Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar april 2001

Svar: Tack för upplysningarna.

Anna Torstensson

Svar:

Titta på svaret till 27 april 2001 14.00.13.

Hans Öfverbeck

Svar:

För att visa att formeln du givit ovan gäller så betraktar jag gränsvärdet av:
n*(x^1/n - 1 ) - ln(x) = n*( e^(1/n)*ln(x) - 1 ) - ln(x)
ditt påstående är ekvivalent med att ovanstånde funktion har gränsvärdet 0 då n-->oo, x > 0. För x=1 så har ovanstående funktion värdet 0 oavsett vad n är. Antag nu att x är skilt från 1 och positiv, då är ln(x) också skild från noll, så vi kan skriva om ovanstående funktion:
( e^(1/n)*ln(x) - 1 ) / ( 1 / n ) - ln(x) = ln(x)*[( e^(1/n)*ln(x) - 1 ) / ( (1/n)*ln(x) )] - ln(x) --> ln(x)*1 - ln(x) = 0
ty då n --> oo så (1/n)*ln(x) --> 0 så vi kan använda standardgränsvärdet:
(e^t - 1 ) / t --> 1 då t --> 0.

Hans Öfverbeck

Svar:

Den givna informationen räcker inte för att bestämma en entydig lösning, för att se detta kan man "lägga" in triangeln i ett koordinatsystem, för att undvika förvirring betecknar jag då längden av B med L istället för x. Låt hörnet AB vara (0,0), hörnet AC vara (5,0) och hörnet BC vara (x,y) kravet att längden av B = L och längden av C = 2*L blir då:
L = sqrt( x²+ y² )
2*L = sqrt( (x - 5)²+ y² )
Genom att kvadrera dessa ekvationer och eliminera L² får vi:
3*x² + 10*x - 25 + 3*y² = 0
Delar vi med tre och kvadratkompletterar m.a.p. x blir resultatet:
(x + 5/3)² + y² = 100/9 = (10/3)²
Mängden av möjligheter för hörnet BC bildar alltså en cirkel med radie 10/3 och mittpunkt i (-5/3,0).

Hans Öfverbeck

Svar:

Javisst kan jag hjälpa dig med det:
Antag {a_k}^oo_k=1 är en absolutkonvergent serie i Banachrummet (X,||^.||), d.v.s.
sum^oo_k=1 ||a_k|| = M < oo
Låt e > 0 givet, då finns ett positivt heltal N sådant att:
e > [ sum^oo_k=1 ||a_k|| - sum^N-1_k=1 ||a_k|| ] = sum^oo_k=N ||a_k||
Låt nu s_n vara det n'te delsumman av följden a_k, d.v.s.
s_n = sumⁿ_k=1 a_k
Låt m >= n >= N, ovanstående olikhet ger då:
|| s_m - s_n || = || sum^m_k=n a_k || <= sum^m_k=n || a_k || <= sum^oo_k=N || a_k || < e
Således är s_n en Cauchyföljd, eftersom ett Banachrum per definition är fullständigt följer att följden s_n konvergerar.
Observera att omvändningen till detta påstående också gäller: Om (X,||^.||) är ett normerat lineärt rum sådant att varje absolutkonvergent serie är konvergent så är (X,||^.||) fullständigt och således ett Banachrum. För ett bevis av detta kan du t.ex. titta i "Real Analysis" av H.L. Royden.

Hans Öfverbeck

Svar:

Jag har tyvärr ingen personlig erfarenhet av ovan nämda bok, men jag vet att den numera används i kursen differentialgeometri här i Lund. Förkunskapskraven är då 40 poäng matematik, men på F-programmet har man nog gått igenom motsvarande under de första två åren, så jag tror att dina förkunskaper är tillräckliga.

Hans Öfverbeck

Svar:

Om mannen endast har tillgång till de 40 fimparna påstår jag att han inte kan röka 10 cigaretter. Till varje cigarett går det åt 5 fimpar och blir en fimp kvar, men när mannen röker den sista cigaretten så blir det ju en fimp kvar som han inte kan använda för att göra en ny cigarett. Han skulle alltså behöva åtminstone (5 - 1)*10 + 1 = 41 fimpar för att kunna röka 10 cigaretter. Om mannen däremot har en kompis som han kan låna en fimp av går problemet att lösa på följande sätt. Av de 40 fimparna får mannen 8 cigaretter, när han rökt dessa har han 8 fimpar. Av de 8 fimparna kan han ta fem och göra en ny cigarett, när han rökt upp denna har han 4 fimpar. Om han nu lånar en fimp av sin kompis kan han göra en ny cigarett, när han rökt upp denna ger han tillbaks fimpen till kompisen.

Hans Öfverbeck

Svar:

Jag är inte säker på att jag har förstått problemet rätt, men jag antar att det du vill ha exempel på är följande: En grupp med en delgrupp av ordning 6 vars vänstra biklasser (eng. coset) ger en partition av hela gruppen i 12 disjunkta mängder. Eftersom varje biklass har lika många element som undergruppen, och hela gruppen skall bestå av 12 sådana måste hela gruppen ha ordning 12*6=72. En grupp med de önskade egenskaperna är då Z/72Z med undergruppen 12Z/72Z.

Hans Öfverbeck

Svar:

Anledningen till att det har blivit lite förvirrat här är att ordet funktion inte preciserats tillräckligt noggrannt. I svaret till 28 april 1998 11.21.27 står ordet kontinuerlig inom parentes, om man dessutom kräver att funktionen har en kontinerlig invers så gäller det Jesper Thorén sade. För att se ett exempel på en bijektiv avbildning från R till R² så börja med att avbilda R på enhetskvadraten i R² enligt Peano. Att sedan hitta en bijektion från enhetskvadraten i R² till hela R² är inte så svårt.

Hans Öfverbeck

Svar:

Om jag förstått problemet rätt så bör figuren bli något sånt här: där problemet var att beräkna arean av triangeln BFE samt avståndet från E till sidan BF. För enkelhetens skull antar jag att kvadratens sida har längd 1. Trianglarna BFE och AED är likformiga, och om vi betecknar avståndet från E till sidan BF med h så är avståndet från E till sidan AD 1-h. Likformighet ger:
h/(1/2) = (1-h)/1
Vilket ger h = 1/3, och arean av BFE blir (1/3)·(1/2)·(1/2) = 1/12.

Hans Öfverbeck

Svar:

Om man ritar en figur bör den se ut ungefär så här: Pythagoras sats ger:

(MP)² + (AP)² = (AM)²
Om vi sätter in värdena och löser ut AP får vi AP = 15 cm, vilket ger AB = 30 cm precis som du säger. För att räkna ut arean av cirkelsegmentet som begränsas av kordan kan man räkna ut arean av cirkelsektorn som begränsas av MA och MB och subtrahera arean av triangeln AMB. Om vi antar att vinkeln AMP är 48^o så blir arean av cirkelsektorn:
[(2*48)/ 360]*PI*(AM)² = 339 cm²
Arean av triangeln blir:
(AP)(MP) = 201 cm²
Således är den sökta arean:
339 - 201 = 138 cm²

Hans Öfverbeck

Svar:

Det finns ingen allmän metod som alltid fungerar för att avgöra om en serie är konvergent eller divergent. Däremot finns en samling av användbara satser, med vilkas hjälp många av dessa frågor kan avgöras. De flesta böcker i inledande analys för universitetet innehåller många användbara satser, en sådan bok är "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand. För att lösa det givna problemet använder man lämpligen Cauchys integralkriterium:
Om funktionen f(x) är avtagande och positiv för x >= 1, så är serien sum^oo_k=1f(k) och integralen int^oo₁f(x)dx antingen båda konvergenta eller båda divergenta.
I det givna exemplet tar man lämpligen f(x) = 1/x^a.

Hans Öfverbeck

Svar:

För kvalificerade svar på dessa frågor bör du ställa dem till en statistiker.

Hans Öfverbeck

Svar:

Om man använder Eulers formler:
cos(x) = ( e^i*x + e^-i*x )/2
sin(x) = ( e^i*x - e^-i*x )/2
så får högerledet utseendet:
1/2+cos(x)+cos(2*x)+ ... + cos(n*x) = (1/2)*( e⁰ + e^i*x + e^-i*x + ... + e^i*n*x + e^-i*n*x =
= (1/2)*e^-i*n*x*( e⁰ + e^i*x + ... + e^i*2*n*x ) =
= (1/2)*e^-i*n*x*[ ( e^i*(2*n+1)*x - 1)/( e^i*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( e^i*(n+1)*x - e^-i*n*x )/( e^i*x - 1) ] =
= (1/2)*[ ( e^i*(n+1/2)*x - e^-i*(n+1/2)*x )/( e^i*(x/2) - e^-i*(x/2)) ] =
= (1/2)*[ sin((n + 1/2)*x)/sin(x/2) ]
där jag använde formeln för den geometriska summan i likheten mellan andra och tredje raden.

Hans Öfverbeck

Svar:

Jag tror nog att du har fel. Om vi använder definitionen i 2001 04 10 16:38:19 så är om jag förstått dig rätt, n = 3 och s = 1/3 då blir d = log(3)/log(3) = 1. Om du vill veta mer om liknande saker så kan du följa den här länken.

Hans Öfverbeck

Svar:

Lösningen på problemet: Om vi antar att A och B skulle spela tills någon vann finns det tre olika möjligheter:

1. A vinner den första omgången och har således vunnit hela spelet, sannolikheten för detta är 1/2.
2. B vinner den första omgången, A vinner den andra omgången, A har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4
4. B vinner den första omgången, B vinner den andra omgången, B har vunnit hela spelet, sannoliheten för detta är (1/2)*(1/2)=1/4

Hans Öfverbeck

Svar:

Antag vi har en sekvens av N tärningskast med en tärning med X sidor, detta kan ses som en avbildning f:{1, ... ,N} --> {1, ... ,X}. Alltså är antalet tärningkastsekvenser av längd N sådana att alla sidor kommer upp minst en gång lika med antalet surjektiva funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Om man antar att tärningen är rättvis så bör alltså den sökta sannolikheten vara antalet surjektiva funktioner enligt ovan delat med det totala antalet funktioner från en mängd med N element till en mängd med X element. Låt T( m , n ) vara antalet surjektiva funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element, det visar sig att detta antal är:
T( m , n ) = sumⁿ_k=0(-1)^k(n över (n-k))(n-k)^m
detta kan visas med principen om inklusion och exklusion, se t.ex. boken "A course in combinatorics" av van Lint och Wilson. Det totala antalet funktioner från en mängd med m element till en mängd med n element är n^m. Således blir den sökta sannolikheten:
P( X , N ) = T( N , X )/X^N = (1/X^N)sum^X_k=0(-1)^k(X över (X-k))(X-k)^N

Hans Öfverbeck

Svar:

Nej någon sådan formel finns såvitt jag vet ej. Angående att visa att en sådan formel finns tror jag att chansen att lyckas med detta är rätt liten.

Hans Öfverbeck

Svar:

Att U₁ = 2 följer av att båda orden 1 och 0 duger, och det är de enda orden av längd 1. För att se att U₂ = 3 är det bara att konstatera att det finns fyra ord av längd två av vilka endast ett (00) inte duger. Nu vidare till rekursionsformeln, låt S_n respektive T_n vara antalet ord av längd n utan på varandra följande nollor som slutar på 1 respektive 0. Då är U_n = S_n + T_n, om vi antar n > 2 så gäller:
U_n = 2*S_(n-1) + 1*T_(n-1)
Ty till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en etta kan vi antingen lägga till en etta eller on nolla på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor, och till varje ord av längd n-1 utan på varandra följande nollor som slutar på en nolla lägga till en etta på slutet och få ett ord av längd n utan på varandra följande nollor. Vidare kan varje ord utan på varandra följande nollor av längd n bildas på något av dessa sätt. Vi får:
U_n = 2*S_(n-1) + 1*T_(n-1) = U_(n-1) + S_(n-1)
Jag påstår vidare att S_(n-1) = U_(n-2), ty ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-1 som slutar på ett kan endast bildas genom att lägga till en etta sist i ett ord utan på varandra följande nollor av längd n-2. Alltså följer:
U_n = U_(n-1) + U_(n-2)

Hans Öfverbeck

Svar:

Informationen du har gett räcker inte för att ge en entydig lösning på problemet. 20% kan erhållas på många sätt, se t.ex. nedanstående veckoschema:

Exempel:	måndag	tisdag	onsdag	torsdag	fredag
A:	0	6	6	6	6
B:	4	6	4	6	4

Där värdet under varje veckodag betecknar antaler personer som dök upp. Både exempel A och B ger en uppdykningssannolikhet på 80%, men i exempel A är risken 80% att minst en person får stanna hemma, medan den i exempel B endast är 40%.

Hans Öfverbeck

Svar:

Nr: 1 Låt antalet kilo fläskfärs som behöver blandas i vara x. Värdet av hela blandningen är då 10*35 + x*20 kr = (350 + 20*x) kr. Vikten av hela blandningen är: 10 + x kg = (10 + x) kg Kravet att blandningen skall ha värdet 30 kr/kg blir då:
30 = (350 + 20*x)/(10 + x)
(10 + x)*30 = (350 + 20*x)
10*x = 50
x = 5
Således skall kocken blanda i 5 kg fläskfärs.

Nr: 2 a) Lådan innehåller 10 strumpor varav 4 är vita. När man tar upp en strumpa så är sannolikheten att den är vit 4/10 =2/5. Om man antar att man fick upp en vit strumpa första gången så finns det tre vita strumpor kvar i lådan av totalt 9 strumpor, således är sannolikheten att man får upp en vit strumpa 3/9 =1/3. Det följer att P(båda strumporna är vita) = (2/5)*(1/3) = 2/15

b) Sannolikheten att den första strumpan är vit är 2/5, sannolikheten att den andra strumpan är blå är då 6/9 = 2/3. Sannolikheten att den första strumpan är blå är 6/10 = 3/5, sannolikheten att den andra strumpan är vit är då 4/9. Således blir P( en strumpa är vit, den andra är blå) = (2/5)*(2/3) + (3/5)*(4/9) = 8/15

Hans Öfverbeck

Svar:

Det Wiles gjorde var att bevisa en förmodan som ibland kallades "Taniyama-Weil förmodan" och ibland "Taniyama-Shimura förmodan". Innan (1984) Wiles ens hade börjat försöka visa Fermats stora sats på allvar hade en matematiker vid namn Gerhard Fray visat att Fermats stora sats följer av ovan nämnda förmodan. Såvitt jag vet finns det inget radikalt annorlunda bevis för Fermats stora sats än det i vilket Wiles har visat en del. Angående försök att ta fram det "riktiga" beviset så har ju folk försökt mer eller mindre intensivt att hitta detta i över 350 år, men ingen har lyckats. Personligen tvivlar jag på att man någonsin kommer att upptäcka något elementärt bevis. För mer information om historierna kring Fermats stora sats kan jag rekommendera boken "Fermats gåta" av Simon Singh.

Hans Öfverbeck

Svar:

Se tex Favorite Mathematical Constants under Länkar på Fråga Lunds Huvudsida.

Joakim Petersson

Svar:

Ja. Om man vet att varje reellt tal kan identifieras med sin decimalbråksutveckling (där 0.99999... skall skrivas 1.000... etc) är det lätt att mellan två reella tal skjuta in tex ett avslutat decimalbråk, som tex 1.1234 mellan 1.1233456... och 1.1234205...

Joakim Petersson

Svar:

Antag först att f är definierad för alla reella x och att sambandet gäller närhelst x<>y. Då är f(x)+f(0)=f(1) för alla x<>0. x=1 insatt här ger att f(0)=0. f(1)+f(2)=f(3) ger slutligen att f(x)=0 för alla x. Antag istället att f är kontinuerlig i ett intervall (a,b) och uppfyller ekvationen då x,y tillhör (a,b), x<>y. Genom att välja x nära y ser vi att f måste vara definierad och uppfylla f(-x)=f(x) för |x|>R för något R. Kontinuiteten medför att A=gränsvärdet av f(x) då |x|->oo existerar och 2f(x)=A för alla x i (a,b). Om (x+y)/(x-y) tillhör (a,b) för något val av x,y i (a,b) följer genast att f=0 i (a,b) (och i |x|>R). Men om tex (a,b)=(0,1) är f(x)=c i (0,1), f(x)=2c i |x|>1 en lösning till ekvationen. Jag avstår från att analysera alla eventuella diskontinuerliga lösningar.

Joakim Petersson

Svar:

Jag tänkte bara beröra sannolikheten för en viss pokerhand, inte sannolikheten för att den skall vara den bästa möjliga, eftersom man i det här spelet tex kan få två par och fem kort i samma färg på samma gång. Låt p = sannolikheten att spelare A kan få ihop en färg på fem kort (under dina förutsättningar). Tre fall: 1) de fem öppna i annan färg än de båda dolda; 2) fyra av de fem öppna i samma färg som ett av de båda dolda; 3) alla fem av de öppna i samma färg som ett av de dolda. Sannolikheter: 1) 2*bin(13,5)/bin(50,5) (50 okända kort, 2 färgval, 13 kort att välja bland); 2) 2*bin(12,4)*38/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan, det femte kortet kan väljas på 52-14 sätt) 3) 2*bin(12,5)/bin(50,5) (2 färgval, 12 kort att välja mellan). Lägger vi ihop dessa så får vi p = 0.0197 (ungefärligt värde). Du skriver att du inte är osäker på de tekniska detaljerna, så jag föreslår att du delar upp i olika fall på liknande sätt för att räkna ut sannolikheten att spelare A kan få ihop två par (men ingen triss).

Joakim Petersson

Svar:

Man brukar ofta i rummen Rⁿ och Cⁿ definiera kompakta mängder som de mängder som är slutna och begränsade. Denna definition överensstämmer då med den allmänna topologiska definitionen: en mängd K i ett topologiskt rum säges vara kompakt om varje öppen övertäckning av K har ändlig delövertäckning, dvs om K är innehållen i en union av öppna mängder så är K även innehållen i unionen av ändligt många av dessa öppna mängder. Om Rⁿ eller Cⁿ täcks med öppna klot med radie 1 och centrum i heltalspunkterna så finns ingen ändlig delövertäckning, och det beror på att Rⁿ och Cⁿ inte är begränsade. Kompakta mängder spelar en stor roll i matematiken. Tex kan nämnas att en kontinuerlig reell funktion på en kompakt mängd är begränsad.

Joakim Petersson

Svar:

Man har tydligen i något sammanhang kunnat beskriva hur våghöjden varierar statistiskt med hjälp av den så kallade Rayleighfördelningen, som har precis den täthetsfunktion fH(x) som du nämner. Detta betyder att sannolikheten för värden mellan två gränser a och b ges av arean under grafen till funktionen fH(x) mellan a och b. Den totala arean över alla x>0 är 1. Med hjälp av ditt stickprov kan man skatta det exakta värdet av a. Ett sätt är maximum-likelihood-metoden (ML-metoden). Man bildar då L(a) = produkten av täthetsfunktionens värden för de mätvärden man har i stickprovet. ML-skattningen a* av a väljs som det a som maximerar L(a), och den brukar vara en "bra" skattning. I vårt fall är a* = 1/(2N)*sum_n=1^N x_n² (övning för den intresserade) och med ditt stickprov a* = 2.42.

Joakim Petersson

Svar:

Det är naturligtvis så att för varje plats kan man bara nå (högst) två andra kanaler med hjälp av upp/ner-knapparna, så det man vill uppnå är att varje kanalbyte i->j kan ske på så vis någon gång. Intressant eller inte i TV-soffan så har vi i alla fall ett matematiskt problem. Exemplen 12, 1231 och 12341342 antyder att 2^n-1 skulle kunna vara det sökta antalet. (Att det sista exemplet är minimalt följer av att varje siffra måste förekomma minst 2 gånger.) Men 2^n-1 är bara en uppskattning uppåt. Detta inses på följande sätt: gäller exakt för n=2,3,4; skriv upp den kortaste följden för n-1 kanaler och fortsätt följden med en likadan följd som börjar med den n:te kanalen och innehåller de andra utom den som avslutade den första följden; med induktion följer att a_n<=2^n-1. För n=5 finns dock följande exempel av längd 11 (finns kortare?) 31432451253.

Joakim Petersson

Svar:

Vi kan anta att a>0 och sätta c = ln a och x=1/b. Med f(x)=(e^-cx-1)/x skall vi avgöra var -2<f(x)<0. Om c<=0 så är f(x)>=0 (klart för negativa x och e^y>=1+y för alla y). Alltså måste c>0, dvs a>1. Genom att studera derivatan ser vi att f är växande för alla x, f(0)=-c, och det är lätt att se att det finns precis ett x_c<0 med f(x_c)=-2. Olikheterna är alltså uppfyllda för x>x_c, dvs för b<1/x_c och b>0. Vi får på så vis de tillåtna värdena på a och b.

Joakim Petersson

Svar:

Genom att räkna ut arean av poolens profil och sedan multiplicera med bredden. Arean kan räknas ut som ett antal rektangel- och triangelareor. Det gäller ju också att använda samma enheter och att tänka på att 1 liter=1 dm³, 1000 liter=1 m³, som du vet. Jag hoppas dessa instruktioner räcker.

Joakim Petersson

Svar:

Ett förslag (kanske inte vad du söker) är att titta här.

Joakim Petersson

Svar:

1) Sant för n=1. Produktregeln och induktionsantagandet ger att Dx*x^n-1=x^n-1+(n-1)x*x^n-2=nx^n-1. Detta visar påståendet för alla n=1,2,... 2) n^-4<Int_n-1ⁿ x^-4 dx, varav s(n)<1+Int₁ⁿ x^-4 dx = 1+1/3*(1-n^-3)<4/3, vilket både visar konvergensen och ger ett närmevärde (det finns mycket bättre sätt att beräkna närmevärden här, tex de som användes av Euler). 3) Buffons nollproblem skall vara samme naturforskares nålproblem. Nollan är helt oskyldig här. Låt X vara avståndet från stickans (nålens) mittpunkt till närmsta skarv och Y vinkeln som stickan bildar med denna skarv. Att stickan träffar en skarv kan uttryckas som att X<d/2*sinY (man bör rita figur). Vi gör nu antagandet (rimligt?) att X och Y är oberoende stokastiska variabler som är likformigt fördelade i intervallen (0,a/2) resp (0,Pi). Detta innebär att den sökta sannolikheten är P=2/(Pi*a)*Int₀^Pi[ Int₀^d/2*siny dx ] dy = d/(Pi*a)*Int₀^Pi siny dy = 2d/(Pi*a).

Joakim Petersson

Svar:

Pyramidens volym är Bh/3, där B är basen och h är höjden. Om man hugger av en topp av pyramiden så blir pga likformighet V₁/V=(h₁/h)³=(B₁/B)^3/2. Den stympade pyramidens volym V₂=V-V₁ kan då uttryckas (använd att h₁/(h₁+h₂)=sqrt(B₁/B)) som V₂=h₂/3*(B+sqrt(BB₁)+B₁). Formeln gäller för övrigt för varje stympad allmän kon.

Joakim Petersson

Svar:

Det som behövs är formlerna för derivatan av en produkt, en sammansatt funktion, e^x och x^a, alltså reglerna (fg)'=f'g+fg', (f¤g)'=(f'¤g)g', (e^x)'=e^x, (x^a)'=ax^a-1, a<>0. Det följer att (258/x⁸*e^-39/(2x))' = 258[-8/x⁹+1/x⁸*39/(2x²)]e^-39/(2x). Roligt att kunna hjälpa till.

Joakim Petersson

Svar:

I det första fallet får du integrera partiellt två gånger för att "derivera ner" faktorn x² och i det andra fallet använder du att f (observera faktorn x) är derivatan av en sammansatt funktion.

Joakim Petersson

Svar:

Du vill "lösa" rekursionsekvationen a(n)=2a(n-1)+1, som kommer från "tornen i Hanoi". Lyckligtvis är den här ekvationen av en typ som går att lösa mer explicit. Det finns en mycket enkel lösning, nämligen a(n)=-1. Med a(n)=-1+b(n) övergår ekvationen i b(n)=2b(n-1). Den allmänna lösningen till denna ekvation är b(n)=C*2ⁿ, där konstanten C bestäms av startvärdet (eller allmänt av värdet för något n). I "tornen i Hanoi" är a(1)=1 och därför kan lösningen skrivas a(n)=2ⁿ-1.
När det gäller tredjegradsekvationer så kan du gå till 18 mars 1997 02.44.41 eller söka bland gamla frågor och svar eller länkar på vår hemsida.

Joakim Petersson

Svar:

Med Zp* menas de inverterbara elementen bland heltalen modulo p, p ett primtal. Tex är 10=3 inverterbart modulo 7 eftersom 3*5=1 (mod 7). Det är så att alla elementen 1,2,..,p-1 är inverterbara modulo p och att a^p=1 (mod p) för dessa element. Ordningen av a i Zp* är minsta positiva heltalsroten till ekvationen a^r=1 (mod p). Det gäller att r delar p-1. För att svara på din andra fråga tittar vi tillbaka på din tidigare fråga. För att periodlängden av 1/N, där N och 10 saknar gemensamma delare, skall vara n, så måste N dela 10ⁿ-1. Då n=7 är 10⁷-1=3²*239*4649. Vi vet att för varje p som delar N är 10ⁿ=1 och 10^p-1=1 (mod p). Om n är ett primtal (men inte annars) kan vi dra slutsatsen att n delar p-1. Faktoriseringen visar att då n=7 är N=239 den minsta möjligheten och 1/239=0.00418410041841... duger. Då n=9 (ej primtal) måste fortfarande N dela 10⁹-1=3⁴*37*333667. Vi vet dessutom att n och p-1 måste ha någon gemensam delare om p>3. Prövning visar att N=81 är den minsta möjligheten (1/81=0.012345679012345679...).

Joakim Petersson

Svar:

Det är svårt att säga om man inte vet någonting om sammanhanget, men en möjlighet är att det betyder skalärprodukten av a och b.

Joakim Petersson

Svar:

z skall ligga i den slutna cirkelskivan med radie 1 och centrum i -1. Avståndet till -i blir då minst då z är punkten på cirkeln som skär linjen mellan -1 och -i (rita figur). Detta minsta värde är sqrt(2)-1.

Joakim Petersson

Svar:

Vi får önska dig lycka till när det gäller dina framtida studier. Du verkar ha ett stort intresse för matematik, vilket förstås är viktigt om man vill satsa på det. Jag tror ändå att det är för tidigt för dig att tänka så långt framåt. Efter några terminer med universitetsstudier kommer du att ha ett bättre perspektiv, det är nog bäst att vara öppen för flera möjligheter när man börjar studera. Tycker du att det är roligt så är det bara att jobba på, det finns massor av saker att göra (och upptäcka).

Joakim Petersson

Svar:

Länkarna vidarebefordras härmed.

Joakim Petersson

Svar:

Jag föreslår att du själv söker på Internet. Matriser hör till lineär algebra. Lämpliga ordkombinationer att söka efter är t ex matrix+applications, applications+of+matrices och applications+of+linear+algebra.

Kjell Elfström

Svar:

Om talet a har en n-periodisk decimalutveckling så har 10ⁿa - a = (10ⁿ - 1)a en ändlig decimalutveckling. Detta ger att 10^m(10ⁿ - 1)a är ett heltal för något icke-negativt heltal m. Om a = 1/N innebär detta att N delar 10^m(10ⁿ - 1). Om N inte är delbart med 2 eller 5 så måste N dela 10ⁿ - 1. För varje primtal p i faktoriseringen av N gäller då att p delar 10ⁿ - 1. Om nu n är ett primtal, t ex 7, så måste n vara ordningen av elementet 10 i Z_p^* som har p - 1 element, varför n delar p - 1. Vi får alltså att om N och 10 är relativt prima och periodlängden av 1/N är 7 så måste 7 dela p - 1 för alla primtal p som delar N. De första åtta värdena på N som kan komma i fråga är alltså 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211 och 239.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner tyvärr inte till denna formelsamling och har rätt liten kännedom om formelsamlingar över huvud taget.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns ingen entydig lösning på detta problem om man inte lägger till något ytterligare villkor. För varje val större än 3 cm av hypotenusans längd kan man bilda en figur med angivna mått.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är en så kallad diofantisk ekvation. Man finner en lösning med hjälp av Euklides algoritm och kan därefter sluta sig till hur samtliga lösningar ser ut. Hur detta går till står i många elementära läroböcker i algebra, t ex Vretblad: Algebra och geometri. I detta fallet ser man att samtliga koefficienter är delbara med 3 och efter division med 3 övergår ekvationen i

och man ser genast att x = y = 32 är en lösning. Om nu x,y är en godtycklig heltalslösning så är

Detta innebär att 41 delar vänsterledet och eftersom den största gemensamma delaren till 40 och 41 är 1 så måste 41 dela x - 32, vilket betyder att x = 32 + 41n för något heltal n. Insättning ger sedan att y = 32 + 40n. Du kan själv ta reda på för vilka värden på n som det tredje villkoret är uppfyllt.

Kjell Elfström

Svar:

Om vi definierar Fibonaccis talföljd genom a₀ = a₁ = 1 och a_n + 2 = a_n + 1 + a_n och sätter b_n = a_n + 1/a_n så gäller att b₀ = 1 och

Sätt c_n = b_2n och d_n = b_2n + 1. Då gäller att

där g(x) = f(f(x)). Då x > 0 är g växande och den enda positiva roten till ekvationen g(x) = x är (1 + 5^1/2)/2. Vi kan nu enkelt visa att c_n är växande och uppåt begränsad av (1 + 5^1/2)/2 med induktion. Vi har att c₀ = 1 <= (1 + 5^1/2)/2 och om c_n <= (1 + 5^1/2)/2 följer det av att g är växande att

Vi har också c₁ = 3/2 >= c₀ och om c_n + 1 >= c_n följer det också av att g är växande att

Detta visar att c_n har ett gränsvärde och den enda möjligheten är att c_n går mot (1 + 5^1/2)/2 då n --> oo. På samma sätt visar man att d_n är avtagande och nedåt begränsad och att d_n har samma gränsvärde varav det följer att b_n också konvergerar mot det gyllene snittet.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är Buffons nålproblem. När nålen fallit utgör den diameter i en cirkel. Antag att cirkelns medelpunkt är på avståndet x från den närmaste linjen. Låt p(x) vara sannolikheten att nålen korsar linjen. Om x > b/2 så är p(x) = 0. Annars finns det två cirkelsektorer sådana att om nålens spets hamnar i någon av dessa så korsar nålen linjen. Vi låter v vara halva vinkeln av en sådan sektor. Då är cos v = 2x/b varför 4v = 4arccos(2x/b). Vi får att

Delar vi in intervallet [0,a/2] i n lika delar med delningspunkterna x_k, k = 0,1,2,...,n, så kan vi approximera den sökta sannolikheten med summan av sannolikheterna

Låter vi n gå mot oo får vi den sökta sannolikheten

Kjell Elfström

Svar:

Jag fann en sida med referenser, Bibliography, där du kan finna böcker och tidskrifter som handlar om konstruktiv matematik.

Kjell Elfström

Svar:

Det kan man inte. Det gäller att det(A) = 0 om och endast om Ax = 0 har en icke-trivial lösning. Detta bevisas i varje lärobok i lineär algebra, t ex Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur 2000.

Kjell Elfström

Svar:

Utveckla vänsterledet.

Kjell Elfström

Svar:

En singulär punkt är en punkt på en kurva där kurvan uppträder oregelbundet. För en algebraisk kurva f(x,y) = 0 är det en punkt där dy/dx är obestämd. Exempel på singulariteter är dubbelpunkter (där kurvan skär sig själv), spetsar och isolerade punkter. Om en funktion f av en komplex variabel är analytisk i en punkterad omgivning av en punkt a kallas a en singularär punkt om man inte kan definiera funktionen i a så den blir ananlytisk i en omgivning av a. Om (z - a)^mf(z) är analytisk för något positivt heltal m kallas a en pol, i annat fall en väsentlig singularitet.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten är oberoende av antalet deltagare. Det finns (⁵²₅) möjliga utfall. Eftersom det finns 13 olika valörer och det femte kortet kan väljas på 48 sätt så finns det 13·48 gynnsamma utfall. Sannolikheten är kvoten som är

Kjell Elfström

Svar:

Med planet avses oftast R². I vilket fall som helst så är vektorrum med denna beteckning tvådimensionella.

Kjell Elfström

Svar:

Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Det enda jag kan föreslå är att du repeterar gymnasieboken.

Kjell Elfström

Svar:

Det är en konstant (eller flera) som har att göra med fraktaler. Se Feigenbaum Constants.

Kjell Elfström

Svar:

Om t = 2^x så är t² = (2^x)² = 2^2x. Resten kan du läsa i 11 april 2001 09.02.16.

Kjell Elfström

Svar:

Söker man efter Probability problems finner man några sidor med sannolikhetsproblem, t ex Probability problems och Problem Set 1.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte säker på hur parenteserna skall sitta men antar man att ekvationen skall vara

så kan vänsterledet skrivas som 2^t, där t = 2x² + 2x och lösningen ges av

Denna andragradsekvation klarar du att lösa.

Antar man i stället att ekvationen är

kan man sätta t = 2^x varvid ekvationen övergår i

Eftersom 2^x = -4 saknar lösning ges den enda lösningen av 2^x = 3 <==> x = (ln 3)/(ln 2).

Kjell Elfström

Svar:

Bortsett från miljard och de mer exotiska googol och googolplex tror jag inte att 1000000ⁿ har något särskilt namn om n >= 1 inte är ett heltal. Man kunde kanske tro att 1000 biljoner och 1000 triljoner heter biljard och triljard men så är inte fallet.

Kjell Elfström

Svar:

Uttrycket metrisk mil används sällan, kanske på grund av att en mil numera för de flesta är 10000 meter snarare än 36000 fot. I Sverige används endast metriska ton om 1000 kg så jag tycker nog att Anna och läraren har rätt. Den gamla svenska motsvarigheten (åtminstone i etymologiskt avseende) är för övrigt tunna som är ett rymdmått.

Kjell Elfström

Svar:

Den fraktala dimensionen, eller Hausdorffdimensionen, behöver inte vara ett heltal. För en mängd som kan delas upp i n kopior av sig själv i skalan s är den det tal d som uppfyller n = 1/s^d. Ett linjestycke kan delas upp i 2 delar i skalan 1/2. Linjestyckets dimension är 1. En kvadrat delas upp i 4 delar i skalan 1/2. Dimensionen är 2. Sierpinskis triangel delas upp i 3 delar i skalan 1/2 och 3 = 2^d <==> d = (log 3)/(log 2) = 1,6.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att vid kast med ett (skevt) mynt sannolikheten för att få krona är p. Då är sannolikheten att få klave q = 1 - p. Kastar man myntet n gånger i följd och frågar efter sannolikheten att få krona i k förutbestämda kast och klave i resten blir svaret p^kq^n - k. Sannolikheten att få krona i precis k kast, vilka som helst, blir (ⁿ_k)p^kq^n - k eftersom de k kasten i vilka man får krona kan väljas på (ⁿ_k) olika sätt. Är p = 1/3, n = 9 och k = 4 blir sannolikheten

Kjell Elfström

Svar:

Bestäm funktionens minsta värde genom att teckenundersöka derivatan. Det minsta värdet är 1/5 - 1/(2e) > 0.

Kjell Elfström

Svar:

Derivatan av (1 - x²)e^-2x är

Eftersom e^-2x > 0 är derivatan noll om och endast om x² - x - 1 = 0 och att lösa denna ekvation klarar du själv.

Kjell Elfström

Svar:

Gödels bevis går ut på att man tilldelar varje matematiskt påstående och varje härledning ett tal. Man kan sedan uttrycka att härledning nummer h är en härledning av påstående nummer p som ett matematiskt påstående. Man kan konstruera numreringen så att för ett visst tal G, det matematiska påståendet nummer G kommer att betyda att "påståendet med nummer G kan inte bevisas". Påståendet säger alltså "jag kan inte bevisas". Om nu påstående G kan bevisas så är det falskt. Att påståendets negation kan bevisas medför att påståendet självt kan bevisas. Om påståendet eller dess negation kan bevisas innehåller alltså matematiken motsägelser och det är det Gödels sats säger. Om matematiken är motsägelsefri så finns påståenden som varken kan bevisas eller motbevisas.

Kjell Elfström

Svar:

Den grekiske filosofen, som med sin paradox sökte bevisa att rörelse var omöjlig, hette Zenon. Förklaringen är väl snarare att bådas rörelser kan beskrivas med konvergenta serier. Låt t₀ vara tiden då loppet startar, t₁ tiden då Akilles når sköldpaddans startposition, t₂ tiden då Akilles når nästa position osv. Om sköldpaddans försprång är d och förhållandet mellan sköldpaddans och Akilles hastigheter är k så har Akilles vid tidpunkten t_n sprungit

och sköldpaddan

Den förra serien konvergerar mot d·1/(1 - k) och den senare mot dk·1/(1 - k). Eftersom skillnaden mellan den förra och den senare summan är d kommer Akilles att komma ifatt sköldpaddan. Genom att välja tidpunkterna enligt någon annan princip skulle man kunna få divergerande serier men Akilles skulle ändå komma ifatt sköldpaddan.

Kjell Elfström

Svar:

Man måste inte använda induktionsantagandet men om man inte behöver det finns det ingen anledning att göra ett induktionsbevis. Då har man ju ett bevis som bevisar påståendet för alla n på en gång. Man får förutom induktionsantagandet använda alla kända bevisade satser.

Kjell Elfström

Svar:

Vissa femtegradsekvationer kan man lösa med rotutdragningar. Ett exempel är x⁵ = 2 som har den reella lösningen x = 2^1/5. Man kan även uttrycka de fyra icke-reella lösningarna med hjälp av rotutdragningar. Ett tal kan erhållas från en uppsättning tal med rotutdragningar om det är möjligt att med de fyra räknesätten och rotutdragningar bygga upp det förra talet från de senare. En av de icke-reella lösningarna till ekvationen ovan är

som erhållits från de rationella talen med rotutdragningar (kvadratrötter och femterötter). T ex kan man med Galoisteori visa att lösningarna till ekvationen x⁵ - 6x + 3 = 0 inte kan erhållas från de rationella talen med rotutdragningar. Lösningarna till en femtegradsekvation kan dock erhållas som så kallade elliptiska funktioner. Dessutom kan naturligtvis alla algebraiska ekvationer lösas numeriskt, t ex med Newton-Raphsons metod. Detta är det normala förfaringssättet även vid ekvationer av tredje och fjärde graden eftersom de formler som anger lösningarna till dessa som successiva rotutdragningar är alltför komplicerade.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är en fysikfråga. Fråga vetenskapen om fysik.

Kjell Elfström

Svar:

Jag kallar av typografiska skäl medelvärdet för m och väntevärdet för my. Centrala gränsvärdessatsen säger att

Du kanske önskar att bestämma n så att

Du kan då bestämma x så att

och sedan lösa ut n ur ekvationen x sigma/n^1/2 = y. Eftersom

kan du beräkna x som den inversa normalfördelningen av p/2 + 1/2.

Kjell Elfström

Svar: Att G är primitiv funktion till g betyder att G är deriverbar och har derivatan g. Det finns en viktig sats i analysen som säger att alla deriverbara funktioner är kontinuerliga. Alltså måste varje primitiv funktion var kontinuerlig. Eftersom satsen om mellanliggande värden gäller för alla kontinuerliga funktioner gäller den för alla primitiva funktioner.

Anna Torstensson

Svar: Du har gissat rätt. "Radikant" betyder det uttryck som står under rottecknet. Jag har aldrig hört någon svensk motsvarighet till detta men jag föreslår "radikand".

Anna Torstensson

Svar: Låt oss kalla punkten (det komplexa talet) som vi skall undersöka c och antag att |c|>2. Då är e=|c|-2 ett positivt tal. För att visa att c inte ligger i Mandelbrotmängden måste vi visa att talföljden x₀, x₁, x₂, ... där x₀=0, x_n+1=x_n²+c är divergent. Vi skall visa med induktion att |x_n+2| >= |c|(1+e)^{2^n}. Då e är positivt följer det att |x_n| går mot oändligheten då n går mot oändligheten, dvs att följden divergerar. Nu till induktionsbeviset. Påståendet är sant för n=0 eftersom |x₂|=|c²+c|>=|c|(|c|-1)=|c|(1+e). Antag att |x_n+2| >= |c|(1+e)^{2^n}. Då blir |x_n+3|=|x_n+2²+c| >=|x_n+2|²-|c|>=2|c|(1+e)^{2^(n+1)}-|c|=|c|(2(1+e)^{2^(n+1)}-1)>=|c|(1+e)^{2^(n+1)}, vilket var precis vad vi ville visa. I andra steget har vi använt triangelolikheten, i tredje steget att |x_n+2| >=2, vilket är en direkt konsekvens av induktionsantagandet, samt induktionsantagandet självt. Att sista olikheten är sann beror på att 2a-1>=a då a >=1 där a i vårt fall är  (1+e)^{2^(n+1)}

Anna Torstensson

Svar: Se frågan från  17 mars 1997 11.30.49  eller använd sökfunktionen på vår frågesida med sökfras "Andrew Wiles".

Anna Torstensson

Svar: Nästa namngivna tal efter trillion (10¹⁸) är quadrillion (10²⁴). Se även svaret från 21 mars 1999 16.54.48 .

Anna Torstensson

Svar: Kvadratroten av ett tal, a, är det tal som ger a om man kvadrerar det. Vi söker alltså ett tal b med b*b=a. Om b är ett heltal kan man finna det genom att pröva sig fram, dvs testa olika värden på b och kontrollera om b² blir större än, mindre än eller lika med a. Om b² blir större än a prövar man med ett mindre b och om b² blir mindre prövar man med ett större b. Om a inte är kvadraten på ett heltal är det inte säkert att man kan finna en exakt lösning, men det finns metoder som ger bättre och bättre approximationer ju fler gånger man genomför dem. Se svaret från  29 januari 2001 22.06.21 för en närmare beskrivning.

Anna Torstensson

Svar: Du har förstått innebörden av orden definition och sats rätt, men att x⁰=1 är ändå en definition. Man måste först definiera x⁰, dvs bestämma vad symbolen x⁰  betyder. Sedan kan man visa satser av typen xⁿ/x^m=x^n-m. Om vi inte först bestämmer vad x⁰ betyder blir satsen meningslös då n eller m är noll. Däremot har man valt att definiera x⁰ som ett för att satsen du nämner skall gälla även då n eller m är noll. Det är inte lika lätt att bestämma sig för hur 0⁰ skall definieras, men som du nämner väljer man ofta att definiera det som ett just på grund av att x^x går mot ett då x går mot noll. Detta ses på följande sätt x^x =e^xlnx. Eftersom xlnx=x²(lnx/x) -> 0*0=0 då x->0 ger satsen för gränsvärde av sammansatt funktion att x^x -> 1 då x -> 0. Att lnx/x->0 då x->0 är ett standardgränsvärde och bevisas i alla grundläggande läroböcker i analys på högskolenivå. Se t ex "Envariabelanalys" av Hellström, Morander och Tengstrand.   

Anna Torstensson

Svar: Din lärare har rätt. Ett  ton är exakt 1000 kg eller 1 000 000 gram.

Anna Torstensson

Svar: Sambandet gäller inte vilket man ser om man väljer t ex a=1. Då kan man förkorta med log_k(x) på båda sidor vilket efter multiplikation med (1+log_k(x)) på båda sidor, ger (det orimliga) resultatet log_k(x)=0. Sambandet mellan logaritmer i olika baser är log_bx=log_ba log_ax vilket inses på följande sätt. Låt y=log_ax. Då är (enligt definitionen av logaritm) x=a^y. Tag nu b-logaritmen av båda sidor. Det ger log_bx=log_b(ay)=ylog_ba=log_ax log_ba. Om vi använder detta samband med b=ak och a=k får vi log_akx=log_kx log_akk.

Anna Torstensson

Svar: Du menar nog en likbent triangel, dvs en triangel där två sidor är lika långa. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa och då är arean bestämd givet sidornas längd. För att lösa problemet med den likbenta triangeln kan vi beteckna basens längd med b. Arean av en triangel fås som bh/2, där h är höjden. Vi måste först beräkna höjden. Om vi markerar höjden i triangeln får vi en rätvinklig triangel med kateter av längderna b/2 och h och hypotenusa av längden 1. Pythagoras sats ger då att 1²=(b/2)²+h², så vi kan lösa ut höjden som h=sqrt(1-b²/4). Arean som funktion av bredden blir då A(b)=bsqrt(1-b²/4)/2 där b varierar mellan 0 och 2. Maximum för A(b) måste då existera och antas antingen i en punkt där A'(b)=0 eller i någon av ändpunkterna b=0 och b=2. De sistnämnda ger arean noll så de kan ej ge maxmum. Alltså måste vi söka nollställen till derivatan. Derivation ger

Anna Torstensson

Svar: Jag antar att vad du vill visa är att man får den största gemensamma delaren för två tal som den sista icke-försvinnande resten om man utför Euklides algoritm på de två talen. Jag hade försökt förklara det på följande sätt:

1) Visa några exempel. Först något mycket enkelt i stil med att beräkna SGD(35,15) genom 35=2*15+5, 15=3*5. Tag sedan något exempel med större tal där SGD inte genast kan fås fram genom att faktorisera de ingående talen. SGD(12259,3887) ger få iterationer trots att talen vi utgår ifrån är stora. När du förstått hur algoritmen fungerar kan du säkert konstruera andra bra exempel själv.

2) Skriv sedan upp algoritmen för att beräkna SGD(a,b) där a och b är okända. För att underlätta förståelsen kan du först anta att det bara behövs t ex tre iterationer.

Att r₂ delar a och b ses på följande sätt: Sista raden i algoritmen visar att r₂ | r₁. Sedan ger mellanraden att r₂|q₂r₁+r₂=b och slutligen översta raden att r₂ |q₁b+r₁=a.

Antag nu att e|a och e|b. Då följer att e|a-q₁b=r₁ och sedan att e|b-q₂r₁=r₂. Sista raden ger nu att e|r₂.

Detta visar att SGD(a,b)=r₂.

3) Observera att precis samma resonemang fungerar även om vi har utfört fler än tre divisioner i Euklides algoritm samt att algoritmen alltid stannar, dvs att divisionen alltid går jämnt ut efter ett ändligt antal steg. Detta beror på att r₁>r₂>r₃... så resterna är en avtagande svit av positiva tal och måste därför nå noll efter ett ändligt antal steg.

Detta är förstås bara ett förslag på hur man kan lägga upp det hela. Om du vill ha mer bakgrundsinformation och fler exempel finns en relativt lättläst framställning av Euklides algoritm i Anders Vretblads bok "Algebra och kombinatorik".

Anna Torstensson

Svar: Om vi placerar ellipsen i ett koordinatsystem så att brännpunkterna får koordinaterna (-c,0) och (c,0) kan man visa att ellipsen ekvation blir x²/a²+y²/b²=1, där b=sqrt(a²-c²). För ett bevis av detta se svaret från 15 november 1998 14.06.40 . Genom att sätta x=0 i ekvationen får vi att lillaxeln har ändpunkterna (0,b) och (0,-b). Rombens sida är alltså lika med avståndet mellan punkterna (c,0) och (0,b) vilket, enligt Pythagoras sats, blir sqrt(b²+c²). Från sambandet b=sqrt(a²-c²) följer det att avståndet är a. Jag vet tyvärr inte vad du menar med konjugataxel och parameter, så om jag skall kunna besvara din andra fråga får du förklara det.

Anna Torstensson

Svar: Byte till rymdpolära koordinater är inte så lämpligt här eftersom interationsområdet blir svårt att beskriva i de nya variablerna. Jag föreslår istället att du först integrerar med avseende på z och därefter beräknar den återstående integralen genom att införa planpolära koordinater i xy-planet.

Anna Torstensson

Svar: En linje som delar en vinkel i två lika stora delar.

Anna Torstensson

Svar: Erno Rubik som uppfanns Rubiks kub kommer från Ungern. Mer om honom och kuben kan du läsa på  Brief History of the Cube .

Anna Torstensson

Svar: You can find some basic information on thresholding at the web page  Thresholding.

Anna Torstensson

Svar: Ekvationer för en talföljd a₀, a₁, a₂, ... som är av typen a_n=F(a_n-1, a_n-2, .. ,a_n-k) för något fixt k kallas mycket riktigt rekursionsekvationer. (I ditt exempel är k=1 och F(a_n-1)=a_n-1+1.) Det finns ett antal olika lösningsmetoder för sådana ekvationer och det skulle ta alltför mycket plats (och innebära alltför mycket jobb för mig :) ) att beskriva dem här. Jag får rekommendera en kurs i diskret matematik eller konkret matematik på närmaste högskola eller boken "Concrete Mathematics" av Graham, Knuth och Patashnik. Där står mycket både om genererande funktioner och andra metoder för att lösa rekursionsekvationer.

Anna Torstensson

Svar: Ja, det är därför man inför koordinataxlar i planet. R² definieras som alla par av reella tal, dvs alla (a,b) där a och b är reella. När man i planet bestämt sig för en utgångspunkt (som man kallar origo) och två koordinataxlar (dvs två riktade sträckor r₁ och r₂ med olika riktning) kan man tänka på (a,b) som den punkt i planet man hamnar på om man utgår från origo, går sträckan (längden av  r₁  )*a längs  r₁  och sedan (längden av r₂)*b längs r₂.

Anna Torstensson

Svar: Oftast menar man med rummet det tredimensionella rummet, dvs R³. Ibland, när det framgår av sammanhanget hur många dimensioner man talar om, använder man ordet rummet även för Rⁿ där n <>3.

Anna Torstensson

Svar: Det finns ett flertal kända bevis för Pythagoras sats så jag vet inte vilket av dem din lärare menar. Mer information får du om du läser en tidigare fråga från  5 mars 2001 12.36.08 .

Anna Torstensson

Svar: Om största gemensamma delaren till 624 och 117 ej delar högerledet saknar ekvationen heltalslösningar. I så fall skulle SGD(624,117) dela vänsterledet men ej högerledet vilket är omöjligt. Om däremot SGD(624,117)=39 delar högerledet, d.v.s. n=39m för något heltal m, så kan man alltid hitta (oändligt många) heltalslösningar med hjälp av t.ex. Euklides algoritm.

Jonas Månsson

Svar: Då 0 K är ca -273,15 C  (absoluta nollpunkten), följer att 120 K = -273,15+120 = -153,15 C, då enheterna celciusgrad och kelvingrad är lika stora.

Jonas Månsson

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström