Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar januari 2001

Svar:

Det är naturligt att primtalsfaktorisera produkten. 451066 = 2·7·11·29·101. Den enda möjligheten för datumet är den 29 februari. Lansen bör vara 7 eller 11 fot. Är den 7 fot gjordes statyn 2222 år tidigare av någon framsynt konstnär. Det lutar nog mer åt att lansen var 11 fot och att statyn gjordes 1414 år tidigare även om det också verkar vara väl tidigt.

Kjell Elfström

Svar:

Man upplever ofta i matematiken att bokstäverna inte räcker till. Det beror oftast inte på att man vill skriva formler med fler än 28 variabler utan snarare att man vill använda vissa bokstäver för vissa ändamål för att uppnå tydlighet. T ex förknippar man ju bokstäverna x, y och z med obekanta i en ekvation eller koordinater för en punkt medan u och v används för att beteckna vektorer, a, b, c konstanter osv. På så sätt blir antalet användbara bokstäver begränsat. Man kan då utvidga alfabetet på olika sätt, t ex genom att lägga till olika så kallade diakritiska tecken. Beteckningen f ' för derivata är ett exempel, û för Fouriertransformen ett annat. Man kan även använda stora och små bokstäver, olika typsnitt och naturligtvis grekiska bokstäver. Anledningen att valet fallit just på det grekiska alfabetet och inte det hebreiska eller japanska är att grekerna lade grunden till den västerländska kulturen. De matematiska resultat som var kända av de antika grekerna har vi fått ta del av genom att läsa texter skrivna på grekiska. Det är då inte så märkligt att vi ibland väljer samma symboler som de. Dessutom har deras bokstäver likheter med våra. Behöver vi ett a till använder vi alfa, behöver vi b skriver vi beta.

Jag tror inte att datorerna har spelat så stor roll för Wiles bevis av Fermats stora sats. Dessutom ligger det i matematikens natur att införa nya begrepp och försöka lösa problem genom att tänka annorlunda än de som misslyckats. Jag tycker Wiles var mycket renhårigare än Fermat som skrev en marginalanteckning att han hade ett bevis för satsen, när han förmodligen inte hade det.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skulle utnyttja att gränsvärdet är derivatan av sin i punkten x, dvs cos x. För att härleda formeln för denna derivata kan man utnyttja formeln

och standardgränsvärdet (sin t)/t --> 1 då t --> 0.

Kjell Elfström

Svar:

Beviset heter nog ingenting men satsen kallas Banach-Tarskis paradox. Se 17 mars 1997 20.56.58.

Kjell Elfström

Svar:

Det går av bara farten när man väl har kommit igång. Normalt besvarar vi ju ett urval av frågorna men jag har en tid haft möjlighet att svara på alla frågor, bortsett från dem som inte har med matematik att göra.

Kjell Elfström

Svar:

Det enklaste sättet är genom intervallhalvering. Att bestämma roten ur a, där a är ett positivt tal, innebär att bestämma den positiva lösningen x till ekvationen f(x) = x² - a = 0. Det är lätt att se att f är strängt växande för x > 0 så f har precis ett positivt nollställe. Skall man bestämma roten ur 2 sätter man a = 2. Man kan börja med att konstatera att f(1) = -1 < 0 och f(2) = 2 > 0. Den sökta lösningen måste då ligga mellan 1 och 2. Nu halverar vi intervallet [1,2], vilket innebär att vi beräknar funktionsvärdet i mittpunkten 3/2. f(3/2) = 1/4 > 0. Lösningen ligger alltså i intervallet [1,3/2]. Ny halvering ger mittpunkten 5/4 = 1,25. Beräkning visar att f(1,25) < 0. Lösningen ligger alltså i [1,25;1,5]. Ny mittpunkt är (1,25 + 1,5)/2 = 1,375. Denna ger ett negativt värde. Nytt intervall är [1,375;1,5]. Mittpunkt är 1,4375 som ger ett positivt värde. Lösningen ligger alltså i [1,375;1,4375]. Nu vet vi att 2^1/2 = 1,4 med en korrekt decimal eftersom 1,35 <= 1,375 <= 1,4 <= 1,4375 <= 1,45. Man kan fortsätta denna process tills man har fått tillräckligt många decimaler.

En annan metod, med vilken man snabbare uppnår god noggrannhet, kallas Newton-Raphsons metod. Se 31 mars 1997 11.44.13. Låter man a = 2 och börjar med x₀ = 2 får man x₁ = 1,5, x₂ = 1,4166666666667, x₃ = 1,4142156862745, x₄ = 1,4142135623747, x₅ = 1,4142135623731 och sedan blir alla efterföljande värden lika med x₅ om man räknar med 13 decimaler. Vi får att 2^1/2 =  1,4142135623731 med 13 korrekta decimaler eftersom f(1,41421356237305) < 0 och f(1,41421356237315) > 0.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt Eulers formler är

för reella x. Det följer att

Detta kan användas som definition av de trigonometriska funktionernas värde även för icke-reella tal x. T ex blir

Kjell Elfström

Svar:

Se 29 januari 2001 14.00.17.

Kjell Elfström

Svar:

Tänk på att matematiken är grunden för naturvetenskaperna, datavetenskap och ingenjörskonst så kan du själv besvara frågan.

Kjell Elfström

Svar:

Detta kallas Herons problem. Vi skall bestämma P så att AP + PB blir så liten som möjligt.

Låt A' vara spegelbilden av A i linjen. Då är AP + PB = A'P + PB och detta är minst då A', P och B ligger på en rät linje, så att lösningen är att P = P₀ i figuren. Det är lätt att se att vinklarna AP₀C och BP₀D måste vara lika, vilket är innebörden av reflexionslagen.

Kjell Elfström

Svar:

Rita upp mängderna i ett Venn-diagram. Varje ring representerar en medicintyp och den stora rektangeln representerar samtliga 24 mediciner. Börja fylla i den inifrån. Det finns 2 mediciner som hör till samtliga typer. Det finns 6 i F snitt S. Av dessa finns 2 också i H. Det blir fyra kvar som finns i F och S men inte i H. Fortsätter man på det sättet får man följande diagram.

a) 2 + 6 + 4 = 12
b) 2
c) 2 + 1 + 6 = 9
d) Detta är ju ingen matematisk fråga men troligen väljer han en som är hostdämpande och febernedsättande men inte smärtstillande och det finns bara en sådan.

Kjell Elfström

Svar:

Jag undvek att beräkna volymen exakt i 18 januari 2001 21.13.31. Jag härleder här ett uttryck för volymen som innehåller integraler och överlämnar den numeriska beräkningen åt dig. Den klarar du av med något matematikprogram. Låt oss först teckna arean av cirkelsegmentet x² + y² <= r², x >= a. Hälften av denna får man genom att integrera (r² - x²)^1/2 från a till r, varför arean är

Denna integral kan man visserligen uttrycka exakt med hjälp av rottutryck och funktionen arcsin, men vi avstår från detta. Antag att cylinderns radie är r och att dess längd är L. Inför ett koordinatsystem så att x-axeln sammanfaller med cylinderns axel och y-axeln är vertikal. En halvfull tank motsvarar alltså att y = 0. (Vi väntar med att införa vätskans djup till på slutet.) Vätskevolymen i cylindern (med platta sidor) som motsvarar vätskenivån y är då LA(-y,r).

Antag nu att de buktiga ändarna är delar av sfärer med radien R. Placera y-axeln så att origo hamnar i sfärens medelpunkt. Kalla x-koordinaten för cylinderns platta ände för b. Enligt Pythagoras sats är b = (R² - r²)^1/2. Ett horisontellt tvärsnitt av den buktiga delen med ett plan bildar ett cirkelsegment. Om dess vertikala koordinat är y = t kommer cirkelns radie att vara (R² - t²)^1/2 så segmentets area är A(b,(R² - t²)^1/2). Volymen av den ena buktiga delen är följaktligen

Djupet d motsvarar att y = d - r. Summerar vi cylinderdelens och de två buktiga ändarnas volymer får vi att den totala vätskevolymen är

Kjell Elfström

Svar:

Med den vanliga ordningsrelationen är inte 4 < 3.

Kjell Elfström

Svar:

Utnyttja att triangelarean är |A×B|/2 =  |B×C|/2 =  |C×A|/2 samt att |A×B| = |A||B|sin t, där t är vinkeln mellan sidorna A och B och motsvarande för de andra två vektorprodukterna.

Kjell Elfström

Svar:

De tal som inte kan skrivas som en summa av tre kvadrater är de som är på formen 4ⁿ(8k + 7). Alla andra kan skrivas som en sådan summa. Detta bevisades av Legendre 1798. Beviset är för komplicerat för att tas upp här.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte jag förstår frågan riktigt. Är det fråga om att bestämma det minsta antalet rader som behövs för att garantera ett visst antal rätt är detta ett olöst problem utom undantagsvis. Vill du veta hur många rader ett system består av som helgarderar n matcher så är det 3ⁿ.

Kjell Elfström

Svar:

En linje delar ett plan i två delar. Två linjer kan dela ett plan i högst fyra delar. Delar vi planet med en linje till kan denna bara skära de tidigare två i var sin punkt och därför kan den bara dela upp tre av de tidigare områdena i två delar vardera. 2 + 2 + 3 = 7. Det blir ingen skillnad om resonemanget utförs i en cirkel. Cirkeln kan delas upp i högst sju delar.

Kjell Elfström

Svar:

Om längden av en kant är s så är volymen (15 + 7·5^1/2)s³/4. Detta kan härledas från informationen i Euclid's Elements, Book XIII.

Kjell Elfström

Svar:

Vi har

Sätt nu in i ekvationen och visa att dess led är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Det följer av determinantens entydighet, men det blir för långt att ta upp här. Se någon bok i lineär algebra, t ex Karl Gustav Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur 2000.

Kjell Elfström

Svar:

Du kanske kan finna information om detta på Transverse Mercator Calculator.

