| Matematikcentrum |
| Matematik MNF |
Frågor och svar november 2001
|
Fråga Lund om matematik Frågor och svar november 2001 |
|
Svar:
Hej Henrik!
Du menar nog f( x ) = ( x/(x - 2) )x. Observera först
att
Anders Dahlner
Svar:
Hej Christian!
6.75 kr avrundas till 7 kr medans 6.74 kr avrundas till 6.50 kr.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Jim!
Numeriskt kan man lösa ekvationen och i Maple (version 6) får
man a = 0,2687383380 * 10 -9. Exakt kan man inte lösa
ekvationen i elementära funktioner.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Hans!
Nej 1 upphöjt i oändligheten är inte definierat, tag
t ex gränsvärdet
Anders Dahlner
Svar:
Hej P A!
Förklara gärna vad du menar med standarddiameter -
talet du nämner känner jag inte till.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Ph!
Här i Lund är Maple och MatLab vanligast -- någon enstaka
har även Mathematica. Själv kan jag bara Maple (som är långt
ifrån felfritt!).
Anders Dahlner
Svar:
Hej August!
Jag antar att tågets hastighet är konstant, säg lika
med v, jag antar också att personerna går med samma
hastighet.
Låt A vara den plats där båda personerna möter
tåget, B platsen där den första personen blir omkörd
av tåget och C platsen där den andra personen blir omkörd.
Säg att det tar 3x sekunder innan för första
personen att ta sig från A till B, då tar det 4x sekunder
för den andra personen att ta sig från A till C och alltså
x
sekunder för tåget att ta sig från B till C.
Ur detta ser vi att xv = 70, ty avståndet mellan B och
C (längs rälsen) är 70 meter.
Vi ser också att det tar 4x/7 sekunder för tåget
att färdas från A till C.
Det tar alltså 4x - 4x/7 = 24x /7 sekunder för tåget
att helt passera punkt A.
Detta betyder att tågets längd är 24xv/7 = 240 meter.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Sara!
Saha´s ekvation känner jag inte till. För fysikfrågor
hänvisar jag till Fråga vetenskapen
om fysik (se till vänster på denna sida).
Anders Dahlner
Svar:
Hej Tanja!
Jag tycker du ska ta en titt i biblioteket - där finner du säkert
lämpliga problem. Ett annat ställe är här på
Fråga Lund om matematik, här finns det gott om frågor
med svar till dessutom.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Anna!
Ovanlig fråga, men jag ska försöka ge ett svar, i matematik
finner man estetiskt tilltalande mönster, estetiskt tilltalande mönster
drar till sig uppmärksamhet och i samband att man lyckas få
uppmärksamhet så kan man ge sitt budskap. Matematiska mönster
kan man även ha till andra saker, på sidan (MacTutor) som refereras
till i frågan nedanför denna finner du en länk till Von
Koch's snowflake som användes för att sälja frimärken
förra julen.
Anders Dahlner
Svar:
Hej!
Detta kan du läsa om på MacTutor
.
Anders Dahlner
Svar:
Hej P-O!
Utan att gå in på detaljer vill jag bara nämna att
den bästa förklaringen till varför Fourierserien och Fouriertransformen
ser ut som de gör använder sig av teori för kommutativa
Banachalgebror eller alternativt Hibertrumsteori.
Om f är en 2p-periodisk
(styckvis kontinuerlig) funktion, så ges dess Fourierkoefficienter
av
Anders Dahlner
Svar:
Hej Bengt!
Tack för kommentaren, här är en klickbar
länk till den ovan.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Michael!
Det man brukar kalla Fermats sista (eller stora) sats lyder som följer:
Om n>2 är ett heltal så finns inga positiva heltal
x,
y, z sådana att
Anders Dahlner
Svar:
Hej Daniel!
Ta en titt på länkarna: Länk
1, Länk 2,
Länk
3, samt Länk 4 .
Anders Dahlner
Svar:
Hej Petter!
Nej vi svarar inte på alla frågor, delvis på grund
av att det tar tid. De flesta som svarar är doktorander på Mat-Nat
fakulteten vid Lunds Universitet. Vi som svarar har hand om frågelådan
en vecka i taget - under denna vecka ska man välja ut ca 20 frågor
att svara på. Vad gäller målarens paradox så kan
du kika på 13 maj 1999 16.22.20
.
Hoppas du nöjer dig med svaret.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Linda!
Varje lag ska möta ett annat, om vi antar att de tre personerna
är någorlunda normala så tror de säkert inte att
två olika lag vinner samma match och röstar därför
på ett lag för varje match. Att ingen röstat lag B betyder
att alla röstat på dess motståndare, vilket måste
vara H - eftersom det är det enda laget som alla röstat på.
För övrigt har vi att Person 1 (P1) röstat på A, E,
F och H. Vi får följande alternativ:
A möter C, D, eller G
E möter C, D, eller G
F möter C, D, eller G
På samma sätt inser vi från Person 2 (P2) att
C möter A, D, eller F
E möter A, D, eller F
G möter A, D, eller F
och från Person 3 (P3) att
D möter A, C, eller E
F möter A, C, eller E
G möter A, C, eller E
Vi ser nu att A ej möter C för då hade P3 tippat på
något av dessa lag.
På samma sätt ser vi att A inte möter D eftersom P2
ej röstat på varken A eller D.
Från P1 ser vi att det bara finns ett alternativ kvar, nämligen
att A möter G, detta alternativ finns med hos alla så lag A
möter alltså lag G. Nu kan vi stryka alla A:n och G:n för
att sedan fortsätta denna procedur.
Samma typ av överväganden ger att C möter F och slutligen
att D möter E.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Svenne!
Efter en sökning på AltaVista fann jag följande sida
om Abakus
- som ej helt svarar på din fråga. Någon bok om hur man
räknar med en Abakus har jag dessvärre ej funnit. Vår bibliotekarie, Ann-Christin Persson (tack!), fann följande länk där
man finner hur man räknar med en abakus:
The Abacus.
Anders Dahlner
Svar:
Hej Barbara!
Om du ritar upp grafen till en funktion f och om du i grafen
ritar en rät linje som tangerar din funktion f i en punkt
(a
, f ( a ) ) (i grafen) då är derivatan av f
i denna punkt riktningskoefficienten i denna punkt.
Rent formellt så är derivatan f ' (a) i punkten a
ett gränsvärde:
Anders Dahlner
Svar:
Det får i så fall bli en kort förklaring. En funktion f ordnar till varje objekt x i en mängd A ett element y = f(x) i en mängd B. Du kan tänka på funktionen f som en maskin i vilken man stoppar in x och ut kommer f(x). I matematiken är A och B ofta mängder av reella tal. Ett exempel på en funktion f är den som defineras genom f(x) = x2. A och B kan här vara mängden av reella tal.
Man kan rita upp grafen till en funktion i ett koordinatsystem. Derivatan i en punkt x är ett mått på på grafens lutning, dvs hur snabbt funktionen växer i punkten x. Definitionen är att derivatan f '(x) är gränsvärdet av (f(x + h) - f(x))/h då h går mot noll. Kvoten är riktningskoefficient för linjen genom punkterna (x,f(x)) och (x + h,f(x + h)) och tangenten till kurvan i punkten (x,f(x)) definieras som den linje genom punkten som har rikningskoefficient f '(x). Om f(x) är positionen för ett rörligt föremål vid tiden x så är (f(x + h) - f(x))/h genomsnittshastigheten under tidsintervallet från tiden x till tiden x + h. Gränsvärdet är den momentana hastigheten vid tiden x, dvs det som hastighetsmätare mäter.
Kjell Elfström
Svar:
Av din inledande beskrivning får man uppfattningen att det står två vakter framför varje dörr. Det rätta verkar vara att det finns allt som allt två vakter, en lögnhals och en sanningssägare. Frågorna måste väl vara av ungefär samma slag som de du föreslår. En något enklare variant är: Skulle han säga att denna dörr leder till friheten. Den utnyttjar bara att en ljuger och en talar sanning. Att lögnaren är ond och sanningssägaren god är irrelevant.
Kjell Elfström
Svar:
Man brukar normalt inte definiera 00 alls. Om f(x) och g(x) båda går mot noll då x går mot t ex noll behöver det inte vara så att f(x)g(x) går mot 1, vilket man kanske skulle förledas att tro om man definierade 00 som 1.
Kjell Elfström
Svar:
Låt y(t) vara alkoholmängen och c(t) alkoholkoncentrationen i kärlet och t mängden sprit som hällts i kärlet. Då är
Men volymen vätska i kärlet är konstant 2 liter, varför c(t) = y(t)/2. Vi får
Lös denna differentialekvation och utnyttja att y(0) = 0 för att bestämma integrationskonstanten. Mängden alkohol i kärlet efter att spriten hällts i är y(1/2). Koncentrationen i kärlet blir y(1/2)/2 och utanför kärlet (0,6*(1/2) - y(1/2))/(1/2).
Kjell Elfström
Svar:
Att matrismultiplikation tar olika tid för olika matriser kan bero på att matematikprocessorer eller program kan ta genvägar när faktorer är noll.
Principen är att flyttal lagras på formen a2b, där b är ett heltal och a ett tal mellan 1/2 och 1. För enkelhets skull antar vi att talen lagras på decimal form a10b, där 0,1 <= a < 1. Antag att vi har plats att lagra 5 decimaler. När vi vill addera 0,1 och 0,1·10-1 skriver vi om talen som 0,1 och 0,01 och får resultatet 0,11. Önskar vi i stället addera 0,1 och 0,1·10-5 skrivs de om som 0,1 och 0,000001 och vi ser att alla siffrorna i det senare talet inte ryms. Det trunkeras därför till 0,00000 och resultatet blir 0,1. Börjar man summera bakifrån är skillnaden i storleksordning mellan de tal man adderar mindre och man får mindre sådana avrundningseffekter.
Kjell Elfström
Svar:
Varför inte? Det är ju heller inte riktigt så. Om du har diametern som längdenhet får omkretsen oändligt många decimaler, har du omkretsen som längdenhet får diameterna oändligt många. Vilken längdenhet du än väljer får minst en av omkretsen och diametern oändligt många decimaler.
Kjell Elfström
Svar:
Det är så att derivatan av ln|x| är 1/x då x <> 0, varför en primitiv funktion till 1/x är ln|x|. När x > 0 kan man lika väl skriva ln x.
Kjell Elfström
Svar:
Gauss var en berömd matematiker som levde i slutet av 1700-talet och under första halvan av 1800-talet. Du kan läsa hans historia här.
Martin Svensson.
Svar:
Om vi antar att väntevärdet för den stokastiska variabeln är noll sammanfaller variansen med andra momentet. Det tredje momentet brukar kallas snedhetsmåttet för den stokastiska variabeln och ger ett mått på hur osymmetrisk fördelningen är kring väntevärdet. Jag känner inte till några tolkningar av eller speciella namn på högre moment.
Vad gäller din andra fråga kan vi beräkna gränsvärdet genom att göra två partialintegrationer där vi integrerar upp den trigonometriska faktorn. Samtliga integraler går från 0 till oändligheten:
Alltså får vi gränsvärdet 1 då t går mot oändligheten.
Martin Svensson.
Svar:
Man kan endast tala om delmängder av andra mängder, men visst kan man tala om delmängder av oändliga mängder - tag till exempel vilken samling somhelst av heltal. Dessa är då en delmängd av heltalen som utgör en oändlig mängd. I din andra fråga undrar du alltså om det oändliga antal varv som jorden snurrar runt solen är lika stort som det oändliga antal varv som månen snurrar runt jorden. Så innan man kan svara på detta måste man definiera vad som menas med att en "oändlighet" är lika med en annan. Så på vedertaget sätt säger vi att två mängder är lika "stora", eller av samma kardinalitet, om det finns en bijektiv avbildning dem emellan. Detta betyder speciellt att mängderna har lika många element om de är ändliga. Så associera till det n'te varvet månen roterar kring jorden det n'te varvet som jorden roterar kring solen. Då får vi en bijektiv avbildning från mängden alla varv som månen roterar kring jorden till mängden av alla varv som jorden roterar kring solen, och alltså roterar de i en ganska naturlig mening lika många varv.
Martin Svensson
Svar:
Visst kan du få det. Till exempel i Eric's Treasure Trove under Pythagoras.
Martin Svensson.
Svar:
Tyngdpunkten är medianernas skärningspunkt: en median är en rät linje går genom ett av triangelns hörn och motsående sidas mittpunkt. Om du tittar här i Eric's Treasure Trove så kan du se en bild av var man finner tyngdpunkten.
Martin Svensson.
Svar:
Om du menar att samtliga inblandade konstanter och okända ska vara heltal får jag erkänna mig besegrad utan att ens ha försökt. Påståendet, som ganska nyligen visades vare korrekt, är känt som Fermats stora sats, och om denna kan du läsa på sidan Fermat's last theorem.
Martin Svensson.
Svar:
För historik om roten ur två kan ni titta på Pythagoras' Constant och referenserna som där anges.
Martin Svensson.
Svar:
Palindrom betyder väl ordgåta och torde väl inte ha så mycket med matte att göra. Om du tänker på anagram kan du titta på svaret till frågan 19 april 1997 19.30.45.
Martin Svensson.
Svar:
Om det finns några formler för detta beror på hur den aktuella fördelningen ser ut. För de vanligaste fördelningarna finns kvartilerna nedtecknade i tabeller.
Martin Svensson.
Svar:
Grattis! Nej, att du har vunnit förut betyder på intet sätt att du skulle ha mindre sannolikhet att vinna igen. Tänk dig att man skulle räkna ut sannolikheten att en person vinner. Den är ju då lika för alla, även för de som vunnit förut.
Martin Svensson.
Svar:
Detta och liknande fågor får du svar på om du tittar på svaret till 21 mars 1999 16.54.48.
Martin Svensson.
Svar:
Du kan titta på A history of zero för att se den historiska betydelsen av noll. Om du tänker dig att du har en viss kvantitet x av något som du ska dela upp i delar, så desto färre delar du har, desto större bit av x blir varje del. Därför borde du få något oändligt stort om du försöker dela med noll.
Martin Svensson.
Svar:
Antalet tresiffriga tal (där den första siffran inte är noll) som har siffersumman k är koefficienten för xk i utvecklingen av
Kjell Elfström
Svar:
Ja, man tjänar på att byta; varför kan du se i svaret till frågan 28 januari 1997 16.01.14.
Martin Svensson.
Svar:
Nja, du menar nog att det för varje reellt tal e>0 ska finnas ett reellt tal d>0 så att om 0<|x-c|<d så är |(f(x)-f(c))/(x-c)-q|<e. Då är funktionen deriverbar i c med derivatan q. Detta betyder att riktningskoefficienterna för kordorna genom c och x närmar sig q då x närmar sig c. Därför säger man att derivatan i punkten c mäter kurvans, eller tangentens lutning i punkten c.
Martin Svensson.
Svar:
1) Egentligen gäller att sin2(a/2)=(1-cos(a))/2 och huruvida den positiva eller negativa roten ska väljas här beror på a. Vad vi vet är alltså att sin(a/2) är en lösning till en andragradsekvation med koefficienter som är heltalsmultiplar av cos(a) och sin(a). Detsamma gäller för sin(a/n) och vi kan visa detta genom att använda de Morgans teorem: (cos(a/n)+i.sin(a/n))n=cos(a)+i.sin(a). Påståendet fås nu genom att utveckla högerledet (med hjälp av binomialsatsen) och identifiera imaginärdelarna på båda sidor. Till exempel är 4sin3(a/3)-3sin(a/3)+sin(a)=0.
2) Förutsatt att samtiliga spelare har välspecificerade strategier för sina val är det klart att man kan räkna ut dessa sannolikheter. Det behövs kanske inte sägas att det blir ganska komplicerat.
Martin Svensson.
Svar:
Om vi multiplicerar identiteten AC=I med A-1 från vänster får vi att C=A-1.
Martin Svensson.
Svar:
Man kan väl säga att implicit derivering innebär att man deriverar en ekvation som en (eventuellt okänd) funktion uppfyller, varvid man förhoppningsvis får fram ett uttryck för derivatan av den aktuella funktionen. Om vi skriver ekvationen som F(x,y)=0, och vi vet att funktionen y=y(x) uppfyller denna, så är alltså F(x,y(x))=0. Derivering av denna identitet ger enligt kedjeregeln att Fx(x,y)+Fy(x,y).y'(x)=0, dvs y'(x)=-Fx(x,y)/Fy(x,y).
Martin Svensson.
Svar:
1) Det är sant att produkten av inverterbara matriser är inverterbar, tag till exempel determinanten av produkten. Men det är inte sant i allmänhet att inversen av en produkt är produkten av inverser: ordningen kastas om när man tar inversen. Detta inses direkt ur definitionen av invers.
2) De två första kolumnerna i AB kommer också att vara lika. Detta beror på att elementet på plats ij i AB är skalärprodukten av den i'te raden i A och den j'te kolumnen i B.
3) Det är klart att uTv=vTu. Dessutom är det klart att uvT är lika med transponatet av vuT.
4) Detta är falskt: tag till exempel matrisen med första rad (1,1) och andra rad (0,1). Om vi från första raden subtraherar andra raden fås identiteten. Dock har inversen första rad (1,-1) och andra rad (0,1). Tar vi här och subtraherar andra raden från första fås inte längre identiteten. Allmänt kan sägas att rad- och kolumnoperationer som reducerar A till In svarar mot att multiplicera A med en matris P från höger och en matris Q från vänster så att In=PAQ. Tar vi inversen får vi alltså att In=Q-1A-1P-1.
Martin Svensson.
Svar:
Formeln för arean av en ellips finns beskriven i svaret till frågan 26 oktober 2001 13.46.27.
Martin Svensson.
Svar:
1) Det enklaste sättet att beskriva detta rationella tal som kvoten av två heltal är att kalla x=1,72727272.. och sedan observera att 100x-x=171, dvs x=171/99.
2) Om an=b.kn, så ska alltså b.k13=12288 och b.k16=98304. Följaktligen är k3=a16/a13=98304/12288=8, så att k=3. Detta ger att b=12288/213=3/2 och alltså är an=3.2n-1.
3) Om du provar några låga värden på x ser du att x=2 duger. Detta är dessutom en ganska naturlig gissning eftersom alla koefficienter är jämna potenser av 2. Men man kan enkelt visa att om ett polynom med heltalskoefficienter och högstagradskoefficienten lika med 1 ska ha ett rationellt nollställe måste detta faktiskt vara ett heltal som dessutom ska dela konstanttermen i polynomet, i det här fallet 16.
Martin Svensson.
Svar:
Visst finns det det. Denna finns beskriven i svaret till frågan 30 januari 1997 09.59.08.
Martin Svensson.
Svar:
Tack, Hjalmar, för den upplysningen. Eric's Treasure Trove är ett utmärkt matematiskt uppslagsverk som nu alltså har kommit igång igen efter en tids uppehåll.
Martin Svensson.
Svar:
Ett element i Z22 är inverterbart om och endast om det är relativt prima 22; inverterbara element är alltså 1,3,5,7,9,13,15,17,19,21. Det enklaste sättet att räkna ut inverserna är nog bara att prova sig fram. Man finner att i Z22 gäller 1=1.1=3.15=5.9=7.19=13.17=21.21.
Martin Svensson.
Svar:
Javisst kan jag det: volymen fås som pi.d2.h/4, där d är diametern och h är höjden på cylindern.
Martin Svensson.
Svar:
Så du gör alltså en annan tolkning av situationen vilken helt enkelt leder till att maximera funktionen x(y-8000) över området x,y<=0, y+60x<=20000. Detta ger naturligtvis ett annat svar än om man tittar på det område Adam betraktade i sitt svar. Vi tackar Peter för kommentaren och hoppas att Pelle vet hur situationen ska tolkas.
Martin Svensson.
Svar:
Om vi låter a, b och c beteckna de nya måtten i decimeter, så ska alltså b=c och a/3=b/5 samt ab2=350. Då är a=3b/5 och följaktligen blir b3=3.350/5=210. Detta ger att b=c=5,9 dm och a=9,9 dm.
Martin Svensson.
Svar:
För a>e-1 är funktionen f(a)=aa strängt växande och har följaktligen en invers. Det finns dock inget enkelt eller vedertaget sätt att uttrycka denna.
Martin Svensson.
Svar:
Den allmäna Schrödingerekvationen ges av
ut(x,t)=i.kDxu(x,t)+V(x).u(x,t),
där k är en konstant, Dx är Laplaceoperatorn med avseende på x och V en funktion som är relaterad till potentialen för partikeln. Hur den löses under speciella förutsättningar får du fråga en fysiker om.
Martin Svensson.
Svar:
Nej, romarna betraktade inte noll som ett tal alls. Du kan läsa om nollans historia i Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.
Martin Svensson.
Ett Stein rum är ett parakompakt så kallat komplext analytiskt rum (dvs ett rum som i lämplig mening lokalt är isomorft med en delmängd av Cn vilken ges av nollställena till några analytiska funktioner), och som dessutom är utrustat med en så kallad analytisk kärve, dvs en tillordning av en ring av komplexvärda funktioner till varje öppen delmängd. Dessutom ska topologin på detta rum och kärven av analytiska funktioner uppfylla vissa ytterliggare villkor som det skulle bli för omständigt att beskriva här. Exempel på Stein rum är så kallade Stein mångfalder, dvs slutna komplexa delmångfalder av Cn. Om man använder Stein rum inom elektroteknik får du fråga en elektrotekniker om.
Martin Svensson.
Svar:
Man kan till exempel göra såhär:
x2/(4-x2)3/2=(1/(4-x2)1/2+x2/(4-x2)3/2)-1/(4-x2)1/2=d/dx(x/(4-x2)1/2-arcsin(x/2)).
Allstså fås samtliga primitiva funktioner som x/(4-x2)1/2-arcsin(x/2)+C, där C är en godtycklig konstant.
Martin Svensson.
Svar:
Kanske följande ledning hjälper dig. Du ska alltså bestämma a,b,c och d så att de löser följande ekvationssystem
a+b+c+d=f(1)
b+2c+3d=f'(1)
2c+6d=f''(1)
6d=f'''(1).
Detta klarar du säkert själv.
Martin Svensson.
Svar:
Vi utför först divisionen och gör en liten förenkling av resten. Då får vi (4x4-3x3+4x2+x+2)/(x3+x)=4x-3+(4x+2)/(x3+x)=4x-3+4/(x2+1)+2/x(x2+1). Alla termer utom den sista är enkla att integrera. Så vi gör en partialbråksuppdelning av denna: 2/x(x2+1)=2/x-2x/(x2+1). Vi får alltså att
(4x4-3x3+4x2+x+2)/(x3+x)=4x-3+4/(x2+1)+2/x-2x/(x2+1)
De primitiva funktionerna blir alltså 2x2-3x+4arctan(x)+2ln(x)-ln(x2+1)+C, där C är en godtycklig konstant.
Martin Svensson.
Svar:
Med en "scalar function" brukar man helt enkelt mena en reellvärd funktion. Mer allmänt kanske man har ett lineärt rum eller en algebra över en given kropp, vars element då kallas skalärer. En "skalärfunktion" är följaktligen en funktion från detta lineära rum eller algebra till kroppen av skalärer.
Martin Svensson.
Svar:
I beräkningar på växelspänningskretsar brukar man använda j för att beteckna en storhet som är fasförskjuten relativt någon given referns. Om man till exempel säger att impedansen i en krets är 2+5j ohm betyder det att 2 ohm ligger i fas med någon referens och 5 ohm är fasförskjuten +pi/2 radianer. Vi får hänvisa till någon lärobok i växelströmslära.
Martin Svensson.
Svar:
Termen är "dyskalkyli". Jag vet inget om detta men en snabb sökning på internet gav 327 svenska internetsidor om detta problem. Du kan säkert hitta intressant information på några av dessa sidor.
Adam Jonsson
Svar:
Om man har en funktion y = f(x), så är dess graf mängden av alla punkter (x,f(x)) i xy-planet. Grafen har egenskapen att det till varje x-värde finns högst ett motsvarande y-värde på grafen. Om du omvänt har givet en kurva i xy-planet med samma egenskap så definierar denna en funktion genom att om (x,y) är en punkt på grafen så har man f(x) = y.
Adam Jonsson
Svar:
Frågan är hur tätt man packar enkronorna i rummet. Det är ett välkänt faktum att det effektivaste sättet att packa cirklar i ett obegränsat plan är att lägga dem i ett hexagonalt mönster. Packningsgraden, dvs andelen av ytan som täcks av cirklar, blir då r = Pi/roten ur 12 vilket är ungefär lika med 0,907. Eftersom golvets dimensioner är mycket större är enkronornas diameter kan vi lugnt räkna med att 90,7 % av golvet täcks av mynt. Vi kan alltså slå fast att mynten upptar r*8*4*2,5 ungefär lika med 90,7 m3. Delar man denna volym med den volym en enkrona upptar ser man att rummet innehåller
Adam Jonsson
Svar:
Menar du hur man vet vilken decimalutveckling 1/5 har? 1/5 = 0,2 eftersom 5*0,2 = 1.
Adam Jonsson
Svar:
Det beror på vad du menar med "formel". Om vi kallar primtalen för pn så är ju f(n) = pn en funktion med den sökta egenskapen. Jag misstänker att vad du söker efter är en "enkel" sammansättning av "välkända" funktioner. Jag är visserligen inte talteoretiker men det skulle förvåna mig väldigt mycket om f hade ett sådant uttryck.
Adam Jonsson
Svar:
Det förstår man bäst genom att se hur man härleder formeln för cirkeln area. Ett "elementärt" bevis (dvs utan integraler) finns på 25 september 2001 15.39.38. Är man bekant med integralbegreppet är det enklare så här: Arean av en cirkel är 4 gånger arean av cirkeldelen i första kvadranten. Om cirkelns radie är r så är
Adam Jonsson
Svar:
Hur många fingrar har du?
Adam Jonsson
Svar:
I stället för att svara på din fråga kan jag förklara varför Maple inte klarar detta (och inte jag heller). Låt oss anta att a >= b. Vi parametriserar ellipsen genom x = a cos(t), y = b sin(t). Avståndet från en punkt (x,y) till origo är sqrt(x2 + y2), så vi vill beräkna
Adam Jonsson
Svar:
Helt allmänt är det så att om man ska maximera en deriverbar funktion över ett kompakt område så uppnås maximum antingen i en inre punkt, dvs en punkt i det inre av området där funktionens partiella derivator är noll, eller uppnås maximum på randen. Om vi ser på ditt specifika problem så är funktionen f derverbar i hela planet. Jag tolkar din fråga som att man har 8000 kr i fasta månatliga utgifter som inte beror på boytan. Det betyder att y varierar mellan 0 och 12000 kr. Variabeln x är förstås större än 0 och mindre än 12000/60 = 200, eftersom kvadratmeterhyran är 60 kr. Funktionen skall alltså maximeras över en sluten och begränsad rektangel. Om man nu går genom rutinlösningen jag beskrev i början så finner man att f är som störst i det övre högra hörnet av rektangeln, dvs då x = 200 och y = 12000. Å andra sidan ser man detta redan från början eftersom funktionen f växer med växande x och y. f är alltså som störst då x och y är så stora som möjligt.
Adam Jonsson
Svar:
Räkna först (t ex med hjälp av gausselimimination) ut punkten. Vi kallar den P. Skriv sedan om linjen så att ni har den på parameterform: linjen = Q + u*t, där Q är en punkt i rummet, u är en riktningsvektor och t är en parameter. Låt nu P0 vara den punkt på linjen som har det kortaste avståndet till P. Villkoret på P0 är att vektorn PP0 är vinkelrät mot linjens riktningsvektor u. Nu kan man antingen göra så att man beräknar P0 genom att först låta P0 vara en godtycklig punkt på linjen och sedan beräkna parametern t med villkoret PP0 * u = 0 (där * betecknar skalärprodukt). När man har punkten P0 är det enkelt att finna avståndet. En annan metod (förmodligen lite enklare) är att låta P0 vara den punkt på linjen som har kortast avstånd till P och ta en godtycklig punkt Q0 på linjen (t ex Q). Eftersom u/|u| är en enhetsvektor är Q0P * u/|u| lika med längden av vektorn Q0P0. Med Pythagoras sats kan nu längden av P0P beräknas.
Adam Jonsson
Svar:
Låt oss anta att x + ix är en rot. Eftersom polynomet har reella koefficienter är också x - ix en rot. Det följer alltså att (z - (x + ix))*(z - (x - ix)) = z2 - 2xz + 2x2 delar det givna fjärdegradspolynomet. Om man utför divisionen får man en rest som är
Adam Jonsson
Svar:
Se 5 oktober 2001 21.26.24 med kommentar 13 oktober 2001 21.05.32 .
Adam Jonsson
Svar:
Deriverar du f(x) får du
Adam Jonsson
Svar:
Jag känner inte till något annat sätt.
Adam Jonsson
Svar:
Om en punkt i planet har de polära koordinaterna r och v, så är motsvarande x- och y-koordinater, x = r*cos(v), y = r*sin(v), vilket man ser genom att rita upp den motsvarande triangeln.
Adam Jonsson
Svar:
A förstår jag inte. Jag vet inget smidigt sätt att
exakt räkna ut summan i B, men numeriskt är svaret 2.209971912.
Adam Jonsson
Svar:
Ellipsen har ekvationen x2/a2 + y2/b2 = 1, där a och b är ellipsens halvaxlar. Om vi antar att a <= b, så måste cirkeln ha radien a.
Adam Jonsson
Svar:
Vi börjar med att påpeka att det heter irrationellt tal.
1. För alla primtal p gäller att sqrt(p) är irrationellt, vilket visas på följande sätt:
Antag att sqrt(p) är rationellt. Då kan, för några
heltal a och b, sqrt(p) skrivas sqrt(p)=a/b, där vi antager att största
gemensamma delaren till a och b är 1.
Vi kvadrerar och får att p=a2/b2,
dvs b2*p=a2. Eftersom p delar vänsterledet måste
p dela högerledet. p delar alltså a2 och därmed
a.
Vi kan då skriva a2=p2*c, och alltså
är b2*p=p2*c, dvs b2=p*c. Eftersom
p delar högerledet måste p dela b2 och därmed
b.
Således gäller att p delar både a och b, vilket är
en motsägelse eftersom vi antagit att största gemensamma delaren
till a och b var 1.
Alltså kan sqrt(p) inte vara rationellt.
2. Vi antar att Du undrar om varje irrationellt tal kan skrivas som
en kvot, där minst en av täljare och nämnare är irrationell,
och detta är sant.
Om r1 är ett irrationellt tal och a ett heltal, kan
vi skriva r1=r2/a, där r2 är
det irrationella talet a*r1.
3. Ja, det finns fler irrationella tal än rationella.
De rationella talen är uppräknekligt många. De kan
räknas upp på tex följande sätt: {0,±1,±2,±1/2,±3,±1/3,±4,±3/2,±2/3,±1/4,...}
ordnade efter summan av täljare och nämnare då bråket
är förkortat så långt som möjligt.
De irrationella talen är däremot överuppräkneligt
många.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Låt G vara en mängd med en binär operation som
är associativ.
Låt e vara en vänsteridentitet och antag att varje
element har en vänsterinvers. Då är e en identitet
och varje vänsterinvers är också en invers.
Vi visar detta på följande sätt:
Låt a och b tillhöra G och sådana
att ba=e. Då är
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Den kurva Du beskriver kallas helix, och om radien är a har den parametriseringen
f(t)=(a*cost, a*sint, bt), t i R.
Båglängden av en kurva f(t)=(x(t),y(t),z(t)) i R3 är
s(t)=Integral(to,t)|f'(t)|dt,
Båglängden av helixen är således
Integral(to,t)sqrt(a2sin2t+a2cos2t+b2)dt=Integral(to,t)sqrt(a2+b2)dt=(t-t0)*sqrt(a2+b2).
Om vi låter t0=0 och höjden=h, vilket ger t=h/b, får vi båglängden h/b*sqrt(a2+b2).
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
När man integrerar funktioner innehållande absolutbelopp delar man upp integrationsintervallet.
På intervallet (0,1) är funktionen abs(x)+abs(x-1)+abs(x-2)=
x-(x-1)-(x-2)=-x+3.
På intervallet (1,2) är abs(x)+abs(x-1)+abs(x-2)=x+(x-1)-(x-2)=x+1,
och på intervallet (2,10) är abs(x)+abs(x-1)+abs(x-2)=x+(x-1)+(x-2)=3x-3.
Vi får således
Integral(0,10)(abs(x)+abs(x-1)+abs(x-2))dx=Integral(0,1)(-x+3)dx+Integral(1,2)(x+1)dx+Integral(2,10)(3x-3)dx.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Vi skriver först om tanx och använder därefter trigonometriska ettan, varvid
Integral tan2x*sinxdx=Integral sin2x/cos2x*sinxdx=Integral (1-cos2x)/cos2x*sinxdx.
Vi gör nu variabelbytet cosx=t, -sinxdx=dt, och får då
-Integral (1-t2)/t2dt=Integral (-1/t2+1)dt=1/t+t+C=1/cosx+cosx+C.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Pi är inte ett oändligt tal, men det har en oändlig decimalutveckling.
Pi's decimalutveckling måste vara oändlig eftersom pi är
irrationellt, dvs det kan inte skrivas som en kvot mellan två heltal,
och således inte har en periodisk decimalutveckling.
Du kan läsa mer om pi på The
Pi Page .
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Om 17 delar n är det klart att n560 inte är kongruent 1 (mod17).
Antag nu att 17 inte delar n, dvs största gemensamma delaren till
n och 17 är 1.
Vi kan då använda Fermats sats, som säger följande:
Om a är ett naturligt tal, p ett primtal och största gemensamma
delaren till a och p är 1 så gäller att ap-1 är
kongruent 1 (mod p).
Nu är n560=(n35)16 och således kongruent 1 (mod 17).
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Genererande funktioner är ett användbart verktyg framför allt i samband med lineära differensekvationer med konstanta koefficienter. Om vi betraktar en ekvation som till exempel ak+2-ka2k+1=cos(ak), så har vi dock svårt att se hur man kan ha någon nytta av genererande funktioner.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Detta kan Du läsa mer om på den här sidan .
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Vi vet vad en dodekaeder är, men vad är en rombdodekaeder?
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Man kan spara tid genom detta förfarande. Om tex person 1 cyklar halva vägen och sedan ställer cykeln och går ända fram till målet, kommer de båda personerna att komma fram samtidigt, och den totala tiden det tar att förflytta sig mellan de båda städerna blir medelvärdet av den tid det tar att bara gå respektive bara cykla.
Låt d vara avståndet mellan de båda städerna,
vc
cykelhastigheten och vg gånghastigheten. I det
ovan beskrivna fallet blir den totala tiden
t=d/(2*vc)+d/(2*vg)=(d/vc+d/vg)/2,
vilket är mindre än d/vg, som är den
tid det tar om man går hela vägen.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
Svar:
Det måste även gälla att x+y=5000, och vi får således ekvationssystemet
34x+3y=5000*13
x+y=5000,
som har en entydig lösning.
Den andra ekvationen ger y=5000-x.
Insättning i den översta ekvationen ger 34x+3(5000-x)=5000*13,
dvs x=5000*10/31.
Därefter får vi y=5000-5000*10/31=5000*21/31.
Olivia Constantin och Catarina Petersson
|
Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström |
|