Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar februari 2002

Svar:

Sök efter "moment" hos Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Använd konjugatregeln för att få (f + g + f - g)(f + g - f + g) = (2f)(2g) = 4fg och dividera sedan med 4. Alternativt kan man använd kvadreringsregeln två gånger. f² + 2fg + g² - (f² + f(-g) + (-g)²) = f² + 2fg + g² - f² + 2fg - g² = 4fg.

Kjell Elfström

Svar:

Kurvan u = av²/2 skär de andra kurvorna då v = 0 och då v = 1. Jag visar hur man räknar ut längden av den kurva på ytan som ges av u = av²/2, 0 <= v <= 1. Längderna av trekantens båda övriga delar räknas ut på samma sätt och för att få perimetern är det bara att addera de tre längderna.

För tydlighets skull inför vi en parameter t så att kurvan beskrivs av u = at²/2, v = t, 0 <= t <= 1. Om vi kallar koefficienterna i den första fundamentalformen för E = 1, F = 0 och G = a² + u² och om s är båglängden så gäller att

Längden blir därför

För att beräkna vinklarna behöver vi känna kurvornas tangenter i skärningspunkterna. Vi antar att ytan kan parametriseras av X = r(u,v). Kurvan (u,v) = (u(t),v(t)) i uv-planet ger då kurvan X = r(u(t),v(t)) på ytan. En tangentvektor till kurvan i en punkt på ytan som svarar mot ett visst värde på t är X '(t) = r₁'(u,v)u'(t) + r₂'(u,v)v'(t), där r₁' och r₂' betecknar derivatorna med avseende på u resp. v. Tar vi den kurva som vi beräknade längden av ovan får vi

Kurvan v = 1 har parametriseringen (u,v) = (t₂,1) så tangentvektorn till motsvarande kurva på ytan ges av

Betecknar vi dessa tangentvektorer med U resp. V så är

På samma sätt blir

I skärningspunkten mellan dessa kurvor är t = v = 1 och u = a/2. Att t₂ = a/2 är ointressant eftersom t₂ inte föekommer i skalärprodukterna. Eftersom du känner E, F och G i skärningspunkten kan du nu beräkna

Kjell Elfström

Svar:

Begreppet bas i ett topologiskt rum är modellerat efter de öppna omgivningarna (a - d,a + d) i R. Definitionsmässigt är en bas en uppsättning öppna mängder sådana att varje öppen mängd kan skrivas som unionen av en uppsättning basmängder. Om det då för en mängd M gäller att det till varje x i M finns en basmängd U_x sådan att x tillhör U_x och U_x är innehållen i M så är M unionen av alla mängderna U_x, där x tillhör M, dvs M är öppen. Omvänt, om M är öppen så är M unionen av en uppsättning basmängder och om x tillhör M så tillhör x därför någon basmängd. Man får bilden klar för sig om man tänker på hur det fungerar i R. En mängd M av reella tal är öppen om och endast om det till varje x i M finns ett intervall (x - d,x + d) som är innehållet i M. (Enligt definitionen av bas vet man bara att det finns ett intervall I = (a,b) som innehåller x och är innehållet i M, men man kan sedan alltid hitta ett intervall (x - d,x + d) som är innehållet i I. Trivialt är uppsättningen av alla öppna mängder en bas och i den basen är alla öppna mängder basmängder. Syftet med att införa baser är att hitta enkla baser och normalt väljer man inte den som består av alla öppna mängder. I R finns det ju betydligt många fler öppna mängder än de öppna begränsade intervallen som utgör basmängderna i en där ofta använd bas.

Man får ofta en ganska bra bild av mängder om man ritar upp dem i så kallade Venndiagram, alltså som cirklar som eventuellt överlappar varandra. Man kan då åskådliggöra grundmängden som en fyrkant i vilken man placerar cirklarna. I topologi så utgör hela det topologiska rummet grundmängden.

Att X×Y ritas upp som en fyrkant (det spelar ingen roll om det är en kvadrat) kan då förklaras som ovan men här har man mer struktur. Låter man den undre sidan representera X och den vänstra Y så kommer elementet (x,y) i X×Y att representeras som den punkt som har "koordinaterna" x och y. Normalt vet man inte var på sidorna man skall placera x och y men det spelar ofta ingen roll. I ett vanligt koordinatsystem representeras ju elementen i R² = R×R på samma sätt. I R har man mer struktur; man har ju negativa och positiva tal och en ordningsrelation som gör att man vet om ett tal skall ligga till vänster om ett annat men i princip fungerar det på samma sätt.

I produkttopologin i X×Y utgör mängderna U×V, där U och V är öppna mängder i X resp. Y, definitionsmässigt en öppen bas. En mängd M i X×Y är alltså öppen om det till varje (x,y) i M finns en öppen mängd U i X innehållande x och en öppen mängd V i Y innehållande y sådan att U×V är en delmängd av M. M ritar man lämpligen som en cirkel som innehåller punkten (x,y). U och V ritas som intervall innehållande x resp. y på "axlarna". Mängden U×V ritas som en rektangel i cirkeln. Dylika figurer har ingen beviskraft men hjälper en ofta att tänka ut ett bevis. Den allmänna topologin har ju tillkommit som en generalisering av förhållanden i Rⁿ. Jag har lagt in en illustration till 25 februari 2002 20.08.25.

Kjell Elfström

Svar:

Det handlar väl om att få fler danskar att tycka om matematik. På sidan http://www.mna.hkr.se/matematik/uppsatser/popularisera.matematik.html beskrivs ett examensarbete vid Kristianstads högskola med syfte att redovisa olika sätt att popularisera matematiken. En annan sida är Matematikåret 2000 / World Mathematical Year 2000. Söker man efter "popularising+mathematics" (eller "popularizing+mathematics" för att få de amerikanskspråkiga artiklarna) får man en del läsvärda tips.

Kjell Elfström

Svar:

Detta faller utanför mitt kompetensområde.

Kjell Elfström

Svar:

Ställ frågan till Nationellt resurscentrum för fysik.

Kjell Elfström

Svar:

342298235672/435 är ett annat sätt att representera talet.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom (-6)² = 36 = 6² så är x = -6 en rot till båda ekvationerna.

Kjell Elfström

Svar:

Se 8 januari 2001 20.35.45.

Kjell Elfström

Svar:

Det är lätt att ange en formel för koordinaterna för punkterna. Det bildas ju tre spiraler men vi studerar en av dem. Vi antar att triangeln är placerad med tyngdpunkten i origo och låter starthörnet representeras av det komplexa talet z. Hörnet närmast till höger i samma triangel är då ze^2Pi i/3. Hörnet på spiralen i närmast större triangel är z + (z - ze^2Pi i/3) = z(2 - e^2Pi i/3). Hörnet i den tredje triangeln blir då z(2 - e^2Pi i/3)(2 - e^2Pi i/3) = z(2 - e^2Pi i/3)². Om vi kallar starthörnet för z₀ och det n:e hörnet därefter för z_n så gäller alltså att

Eftersom

där a = arctan(3^1/2/5), som är ungefär 19°, så är

Om vi antar att z₀ = 1 så är avståndet från z_n till origo alltså 7^n/2 och strålen genom origo och z_n bildar vinkeln -na med x-axeln.

Kjell Elfström

Svar:

1. Gradienten (2x,2y,-2z) är noll bara då (x,y,z) = (0,0,0). Om c <> 0 så ligger ej origo på ytan och då är den regulär. Sätt t ex x = s, y = t och lös ut z. Gradienten i en punkt på ytan är normalvektor till tangentplanet i den punkten. Bestäm tangentplanets ekvation, sätt in de båda punkterna och se vilka villkor du får.

2. X = (1/2)(a(s) + b(t)). Om kurvorna ligger i var sitt plan, dessa plan inte är parallella och kurvorna inte går genom planens skärningslinje så är kurvornas tangentvektorer lineärt oberoende och därmed har Jacobianen rang 2. Hur ser det ut om kurvorna är två parallella linjer?

3. Jag vet inte vad parametern i frågan betyder och vet inte vilken trekant som avses.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte om man kan få någon organiserad undervisning i fortsättningskurser i matematik när man går i åttan. Däremot kan man naturligtvis läsa på egen hand. Känner du att du är färdig med grundskolematematiken är väl det bästa att fortsätta med gymnasiekursen. Du kan kanske skaffa dig litteraturen. Kontakta något gymnasium och fråga vilken litteratur som används eller be din matematiklärare om hjälp. Du kan förhoppningsvis också få hjälp om du kör fast i dina självstudier. Att börja med något svårare, som du skriver, tror jag att du skall vänta med tills du läst in gymnasiekursen. Studier av nästan all "högre" matematik förutsätter att man kan gymnasiematematiken.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt konjugatregeln kan vi skriva funktionen som f(x) = (1 - x²)^1/2. Substituerar vi x = sin t blir dx = cos t dt och 1 - x² = cos²t. Därför är

Kjell Elfström

Svar:

Det är tensorer. Du kan läsa mer om dem på The Geometric Algebra of 3D Euclidean Space.

Kjell Elfström

Svar:

Det kan man naturligtvis inte. Det man kan göra är att visa att det oavslutade decimalbråket 0,9999999... = 1. Det första talet står för

Enligt formeln för den geometriska summan är

och gränsvärdet är 1.

Kjell Elfström

Svar:

I någon mening gäller resultatet även om man tar bort en nolla. Enligt svaret till 27 januari 2002 23.54.16 är skillnaden mellan ett naturligt tal n och dess siffersumma S(n) alltid delbar med 9, dvs n = S(n) (mod 9). Om m betecknar det tal man får genom att ta bort siffran s så är alltså

Här betecknar likhetstecknen "kongruent med". Om S(n - m) > 9 kan man gå vidare och ta siffersumman av S(n - m) och få S(S(n - m)) = s (mod 9). Upprepar man proceduren så får man om 1 <= s <= 9 till slut s på detta sätt. Skulle s vara noll får man i stället 9, vilket är samma sak som 0 när man räknar modulo 9.

Kjell Elfström

Svar:

Se 22 januari 2002 18.10.27.

Kjell Elfström

Svar:

(a,b) och [a,b] betecknar intervallen {x; a < x < b} respektive {x; a <= x <= b}i R. I den vanliga topologin i R är definitionsmässigt mängden U öppen om det till varje x i U finns ett intervall Omega = (x - epsilon,x + epsilon), där epsilon > 0, sådant att Omega är innehållen i U. Då blir intervallet (4,5) en öppen mängd och [4,5] en sluten. Det finns enligt definitionen andra öppna mängder än öppna intervall, men i den elementära envariabelanalysen är det de som är mest intressanta. De öppna intervallen är ju också mycket riktigt en bas för de öppna mängderna i R.

Kjell Elfström

Svar:

Antar vi att diagonalen D = {(x,x); x tillhör X} är sluten så är dess komplement i X×X öppen. Låt x och y vara två olika element i X. Då ligger (x,y) i det öppna komplementet till D. Mängderna U×V, där U och V är öppna i X, utgör en bas för produkttopologin i X×X och det innebär att det finns öppna mängder U och V i X sådana att (x,y) tillhör U×V och U×V är en delmängd till komplementet till D. Det gäller alltså att x tillhör U och y tillhör V. U och V är också disjunkta ty om z tillhör båda mängderna så gäller det att (z,z) tillhör U×V, vilket motsäger att U×V är en delmängd av komplementet till D.

Kjell Elfström

Svar:

Se 15 februari 2001 20.23.42.

Kjell Elfström

Svar:

Vi bevisar påståendet med induktion över n. Om n = 0 så är a_n = (-1)⁰ + 3⁰ = 1 + 1 = 2 och om n = 1 så är a_n = (-1)¹ + 3¹ = -1 + 3 = 2. Antag nu att påståendet är sant då n = p - 2 och då n = p - 1. Då är

Kjell Elfström

Svar:

Om a_n = 5·2ⁿ + 3 så är a₀ = 8. Därför går inte uppgiften att lösa.

Kjell Elfström

Svar:

En helt korrekt beskrivning av vad en vinkel är blir nog alltså abstrakt för din son, så jag skulle nog föreslå en mer intuitiv beskrivning. En vinkel är ju ett mått på hur två linjers riktningar förhåller sig till varandra. Säg till exempel att du vill skära upp en bit av en tårta och har skurit ett snitt från mitten och ut till kanten. När du börjar på nästa snitt från mitten så blir vinkeln med det första snittet ett mått på hur stor bit du skär ut.

Anna Torstensson

Svar:

Vi får ofta frågor om delbarhet. Just delbarhet med 11 togs upp i svaret på frågan som ställdes  3 februari 2002 17.37.25 .

Anna Torstensson

Svar:

Ja, visst går det att beräkna sannolikheten, men det är lite komplicerat. Vi räknar först ut hur stor sannolikheten är att anfallaren förlorar då tärningarna kastas en gång. Antag att alla tärningarna har olika färger så att vi kan skilja t ex på situationen när försvararen får en grön tvåa och en blå trea från situationen då han får en grön trea och en blå tvåa. Då alla fem tärningarna kastas finns alltså 6⁵ möjliga utfall. Vi vill räkna ut hur många av dem som gör anfallaren till förlorare. Antag att försvararen har kastat sina tärningar och fått värdena a och b. Vi ser först på fallet då a >=b. Anfallaren förlorar om alla hans tärningar visar mindre än a, vilket de kan göra på (a-1)³ sätt, eller om en av hans tärningar visar a och de andra högst b. I det senare fallet kan vi välja vilken tärning som skall visa a på tre sätt och sedan välja värdet av de övriga på b² sätt. Totalt kan anfallaren då förlora på (a-1)³+3b² sätt givet att försvararen har fått a och b där a>=b. Om a<b byter a och b roller i resonemanget ovan så vi får (b-1)³+3a². I båda fallen kan vi uttrycka antalet utfall som gör anfallaren till förlorare som (max(a,b)-1)³+3min(a,b)². För att få alla utfall skall vi nu summera över alla par (a,b) där a och b båda ligger mellan ett och sex. Om man gör det får man att försvararen vinner vid 3086 av de 6⁵ möjliga utfallen. Sannolikheten, p, för detta är alltså 3086/6⁵. Sannolikheten för att försvararen vinner två gånger är p² = 3086²/6¹⁰ och sannolikheten att han förlorar två gånger är (1-p)²=4690²/6¹⁰. Om inget av dessa två fall inträffar blir det oavgjort och detta inträffar alltså med sannolikhet 1-p²-(1-p)² = 3618335/7558272.

Anna Torstensson

Svar:

17 oktober 1997 02.10.49 !

Anna Torstensson

Svar:

Antag att cirkeln har radie r. Omkretsen består då av två delar, cirkelns diameter som har längd 2r och hälften av cirkelns omkrets. Vi känner till att hela cirkeln har omkrets 2 Pi r så vår cirkelbåge måste ha längden Pi r. Totalt får vi att halvcirkeln har omkretsen 2r+Pi r.

Anna Torstensson

Svar:

Läs svaret från  5 april 1997 19.55.44 .

Anna Torstensson

Svar:

Jag antar att du avser kategorier inom så kallad kategoriteori, som är en del av matematiken. Inom matematiken arbetar man med många olika abstrakta begrepp, t ex ringar, grupper, och vektorrum. Kategoriteori är ett försök att systematisera studiet av dessa objekt och hur de förhåller sig till varandra. En kategori är en samling objekt samt till varje par av sådana objekt en mängd avbildningar mellan dem (som uppfyller vissa mycket grundläggande axiom). Ett exempel på en kategori är grupper med grupphomomorfismer.

Anna Torstensson

Svar:

'Countable' heter på svenska uppräknelig eller uppräkningsbar. Per definition är en uppräknelig mängd antingen en ändlig mängd eller en oändlig mängd sådan att det finns en bijektiv avbildning mellan de naturliga talen och mängden. Till exempel visar bijektionen f(n)=2n mellan de naturliga talen och de positiva jämna talen att mängden av jämna tal är uppräknelig. Mer intuitivt skulle man kunna beskriva en uppräknelig mängd som en mängd vars element kan räknas upp i en (eventuellt oändligt lång) lista. Om man funderar lite kan man inse att även de rationella talen är uppräkneliga, men däremot inte de reella.

Anna Torstensson

Svar:

Det var en intressant fråga, men tyvärr kan jag nog inte hjälpa dig så mycket. Precis som du har lagt märke till kan man få fram lösningens serieutveckling. (Men jag får exponenten för beta i lösningen till n(n-1)/2 och inte n(n+1)/2 som du skrivit.) Jag tror inte det finns någon sluten form för dessa funktioner utom i de speciella fall beta=+/-1 som du nämner.

Anna Torstensson

Svar:

Att visa att e^x >=1+x är detsamma som att visa att e^x-1-x är positiv överallt. Genom att se på derivatan e^x-1 och lägga märke till att den är positiv för positiva x och negativ för negativa x ser man att f avtar fram till 0 och därefter är växande. Den måste därför ha sitt minsta värde då x=0. Eftersom f(0)=0 följer det att f är positiv för alla x.

Anna Torstensson

Svar:

Den här frågan lämpar sig nog bättre för fråga vetenskapen om fysik.

Anna Torstensson

Svar:

Jag antar att det skall stå att 4³ personer avstår från att sprida ryktet i tredje steget. I så fall kan man ana följande samband: Antag att s_k personer får höra ryktet vid tidpunkten k. Av dem avstår 4^k personer från att sprida ryktet vidare så vid nästa tidpunkt når ryktet s_k+1=3(s_k-4^k) personer. Detta är en så kallad rekursionekvation av första graden. Det finns metoder för att lösa vissa enkla typer av rekursionsekvationer, bland annat den som uppstår här. (Se även frågan från  2 april 2001 14.29.15 ) Om vi använder oss av informationen att s₁=81 så får vi (med användade av dessa metoder) lösningen s_k=31*3^k-3*4^k. Vi kan nu ta reda på när s_k blir negativ genom att lösa olikheten 31*3^k-3*4^k>=0. Genom omflyttning och logaritmering finner vi att svaret blir (ln(31)-ln(3))/(ln(4)-ln(3)) vilket är ungefär 8,1.

Anna Torstensson

Svar:

Enligt definitionen av dubbelintegral fås arean genom att integrera ett map u och v över det givna området i uv-planet. Eftersom vi har en bra beskrivning av området i termer av x och y är det lämpligt att göra variabelbytet x=u^1/3, y=v^1/3. Därvid skall integranden multipliceras med funktionaldeterminanten 9x²y². Arean fås alltså genom att genom att beräkna dubbelintegralen av 9x²y² över cirkel skivan kring origo med radie ett:  x²+y² <=1.

Anna Torstensson

Svar:

Om du följer Kjells råd och ritar en figur så blir det mycket lättare att se. Rita ut tangenten och markera vinkeln v mellan tangenten och y-axeln. Om du nu markerar punkten -3 på y-axeln och sedan drar en linje därifrån, som är vinkelrät mot y-axeln så bildar den tillsammans med y-axeln och tangentlinjen en triangel. Riktningskoefficientens absolutbelopp är kvoten mellan längderna på den lodräta och den vågräta sidan i triangeln. Eftersom den lodräta sidan har längd 3 visar detta att den vågräta måste ha längd 1. Å andra sidan är tan(v) kvoten mellan längderna på den vågräta och den lodräta sidan, dvs 1/3.

Anna Torstensson

Svar:

Bokstaven h står för hyperbolicus. Skälet till detta namn är att punkterna (sinh(t),cosh(t)) genomlöper hyperbeln x²-y²=1 när parametern t genomlöper de reella talen.

Anna Torstensson

Svar:

Se svaret från  12 januari 2001 17.49.06 . Där beräknas visserligen bara 1+1, men metoden för att beräkna 2+3 är densamma. Det blir bara lite fler beräkningssteg. Prova får du se!

Anna Torstensson

Svar:

Beteckna längden på sidan av området längs vägen med s och längden på en sida vinkelrät mot denna med t. Vi vill nu göra arean st så stor som möjligt samtidigt som kostnadsvillkoret 220s+100s+200t=32000 är uppfyllt. Räcker det som vägledning?

Anna Torstensson

Svar:

Vi börjar med att konstatera att uttrycket blir som störst när nämnaren 3p²+9p+12 antar sitt minsta positiva värden. Efter omskrivningen 3p²+9p+12=3((p+3/2)²+7/4) är det lätt att se att nämnaren alltid är positiv och att den är som minst då p=-3/2. Värdet av det ursprungliga uttrycket blir då 145/(21/4)=580/21.

Anna Torstensson

Svar:

Om man vill lösa problemet på ett sytematiskt sätt kan man tänka så här: Antag att A är det totala arbete som skall utföras. På en timme utför Adam A/6 och Eva A/4 av arbetet. När Adam arbetat i en timme återstår 5A/6 av arbetet. Tillsammans klarar de av (1/4+1/6)A=5A/12 av arbetet varje timme så efter t timmar har de kvar A(5/6-5t/12). Detta blir noll då t=2 så det tar alltså två timmar från det att Eva börjar hjälpa till.

Anna Torstensson

Svar:

Man utgår från motsvarande potenslagar: a^n+m=aⁿa^m och (aⁿ)^p =a^np. (Dessa följer direkt från definitionen av potens då n,m och p är heltal. Därifrån kan man lätt visa att de gäller även för rationella n,m och p och slutligen visar man lagarna för reella potenser genom att approximera med rationella tal.) Om vi sedan definierar ln x som inversen till e^x så gäller definitionsvis att a=ln x om och endast om x=e^a. Låt nu a=ln x och b=ln y. Då har vi att xy=e^ae^b=e^a+b vilket efter logaritmering blir ln(xy)=a+b=lnx+lny. På samma sätt ger x^p=(e^a)^p=e^ap efter logaritmering ln(x^p)=pa=plnx.

Anna Torstensson

Svar:

De är delstrukturer i två olika typer av algebraiska objekt. Ett linjärt underrum i ett vektorrum (eller linjärt rum) är en delmängd som är sluten under addition och multipliktion med skalärer. Ett ideal i en ring är en delmängd sluten under addition och multiplikation med element från ringen. Ibland arbetar man med ett vektorrum där man har infört en regel för att multiplicera element (alltså två godtyckliga element, inte enbart multiplikation med skalärer). Om man tänker på additionen från vektorrummet tillsammans med den införda multiplikationen får man då en ring. En sådan struktur kallas för algebra och där finns både underrum och ideal. Varje ideal är då ett underrum, men inte omvänt eftersom man kan hamna utanför underrummet om man multiplicerar med något annat än skalärer.

Anna Torstensson

Svar:

Jag föreslår att du ställer frågan till Fråga astronomen.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt V = 745. Då är V = h Pi r². Löser vi ut h ur denna ekvation får vi att summan av radien och höjden blir

Derivera f, bestäm derivatans nollställen och gör teckenundersökning.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan 3x² - 3 är -3 då x = 0. Tangentens riktningskoefficient är alltså -3. För vinkeln v gäller därför att tan v = 1/3 så v = arctan(1/3). Rita gärna en figur.

Kjell Elfström

Svar:

Man måste använda att x = r cos Q och y = r sin Q också.

Kjell Elfström

Svar:

Det står ju heller inte vilken topologi i R som avses. När det inte står någon topologi angiven får man anta att det är den vanliga topologin som avses. För R är detta den som består av alla unioner av intervall av typen (a,b). Y är en delmängd av R och man får här förutsätta att det är den relativa topologin som avses. Denna består av alla delmängder av Y som kan skrivas som snittet av Y och någon öppen mängd i R.

Kjell Elfström

Svar:

y är en primitiv funktion till 2x, så y(x) = x² + C, där C är en konstant. Vi vet att 3 = y(2) = 2² + C, vilket ger att C = -1. Lösningen är alltså y = x² - 1.

Kjell Elfström

Svar:

Uppgiften verkar vara korrekt löst. Det är Gram-Schmidts metod du använt för att bestämma den ortogonala basen. Skall den vara ortonormerad får du dividera f_i med |f_i| = (f_i|f_i)^1/2 också. Ett enklare sätt att visa att §_-Pi^Pi sin x cos²x dx = 0 är att utnyttja att integranden är en udda funktion.

Din andra fråga har du själv ett korrekt svar på under förutsättning att komplementet betyder det ortogonala komplementet.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns väl egentligen inget bra svar på dylika frågor. Tal är ju inte ensamma om att sakna denna fysiska förankring, som du kallar det. Många av de ord vi använder saknar sådan förankring, t ex ord som vad, hur och varför, men vi förstår ändå hur vi skall använda dem. Du säger att bilar är uppbyggda av atomer och antyder att det skulle ge en viss stadga åt bilbegreppet, men vad är atomer. Har du sett några? Fysiken kanske rentav saknar fysisk förankring.

I matematiken definierar man inte tal på samma sätt som när man säger att en zebra är ett randigt hästdjur som finns i Afrika. Man anger i stället ett antal axiom, alltså påståenden som skall vara sanna för tal. Detta betyder att man definierar dem genom att tala om hur de används, inte genom att ange vad de är.

Efter dessa reflexioner avslutar jag svaret eftersom frågan är mer av filosofisk karaktär än matematisk.

Kjell Elfström

Svar:

Spåret har ju en viss bredd, men vi får räkna på t ex längden av dess ena begränsningskurva. Kurvan kan anges i polära koordinater som r = f(t), 0 <= t <= T. Detta betyder att kurvan börjar på avståndet f(0) från skivans medelpunkt och att avståndet är f(t) när vi följt spåret runt skivan t/(2Pi) varv. Om f är känd och det är känt att spåret börjar på avståndet r₁ och slutar på avståndet r₂ från skivans medelpunkt så blir f(0) = r₁ och vi kan bestämma T så att f(T) = r₂. Om spårets bredd är d så är f(t + 2Pi) = f(t) - d. Om spårets utseende det första varvet är bestämt så finns det alltså bara en möjlig fortsättning på spåret och vi kan entydigt bestämma längden. Informationen i frågan är däremot inte tillräcklig för att bestämma längden. En tilläggsförutsättning kan t ex vara att f(t) beror lineärt på t, så att f(t) = at + r₁, och då måste a = -d/(2Pi) och T = 2Pi(r₁ - r₂)/d. Sambandet mellan polära koordinater och cartesiska är x = r cos t, y = r sin t kurvans ekvation på parameterform blir x = f(t) cos t, y = f(t) sin t. Då är

Kurvans längd blir

Denna integral kan beräknas genom att man sätter t + r₁/a = (1 - s²)/(2s).

Kjell Elfström

Svar:

Du måste ha skrivit in funktionen fel. Om vi antar att det står (1/x)² = x^-2 så är en primitiv funktion -x^-1 och integralen från 1 till 2 blir 1 - 1/2 = 1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Går vi till definitionen av e^z, där z är ett komplext tal, så är e^k Pi i = cos(k Pi) + i sin(k Pi). e^k Pi i = -1 bara då cos(k Pi) = -1 och sin(k Pi) = 0, dvs då k är ett udda heltal.

Kjell Elfström

Svar:

Det är klart att axiomet i frågan skulle kunna ersättas med axiom ur vilket det följer, men i vanligt förekommande axiomsystem (där det alltså förekommer) kan man inte stryka det.

Kjell Elfström

Svar:

a) dA/dt = -0,32A och dC/dt = 0,15B.

b) När B är maximal så är dB/dt = 0. Enligt den givna differentialekvationen är därför 0,15B = 0,32A, dvs dC/dt = -dA/dt.

Kjell Elfström

Svar:

Låt D och E vara mittpunkterna på sidorna AC resp. BC. Eftersom även triangeln CPB är likbent så är PE vinkelrät mot BC. Trianglarna DBC och EPB är därför likformiga. Låt y vara det sökta avståndet, så att y = PB, och låt h = DB. Pythagoras sats ger att h = (x² - 25)^1/2 och likformigheten ger att y/(x/2) = x/h, varav det följer att y = x²/(2(x² + 25)^1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Kalla f '(0) + f(1) för y. Då är

varför y = -1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte så mycket om detta men hänvisar till en liknande fråga. Se 10 december 1998 00.01.44.

Kjell Elfström

Svar:

Se 11 februari 2002 19.21.46.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan läsa om deras uppfinnare på sidan John Napier och söka efter history+of+logarithms på Altavista

Kjell Elfström

Svar:

Om n inte är ett primtal kan vi skriva n = ab, där 1 < a < n. Då är

Sätter vi r = 2^a får vi enligt formeln för den geometriska summan att

Eftersom 1 < a < n så är 1 < r - 1 < 2ⁿ - 1, vilket visar att r - 1 är en äkta delare till 2ⁿ - 1.

Kjell Elfström

Svar:

I bl a kombinatorisk optimering studeras tidtabellsoptimering. Bland moderna tekniker kan nämnas genetiska algoritmer, evolutionsstrategier och neurala nätverk. Jag kan inte tillräckligt mycket om ämnet för att kunna besvara din sista fråga.

Kjell Elfström

Svar:

10193025000000.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tycker att ditt resonemang verkar vara riktigt. Det resulterande ekvationssystemet blir överbestämt och saknar lösning. Antag att gångaren går S steg nedåt och kommer ner på tiden T '. Då är V_m = 200/T = S/T '. Om x är trappans längd så är

Adderar vi dessa ekvationer så får vi att

varav

Om S = 80 blir x = 800/7 och om T ' = 0,5T blir S = 100, varför x = 400/3.

Kjell Elfström

Svar:

Som primtal brukar bara räknas heltal a som är större än eller lika med 2 och som bara är delbara med ±1 och ±a. En anledning till att man utesluter 1 och de negativa heltalen från möjligheten att vara primtal är att man vill ha entydig primtalsfaktorisering. Med den gällande definitionen av primtal kan varje heltal som är större än eller lika med 2 skrivas som en produkt av primtal på ett enda sätt om man bortser från faktorernas ordningsföljd. Vi använder konventionen att produkter får bestå av en enda faktor så att primtalen också kan betraktas som produkter av primtal. Med en vidare definition av primtal skulle 6 = 2·3 = 1·2·3 = (-2)(-3) kunna vara tre olika primtalsfaktoriseringar av talet 6.

Kjell Elfström

Svar:

Baser kan betyda flera olika saker. Det är kanske baser i positionssystem du tänker på. Vi använder normalt ett positionssystem med basen tio för att ange tal. Skriver vi 1234 i basen tio betecknar det talet 1·10³ + 2·10² + 3·10¹ + 4·10⁰. Talet som betecknas 1234 i basen åtta är 1·8³ + 2·8² + 3·8¹ + 4·8⁰. Med denna bas behöver vi bara åtta siffror eftersom t ex det tal som vi skriver som 8 kan skrivas som 10 i basen åtta. I ett positionssystem med en bas större än tio behöver vi fler siffror. I det hexadecimala systemet med basen sexton behövs sexton olika siffror. Vi kan låta A, B, C, D, E och F vara siffrorna som betecknar talen 10, 11, 12, 13, 14 och 15 i vårt vanliga system. 9AB betecknar då talet 9·16² + 10·16 + 11. Det hexadecimala systemet används liksom det binära, i vilket det bara behövs två siffror 0 och 1, mycket i samband med datorer. Var det något annat slags baser du menade får du återkomma.

Kjell Elfström

Svar:

För pseudometriker d gäller att d(x,y) >= 0, d(x,y) = d(y,x), d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) och d(x,x) = 0. En metrik är en pseudometrik d sådan att d(x,y) = 0 bara då x = y. Om d är en pseudometrik kan d(x,y) vara noll även om x och y är olika.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att jag måste veta hur lång tid resan skulle ta.

Kjell Elfström

Svar:

Genom att flytta en parabel y = ax² parallellt först med den ena axeln och sedan med den andra får man en parabel vars ekvation kan skrivas y = f(x), där f(x) = a(x - b)² + c. Då x = b så är f(x) = c. Om a > 0 så är c funktionens minsta värde och då a < 0 dess största värde eftersom kvadraten (x - b)² aldrig är negativ. Det är också klart att f(b + x) = f(b - x) för alla x. Det är inte alls säkert att funktionen har reella nollställen, men vi antar att den har det och att de är olika. Vi kan skriva det ena nollstället b + x och då blir det andra alltså b - x. Vi kan alltså inte fritt föreskriva nollställena och x-koordinaten för extremvärdet. Den senare ligger alltid mitt emellan nollställena. Antag då att vi vill finna ekvationen för den parabel som skär x-axeln då x = x₁ och då x = x₂ och har ett extremvärde c. Då vet vi att extremvärdet antas i mittpunkten b = (x₁ + x₂)/2. a bestäms sedan av att f(x₁) = 0 så a = -c/((x₁ - x₂)/2)².

Kjell Elfström

Svar:

Jag får be dig precisera frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Låt r, R och h vara klotets radie, radien av konens botten resp. konens höjd. Då är, enligt Pythagoras sats, R² = r² - h². Volymen av konen är

Vi får att

Teckenstudium av derivatan visar att volymen att maximal för detta värde på h. Om t är toppvinkeln (vinkeln i den triangel som uppstår då figuren skärs med ett plan som innehåller konens axel) så är cos(t/2) = h/r = 1/3^1/2, varför t = 2 arccos(1/3^1/2).

Kjell Elfström

Svar:

Sätter vi x(t) = r(t) cos Q(t) och y(t) = r(t) sin Q(t) så följer av regeln om derivatan av en produkt och kedjeregeln att x' = r'cos Q - rQ 'sin Q och y' = r'sin Q + rQ 'cos Q. Det följer sedan av trigonometriska ettan att xy' - yx' = r²Q '.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att klotets radie är r. Då är kubens sida 2r. Klotets och kubens volym är (4/3)Pi r³ resp. 8r³. Förhållandet mellan den förra volymen och den senare är Pi/6. Något mer än hälften rinner alltså ut.

Kjell Elfström

Svar:

Se 26 januari 2002 13.53.12.

Kjell Elfström

Svar:

Jag föreslår att du talar med någon matematiklärare vid den skola där du skall göra prövningen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skulle säga att det inte är någon skillnad. Medelvärdessatsen går tillbaka till Lagrange (1797) och hade då väsentligen samma lydelse som idag. Cauchy bevisade medelvärdessatsen men använde att f ' var kontinuerlig (vilket inte behöver vara fallet).

Kjell Elfström

Svar:

Se 31 januari 2002 18.12.44.

Kjell Elfström

Svar:

Volymen är

Vi skall bestämma det största värdet av f(x) då 0 <= x <= c, där c är det minsta av talen a/2 och b/2. Vi får

Derivatan är noll då

Eftersom f är kontinuerlig, noll i ändpunkterna 0 och c och positiv i (0,c), så har f ett maximum i (0,c). Eftersom f är deriverbar måste det antas i ett av derivatans nollställen, som är olika och positiva. Det minsta nollstället ligger alltså i (0,c). På grund av derivatans teckenväxling antar f sitt maximum i detta nollställe. Den maximala volymen blir

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte vad du menar med kombinationstabell.

Kjell Elfström

Svar:

Då y = 0 så är

Efter kvadratkomplettering blir detta

varför

Bara plustecknet i ± ger ett positivt värde på t. Sätt in detta i uttrycket för x så får du den önskade kastlängden.

Kjell Elfström

Svar:

f(3) = f(2 + 1) = 2f(2). På samma sätt får man att f(2) = 2f(1) och att f(1) = 2f(0). Resultatet blir att f(3) = 2·2·2f(0) = 32.

Kjell Elfström

Svar:

Kommer vi ihåg att x och y är positiva så är den första ekvationen ekvivalent med lg xy = 2 <==> xy = 10² = 100. Den andra ekvationen är ekvivalent med x = 4y. Sätter vi in detta i xy = 100 får vi 4y² = 100 <==> y = 5 (y är positiv). Vi får sedan att x = 20.

Kjell Elfström

Svar:

Vilken fråga vill du att jag skall svara på?

Kjell Elfström

Svar:

Skall det inte vara 13°? 13' är bara 13/60 grader. Vi kallar vinkeln för a, rullbanans längd för s och dess höjd för h. Då är h = s sin a. Vi antar att inga energiförluster görs. Då är summan av lägesenergi, rotationsenergi och rörelseenergi konstant. När kulan är i toppen av banan är lägesenergin mgh och de övriga energierna 0. När kulan rullar av banan är lägesenergin 0, rörelseenergin (1/2)mv² och rotationsenergin (1/2)Iw², där w = v/r och I tröghetsmomentet, som för ett klot med radien r och massan m är (2/5)mr². Eftersom energin bevaras är alltså

Vi får att sluthastigheten är v = ((10/7)gh)^1/2, som alltså är oberoende av m. Du kan lösa den andra uppgiften på samma sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är svårt att ange generella metoder för att undersöka om ett ekvationssystem är lösbart, t om om det bara består av en enda ekvation. Man bör flytta över så att man får ett högerled som är noll och försöka faktorisera. Då får man ofta mindre komplicerade uttryck att undersöka. Det kan också vara enklare att undersöka en funktion från R⁴ till R. Ekvationssystemet har en lösning om och endast om normen i R⁴ av vänsterledet har ett nollställe.

Kjell Elfström

Svar:

df/dx = -a/x² = -a/4 då x = 2. a måste vara -4.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan är 1 - 1/x = (x - 1)/x, som är noll bara då x = 1. Derivatan växlar tecken från minus till plus så funktionen har ett lokalt minimum då x = 1. Att detta är ett minimum följer av att derivatan inte växlar tecken i några andra punkter.

Kjell Elfström

Svar:

Vi får spalta upp problemet. Antag att vi har i metoder och att dessa skall delas upp i j delinsatser, där j <= i. Om t ex i = 3 och j = 2 så blir möjligheterna (AB,C), (AC,B), (BC,A), (A,BC), (B,AC), (C,AB), 6 totalt. Låt s(i,j) vara antalet sådana hjälpinsatser. Vi skall placera ut de i bokstäverna i j olika positioner numrerade från 1 till j, så att varje position får minst en bokstav. Vi kan tänka på en sådan hjälpinsats som en surjektiv funktion f från mängden av de i bokstäverna till mängden av de j talen. Hjälpinsatsen (AC,B) motsvarar funktionen f definierad av att f(A) = f(C) = 1, f(B) = 2. Antalet sådana surjektiva funktioner är

Nu kan vi ju variera j från 1 till i och får att totalsumman blir

Vi förutsatte här att alla de i metoderna verkligen måste användas. Antag att vi har totalt n metoder och att vi kan använda ett godtyckligt antal av dem. Kräver vi att alla används har vi alltså S(n) möjligheter. Kräver vi att i av dem används så börjar vi med att anta att vi bara har i metoder och får S(i) möjligheter. De i metoderna kan sedan väljas på (ⁿ_i) sätt. Vi får alltså (ⁿ_i)S(i) hjälpinsatser med i metoder. Med n >= 1 metoder blir det totala antalet möjliga hjälpinsatser alltså

om vi kräver att minst en metod används.

Kjell Elfström

Svar:

Polynom kan ju byggas upp genom addition, subtraktion och multiplikation enbart och är så vanligt förekommande att de förtjänar en speciell beteckning. Uttryck av formen x^a, där a är ett godtyckligt rellt tal, kallas potenser. Hade polynom stått för summor av potenser, där exponenterna hade varit andra än icke-negativa heltal, skulle nog en annan beteckning införas för det vi kallar polynom. Beteckningen polynom i den nuvarande betydelsen användes av François Viète (1540-1603).

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex 25 november 2001 23.04.05.

Kjell Elfström

Svar:

Vem det var som först började fundera på kopplingen mellan musik och matematik vet jag inte. De gamla grekerna studerade musik med rent matematiska metoder. Jag föreslår att du tittar på Mathematics and Music, speciellt pdf-dokumentet mathandmusic. Söker man efter "mathematics+and+music" på Altavista får man många intressanta träffar.

Kjell Elfström

Svar:

Priset per kg är 24/0,750 kronor.

Kjell Elfström

Svar:

I svaret till 7 februari 2002 20.21.10 tog jag ett extremt exempel, nämligen att personerna betalade 30 kronor, via ett ombud (personen i mitten), till en person de inte var skyldiga något. Han lämnade tillbaka pengarna till ombudet som behöll dem. Då har de tre personerna blivit av med 30 kronor och ombudet fått 30 kronor. Räknar vi nu som du gör i frågan, dvs lägger ihop 30 med 30 så finns det plötsligt 60 kronor. Det fattas alltså inte pengar utan det har blivit 30 kronor mer.

Det är alltså fel räknesätt. De tre personerna har blivit av med 27 kronor, personen i mitten har fått 2 kronor. 27 - 2 = 25, det belopp som betalts till personen som hade fordringen. Om några belopp skall adderas, så är det 25 och 2, det är beloppen som personerna fått. 25 + 2 = 27, det belopp som personerna blivit av med. Vill man få summan 30 skall man utgå ifrån att de tre blivit av med 30 kronor. Därefter fick de 3, ombudet 2 och den som hade fordringen 25. 25 + 2 + 3 = 30.

Kjell Elfström

Svar:

På sidan Mayan mathematics beskrivs hur mayamatematikens positionssystem är uppbyggt. Jag vet inte vilken klass du går i. Du har kanske svårigheter med att läsa sidan. Vi har ett positionssystem med basen tio. Det betyder att när vi skriver 1234 menar vid 4 ental, 3 tiotal och 2 10·10-tal och 1 10·10·10-tal, alltså 1·1000 + 2·100 + 3·10 + 4. Hade vi haft ett tjugosystem i stället så skulle 1234 betyda 4 ental, 3 20-tal, 2 20·20-tal och 1 20·20·20-tal, dvs 1·8000 + 2·400 + 3·20 + 4 = 8864. I ett tjugosystem räcker våra tio siffror inte till. Vi måste ha siffror som betecknar talen mellan 9 och 20 också. Vi kan säga att 10 skrivs A, 11 B, 12 C osv till 19 som skrivs J. Då skulle 5AJ betyda 5 400-tal, 10 20-tal och 19 ental, dvs 2219 i vårt system. Mayasystemet är ännu mer komplicerat än så, men för tal mindre än 360 är det ett tjugosystem. Frågan är då bara hur siffrorna ser ut och det är ett kapitel för sig. Siffrorna är uppbyggda enligt ett femsystem. Talet 0 har en speciell symbol, talen 1 tom 4 betecknas med lika många prickar som talen anger, 5 betecknas med ett streck. I fortsättningen upp tom 19 betecknas talen med siffror och streck enligt tabell på internetsidan ovan. När vi nu vet att systemet är ett tjugosystem och vet hur de tjugo siffrorna ser ut är det lätt att ange talet 36. 36 är ett tjugotal och 16 ental. 1 skrivs som en prick, 16 skrivs som en prick med tre streck under. Nu tror jag talen skrevs uppifrån och ned också så det skulle betyda att 36 skrivs som en prick, därunder ett rätt stort mellanrum och sedan en prick med tre streck omedelbart under pricken. 359 skulle skrivas som symbolen för 17 överst, sedan ett stort mellanrum och sedan symbolen för 19, dvs två prickar, tre streck, mellanrum, fyra prickar, tre streck. Systemet är egentligen ett blandat system med baserna 18 och 20, ungefär som det gamla engelska myntsystemet med 12 pence på en shilling och 20 shilling på ett pund. 1 pund, 2 shilling och 3 pence (123) betyder 1·20·12 + 2·12 + 3 = 267 pence. Exemplet på internetsidan strax under tabellen visar principen för hur man anger talen 360 och uppåt.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte. Antalet satser, publicerade och ej publicerade, är naturligtvis oändligt. Jag känner inte till någon uppskattning av antalet publicerade satser och törs heller inte komma med en gissning.

Kjell Elfström

Svar:

Jag undviker att svara på din första fråga genom att hänvisa till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik. Definitionerna och satserna i Bourbaki överensstämmer väsentligen med dem som finns i andra böcker. Ofta är nog andra böcker att föredra när man försöker sätta sig in i en gren av matematiken för första gången.

Kjell Elfström

Svar:

En divisionsring är en ring där varje element skilt från 0 har en multiplikativ invers. En kropp är en kommutativ divisionsring. Kvaternionerna utgör alltså en divisionsring, men inte en kropp, eftersom multiplikationen inte är kommutativ. Oktonionerna utgör överhuvud inte en ring eftersom den associativa lagen inte är uppfylld. Frobenius sats från 1877 eller möjligen 1878 finns bevisad i Ebbinghaus et al., Numbers, Springer-Verlag.

Kjell Elfström

Svar:

Du har inte fått med samtliga rötter till ekvationen. Ekvationen är ekvivalent med

Vi multiplicerar båda led med cos x, flyttar över allt till den ena sidan om likhetstecknet, bryter ut sin x och får den ekvivalenta ekvationen

sin x = 0 då x = n·180°. Den andra faktorn är noll då cos x = ±1/2^1/2, dvs då x = ±45° + n·360° eller x = ±135° + n·360°. De senare lösningarna kan sammanfattas med x = 45° + n·90°. Minusfallet i ±1/2^1/2 saknas i din lösning.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att det du vill visa är att f(x,y) = xy --> 16 då (x,y) --> (2,8). Enligt definitionen av gränsvärde skall vi då visa att det till varje e > 0 finns ett tal d > 0, sådant att

Vi använder den omskrivning som du har gjort och triangelolikheten.

Vi konstaterar, innan vi går vidare, att om |(x,y) - (2,8)| = ((x - 2)² + (y - 8)²)^1/2 < e så är |x - 2| < e och |y - 8| < e. Låt nu e vara ett positivt tal. Om |(x,y) - (2,8)| < e/(3·8) så är

Vi kan alltså välja d = e/24. (Vi kunde valt ett större d, men tog i litet för att få alla tre termerna att bli mindre än e/3.)

Kjell Elfström

Svar:

Satsen bevisas i Blom, Statistikteori med tillämpningar, sid 14/7.

Kjell Elfström

Svar:

Placera triangeln i ett koordinatsystem med basens mittpunkt i origo och triangelns motstående hörn på den positiva y-axeln. Låt P och Q vara de punkter i den första kvadranten där cirkeln skär triangeln och antag att P ligger under Q. Låt M vara cirkelns medelpunkt och låt y vara en tredjedel av triangelns höjd och r cirkelns radie. Då är M = (0,r), P = (4/3,y) och Q = (2/3,2y). Avståndet från M till P och Q är r. Detta ger att

Utvecklar vi detta får vi att

Drar vi nu två gånger den första ekvationen från den andra får vi y² = 14/9. Pythagoras sats ger sedan att x² = y² + (2/3)² = 2, varför omkretsen blir 4 + 6·2^1/2.

Kjell Elfström

A  B  C
1  2  3

Svar:

Mellan noderna 1 och 2 finns tre ickekorsande förbindelser via en bokstavsnod. Vi kan utan inskränkning antaga att förbindelserna är som i figuren, där ett frågetecken representerar en bokstav.

Vi ser att oavsett var vi placerar noden 3 så kommer förbindelsen mellan 3 och någon bokstavsnod att skära någon annan förbindelse.

Kjell Elfström

Svar:

Ett sätt att hitta honom är att börja med att söka i det första gömstället och sedan söka igenom gömställena i tur och ordning. Om han befann sig i ett gömställe med udda nummer när sökandet började har han inte kunnat smita förbi utan blir funnen. Annars befinner han sig i ett gömställe med jämnt nummer när sökandet återupptas så då börjar vi söka i gömställe nummer 16 och söker igenom gömställena i omvänd nummerordning.

Kjell Elfström

Svar:

Z-transform Home Page verkar vara en ganska innehållsrik sida om Z-transformer. En bok om Z-transformer är Robert Vích, Z Transform Theory and Applications, Reidel. Den handlar bl a om lösningen av differensekvationer, några numeriska metoder, impulssystem, simulering av kontinuerliga system, digital filteranalys och diskret signalanalys. Den innehåller däremot få bevis av de matematiska resultat som redovisas. En lämplig bok om Fouriertransformer kan vara Weaver,Theory of Discrete and Continuous Fourier Analysis, Wiley-Interscience. Samme författare har också skrivit Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis, Wiley-Interscience. Du kan också söka efter transformerna på Eric Weisstein's World of Mathematics och sedan följa länkar och se litteraturanvisningar.

Kjell Elfström

Svar:

Vad är det som är förbryllande? En grupp av personer har blivit av med 27 kronor, en annan har fått 2 kronor. Jag förstår inte varför summan skulle bli 30. Om budbäraren fått behålla de 30 kronorna och inte lämnat något tillbaka, skulle vi då addera 30 till 30 och bli förbryllade över att summan blev 60 och inte 30?

Kjell Elfström

Svar:

Se 7 februari 2002 19.29.18. Eftersom

så är

Kjell Elfström

Svar:

När man målar med ett jämntjockt lager räcker inte ändligt mycket färg eftersom färgvolymen som då går åt är proportionell mot arean. Häller man i färgen målar man med ett allt tunnare lager och då kan ändligt mycket färg räcka.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att kulradien är r. Lägg nio av kulorna på bottnen av en kvadratisk låda med sidan 6r. Det uppstår då fyra fördjupningar i vilka fyra av de återstående kulorna läggs i ett nytt lager. I detta uppstår en fördjupning i vilken den sista kulan läggs. Vi har byggt en kulpyramid och frågar oss hur hög den är. Kulorna i ett lager har sina medelpunkter lika långt från lådans botten. Kulorna i det undre lagret har sina medelpunkter på avståndet r från bottnen. Låt A, B, C och D vara medelpunkterna hos fyra kulor som bildar en kvadrat i ett lager och låt E vara medelpunkten hos den ovanliggande kulan. Då är ABCD en kvadrat med sidan 2r och AE = 2r. Om F är kvadratens mittpunkt så ligger E rakt ovanför. Pythagoras sats ger att AF = 2^1/2r. Pythagoras sats tillämpad på triangeln AFE ger att också FE = 2^1/2r. Pyramidens höjd blir alltså r + 2^1/2r + 2^1/2r + r = 2(1 + 2^1/2)r. Om r = 5 cm blir den alltså 10(1 + 2^1/2) = 24,14 cm.

Kjell Elfström

Svar:

Med x! menas Gamma(x + 1), där

Funktionen kallas Gamma-fuktionen och kan utvigas så den blir analytisk i hela det komplexa talplanet utom då z är ett icke positivt heltal. Med partiell integration är det lätt att visa att Gamma(z + 1) = z Gamma(z) då z är ett positivt reellt tal. Därför gäller denna formel överallt där Gamma är analytisk. Speciellt gäller den då z är ett positivt heltal och eftersom Gamma(1) = 1 så är Gamma(n + 1) = n(n - 1)···2·1 då n är ett positivt heltal. Detta motiverar definitionen av x!.

Man kan visa att

vilket ger att Gamma'(x + 1)/Gamma(x + 1) är strängt växande då x >= 0. Sätter vi f(x) = e^-xGamma(x + 1) får vi att

varför f '(x) har högst ett nollställe i [0,oo]. Detta visar att ekvationen f(x) = 1 har högst två rötter i intervallet. Den ena är x = 0. Eftersom f(5) < 1 < f(6) så har ekvationen en rot mellan 5 och 6. Denna kan bestämmas med numeriska metoder, t ex Newton-Raphsons metod.

Kjell Elfström

Svar:

Logaritmen är en så kallad flervärd funktion. Logaritmen w = log z skall satisfiera ekvationen e^w = z. Detta gör att vi inte kan definiera log 0. Om z <> 0 kan vi identifiera belopp och argument och få

Här är ln den vanliga logaritmen av positiva reella tal. Eftersom arg z inte är entydigt bestämt är heller inte w entydigt bestämt. Om w = log(-1) så är alltså Re w = ln(|-1|) = 0 och Im w = Pi + 2Pi n. Det betyder att log(-1) = i(Pi + 2Pi n), där n är ett godtyckligt heltal. Man kan välja en gren av logaritmen genom att hålla n fixt. För positiva reella tal x är log x = ln x + i 2Pi n och genom att välja n = 0 får man den vanliga logaritmen. Genom att välja en sådan gren kan man inte uppnå att logaritmen blir kontinuerlig i hela C/{0}.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte hur uppgiften skall tolkas men antar att de på något sätt startar i samma spår samtidigt och att banan går i en slinga. Att B hinner om A tolkar jag som att A och B är jämsides för första gången sedan de startade. Antag att detta inträffar efter t minuter. Då har A löpt X meter längre än B, vilket ger att 320t - 300t = X, dvs t = X/20.

Kjell Elfström

Svar:

Vi antar att varje myra går mot myran till vänster om den. Lägg in kvadraten i det komplexa talplanet så att dess mittpunkt är i origo. Representera en myra med det komplexa talet z och myran till vänster om den med w. Då är w = iz. Vi skall studera den kurva som den första myrans väg följer. En tangent till kurvan är z' = z'(t), där t är tiden. Enligt förutsättningarna är tangenten parallell med w - z. Detta betyder att z' = m(i - 1)z, där m är ett reellt tal (som kan bero på t). Skriv z = re^iv, där r och v beror på t. Då är

Identifierar vi real- och imaginärdelar får vi v' = -r'/r. Vi får

Eftersom farten |z'| är konstant är också r' konstant så r beror lineärt på tiden t och blir 0 efter ändlig tid T. Längden av kurvan blir

Kjell Elfström

Svar:

Inför beteckningar som i figuren, så att konens basradie och höjd blir x resp. 2r + y.

Pythagoras sats ger att (2r + y)² = s² - x² och likformiga trianglar att r + y = rs/x. Adderar vi r till den senare likheten får vi 2r + y = r(x + s)/x. Nu kvadrerar vi denna likhet, sätter in i den första likheten och löser ut r².

Vi beräknar derivatan av f och får

och kan bestämma dess nollställen till 0 och (-1 ± 5^1/2)s/2. Teckenstudium av derivatan visar att sfärens radie är som störst då x = (5^1/2 - 1)s/2 och då är r² = (5^1/2 - 1)²(5^1/2 - 2)s²/4. Den maximala volymen är alltså

Efter detta återstår bara att sätta s = 15.

Kjell Elfström

Svar:

Nej. Om sidan i kvadraten är a så är omkretsen 4a och en diagonal 2^1/2a så likheten innebär att 4a = 2·2^1/2a. Eftersom 4 <> 2·2^1/2 är detta inte möjligt. Man kan heller inte konstruera en sådan rektangel. Här får vi, om sidorna är a och b, att (a² + b²)^1/2 = a + b. Kvadrerar vi bådan leden så får vi att 2ab = 0, vilket bara är möjligt om a eller b är noll.

Kjell Elfström

Svar:

Om förhållandet mellan två motsvarande längder, t ex storaxlarna i bottenellipsen, är k, så är förhållandet mellan volymerna k³. Så är uppenbarligen fallet för kuber och det gäller generellt för likformiga kroppar.

Kjell Elfström

Svar:

Primtalsfaktoriseringen av 2450 är 2·5·5·7·7. Genom att dela upp dessa faktorer i tre grupper på alla möjliga sätt får vi församlingsbornas möjliga åldrar. Om en grupp är tom får den representeras av en etta. Vi får t ex (1)(5·7)(2·5·7) = 1·35·70 och (7)(2·5)(5·7) = 7·10·35. Beräkna därefter summan av faktorerna. T ex 1 + 35 + 70 = 106 och 7 + 10 + 35 = 52. Det visar sig då att summorna 7 + 7 + 50 och 5 + 10 + 49 båda är 64 medan alla övriga summor är sinsemellan olika och skilda från 64. Summan av församlingsbornas åldrar måste vara 64, ty annars hade kyrkvaktmästaren kunnat lösa problemet med bara informationen om summan och produkten. Församlingsborna är alltså antingen 7, 7 och 50 år eller 5, 10 och 49 år. Prästen är äldre än de tre församlingsborna, alltså 50 år eller mer. Om han är mer än 50 år får kyrkvaktmästaren ingen ytterligare ledning. Alltså är han 50 år och då måste församlingsborna vara 5, 10 och 49 år. Dessutom är vaktmästaren 32 år.

Kjell Elfström

Svar:

I praktiken är det nog inte alltid så lätt. I teorin kan man använda Frenets ekvationer. Om v₁(s) och v₂(s) är tangent- resp. normalvektor, där s är båglängden och om k(s) är krökningen så gäller att

Sedan får man lösa ut X ur X '(s) = v₁(s) så blir X en parametrisering med avseende på båglängden.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan inte ge något svar utan att se ditt arbete.

Kjell Elfström

Svar:

Det gäller att räkna på från vilka punkter ljusstrålar kan nå ögat utan att träffa på hinder. Handlar det om en bil som saknar backspeglar är det inte så svårt att förstå att några sektorer är döda. I så fall bör det inte heller vara så svårt att räkna på dessa sektorers vinklar. För varje öga blir en sektor död. Denna sektor begränsas av ett par linjer. Snittet av sektorna är död för båda ögonen och begränsas också av ett par linjer. Har man inre och yttre backspeglar blir situationen mer komplex, men fullt möjlig att analysera.

Kjell Elfström

Svar:

Se sidan The History of Mathematical Symbols under percent.

Kjell Elfström

Svar:

Jag hittade några läsvärda sidor. På History Topics Index kan du få en inblick i bl a babylonisk, egyptisk och grekisk matematik. Sidorna Beginnings of Trigonometry och The trigonometric functions handlar framför allt om de trigonometriska funktionerna. Du kan själv söka efter History of Trigonometry och History of Geometry.

Kjell Elfström

Svar:

Maurice Karnaugh var telekommunikationsingenjör och utvecklade sina Karnaughdiagram 1953 vid Bell Labs när han studerade tillämpningar av digital logik på telefonkretsar. Diagrammen introducerades i M. Karnaugh, The Map Method for Synthesis of Combinatorial Logic Circuits, Transactions of the AIEE, 72 (1953), 593-599.

Kjell Elfström

Svar:

Pappersformaten i A-serien A0, A1, A2 osv är allt mindre likformiga rektanglar. Arean av ett A0-papper är 1 m² och höjden och bredden av ett A(n + 1)-papper är bredden resp. halva höjden av ett An-papper. Låter vi x_n och y_n vara bredden resp. höjden i meter av ett An-papper så är alltså x₀y₀ = 1. Vidare är x_n + 1 = y_n/2, y_n + 1 = x_n. Likformigheten ger att y_n/x_n = y_n + 1/x_n + 1 = x_n/(y_n/2), varför y_n = 2^1/2x_n. A0-papperets area är x₀y₀ = 2^1/2x₀² = 1, vilket ger att x₀ = 2^-1/4 och y₀ = 2^1/4. Vi får också att x_n + 1 = 2^-1/2x_n och y_n + 1 = 2^-1/2y_n, varför x_n = 2^-n/2x₀ = 2^-n/2 - 1/4 och y_n = 2^-n/2y₀ = 2^-n/2 + 1/4. Speciellt får vi att x₄ = 2^-9/4 =  0,210224 och y₄ = 2^-7/4 =  0,297302.

Kjell Elfström

Svar:

Se 21 mars 1999 16.54.48.

Kjell Elfström

Svar:

I det förra svaret drogs fyra streck, i ditt förslag två.

Kjell Elfström

Svar:

Om någon potens av övergångsmatrisen saknar nollor så har Markovkedjan en asymptotisk fördelning. För bevis av detta hänvisar jag till böcker om sannolikhetsteori.

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vad som är praktiskt genomförbart. En idé är att man fäster ett ritstift i en roterande skiva som med jämn hastighet får snurra över ett papper som också förs framåt med jämn hastighet. Amplituden kan då bestämmas av ritstiftets avstånd från skivans axel. Frekvensen bestäms av skivans hastighet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte talet är känt under det namnet i någon större krets och själv har jag aldrig hört talas om det. Du får väl be eleven fråga sin läromästare.

Kjell Elfström

Svar:

Du kan inte skicka frågorna till en speciell person utan du ställer frågan i frågeformuläret. Den som är ansvarig för Fråga Lund om matematik den veckan du ställer frågan får den. Normalt svarar vi bara på ett urval av frågorna.

Kjell Elfström

Svar:

1: Det verkar i ditt exempel som om X är en sammansatt stokastisk variabel X = c - Y och det är frekvensfunktionen för denna du beräknar. Den betingade frekvensfunktionen för X under betingelsen A är f(x|A) som är lika med f(x)/P(X tillhör A) om x tillhör A och noll annars.

2: Jag tror inte att jag förstår frågan. Fördelningsfunktionen fås ju som integralen av täthetsfunktionen.

Kjell Elfström

Svar:

Använd först kvadreringsregeln och därefter trigonometriska ettan och formeln 2(sin x)(cos x) = sin 2x.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att priset exklusive moms är E, priset inklusive moms I, momsen M och skattesatsen p%, så att momsen fås genom att taga p% av priset exklusive moms. Då är M = (p/100)E och I = E + M = (1 + p/100)E. Detta ger att

så M = I - E = (100p/(100 + p))I/100. Detta betyder att momsen är q = 100p/(100 + p) procent av priset inklusive moms. Om t ex p = 25 så blir q = 100·25/125 = 20. Om q är känd får du p = 100q/(100 - q). Om du känner E och I så är p = 100(I/E - 1)

Kjell Elfström

Svar:

Skolverket har en sida med gamla prov. Enligt den är det tio års sekretess på proven givna från och med höstterminen 1999.

Kjell Elfström

Svar:

Integralen är lika med Eulers konstant gamma  = lim_n --> oo(summa_k = 1ⁿ 1/k - ln n). För att se detta skriver vi

och får att

Låter vi n --> oo får vi

och slutligen

Kjell Elfström

Svar:

Tack för kommentaren. På grund av den ursprungliga frågans formulering och följdfrågorna tror jag emellertid att uppgiften inte alls har med biologi att göra. Det är nog snarare en uppgift på induktion som garnerats en smula.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är inte mitt område. Jag föreslår att du ställer frågan till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Kjell Elfström

Svar:

Napiers tal är talet e, som man stiftar bekantskap med i gymnasiekursen. I några dokument på internet var stavningen den du angav. Talet är uppkallat efter logaritmens uppfinnare John Napier.

Kjell Elfström

Svar:

Svaret till 22 januari 2002 12.30.20 är rättat nu. Tack för påpekandet.

Kjell Elfström

Svar:

Den andra olikheten bevisas enklast med kvadratkomplettering. Olikheten är ekvivalent med n² - 3n + 2 >= 0. Vänsterledet kan skrivas (n - 3/2)² - 1/4 och det är klart att detta är 0 då n = 1 eller n = 2 och positivt om n > 2. Ni kommer väl inte att ge er förrän jag har bevisat olikheten med induktion också. Insättning visar att olikheten är uppfylld då n = 1. Antag att VL_n = n²/2 - n/2 + 1 >= n = HL_n där n >= 1. Då är

I svaret till 19 januari 2002 13.07.38 visade jag att n <= 2^n - 1, något som jag tänker använda i beviset av den första olikheten ovan. Vänsterledet VL_n är det samma som i beviset av den andra olikheten. HL_n = 2^n - 1. Att VL₁ <= HL₁ fås som tidigare genom insättning. Antag att VL_n <= HL_n, där n >= 1. Då är

Kjell Elfström

Svar:

Jag kan tyvärr inte hjälpa dig. Det finns kanske någon bland läsarna som har tid att fundera!

Kjell Elfström

Svar:

Om m är ett positivt heltal så är

där B_k betecknar det k:e Bernoullipolynomet.

Kjell Elfström

Svar:

Ett tal skrivet i basen tio är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma är delbar med 9. Detta finns utrett i 27 januari 2002 23.54.16. Allmänt gäller att om man skriver ett tal i basen B så är det delbart med B - 1 om och endast om siffersumman är delbar med B - 1. Detta bevisas på samma sätt. Det är enklast att formulera sådana bevis om man räknar med kongruenser, se 29 januari 2002 01.15.26. Antag att a har siffrorna a₀,a₁,...,a_n i basen tio. Då är

Eftersom 10 = 1 (mod 9) så är

av vilket det följer att a är delbart med 9 om och endast om siffersumman är delbar med 9. Eftersom också 10 = 1 (mod 3) så gäller att ett tal är delbart med 3 om och endast om dess siffersumma är delbar med 3. 10 = -1 (mod 11). Detta ger att 10^k = 1 (mod 11) om k är ett jämnt tal och 10^k = -1 (mod 11) om k är udda. Därför är

Här är vänsterledet delbart med 11 om och endast om högerledet är delbart med 11. Liknande kriterier kan man få för delbarhet med vilket heltal som helst genom att göra som ovan, det är bara det att de inte är så lätta att komma ihåg som kriterierna för 3, 9 och 11.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tackar för påpekandet. Svaret till 18 maj 1998 18.50.19 är nu korrigerat.

Kjell Elfström

Svar:

1. För att mäta storleken på en vinkel låter man vinkeln skära ut en båge ur en cirkel med radien 1. Om bågens längd är t så säger man att vinkeln är t. Man skriver ibland t radianer men egentligen är storheten dimensionslös eftersom den är förhållandet mellan bågen och radien. Eftersom cirkelns omkrets är 2Pi och en rät vinkel skär ut en fjärdedel av hela omkretsen så är en rät vinkel Pi/2. Vi definierar v° som vPi/180. En rät vinkel är då 90°

Vi börjar med att definiera cos t, sin t, cot t och tan t då t är ett reellt tal sådant att 0 < t < Pi/2. För det ändamålet kan vi betrakta en rätvinklig triangel, vilken som helst, där den ena vinkeln är t. Denna vinkel är då spetsig.

Kvoterna a/c och b/c beror då bara på vinkeln t eftersom alla sådana trianglar med samma vinkel t är likformiga. Vi kan därför definiera

På så sätt blir dessa funktioner definierade för alla vinklar t, sådana att 0° < t < 90°. Vi observerar att tan t = (sin t)/(cos t) och cot t = (cos t)/(sin t).

Vi skall nu definiera funktionerna även för andra värden på t. sin t och cos t kommer att definieras för alla reella tal t, så vi börjar med dem. Placera en enhetscirkel i ett koordinatsystem så att dess medelpunkt är i origo. Om t är ett icke-negativt reellt tal så startar vi i punkten Q = (1,0) och går moturs längs cirkeln bågen t. Vi hamnar då i en punkt P på cirkeln. Om t > 2Pi får vi gå mer än ett varv runt cirkeln. Om t är negativt går vi i stället bågen -t medurs. Kalla koordinaterna för punkten P för (x,y). Vi definierar cos t = x och sin t = y.

Om 0 < t < Pi/2 stämmer denna definition överens med den tidigare, vilket man kan se i den vänstra figuren nedan.

   

I den högra ser man att

och

Självklart är

om n är ett heltal. Det följer ju av att om man går runt ett helt antal varv i cirkeln så hamnar man i utgångspunkten. Värdena av cos t och sin t för vissa värden på t går att beräkna exakt. T ex är

och

De senare formlerna får man med hjälp av Pythagoras sats. För att beräkna t ex cos(11Pi/4) så kan man börja med att dra ifrån 2Pi = 8Pi/4. cos(11Pi/4) = cos(11Pi/4 - 2Pi) = cos(3Pi/4). Därefter utnyttjar man formlerna ovan och får cos(3Pi/4) = -cos(Pi - 3Pi/4) = -cos(Pi/4) = -1/2^1/2.

Vi definierar slutligen tan t = (sin t)/(cos t) om cos t <> 0 och cot t = (cos t)/(sin t) om sin t <> 0.

2. Om du menar så många som jag kan utantill så är det 3,14159. Om du menar så många som jag kan skriva så är det inte plats till det här. Se The Pi Page.

Kjell Elfström

Svar:

Jacobis metod för att lösa ekvationssystem innebär att man skriver n×n-matrisen A som A = L + D + R där L är vänstertriangulär, D diagonal och R högertriangulär. L har samma element som A under huvuddiagonalen, D på huvuddiagonalen och R över huvudiagonalen. Matriserna har nollor på övriga platser. Ekvationssystemet Ax = b är ekvivalent med x = Bx + c, där B = -D^-1(L + R) och c = D^-1b. För att lösa ekvationssystemet Ax = b börjar man med en lämplig preliminär lösning x och beräknar successivt nya värden med hjälp av formeln x = Bx + c. Om A är strikt diagonaldominant, dvs summa_j <> i |a_ij| < |a_ii| så är Jacobis metod konvergent. Att bestämma inversen till A innebär att man skall lösa de n ekvationssystemen Ax = e_i, där e_i är en kolonn med en etta i position i och nollor för övrigt.

Det finns många iterativa metoder för lösning av ekvationssystem och flera av dem brukar behandlas i elementära läroböcker i numerisk analys.

Kjell Elfström

Svar:

Placera kvadraten av storlek n×n i första kvadranten och med två av sidorna utefter axlarna i ett koordinatsystem. Kvadraterna bestående av en enda ruta kan placeras med nedre vänstra hörnet i positionerna (x,y) där x och y är heltal i intervallet [0,n - 1]. Det blir n² sådana kvadrater. För kvadrater bestående av 2×2 rutor är motsvarande x- och y-värden heltal i intervallet [0,n - 2]. Det finns alltså (n - 1)² sådana kvadrater. Allmänt så finns det (n - k + 1)² kvadrater med k rutor, där k = 1,2,...,n. Det totala antalet kvadrater är därför summa_k = 1ⁿ k². För att beräkna denna summa utnyttjar vi först att

Nu är

varför summa_k = 1ⁿ k(k - 1) är en teleskopsumma

Eftersom summa_k = 1ⁿ k = n(n + 1)/2 så är den sökta summan

Kjell Elfström

Svar:

Jag har också hört att många matematiker även är bra på musik men jag vill inte uttala mig generellt.

Kjell Elfström

Svar:

Både när det gäller vinklarna och logaritmerna är det så att man bara kan ange exakta värden undantagsvis.

Kjell Elfström

Svar:

Väntevärdet är summa_k = 1^oo kP[X = k]. Om x är ett positivt reellt tal och K det minsta positiva heltal som är större än x så är P[X > x] = summa_k = K^oo P[X = k]. Om K är ett positivt heltal så följer det att

varför

Kjell Elfström

Svar:

När Akilles faktiskt passerar sköldpaddan har han varit i alla de oändligt många positionerna som nämns i 30 januari 2002 17.46.26 och det är ingen paradox. Om det tar en sekund för Akilles att nå varje sådan position kan han aldrig passera sköldpaddan, men det gör det ju inte. Tidsåtgången för att nå varje position blir mindre och mindre tillräckligt fort så att de oändligt många punkterna kan passeras under ändlig tid.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, nästan. Funktionen tangens har ingen invers eftersom den antar samma värde flera gånger. T ex är tan (Pi/4) = tan (5Pi/4) = 1. Om x bara får variera i intervallet (-Pi/2,Pi/2) antar tan varje värde precis en gång. arctan definieras som inversen till restriktionen av tan till intervallet (-Pi/2,Pi/2). Detta innebär att

På räknedosor brukar man normalt få trycka på inv-knappen och därefter på tan-knappen för att beräkna arctan.

Kjell Elfström

Svar:

Den 13 december 2001 hade det gått 8 vanliga år och tre skottår sedan du föddes. 8 vanliga år är 8·365 = 2920 dagar. 3 skottår är 3·366 = 1098 dagar. Den 13 december 2001 var du alltså 4018 dagar. Till den 13 januari är det ytterligare 31 dagar och därifrån till den 1 februari 19 dagar. Det blir 4068 dygn. Varje dygn har 24 timmar så nu multiplicerar vi 4068 med 24 och får 97632 timmar. Om 98 dagar fyller du 100000 timmar. Grattis!

Kjell Elfström

Svar:

Någon upphovsman går naturligtvis inte att ange. Matematiken är urgammal eftersom människor måste ha intresserat sig för de regelbundenheter de observerat ända sedan de började räkna och har förmodligen uppfunnits litet varstans. Per-Anders Iverts citat av Harry Martinsson i 18 oktober 1999 14.35.27 kan vara läsvärt men man bör inte förledas till att tro att Martinsson hade svaret på din fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Metoden som var känd av babylonierna för 4000 år sedan och finns angiven i Herons Metrika är ett specialfall av Newton-Raphsons metod som publicerades av Raphson 1690. Om x_n är ett approximativt värde på roten ur a får man nästa som

Se också 31 mars 1997 11.44.13.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström