Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar oktober 2001

Svar:

För två oberoende stokastiska variabler X och Y gäller alltid att

För alla stokastiska variabler X, Y är

där Cov(X,Y) står för kovariansen för X och Y och definieras som Cov(X,Y)=E[(x-m_x)(Y-m_y)], där E betyder väntevärde och m_x och m_y är väntevärdet för X respektive Y.

Man ser att kovariansen bör bli positiv om det finns ett beroende mellan X och Y sådant att att det finns en tendens hos variablerna att samtidigt avvika åt samma håll från sina respektive väntevärden. I så fall kommer nämligen produkten (X-m_x)(Y-m_y) att bli positiv oftare än negativ. Om variablerna däremot tenderar att avvika åt olika håll från väntevärdena kommer produkten (X-m_x)(Y-m_y) att oftare bli negativ än positiv och kovariansen därför negativ.

Om Cov(X,Y)=0 säges X och Y vara okorrelerade, och det gäller att två variabler som är oberoende också är okorrelerade.

Allmänt är

för alla stokastiska variabler X₁,...,X_noch konstanter c₁,...c_n.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik .

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

 Här hittar Du en artikel, i vilken formeln pi=Summa_(n=0,..,oo)(50n-6)/2n (³ⁿ_n) bevisas.

Om Du vill se en massa andra formler för pi kan Du göra det på den här sidan . Klicka på Toutes les formules.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi känner inte till något enkelt sätt att göra detta för hand, förutom genom prövning.

Vad man ganska lätt kan konstatera är i varje fall följande:
1. Det finns en entydigt bestämd cirkelskiva med minimal area. Entydigheten följer av att om två skilda cirkelskivor har samma area, så kan man lätt konstruera en mindre cirkelskiva som täcker den gemensamma delen de två första skivorna.
2. Polygonen har minst två hörn på periferin av den minimala cirkeln. Om den har bara två hörn på periferin så ligger dessa som varsin ändpunkt på en diameter, och alltså är cirkeln bestämd av dessa två punkter.
3. Om polygonen har tre hörn på periferin så är cirkeln bestämd av tre sådana punkter.
En möjlighet att utföra prövningen är nu att gå igenom alla par av hörn och studera motsvarande cirkel, samt att även gå igenom varje trippel av hörnpunkter och studera cirkeln genom de tre punkterna. Vi får ett ändligt antal cirklar, och har bara att avgöra vilka av dessa som täcker alla återstående punkter, samt vilken av dessa cirklar som har den minsta arean. Därmed har vi reducerat problemet till ett ändligt problem, med ett ändligt antal fall att undersöka. Troligtvis finns dock betydligt effektivare strategier, men tyvärr känner vi inte till någon sådan.

Däremot går problemet att lösa med hjälp av dator på i alla fall O(n) tid. En algoritm för detta kan Du hitta i boken Computational Geometry, algorithms and applications av M.de Berg, M.van Kreveld, M.Overmars och O. Schwarzkopf, Springer-Verlag 1997.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

f'(x)=6x.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Tack för kommentaren.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi visar först påståendet med hjälp av induktion.
För n=0 and n=1 är påståendet sant.
Antag nu att påståendet är sant för  n-1 och n-2, dvs a^n-1- b^n-1 och a^n-2- b^n-2 är delbara med (a-b).
Vi kan då skriva aⁿ-bⁿ på följande sätt

Induktionsantagandet ger att ovanstående uttryck är delbart med (a-b), och således är aⁿ- bⁿ delbart med (a-b) för varje naturligt tal n.

Ett annat sätt att bevisa detta är att använda formeln

Denna kan man direkt visa genom att beräkna produkten i högerledet:

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Sätt

och sätt för n >= 2

Genom att fixera det värde k där p(k) = n (dvs k = p^-1(n)), inses lätt att

Inför de exponentiella genererande funktionerna

Då kan rekursionen ovan skrivas

med begynnelsevärde A(0) = B(0) = 1. Härur kan man lösa

varefter man erhåller

Från det faktum att A(z) och B(z) har en pol i punkten z = (2pi)/(3sqrt(3)) = l följer att storleksordningen av a_n, b_n är

Med hjälp av Bernoullipolynomen B(n,x) definierade av

kan vi uttrycka koefficienterna för zⁿ i uttrycket för A(z) ovan och erhålla följande:

där x₁ = w/(3sqrt(3)i).

(Detta erhålls genom att förlänga uttrycket för A(z) med (1 - w²e^sqrt(3)iz)(1 - e^sqrt(3)iz) så att nämnaren blir 1 - e^3sqrt(3)iz.)

Arne Meurman

Svar:

Hej Maria!
Jag antar att du menar en regelbunden n-hörning (inte en stjärna eller något liknande). Nej, detta är inget optimeringsproblem - det är ett helt geometriskt problem.
Om n är jämn så markerar du ett hörn och drar linjen L₁ från detta hörn till det motstående hörnet - denna linje är diametern av din cirkel. Mittpunkten på cirkeln finner du genom att dra linjen L₂ mellan två stycken andra motstående punkter - linjerna kommer att skära varandra i en punkt, detta är centrum av din cirkel.
Om n är udda så markerar du ett hörn och drar linjen L₁ från denna punkt till mitten av motstående sida. Markera en ny punkt och drag linjen L₂ ifrån denna till mitten av motstående sida. Linjerna kommer att skära varandra i en punkt, detta är centrum av din cirkel - radien av cirkeln är linjen från centrum till ett hörn.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Alex!
Jag tror du skall prova med att ställa båda frågorna till en fysiker istället. Den första frågan vet jag inte svaret på, svaret på den andra är nog att naturen är snål - den strävar efter att slösa med så lite energi som möjligt.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Alex!
I viss mening är det sant att det finns lika många primtal som udda tal och lika många udda tal som det finns heltal - men det finns faktiskt fler reella tal än heltal.
När man talar om "tal" som är oändliga så är det inga vanliga tal, man kallar dessa tal för kardinaltal. Sök på detta ord så får du veta mer.

Anders Dahlner

Svar:

Hej David!
Sätt a=0.01. En kalkyl ger

Sätt f(x) = 1/x, detta är en avtagande funktion och  f(n) < f(x) < f(n-1) då  n-1 < x < n, integration över intervallet [1,n+1] leder till uppskattningen

Anders Dahlner

Svar:

Hej Jacob!
Dessvärre ser det ut som om problemet ej har en "snäll" lösning - lösningen kan ej uttryckas i elementära funktioner. Betrakta de två cirklarna i bilden nedan.
Parametern x är halva det sökta avståndet, r är radien, och t är vinkeln mellan cirklarnas centrum och linjen mellan centrum till cirklarnas skärningspunkt.

Nu är arean för en cirkelsektor med öppningsvinkel alfa lika med alfa r²/2.
Arean på triangeln med sidorna x och r i figuren ges av x (r² - x²)^1/2/2.
Det följer att arean på "månskäran ges av

Anders Dahlner

Svar:

Hej Jonathan!
Jag förstår tyvärr inte frågan helt. När du slår in detta i miniräknaren, så använder den sig av en approximation av logaritmdunktionen - men detta är kanske inte det du vill veta?

Anders Dahlner

Svar:

Hej Jonathan!
Jag tycker du ska ta en titt på Bengt Månssons sida Mathematics according to Bengt Månsson.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Peter!
Arean av en ellips ges av abPi där a och b är den längsta respektive den kortaste sträckan från ellipsens centrum till en punkt på ellipsen.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Sven!
Nej det tror jag inte.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Jari!
Länden på en cirkel med diameter d ges av formeln dPi. Låt x vara tjokleken på pappret, L vara längden, d vara den tommacylinderns diameter och D fulla cylinderns diameter.
När du snurrat ett varv papper runt cylindern så har du använt (d + 2x)Pi ländenheter.
Vid det n:te varavet går det åt (d + 2nx)Pi längdenheter.
Totalt blir det alltså

Anders Dahlner

Svar:

Hej Jobbi!
Tyvärr har jag ingen enkel formel för summan av rötter. Däremot är kan man t ex räkna ut formler för 1 + 2^k + 3^k +... + n^k.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Tomas!
Frågan är vad du menar med att exakt räkna ut Pi. En lite ovanlig formel för Pi ges av den oändliga summan

Svar:

Hej Micke!
Det går nog bara att ge uppskattningar - dessutom inträffar det då och då att astronomerna ändrar sin uppfattning om universums storlek.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Johan!
Jag är rädd för att jag ej förstår dig riktigt, jag menar (x-xa)= x(1-a) så (x-xa)(x-xa)(x-xa) = x³(1-a)³, så den enda roten är x = 0 (om vi bortser från den triviala ekvationen som får då a=1).

Anders Dahlner

Svar:

Hej Linda!
Fråga 1:
f(x) behöver faktiskt inte vara deriverbar även om xf(x) är det och f(x) kontinuerlig. Ett exempel på detta är f(x) = |x|, det är klart att f är kontinuerlig men inte deriverbar i x = 0. Funktionen  xf(x) har derivatan 2x om x >= 0  och derivatan -2x om x<=0.

Fråga 2:
Eftersom sinus växlar tecken så tror jag du menar att

Fråga 3:
Du missade en parantes, troligen ska det vara lim_n->oo (f(a+1/n)/f(a))ⁿ, vi har att

Anders Dahlner

Svar:

Hej!
Detta låter mer som en fråga för en lantmätare.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Farid!
Sätt t = e^x, detta ger

Svar:

Hej Einsteins oäkting!
Jag vet faktiskt inte, prova så får vi se.

Anders Dahlner

Svar:

Hej!
Till att börja med vill jag rätta ditt språkbruk. Evigheten ska vara oändligheten - evighet brukar kopplas till tid. För att svara på din första fråga så har vi att

Anders Dahlner

Svar:

Hej Nico!
Derivera med kedjeregeln: f(g(x))' = f '(g(x))g'(x), samt produktregeln: (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x).
Detta ger

Anders Dahlner

Svar:

Hej Kalle!
Se svaret på frågan 23 oktober 2001 10.48.22.

Anders Dahlner

Svar:

Hej K. Sundelius!
Lösningen till 3:e grads ekvationen återfinnes i 18 mars 1997 02.44.41. Svaret till din fråga finner du i  28 januari 1997 10.06.25.

Anders Dahlner

Svar:

Om du gör uttrycken i paranteserna liknämniga så får du

Adam Jonsson

Svar:

Jag är inte säker på om det går att hitta ett exakt svar. Det är i själva verket väldigt sällsynt att man kan hitta exakta lösningar till ekvationer, utan normalt sett är man utlämnad åt numeriska metoder, t ex Newton-Raphson.

Adam Jonsson

Svar:

Det är nästan lika lätt att visa följande påstående: Om x₁,...x_m är m stycken olika punkter på R, och a₁,...,a_m och b₁,...,b_m är givna tal, så finns ett och endast ett polynom p(x) av grad <= 2m-1 så att p(x_k) = a_k och p'(x_k) = b_k, för alla k mellan 1 och m. Vi skriver polynomet p(x) så här:

Adam Jonsson

Svar:

Nja. Om z = a + ib så är arg(z) = arctan(b/a) + n*2Pi. Om a och b inte är valda med omsorg är det svårt att hitta exakta uttryck för arg(z).

Adam Jonsson

Svar:

Enligt struktursatsen för abelska grupper finns precis en abelsk grupp av ordning 6. Låt oss anta att G är en icke-abelsk grupp av ordning 6. Sylows sats säger att antalet 3-sylowdelgrupper i G ges av |G : N_G(P)|, där N_G(P) är normalisatorn till P som är en given 3-sylowdelgrupp. Vi ser alltså att antalet 3-sylowdelgrupper är lika med ett eller två. Eftersom Sylows sats också säger att antalet 3-sylowdelgrupper är kongruent med 1 modulo 3, ser vi att detta antal i själva verket är ett, och denna enda 3-sylowdelgrupp, kalla den P, måste således vara normal (ty |G : N_G(P)| = 1 och normalisatorn till P är den största delgrupp i vilken P är normal). Låt oss välja en generator till P som vi kallar a. Tag ett element b i G\P. Delgruppen <b> kan inte ha ordning 3 eftersom P är den enda delgruppen med den egenskapen, och den kan inte ha ordning 6 eftersom G inte är abelsk, återstår bara att b² = 1. Vidare måste G = <a><b>. Eftersom P är normal kan vi slå fast att bab^-1 = a^r, där r är 1, 2 eller 3. Om r vore 1 skulle G vara abelsk och det hade ju varit en motsägelse. Om r vore lika med 3 skulle ba = b och således a = 1, en motsägelse. Återstår endast fallet r = 2, och vi kan sluta oss till att G generas av två element a och b, där a³ = b² = 1 och bab = bab^-1 = a², G är alltså inget annat än den dihedrala gruppen D₃. Svaret på din fråga är att de enda grupperna av ordning 6 är Z₆ och D₃.

Adam Jonsson

Svar:

Se  6 mars 2001 11.08.06.

Adam Jonsson

Svar:

Jag föreslår att du skickar din fråga till Fråga Kristianstad om matematikdidaktik.

Adam Jonsson

Svar:

Ett teckenstudium av de bägge faktorerna ger att x(x-1) <= 0 då och endast då 0 <= x <= 1. Speciellt gäller implikationen du frågar efter.

Adam Jonsson

Svar:

Det tveklöst bästa rådet du kan få är att räkna så många uppgifter du kan. När man väl har fått in räknehantverket är det ofta mycket lättare att första matematiken. För övrigt ska du naturligtvis inte bry dig om de som tycker att du är dum i huvudet.

Adam Jonsson

Svar:

Tyvärr har jag ingen aning, men dina lärare på skolan borde veta.

Adam Jonsson

Svar:

Att lösa en förstagradsekvation är mycket lätt: Ekvationen ax + b = 0, har lösningen x = -b/a. Andragradsekvationer blir genast lite svårare. Låt oss anta att vi ska lösa ekvationen ax² + bx + c = 0, där a inte är noll, så börjar vi med att dela bort a, så vi i stället får ekvationen x² + dx + e = 0, d = b/a och e = c/a. Lägg till och dra ifrån talet (d/2)²:

Adam Jonsson

Svar:

1.999999999... is equal to 2 for precisely that reason.

Adam Jonsson

Svar:

Om vi antar att lådornas bottensidor är rektangulära med omkrets 35 cm, så är den kortaste kantlängden som störst 35/4 cm vilket är mindre än 10 cm. Du borde alltså överhuvudtaget inte kunna få in rören i lådorna! Rent generellt är volymen av en låda sidlängder a gånger b gånger c lika med a*b*c och volymen av en cylinder med diameter d och höjd h lika med Pi*(d/2)²*h. För att få skillnaden är det bara att subtrahera.

Adam Jonsson

Svar:

Tack för kommentaren! Även om Al'Jabr naturligtvis var en tidig och inflytelserik algebraiker, var han inte "den som kom på" algebran. I jämförelse med t ex babylonierna får han ju anses relativt sentida.

Adam Jonsson

Svar:

Detta finns utförligt förklarat den 5 februari 2001 09.11.02.

Adam Jonsson

Svar:

1. Flytta över 4x till vänstra sidan och visa att det erhållna vänsterledet har icke-negativ derivata.
2. Låt oss anta att i triangeln ABC är |AB| = |BC|. Låt vidare D vara cirkelns centrum. Tänk er att B är fixerad i "klockan tolv" i cirkeln och att vi endast varierar de symmetriskt belägna hörnen A och C. Man inser att max area hos ABC arhålls precis då triangeln ADC har maximal area. Låt oss kalla vinkeln vid B för v. Då är vinkeln i hörnet D i den lilla triangeln 2v. Med hjälp av de vanliga trigonometriska formlerna kan vi nu få enkla uttryck för lilla triangelns area, varur man lätt finner den vinkel v som ger maximal area hos den lilla och därmed också hos den strora triangeln.
3. Gör variabelbytet y = (x² - 1)^1/2.
4. Eftersom en deriverbar funktion med nödvändighet även är kontinuerlig söker vi ett polynom p(x) så att p(0) = p(1) = 0 och p'(0) = p'(1) = -1. Ansätt ett tredjegradspolynom (se 21 oktober 2001 12.50.27) och lös ut dess koefficienter.
5. Står med all sannolikhet i era böcker. Alternativt kan ni söka på vår söksida.

Adam Jonsson

Svar:

Antalet gynnsamma utfall är "5 över 2" och det totala antalet utfall är "8 över 2". Sannolikheten att dra 2 gröna är alltså

Adam Jonsson

Svar:

När jag började läsa använde vi en bok med den tvetydiga titeln "Mot bättre vetande i matematik" av Dunkels et el. Den ges ut av Studentlitteratur och har ISBN nummer 91-44-32252-6.

Adam Jonsson

Svar:

Låt oss anta att vi har en rektangel ABCD med kantlängder |AD| = a och |AB| = b. Låt E vara papprets mittpunkt. Vi viker pappret så att A möter C. Vecket kommer att bli en rät linje som går genom E och är vinkelrät mot diagonalen AC. Denna linje skär kanten CD i en punkt F. Vi söker alltså 2*|EF|. Man ser att triangeln CEF är likformig med triangeln ACD, så

Adam Jonsson

Svar:

Det här är en fråga vi har fått flera gånger förut. (Du kan prova att söka på orden "get" eller "ko" på vår söksida). Av allt att döma är det inte exakt lösbart. Se t ex  6 oktober 1998 19.37.55.

Adam Jonsson

Svar:

Hej Göran!

Jag antar att du menar  a_n = a_n-1 + n + 1, samt att du börjar på a₀ som är obestämd.
Recursionsformeln ger

Anders Dahlner

Svar:

Hej Joel!
I mitt tidigare svar den 14 april 1999 finner du det gyllene snittet på ett ställe - men troligen finns det på många ställen.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Konrad!

Jag antar att du menar att multiplikationstabellen är

Anders Dahlner

Svar:

Hej Marie!

1. En fixpunkt för en funktion f är en punkt x sådan att f(x)=x.
2. Jag antar att du menar att u och v  är vektorer i planet, att u hålls konstant samt att avståndet är det Euklidiska avtåndet (det vanliga).
Sätt  f(v) = (cosQ  + sinQ) v + u, funktionen f  är då ingen isometri på planet (dvs att avståndet mellan två punkter bevaras under f ) - men nästan: om v och w är vektorer (punkter) i planet så är

Anders Dahlner

Svar:

Hej Bengt!

Tack för kommentaren!

Anders Dahlner

Svar:

Hej Karin!
Angående allmäna tips så är det svårt - att derivera går ju alltid bra med hjälp av diverse deriveringsregler, men integrera är svårt.
Vi vill finna extremvärdena för funktionen f , där f(x,y) = (1 / 2) ln(1+x²) + ln(1+y) (så tolkar i alla fall jag det - funktionen 1 / (2ln(1+x²)) + ln(1+y) är mycket svårare att undersöka) då 2x+y=5, samt om f skall vara väldefinierad så måste y>-1. Dvs då y =5-2x, och x < 3.
Substitution ger

Anders Dahlner

Svar:

Hej Johan!

När man inför koordinatsystem så gör man ju det för att man vill använda koordinater som ges ur en viss bas - man fixerar alltså ett koordnatsystem i planet och övergår från att studera vektorer till att studera koordinater.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Bessel-Hagen!
Varför ... (5^1/2 + 2)^1/3 - (5^1/2 - 2)^1/3 = 1?
Inte nog med detta - produkten av dem faktiskt är också lika med 1! (Övning) Skämt åtsido, sådana relationer brukar man kunna få då man löser tredjegradsekvationer med hjälp av kända roturdragningsmetoder. Att summan i fråga blir 1 går att visa på många sätt, men varför det är på detta vis är en filosofisk fråga - enligt min mening är det så helt enkelt på grund av att man kan visa det.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Stabbe!
Skälet till att ni bör välja siffror och bokstäver är troligtvis på grund av att det för en hacker blir svårare att knäcka koden - visst minskar detta antalet kombinationer men antalet är ändå tillräckligt stort.Givetvis är det också lättare att knäcka koder om du har någon systematik bakom dina försök.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Tobias!
Division behöver man för att kunna lösa ekvationer av typen 2x = 1. Man definierar 1/2 som det talet x som löser ekavtionen.
Nu visar det sig att 0x=0 för alla tal x, så 1/0 har ingen mening.

Ett annat sätt att inse att detta inte är bra är att titta på gränsvärden.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Göran!
Angående muliplikation se  9 oktober 2001 17.16.15 . För att säga vad en ring är börjar jag med att säga vad en grupp är.

En grupp är en mängd G med en operation * (en multiplikation) sådan att
(G - i) om a,b ligger i G så är a*b ett element i G,
(G - ii) om a,b,c ligger i G så är a*(b*c)= (a*b)*c (och man skriver då a*b*c för detta elemnet),
(G - iii) det finns ett element e i G sådant att a*e=e*a=a  för alla a i G (speciellt är G icketom),
(G - iv) om a ligger i G så finns ett element b i G sådant att a*b=b*a=e (elementet b betecknas vanligen a^-1).
Gruppen är abelsk eller kommutativ om a*b=b*a för alla a,b i G. Om G är abelsk brukar man skriva + för operationen.

En ring är en mängd R med två operationer + och *, sådan att R är en abelsk grupp under operationen +, samt med följande axiom
(R - i) om a,b ligger i R så är a*b ett element i G,
(R - ii) om a,b,c ligger i R så är a*(b*c)= (a*b)*c (och man skriver då a*b*c för detta elemnet även här),
(R - iii) om a,b,c ligger i R så är a*(b+c)= a*b+a*c och (b+c)*a= b*a+c*a,
Ringen är kommutativ om kommutativ om a*b=b*a för alla a,b i R.
Ringen har en enhet eller en etta om det finns ett element e i R sådant att a*e=e*a=a  för alla a i R.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Anders!
En liten anmärkning. Kurvan som beskrivs är inte en funktion. Mitt Maple program ritade följande kurva:

Anders Dahlner

Svar:

Med hjälp av t ex tårtbitar.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Kent!
Se länken The Prime Pages.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Gertrud!
Din son får rita en bra stund, 4575 olika gånger snarare bestämt! För att ta reda på hur man räknar ut detta så betraktar vi istället ett enklare exempel. Låt oss för enkelhets skull anta att vi bara har enkronor och femkronor, och vill veta hur många sätt vi kan få summan 13 kronor.
Som mest använder vi 13 stycken enkronor och största antal femkronor är 2 stycken.
Betrakta produkten

Anders Dahlner

Svar:

Hej Dennis!

Skälärprodukten av två vektorer är ett tal. Skalärprodukt används till exempel för att projicera vektorer på andra vektorer.
Vektorprodukten av två vektorer (i ett tredimensionellt rum) ger en ny vektor som är vinkelrät mot båda vektorerna. Vektorprodukt anänds till exempel om man vill konstruera en ortogonalbas.
Om man uppfattar matriser som linjära avbildningar, så är matrismultiplikation inget annat än sammansättning av två linjära avbildningar.

Multiplikation används i många sammanhang. Oftast vill man att multiplikation skall vara en tvåställd operation som är associativ
(det vill säga (ab)c =a(bc)) - men det finns undantag till denna regel.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Danne!
Tyvärr finns det nog inget bra svar på sådana här frågor.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Mirre!
Du får gärna precisera lite mer.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Philip!

Att finna approximativa lösningar av sådana ekvationer går bra, men exakt lösning är svårt.

Anders Dahlner

Fråga 2 Bestäm konstanterna C och Q så att C>0 och -pi < Q <= pi och så att (-sqrt2) cos v + sqrt2 sin v = C cos (v+Q) för alla reella v. Lös sedan ekvationen (-sqrt2) cos 2x + sqrt2 sin 2x = -1
Konny Franzén

Svar:

Hej Konny!

Fråga 1: Jag antar att du menar att y är reell. Sätt t=e^3y

Där i den sista ekvivalensen antas att (3 + 4X)/(1 - X)>0, vilket ju är nödvändigt om y skall vara reell.
 

Fråga 2: Man har att

Ekvationen

så 2x-p/4 = p /3 +2p N, 2x-p / 4 = - p/3 +2p N
det vill säga x = 7p /24 + p N, x = p /24 + p N
där N=..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Anders Dahlner

Svar:

Hej Liselott!

Om riktningsderivata skall ha någon mening så skall vektorn vara normaliserad, dvs andra formeln gäller.

Anders Dahlner

Svar:

Hej Marko!
Sant är påståendet och följer ur en klassisk olikhet, ofta benämnd Cauchy-Schwarz olikhet. Skriv  int( g ) =INT[g(x)dx,0,1] med dina beteckningar, då säger C-S att

Obs. att båda sidor av din olikhet kan var oändliga. Se t ex f(x)=1/x^1/2 - detta kommer från att  f ² ej behöver vara integrerbar även om f är det.

Anders Dahlner

Svar:

Hej!
Man kan visa att om n är ett heltal >1, så kan man skriva n som en produkt av primtal på ett och endast ett sätt. Detta är praktiskt i kryptering, programering, signalteori m m.

Anders Dahlner

Svar:

Låt A_k beteckna summan av de tal som vi har nedskrivna efter k upprepningar av proceduren.
Det är då klart att

Antag att vi i steg k tar ut talen a och b, där a<b. Då är

vilket visar att antingen måste både A_k och A_k-1 vara jämna eller måste båda vara udda.
Efersom A₀ är ett udda tal måste således alla A_k, k=0,1,2,... vara udda.
Det är klart att efter (1970-1) steg återstår bara ett tal och detta tal är A₁₉₆₉, vilket är ett udda tal.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

I svaret till din fråga  25 september 2001 18.53.55  beräknas volymen av ett n-dimensionellt enhetsklot med hjälp av radialformeln. Volymen av enhetsklotet i R⁴ kan även beräknas på ett annat sätt, om vi känner till volymen av enhetsklotet i R³.

Låt

Vi gör här varabelbytet x=siny vilket ger

vilket lätt kan beräknas.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Alla kontinuerliga funktioner är inte Lipschitzkontinuerliga.
Betrakta tex funktionen f(x)=e^x för x i R.
Om f vore Lipschitzkontinuerlig skulle det finnas en konstant L>0 så att

Det skulle då gälla att |eⁿ⁺¹-eⁿ|<=L*1, för alla n=1,2,3....
Nu är dock eⁿ⁺¹-eⁿ=eⁿ(e-1), vilket går mot oändligheten då n går mot oändligheten, och  |eⁿ⁺¹-eⁿ| kan alltså inte vara begränsat.
f är alltså en kontinerlig funktion som inte är Lipschitzkontinuerlig.

Det finns inget sätt att uppskatta f(1) om man bara vet att f(0)=0 och att f är kontinuerlig.
Givet ett godtyckligt reellt tal a har funktionen f(x)=ax egenskaperna f(0)=0 och f kontinuerlig, medan f(1)=a.

Svaret på den tredje frågan är ja. Om f är kontinuerlig med f(0) skilt från noll så finns ett intervall (-d,d), d>0, där f är skild från noll, och således är måttet av mängden I={x; f(x) |=0}större än noll. (Eftersom f är kontinuerlig är det klart att I är mätbar.)

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

För att P ska veta summan av de båda talen måste han veta vilka talen är. Således måste produkten bestå av två primtal, alternativt en 1:a och ett primtal. För att S ska kunna avgöra vilka de båda talen är, är bara det andra fallet möjligt. Således är de båda talen 1 och p, där p är ett primtal.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

I relativitetsteori behandlas tiden som en fjärde dimension, så räkning i R⁴ blir naturligt.
Mycket av matematiken har anknytning till verkligheten. Matematiken används inom många andra vetenskaper såsom fysik, där man gör modeller av verkligheten och uttrycker dessa med ett matematisk språk, kemi, datologi och ekonomi där man ofta använder tex sannolikhetsteori och statistik.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi sätter y=3x+pi/4 och får då ekvationen

Det är klart att cosy=0 inte ger en lösning till ekvationen och vi kan således dividera med cos²y.
Detta ger ekvationen

som har lösningarna  tany=1 och tany=-1/sqrt(3).

Alltså är y=pi/4, -3pi/4, 5pi/6 eller -pi/6, och därmed är x=0,-pi/3,7pi/36 eller -5pi/36.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Ekvationen saknar lösning.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi hänvisar till svaret på frågan  9 april 2001 14.31.51.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Det geometriska medelvärdet för de positiva talen a₁,a₂,...,a_n är  G=(a₁*a₂*...*a_n)^1/n.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

> >Svar:
> >Jag känner tyvärr inte till så mycket om datakomprimering. Söker man efter data+compression+theory på AltaVista får man dock ganska många relevanta träffar. <BR>
> >Kjell Elfström

Det finns en mycket lättbevisad sats när det gäller datakomprimering. Denna säger att det inte finns någon kompressionsmetod som kan komprimera alla data så att de blir mindre. Ngt förenklat går beviset för denna ut på att om du har filer som är 2^n bitar långa så kommer antalet filer som kan representeras av 2^n-1 bitar, eller ännu färre, vara mindre än det ursprungliga antalet. Att Följden blir faktiskt att alla kompressionsmetoder, för de allra flesta möjliga filer, kommer att generera längre filer än vad indata var! Att det inte är så i realiteten beror naturligtvis på att våra filer normalt innehåller någon sorts struktur, t.ex. består en textfil t.ex. normalt bara av bokstäver och några få ytterligare specialtecken. Dessutom är dessa mycket logiskt ordnade (stavning...) Kompression och kompressionsalgoritmer diskuteras livligt på news, comp.compression . I deras FAQ finns även ett lite mer korrekt bevis av satsen ovan ("the counting theorem"). Adressen dit är
 http://www.faqs.org/faqs/compression-faq/part1/
alla kompressionsmetoder som finns, för de allra flesta möjliga
Magnus Persson, persmagn@mtek.chalmers.se

Svar:

Tack för kommentaren!

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Låt f(x)=x⁵-5x+2.
Vi studerar tecknet av f'(x)=5(x⁴-1) på intervallet [-2,2] och ser att
f'(x)>0 på [-2,-1),
f'(-1)=0,
f'(x)<0 på (-1,1),
f'(1)=0 och
f'(x)>0 på (1,2].

Detta säger att f är växande på [-2,-1] och eftersom f(-2)*f(-1)<0 måste f ha ett nollställe på [-2, -1]. Detta nollställe är enkelt eftersom derivatan inte är noll i någon punkt i [-2,-1).
På intervallet [-1,1] är f avtagande och eftersom f(-1)*f(1)<0 måste f ha precis ett nollställe på [-1,1].
Vi fortsätter på samma sätt och ser att f har precis ett nollställe på intervallet [1,2].

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi ber att få hänvisa till  An introduction to error correcting codes with applications av Scott A. Vanstone och Paul C. van Oorschot, Kluwer Academic Publishers 1989, alternativt Introduction to coding theory av J.H. van Lint, Springer-Verlag 1992.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Låt |A| beteckna antalet element i mängden A, och låt P(A) vara potensmängden till A.

Det är lätt att se att för en mängd A med ett element är |P(A)|=2, ty P(A)={tomma mängden,A}.

Antag nu att det för en mängd A med n element gäller att |P(A)|=2ⁿ.
Betrakta en mängd B med n+1 stycken element, betecknade b₁,b₂,...,b_n+1.
Vi kan skriva P(B) som en disjunkt union av två mängder: de delmängder av B som inte innehåller b_n+1, respektive de delmängder av B som innehåller b_n+1.
Den första mängden är precis P({b₁,...b_n}) och |P({b₁,...b_n})|=2ⁿ enligt induktionshypotesen.
Den andra mängden innehåller mängder av typen Cunion{b_n+1}, där C tillhör P({b₁,...,b_n}), och har alltså också 2ⁿ element.
Således är |P(B)|=2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹, och därmed är påståendet sant för alla positiva heltal n.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Tyvärr kan vi inte tyda vilken graf det är Du menar.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Att dA skulle var lika med 2*pi*(dx)² stämmer inte.
Vi låter den inre cirkeln ha radie x och den yttre cirkeln radie x+dx.
Arean av ringen mellan cirklarna blir då arean av den större cirkeln minus arean av den mindre, dvs pi*(x+dx)²-pi*x²= 2*pi*x*dx+pi*(dx)². Om vi här försummar termen pi*(dx)², som är av en annan storleksordning, får vi samma uttryck för dA som tidigare.
Observera att vi för att räkna ut dA här använder att vi redan vet vad arean för en cirkel är.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Man utesluter inte terrasspunkterna, och frågan är oklar eftersom det är oklart vad man ska mena med att en funktion f växer i en punkt.

Definitionen av att en funktion f är växande respektive strängt växande är följande:
Låt I vara ett intervall.
f är växande i I om f(x₁)<=f(x₂) för alla x₁ och x₂ i I med x₁<x₂.
f är strängt växande i I om f(x₁)<f(x₂) för alla x₁ och x₂ i I med x₁<x₂.

Det gäller att om f är deriverbar och växande i ett intervall I så är f'(x)>=0  i I.
Omvändningen till detta påstående är också sann: om f är deriverbar och f'(x)>=0 för alla x i I så är f växande i I.

Det gäller även att om f är deriverbar och f'(x)>0 för alla x i I så är f strängt växande i I.
Omvändningen till detta är dock inte sann, dvs en funktion kan vara strängt växande även om den har en terasspunkt.
Ett exempel på en sådan funktion är f(x)=x³.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

För att beräkna remsans längd måste vi veta dess bredd.

Den tub som bildas är en cylinder om vi bortser från lite sladd i kanterna.
Arean av en cylinder är pi*d*l, där d är cylinderns diameter och l dess längd.
I vårt fall är d=0.05m och l=1m.
Pappremsans area ska alltså  vara pi*0.05*l och om vi vet dess bredd kan vi således beräkna dess längd.

I det andra fallet blir diametern i stället (50+2*0.25)mm.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

1. De flesta ekvationer kan inte lösas exakt. Inte ens så enkla ekvationer som femtegradsekvationer har säkert en exakt lösning. Ett exempel på en femtegradsekvation som inte kan lösas exakt är x⁵-6x+3.

2. Ja, de Moivres formel gäller för alla reella tal.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi rekommenderar programmet Maple.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Vi antar att spikarnas vikt är N(4,0.2). Vikten av 100 spikar är då N(400, sqrt(100*0.2²))=N(400,2).

Låt X beteckna vikten av en låda tillsammans med 100 spikar.
X är då N(26+400, sqrt(0.5²+2²))=N(426, sqrt(4.25)).

Därmed är

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Eftersom dimensionen av R³ är 3 spänner vektorerna v1,v2,v3,v4 upp R³ om och endast om man bland dem kan hitta tre linjärt oberoende vektorer.
Vi observerar att v3=v1+v2 och v4=v1-v2. Således kan vi som mest hitta två linjärt oberoende vektorer bland v1,v2,v3,v4, och alltså spänner de inte upp R³.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Svar:

Detta kan du läsa om i svaret till frågan  29 januari 2001 22.06.21.

Olivia Constantin och Catarina Petersson

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström