Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar mars 2001

Svar: En linje som delar en vinkel mitt itu.

Jonas Månsson

Svar: Med y är proportionell mot x menas att y=kx för någon konstant k, och motsvarande graf passerar därför origo. Definitionsmässigt är således y=kx+m (m nollskilt) ej en proportionalitet.

Jonas Månsson

Svar:
a) log(k) ax = log(k) e^{(ln ax)} = (log(k) e)*(ln ax).  Vi vet att D ln x = 1/x, så D log(k) ax = D (log(k) e)*(ln ax) = (log(k) e)*a/ax = (log(k) e)*1/x.
(inre derivata a). På samma sätt D log(k) x=D (log(k) e)*(ln x) = (log(k) e)*1/x.
b) Gör omskrivningen log(k) a/x = log(k) ax^-1 =-log(k) ax, och upprepa beviset i a)

Jonas Månsson

Svar: Med hjälp av logaritmlagarna följer

            log(3) 2 -(1/2)*log(3) 36 = log(3) 2 - log(3) 36^1/2 =log(3) (2/36^1/2) = log(3) 3^-1 = -1

Jonas Månsson

Svar: Jag antar att du avser frågan från den 2 mars 2001 15.23.02. I svaret påpekas att definitionen gäller vektorrum över R (de reella talen), men det går bra att
definiera vektorrum över en godtycklig kropp K (en kommutativ ring med etta där varje nollskilt element är inverterbart) med hjälp av samma villkor, t.ex. över de komplexa talen. Ett "vektorrum" över en ring A som inte är en kropp brukar kallas för en modul över A, och sådana delar i allmänhet inte alla egenskaper
hos riktiga vektorrum

Jonas Månsson

Svar: Se svaret på frågan från 9 april 1997 20.59.45.

Jonas Månsson

Svar: Vi betecknar summan av k:te potenser av de N första heltalen med S_k (N) = 1^k + 2^k + 3^k + ... + N^k. Då gäller att

                                S₂ (N) = 1²+2²+ ... + N² = N(N+1)(2N+1)/6

Alltså, då N=150, så får vi

                                S₂ (150)=150*151*301/6=1136275

Allmänt gäller

                                S_k (N) = ( B_k+1(N+1) - B_k+1(0) )/ (k+1)

där B_k (x) är det k:te Bernoullipolynomet.

Bernoullipolynomen B_k (x) definieras via

                                B_k (x)= (^k₀)B₀x^k + (^k₁)B₁x^k-1 + ... + (^k_k)B_k*x⁰

där B_k:na är de s.k. Bernoullitalen (se svar från 3 mars 2001 16.00.53).

Jonas Månsson

Svar: Om du med något sätt menar en explicit funktion i elementära funktioner, så går det inte. Däremot är det jättelätt att skriva ett program som beräknar funktionen.

Jonas Månsson

Svar: Se svaret från 20 augusti 1998 19.43.38.

Jonas Månsson

vem kom på siffrona

Svar: Mer om siffrornas historia kan man hitta här.

Jonas Månsson

28 mars 2001 12.12.35
Vad är det för skillnad på transponatet av en matris och adjunkt matris?
Teijo

Svar: Se svaret på frågan från 24 oktober 1998 00.28.05.

Jonas Månsson

Svar: Nej, -2 är ett mindre tal än 1 då -2 < 1. Däremot är absolutbeloppet av 1 mindre än absolutbeloppet av -2, vilket kanske är anledningen till din fråga.

Jonas Månsson

Svar: Vi antar att vi har ett ortonormerat koordinatsystem. En normalvektor n=(x',y',z') är ortogonal mot alla vektorer i planet L. Tag därför en godtycklig vektor u=(x,y,z) i L. Då planet går genom origo, är P=(x,y,z) också en punkt i L varför ax+by+cz=0.
Att två vektorer är ortogonala är samma sak som att skalärprodukten mellan dem är noll, d.v.s. n*u=x'x+y'y+z'z=0. Om vi nu väljer n=(a,b,c), uppfylls alltid denna ekvation och n=(a,b,c) är en normalvektor till det givna planet.

Jonas Månsson

Svar:
Vad det gäller irrationella tal vet jag inte riktigt hur det skulle gå till. Antalet irrationella tal är överuppräkneligt många (i varje icke-tomt begränsat intervall) och varje tal representeras av en decimalbråksutveckling som saknar periodicitet. Problemet här är hur sådana tal ska representeras i en dator.

Jonas Månsson

Svar: Då derivatan av e^x är e^x självt får vi alla primitiva funktioner till 2e^-x (efter att ha kompenserat för den inre derivatan) genom -2e^-x + C, där C är en godtycklig konstant.

Jonas Månsson

Svar: Vi antar att vi har n st frukter.
a) Antalet sätt att välja k st frukter ur en mängd av n stycken oberoende av ordning (d.v.s antalet kombinationer av k frukter) är (ⁿ_k) =n!/k!(n-k)! . Vi får här lov att välja valfritt antal frukter, d.v.s totala antalet kombinationer blir

                                                            K_n=summa[k=0 till n]  (ⁿ_k) = (1+1)ⁿ=2ⁿ

där den sista likheten följer av binomialsatsen. Således, för 5 frukter (n=5) får vi 2⁵= 32 olika kombinationer (eller 31 som du skriver om vi antar att vi ej får välja noll frukter.)
b)  Antalet permutationer av k st frukter ur en mängd bestående av n st, är P(n,k)=n!/(n-k)! . Antalet val P_n blir därför

                                                            P_n=summa[k=0 till n]  P(n,k),
och i fallet n=5 får vi

                                                            P₅= 1+5+20+60+120+120=326

om vi räknar in valet av noll frukter.

Jonas Månsson

Svar: Det finns olika sätt att approximera, t.ex. minsta kvadratmetoden och splines. Se t.ex. svaret från 2 september 1997 19.16.58.

Jonas Månsson

Svar:

Den räta linjen A är parallell med linjen y = - x+3, alltså kan A skrivas y = - x+c. Eftersom y = - 2 då x = 1, måste c = - 1.

Joakim Petersson

Svar:

Låt bredden vara b (uttryckt i m). Villkoret på rektangeln kan då skrivas (3b+2)(b-1) = 68, eller 3b²-b-70 = 0. Prövning ger att b = 5 är en rot. Vi får då att ekvationen kan skrivas (b-5)(3b+14) = 0. Eftersom b = 5 är den enda positiva roten är rektangelns bredd 5 meter. Det följer att längden är 15 meter och omkretsen 40 meter.

Joakim Petersson

Svar:

Om diametern är d så är omkretsen Pi*d, där talet Pi = 3.14... egentligen skall skrivas med den grekiska bokstaven (lilla) pi. Om man i stället använder radien r, dvs halva diametern, så blir omkretsen 2Pi*r. Cirkelns area, däremot, är Pi*r². Nu kan du passa på att friska upp minnet hos din pappa också...

Joakim Petersson

Svar:

Att en reell funktion f:D->R är C^k betyder att (de partiella) derivatorna av ordning till och med k är kontinuerliga funktioner i D, där D är en öppen del av R^m (f är en funktion av m reella variabler). Till exempel är 1 en derivata av tredje ordningen av xyz (en derivation med avseende på x följd av en med avseende på y och en med avseende på z). Detta beteckningssätt finns också i samband med funktioner mellan andra rum, i de fall då derivator kan definieras. Om f har denna egenskap för varje k = 1,2,.., så kallas f oändligt deriverbar.

Joakim Petersson

Svar:

1. Låt mig protestera när det gäller uttrycket "ett oändligt antal apor". Det bör vara "ett mycket stort antal apor" ( när jag först träffade på exemplet med apor som skriver på skrivmaskiner så rörde det sig om en ensam apa, som dock hade obegränsat med tid till sitt förfogande). En text med ett tecken kan författas på 65 olika sätt om det finns 65 olika tecken att välja mellan, en text med två tecken på 65*65 olika sätt osv. Alltså finns det 65⁸³⁰⁰⁰ sådana texter av Macbethstorlek. Svaret på din fråga är ett tal med 150472 siffror. 2. En bisarr samhällsordning, tur att det inte är på riktigt... Det finns tydligen 36 män. Man kan dela upp valet i två: först väljs 14 av 36 ut och sedan 5 av 14. Antalet kombinationsmöjligheter är C(36,14)*C(14,5) = 36!/(5!*9!*22!) = 7 600 186 994 400.

Joakim Petersson

Svar:

Antalet kombinationer skrivs C(35,7) eller som binomialkoefficienten "35 över 7". Detta antal är 35*34*...*29/(7*6*...*1) = 6 724 520. Man kan tänka så här: den första kulan kan dras på 35 sätt, den andra på 34 sätt (eftersom en saknas) osv. Den 7:e kulan kan dras på 35-6 = 29 sätt. Samma kombination har nu räknats flera gånger, närmare bestämt 7*6*...*1 gånger, vilket är antalet sätt att ordna 7 element (det första kan väljas på 7 sätt osv).

Joakim Petersson

Svar:

Du får rätt värde på kraften ur formeln F = G*m*m'/d², där G är gravitationskonstanten. G = (6.672±0.004)*10^-11 Nm²/kg².

Joakim Petersson

Svar:

Såvida man inte har något annat sätt att uttrycka integralen som lämpar sig mer för beräkning, får man tillgripa någon numerisk integrationsmetod. Exempel på sådana är trapetsregeln och Simpsons formel. Jag kan få närmevärden till integraler med Maple, ett matematikprogram. Om vi tex tar båglängden L av kurvan sin x mellan 0 och Pi/2 så ger Maple värdet L = 1.910. Ibland, som i detta exempel, kan man också använda serieutvecklingar. Vi får en snabbt konvergerande numerisk serie för L genom att skriva integranden som sqrt(2)*sqrt(1-0.5sin²x), utveckla i potenser av sin x och integrera termvis över (0,Pi/2).

Joakim Petersson

Svar:

Jag trodde inte att derivator (som ju räknas till den sk "högre matematiken") ingick i kursplanen på högstadiet. Det kanske de inte gör, situationen kan ju uppkomma ändå. Det bästa, tror jag, är om man slipper svara på den tråkiga frågan "varför man behöver det", genom att sikta in sig på alla de möjligheter som finns att få ämnet att verka spännande (vore säkert ingen match i en mellanstadieklass).

Joakim Petersson

Svar:

Eftersom förhållandet ges av sinusfunktionen så är det teorin för den och andra trigonometriska funktioner som man använder vad man än väljer att kalla dem. Rent matematiskt är det en fördel att mäta vinklar i radianer (en grad motsvarar Pi/180 = 0.01745... radianer). I den matematiska analysen visas hur de trigonometriska funktionerna (och andra) kan approximeras med polynom av låg grad (eller rationella funktioner, dvs kvoter mellan polynom) så att felet man gör kan hållas under kontroll, åtminstone i något intervall. Trigonometriska formler kan sedan användas för att beräkna funktionsvärden utanför detta intervall. Det finns också helt andra metoder för funktionsberäkning, tex sådana som bygger på iteration i någon form.

Joakim Petersson

Svar:

1. Skriv sinⁿx = sin^n-2x*(1-cos²x). Integrera sedan partiellt med cos x som faktorn som skall deriveras. Efter lite uträkningar har problemet reducerats till att beräkna en primitiv funktion till sin^n-2x. Man kan fortsätta på samma sätt: den primitiva funktionen beräknas rekursivt.
2. Låt cos x och sin x byta roller i 1.
3. Skriv tanⁿx = sin^n-1x*sin x/cosⁿx. Integrera partiellt med sin^n-1x som faktorn som skall deriveras. På liknande sätt som i 1. reduceras problemet därigenom till att beräkna en primitiv funktion till tan^n-2x.

Joakim Petersson

Svar:

Med oval förutsätter jag att du menar ellips. Det finns naturligtvis andra kurvor än ellipserna som har oval form. Ellipsen bestäms av halva storaxelns längd a och halva lillaxelns längd b. I ett visst koordinatsystem har ellipsen ekvationen x²/a²+y²/b² = 1. Men A = 4b*Int₀^a sqrt(1-x²/a²) dx = 4ab*Int₀¹ sqrt(1-u²) du = Pi*ab, eftersom den sista integralen är arean av enhetscirkeln.

Joakim Petersson

Svar:

Tack för tillägget. Den negativa lösningen uppfyller x = - e^xln2/2. Vi låter a = ln2/2, så att x/e^ax = - 1. Lagranges inversionsformel innebär att ekvationen x/f(x) = w, där f(0)<>0 för tillräckligt små w har en entydig lösning x i en tillräckligt liten omgivning av 0 och att x = Sum_k=1^inf c_kw^k för dessa w, där c_k = 1/k!*{(d/dx)^(k-1)f(x)^k}_{x = 0}. I vårt fall är f(x) = e^ax, varav c_k = (ak)^k-1. Sätter vi w = - 1 (som är tillåtet) får vi serien ovan.

Joakim Petersson

Svar:

Om du hänger upp dig på -(-(ba)) = ba så skall det tolkas som att den additiva inversen till -x är x, vilket inte har med multiplikation att göra. Du har använt distributiva lagen och att x*(-1) = -x för alla x för att visa att det därav följer att (-1)*(-1) = 1 (korrekt). Man kan invända att detta följer direkt genom insättning av x = -1 (om du är med så långt) och att inte (-1)*(-1) = 1 utan vidare argumentering medför att (-a)*(-b) = ab för alla a och b.

Joakim Petersson

Svar:

Priset kallas Fieldsmedaljen efter instiftaren och delas ut endast vart fjärde år. Nästa gång är år 2002.

Joakim Petersson

Svar:

Det är välkänt att roten ur 2 (den positiva roten till x² = 2) är ett irrationellt tal. Vidare kan man liksom till varje annat tal komma godtyckligt nära med rationella tal. Intressantare blir det när man approximerar med p_n/q_n (utan gemensamma delare) så att |p_n-q_n*sqrt(2)| blir successiva "minimirekord". Dessa tal p_n/q_n kan visas vara konvergenterna till kedjebråksutvecklingen (av det irrationella talet). Med start i 1/1 ger p_n+1 = p_n+2q_n, q_n+1 = p_n+q_n de bästa rationella approximationerna till sqrt(2). Detta följer av att kedjebråksutvecklingen är [1;2,2,2,2...]. De första talen i serien är 1,3/2,7/5,17/12,41/29 (vilket är nästa?). Märkligt nog är denna följd av approximationer av mycket gammalt ursprung. Man kan säga att svaret på frågan är gränsvärdet av följden (eller rentav följden själv).

Joakim Petersson

Svar:

Leta bland länkarna under vår huvudsida för information om dessa giganter från flydda tider.

Joakim Petersson

Svar:

Det kan göras med intervallhalveringsmetoden enligt följande. Antag att f är obegränsad i [a,b]. Dela intervallet på mitten. I åtminstone ett av delintervallen är f obegränsad. Låt detta (om det går, ta det vänstra) vara [a₁,b₁]. Fortsätt på samma sätt. En stunds eftertanke visar att a_n bildar en växande och b_n en avtagande följd. Enligt en egenskap hos de reella talen har de båda följderna gränsvärden c respektive d och eftersom längden av intervallen går mot noll så är c = d. Detta leder till en motsägelse. Eftersom f är kontinuerlig i punkten c finns ett intervall (c-t,c+t) där |f(x)|<|f(c)|+1, dvs f är begränsad där. Men från ett visst index ligger alla a_n och b_n i detta intervall (definitionen av gränsvärde). Detta motsäger att f är obegränsad i varje intervall [a_n,b_n] och fullbordar beviset.

Joakim Petersson

Svar:

Det viktiga är följden av de tal med olika namn som kommer när man räknar och alltid i samma ordning: 1,2,3,4,... Att räkna ut 1+1 betyder att starta på 1 och räkna framåt 1 steg, alltså hamnar man på 2, som är svaret. 2+3 blir (2->3->4->5) 5. Genom att träna på det här i skolan blir man duktigare och duktigare och det kan vara riktigt roligt också.

Joakim Petersson

Svar:

I stället för att försöka svara på frågorna vill jag nämna apropå primtalstvillingarna (p och p+2 så att båda är primtal) att jag tycker mig minnas att Enrico Bombieri, en av de stora talteoretikerna idag, har sagt att han bara är intresserad av utsagan om primtalstvillingar i den mån satsen (som kallas Goldbachs förmodan) kan visas vara oavgörbar, dvs omöjlig att bevisa (att det finns sådana förstod man efter Gödels verk på 30-talet). Detta kanske säger något om hur omöjligt svårt problemet tycks vara, trots insatser av Vinogradov med flera.

Joakim Petersson

Svar: Beteckna radien med r och höjden med h. Cisternens volym blir då bottenarean multiplicerat med höjden dvs pi r² h. Vi vet att volymen är 745 så därur kan vi lösa ut h som h=745/(pi r2). Vi skall nu minimera r+h=r+745/(pi r²)=f(r). I extrempunkter till f är derivatan 0 så vi beräknar f'(r)=1-1490/(pi r3) och ser att f'(r)=0 endast då r=(1490/pi)^1/3. Eftersom derivatan är negativ för r nära 0 (och odefinierad i 0) och positiv för stora r ser vi att vår funktion har ett minimum i r=(1490/pi)^1/3.

Anna Torstensson

Svar:  Det finns olika metoder för att generera "slumptal" med dator. I princip fungerar de så att man tar fram ett utgångsvärde (som kallas slumptalsfrö) som verkar vara slumpmässingt men egentligen beror på t ex datorns klocka och signaler från tangentbordet. När man väl genererat fröet skapar man sina "slumptal" genom att applicera någon funktion upprepade gånger. Ett vanligt exempel är f(x)=ax+b (mod m) där a, b och m är lämpligt valda konstanter. I detta fall kan man räkna sig bakåt till utgångsvärdet genom att använda inversen till f (som existerar om man väljer a och m så att de saknar gemensamma faktorer). Vill du läsa mer kan du gå till sidan  Generating Random Numbers .

Anna Torstensson

Svar: n!! kallas semifakultet och defineras genom n!!=2*4*6*...*n då n är jämnt och n!!=1*3*5*...*n då n är udda, dvs multiplikation av varannat tal med början på n. Jag har aldrig stött på n!!! men i analogi med n!! skulle man kunna definiera det som n!!!=n(n-3)(n-6)*...*(n-3k) där man väljer k som det största tal som gör n-3k positivt. T ex 7!!!=7*4*1=28. Sedan kan man naturligtvis fortsätta och definiera n!!!! osv. om man vill...

Anna Torstensson

Svar:  Genom att derivera sambandet fof(x)=x²+x två gånger (där fog betyder sammansättningen av f och g)  kan man lösa ut f'(0) och f''(0) till 1. Om man fortsätter derivera får man ekvationer av typen f^(k)of f'^k=G_k(f,f', ..., f^(k-1),f'of,f''of, ... f^(k-1)of) där G_k är ett polynom i 2k-1 variabler. Med induktion kan man visa att detta gäller för varje k>=3. Då f'(0)=1 och f(0)=0 följer det då med ytterligare en ett induktionsargument att man kan lösa ut f^(k)(0) ur detta samband. Detta visar att man kan bestämma f:s Taylorutveckling på detta sätt. Någon allmän formel för Taylorkoefficienterna har jag dock inte lyckats finna. Det är komplicerat att beskriva funktionenerna G_k och därför svårt att hitta ett allmänt uttryck.

Anna Torstensson

Svar: Det är i allmänhet ett svårt problem att förkorta ett bråk med stora siffror i täljare och nämnare. För att göra det måste man i princip primtalsfaktorisera täljare och nämnare. Det finns ingen känd effektiv algoritm för detta om man med effektiv menar att tiden det tar att utföra algoritmen är ett polynom i indatas storlek. Om det går att konstruera en sådan algoritm eller ej är ett öppet problem, men man misstänker att det inte går. För specifika små tal kan man hitta enkla kriterier på delbarhet som de du nämner för 3 och 5. Se vidare frågorna från  1 mars 1999 18.43.45  och  1 april 1999 21.43.16.

Anna Torstensson

Svar: I princip skulle det gå lika bra att minimera summan av absolutbeloppen i stället för kvadratsumman, även om de bästa linjerna inte blir de samma. Att man väljer kvadratsumman beror på att det ger enklare räkningar. Det är ju avstånd i Rⁿ man minimerar i minsta kvadratmetoden. För en närmare beskrivning av metoden, se frågan  16 mars 2001 14.15.46 .

Kjell Elfström

Svar: Minsta kvadratmetoden används om man har ett lineärt ekvationssystem Ax=y och vill hitta ett x_approx som  gör att Ax_approx  blir så nära y som möjligt. Om systemet saknar lösning byter vi ut y mot y_approx, den vektor som ligger närmast y av de högerled som gör systemet lösbart. y_approx fås genom att projicera y på A:s värderum, dvs underrummet som består av de högerled y som gör Ax=y lösbar. Projektionsvektorn y-y_approx är vinkelrät mot kolonnerna i A eftersom de ligger i A:s värderum. Eftersom multiplikation av en matris och en vektor är detsamma som beräkna skalärprodukterna av vektorn med matrisens rader följer det att A^t(y-y_approx)=0.  För att finna x så att Ax=y_approx  kan vi då lösa det kvadratiska systemet A^tAx=A^ty_approx =A^t y. Det är dessa lineära ekvationer som kallas normalekvationerna.

Anna Torstensson

Svar: Att x²=2^x då x=2 visar man genom att helt enkelt sätta in x=2 i ekvationen och konstatera att likheten 2²=2² är sann. Att lösa ekvationen 2^x=x² fullständigt är svårare. Man kan se att x=4 är en lösning. Genom att studera funktionen f(x)=2^x-x² kan man se att f har exakt 3 nollställen. Det tredje nollstället är approximativt -0.77, men det finns inget enkelt exakt uttryck för det. Att f har exakt 3 nollställen bevisas på följande sätt. f''(x)=2^x(ln2)²-2, en strängt växande funktion med ett nollställe i x=1-2lnln2/ln2 (ungefär 2.06). Det betyder att f'(x) är avtagande fram till  1-2lnln2/ln2 och därefter växande. Då f'(1-2lnln2/ln2) < 0 och f' -> oändligheten då x->+- oändligheten har f' två nollställen a och b med a<1-2lnln2/ln2<b. för x <a och x>b är f' positiv och mellan a och b negativ. Det medför att f är växande fram till a sedan avtagande till b och därefter växande. Det är klart att f -> +-oändligheten då x -> +-oändligheten så om vi visar att f(a)>0 och f(b)<0 ser vi att f har exakt 3 nollställen. (Skissera en sådan graf för att inse detta.) Detta kan man visa genom att finna approximativa värden till f':s rötter a och b (med feluppskattning) och sätta in i f. Det visar sig att a och b är ungefär 0.49 respektive 3.21 så insättning (och feluppskattning) av dessa värden ger att f(a)>0 och f(b)<0. Därmed är vårt bevis klart.

Anna Torstensson

Svar: Som beskrivs i svaret på fråga  12 mars 2001 15.45.13  får man fram S genom att konstruera en bas bestående av egenvektorer till A. Om detta är möjligt beror på hur A ser ut, men man kan visa att det alltid går då A är symmetrisk. För att beräkna egenvektorerna behöver man först egenvärdena. De fås som lösningarna till den karakteristiska ekvationen det(A-cE)=0. För varje sådan lösning c får man sedan lösa det lineära systemet Ax=cx med x som obekant. Bland alla de x som man får fram (genom att sätta in olika värden på c) väljer man sedan n stycken lineärt oberoende.

Anna Torstensson

Svar: En rektangel med sidlängder a och b har omkrets 2(a+b) och area ab. Vi söker alltså tal a och b sådana att 2(a+b)=30 och ab >=50. Hur första ekvationen kan vi lösa ut b som 15-a. Insatt i olikheten ger det a(15-a) >=50. Denna olikhet kan skrivas om som 0>=a^2-15a+50=(a-10)(a-5). Denna är uppfyllt precis då a-10 och a-5 har olika tecken dvs då a ligger mellan 5 och 10. Svaret är alltså att ena sidan har längd mellan 5 och 10 och den andra längden 15-längden av första sidan.

Anna Torstensson

Svar: Om vi löser ut w ur z=2+3/w får vi w=3/(z-2). (Här är divisionen med z-2 tillåten eftersom vi kan se på den ursprungliga ekvationen att z <>2.) Låt oss beteckna (absolut)beloppet av w med |w|. Då ser vi att |w|=1 om och endast om 1=3/|z-2| eller, efter multiplikation, |z-2|=3. Geometriskt betyder |z-a|=r, där a är ett komplext tal och r ett reellt tal, en cirkel med medelpunkt i a och radie r. I vårt fall får vi alltså en cirkel med medelpunkt i 2 och radie 3.

Anna Torstensson

Svar: I analogi med division av "vanliga" tal (t ex rationella tal) kan man införa division av kvadratiska matriser. Eftersom M/N=M*(1/N) och multiplikation är definierad för matriser räcker det att precisera vad som menas med 1/N när N är en matris. Om y är ett rationellt tal betyder 1/y det tal som ger 1 vid multiplikation med y. På samma sätt betyder 1/M den matris som efter multiplikation med M ger enhetsmatrisen, E. (E är matrisernas motsvarighet till de rationella talens etta). Precis som 1/y inte existerar om y=0 finns vissa matriser M sådana att 1/M inte existerar. Sådana M kallas singulära och kan sägas vara matrisernas motsvarighet till talet 0. Om 1/M existerar eller inte märker man när man försöker beräkna den. För att beräkna 1/M sätter man elementen som obekanta. Sambandet M*(1/M)=E ger då ett linärt ekvationssystem för varje kolonn i 1/M. Dessa kan lösas med elimination. Om systemen har lösning har vi beräknat 1/M och om de inte har det finns ingen invers till M. Om du vill ha en mer utförlig beskrivning av räkning med matriser kan du läsa i Anders Vretblads bok "Algebra och kombinatorik" eller Karl Gustav Anderssons "Lineär algebra". Den senare innehåller mycket mer om matrisräkning och de geometriska frågeställningar som kan besvaras med hjälp av matrisräkning, men den är mer abstrakt och därmed kanske svårare att läsa än den förstnämnda boken.

Anna Torstensson

Svar: Varje lott har lika stor sannolikhet att vara kvar till slutet så det är fortfarande antalet lotter som avgör hur stor chansen att vinna är. Den fjärde personen har alltså, även i detta fall, fyra gånger så stor chans att vinna som den första personen.

Anna Torstensson

Svar: I Gunnar Bloms bok "Statistikteori med tillämpningar" kan du läsa om normalapproximation. Tyvärr har jag inte lyckats hitta något om vad halvkorrektion betyder.

Anna Torstensson

Svar: En kvadratisk matris M, av storlek n x n representerar en avbildning från Rⁿ till Rⁿ om man tolkar kolonn k som bilden av basvektor k. Om man byter bas i Rⁿ får man en ny matris som representerar den linäera avbildningen. En speciellt enkel ny matris får man om man som ny bas väljer egenvektorer till den ursprungliga matrisen, dvs vektorer v<>0 med Mv=cv för någon skalär c. Om avbildningen är sådan att det finns n stycken lineärt oberoende egenvektorer e₁, e₂, ..., e_n med Me_j=c_je_j och vi väljer dem som bas så består den nya matrisens kolonner av bilderna av dessa vektorer. Det betyder att kolonn j innehåller c_j på position j och 0 på övriga positioner. Alltså är den nya matrisen diagonal. Avgörande i resonemanget ovan var att vi kunde hitta n lineärt oberoende egenvektorer. Man kan visa att egenvektorer som hör till olika egenvärden är lineärt oberoende som om alla egenvärden är olika kan vi alltid diagonalisera matrisen. Ibland kan vi diagonalisera en matris där flera egenvärden sammanfaller. Se t ex på enhetsmatrisen som bara har egenvärdet 1. För att besvara din sista fråga kan man allmänt beskriva hur matrisen för en lineär avbildning ändras när man byter bas. Låt T vara en matris som beskriver basbytet, dvs T avbildar de ursprungliga basvektorerna på de nya så x'=Tx om x är koordinaterna för vektorn v i det gamla koordinatsystemet och x' i det nya. Sambandet y=Mx blir då Ty=(TMT^-1)Tx eller ekvivalent y'=(TMT^-1)x'. Den nya matrisen för avbildningen är alltså TMT^-1.

Anna Torstensson

Svar: R², som definitionsvis består av par av reella tal, kan identifieras med punkterna i xy-planet. Ett tvådimensionellt plan, eller xy-plan, är alltså bara ett annat sätt att beskriva R². Som beskrivits i svaret från den 5:e mars kan punkterna i xy-planet också identifieras med vektorer. Punkterna (1,0) och (0,1) svarar då mot vektorerna e och f som börjar i origo och slutar i dessa punkter. I den meningen att vektorer kan identifieras med punkter uppstår de när man inför xy-planet.

Anna Torstensson

Svar: Jag är inte säker på om jag har förstått din första fråga rätt men jag tror du menar hur man bestämmer hur många procent man skall ta av 20 för att få 13 respektive vilket tal man skall ta 20 procent av för att få 12. Det löser man på följande sätt. k procent av x blir k*(x/100) eftersom procent betyder 100-delar. T ex blir 5 procent av 300 lika med 5*(300/100)=5*3=15. I ditt första tal är k obekant. Vi söker k så att k*(20/100)=13. Efter multiplikation med 5 på båda sidor får vi k=5*13=65, så svaret är 65%. I andra talet är k=20 men x obekant. Vi skall lösa 12=20*(x/100). I detta fall blir x=60, dvs 20% av 60 kr är 12 kr.

Logaritmen av ett tal x i en viss bas b är det tal man skall upphöja basen för att få x. Exempelvis är logaritmen av 100 i basen 10 lika med 2 eftersom 10²=100. Vanligtvis är basen 10, 2 eller e. (Om du inte känner till e kan du söka på "talet e" bland svaren på vår sida så får du veta mer.)

Anna Torstensson

Svar: Att y är proportionell mot x betyder att y=kx där k är en godtycklig konstant. k behöver alltså inte vara positiv även om man i tillämpningar oftast valt enheterna så att proportionalitetskonstanten k blir positiv.

Anna Torstensson

Svar: Med den yttre direkta produkten av grupperna G1, G2, ..., Gn menas den grupp G vars element är n tupler (a1,a2,...,an) där aj ligger i Gj. Denna mängd utgör en grupp om man definierar multiplikation komponentvis, dvs (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn)=(a1b1,a2b2,...,anbn) där ajbj betyder produkten av aj och bj i Gj. Det är inte svårt att verifiera att G uppfyller axiomen för en grupp. Om du vill läsa detaljerna kan du låna någon lärobok i abstrakt algebra, exempelvis "A first course in Abstract Algebra" av John B. Fraleigh. Nu till beviset av satsen. Låt Nj bestå av alla element (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) där ek är identitetselementet i Gk och aj ett godtyckligt element i Gj. Då kan man lätt kontrollera att f:  (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) -> aj är en isomorfi mellan Nj och Gj. Att Nj är en undergrupp i G är klart eftersom den innehåller identiteten (e1,e2,...,en) och inversen (e1,e2, ...,e(j-1), aj^-1,e(j+1), ...,en) till (e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) samt är sluten under multiplikation. Att Nj är normal är också lätt att kolla: (b1,b2,...,bn)^-1(e1,e2, ...,e(j-1), aj,e(j+1), ...,en) (b1,b2,...,bn) =(e1,e2, ...,e(j-1), bj^-1ajbj,e(j+1), ...,en) ligger i Nj. Det återstår bara att visa att (g1,g2,...,gn)=(g1,e2,...,en)(e1,g2,....,en).....(e1,....,gn) är en entydig representation av denna typ. Om inte skulle det finnas hj, ej alla lika med gj, så att (g1,g2,...,gn)=(g1,e2,...,en)(e1,g2,....,en).....(e1,....,gn)=(h1,e2,...,en)(e1,h2,....,en).....(e1,....,hn)=(h1,h2,...,hn). Nu ser vi att hj=gj för alla j vilket strider mot vårt antagande. Detta visar att det inte fanns någon annan representation. Vi har därmed visat att G är inre direkt produkt av N1,N2, ..., Nn.

Anna Torstensson

Svar:

En primitiv funktion till 1/t är ln |t| + C. En primitiv funktion x är följaktligen k ln |t + T | + C.

Kjell Elfström

Svar:

Se Hypothesis Testing.

Kjell Elfström

Svar:

Man bedömer ju sannolikheten för ett utfall i ett experiment av ett visst slag, inte sannolikheten i ett enskilt försök. Sannolikheten att få krona vid kast med ett mynt är 1/2. Om man redan kastat myntet och alltså vet vad man fick bör detta inte ändra på bedömningen av sannolikheten att få krona vid kast med detta mynt. Om man däremot misstänker att myntet är skevt så skulle det kunna öka eller minska sannolikheten att få krona vid kast med det myntet.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla talen för x och y. Då är x + y = 1000. Om "tjugo gånger större" betyder "20 gånger så stort som" gäller det att x/6 = 20(y/16). Löser man ut x ur den senare ekvationen får man x = 20·6y/16 = 15y/2. Sätter vi in detta i den första ekvationen får vi

Därefter kan vi lösa ut x ur den första ekvationen och få x = 1000 - 2000/17 = 15000/17.

Kjell Elfström

Svar:

En stokastisk variabel är enkelt uttryckt en talvariabel som antar slumpmässiga värden, t ex antalet ögon som en kastad tärning visar eller längden hos en slumpmässigt utvald person. Ett konfidensintervall på p procent för variabeln är ett intervall sådant att sannolikheten att variabeln antar ett värde i intervallet är p procent. T ex är [2,5;5;5] ett 50-procentigt intervall för antalet ögon eftersom sannolikheten att tärningen visar ett antal ögon som finns i intervallet är 50 procent.

Kjell Elfström

A= -2 2
   1 -1

Svar:

Övergångsmatrisen blir P = e^Ah, där A är intensitetsmatrisen. A har egenvärdena 0 och -3. Bestäm en bas av egenvektorer och skriv A på diagonalform A = T ^-1DT. Då är

Den senare summan blir en diagonalmatris med diagonalelementen 1 och e^-3h.

Kjell Elfström

  -1  0 1 0 
   0 -2 0 2
A= 3 0 -3 0
   0 2 0 -2

Svar:

Från tillstånd 1 och 3 kan man bara nå tillstånd 1 och 3 och från 2 och 4 bara 2 och 4. Det finns alltså ingen asymptotisk fördelning som är oberoende av startvärdet.

Kjell Elfström

    -2  2  0
 A=  2 -3  1
     1  1 -2

Svar:

Man gör väsentligen som i 10 mars 2001 11.12.03 med den skillnaden att M nu är -A₀^-1, där A₀ är matrisen som fås ur A genom att stryka rad 3 och kolonn 3.

Kjell Elfström

0,5 0,3 0,2
0,4 0,4 0,2
0   0   1

Svar:

Detta är litet för omfattande att utreda. Man skall bilda matrisen P₀ som motsvarar de transienta tillstånden, i detta fall

Sedan beräknar man matrisen M = (E - P₀)^-1. Summan av elementen i rad i är väntevärdet av tiden det tar att hamna i det absorberande tillståndet om man startar i tillstånd i. I detta fall är elementen i den första raden 10/3 och 5/3 och deras summa 5.

Kjell Elfström

Svar:

Man multiplicerar med 10ⁿ där n är perioden. Då skiftas siffrorna åt höger en period så från och med en viss position har utvecklingarna samma siffror. I exemplet får vi om vi kallar talet för a att a = 0,0424242... och 100a = 4,2424242... Drar vi dessa tal från varandra får vi 100a - a = 4,2, dvs 99a = 4,2 vilket ger att a = 42/990 = 7/165.

Kjell Elfström

Svar:

Se 2 mars 2001 14.35.23. Jag förutsatte i det svaret att en delring måste innehålla ettan. Det är ju naturligt eftersom det står att R är en ring med etta. Om man med delring menar en undergrupp som är sluten under multiplikation blir ideal automatiskt delringar.

Kjell Elfström

Svar:

Använd metoden med Lagranges multiplikatorer. Gradienterna är (1,1,1), (1,1,-1) och 2(x,y,4z). Om funktionen har maximum eller minimum i punkten (x,y,z) i området så är dessa gradienter lineärt beroende. Beräknar vi determinanten av de tre vektorerna ser vi att den är noll om och endast om y = x. I en extrempunkt skall alltså y = x, x + y - z = 1 och x² + y² + 4z² = 4. Lös detta ekvationssystem. Eftersom funktionen är kontinuerlig och området kompakt har funktionen maximum och minimum och dessa måste antas i några av lösningspunkterna till ekvationssystemet.

Kjell Elfström

Svar:

Området är kompakt och funktionen kontinuerlig så det finns ett maximum och ett minimum. Eftersom funktionen är deriverbar i området måste dessa antas antingen i en inre punkt där de partiella derivatorna är noll eller i en randpunkt. Derivatorna är f_x' = 2xy - 1 och f_y' = x² + 2y. Sätt dessa lika med noll och lös ut y som funktion av x ur den senare ekvationen och sätt in i den första. Den enda stationära punkten blir (-1,-1/2) och det är en inre punkt. Funktionsvärdet är 3/4. Randen delas upp i två delar. Den ena är x = 0, -2^1/2 <= y <= 2^1/2. Där är funktionen lika med y² och dess minsta värde där är alltså 0 och dess största 2. Den andra delen av randen är x = y², -2 <= x <= 0. Här är funktionen lika med (y² - 2)²y + 2. Derivatan med avseende på y är 5(y⁴ - (12/5)y² + 4/5). Denna är noll då y² = 2 och då y² = 2/5. Ändpunkterna ±2^1/2 är redan medtagna. Beräkna funktionsvärdena då (x,y) = (-8/5,±(2/5)^1/2) och se efter vilket av de sex funktionsvärdena som är störst och vilket som är minst.

Kjell Elfström

§|F*d|r,
 c

Svar:

Använd Stokes sats. Rotationen av F är rot F = (4y - 2,0,2x²). Drar vi ekvationerna för C från varandra får vi efter kvadratkomplettering (x - 1/2)² + 4(y - 1/2)² = 1/4. C är rand till ett område S i planet x + 4y + z = 3 vars projektion på xy-planet är denna ellips D. En uppåtriktad normal till S är (1/(3·2^1/2))(1,4,1). Den sökta integralen är enligt Stokes sats

Kjell Elfström

Svar:

Den första termen i vänsterledet är (n/L)^kP(X = k) medan den första i högerledet är

För att termerna skall vara lika måste summan i högerledets första term vara noll. Skall man visa att så är fallet måste man känna till relationen mellan parametrarna m, n och L och sannolikheterna. Om inte alla sannolikheterna är noll måste i så fall mn vara större än eller lika med L.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla integralen i frågan för F(x). Låt I vara ett intervall och antag att f är kontinuerlig i I×R⁺. Om det finns en kontinuerlig funktion g av en variabel sådan att |f(x,t)| <= g(t) då t > 0 och x tillhör I och §₀^oo g(t) dt är konvergent så är F väldefinierad och kontinuerlig i I. Antag dessutom att f är deriverbar med avseende på x och att f_x' är kontinuerlig och att det finns en kontinuerlig funktion h sådan att |f_x'(x,t)| <= h(t) då t > 0 och x tillhör I och att §₀^oo h(t) dt är konvergent. Då är F kontinuerligt deriverbar i I och F '(x) = §₀^oof_x'(x,t) dt.

Kjell Elfström

hellre:  search(pattern[], text);
än:      for(int i=0; i<pattern.length; i++)
           search(pattern[i], text);

Svar:

Detta verkar vara en datavetenskaplig fråga med mycket liten matematikanknytning.

Kjell Elfström

Svar:

Taylorutveckling skulle fungera bara om nollstället låg nära 0. Ofta fungerar Newton-Raphsons metod. Om denna kan du läsa i åtskilliga svar. Sök från vår söksida. I matematik har jag 80 poäng grundkurser och några forskarkurser.

Kjell Elfström

Svar:

Integralen är ett formellt sätt att framställa funktionalen Delta(f) = f(0). Man tänker sig att dirac är en "funktion" som är noll för alla x <> 0 och sådan att int_-oo^oodirac(x) dx = 1. En effekt av denna formalism är att

I integralen från a till b kan vi under de angivna förutsättningarna ändra gränserna till -oo och oo eftersom dirac(x - c) är noll utanför området och få f(c) som resultat även då.

Kjell Elfström

Svar:

Begreppen hör till teorin för funktioner av en komplex variabel. Holomorf är det samma som analytisk. En funktion som är analytisk i ett område är deriverbar i en omgivning av varje punkt i området. Är området en öppen mängd räcker det att säga att den är deriverbar i varje punkt. En meromorf funktion är analytisk utom i poler i området. En regulär funktion är en envärd analytisk funktion.

Kjell Elfström

Svar:

Denna uppgift är inte helt och hållet matematisk utan kräver att man gör fysikaliska antaganden om vilka jag inte har tillräckliga kunskaper.

Kjell Elfström

Svar:

Om summorna är lika för alla k så är termerna lika i summorna, men den första termen i vänsterledet är inte lika med den första termen i högerledet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag rekommenderar läsning på sidan Easter date algorithms, där det redogörs för principerna och flera olika algoritmer presenteras.

Kjell Elfström

Svar:

Du tänker kanske på dyskalkyli som betyder bristande eller nedsatt förmåga i matematik. Jag vet inte om det i sig är en sjukdom, men det kan åtminstone vara ett symtom på någon sjukdom. Du kan söka efter ordet på Internet för att få ytterligare upplysningar.

Kjell Elfström

Svar:

Låt p vara en fix sannolikhet och sätt

Du vill lösa ekvationen f(x) = 0 och det kan göras med Newton-Raphsons metod. Välj ett startvärde x₀ och bestäm sedan successivt x_n genom rekursionsformeln

Integralen från -oo till x kan beräknas som summan av integralen från -oo till 0 och integralen från 0 till x. Den första är 1/2 och den andra kan beräknas numeriskt, t ex med Simpsons formel. Vad gäller felanalysen hänvisar jag till läroböcker i numerisk analys.

Kjell Elfström

Svar:

1) Löser vi ut t ex x ur den andra ekvationen får vi x = 3^1/2/(2y). Insatt i den första ekvationen ger detta att 3/(4y²) - y² = 1. Multiplicerar vi denna ekvation med y² får vi y⁴ + y² = 3/4. Detta är en andragradsekvation i y² och löser vi den får vi y² = -1/2 ± 1 = 1/2 eftersom y² >= 0. Detta ger sedan att y = ±1/2^1/2. Sätter vi slutligen in detta i uttrycket för x får vi x = (3/2)^1/2 då y = 1/2^1/2 och x = -(3/2)^1/2 då y = -1/2^1/2. En annan metod bygger på att vi sätter z = x + iy, där i är den imaginära enheten. Ekvationssystemet kan då skrivas som en enda ekvation

Startar vi med denna andragradsekvation får vi ekvationssystemet ovan men vi får även viss tilläggsinformation. Utnyttjar man att beloppen av ekvationens led är lika får man nämligen

Vi får ett ekvationssystem som förutom de ursprungliga ekvationerna innehåller denna nya ekvation. Informationen 2xy = 3^1/2 använder vi bara för att konstatera att x och y har samma tecken. De återstående två ekvationerna utgör ett lineärt system i x² och y². Adderar vi de två ekvationerna får vi 2x² = 3 <==> x² = 3/2 och subtraherar vi dem får vi 2y² = 1 <==> y² = 1/2. Detta ger fyra möjligheter men på grund av att x och y har samma tecken får vi bara de två lösningarna som vi fick med den andra metoden.

2) Om y är deriverbar kallar man derivatan för y'. Om y' är deriverbar kallar man dess derivata för andraderivatan av y och betecknar den med y''. Vi har alltså y'' = (y')'. Det finns naturligtvis ingenting som hindrar att man går vidare på detta sätt. Om y'' är deriverbar sätter man y''' = (y'')' och kallar denna för tredjederivatan av y. Man definierar sedan rekursivt k:e derivatan y^(k) av y som derivatan av den (k - 1):a derivatan av y, dvs y^(k) = (y^(k - 1))', under förutsättning att denna derivata existerar. Med dessa beteckningar blir y' = y⁽¹⁾ och y'' = y⁽²⁾. Man brukar i vissa sammanhang även definiera y⁽⁰⁾ = y, dvs 0:e derivatan är funktionen själv. Derivatan är ett mått på hur snabbt funktionen förändras. Andraderivatan är därför ett mått på hur snabbt förändringstakten förändras, dvs ett mått på accelerationen. Tredjederivatan är på samma sätt ett mått på hur snabbt accelerationen förändras osv. I en formel som används för att approximera funktioner med polynom av grad n, och som kallas Taylors formel, används alla derivatorna upp till och med y^n + 1. Tredje derivatan förekommer i formler i differentialgeometri, där man studerar bland annat hur ytor kröks.

Kjell Elfström

Svar:

Divergensen av vektorfältet v = (3x - 2z² - x³,3z - 2y² - z³,3y - 2x² - y³) är

Ytintegralen över halvsfären inklusive dess platta del (där N = (0,-1,0)) är enligt Gauss formel

där D är halvklotet. Inför rymdpolära koordinater för att beräkna denna. Drag sedan ifrån ytintegralen

där C är cirkelskivan x² + z² <= 3, y = 0. Det är ju lätt gjort eftersom termen 2y² är noll där och resten av integranden ger bidraget noll till integralen på grund av symmetri.

Kjell Elfström

Svar:

1) Vi antar att sannolikheten att brottet uppträder i ett intervall av en viss längd är oberoende av var på repet intervallet befinner sig. Sannolikheten för brott i ett intervall är då lika med förhållandet mellan intervallets längd och repets längd. Om längden av den ena delen skall vara minst 9,0 m kan brottet inträffa någonstans i intervallet från 0 till 3,7 m eller i intervallet från 9 till 12,7 m. Sannolikheten blir därför 2·3,7/12,7.

2) Här antar vi att sannolikheterna för fel i ett exemplar är oberoende av sannolikheten för fel i ett annat exemplar av produkten. Då är antalet felaktiga exemplar binomialfördelat. Sannolikheten att precis k av de utvalda exemplaren är felaktiga är därför (⁴_k)0,15^k0,85^4 - k. Sannolikheten för 0 felaktiga är alltså 0,85⁴ och sannolikheten för precis en felaktig är 4·0,15·0,85³. Den sökta sannolikheten är 1 minus summan av dessa sannolikheter.

Kjell Elfström

Svar:

För att se vilka frekvenser en signal är sammansatt av kan man beräkna dess Fouriertransform. Frekvenser som ger ett stort bidrag till signalen ger ett stort värde på Fouriertransformen och denna analysmetod fungerar bra när man vet att frekvenserna inte varierar med tiden. När signalens frekvenser varierar med tiden är läget annorlunda. En ton som består av ett antal rena överlagrade toner ger väsentligen samma Fouriertransform som en melodi med de rena tonerna efter varandra. Med MRA (multiresolutional analysis) löser man detta problem genom att ersätta basfunktionerna bestående av cosinus- och sinusfunktioner med andra baser, så kallade wavelets-baser. En alldeles utmärkt sida där man kan läsa om detta är The Wavelet Tutorial.

Kjell Elfström

Svar:

Låt y vara den kvarvarande mängden radioaktivt ämne. Förutsätter vi att mängden avtar exponentiellt, vilket är ett empiriskt konstaterat faktum, är

där k är en positiv konstant och y₀ mängden vid tiden t = 0. Att halveringstiden är 25 år innebär att

Vi ser att 25k = 1, varför k = 1/25 per år. Eftersom 2 = e^ln 2 kan mängden skrivas

Kjell Elfström

Svar:

Jag missade att förklara beteckningarna h och r. Dessa står för höjden och radien av den konformade vattenmängden i den koniska behållaren. p är påfyllningshastigheten 100, h är vattenhöjden 24 och dh/dt hastigheten med vilken h ökar och denna är enligt förutsättningarna -0,6. Den är negativ eftersom h minskar. Nu kan du bestämma c ur den sista likheten i den sista formelraden och därefter beräkna ch², där h förmodligen är 24.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att cylinderns basradie är R och att dess höjd är H. Vi beräknar volymen av vattnet i det lutande glaset. Den är volymen av den kropp i området x >= 0 som begränsas av xy-planet, cylindern x² + y² = R² och planet z = (H/R)x, alltså dubbelintegralen

där D är halvcirkelskivan x² + y² <= R², x >= 0. Inför polära koordinater. Då övergår den i

Volymen av vattnet i det stående glaset är Pi hR ² om vatten hälls till höjden h. Höjden h är alltså 2H/(3Pi).

Kjell Elfström

Svar:

Det finns många ellipser som går genom dessa två punkter, så antagligen skall det vara den ellips som har medelpunkt i origo och brännpunkterna på x-axeln. Den har en ekvation

Sätter vi in koordinaterna för punkterna får vi ekvationssystemet

Detta är ett lineärt ekvationssystem i de obekanta 1/a² och 1/b² och vi kan lösa det med eliminationsmetoden. Drag 4 gånger den sista ekvationen från den första så får du efter teckenbyte

Sätt sedan in värdet på a² i någon av ekvationerna och lös ut b.

Kjell Elfström

Svar:

Nej, xy-planet motsvarar snarare rummet R². Origo i xy-planet är ju skärningspunkten mellan koordinataxlarna. Varje punkt i xy-planet kan anges genom att man anger färdvägen från origo till punkten, dvs i vilken riktning och hur långt man skall gå med utgångspunkt i origo. Färdvägen är en vektor, som kan representeras med en en pil med viss längd och viss riktning. På detta sätt motsvarar varje punkt i xy-planet en vektor parallell med xy-planet. Än så länge har vi inte förklarat varför det heter koordinatsystem. Vid en punkt på x-axeln och en punkt på y-axeln står det 1. Förflyttningarna som för oss från origo till dessa båda punkter är plana vektorer som vi kan kalla e och f. En godtycklig plan vektor u kan skrivas u = xe + yf med entydigt bestämda koordinater x,y. För att ange koordinaterna (med avseende på koordinatsystemet där vi angett läget av origo och vilka basvektorerna är) för en godtycklig punkt P bestämmer vi koordinaterna för punktens ortsvektor, dvs den vektor som förflyttar oss från origo till P, och säger att punkten har samma koordinater som vektorn. Varje punkt får alltså koordinater och dessa koordinater är de samma som koordinaterna för punktens ortsvektor. På detta sätt kan vi identifiera de plana vektorerna med R² genom att till varje vektor i planet ordna dess koordinater, men vi kan också på samma sätt identifiera planets punkter med R². Det är alltså basvektorerna e och f i planet som motsvarar standardbasvektorerna (1,0) och (0,1) i R², men man kan alltså också säga att det är punkterna med skalvärdena 1 på axlarna som motsvarar dessa element i R².

Kjell Elfström

Svar:

För att kunna definiera begreppet ortonormerad bas måste man ha en skalärprodukt. Skalärprodukten av två vektorer är ett tal och skalärprodukten skall uppfylla vissa räknelagar. Om x = (x₁,x₂,x₃) och y = (y₁,y₂,y₃) definieras den vanliga skalärprodukten i R³ av x och y genom

Längden av en vektor x i R³ definieras sedan genom

Om skalärprodukten av två vektorer är 0 säges vektorerna vara ortogonala. En ortonormerad bas är en bas sådan att varje basvektor har längden 1 och basvektorerna är parvis ortogonala. Genom att använda definitionen på standardbasen finner man att den är ortonormerad, men det finns många andra ortonormerade baser, t ex (1/2^1/2,1/2^1/2,0), (1/2^1/2,-1/2^1/2,0), (0,0,1).

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till om så är fallet eller så förstår jag inte riktigt vad du menar. Tänker du på psykologiska eller liknande undersökningar om hur det gyllene snittet upplevs?

Kjell Elfström

Svar:

Detta är ingen matematisk fråga.

Kjell Elfström

Svar:

Man betraktar varje x för sig och studerar för vilka y-värden som det går en vattenstråle genom punkten (x,y). För ett fixt x beror strålens höjd y över punkten x på vinkeln a. För att få det största värdet på y, sådant att det går en stråle genom (x,y), skall vi alltså derivera funktionen i svaret till 15 april 1997 19.49.50 med avseende på a, inte med avseende på x. För det fixa värdet x = 0 är derivatan 0 för alla värden på a, men detta är tämligen ointressant ty då x = 0 är funktionen 0 för alla vínklar a.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte det kan finnas någon relation av detta enkla slag för antikommutatorer. Kommutatorn [a,b] definieras som ab - ba och antikommutatorn som ab + ba.

Kjell Elfström

Svar:

Historik finns på sidan Pythagoras of Samos. Ett bevis för Pythagoras sats är det som finns i Euklides elementa, Proposition 47. Se också under A bit of history på den sidan. Ett annat bevis finner du i svaret till 9 september 1997 14.41.38. Ett tredje bevis kan man få genom att använda skalärprodukt. Om vektorerna u och v är vinkelräta så är

eftersom u·v = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Vi deriverar och får att f '(x) = ax² + x + 4a. Då a = 0 är funktionen inte strängt monoton. Vi antar att a <> 0 och kvadratkompletterar.

Eftersom derivatan har högst två nollställen är funktionen strängt monoton om och endast om derivatan inte växlar tecken, dvs om 4 - 1/(4a²) >= 0 vilket är ekvivalent med att |a| >= 1/4.

Kjell Elfström

Svar:

Derivera. Derivatan är noll då antalet sjuka är störst. Derivatans nollställen är 0 och 12. Teckenstudium visar att funktionen har ett lokalt minimimum i 0 och ett lokalt maximum i 12. Detta måste vara ett maximum. Efter 12 dagar minskar antalet sjuka. Andelen sjuka är som mest f(12). Antalet sjuka ökar snabbast när derivatan är störst. Derivera derivatan!

Kjell Elfström

Svar:

a) Om basen är x så är höjden 1/(x + 1), varför arean är x/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1), en funktion som är strängt växande. Någon största area finns alltså inte. Arean går mot 1 så arean kan komma hur nära 1 som helst men alltså aldrig bli 1 eller mer.

b) Om cylinderns höjd är x är dess basradie 1/(x + 1). Arean är

Vi deriverar denna kvot.

Kjell Elfström

Svar:

Kalla höjden för h och antag att baskanternas längd är 2x och 3x, alla mätta i cm. Volymen är 225 cm³ varför 6x²h = 225. Arean är

Villkoret på arean ger att xh = 225/(6x) varför volymen blir

Derivatan är noll då x = 5/2, vilket ger baskanterna 5 och 15/2.

Kjell Elfström

Svar:

Se 26 februari 2001 11.08.24.

Kjell Elfström

Svar:

Frågan du hänvisar till är 16 februari 2001 09.13.11. Att (x - 1)² = 0 är en felskrivning som är korrigerad nu. I den likheten du frågar om har du satt parenteserna fel. Vi har

Samma resultat skulle ha erhållits med en polynomdivision uppställd i liggande stolen. Andraderivatan är 2(a + 1)/(x - 1)³ och den är inte noll om a > -1. Detta visar att derivatans nollställen är lokala extrempunkter (och inte t ex terrasspunkter). Derivatan har, om den har nollställen, ett större än 1 och ett mindre än 1. Andraderivatan är positiv i det som är större än 1 och negativ i det andra.

Kjell Elfström

Svar:

Alla är variationer på samma tema. Jag räknar den sista som har formen z = y⁵, där y = x² - 3. Enligt kedjeregeln är

Kjell Elfström

Svar:

Den första av likheterna i den senare formelraden får man eftersom a - a/2 = a/2. Täljaren ovanför huvudbråkstrecket i det mittersta bråket kan skrivas ba/2. Nämnaren är a. Förläng med 2 så får du den sista likheten.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, under förutsättning att x² + y² = 1, vilket är fallet om punkten (x,y) ligger på enhetscirkeln.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte formuleringen högst större än, kanske skall det stå högst lika med. I så fall skall man lösa olikheten x² <= x³ och eftersom x² är positiv kan vi dividera olikhetens båda lede med x² och få den ekvivalenta olikheten 1 <= x.

Kjell Elfström

Svar:

En stationär punkt är en punkt där derivatan (eller de partiella derivatorna om det är en funktion av flera variabler) är 0. Begreppet terrasspunkt förekommer i envariabelanalysen. Antag att en funktion är deriverbar i en omgivning av en punkt x. Om punkten är stationär och derivatan är positiv i en punkterad omgivning eller negativ i en punkterad omgivning till x så kallas x en terrasspunkt. Grafens tangent i en sådan punkt är horisontell och nära x ligger kurvan under tangenten på den ena sidan om x och över på den andra sidan. Om derivatan är negativ i en punkterad vänsteromgivning av en stationär punkt x och positiv i en punkterad högeromgivning har funktionen strängt lokalt minimum i x och är teckenväxlingen den motsatta har den ett strängt lokalt maximum i x. Lokala maximi- och minimipunkter kallas lokala extrempunkter och terrasspunkter är alltså inte lokala extrempunkter. Det finns också andra typer av stationära punkter. T ex är 0 en stationär punkt till funktionen som definieras genom f(0) = 0 och f(x) = x²sin(1/x) då x <> 0 men 0 är varken terrasspunkt eller lokal extrempunkt. Sadelpunkt används ofta i flervariabelanalys för att beteckna en stationär punkt som inte är en lokal extrempunkt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är riktigt tänkt! Jag tycker man bör svara arctan 5. Har man en räknare är det naturligtvis bra att också ange ett närmevärde.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tolkar frågan som att man skall bestämma a så att det minsta värdet av x² - 6x + a är 4. Kvadratkomplettering ger att

och vi ser att det minsta värdet är a - 9. Detta bli 4 bara då a = 13.

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen f(x) = x⁵ - 200x³ - 80 är kontinuerlig i det slutna intervallet [14,15]. f(14) = -11056 < 0 och f(15) = 84295 > 0. Enligt satsen om mellanliggande värde antar funktionen värdet 0 för något tal x i [14,15] och eftersom funktionsvärdena i ändpunkterna inte är noll så tillhör x det öppna intervallet (14,15).

Kjell Elfström

Svar:

1. De 25 flaggorna kan radas upp på 25! sätt. När vi sedan tar ut flaggor till de 10 flaggstängerna kan vi dela upp de uppradade flaggorna genom att markera nio av mellanrummen mellan flaggorna. Detta kan göras på (²⁴₉) sätt. Svaret blir 25!(²⁴₉).

2. Med increasing och decreasing avses strängt växande resp. strängt avtagande. Om siffrorna är strängt växande kan inte noll ingå. Varje kombination av siffrorna 1,2,...,9 bestämmer entydigt en strängt växande sifferföljd, den man får om man ordnar de utvalda siffrorna i storleksordning. Det finns alltså (⁹₄) tal med strängt växande siffror. Av de strängt avtagande så är de som ej innehåller siffran 0 också (⁹₄). Om en strängt avtagande sifferföljd innehåller siffran 0 så måste denna vara sist. Vi får (⁹₃) sådana tal. Svaret blir alltså 2(⁹₄) + (⁹₃).

3. Med nondecreasing och nonincreasing menas konstigt nog växande resp. avtagande (i vid mening). Växer siffrorna kan inte 0 ingå, men samma siffra får förekomma flera gånger. Lägg till siffrorna 1,...,9 tre element II, III och IV. En kombination med fyra element ur denna mängd med 12 element bestämmer en växande sifferföljd. De fyra elementen placeras i fyra tomma positioner på följande sätt: De av markörerna II, III och IV som är med placeras på positionen med motsvarande ordningsnummer. De siffror som ingår i kombinationen ordnas i strängt växande ordningsföljd och placeras i de återstående positionerna. Om någon markör finns med börjar vi med den första och ersätter den med siffran till vänster, tar sedan nästa om det finns någon och gör likadant och likadant med den tredje om alla är med. Antalet sådana kombinationer är (¹²₄) och det finns därför lika många växande sifferföljder. Det finns lika många avtagande följder som inte innehåller siffran 0. De enda sifferföljderna som är både växande och avtagande är de där alla siffror är lika. Det finns 9 sådana. Antalet efterfrågade sifferföljder i vilka 0 inte ingår är alltså 2(¹²₄) - 9. Ett liknande resonemang visar sedan att det finns (¹²₃) - 1 avtagande följder som innehåller siffran 0. Svaret blir 2(¹²₄) + (¹²₃) - 10.

Kjell Elfström

Svar:

1) Skär vi konen med ett plan längs axeln får vi två inskrivna cirklar i en triangel. Antag att den mindre cirkelns radie är r. Då är den störres s = 2^1/2r. Kalla radien i konens botten för R och konens höjd för h. Volymförhållandet är då

Låt k vara avståndet från konens spets till den mindre cirkelns medelpunkt. Likformiga trianglar ger då att k/r = (k + r + 2^1/2r)/(2^1/2r) varav k(2^1/2 - 1) = r(2^1/2 + 1), vilket medför att k = (3 + 2·2^1/2)r. Detta ger att

Pythagoras sats ger att d² = R² + h² och likformiga trianglar att R/d = (s - r)/(s + r). Kvadrerar vi den senare likheten kan vi lösa ut R² och få

Nu kan vi beräkna förhållandet och få det till (3·2^1/2 - 2)/4. Min lösning var också ganska lång.

2) Antag att konens bottenradie är R och att dess höjd är h. Kalla rätblockets höjd för k och dess bottenytas halva diameter för d. Skär konen och rätblocket med ett plan utefter konens axel genom två motstående kanter på rätblocket. Likformiga trianglar ger att R/h = d/(h - k) vilket ger att k/h = (R - d)/R. Rätblockets volym är 2d²k och volymförhållandet blir 6d²k/(Pi R²h). Här kan du ersätta k/h med (R - d)/R och få en funktion av enbart d.

Kjell Elfström

Svar:

Pyramidens botten är en regelbunden sexhörning och den består av sex likbenta likformiga trianglar. Medelpunktsvinkeln i varje triangel är 2Pi/6 = Pi/3. Eftersom triangeln är likbent och vinkelsumman är Pi är den liksidig, alla sidor i triangeln är alltså 4. Pythagoras sats ger att pyramidens höjd är (8² - 4²)^1/2 = 4·3^1/2. Inför ett koordinatsystem med bottnens tyngdpunkt i origo, ett av dess hörn på den positiva x-axeln och pyramidens topp på den positiva z-axeln. Vi vill nu bestämma vinkeln mellan de två plan som har hörnet på den positiva x-axeln gemensamt. Båda planen innehåller punkterna (0,0,4·3^1/2) och (4,0,0). Det ena innehåller dessutom det närliggande hörnet (2,2·3^1/2,0) och det andra innehåller det andra närliggande hörnet (2,-2·3^1/2,0). Nu har du tillräcklig information för att bestämma var sin normalvektor till planen och när du gjort det kan du bestämma vinkeln mellan normalvektorerna med hjälp av skalärproduktens definition.

Kjell Elfström

Svar:

Vi beräknar först arean av en stympad kon. Antag att en rak cirkulär kon skärs av med två plan vinkelräta mot konens axel. Planens tvärsnitt med konen utgörs av cirklar med radierna r och s. Låt d och e vara som i figuren.

Arean av en cirkelsektor med radien r och vinkeln v är r²v/2 = r(rv)/2 och rv är längden av sektorns båge. Den större cirkelsektorn i figuren har därför arean (d + e)(2Pi r)/2 = (d + e)Pi r och den mindre har arean ePi s. Den stympade konens area är skillnaden (d + e)Pi r - ePi s. Likformighet ger att (d + e)/(2Pi r) = e/(2Pi s) varav es = er - ds. Insatt ger detta att den stympade konens area är Pi d(r + s), en formel som gäller också för arean av en cylinder, där r = s.

Betrakta nu följande genomskärning av konen och sfären med ett plan genom sfärens medelpunkt.

M är cirkelns medelpunkt och MC är vinkelrät mot BD. Trianglarna ABC och EDC är båda likbenta. Detta ger att r + s = d. Arean av den omskrivna stympade konen är alltså Pi d² och d är minst då den stympade konen är en cylinder.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom TeX följer med flertalet installationer av operativsystemet Linux förutsätter jag att du har DOS på din dator. TeX förekommer i flera olika installationer. En för DOS (och Windows) är MiKTeX. Var beredd på att det krävs en hel del arbete för att lyckas med installationen, det är inte bara att trycka på en knapp, men i gengäld så är det ju gratis.

Kjell Elfström

Svar:

dV/dt är ju derivatan av V med avseende på tiden t, dvs hastigheten med vilken volymen V ökar. Man kommer fram till att arean A är proportionell mot h² och därför är kA också proportionell mot h². Vi har alltså kA = ch² för någon proportionalitetskonstant c.

Kjell Elfström

Svar:

Nu är jag inte med riktigt. På måltipset tippar man väl de åtta målrikaste matcherna. Det är kanske stryktipset du menar. Om man i ett system med m halvgarderade och n helgarderade matcher får en rad med tretton rätt, hur många rader får man då med tolv, elva och tio rätt? För att få precis 13 - k rätt skall vi ha k matcher fel och det är bara de garderade matcherna som kan tippas fel. En helgarderad match kan tippas fel på två olika sätt, en halvgarderad bara på ett sätt. Väljer vi ut p halvgarderade och q helgarderade och kräver att alla dessa skall vara feltippade så har vi alltså 2^q möjligheter. Vi kan välja ut p av de halvgarderade och q av de helgarderade matcherna på (^m_p)(ⁿ_q) olika sätt, givetvis under förutsättning att p <= m och q <= n. Antalet rader med k fel är alltså

där vi använder konventionen att (^a_b) = 0 om b > a.

Kjell Elfström

Svar:

Bernoullital och Bernoullipolynom används bl a i talteori, kombinatorik och i samband med finita differenser. Bernoullitalen B_m definieras rekursivt genom B₀ = 1, (m + 1)B_m = -summa_k = 0^m - 1 (^m + 1_k)B_k.

Låt a₁,a₂,...,a_n vara nollställena till polynomet 1 + c₁x + c₂x² + ^... + c_nxⁿ. Då är b_k = 1/a_k nollställena till polynomet zⁿ + c₁z^n - 1 + c₂z^n - 2 + ^... + c_n. Det vanliga sambandet mellan rötter och koefficienter ger den modifierade varianten

Låt nu p(x) vara potensserien

Då är p(t²) = (sin t)/t. Nollställena till p(x) är alltså Pi²k², k = 1,2,... Sambandet mellan rötter och koefficienter ger nu att

För att göra ett stringent bevis av detta gäller det att visa att sambandet mellan rötter och koefficienter gäller inte bara för polynom utan även för potensserier av ovan nämnt slag samt att övertyga sig om att inte funktionen sin har icke-reella nollställen.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förstår inte. Man skall tydligen få någon låda från rektangeln. Hur?

Kjell Elfström

Svar:

När man säger att a = b (mod n) (likhetstecknet skall ha tre streck och utläses är kongruent med) menar man att heltalen a och b ger samma rest vid heltalsdivision med det positiva heltalet n. Då n = 1 är alla heltal konguenta så detta fall brukar man inte betrakta. Villkoret att talen ger samma rest är ekvivalent med att b - a är delbart med n. Addition och multiplikation kan utföras som om kongruenstecknet vore ett likhetstecken. Om a = b och c = d (mod n) (kongruenser, inte nödvändigtvis likheter) så är ac = bd och a + c = b + d (mod n) (fortfarande kongruenser).

Som en illustration kan jag visa att ett tal är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma är delbar med 9. Eftersom 10 = 1 (mod 9) är 100 = 10·10 = 1·1 = 1 (mod 9) och allmänt 10^k = 1^k = 1 (mod 9). Om talet är a = a_m10^m + a_m - 110^m - 1 + ^... + a₁10 + a₀ är alltså

Talet och dess siffersumma ger alltså alltså samma rest vid division med 9. Av detta följer det att om den ena är delbar med 9 så är också den andra det.

Kjell Elfström

Svar:

Av rekursionsformeln du anger får man att

Jag kan inte se att någon fyra skall adderas på slutet. Är det månne 1 och 3 som klumpas ihop?

Kjell Elfström

Svar:

Vi bestämmer först skärningskurvan. Drar vi ekvationerna från varandra får vi z² + 4z = 12. Lösningen är z = 2 eftersom z är positiv. Detta ger sedan att skärningskurvans projektion på xy-planet är x² + y² = 8. Låt D vara området i xy-planet som begränsas av denna cirkel. Arean av ett område som ges av en ekvation z = f(x,y), (x,y) tillhör D, är §§_D (1 + (f_x')² + f_y')²)^1/2 dxdy. Arean av paraboloiddelen är därför

Arean av den övre sfäriska delen beräknas på liknande sätt. Summan av dessa areor är arean i det ena fallet. Den undre sfäriska delens area beräknar du som hela sfärens area minus den övre delens.

Kjell Elfström

Svar:

En parametrisering är (x,y) = 2(cos t,sin t), 0 <= t <= Pi/2. Beräknad med hjälp av denna parametriseringe blir integralen

Den första integralen beräknas genom att man sätter u = sin t, du = cos t dt, den andra genom att man utnyttjar att integranden är (1/8)(1 - cos 4t).

Räknar man med Greens formel får man

där D är kvartscirkelskivan. Enligt radialformeln blir detta -2Pi. Detta är enligt Greens formel kurvintegralen längs randen av kvartscirkelskivan genomlöpt moturs. Man får förutom den sökta integralen med integralerna längs y-axeln från (0,2) till (0,0) och längs x-axeln från (0,0) till (2,0). Dessa skall alltså dras bort. Den senare är 0 och den förra är §₂⁰ y³ dy = -4. Den sökta integralen är alltså 4 - 2Pi.

Kjell Elfström

Svar:

När man bevisar att roten ur 2 är irrationellt visar man ju att det inte finns heltal a och b sådana att 2^1/2 = a/b. För att visa att roten ur 4 är rationellt skall man ju visa att det finns heltal a och b sådana att 4^1/2 = a/b. Eftersom man vet att 4^1/2 = 2 är det bara att sätta t ex a = 2 och b = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Definitionsmässigt är ett vektorrum över de reella talen en icke-tom mängd V tillsammans med en operation V×V->V som kallas vektoraddition och brukar betecknas med +, och en operation R×V->V som brukar kallas multiplikation med skalär och betecknas med multiplikationstecken ·. Dessa operationer skall uppfylla följande regler:

1) u + v = v + u,
2) u + (v + w) = (u + v) + w,
3) a(bu) = (ab)u,
4) 1·u = u,
5) det finns ett element 0 i V sådant att 0·u = 0 för alla u i V,
6) (a + b)u = au + bu,
7) a(u + v) = au + av

för alla reella tal a och b och för alla element u, v och w i V.

Kontrollera att additionen av element i Rⁿ och multiplikation av sådana element med reella tal uppfyller dessa lagar. Det finns många andra exempel på vektorrum än Rⁿ. Ett är P_n, rummet av polynom av grad högst n, där vektoradditionen definieras som vanlig polynomaddition och multiplikation med skalär också definieras på det naturliga sättet. I detta vektorrum utgör polynomen 1, x, x², ... , xⁿ en bas eftersom varje polynom p(x) i P_n på ett entydigt sätt kan skrivas som en lineärkombination

Koordinaterna för p(x) är (a₀,a₁,a₂,...,a_n) med avseende på denna bas. Denna bas kan förtjäna att kallas standardbasen i P_n på grund av sin enkelhet. P_n är (n + 1)-dimensionellt och kan, när man väl infört en bas, identifieras med R^n + 1. Alla vektorrum som har en bas med ändligt många element kan efter att man infört en bas identifieras med Rⁿ, där n är dimensionen av vektorrummet, genom att varje vektor identifieras med sina koordinater med avseende på basen. Det finns också vektorrum som inte har ändliga baser, t ex rummet av alla polynom. Vanligt förekommande vektorrum är funktionsrum, t ex mängden av alla funktioner som är kontinuerliga på ett intervall. Summan av två sådana funktioner och skalärmultiplikation defineras på det naturliga sättet, dvs (f + g)(x) = f(x) + g(x) och (af)(x) = a(f(x)). Oändligtdimensionella vektorrum kan inte identifieras med Rⁿ.

Kjell Elfström

Svar:

Om vektorrummet V är R² är ju (1,1) och (1,3) vektorer i V och det behövs ingen bas i vilken vektorernas komponenter är koordinater. I vektorrummet V av mängden av ekvivalensklasser av riktade sträckor i ett plan (som ju brukar representeras av riktade pilar) har inte vektorerna några inbyggda komponenter. Här är det meningslöst att tala om (1,1) och (1,3) om man inte först har en bas. Att i detta senare fall införa (1,0) och (0,1) som bas är lika meningslöst. Det krävs något mera påtagligt som t ex att den första basvektorn är en vektor av längden 1 som pekar österut och att den andra har längden ett och pekar norrut.

Kjell Elfström

Svar:

Logaritmerna av x-värdena ligger på en lineär skala. Vid x-axeln är kanske talen 1, 10, 100, 1000 utsatta. 10-logaritmerna 0, 1, 2, 3 av dessa ligger då på en lineär skala. Förutsatt att grafen till kurvan är en rät linje gäller att f(x) = k lg x + m. Det gäller att k = (f(y) - f(x))/(lg y - lg x) och när nu k är känd får du m som skillnaden mellan f(x) och k lg x.

Kjell Elfström

Svar:

Polynomen är x², x² + 1, x² + x och x² + x + 1. I samtliga fall kan vi enligt divisionsalgoritmen välja 0, 1, a = x och b = x + 1 som representanter för restklasserna.

För att beskriva kvotringarna behöver vi känna till additionstabellen och multiplikationstabellen. Att utreda vad summorna och produkterna är vid multiplikation med 0 och 1 är trivialt. Räknar vi modulo x² finner vi att a² = 0, ab = a och b² = 1. Modulo x² + 1 får vi a² = 1, ab = b, b² = 0. Modulo x² + x får vi a² = a, ab = 0 och b² = b. Slutligen får vi, när vi räknar modulo x² + x + 1, att a² = b, ab = 1 och b² = a.

x -> x + 1 är en isomorfi mellan de båda första kvotringarna. Den näst sista kvotringen har nolldelare men inga nilpotenta element, den sista är en kropp, vilket vi visste från början eftersom x² + x + 1 är ett primpolynom.

Kjell Elfström

Svar:

Vanligen brukar man kräva att 1 tillhör en delring och i så fall är N bara en delring om 1 = 0 och sådana ringar är ju inte särskilt intressanta. Vi visar att N är ett ideal. Antag att a tillhör N och r tillhör R. Då är aⁿ = 0 för något positivt heltal n. Men då är också (ra)ⁿ = rⁿaⁿ = 0, vilket visar att ra tillhör N. Antag nu att a och b tillhör N. Då är a^m = 0 och bⁿ = 0. Då är (a + b)^m + n = 0 enligt binomialsatsen eftersom a^{m + n - k}b^k = 0 såväl då n <= k <= m + n som då 0 <= k < n.

Kjell Elfström

Svar:

I är ett ideal om a + b och ta tillhör I för alla a och b i I och t i R. Eftersom (r₁a + s₁b) + (r₂a + s₂b) = (r₁ + r₂)a + (s₁ + s₂)b och t(ra + sb) = (tr)a + (ts)b så är ({a,b}) ett ideal. Detta ideal kallas idealet som genereras av a och b. Idealet av polynom med jämn konstant term genereras av 2 och x.

Kjell Elfström

Svar:

För att visa att N(zw) = N(z)N(w) behöver du bara ansätta z = a + 6^1/2b, w = c + 6^1/2d, och visa att vänsterledet och högerledet är lika. Antag att z är en enhet så att det finns ett element w i Z[6^1/2], sådant att zw = 1. Då är N(z)N(w) = N(zw) = N(1) = 1. Eftersom N(z) och N(w) är naturliga tal måste båda vara 1. N(a + 6^1/2b) = |(a + 6^1/2b)(a - 6^1/2b)| visar att omvändningen också gäller. Om N(z) = p, där p är ett primtal och om z = vw så är N(v)N(w) = p. Eftersom p är irreducibelt i Z är N(v) = 1 eller N(w) = 1, vilket visar att v eller w är en enhet i Z[6^1/2]. Detta visar att z är irreducibelt i Z[6^1/2].

Kjell Elfström

Svar:

Om p är udda är x = -a ett nollställe enligt Fermats lilla sats. Även då p = 2 är x = -a = a ett nollställe, både då a = 0 och då a = 1.

Kjell Elfström

Svar:

Statistik är inte mitt område men jag kan ge dig definitionen. Kovariansen sigma_XY av två stokastiska variabler X och Y är väntevärdet av (X - E[X])(Y - E[Y]). Om X och Y är oberoende är kovariansen 0.

Kjell Elfström

Svar:

Det k:e momentet kring a av en stokastisk variabel X definieras som väntevärdet E[(X - a)^k]. Om a = E[X] så är det första och andra momentet 0 resp. variansen av X.

Kjell Elfström

Svar:

Det verkar som om folkmängden alltid fördubblas under en 15-årsperiod oberoende av när perioden börjar. Då måste funktionen f(t), som anger antalet miljoner människor år t, vara proportionell mot en exponentialfunktion, dvs f(t) = f(0)a^t. Om vi låter 1970 motsvara t = 0 så är f(0) = 35. f(15) = 2f(0) ger att a¹⁵ = 2 så a = 2^1/15. Vi får f(t) = 35·2^t/15 = 35e ^t(ln 2)/15.

Ekvationen f(t) = 35e ^t(ln 2)/15 = 46 är ekvivalent med e^t(ln 2)/15 = 46/35. Vi får alltså t(ln 2)/15 = ln(46/35), vilket ger att t är ungefär 5,9. Året är alltså 1976.

Kjell Elfström

Svar:

Ett axiom s är oberoende av axiomsystemet S om det finns en modell som gör s och alla axiom i S sanna och en annan modell som gör ~s och axiomen i S sanna. Att s är beroende av S innebär alltså att det antingen är så att s är sann i alla modeller för S eller så att ~s är sann i alla modeller för S. Om systemet inte är fullständigt är detta inte det samma som att säga att antingen s eller ~s kan härledas från S. Begreppet oberoende har nog sitt berättigande. Den ovan angivna minimalistiska principen gäller axiomsystem, inte definitioner.

Kjell Elfström

Svar:

Om

så är enligt kedjeregeln

Kedjeregeln använd på var och en av de tre termerna i uttrycket för v ger att

varför

Kjell Elfström

Svar:

För komplexa tal z och w gäller att z = w om och endast om Re z = Re w och Im z = Im w. Eftersom x och y är reella är Re VL = 3x² - 3x - y, Re HL = 13, Im VL = -x² - 2x + y och Im HL = -10. Ekvationen är alltså ekvivalent med ekvationssystemet

Addera ekvationerna så blir du av med y och får en andragradsekvation i x. Lös denna och sätt sedan in lösningarna i någon av ekvationerna i systemet för att bestämma y.

Kjell Elfström

Svar:

De öppna mängderna i X×Y är alla unioner av mängder på formen S×T, där S och T är öppna mängder i X resp. Y. Antag att U är en sluten mängd i X×Y. Då är U ' öppen, där U ' betecknar komplementet av U. Vi visar att (p(U))' är öppen. Om y är ett element i (p(U))' så tillhör (x,y) U ' för alla x i X. Eftersom U ' är öppen finns till varje x en omgivning U_x = S_x×T_x av (x,y) som är innehållen i U '. Eftersom X är unionen av mängderna S_x och X är kompakt är X unionen av ändligt många, S_x 1,S_x 2,...,S_x n, av mängderna. Låt T vara snittet att de ändligt många mängderna T_x 1,T_x 2,...,T_x n. Då är T öppen i Y och y tillhör T. Det återstår att visa att T är innehållen i (p(U))'. Om z tillhör T och x är ett element i X så tillhör z alla mängderna T_x 1,T_x 2,...,T_x n och x någon mängd S_x k. (x,z) tillhör därför U_x k = S_x k×T_x koch därmed U ' för alla x i X och därför ligger inte z i p(U).

Kjell Elfström

Svar:

Talteori är läran om heltalen. Begrepp som hör dit är t ex delbarhet, primtal, diofantiska ekvationer och kedjebråk. En elementär sats som handlar om primtal är aritmetikens fundamentalsats som säger att varje heltal större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt om man bortser från faktorernas ordning. Ett exempel på diofantisk ekvation är ax + by = c. a, b och c är givna heltal och det gäller att finna de par x och y av heltal som löser ekvationen. En välkänd diofantisk ekvation är xⁿ + yⁿ = zⁿ, där n är ett heltal. Pierre de Fermat skrev omkring år 1630 i en marginalanteckning i en bok att han hade ett bevis för att denna ekvation saknar positiva heltalslösningar om n > 2. Denna förmodan kom att kallas Fermats stora sats och det var inte förrän 1994 som Andrew Wiles bevisade den. Goldbachs förmodan, som säger att varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som en summa av två primtal, är ännu inte bevisad. Typiskt för talteoretiska resultat är att de är ganska lätta att förstå, även för den oinvigde, men väldigt svåra att bevisa.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström