten har sina hörn i (0,0), (1,0), (0,1) och (1,1). Vi kan då dela kvadraten på mitten med hjälp av linjen x = 1/2 och beräkna arean av den högra delen. Det verkar vara så du har tänkt. Den övre cirkeln har sin medelpunkt i origo och har därför ekvationen x² + y² = 1. Den andra har sin medelpunkt i (0,1) och har ekvationen x² + (y - 1)² = 1. Studerar vi tecknet finner vi att kurvorna har ekvationerna y = (1 - x²)^1/2 och y = 1 - (1 - x²)^1/2. Arean blir

Eftersom arean av den halva kvadraten är 1/2 blir sannolikheten Pi/3 + 1 - 3^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom e^2Pi i = 1 antar jag att du har satt parenteserna fel. e^2Pi i/3 = cos(2Pi/3) + i sin(2Pi/3) = -1/2 + (3^1/2/2)i. Eftersom

så är realdelen -2 och imaginärdelen 0.

Kjell Elfström

Svar:

I sådana sammanhang spelar det ofta ingen roll vilken typ av logaritmer man använder. Att talet e och därför den naturliga logaritmen ln är så vanligt förekommande beror på att funktionen f(x) = e^x är sin egen derivata.

Kjell Elfström

Svar:

Problemet finns löst på Fråga Lund om matematik, vanliga frågor.

Kjell Elfström

har en till fråga också vilket tal är emellan 3/8 och 5/6
tomas

Svar:

Tänk dig att du ser skillnad på tärningarna. En är kanske röd och den andra grön. När du kastar dem kan de var och en visa 6 olika utfall. Det ger 6·6 = 36 utfall. Räkna nu antalet gynnsamma. Om den röda visar 1 måste den gröna visa 6. Röd 2, grön 5. Röd 3, grön 4. Röd 4, grön 3. Röd 5, grön 2. Röd 6, grön 1. Det ger 6 gynnsamma utfall. Sannolikheten är 6/36 = 1/6.

Medelvärdet av talen är (3/8 + 5/6)/2 = (3·3 + 4·5)/(24·2) = 29/48.

Kjell Elfström

Svar:

Den ursprungliga frågan ställdes den 14 oktober 2002 09.19.10. Jag förstår nu att toppen och den ena långsidan är rektanglar. Bottnen bör också vara plan. Den andra långsidan kan då inte vara plan. Att den följer gavlarna, bottnen och toppen är klart men man måste också veta exakt hur den buktar mellan dessa.

Kjell Elfström

Svar:

Jag gissar att det skall stå s = a/(1 - k) - a. Multiplicerar man båda led med nämnaren 1 - k så får man (1 - k)s = a - a(1 - k) = ka. Vi får a = (1 - k)s/k.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att en skruv väger x gram och att asken väger y gram. Då är 20x + y = 70 och 30x + y = 90. Drag nu leden i den första ekvationen från leden i den andra så får du 10x = 20, dvs. x = 2. Sätter du in detta i den första ekvationen får du 20·2 + y = 70 så y = 30.

Kjell Elfström

Svar:

4x/3 = 8  <==>  x = 3·8/4 = 6.

Kjell Elfström

Svar:

a) Substitutionen t = x + 1 överför x²dx/(x + 1)² på (t - 1)²dt/t² = (1 - 2/t + 1/t²)dt.

b) Sätt t = x^1/2 så att x = t². Då är

Kjell Elfström

Svar:

Drag ifrån 6 från båda led och dividera de båda nya leden med 2.

Kjell Elfström

Svar:

Ett par sidor om primtalens mer estetiska framtoning är Aesthetics of the Prime Sequence och Prime Spiral.

Kjell Elfström

Svar:

Parenteserna fanns inte i mitt svar. Med parenteser blir det S_n = (S_n - 1)² - 2.

Kjell Elfström

ena gavlen bottenplan= 1,25m
           Topp      = 2,25m
Andra gavlen Bottenplan =1,95m
           Topp      = 2,25 m
Tankens längd        = 5,4 m
tankens höjd         = 3,2 m

Svar:

Om vi förutsätter att gavlarna är plana så kan inte sidorna vara plana. Jag behöver veta sidornas form.

Kjell Elfström

Svar:

Man definerar kontinuitet på följande sätt. Först säger man att funktionen f är kontinuerlig i punkten a om a tillhör definitionsmängden och f(x) --> f(a) då x --> a. Sedan säger man att f är kontinuerlig i en mängd M om f är kontinuerlig för alla a i M. Att f är kontinuerlig (rätt och slätt) betyder att f är kontinuerlig i sin definitionsmängd. Att funktionen f(x) = 1/x är kontinuerlig betyder alltså att den är kontinuerlig för alla reella tal a skilda från noll. För att visa detta skall vi visa att 1/x --> 1/a då x --> a för alla a <> 0. Vi använder definitionen av gränsvärde. Låt e vara ett positivt tal och d det minsta av talen |a|/2 och |a|²e/2. Då är

då |x - a| < d.

Kjell Elfström

Svar:

Några säkra praktiskt genomförbara algebraiska metoder som fungerar för godtyckliga heltal finns inte. Jag antar att du med algebraisk metod menar någon formel i vilken du sätter in ett tal och får ett värde som kan tolkas som ja eller nej. Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal och a ett heltal som inte är delbart med p så är a ^p - 1 - 1 delbart med p. Man kan ganska enkelt avgöra om så är fallet och om man kommer fram till a ^p - 1 - 1 inte är delbart med p kan man konstatera att p inte är ett primtal. Tyvärr kan det vara så att a ^p - 1 - 1 är delbart med p även om p inte är ett primtal. Sådana tal p kallas pseudoprimtal. Det minsta pseudoprimtalet med basen a = 2 är p = 341 = 11·31. Om ett tal på formen M_n = 2ⁿ - 1 är ett primtal så kallas det för ett Mersenneprimtal. Ett nödvändigt villkor är att n är ett primtal. För att avgöra om M_p är ett primtal, där p är ett udda primtal, så kan man använda Lucas-Lehmers primtalstest. Sätt S₁ = 4 och definiera S_n = S_n - 1² - 2 då n > 1. Då är M_p ett primtal om och endast om S_p - 1 är delbart med M_p.

Kjell Elfström

Svar:

Ja. Om f(x) --> A då x --> oo så skriver man lim_x --> oo f(x) = A.

Kjell Elfström

Svar:

En annan beskrivning är att man hänger ett draperi över kurvan C. Om draperiets höjd är u(x,y) över punkten (x,y) och x = x(t), y = y(t), a <= t <= b, är en parametrisering av C så är draperiets area §_Cu(x,y)ds = §_a^bu(x,y)((x'(t))² + (y'(t))²)^1/2dt. Detta är kurvintegralen med avseende på båglängden. Kurvintegralerna §_Cu(x,y)dx = §_a^bu(x,y)x'(t)dt och §_Cu(x,y)dy = §_a^bu(x,y)y'(t)dt är arean av draperiets projektion på xz- resp. yz-planet. ux' + vy' och uy' - vx' är skalärprodukten mellan (u,v) och en tangent- resp. normalvektor till kurvan. Kurvintegralen §_C(u(x,y)dx + v(x,y)dy) kan därför tolkas som det arbete kraften (u,v) utför på en partikel som rör sig utefter kurvan. Om (u,v) är hastigheten med vilken en vätska rör sig över xy-planet så är på motsvarande sätt §_C(u(x,y)dy - v(x,y)dx) mängden vätska som passerar kurvan C per tidsenhet. Låt nu f vara en komplexvärd funktion definierad på C och skriv f(z) = u(x,y) - iv(x,y), där z = x + iy. Antag att z = z(t) = x(t) + iy(t), a <= t <= b, är en parametrisering av C. Då är

Kjell Elfström

Svar:

Låt x(t) och y(t) vara planens avstånd från Heathrow wid tiden t. Vid den aktuella tidpunkten är x(t) = 400 och y(t) = 300. Samtidigt är x'(t) = 600 och y'(t) = 400. Om z(t) är avståndet mellan flygplanen så ger Pythagoras sats att (z(t))² = (x(t))² + (y(t))². Vid den aktuella tidpunkten är z = (400² + 300²)^1/2 = 500. Deriverar vi båda led (glöm inte de inre derivatorna) så får vi

Dividera båda led med 2 och sätt in de aktuella värdena så får du

Lös ut z'.

Kjell Elfström

Svar:

T ex är 4·(3 + 5) = 4·3 + 4·5. När man bryter ut gör man tvärtom. Man har 4·3 + 4·5 och skriver om det som 4·(3 + 5). T ex är 45 + 65 = 5·9 + 5·13 = 5·(9 + 13) = 5·22 = 110. Störst användning av metoden har man när man räknar med obekanta tal x och y (bokstavsräkning).

Kjell Elfström

Svar:

Kalla funktionen för f. Riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = f(x) i punkten (x,f(x)) är f '(x). Tangenten bildar vinkeln 45° med x-axeln om dess riktningskoefficient är ±1. Problemställaren kanske anser att de tangenter vars riktningskoefficient är -1 bildar vinkeln -45° med x-axeln. Hur som helst så är f '(x) = 12x² - 2. Ekvationen f '(x) = 1 har rötterna x = ±1/2. Tangeringspunkterna blir (1/2,1/2) och (-1/2,3/2). Om ekvationen f '(x) = -1 också skall lösas klarar du säkert det själv.

Kjell Elfström

Svar:

Vad svaret skall bli beror på vad som menas med den genomsnittliga årliga ökningen. Det kan betyda att man beräknar den relativa ökningen varje år och att genomsnittet av denna skall vara 15%. I så fall skall man lösa ekvationen (11 + 12 + 16 + x)/4 = 15. Denna ekvation har lösningen x = 21. Om det är den definitionen som skall användas så är också din lösning korrekt.

Den andra tolkningen är att man skall jämföra omsättningen efter fyraårsperioden med omsättningen före och kräva att ökningen i procent är 4·15 = 60 procent. Då skall vi lösa ekvationen 1,11·1,12·1,16·(1 + x/100) = 1,6. Lösningen är nu ungefär x = 10,95. Ökningen det sista året skall vara 10,95%.

Den tredje tolkningen, som är den troligaste, är att man skall kräva att den totala ökningen är densamma som om man hade haft en årlig ökningstakt på 15%. Då ges lösningen av 1,11·1,12·1,16·(1 + x/100) = 1,15⁴. Svaret blir ungefär 21,28%.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar vara bäst att placera 1 och 8 i mitten. De siffrorna skall ju bara undvika en siffra vardera. Nu finns det bara en plats för 7 och en för 2. Sätt sedan 3 t ex upptill. Då måste 4 vara nertill. Därefter kan 5 och 6 bara placeras på ett sätt.

Kjell Elfström

Svar:

En liknande fråga ställdes den 8 september 2002 13.41.34.

Kjell Elfström

Svar:

Ditt resonemang är felaktigt. Om likhet bara gäller för vissa värden på siffrorna kan man inte dra de slutsatser du gör av symmetrin i vänsterledet. T ex är ju x = 1, y = 2 en lösning till ekvationen xy = 4x - y men inte till yx = 4y - x.

Det finns ingen lösning på sifferproblemet om man kräver att siffrorna är olika. Släpper man på det kravet så är 2⁵·9² = 2592 en lösning och det är den enda lösningen. Jag redovisade inte dessa upptäckter i mina tidigare svar eftersom jag kommit fram till dem genom en datorkörning.

Kjell Elfström

Svar:

Matchning är ett begrepp inom grafteorin. En matchning av en graf är en delgraf i vilken inga bågar har gemensamma noder. På engelska stavas det matching. Söker man efter graph matching på Internet får man många träffar. Se t ex Matching. Jag förutsätter att du läser vid någon matematisk institution och där finns säkert ett bibliotek. Sök i böcker om grafteori.

Kjell Elfström

Svar:

Förutsättningarna verkar vara att a_n > 0 och att summa_n = 1^oo (a_na_n + 1)^1/2 är en konvergent serie. Vi skall visa att om a_n är avtagande så är också summa_n = 1^oo a_n konvergent och att om vi släpper på kravet att a_n är avtagande så måste inte den senare serien vara konvergent.

Antag att a_n är avtagande. Då är a_n + 1 <= a_n. Detta ger att

Att summa_n = 1^oo a_n är konvergent följer nu av en av jämförelsesatserna för positiva serier.

Definierar man a_n genom a_n = 1 om n = 2k + 1 är udda och a_n = 1/k⁴ om n = 2k är jämnt så är summa_n = 1^oo a_n divergent och summa_n = 1^oo(a_na_n + 1)^1/2 = summa_k = 1^oo(2/k²) konvergent.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till det. En matematisk behandling av problemet förutsätter en modell av något slag.

Kjell Elfström

Svar:

1) En metod är att bestämma nollställena och sedan para ihop de ickereella nollställena i konjugerade par och multiplicera ihop motsvarande faktorer. I allmänhet är det en besvärlig uppgift. För en allmän metod att lösa fjärdegradsekvationen hänvisar jag till 14 december 1997 13.32.37. I detta fall kan man försöka gissa nollställen. Man kan genom prövning utesluta alla rationella nollställen p/q, där p och q är relativt prima eftersom p måste dela 10 och q måste dela 1. Möjliga sådana nollställen är alltså bara ±1, ±2, ±5 och ±10. Prövning visar att inget duger. Man kan sedan försöka med (x² + ax + b)(x² - ax + c). Vi vet ju att den ena förstagradskoefficienten är minus den andra eftersom det saknas tredjegradsterm i produkten. Man kan pröva med olika heltal. b = 2 och c = 5 t ex. Vi vet ju att bc = 10. Koefficienten för x² i produkten blir 7 - a² så vi prövar med a = -2 och konstaterar att det gick bra. För att kontrollera om faktorerna x² - 2x + 2 och x² + 2x + 5 går att dela upp i reella förstagradsfaktorer behöver vi bara undersöka om de har reella nollställen och det har de inte.

2) Eftersom koefficienterna är reella måste också 1 + 2i vara en rot. Då är (x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i) = x² - 2x + 5 en delare till polynomet. Utför vi divisionen så får vi kvoten x + 2 och resten (a - 1)x + b - 10. Vi ser att a = 1, b = 10 och roten är x = -2.

Kjell Elfström

Svar:

Två mängder A och B är lika stora om det finns en bijektiv funktion f från A till B. Att den är bijektiv betyder att olika element avbildas på olika element och att alla element i B är bilder av element i A. T ex är mängderna {1,2,3} och {11,12,13} lika stora vilket visas av funktionen f definerad genom f(1) = 11, f(2) = 12, f(3) = 13. Också mängderna N och Z är lika stora. Definiera f genom f(n) = n/2 om n är jämnt och f(n) = -(n + 1)/2 om n är udda. Du får då en uppräkning av heltalen med hjälp av de naturliga talen: 0,-1,1,-2,2,... Man kan även visa att Z och Q är lika stora. Däremot är Z⁺ och R olika stora. Antag nämligen att det finns en bijektiv funktion f från Z⁺ till R. Du kan då bilda ett reellt tal x vars k:e decimal efter decimalkommat är 0 om den k:e decimalen i f(k) inte är noll och vars k:e decimal är 1 annars. Då kan inte x = f(k) för något positivt heltal k, vilket visar att f inte kan vara bijektiv.

Kjell Elfström

Svar:

Likformighet förekommer i många sammanhang. Du får precisera frågan.

Kjell Elfström

( 2 -7  0 
 5  10  4
 0   5  2) 

Svar:

Beräkna produkten Au i de båda fallen och undersök om resultatet blir lambda u för något tal lambda.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte. Euklides definerar romb i Elementa men använder sedan aldrig begreppet. Detta tyder på att han skrivit av definitioner från tidigare verk. Den första förekomsten av rhombus i engelskan är från 1567 i boken A greene forest or a naturall historie,... av John Maplet.

Kjell Elfström

Svar:

Det var ett förbiseende jag gjorde, som inte i nämnvärd utsträckning påverkade resten av lösningen. Svaret är nu kompletterat. Egentligen är det primitiva funktioner definierade på intervall som är mest intressanta. Om man med primitiv funktion till g i frågan menar en funktion G för vilken det gäller G '(x) = g(x) då x <> 4 och x <> -1/2 så finns det andra funktioner än G(x) = f(x) + D, där D är en konstant och f som i svaret till 9 oktober 2002 17.08.28. Man kan nämligen välja olika konstanter D₁, D₂ och D₃ i de tre intervallen (-oo,-1/2), (-1/2,4) och (4,oo)

Kjell Elfström

Svar:

Du anger inte hur parametern ingår i funktionen och därför har jag inga möjligheter att svara.

Kjell Elfström

Svar:

Se 17 oktober 1997 20.23.18.

Kjell Elfström

Svar:

Den förklaringen förstår jag inte. Däremot kan man göra på följande sätt. Eftersom (-1)(b - a) = (a - b) så kan du förlänga bråket med -1 och få

Man kan också bryta ut (-1) ur (b - a), eftersom

Att bryta ut 1 har man däremot ingen glädje av i sammanhanget.

Kjell Elfström

Svar:

Den andra likheten säger bara att 4^1/2 = 4^1/2 så den är rätt. Det är den tredje likheten som är fel. Potenslagen (a^b)^c = a^bc gäller bara om b och c är reella eller om c är ett heltal.

Kjell Elfström

Svar:

Det är ingen som vet. Det är väl inte ens helt säkert att han kom på något eget bevis. Gjorde han det är det mest sannolika beviset enligt många det som finns på sidan Pythagoras of Samos. Klicka på Pythagoras's theorem under Other references in MacTutor i slutet av sidan.

Kjell Elfström

        Grupp A Grupp B Grupp C Grupp D Grupp E
                                        
        1       16      31      46      61
        2       17      32      47      62
        3       18      33      48      63
        4       19      34      49      64
        5       20      35      50      65
        6       21      36      51      66
        7       22      37      52      67
        8       23      38      53      68
        9       24      39      54      69
        10      25      40      55      70
        11      26      41      56      71
        12      27      42      67      72
        13      28      43      68      73
        14      29      44      69      74
        15      30      45      60      75

Svar:

För kulan i en viss grupp finns 15 möjliga val. Vi skall välja en kula ur var och en av grupperna. Det ger oss 15⁵ gynnsamma utfall. Det totala antalet utfall är (⁷⁵₅) = (75·74·73·72·71)/(1·2·3·4·5). Sannolikheten blir 15⁵/(⁷⁵₅).

Kjell Elfström

Svar:

Talet pi är inte exakt 3,14 utan är förhållandet mellan omkretsen och diametern i en cirkel. Avrundat till åtta decimaler är det 3,14159265 men inte heller det är ett exakt värde. Symbolen som används för att beteckna förhållandet är den bokstav i det grekiska alfabetet som anger p-ljudet. Bokstaven pi användes första gången i detta sammanhang 1706 av William Jones (1675-1749) i Synopsis palmariorum mathesios. Man tror att hans val av symbol berodde på att pi är den första bokstaven i det grekiska ordet perimetron som betyder omkrets.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad du menar med färgade bollar (i detta sammanhang). Om det är en sats eller ett axiom beror på vad man utgår i från. För att kunna bevisa induktionsaxiomet måste man veta vad naturliga tal är. Eftersom det verkar vara omöjligt att göra en definition som uttrycker vad de naturliga talen är i termer av något annat så betraktar man dem ofta som ett odefinerat begrepp och fastlägger deras egenskaper med hjälp av axiom. I t ex Peanos axiomsystem får de sina egenskaper fastställda med hjälp av ett antal axiom, av vilka induktionsaxiomet är ett. Induktionsaxiomet följer inte av de övriga axiomen. Man kan börja med mängdläran i stället och införa de naturliga talen som en mängd bestående av vissa mängder. Då kan man bevisa induktionsaxiomet utifrån axiomen för mängdläran. (Det är alltså inte omöjligt att definiera de naturliga talen i termer av något annat, men nu ställs vi inför probelemet att bevisa mängdlärans axiom, vilket inte går om vi inte definerar mängdläran i termer av något annat ...)

Kjell Elfström

Svar:

Låt a och b vara beloppen exklusive moms. Då är momspåläggen 0,12a resp. 0,25b. Vi får ekvationssystemet

Drar du 4 gånger den andra ekvationen från den första får du 0,52a = 52, vilket ger att a = 100. Den första ekvationen ger sedan att b = 500.

Kjell Elfström

Svar:

Både i differenser och summor kallas de ingående talen för termer. Mer sällan kallar man dem i summor för summander eller addender. Att i differenser kalla det första talet för minuend och det andra för subtrahend är också ovanligt numera.

Kjell Elfström

Svar:

Vi skall visa att

För att beräkna I₀ sätter vi x = sin t. Då är dx = cos t dt och vi får

Vi ser att formeln stämmer då n = 0. Antag nu att n > 0. Då ger partiell integration att

Vi skriver nu faktorn x² som (x² - 1) + 1 och får I_n = (2n + 1)(I_n - 1 - I_n), vilket ger

Formeln är redan visad för n = 0. Antag att den stämmer för n - 1, där n > 0. Då är

Formeln stämmer även för n och induktionsbeviset är klart.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen g kan skrivas g(x) = ln|2x + 1| - ln|x - 4|, x <> 4 och x <> -1/2. Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till ln|t| genom att använda partiell integration.

Vi får därför att

Vi sätter C₂ = 9/2 för att bli av med övriga konstanter och låter f vara motsvarande primitiva funktion. Då är

Eftersom

så är f strängt växande då x > 4.

Kjell Elfström

Svar:

Gibbs fenomen handlar om delsummorna s_n(x) till Fourierserien av en funktion u som har en språngdiskontinuitet i en punkt x = a. Se Eric Weisstein's World of Mathematics. Om språngets storlek är h så att t ex u(a+) - u(a-) = h så kommer s_n i vissa punkter nära och till höger om a godtyckligt nära värdet (1/2)(u(a+) + u(a-)) + hg/2, vilket skall jämföras med att u(a+) = (1/2)(u(a+) + u(a-)) + h/2. g = (2/Pi)§₀^Pi (sin t)/t dt, vilket är ungefär 1,179. Fourierserien konvergerar därför bara punktvis i en punkterad högeromgivning av punkten a.

Kjell Elfström

Svar:

Se Index of Ancient Greek mathematics.

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 oktober 2002 09.04.05.

Kjell Elfström

Svar:

I stället för kanonisk bas kan man säga standardbas. I R³ är den kanoniska basen (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Jag antar att du med C³ menar vektorrummet C×C×C över de komplexa talen C. I så fall är den kanoniska basen densamma.

Kjell Elfström

Svar:

Uppgiften om den första pumpen ger oss behållarens volym. 6 cl/s är 360 cl/min. 3 timmar och 20 minuter är 200 minuter. På 200 minuter fylls 200·360 cl = 720 l i behållaren. Den första pumpen fyller på med en hastighet av 216 l per timme. Tillsammans fyller pumparna i med hastigheten 416 l per timme. Tidsåtgången i timmar är alltså 720/416.

Kjell Elfström

Svar:

Den sista upplysningen ger att a + b + c = 11. Kvoten vid division av det sökta polynomet med x² + 3x + 2 måste vara en konstant k eftersom polynomens gradtal är lika. (Vi kommer inte att använda att den är konstant men vi kan skriva k i stället för k(x).) Då är

Nollställena till x² + 3x + 2 är -1 och -2. Sätter vi in dessa x-värden i likheten ovan får vi

Nu har du ett ekvationssystem precis som i svaret till frågan 8 september 2002 14.22.23.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom y --> 0 då x --> ±oo så är den enda sneda asymptoten y = 0. (Alla asymptoter utom lodräta kallas sneda.) Nämnaren har nollställena 2 och 3. Därför är y = (sin(x - 3))/((x - 3)(x - 2)). Detta ger att y --> 1 då x --> 3 eftersom (sin t)/t --> 1 då t = x - 3 --> 0. Då x är nära 2 är täljaren nära sin(-1) = -sin 1 som är ett negativt tal. Nämnaren går mot 0 då x --> 2 så absolutbeloppet av y är stort för x nära 2. Studerar vi tecket av y för x nära 2 finner vi att y --> oo då x -->2 ^- och y --> -oo då x -->2 ⁺. Den enda lodräta asymptoten är alltså x = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Se 25 januari 2001 10.14.08.

Kjell Elfström

Svar:

Man får inte samtliga lösningar. T ex är u(t,x) = t + x²/2 en lösning till värmeledningsekvationen du/dt = d ²u/dx ². Den är visserligen inte begränsad, men tar du en begränsad lösning på formen u(t,x) = T(t)X(x), där varken T eller X är konstanta, och adderar en konstant skild från noll får du en begränsad lösning där variablerna inte kan separeras. De entydigt bestämda lösningar som brukar erhållas vid vissa typer av t ex värmeledningsproblem är ju inte heller på den separabla formen utan är serier där termerna utgörs av separabla lösningar.

Kjell Elfström

Svar:

Du har räknat rätt.

Kjell Elfström

Svar:

Du har rätt i den meningen att systemet garanterar tio rätt men du ignorerar att antalet rader skall vara minimalt. Ett system som ditt består av 1591697 rader. Du är också garanterad tio rätt om du helgarderar de tio första matcherna och tippar ettor i de tre sista. Ett sådant system är bara på 3¹⁰ = 59049 rader. Problemet är alltså att bestämma det minsta antalet rader i ett system som garanterar tio rätt.

Ett problem som är lätt att analysera är att tippa ett system som garanterar fem rätt. Naturligtvis kan man helgardera fem matcher och få ett system med 3⁵ = 243 rader. I själva verket räcker det med 3 rader, en med bara ettor, en med bara kryss och en med bara tvåor. Det är också lätt att inse att det inte finns några tvåraderssystem som garanterar fem rätt så 3 är det minimala antalet.

Kjell Elfström

Svar:

Vikt brukar i vetenskapliga sammanhang kallas massa. Enheten för massa är 1 kilogram. Det är massan av den internationella kilogramprototypen, gjord av platina-iridium, som finns i Pavillon de Breteuil vid Sèvres nära Paris. Massa är en inneboende egenskap hos materien. Din massa är alltså lika stor oavsett om du befinner dig på jorden eller månen. Detta är lätt att inse. För att mäta din massa skall du stå i den ena vågskålen och ett antal platina-iridium-prototyper ligga i den andra. Vågen skall vara i jämvikt. Din massa i kilogram är då lika med antalet prototyper i den andra vågskålen. Detta förhållande bör inte förändras om du, vågen och prototyperna far till månen. Tyngd är något annat än massa. Det är en kraft som påverkar en massa. På jorden är tyngdkraften ungefär 9,8 gånger så stor som massan om man mäter massa i kilogram och tyngdkraft i enheten Newton. På månen är tyngden ungefär en sjättedel av den på jorden. Tänk dig en våg konstruerad som en platta som ligger på en spiralfjäder. När du ställer dig på plattan trycks fjädern ner en bit. En visare visar hur mycket den trycks ner och du kan avläsa din tyngd. På jorden visar vågen ett sex gånger så stort värde som på månen.

Du får själv söka vidare. På engelska heter massa mass och tyngd heter weight. I vardagssammanhang brukar man inte skilja på dessa begrepp. Det gör man ju inte i svenskan heller.

Kjell Elfström

Svar:

Vi kallar vinkeln·Pi/180 för v och sträckan för s. Vi börjar med att lösa ut sin och cos för v och får sin v = (x₂ - x₁)/s, cos v = (y₂ - y₁)/s. Dividerar vi sin v med cos v får vi tan v = (x₂ - x₁)/(y₂ - y₁). För att lösa ut v använder vi funktionen arctan. v = arctan((y₂ - y₁)) + Pi·n, där n är ett heltal. Nu måste vi bestämma värdet på n och om vi antar att v ligger mellan -Pi/2 och 3Pi/2 så är n antingen 0 eller 1. Om y₂ - y₁ > 0 så är n = 0 och om y₂ - y₁ < 0 så är n = 1. Då y₂ - y₁ = 0 kan vi inte använda formeln eftersom man inte får dividera med 0 men då är v = Pi/2 om x₂ - x₁ > 0 och v = -Pi/2 om x₂ - x₁ < 0. Funktionen arctan finns t ex i ANSI C under namnet atan. En bättre lämpad funktion går under namnet atan2 i ANSI C. Då kan du beräkna v genom v = atan2(x₂ - x₁,y₂ - y₁). Du får direkt rätt vinkel v men den ligger nu mellan -Pi och Pi i stället. Vinkeln mätt i grader blir 180v/Pi.

Kjell Elfström

Svar:

Sidan The Normal Curve innehåller en bra introduktion till normalfördelningen. En kontinuerlig stokastisk variabel  X (en slumpmässig talvariabel, t ex en människas längd) är normalfördelad om sannolikheten för att X ligger mellan a och b är §_a^b f(x) dx, där f(x) = (1/((2Pi)^1/2s))exp(-(x - m)²/(2s²)). Ritar man grafen till f får man en normalfördelningskurva. Sannolikheten ovan är arean under grafen mellan a och b. Väntevärdet av X är m (brukar vara den grekiska bokstaven my) och dess standardavvikelse s (sigma). Kastar man ett mynt n gånger så är antalet gånger myntet visar krona en binomialfördelad stokastisk variabel. Man kan upprepa de n kasten och göra ett histogram över antalet kronor. Ju större man väljer n desto mer liknar histogrammet en normalfördelningskurva. Detta följer av den centrala gränsvärdessatsen, som säger att om man har ett stort antal oberoende och likafördelade stokasiska variabler så är summan av dem approximativt normalfördelad. Tänker man då på en människors längd som sammansatt av små oberoende komponenter så förefaller det naturligt att längden approximativt är en normalfördelad variabel.

Stanineskalan, standardnio, är en metod att indela de slumpmässiga mätresultaten i nio klasser. Vi tar den stokastiska variabeln X = längden som exempel. Antag att vi mäter längden hos ett ental personer och önskar dela in mätresultaten (eller personerna) i de nio klasserna. Vi skattar väntevärdet och standardavvikelsen till m resp. s. Om vi bildar en ny stokastisk variabel Z = 5 + (2/s)(X - m) så kommer Z också att vara normalfördelad, med väntevärdet 5 och standardavvikelsen 2. Vi räknar om X-mätvärdena till Z-värden. Om värdet av Z är z så avrundar vi z till närmaste heltal n. Om n är något av talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så säger vi att värdet tillhör klassen n. Om n < 1 eller n > 9 säger vi att mätvärdet är i klassen 1 resp. 9. Då kommer andelen av populationen som befinner sig i de olika klasserna att vara ungefär 4%, 7%, 12%, 17%, 20%, 17%, 12%, 7% resp. 4%. Se Stanine. En liknande klassindelning ligger till grund för det svenska relativa betygssystemet fast där var det bara fem klasser.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är övertygad om att Holst menar absolutintegrerbar när han skriver integrerbar. Nu används visserligen den generaliserade Riemannintegralen i kompendiet men i Fourieranalys är det naturligt att använda Lebesgueintegralen och en funktion f är integrerbar i Lebesgues mening om och endast |f| är det. Med detta klargörande borde bitarna falla på plats med hjälp av sats B.16.

Kjell Elfström

Svar:

Jag gav upp litet för lätt. Svaret till 3 september 2002 12.14.07 är nu kompletterat. Man kan skicka in problem till American Mathematical Monthly. Numreringen görs av redaktionen och gäller inom tidskriften. För att få tillgång till matematiska tidskrifter i elektronisk form måste man i allmänhet ha ett avtal med förlaget. Adressen till American Mathematical Monthly är http://www.maa.org/pubs/monthly.html.

Kjell Elfström

Svar:

Bilda vektorerna u = AB = (2^1/2,1,1) och v = AC = (1,0,2^1/2). Den sökta vinkeln t är vinkeln mellan dessa vektorer. Eftersom deras skalärprodukt är u·v = |u||v| cos t så är

Vinkeln är alltså arccos(2/3).

Kjell Elfström

Svar:

Vad gäller den första frågan hänvisar jag till Nationellt resurscentrum för matematikundervisning. Vad gäller den andra föreslår jag The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Svar:

Jo och det är det också i svaret. När 1/2 multipliceras in i parentesen kommer faktorn 1/2 att stå både framför t(1 + t²)^1/2 och framför ln(t + (1 + t²)^1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Jag har inte tillräckliga kunskaper för att till fullo besvara denna fråga. Du har rätt i att hus är rektangulära i västerlandet men så är det ju inte överallt. I många kulturer är t ex hyddor cirkulära och det sägs att folket i dessa kulturer inte tänker så fyrkantigt som vi. I Euklides geometri ägnas stort utrymme åt räta linjer och rektanglar. Detta kulturarv kan kanske i någon mån förklara vår fascination för sådana former. Å andra sidan var hans geometri den teoretiska överbyggnaden på den praktiska fyrkantiga jordemätning som användes t ex i kulturerna i Egypten och Babylonien. Den analytiska geometrin, i vilken koordinatsystem har en avgörande betydelse, är en sen uppfinning som tillskrivs Descartes. Eftersom den västerländska kulturen numera dominerar matematiskt tänkande världen över är det knappast troligt att någon annan typ av koordinatsytem än det Cartesiska skulle dominera någon annanstans.

Kjell Elfström

Svar:

Att vara bra i huvudräkning är ingen garanti för att lyckas i matematikstudier. Ofta måste man lägga ner mycket tid för att förstå de matematiska samband man studerar. Du skall kanske diskutera med din lärare om något kan förbättras i din studieteknik.

Kjell Elfström

Svar:

Basen gånger höjden delat med 2.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan V'(T) är hastigheten med vilken volymen ökar vid tiden T. Utströmningshastigheten vid tiden T blir därför -V'(T).

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte hur ett halvklot kan ha en sexhörning som basyta.

Kjell Elfström

Svar:

Lös ut e₁ och e₂ uttryckta i f₁ och f₂ ur sambandet mellan e- och f-vektorerna. Sätt in i utrrycket för v och avläs koefficienterna för f₁ och f₂.

Kjell Elfström

Svar:

Ljusstrålen följer före reflexionen linjen (x,y,z) = (1,2,-1) + t(1,1,1). Denna skär planet i punkten Q = (4,5,2). Låt e = (1/3)(2,-2,1) vara en enhetsnormal till planet. Den ortogoala projektionen av v = P₁Q på e är v' = (v·e)e. Den ortogonala projektionen av v på planet blir v'' = v - v'. Ortsvektorn för P₂ blir OP₂ = OP₁ + 2v''. Rita en figur!

Kjell Elfström

Svar:

Nej, jag tror inte det finns något kryphål. Du kommer att finna Shakespeares samlade verk bland apans kvarlåtenskap om du själv lever så länge.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att man brukar börja lära sig bråkräkning någon gång i 5:e eller 6:e klass i skolan.

Kjell Elfström

Svar:

En serie är en summa a₁ + a₂ + a₃ + ^... med oändligt många termer. Vi betraktar först en sådan summa som ett formellt uttryck och inte som ett tal. T ex är 1 + 1/2 + 1/3 + ^... en serie och 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ^... en annan. Den n:e delsumman s_n till en serie är den summa man får om man summerar de n första termerna. För den första serien, som kallas den harmoniska serien, är s₁ = 1, s₂ = 1 + 1/2 = 3/2, s₃ = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6. Om s_n har ett gränsvärde s då n --> oo säger man att serien är konvergent med summan s. Ofta tänker man på serien som detta tal s och skriver t ex a₁ + a₂ + a₃ + ^... = s. Om s_n inte har något gränsvärde säger man att serien är divergent. En divergent serie har ingen summa och man betraktar den bara som ett formellt uttryck. Den andra serien är konvergent. Det är lätt att visa om man känner till formeln för den geometriska summan. Vi har att

Summan är alltså 2. Den harmoniska serien är divergent. Skriv den som

Den p:e parentesen är summan

Parentesen innehåller 2p termer som alla är minst lika stora som den sista 1/2^p + 1. Varje parentes är alltså minst 1/2. Tar vi med m parenteser blir motsvarande delsumma minst 1 + 1/2 + m/2 och eftersom detta kan göras godtyckligt stort bara m är tillräckligt stort inser man att s_n --> oo då n --> oo.

Kjell Elfström

Svar:

Använd partialbråksuppdelning. Börja med att faktorisera nämnaren. f(x) = 8/(x(x - 2)(x + 2))). Ansätt sedan

Multiplicera båda led med x(x - 2)(x + 2)) för att få en likhet mellan polynom.

Om - 4A = 8, 2B - 2C = 0 och A + B + C gäller likhet ovan. Lös detta ekvationssystem så får du A = -2 och B = C = 1. Du får nu

en funktion som du klarar att integrera.

Kjell Elfström

........rs 
......r..x.s 
....r.....x..s 
..r........x.s 
rrrrrrrrrrrrs 

Svar:

Längden av bågen är s = ar, där a är medelpunktsvinkeln (mätt i radianer). Eftersom sin(a/2) = (x/2)/r så är a = 2arcsin(x/(2r)), vilket ger att s = 2r arcsin(x/(2r)). Något svar där de cyklometriska funktionerna arcsin, arccos osv. ingår kan jag inte ge dig.

Kjell Elfström

Svar:

Man måste fråga sig 5% av vad och det framgår inte. Om du skall dra av 5% varje månad av det ursprungliga beloppet skall du på ett år dra av 60% av detta, dvs 30000 kr. Skall du dra av 5% av det belopp du har kvar skall du första gången dra 5% av 50000. Du har då (1 - 0,05)·50000 kvar. Nästa gång skall du dra bort 5% av detta belopp. Du har (1 - 0,05)(1 - 0,05)·50000 = (1 - 0,05)²·50000 kvar. Efter 12 månader har du (1 - 0,05)¹²·50000 kr kvar. Du har nu dragit (1 - (1 - 0,05)¹²)·50000 = 22982 kr.

Kjell Elfström

Svar:

Utnyttja att (f ^-1)'(y) = 1/f '(x), där y = f(x), om f är strängt monoton och kontinuerlig och om f '(x) existerar och är skilt från noll. Om f är funktionen i frågan så är förutsättningarna uppfyllda och man ser att f(1) = 9. Därför är den sökta derivatan 1/f '(1).

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan är noll bara då x = ±1. Teckenundersökning visar att x = 1 är en lokal maximipunkt och x = -1 en lokal minimipunkt. Eftersom f(x) --> 0 då x --> -oo är 1 en maximipunkt. Eftersom f(1) = 1/2 så är tangentens ekvation y = 1/2. Arean är därför §₀¹ (1/2 - x/(x² + 1))dx. Eftersom §(g'(x)/g(x))dx = ln|g(x)| + C så är x/2 - (1/2)ln(1 + x²) en primitiv funktion till integranden. Arean blir 1/2 - (1/2)ln 2.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten att han inte vinner någon gång är ((100 - 1)/100)¹⁰⁰ och därför är sannolikheten att han vinner någon gång det svar som du anger. Anledningen till att man räknar så är att det i detta fallet är det enklaste sättet. Ett annat sätt är att beräkna sannolikheterna för att han vinner 1 gång, 2 gånger, 3 gånger osv. och addera alla dessa sannolikheter. Den första metoden verkar mycket mer tilltalande.

Kjell Elfström

Svar:

Jag ser ingen annan metod än att pröva sig fram.

Kjell Elfström

Svar:

Hörnen i kvadraten kan inte utgöra hörn i trianglar och måste därför delas av minst en triangelsida vardera. Om inget triangelhörn är beläget på någon sida i kvadraten mellan två hörn utgör kvadratens sidor sidor i fyra trianglar som har två hörn vardera gemesamma med kvadraten. Summan av de vinklar som dessa trianglar bildar mot kvadratens sidor kan inte överstiga 360° eftersom vinkelsumman av kvadratens hörn är 360°. Eftersom de fyra trianglarna vinkelsumma är 720° så är vinkelsumman av trianglarnas återstående hörn minst 360°. Någon av dessa vinklar är därför minst 90°. Någon triangel har alltså ett hörn på en av kvadratens sidor mellan två hörn. Från detta hörn måste utgå minst två triangelsidor förutom kvadratens sidor. Man inser att nu att det måste finnas minst två triangelhörn i det inre av kvadraten. Vart och ett av dessa hörn måste vara hörn i minst fem trianglar. Högst två trianglar kan ha båda hörnen. Därför måste det finnas minst åtta trianglar. Detta är också tillräckligt vilket bilden visar.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, för alla positiva heltal. Påståendet är lätt att visa med induktion. Självklart är VL₁ = HL₁. Enligt formeln för den aritmetiska summan är

Om VL_n = HL_n följer det att

Kjell Elfström

Svar:

Frågan du hänvisar till är 27 november 1998 19.47.24. Om räntesatsen är t ex 7 % under en period ökar skulden till (1 + 7/100)K efter denna period. 100 kommer av att p % = p/100. Om räntesatsen är p/m % = p/(100m), r = 1 + p/(100m) och skulden är K så ökar skulden till rⁿK under n perioder. Görs avbetalningar enligt planen kan man efter n perioder, om man får ränta på inbetalningarna, tillgodoräknas beloppet

där likheten följer av formeln för den geometriska summan. Sätter man dessa båda belopp lika får man formeln.

Kjell Elfström

Svar:

Se varmeledning.pdf.

Per-Anders Ivert

Svar:

Nej, vi har inte löst problemet. Problemet är ändligt till sin natur och man skulle i princip kunna låta en dator undersöka alla möjliga kombinationer av stryktipsrader. På grund av det enorma antalet kombinationer skulle programkörningen dock inte avslutas inom överskådlig tid. En matematisk lösning skulle kunna reducera antalet kombinationer, men någon sådan har alltså ingen funnit.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte läsa frågan.

Kjell Elfström

Svar:

I 21 mars 1999 16.54.48 finns de brittiska räkneorden angivna. De är identiska med de svenska bortsett från smärre avvikelser i stavningen. Principen är att prefixet bi-, tri- osv. anger vad en miljon skall upphöjas till för att ge talet i fråga. T ex är en triljon 1000000³. Jag har inte tidigare betraktat orden biljard, triljard osv. som räkneord, men har förstått att vissa anser annorlunda. Principen är då att en x-jard är 1000 x-joner.

Kjell Elfström

Svar:

Vi utnyttjar att 2^lg 3 = 3^lg 2, vilket följer av att leden har samma tiologaritm. Ekvationen kan skrivas

Dess enda rot är därför x = 1/6.

Kjell Elfström

Svar:

Se 19 september 2002 12.24.07

Kjell Elfström

Svar:

Använd induktion. Söker du efter ordet från vår söksida finner du säkerligen någon liknande fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Den första uppgiften löses som i svaret till 12 september 2002 11.14.35. I den andra summan är kvoten mellan en term och den föregående r = -1/2. Summan är

Vi får att

vilket ger att s = 5(1 - r⁶)/(1 - r).

Kjell Elfström

Svar:

Sätt a_n = 3ⁿ + 3 - 6n. Vi visar med induktion att 4|a_n då n >= 0. Eftersom a₀ = 4 är det klart då n = 0. Antag att 4|a_n. Då är

Vi får att

är delbart med 4. Enligt induktionsantagandet är a_n delbart med 4 och därför är a_n + 1 delbart med 4.

En annan metod är kongruensräkning.

Då n är jämnt är detta självklart delbart med 4. Då n = 2k + 1 är udda är

Kjell Elfström

Svar:

Sätt v = 10u. Då är den första olikheten ekvavivalent med

Den andra olikheten är ekvivalent med

Det är nu klart att om den första olikheten är uppfylld så är också den andra det men inte tvärtom.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen är deriverbar i vart och ett av intervallen (-oo,-1), (-1,1) och (1,oo). Derivatan är noll i alla tre intervallen. Därför är funktionen konstant i varje intervall. Utnyttjar vi att f(x) --> -Pi då x --> -oo, f(0) = 0 och f(x) --> Pi då x --> oo så får vi att de tre konstanterna är -Pi, 0 och Pi.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte helt säker på hur uppgifterna skall tolkas. I den första tolkningen antar jag att P(G|I) = 10P(G|-I), där I står för inbrott, G för att få glassplitter och ett minustecken står för icke. Sätt p = P(G|-I). Då är P(G|I) = 10p. Frågan är vad P(I|G) blir. Vi har

och

Sätter vi in detta i den första ekvationen får vi att P(I|G) = 5p/(11p/2) = 10/11. Oddset blir alltså 10:1.

I den andra tolkningen antar jag att Josefsson kan vara tjuv men ändå råka få glassplittret i samband med något annat än inbrottet. Låt Gi och Ga stå för att få glassplitter i samband med inbrottet resp. i samband med annat. Eftersom vi vet att Josefsson fått glassplitter är P(Gi) + P(Ga) = 1. Eftersom P(Gi) = 10P(Ga) får vi att P(Gi) = 10/11 och P(Ga) = 1/11. Vi får

Oddset blir 21:1.

Kjell Elfström

Svar:

Det beror på hur man inför logaritmen. Man kan börja med att införa potenser och visa att (1 + 1/n)ⁿ, där n är ett positivt heltal, är växande och uppåt begränsad. Av axiomet om övre gräns följer det att (1 + 1/n)ⁿ har ett gränsvärde då n --> oo. Vi kallar detta gränsvärde för e. Man visar sedan att (1 + 1/x)^x också går mot e då x --> ±oo. Man inför ln genom att först visa att funktionen f(x) = e^x är strängt växande och därför inverterbar. Man kallar inversen för ln. Det gäller alltså att y = ln x om och endast om x = e^y, där x > 0. ln är också strängt växande och dess värdemängd är ett intervall. Av detta följer det att ln är kontinuerlig. Ersätter vi nu x i gränsvärdet ovan med 1/x får vi att (1 + x)^1/x --> e då x --> 0. Av detta och kontinuiteten av ln följer det att ln(1 + x)/x = ln((1 + x)^1/x) --> ln e = 1 då x --> 0.

Inför man i stället ln x som §₁^xdt/t följer det av satser om integraler att derivatan av f(x) = ln x är 1/x. Speciellt är f '(1) = 1. Detta betyder att ln(1 + h)/h --> 1 då h --> 0.

Oavsett hur man gör så blir ett fullständigt bevis alltför långt att skriva ner här. Jag hänvisar till elementära läroböcker i analys.

Kjell Elfström

Svar:

I en process som denna finns ett antal tillstånd. Varje tillstånd är bestämt av antalet vita kulor. Det finns alltså 101 olika tillstånd. Man går från tillstånd k till tillstånd j med sannolikheten p_jk och dessa sannolikheter beror inte på vad som hänt tidigare. Processen har inget minne. En sådan process kallas för en Markovkedja. Matrisen P = (p_jk) kallas en stokastisk matris eftersom summan av elementen i varje kolonn är 1 och inga element är negativa. Om kolonnvektorn p är en sannolikhetsvektor där elementet på plats j är sannolikheten att vi befinner oss i tillstånd j så är Pp motsvarande sannolikhetsvektor efter nästa tillståndsbyte. Om P är regulär, vilket betyder att någon potens P^m bara innehåller positiva element så kommer Pⁿ att närma sig en stokastisk matris Q när n växer. Alla kolonnerna i Q är lika med samma kolonn q. När n växer kommer Pⁿp att närma sig q oberoende av hur p ser ut. I detta fall är dock matrisen inte regulär eftersom vi t ex inte kan gå från ett jämnt antal vita kulor till ett jämnt antal vita kulor i ett udda antal steg. Om vi bara betraktar tillstånd med ett jämnt antal kulor och beräknar sannolikheterna för att gå från ett jämnt tillstånd till ett annat i två steg får vi en regulär matris där sannolikheten för 50 vita och 50 svarta kulor stabiliseras på ett högt värde, dock inte 1.

Elementära kunskaper i sannolikhetslära och en del kunskaper i lineär algebra är tillräckliga för att räkna på processer som denna.

Kjell Elfström

Svar:

35^1/2/35 kan också skrivas 1/35^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att den sökta punktens x-koordinat är a. Dess y-koordinat är då e^-a. Eftersom funktionens derivata är -e^-x så är tangentens riktningskoefficient -e^-a. Tangentens ekvation är därför y - e^-a = -e^-a(x - a). Bestäm a så att x = 0, y = 0 satisfierar tangentens ekvation.