Kjell Elfström

Svar:

Om a och b är kateterna och c hypotenusan i en rätvinklig triangel så är aⁿ + bⁿ = cⁿ bara om n = 2. Antag att aⁿ + bⁿ = cⁿ. Eftersom också a² + b² = c² så är

Vi kan anta att b >= a. Dividera likheten med b²ⁿ. Med x = a/b får vi då att

Logaritmerar vi båda leden får vi

Deriverar man f finner man att derivatan är större än noll för x i (0,1) om n > 2 och mindre än noll om n < 2. Eftersom f(0) = 0 innebär detta att f(a/b) <> 0 om n <> 2 eftersom 0 < a/b <= 1.

Kjell Elfström

Svar:

Om a är ett element av ordning p och s = pq är en multipel av p är det klart att a^s = (a^p)^q = 1^q = 1. För den minsta gemensamma multipeln d av alla elementens ordningar gäller därför att a^d = 1 för alla a. Ett tal s, 0 < s < d, är inte en multipel av ordningen p av minst ett element a. Enligt divisionsalgoritmen är då s = pq + r, där 1 <= r <= p - 1 och vi får a^s = a^r <> 1. Detta visar ett exponenten är lika med den minsta gemensamma multipeln d. Sätt nu s = |G|. Divisionsalgoritmen ger att det finns tal q och r sådana att s = dq + r, 0 <= r < d. Eftersom alla elementens ordningar delar både s och d delar de också r. Eftersom r < d är detta möjligt endast om r = 0, vilket innebär att d delar s.

Kjell Elfström

Svar:

Att ett element c är sin egen invers betyder att c² = 1. Vi får då att abab = 1. Multiplicerar vi likheten med a till vänster och b till höger får vi

Grupper av primtalsordning är cykliska och cykliska grupper är abelska. Det följer att grupper av ordningarna 2, 3 och 5 är abelska. En grupp av ordning 1 är självklart abelsk. Vidare är den cykliska gruppen av ordning 4 abelsk. Om en grupp av ordning 4 inte är cyklisk har alla element ordningen 1 eller 2, eftersom elementens ordningar delar gruppens. Detta betyder att a² = 1 för alla gruppelement a av vilket det ju följer att gruppen är abelsk.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att vi har ett kapital K på banken vid årets början och att årsräntesatsen är r (r = 0,1 betyder t ex 10%). Då kommer kapitalet vid årets slut att vara (1 + r)K. Antag nu att räntan i stället läggs till kapitalet n gånger om året och ränta betalas på den insatta räntan. Om den periodiska räntesatsen är s kommer kapitalet att vara (1 + s)ⁿK vid årets slut. Skall kapitalet vid de båda metoderna vara lika skall (1 + s)ⁿ = 1 + r, vilket är ekvivalent med att s = (1 + r)^1/n - 1.

Kjell Elfström

Svar:

En hästkraft är ett mått på effekt. En hästkraft är 735,49875 watt.

Kjell Elfström

Svar:

Det är svårt att säga så här i efterhand, men problem som ibland tar mycket tid i anspråk är vissa knep- och knåpproblem och sådana vill vi ju helst inte få. Du kan söka efter alexi eller klöjm på vår söksida för några smakprov.

Kjell Elfström

Svar:

Jag citerar Nationalencyklopedin: En abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling.

Kjell Elfström

Svar:

Se 9 december 1998 15.36.14.

Kjell Elfström

Svar:

Jag har tyvärr inte sett någon analys av tac-tics.

Kjell Elfström

Svar:

Genom att läsa forskarkurser och skriva en avhandling i ämnet i fråga. Avhandlingen måste godkännas vid en disputation. Ett krav för att bli lektor i ett ämne vid ett universitet är att man doktorerat i ämnet. Doktorsgraden är också meriterande när man söker arbete vid många andra arbetsplatser.

Kjell Elfström

Svar:

Det är väl naturligast att ställa upp en andragradsekvation.

Denna är ju lätt att lösa.

Kjell Elfström

Svar:

Den sista parentesen skall tas bort. Dessutom är arctan2(x,y) bara lika med arctan(y/x) då x > 0. Då x < 0 och y < 0 är arctan2(x,y) = arctan(y/x) - Pi och då x < 0 och y >= 0 är arctan2(x,y) = arctan(y/x) + Pi. Då x = 0 är arctan2(x,y) = Pi/2 eller -Pi/2 beroende på om y > 0 eller < 0. Du får göra en fall-definierad funktion utifrån den du har och lägga till eller dra ifrån 180 om x₁ < x₂.

Kjell Elfström

Svar:

Se Constructing the Heptadecagon.

Kjell Elfström

Svar:

Dina funderingar antyder att man väljer 6 bollar utan återläggning, dvs man lägger inte tillbaka bollarna innan man tar nästa. Antag att det finns s svarta och v vita bollar så att det totala antalet är n = s + v. Antag att vi skall dra k bollar. Då är antalet möjliga utfall (ⁿ_k) = n!/(k!(n - k)!) precis som du skriver. Vilken är sannolikheten då att vi drar m vita bollar. Vi förutsätter naturligtvis att m <= k och m <= v ty annars är ju sannolikheten 0. Att dra m vita innebär att vi måste dra k - m svarta. De vita kan dras på (^v_m) och de svarta på (^s_k - m) sätt. Antalet gynnsamma utfall är därför (^v_m)(^s_k - m).

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Slide Rule Page.

Kjell Elfström

Svar:

Att två kurvor skär varandra innebär bara att de har minst en punkt gemensam, de behöver alltså inte skära igenom varandra. Vi skall alltså bestämma kurvorna så de tangerar varandra i en punkt. Eftersom räta linjer också är kurvor behöver man bara ta en deriverbar kurva och dess tangent i vilken punkt som helst. y = x² och y = 0 tangerar varandra i origo. Vill man inte göra det så lätt för sig kan man låta den andra kurvan vara en icke-lineär kurva med samma tangent i origo, t ex y = -x².

Kjell Elfström

Svar:

Genom att sätta uttrycken lika får vi att skärningspunkten är x = 1. Beräkna sedan vinklarna a och b mellan x-axeln och var och en av tangenterna till kurvorna i skärningspunkten. Rita figur! Den sökta vinkeln är a - b. Deriverar vi uttrycken får vi att riktningskoefficienterna för tangenterna är 2 och 1. Vinklarna ges därför av tan a = 2, tan b = 1. Då är a = arctan 2 och b = Pi/4.

Kjell Elfström

Svar:

I a) är funktionen f en primitiv funktion till x,

Att grafen går genom origo innebär att f(0) = 0, vilket ger att

Vi får alltså att f(x) = x²/2. Nu klarar du b) själv.

Kjell Elfström

Svar:

Det stavas tera, inte terra. Det är 10¹².

Kjell Elfström

A= 0  b  3   B= d  0
   2 -5  1      2  1
   c  a  2

 A= 5  2 -4
    2  8  2
   -4  2  5

Svar:

Den första uppgiften tolkar jag som att man skall finna värden på a, b och c så att A blir diagonaliserbar, inte bestämma alla möjliga sådana värden. a = 1, b = 2 och c = 3 duger eftersom A är symmetrisk för dessa värden.

I den andra uppgiften går det inte att bestämma d så att B blir symmetrisk. Egenvärdena är d och 1 och om d <> 1 är B diagonaliserbar eftersom egenvektorer som hör till olika egenvärden är lineärt oberoende. Om d = 1 är matrisen däremot inte diagonaliserbar. Då är alla egenvektorer som hör till det enda egenvärdet parallella med vektorn (0,1).

I den sista uppgiften är egenvärdena 9 (dubbelt) och 0. Egenvektorerna som hör till 9 genereras av e₁ = (0,2,1) och e₂ = (1,2,0). Egenvektorerna hörande till 0 genereras av e₃ = (2,-1,2). Den senare är ortogonal mot de förra (som vi kunde förvänta oss eftersom matrisen är symmetrisk). En vektor x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ avbildas på 9x₁e₁ + 9x₂e₂ så avbildningen är ortogonal projektion på planet som genereras av e₁ och e₂ åtföljd av förstoring med faktorn 9. Matrisen för avbildningen i egenvektorbasen är en diagonalmatris med diagonalelementen 9,9,0.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet möjliga utfall är m = (⁵²₅). Vi räknar nu på hur många sätt vi kan få endast klöver. Det finns 13 klöver och vi skall välja ut 5. Antalet är alltså (¹³₅). Eftersom det finns fyra färger blir antalet gynnsamma utfall g = 4 (¹³₅). Sannolikheten är nu g/m.

Kjell Elfström

Svar:

Kvadratkomplettera.

Detta uttryck är noll bara då x = y = z = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Se CGPG Relativity Seminar Series, Fall 1998.

Kjell Elfström

Svar:

1, 2 och 3 är tre sådana tal.

Kjell Elfström

Svar:

Mängden rent guld är från början (14/24)·300 g = 175 g. Tillsätter man x gram rent guld får man 175 + x gram rent guld. Samtidigt får man ju 300 + x gram av blandningen. Du skall alltså lösa ekvationen

Kjell Elfström

Svar:

Efter räkningarna

och

bör du klara det själv.

Kjell Elfström

Svar:

Låt f vara en funktion som är definierad och deriverbar i ett intervall I. Då följer t ex följande påståenden av medelvärdessatsen:

Om f '(x) = 0 då x tillhör I så är f konstant i I,
om f '(x) > 0 då x tillhör I så är f strängt växande i I,
om f '(x) < 0 då x tillhör I så är f strängt avtagande i I.

Vi bevisar det första. Låt a vara ett fixt tal i I. Om b är ett annat tal i I så är f kontinuerlig i det slutna intervallet med ändpunkter a och b och deriverbar i motsvarande öppna intervall. (f är ju enligt förutsättningarna deriverbar i det slutna intervallet och deriverbara funktioner är ju kontinuerliga.) Enligt medelvärdessatsen finns därför ett tal c mellan a och b, sådant att

Enligt förutsättningarna är f '(c) = 0 varav det följer att f(b) = f(a).

Det är oftast på detta indirekta sätt som satsen används. Jag kan demonstrera hur satsen används direkt för att visa att e^x >= x + 1. Sätt f(x) =  e^x - x - 1. Då är f '(x) = e^x - 1. Av medelvärdessatsen följer att det finns ett tal c mellan 0 och x sådant att

Här är högerledet alltid större än eller lika med 0. Om x = 0 är detta självklart. Är x > 0 är e^c > 1 och om x < 0 är e^c < 1. Vi får alltså att f(x) >= 0 för alla x, vilket skulle bevisas. Men även påståenden som detta bevisas enklast med följdsatserna. Det följer ju av dem att f är strängt avtagande då x < 0 och strängt växande då x > 0, varför f(x) >= f(0) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Om sådana saker kan man läsa i de flesta böcker om mängdlära, t ex Vaught: Set Theory, an Introduction, Birkhäuser.

I själva verket kan man inte bilda mängder hur som helst. T ex finns det ingen mängd som består av alla mängder, åtminstone inte i de vanligaste axiomatiseringarna av mängdläran. Enligt axiomen kan man nämligen alltid bilda mängden av alla element i en given mängd som gör ett visst påstående sant. Om det finns en mängd A av alla mängder så kan man enligt dessa axiom bilda mängden B av alla mängder (i A) som inte tillhör sig själva. Om B inte tillhör B så tillhör B inte sig själv, alltså gäller det att B tillhör B. Om B tillhör B så får vi på samma sätt att B inte tillhör B. Antar vi att det finns en sådan mängd A får vi alltså motsägelsen att det finns en mängd B som är sådan att B tillhör B om och endast om B inte tillhör B.

Det kan inte heller finnas någon sådan mängd X som du anger. Det är nämligen så att mängden av alla kardinaltal som är mindre än ett givet kardinaltal k har just kardinaltalet k. Om K är kardinaltalet för X måste alltså X >= k för alla kardinaltal k. Men mängden av alla delmängder till X, som existerar om X existerar, har ett större kardinaltal än X. Vi får alltså en motsägelse.

Kjell Elfström

          
             1   2  3  4  
             5   6  7  8
             9  10 11 12
             13 14 15 16

Svar:

Se How to Construct Magic Squares.

Kjell Elfström

Svar:

I 7 december 2000 22.10.36 redovisas hur den direkta uträkningen går till. Ofta vet man naturligtvis hur man skall gå till väga genom att man sett beviset eller sett beviset av ett liknande påstående. Ibland kommer man på något själv men även då är matematisk erfarenhet värdefull. Ibland står man naturligtvis alldeles handfallen!

Kjell Elfström

Svar:

Låt a och b vara två sidor i en triangel och A och B dessa sidors motstående vinklar. Då säger tangenssatsen att

Genom att flytta över termer får vi det ekvivalenta påståendet

Skriver vi nu om tan((A + B)/2) - tan((A - B)/2) genom att skriva om båda termerna med hjälp av definitionen tan c = (sin c)/(cos c) och sedan göra liknämnigt får vi ett uttryck där täljaren är

Skriver vi om det trigonometriska uttrycket i högerledet på samma sätt får vi ett uttryck med samma nämnare och med täljaren sin A. Likheten är alltså ekvivalent med

som följer av sinussatsen.

Kjell Elfström

Svar:

Vi börjar med att dela in de olika målade kuberna i kategorier efter hur många sidor som är målade i färgerna: 6, 5+1, 4+2, 4+1+1, 3+3, 3+2+1, 2+2+2. 6 betyder att alla sidorna är målade med samma färg, men vi vet inte vilken färgen är. 5+1 betyder att 5 sidor är målade i en färg och 1 sida i en annan osv. Är färgen bestämd i kategori 6 finns bara en möjlig kub. Eftersom det finns 3 färger finns 3 kuber i kategori 6. Är 5 sidor målade i en viss färg och 1 sida i en viss av de andra finns också bara en möjlig kub. Det finns 3·2 = 6 möjligheter att bestämma färgerna. Alltså finns det 6 kuber i kategori 5+1. Är färgerna bestämda i kategori 4+2 finns bara 2 kuber, den med 2-färgen på motstående sidor och den som inte har det. Även här finns det 6 möjligheter att bestämma färgerna. Det finns 2·6 = 12 kuber i kategori 4+2. I de resterande fyra kategorierna finns det 6, 6, 18 resp. 4 kuber. Totalt 55 möjliga kuber.

Kjell Elfström

Svar:

Ett heltal är något av talen ...,-2,-1,0,1,2,... Ett primtal är ett heltal p större än 1 som bara delas av ±1 och ±p. De första tio primtalen är 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en kvot a/b där både a och b är heltal, b <>0. Exempel på rationella tal är 2/3, 5/7 och 7. Det sista som är ett heltal är också rationellt eftersom 7 = 7/1. Talen 2^1/2, e och Pi är däremot inte rationella. Man kan nämligen bevisa att det inte går att skriva dem som kvoter mellan heltal. Ett komplext tal är ett tal a + bi, där a och b är reella tal och i den imaginära enheten. Ett reellt tal a = a + 0·i är också komplext. De komplexa tal som inte är reella kallas imaginära, t ex 1 + i. Tal på formen bi, där b <> 0 kallas rent imaginära.

Kjell Elfström

Svar:

Om b > 0 överför variabelbytet (bx² + 2cx + d)^1/2 = t ± xb^1/2 integralen av f(x,(bx² + 2cx + d)^1/2), där f är en rationell funktion av två variabler, på en integral med rationell integrand. Detta skulle kunna användas direkt på integralen i frågan men enklare är nog att först bestämma integralen av 1/(a + x²)^1/2 på detta sätt. Sätt t = x + (a + x²)^1/2. Då blir x = (t² - a)/(2t), varför dx = (t² + a)/(2t²). Vi får (a + x²)^1/2 = t - x = (t² + a)/(2t) så

Genom att integrera partiellt får vi, om I är den sökta integralen, att

Härur kan vi lösa ut I och få

Kjell Elfström

Svar:

Utan att veta i vilket sammanhang frågan dyker upp kan jag inte ge något bra svar.

Kjell Elfström

Svar:

Det måste man inte. Skolplikten innebär bara att man under vissa år av sitt liv måste följa undervisningen i skolan.

Kjell Elfström

Svar:

Båda uttrycken är definierade precis då -2 - 3x >= 0, dvs då x <= -2/3. Att de är varandras motsatta tal betyder att det ena är minus det andra, något som bara kan inträffa när x = 0, som ju inte ingår i definitionsmängden. Lösning saknas alltså.

Kjell Elfström

Svar:

Vi skall alltså lösa olikheten

Flyttar vi över allt till vänsterledet får vi

Gör nu likadant som i 19 januari 2001 10.45.34.

Kjell Elfström

Svar:

Vi börjar med att multiplicera båda leden med 10 för att bli av med nämnarna.

Sedan flyttar vi över x-termerna till den ena sidan och konstanterna till den andra.

Kjell Elfström

Svar:

Förläng med ab i uttrycket som skall beräknas så får du

Enligt sambandet mellan rötter och koefficienter är -3(a + b) = -7. Svaret är alltså -7/3.

Kjell Elfström

Svar:

Flyttar vi över alla termer till vänsterledet och gör liknämnigt får vi olikheten

Nu faktoriserar vi täljaren och får

Gör nu en tabell.

Vi får att olikheten är uppfylld då vi har nollor eller plustecken i den sista raden, dvs då -1/2 - 5^1/2/2 <= x < 0 eller x >= 5^1/2/2 - 1/2.

Kjell Elfström

Svar:

Man skall alltså visa att (n + 1)/n - n/(n + 1) = 1/n + 1/(n + 1). Detta är detsamma som

Kjell Elfström

Svar:

Logaritmera.

Kjell Elfström

Svar:

Potensreglerna du först bör använda är (ab)^c = a^cb^c och (a^b)^c = a^bc. Av dessa följer att 12⁹⁹⁷ = (2²·3)⁹⁹⁷ = 2^2·997·3⁹⁹⁷. Skriv 8 = 2³ och 9 = 3² och gör likadant med potenserna i nämnaren. Förkorta nu med hjälp av regeln a^b/a^c = a^b - c.

Kjell Elfström

Svar:

Utnyttja att 40^1/2 = 2·10^1/2, 90^1/2 = 3·10^1/2 och 160^1/2 = 4·10^1/2.

Kjell Elfström

Svar:

k^-2/3 = (k^1/6)^-4 = 7^-4.

Kjell Elfström

Svar:

Om värdet från början var a är det efter de fem åren b = a(1 - 0,043) (1 - 0,072) (1 - 0,12) (1 - 0,131) (1 - 0,052). Minskningen är alltså a -b och den relativa minskningen (a - b)/a = 1 - (1 - 0,043) (1 - 0,072) (1 - 0,12) (1 - 0,131) (1 - 0,052). Den procentuella minskningen är 100 gånger detta tal.

Jag tolkar den andra delfrågan som att den konstanta procentuella minskning p% efterfrågas som ger samma minskning. Om minskningen är p% per år är värdet efter fem år a(1 - p/100)⁵. p bestäms alltså av att (1 - p/100)⁵ = r, där r = (1 - 0,043) (1 - 0,072) (1 - 0,12) (1 - 0,131) (1 - 0,052). Vi får p = 100(1 - r^1/5).

Kjell Elfström

Svar:

I en 1C-blandning finns 1% kvar. I en 2C-blandning 1% av det som fanns i en 1C-blandning, dvs 10^-4 liter. I en xC-blandning finns 10^-2x liter.

Kjell Elfström

Svar:

Om kantlängden i en kub är d dm är dess volym d ³ liter. Detta ger att d = 5^1/3 dm.

Kjell Elfström

Svar:

Om belysningen är E är alltså E = k/x², där x är avståndet. Vi har 300 = k/5², varför k = 37500. Lös nu olikheten E = 37500/x² >= 80.

Kjell Elfström

Svar:

Tyvärr finns det inte några speciella kommandon i HTML för att skriva matematik. sup och sub används i HTML för att upphöja respektive sänka ned text. I kombination med small kan dessa kommandon användas för att skriva exponenter och index. I TeX används ju ^ och _ för att åstadkomma detta. LaTeX-kommandon fungerar inte i HTML och namnlikheter är rena tillfälligheter. Anledningen till att vi inte skriver svaren i TeX är att det skulle ta alltför lång tid att ladda ner de resulterande PDF-filerna.

Kjell Elfström

Svar:

Jag känner inte till begreppet reella procent.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Ancient Chinese Mathematics eller sök efter Chinese mathematics på Internet.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att klotet har radie r och medelpunkt i origo och att klotet skärs av med planet x = a, där -r < a < r. Är det fråga om att beräkna volymen av den del av klotet som ligger till höger om planet är det enkelt. Klotet är den yta som fås genom att rotera kurvan y = (r² - x²)^1/2 kring x-axeln. Volymen blir följaktligen

Är tanken med de buktiga gavlarna fylld är det alltså lätt att beräkna volymen av tankens innehåll. Är den inte fylld är det betydligt svårare. Man skall ju i så fall skära med ett plan till, denna gång ett vinkelrätt mot z-axeln. Vi tänker oss i stället att vi först skär klotet med ett plan z = c. Den del av klotet som ligger ovanför planet skärs sedan med plan vinkelräta mot x-axeln. Skärningarna är cirkelsektorer vilkas area kan beräknas utifrån höjden med formeln från den refererade frågan. Därefter beräknar man hur sektorns höjd beror på x och kan uttrycka tvärsnittarean A(x) som en funktion av x. Den volym som nu ligger till höger om ett plan x = a är integralen av A(x) från a till (r² - c²)^1/2, en räkning jag helst avstår från eftersom det exakta svaret blir mycket komplicerat.

Kjell Elfström

Svar:

Det är lätt att i efterhand konstatera hur vädret blev. Probelemet är att det inte finns något sätt att fastställa vilka sannoliketerna faktiskt var. Att belöna Pelle för att han ofta angett 41% som sannolikhet för en väderlek som förekommit i närheten av 41% av årets dagar är heller inte rätt. Det kan ju faktiskt vara så att han gissar fel varje dag och ändå uppnår detta resultat. Jag kan inte ge något entydigt svar.

Kjell Elfström

Svar:

Termen -a³/27 kommer från x³ = (t - a/3)³. Det kommer konstanta termer från ax², bx och c också! Summerar man dessa konstanta termer får man det värde på q som finns angivet i svaret till frågan du refererar till. Ekvationerna har inte samma lösningar, bara lika många. t är ju en lösning till ekvationen g(t) = 0 om och endast om x = t - a/3 är en lösning till ekvationen f(x) = 0.

Kjell Elfström

Svar:

Ett tal x som är sådant att f(x) = x kallas ett jämviktsläge till f. Startar man med ett jämviktsläge kommer alla värden i fortsättningen att vara jämviktsläget. Om -1 < f '(x) < 1 kallas jämviktsläget stabilt. Startar man tillräckligt nära ett stabilt jämviktsläge kommer värdena att närma sig jämviktsläget. Är derivatan större än 1 eller mindre än -1 kommer de att avlägsna sig. Inget jämviktsläge till ovanstående funktion är stabilt. Nu kan det hända att det finns stabila jämviktslägen till f(f(x)). Man får då en tvåcykel. Startar man med ett värde i närheten av det ena kommmer x_n för jämna index n närma sig det ena och för udda index det andra, under förutsättning att de inte är stabila jämviktslägen till f också. För många funktioner kommer det att dyka upp stabila jämviktslägen för sammansättningen av n funktioner f och man har då en n-cykel. För funktionen i frågan är inte detta fallet. Det blir bara fler instabila jämviktslägen. Jag ber att få hänvisa till litteratur om fraktaler i vilken funktionen i frågan ofta finns behandlad.

Kjell Elfström

Svar:

Nu tror jag att jag har förstått principen, men jag vet inte hur man minimerar y. Problem som detta är i allmänhet ganska svåra.

Kjell Elfström

Svar:

Nyvåytor är i allmänhet inte så lätta att rita, men i detta fallet är de ju utom i urartningsfallen sfärer. Kvadratkompletterar vi får vi nämligen att

så nivåytan är en sfär med medelpunkt i (-1,1,0) och radien k + 2 om k > -2, bara punkten (-1,1,0) om k = 2 och tomma mängden annars.

Kjell Elfström

Svar:

Enklast med Cauchys integralkriterium. För en avtagande positiv funktion f definierad i [1,oo) gäller att

Kriteriet använt på funktionen f(x) = 1/x visar då att den harmoniska serien är divergent.

Ett annat bevis bygger på att man grupperar termerna och skriver den n:e delsumman s_n för n = 2^p som

där a₀ = 1, a₁ = 1/2, a₂ = 1/3 + 1/4 och, allmänt, a_p = 1/(2^p - 1 + 1) + ^... + 1/2^p. Då är a_p >= 1/2 för p = 0,1,2,... varför s_n >= p/2.

Kjell Elfström

Svar:

Man kanske tar hänsyn till ljusets brytning. Fråga vetenskapen om fysik och se 8 januari 2001 21.48.45.

Svar:

Formeln som brukar läras ut i skolorna är x + p/2 = ±((p/2)² - q)^1/2. Se 10 januari 2001 09.57.34.

Kjell Elfström

Svar:

Jag skulle säga att den första definitionen är den korrekta. Med den definitionen blir alla parallellogrammer parallelltrapets. Detta överensstämmer med det sätt man vanligen gör matematiska definitioner på. T ex består ju de rationella talen av heltalen och de rationella tal som inte är heltal.

Kjell Elfström

Svar:

Möjligen finns upplysningar om detta i Nystedt, Lars, Tal till "På tal om tal", Stockholm, 1995. Jag har inte tillgång till boken, men jag såg att den användes vid Linköpings universitet.

Kjell Elfström

Svar:

Den enklaste formeln för beräkning av Pi får man om man Taylorutvecklar arctan x. Vi har

då |x| <= 1. Eftersom Pi/4 = arctan 1 så är

Felet när man approximerar arctan x med

är (-1)^k(1/(1 + (tx)²))x^2k + 1/(2k + 1) för något tal t mellan 0 och 1. I formeln för Pi är x = 1 och felets absoluta värde ligger alltså mellan 1/(4k + 2) och 1/(2k + 1). För att beräkna Pi med tre korrekta decimaler måste vi alltså ta med tusen termer i utvecklingen, vilket visar att metoden inte fungerar i praktiken.

Pi kan beräknas med Machins formel

som man kan bevisa genom att visa att båda leden har samma tangens och att båda ligger mellan -Pi/2 och Pi/2. Man kan beräkna arctan 1/5 och arctan 1/239 med Taylorutvecklingen ovan. Faktorn x^2k + 1 i feltermen gör nu att felet minskar mycket snabbt med antalet termer i utvecklingen.

Kjell Elfström

Svar:

Medelhastigheten är ju tillryggalagd väg dividerad med tiden. I detta fall blir den

Den momentana hastigheten v(t) definieras som derivatan av s. Den är alltså 1,6t i detta fall. Jag vill passa på att påpeka att medelhastigheten i allmänhet inte är lika med medelvärdet av hastigheterna vid tidpunkterna t₁ och t₂ även om uttrycken blir lika i detta exempel eftersom sträckan är ett andragradspolynom av tiden.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt definitionen är M en delmängt till N om det gäller att

Snittet av A och B defineras som mängden av element som tillhör både A och B. Beviset är alltså

Kjell Elfström

Svar:

Kalla sidorna för x och y. Då är omkretsen 2x + 2y = 100, varför y = 50 - x. Arean är xy = 50x - x². Dess derivata är följaktligen 50 - 2x. Derivatan är noll då x = 25. Genom att studera derivatans tecken ser man att arean är maximal för detta värde på x. Rektangeln skall alltså vara en kvadrat med sidan 25.

Kjell Elfström

Svar:

I vissa avseenden uppför den sig inte kaotiskt. T ex är den kontinuerlig även då x = 0 om man definierar f(0) = 0. Detta innebär att f(x)-->0 då x-->0. Däremot variarerar tecknet och derivatan på ett kaotiskt sätt i den betydelsen att det är svårt att gissa vilket tecknet är eller hur stor derivatan är för x i närheten av 0. Jag vet inte vad det innebär att förklara varför det är så.

Kjell Elfström

Svar:

Först påpekar jag att du har glömt ett i i mittenexponenten. Svaret är både ja och nej. Man bör först klargöra vad man menar med iⁱ. Utgår man från räkneregeln för positiva a och reella b, a^b = e^bln a, så skall man ha iⁱ = e^iln i. Vad är då ln z då z inte är ett positivt tal? Om w = ln z bör det gälla att e^w = z. I allmänhet har denna ekvation ingen entydigt bestämd lösning. För z = i får man lösningarna w = (Pi/2 + 2Pi n)i. Detta betyder att ln är en flervärd funktion. iⁱ blir också flervärd, iⁱ = e^{-(Pi/2 + 2Pi n)}, men alla värdena blir reella. Man får vara försiktig vid räkning med flervärda funktioner och komma ihåg att likhetstecknen egentligen inte står för likheter. Annars skulle man ju kunna dra slutsatsen att e^-Pi/2 = e^-5Pi/2, vilket inte är fallet.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror att du får förklara problemet mer i detalj.

Kjell Elfström

  4-5x 5x-1 2-4x
  ----+----=----
  2x-2 2x+2 x2-1

Svar:

För x <> ±1 får man en ekvivalent ekvation genom att multilplicera båda leden med 2(x + 1)(x - 1) = 2(x² - 1). Man blir av med nämnarna och ekvationen förenklas till x + 1 = 0. Ekvationen saknar alltså lösning eftersom x = -1 gör att ett par av nämnarna blir noll.

Kjell Elfström

Svar:

Se 31 januari 1997 12.32.10 och 18 maj 1998 18.50.19.

Kjell Elfström

Svar:

En summa av tal s_n = a₁ + a₂ +^... + a_n vet man ju hur man beräknar. En summa med oändligt många termer a₁ + a₂ + ^... + a_n + ^... kan man inte beräkna om man inte först ger sådana summor en mening. Även om man på något naturligt sätt ger oändliga summor en mening kan man inte beräkna alla, dvs man kan inte förknippa varje sådan summa med ett tal. Man har alltså ett behov av att skilja på själva den oändliga summan och det värde man eventuellt ger en sådan. Man kallar en sådan "formell oändlig summa" för en serie. Serien bestäms alltså bara av vilka värden termerna har. Serien kallas konvergent om den n:e delsumman s_n har ett ändligt gränsvärde s då n --> oo och divergent i annat fall. För en konvergent serie definierar man summan som talet s. En divergent serie har ingen summa. T ex är serien

konvergent eftersom den n:e delsumman

har gränsvärdet 1. Dess summa är alltså 1.

Kjell Elfström

Svar:

Indirekt var det Cantor som bevisade detta. De komplexa talen kan ju identifieras med par av reella tal. Man kan visa att R×R har samma kardinaltal som R med enkel kardinaltalsaritmetik, k² = k, för varje oändligt kardinaltal k. En lättläst bok om mängdlära som bevisar dessa räknelagar för kardinaltal är Vaught: Set Theory, an Introduction, Birkhäuser.

Kjell Elfström

Svar:

Se 2 december 1998 09.57.02.

Kjell Elfström

Svar:

Se 28 januari 1997 10.06.25.

Kjell Elfström

Svar:

Sannolikheten att inte få en sexa i ett visst kast är 5/6. Vi antar att händelsen att få en sexa i ett kast är oberoende av hur det gått i de andra kasten, vilket är rimligt om tärningen är symmetrisk. Sannolikheten att inte få en sexa i n kast i följd är då (5/6)ⁿ. Sannolikheten att få minst en sexa är därför 1 - (5/6)ⁿ. Villkoret är uppfyllt om (5/6)ⁿ <= 0,05 vilket kan skrivas om som (6/5)ⁿ >= 20. Logaritmerar vi båda sidor får vi n >= (ln 20)/(ln 6/5).

Kjell Elfström

Svar:

Organisera informationen i en tabell, t ex med ett hus i varje kolumn. I kolumn 1 noterar man nationalitet norsk, i kolumn 2 färg blå. Då kan inte det första huset vara rött, eftersom det bor en engelsman där. Det kan inte heller vara vitt eller grönt eftersom dessa är grannar med varandra och den enda grannen till hus 1 är blå. Färg 1 är alltså gul. Nu vet vi också att cigarett 1 är Cool. Information som inte direkt kopplar egenskaper till husnummer kan skrivas i fria kolumner vid sidan om, så kan man lätt överblicka om olika villkor motsäger varandra. T ex hamnar juice och Lucky Strike i en sådan obestämd kolumn. Man kan när man gjort alla kolumner från den tillgängliga informationen ganska lätt se att dryck 1 är vatten. Sedan får man nog börja anstränga sig litet. Vi har bara två möjligheter för hus 3, 4 och 5. Antingen rött, vitt, grönt eller vitt, grönt rött. Man kan då göra en tabell för varje möjlighet. I det första fallet kan djur 1 bara vara räv och zebra. Är det räv måste cigarett 2 vara Chesterfield. Man får småningom en motsägelse. Sedan får man se om det går med zebra. Då grenar det kanske ut sig i ytterligare fall. Så får man gå igenom de möjliga förgreningarna och förhoppningsvis ger alla motsägelser utom en.

Kjell Elfström

Svar:

Om det är relativistiska effekter du frågar om så ber jag att få hänvisa till någon frågelåda som besvarar fysikfrågor. Se vår länksida. Annars förstår jag inte den första frågan. Svaret på den andra är ja. Accelerationen a är konstant. Detta ger att v = at + v₀. Hastigheten vid t = 0 är v₀. Hastigheten är -v₀ vid tiden t = -2v₀/a. Sätter vi in dessa båda tidpunkter i formeln för positionen s = at²/2 + v₀t får vi samma värde på s. Ett kortare resonemang bygger på att lägesenergin är densamma vid de två tidpunkterna som kulan befinner sig i utgångsläget. Därför är rörelseenergin också densamma varför också hastigheten är densamma.

Kjell Elfström

Svar:

Om man känner f(t) = antalet födda per tidsenhet vid tiden t kan man beräkna antalet människor som fötts under tidsintervallet [a,b] som integralen av f över intervallet. Antalet som har levt är antalet som har fötts och detta antal blir integralen från -oo till nu av f.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte säker på att jag förstår frågan. Om klotet har medelpunkten i origo kan det erhållas genom att man roterar kurvan y = f(x) = (r² - x²)^1/2 kring x-axeln. Om planet är parallellt med yz-planet och skär x-axeln då x = a kan volymen av den del av klotet som ligger till höger om planet beräknas som integralen från a till r av Pi (f(x))².

Kjell Elfström

Svar:

Utifrån ett axiomsystem för de naturliga talen, t ex Peanos, kan bevisa påståendet. Där byggs de naturliga talen upp utifrån ett tal 0 som inte är efterföljare till något tal. Om n är ett tal är också efterföljaren S(n) ett tal. Man kan då definiera 1 som S(0) och 2 som S(S(0)) = S(1). Addition definieras rekursivt genom att 0 + n = n och S(m) + n = S(m + n). Enligt definitionen är

Kjell Elfström

Svar:

Se Proposition 47 för Euklides bevis. Se också under A bit of history på den sidan.

Kjell Elfström

Svar:

Låt f vara en funktion. En asymptot till kurvan y = f(x) är en linje som kurvan närmar sig. Närmare bestämt säges linjen x = a vara en lodrät asymptot om f(x) går mot oo eller -oo då x går mot a från vänster eller höger. Linjen y = kx + m säges vara en sned asymptot om f(x) - kx - m går mot 0 då x går mot oo eller -oo. En rationell funktion är en funktion som är kvoten mellan två polynom. Den är bruten om den inte är en polynomfunktion.

Kjell Elfström

Svar:

Detta är egentligen en fysikuppgift, men låt gå. Beräkna klotets kinetiska energi mv²/2 när det träffar fjädern. Denna energi har helt överförts till fjädern när den är maximalt sammanpressad. Energin i fjädern är då kx²/2, där k är fjäderkonstanten och x fjäderns avvikelsen från jämviktsläget.

Kjell Elfström

Svar:

Jag antar att Laplacemetoden är metoden att lösa begynnelsevärdesproblem med hjälp av Laplacetransformen. Med hjälp av Laplacetransformen tranformeras funktionerna till en annan klass av funktioner. Problemet kan därefter lösas med hjälp av polynomdivision och lösningen transformeras sedan tillbaka till den ursprungliga lösningen. Om Laplacetransformen kan man läsa i många nybörjarböcker i analys, t ex Hellström, Morander, Tengstrand: Envariabelanalys, Studentlitteratur. Denna bok används i undervisningen i Lund och finns i den lokala bokhandeln här. Det finns också en kort artikel i Nationalencyklopedin.

Kjell Elfström

Svar:

Tänk dig att klockan är graderad med 60 minutstreck. Antag att det har gått 10 timmar och m minuter sedan klockan var 12. På en timme går timvisaren 5 streck varför den går 5/60 = 1/12 streck varje minut. Minutvisaren går naturligtvis ett streck per minut. Antalet minuter sedan klockan var 12 är 600 + m. Timvisaren har då gått (600 + m)/12 streck och minutvisaren står på m streck efter 12. Eftersom de står på lika många streck efter 12 är

Detta kan du själv omvandla till minuter och sekunder.

Kjell Elfström

Svar:

Enligt modellen för radioaktivt sönderfall är mängden kvarvarande radioaktivt kol y = y₀e^-Lt, där y₀ är mängden vid tiden t = 0 och L en positiv konstant. Om H är halveringstiden för radioaktivt kol gäller

Vi nöjer oss nu med mammuten. Enligt uppgifterna är

H får du slå upp i någon tabell.

Kjell Elfström

Svar:

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva talen v₁,v₂,...,v_n definieras genom

dvs som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av de inverterade värdena. Antag nu att en färdväg med längden s delas upp i n lika långa delar och att medelhastigheten i vägavsnitt nr k är v_k. Låt t_k vara den tid det tar att tillryggalägga detta vägavsnitt. Då är t_k = (s/n)/v_k. Om tiden för hela vägsträckan är t och medelhastigheten är v så gäller att

varav det följer att

Detta visar att v är det harmoniska medelvärdet av delhastigheterna.

Kjell Elfström

Svar:

Se 10 januari 2001 11.26.30.

Kjell Elfström

Svar:

Se 9 april 1997 20.59.45.

Kjell Elfström

Svar:

Om p inte är ett primtal kan man inte dra den slutsatsen. T ex är ju 2·3 delbart med 6 men varken 2 eller 3 är delbart med 6. Lemmat kan bevisas med hjälp av Euklides algoritm och beviset av aritmetikens fundamentalsats bygger på lemmat.

Kjell Elfström

Svar:

Låt a, b och c vara vinklarna ABC, ADE resp. den sökta vinkeln. Utnyttjar vi att vinkelsumman i ABD är 180° får vi

Utnyttjar vi sedan att vinkelsumman i CDE är 180° får vi

Drar vi den ena ekvationen från den andra blir vi av med a och b och kan lösa ut c.

Kjell Elfström

Svar:

En matris är ett rektangulärt schema av tal. Se t ex 5 december 2000 11.07.14. Matris heter på engelska matrix, men vill du söka på Internet bör du söka efter matrices, som är pluralformen. Matrix ger väldigt många irrelevanta träffar.

Kjell Elfström

Svar:

Se 18 mars 1997 02.44.41.

Kjell Elfström

Svar:

Ett polärt koordinatsystem i planet bestäms av en pol och en riktning. De polära koordinaterna (r,t) för en punkt med avseende på detta koordinatsystem bestäms av att r är punktens avstånd från polen och t är vinkeln mellan riktningsstrålen och en stråle från polen som går genom punkten. På jordytan (som visserligen inte är ett plan) är nordpolen en pol och meridianen som utgår från nordpolen och går genom Greenwhich en sådan riktning. Breddgrad och längdgrad är de polära koordinaterna för en ort på jordytan. Vissa kurvor får enklare ekvationer i polära koordianter än i vanliga cartesiska koordinater. T ex är ekvationen för en cirkel med radien a kort och gott r = a i polära koordinater medan t ex r = t, t > 0 är ekvationen för en spiral. Att i ett vanligt koordinatsystem skapa ett rutnät genom att rita axelparallella linjer svarar i ett polärt koordinatsystem mot att man ritar cirklar med medelpunkt i polen och strålar utgående från polen, Man får då ett nät likt det som består av vissa utvalda bredd- och längdgrader på en jordglob. Med radial grid brukar då avses cirklarna och angular grid strålarna.

Kjell Elfström

Svar:

Se 28 januari 1999 12.48.27.

Kjell Elfström

Svar:

Det är den väg det är bäst att gå, men något matematiskt begrepp tror jag inte det är.

Kjell Elfström

Svar:

Tyvärr har jag inget namnförslag. Du kan försöka att leta själv på 2d curves eller Famous Curves Index.

Kjell Elfström

Svar:

Du missar ingenting självklart men du missar påståendet mitt på sidan 32. Författaren har alltså visat att resonemanget är tillåtet i ett specialfall och han talar där om att det är tillåtet allmänt utan att bevisa detta.

Kjell Elfström

Svar:

Skriv först om uttrycket som e^f(x), där f(x) = ln((sin x)/(sin 2))/(x - 2). Eftersom kvoten under logaritmen går mot 1 skriver vi om den som 1 + t, där t = (sin x)/(sin 2) - 1 --> 0 då x-->2 för att få ett standardgränsvärde. Vi kan då skriva

Den sista kvoten är differenskvoten för sin i punkten 2 så den går mot sinusderivatans värde i 2, dvs cos 2. Vi får alltså att f(x) --> (cos 2)/(sin 2) = cot 2 då x-->2 varför den ursprungliga funktionens gränsvärde då x-->2 är e^cot 2.

Kjell Elfström

Svar:

De algebraiska talen är de tal som är nollställen till polynom med rationella koefficienter (dock inte nollpolynomet) och det finns algebraiska tal som inte är rötter till rationella tal. T ex är 1 + 2^1/2 ett algebraiskt tal eftersom det är nollställe till polynomet x² - 2x - 1. Däremot är det inte kvadratrot till något rationellt tal eftersom dess kvadrat 3 + 2·2^1/2 är irrationell. Den norske matematikern Abel har visat att det till och med finns algebraiska tal som inte kan erhållas genom successiva rotutdragningar (andra-, tredje- och högre rötter) från de rationella talen. Det är sant att mängden av rötter till de rationella talen har karidinaltalet Alef₀ men det är också kardinaltalet för de algebraiska talen. För att förenkla resonemanget kan vi först konstatera att om ett tal är nollställe till ett polynom med rationella koefficienter så är det också nollställe till ett polynom med heltalskoefficienter. Det är ju bara att multiplicera det rationella polynomet med alla koefficienternas nämnare så får man ett polynom med heltalskoefficienter som har samma nollställen som det rationella. Sedan kan man börja med att konstatera att mängden av polynom med heltalskoefficienter är uppräknelig (dvs har kardinaltalet Alef₀). Tag först alla polynom med heltalskoefficienter av grad högst 1 som är sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst 1, men tag inte med nollpolynomet. Det finns bara ändligt många sådana, närmare bestämt åtta stycken. Räkna upp dessa i en viss ordning. Tag sedan alla av grad högst 2 sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst 2, utom dem vi redan tagit. Fortsätt uppräkningen med dessa. I det n:e steget tar man alla polynom av grad högst n sådana att det största av koefficienternas absolutbelopp är högst n och fortsätter så, men tar inte med nollpolynomet. På detta sätt får man en uppräkning av av alla polynom med heltalskoefficienter utom nollpolynomet. Därefter kan man räkna upp de algebraiska talen genom att först ta med alla nollställen till det första polynomet i uppräkningen (om det finns några) och räkna upp dessa i en viss ordning, sedan tar man det andra polynomets nollställen (de som inte kommit med som nollställen till ett tidigare polynom) och fortsätter uppräkningen med dessa. Genom att fortsätta så får man med alla algebraiska tal i uppräkningen.

Kjell Elfström

Svar:

I ett euklidiskt rum gäller parallellpostulatet, dvs att genom en punkt utanför en linje L₁ går precis en linje L₂ som är parallell med L₁. Om det inte är euklidiskt är det krökt. Man förstår det kanske bäst i två dimensioner. Begreppet linje är egentligen ett odefinierat begrepp, vars egenskaper fastslås i postulat. Vanliga linjer i ett plan uppfyller dessa postulat, men det gör också t ex storcirklar på en sfär om man bortser från parallellpostulatet. Tvådimensionella varelser som bor i ytan av en sfär skulle uppleva storcirklarna som linjer. Skall de gå kortaste vägen från en punkt till en annan skall de följa en storcirkel som går genom punkterna. Men i deras geometri gäller inte parallellpostulatet. Två storcirklar skär nämligen alltid varandra. Det finns också så kallade hyperboliska geometrier. Där finns alltid flera linjer som går genom en punkt utanför en given linjen och är parallella med denna. I den tredimensionella rymden böjs ljusstrålar av när de passerar massor på grund av gravitationen. Man kan tolka detta som att de följer geodetiska linjer i en krökt rymd.

Kjell Elfström

Svar:

Se 30 januari 1997 09.59.08.

Kjell Elfström

Svar:

För många rekursivt definierade talföljder

gäller att z_n stabiliseras nära ett visst värde ganska oberoende av vilket värde man startar med. Sådana talföljder dyker ofta upp i ekologin. z_n kan då vara antalet individer i den n:e generationen av någon djurpopulation och f beskriver hur antalet individer i en generation beror på den föregående. Sådana modeller används för t ex insekter där en generation fortplantar sig för att sedan gå under så att generationerna inte flyter in i varandra. Om talföljden stabilseras oberoende av startvärde kommer en stabil population som utsätts för någon störning, säg en epidemi som gör att en stor del av populationen dör, småningom att stabiliseras på samma värde. Fraktaler definieras ofta med hjälp av rekursionsföljder med helt andra egenskaper. En ytterst liten ändring i startvärde gör att följden utvecklas på ett helt annat sätt. Sådana modeller antas uppträda i t ex meteorologin, där ytterst små förändringar någonstans på jorden kan göra att vädret någon annanstans genomgår dramatiska förändringar. Detta är ett kaotiskt, ej förutsägbart beteende. Se också 17 mars 1997 16.57.52.

Kjell Elfström

Svar:

Sättet på vilket du satt parenteserna får mig att tvivla på att du skrivit rätt. Om det andra (k - c) skall vara i nämnaren kan man ju förkorta bort det mot det första och i annat fall är det en besynnerlig upprepning. Eller skall F vara en funktion? I så fall kan man inte ge någon allmän metod.

Kjell Elfström

Svar:

Jag förutsätter att medelhastigheten var v₁ under två tredjedelar av vägen och inte av tiden färden tog. Antag att medelhastigheten var v₁ sträckan s₁ och v₂ sträckan s₂ och att s₁ + s₂ = s är hela sträckan. Antag att tiden för att färdas den första sträckan är t₁ och tiden för den andra t₂. Medelhastigheten är då v = s/(t₁ + t₂). Men t₁ = s₁/v₁ och t₂ = s₂/v₂ och vi får

Eftersom s₁ = (2/3)s och s₂ = (1/3)s får vi

Kjell Elfström

Svar:

Jag svarar på B och D eftersom A och C är specialfall av dessa.

B Vi har alltså M = 3,2 + ³²log E. Detta ger att ³²log E = M - 32, vilket i sin tur ger att E = 32^M - 3,2.

D Av B följer att om M ökar en enhet så ökar E 32 gånger. Ökar M med m enheter ökar E 32^m gånger.

Kjell Elfström

Svar:

Vill man göra en stringent undersökning så kan man börja med att derivera tre gånger. Man kan nämligen bestämma tredjederivatans nollställen exakt. Det visar sig att tredjederivatan har precis ett nollställe i intervallet. Till vänster om detta är tredjederivatan positiv och till höger negativ. Av detta följer att andraderivatan är strängt växande till vänster och strängt avtagande till höger om detta nollställe. Genom att studera tecknet av andraderivatan i ändpunkterna och i extrempunkten finner man att andraderivatan har precis två nollställen. h'' är först negativ, sedan positiv och sedan negativ igen. Av detta följer att förstaderivatan först är strängt avtagande, sedan strängt växande och sedan strängt avtagande igen. Genom att sätta in några lämpliga värden i förstaderivatan finner man att den har precis tre nollställen och att det bara i det första och det tredje sker en sådan teckenväxling att h har lokalt maximum. Då kan man sluta sig till att det största värdet av h måste antas i någon av dessa båda punkter. Man kan även få fram att dessa nollställen till derivatan ligger kring -2 och 8. Finn nu approximationer till dessa båda lösningar till ekvationen h'(x) med Newton-Raphsons metod. Sätt sedan in dessa båda närmevärden i h och se vilket som är störst.

Kjell Elfström

Svar:

Om priset är 56 + t kronor är försäljningen 120 - 6t kg per dag. Byt ut t mot x - 56 så får vi att priset x kronor ger försäljningen f(x) = 120 + 6·56 - 6x = 456 - 6x kg per dag. Definitionsmängden bestäms av att x >= 0 och f(x) >= 0.

Kjell Elfström

Svar:

För att

skall vara 0 så måste a = 1. Din andra fråga får du besvarad om du löser ekvationen

Kjell Elfström

Svar:

Lös ekvationen

Kjell Elfström

Svar:

Påståendet betyder att 1980 = n(n + 1) för något naturligt tal n. Denna andragradsekvation har rötterna n = -45 och n = 44, av vilka bara det sista är ett naturligt tal. Nästa lika bra årtal är alltså 45·46 = 2070.

Kjell Elfström

Svar:

Med hjälp av kvadratkomplettering. Eftersom (x + a)² = x² + 2ax + a² så är (x + p/2)² = x² + px + (p/2)² varav det följer att

Ekvationen

är alltså ekvivalent med

varav det följer att x + p/2 = ±((p/2)² - q)^1/2. Detta är beviset för det du kallar rotformeln, men metoden kan användas direkt också när p och q har kända värden.

Kjell Elfström

Svar:

Använd konjugatregeln, (a + b)(a - b) = a² - b² = 2. Eftersom a - b = -3 får vi (a + b)(-3) = 2 varför a + b = -2/3.

Kjell Elfström

Svar:

Om x + 1/x = 5 så är (x + 1/x)² = 25. Men (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 så det följer att x² + 1/x² = 25 - 2 = 23.

Kjell Elfström

Svar:

a^x är strängt växande om a > 1. Speciellt är 3^x strängt växande. ³log(y) > b om och endast om y > 3^b. I ditt problem är y = 5x + 4 och b = 2.

Kjell Elfström

Svar:

Det följer av sambandet mellan rötter och koefficienter. Låt f(x) = x² + px + q vara ett andragradspolynom med högstagradskoefficient 1 och kalla nollställena för a och b. Då följer av faktorsatsen att

Identifierar vi koefficienter får vi a + b = -p och ab = q. Eftersom 18·(-4) inte är -74 kan 18 och -4 inte vara rötterna till ekvationen.

Kjell Elfström

Svar:

För att förstå polynomdivision är det lämpligt att först förstå vanlig heltalsdivision. Antag att vi vill dividera a med b. Vi antager för enkelhets skull att båda är positiva. Det gäller då att från a dra bort så många b som möjligt utan att det som är kvar, resten r, blir negativ. Kvoten k är antalet b vi kunde dra bort. Vi kan skriva detta som

Om r = 0 säger vi att divisionen gick jämnt ut. I praktiken drar man ju inte bort ett b i taget utan använder den välbekanta divisionsalgoritmen, som finns i många varianter, t ex liggande stolen och trappan. Antag att vi vill dividera 571 med 7. Metoden går då ut på att först se hur många sjuor vi kan dra från 5, dvs hur många hundra sjuor vi kan dra från 500. Inga! Hur många sjuor kan vi dra från 57, dvs hur många tiotal sjuor kan vi dra från 570. Svaret är 8 så vi kan dra 80 sjuor från 571. 8^.7 = 56, så att dra bort dessa sjuor svarar mot att dra 560 från 571. Kvar har vi 11, som fortfarande är en för stor rest. Från 11 kan vi dra en sjua. Kvoten blir alltså 80 + 1 och resten 11 - 7 = 4.

Vid polynomdivision skall vi i stället dra bort en multipel av ett polynom b(x) från polynomet a(x) så att resten r(x) får ett gradtal som är lägre än gradtalet av b(x). Om k(x) är kvoten skall nu gälla att

där r(x) antingen är nollpolynomet eller ett polynom av gradtal lägre än gradtalet av b(x). Låt oss dividera a(x) = x³ + 3x² + 5x + 4 med b(x) = x + 1. Vi börjar med att dra bort en multipel av b(x) så att högstagradstermen i a(x) försvinner. Drag alltså bort x²b(x). Vi får kvar 2x² + 5x + 4. Drag nu bort multipeln 2xb(x) från denna rest för att eliminera högstagradstermen. Vi får kvar 3x + 4. Drag nu bort 3b(x). Kvar är resten 1, som har lägre gradtal än gradtalet av b(x). Vi har alltså dragit bort kvoten k(x) = x² + 2x + 3 gånger b(x) från a(x) och fått kvar resten 1.

Räkningarna vid polynomdivision kan organiseras på samma sätt som heltalsdivision, t ex liggande stolen.

Kjell Elfström

Svar:

För att vara allmängiltiga antar vi att kortleken har 2n kort, där n är ett positivt heltal. För en vanlig kortlek är alltså n = 26. Vid en perfekt riffelblandning delar man kortleken på mitten. Man får två högar med vardera n kort och tar vartannat kort från den undre och vartannat från den övre högen. Man börjar med den undre, så att inget kort är på samma plats efter blandningen som före. Kortet i position 1 hamnar i position 2, 2 i 4, 3 i 6, ..., n i 2n, n + 1 i 1, n + 2 i 3, ..., 2n i 2n - 1. Vi får en funktion p, där p(k) är den nya positionen för kortet i position k. Vi observerar att p(k) = 2k om 1 <= k <= n och p(k) = 2k - (2n + 1) om n + 1 <= k <= 2n. Detta innebär att p(k) är kongruent med 2k (mod 2n + 1). Utför vi blandningen m gånger ges positionerna av p(p(p(...(p(k))))) = 2^mk (mod 2n + 1).

Vi behandlar först problemet att bestämma efter hur många blandningar varje kort återvänt till sin ursprungliga position. Villkoret för att kortleken efter m blandningar skall vara i det ursprungliga skicket är alltså att

vilket är ekvivalent med att

Enligt Eulers sats är 2^fi(2n + 1) = 1 (mod 2n + 1), där fi är Eulers fi-funktion. Det krävs alltså aldrig mer än fi(2n + 1) blandningar för att komma tillbaka i ursprungligt läge. Då n = 26 är 2n + 1 = 53 ett primtal, och för ett primtal q är fi(q) = q - 1. Det krävs alltså inte fler än 52 blandningar för att komma tillbaka. Av resonemanget framgår att alla korten är på sina ursprungliga platser när det översta kortet har kommit tillbaka och man kan kontrollera att detta verkligen sker först efter 52 blandningar.

Antag nu att de övre korten är svarta och de undre röda. Det är nu klart att efter 52 blandningar är de övre åter svarta och de undre röda eftersom alla kort återvänt. För att färgerna skall hamna rätt måste alla kort ha återvänt. För att visa detta antar vi att korten ej återvänt. Då är inte 2^m kongruent med 1 (mod 2n + 1). Antag att 2^m är kongruent med r (mod 2n + 1), där 2 <= r < 2n + 1. Om n < r < 2n + 1 befinner sig det ursprungligen översta kortet i den undre halvan och färgerna kan inte ha hamnat rätt. Antag att 2 <= r <= n. Låt då k vara kvoten vid heltalsdivisionen 2n/r. Då är

Det följer att 2 <= k <= n och n < rk <= 2n, vilket visar att det svarta kortet i position k hamnat i en röd position.

Kjell Elfström

Svar:

Låt V vara ett vektorrum över en kropp F (t ex de reella talen) och V^* dess duala rum, dvs rummet av lineära former på V. En tensor av typ (^s_r) kan definieras som en multilineär avbildning från V^*s×V^r till F. Se t ex Broida and Williamson: A Comprehensive Introduction to Linear Algebra.

Vektorer brukar ju införas som n-tipler i Rⁿ och har på så sätt inbyggda komponenter. Det är dock inte nödvändigtvis dessa som avses. Den mer intuitiva definitionen av en vektor som mängden av alla riktade sträckor som är lika långa, parallella och lika riktade som en viss given sträcka belyser kanske bättre den geometriska betydelsen. En vektor är alltså inte en riktad sträcka (en pil) eftersom den senare har en begynnelsepunkt men den kan representeras av en riktad sträcka med en viss längd och riktning och det saknar betydelse från vilken punkt man avsätter sträckan. Vektoraddition och multiplikation med skalär införs. Sedan konstaterar man att om man har tre vektorer e₁,e₂,e₃ i rummet som inte är parallella med ett och samma plan så kan varje vektor v i rummet skrivas som en lineärkombination

med entydigt bestämda koordinater x₁,x₂,x₃. Man säger att (x₁,x₂,x₃) är koordinaterna, eller komponenterna, för v med avseende på basen e₁,e₂,e₃ och skriver när man vet vilken bas som avses ofta v =  (x₁,x₂,x₃).

Även för vektorerna i Rⁿ finns det baser. T ex är e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ = (0,0,1) en bas i R³ och koordinaterna för vektorn (x₁,x₂,x₃) = x₁e₁ +  x₂e₂ +  x₃e₃ är med avseende på just denna bas (x₁,x₂,x₃). Även f₁=(1,0,1), f₂=(0,1,1), f₃=(1,0,1) är en bas. Koordinaterna för t ex vektorn (2,2,2) är med avseende på denna bas (1,1,1).

När man har en mängd element i vilken man har definierat en addition och en multiplikation med skalär som uppfyller vissa räkneregler så har man ett vektorrum. Även tensorer kan adderas och multipliceras med skalärer på ett naturligt sätt och alla tensorer av en viss typ bildar ett vektorrum T. Komponenterna av en tensor är alltid med avseende på en viss bas i vektorrummet V. Men dessa komponenter är även koordinater för tensorerna med avseende på någon bas i vektorrummet T.

Kjell Elfström

Svar:

Någon allmän metod att parametrisera kurvor känner jag inte till. Jag får hänvisa till böcker om differentialgeometri.

Kjell Elfström

Svar:

Topptriangelsatsen säger att en topptriangel är likformig med hela triangeln om transversalen är en parallelltransversal. Transversalsatsen säger att en parallelltransversal delar två sidor i en triangel i samma förhållande. Den senare satsen följer av den förra.

Kjell Elfström

Svar:

Man kan ju också fråga sig hur man räknar ut roten ur x. a^1/2 är den positiva lösningen till ekvationen f(x) = x² - a = 0 och denna ekvation kan lösas med Newton-Raphsons metod. Sök på vår söksida! Eftersom 0,8 = 4/5 är, om x = a^0,8, x⁵ = a⁴. Här kan man använda Newton-Raphsons metod på funktionen f(x) = x⁵ - a⁴. Vi har också att a^1,7 = aa^7/10 och a^7/10 kan bestämmas på liknande sätt. Om man har rutiner för att räkna ut exponentialfunktionen e^x och logaritmfunktionen ln(x) kan man också utnyttja att a^b = e^bln a. Dessa båda funktioners värden beräknas i vissa intervall lämpligen med Taylorapproximation. Sök efter Taylor!

Kjell Elfström

Svar:

Jag vet inte vilken allmän formel du avser. Löser man den exakt får man väldigt otympliga uttryck. För att lösa den numeriskt börjar man med att undersöka hur kurvan ser ut, t ex genom att derivera. Man finner att derivatan har två nollställen och att funktionen har ett lokalt maximum i det minsta och ett lokalt minimum i det största samt att f(x) går mot -oo då x går mot -oo och att f(x) går mot oo då x går mot oo. Eftersom det lokala maximivärdet är positivt och det lokala minimivärdet är negativt har funktionen precis tre nollställen. Dessa kan bestämmas med hjälp av Newton-Raphsons metod genom att man väljer lämpliga startvärden i närheten av nollställena. Sök efter Newton-Raphson från söksidan.

Kjell Elfström

Svar:

Det är naturligtvis fråga om en approximation. Antag att jordens medelpunkt är M, att fyrens topp befinner sig i F₁, att ögat befinner sig i F och att linjen genom F och F₁ tangerar jordytan i T. Avståndet kan då approximativt beräknas som |TF| + |TF₁|. Låt r vara jordradien. Då är enligt Pythagoras sats

Eftersom h är försumbar i förhållande till hr är detta ungefär (2hr)^1/2. En liknande uträkning av |TF₁| ger att det sökta avståndet är ungefär

Detta blir ungefär 1,93(h^1/2 + h₁^1/2) nautiska mil.

Kjell Elfström

Svar:

Betrakta en triangel ABC, som är rätvinklig vid C och låt v vara vinkeln vid A. Beteckna sidorna stående mot A, B och C för a, b resp. c. Eftersom alla sådana trianglar med samma vinkel v är likformiga beror kvoterna a/c och b/c bara på vinkeln v. Om v är en vinkel kan man därför definiera sin v som a/c och cos v som b/c för någon sådan triangel. På detta sätt blir cos och sin definierade för vinklar v mellan 0 och Pi/2. För att utvidga definitionen till godtyckliga tal v kan vi betrakta en enhetscirkel (med radie 1) med medelpunkt i origo i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem. Låt A vara medelpunkten och D punkten med koordinater (1,0). Om v är ett positivt tal färdas vi nu utifrån D v längdenheter moturs utefter cirkelns periferi och hamnar i en punkt B. Är v negativt färdas vi i stället medurs -v längdenheter. Om B har koordinaterna (x,y) definieras cos v och sin v som x resp. y. v förutsätts här angiven i radianer och det gäller att 1° = Pi/180 radianer.

Sinus är latin och betyder veck, vik, bukt. Cosinus betyder complementi sinus, komplementets sinus. Troligen var Thomas Fincke (1561-1656) den förste som använde förkortningen sin för sinus.

Kjell Elfström

Svar:

Då jag inte riktigt begriper vad du skrivit tar vi det från början: Derivatan av täljaren är cos x och derivatan av nämnaren är -sin x. Enligt regeln för derivatan av en kvot blir derivatan

Använder vi trigonometriska ettan får vi att detta är

Kjell Elfström

Tabell:
Tid (s)     Hastighet (m/s)

 1              5,3
 2              6,8 
 3              7,7  
 4              8,4 
 5              9,0  
 6              9,4 
 7              9,5
 8              9,6 
 9              9,6 
10              9,6

Svar:

Enligt Hill-Keller-modellen uppfyller hastigheten v hos en löpare begynnelseproblemet

där p är någon kontinuerlig funktion, som mäter kroppens inre motstånd. För korta lopp kan man alltså antaga att p(t) = p är konstant. Lösningen till problemet är i så fall v = (p/k)(1 - e^-kt). Vi ser att gränsvärdet av v då t --> oo är p/k. Enligt tabellen bör detta värde vara 9,6. Vi kan låta w vara avvikelsen av v från jämviktsläget 9,6 dividerad med 9,6 och får

Logaritmerar vi detta får vi

Plottar man y mot t skall alltså punkterna ligga ungefär på en rät linje genom origo. Riktningskoefficienten -k kan då utläsas grafiskt eller bestämmas med minsta-kvadratmetoden.

Kjell Elfström

Svar:

Eftersom A = (Pi/4)d² så är d = (2/Pi)(A Pi)^1/2, varför d' = 1/(Pi A)^1/2. Om förändringen dA i A är liten är förändringen i d ungefär dA d'.

Kjell Elfström

Svar:

Definitionsmängden D_f till f är {x; x <> -1}. Värdemängden V_f är mängden av y sådana att det finns något x för vilket y = f(x). Löser man ut x ur ekvationen

får man just x = G(y) för y <> 2 och finner att lösning saknas för y = 2. V_f är alltså {y; y <> 2}.

Kjell Elfström

Svar:

1. Man ser att z = 1 är en rot till ekvationen. Enligt faktorsatsen delar z - 1 polynomet. Division ger att

Polynomet är alltså noll bara då z - 1 = 0 eller z⁴ + 4 = 0. Den senare ekvationen är en binomisk ekvation, z⁴ = -4. Sätt z = re^it. Ekvationen kan då skrivas

Identifierar vi belopp och argument får vi

där n är ett godtyckligt heltal. De fyra olika rötterna fås då n = 0,1,2,3 eftersom n och n + 4 ger samma rot. Nu återstår bara att skriva rötterna på formen a + bi, vilket jag överlåter åt dig.

2. Påståendet är uppenbarligen sant för n = 0. Antag att det är sant för ett visst naturligt tal n. Då är

och direkt uträkning visar att detta är lika med (n + 1)(2(n + 1) - 1).

3. Du har skrivit fel i frågan. Man skall visa att z = a - ib är ett nollställe. Det gäller att  a - ib = (a - ib)^*, där * betecknar konjugering; vi förutsätter naturligtvis att a och b är reella. Låt alltså z vara ett komplext nollställe, dvs F(z) = 0. Då är

Eftersom koefficienterna är reella är a_i^* = a_i och det följer av räknereglerna för konjugat att

4. Ett nollställe till ett polynom är av multiplicitet 2 när det är nollställe till polynomet och till dess derivata men inte till dess andraderivata. Derivatan har nollställena 0 och ±2^1/2i oberoende av a, så dessa tre är de enda möjliga dubbla nollställena till polynomet. Kräver vi att polynomet är 0 för x = 0 får vi a = 0. Eftersom tredjederivatan inte är noll för x = 0 är 0 ett dubbelt nollställe för a = 0. Behandla de båda övriga möjliga dubbla nollställena på samma sätt.

5. För n = 1 är påståendet uppenbarligen sant med likhet för alla x och y. Antag att det är sant för ett visst n >= 1. Då är

Den sista termen kan skrivas om som

med likhet bara då x = y, eftersom (y - x) och (xⁿ - yⁿ) antingen båda är noll (när x = y) eller har olika tecken.

Kjell Elfström

Svar:

Att anpassa en ellips till en punktmängd kan göras med minsta-kvadratmetoden. Antag att ellipsen har ekvationen

och att punkterna är (x_i,y_i), i = 1,2,...,n. Genom att sätta in punkterna i ellipsens ekvation får man n ekvationer på formen

alltså ett ekvationssystem i de obekanta a, b och c med n ekvationer. Om A är koefficientmatrisen, dvs n×3-matrisen med där rad i är x_i²  x_iy_i  y_i², och B är n×1-matrisen bestående av n ettor och Z 3×1-matrisen med elementen a, b, c får man ut a, b och c genom att lösa normalekvationerna

Om punkterna ligger ungefär utefter en ellips kommer kurvan att vara en ellips men annars kan det bli vilken andragradskurva som helst, t ex en hyperbel. Om minstakvadratmetoden kan man läsa i många böcker om lineär algebra, t ex K G Andersson: Lineär algebra, Studentlitteratur, 2000.

Kjell Elfström

Svar:

Att räkna är en förmåga som människan fått genom evolutionen. Många djurarter anses kunna räkna, t ex ruvande fåglar som märker om ett ägg saknas. Matematik är, till skillnad från rent räknande, en mer specifikt mänsklig sysselsättning. Man ser regelbundenheter och samband när man räknar, systematiserar dessa och försöker bevisa dem. Matematiken har, som alla andra vetenskaper, uppstått på grund av människans behov av att förstå och systematisera omvärlden. Aktiviteter i tidiga kulturer, såsom den babylonska, egyptiska, kinesiska och indiankulturerna i Sydamerika, som påskyndat utvecklingen är handel, byggnadskonst, lantmäteri och astronomi. Se The MacTutor History of Mathematics archive.

Kjell Elfström

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström