Matematikcentrum Matematik MNF

Fråga Lund om matematik Frågor och svar december 2000

n
summa((4/(1+(k/n)^2)) * 1/n)
k=1
om n->00

b
integralf(x)dx
a

Svar:

Satsen om Riemannsummor säger följande:

Låt f vara en funktion som är kontinuerlig i [a,b] och antag att Delta_p är en följd av indelningar av [a,b] sådan att längden av det största delintervallet i Delta_p går mot 0 då p går mot oo. Låt vidare c_k, k = 1,2,...,n(p) vara punkter i indelningens delintervall. Då gäller att

För att se att summan i frågan är en Riemannsumma måste man alltså hitta en funktion f och delningspunkter som i satsen. x_k = k/n, som förekommer i summan, är ju vanligt förekommande delningspunkter så vi chansar på att det blir en Riemannsumma med de delningspunkterna. Men då är ju

Kjell Elfström

Svar:

Det är förmodligen absolutbeloppen som ställer till det. Uttrycken under absolutbeloppen byter tecken då x = -1/2 och då x = 0. I intervallet [-1,-1/2] är integranden (-x - 1/2)(2 + x), i [-1/2,0] är den (x + 1/2)(2 + x) och i [0,2] är den (x + 1/2)(2 - x). Beräkna nu integralen som summan av de tre integralena över [-1,-1/2], [-1/2,0] och [0,2].

Kjell Elfström

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson

Svar:

Volymen av en rak cirkulär kon är

Plåtskivans halvcirkelformade kant har längden 2*pi*(d/2)/2=pi*d/2. Detta ska vara lika med konens bascirkels omkrets som är 2*pi*r_k, och alltså är r_k=d/4. Vidare gäller enligt pytagoras sats att

Catarina Petersson

Svar:

Funktionen

Catarina Petersson

Svar:

Jag vet inte riktigt vad som anses som det mest moderna. Här kan Du dock se vad forskarna här på Matematikcentrum i Lund håller på med.

Catarina Petersson

Svar:

Det vi gör då vi beräknar

är att vi hittar en funktion vars derivata är -1/sqrt((t+1)² +2). Vi säger att vi beräknar en primitiv funktion till funktionen
-1/sqrt((t+1)² +2).
Vi ser att om vi deriverar -ln(t + 1 + sqrt((t+1)² +2))) får vi tillbaka funktionen -1/sqrt((t+1)² +2), och eftersom derivatan av en konstant är 0 kan vi till den primitiva funktionen -ln(t + 1 + sqrt((t+1)² +2))) även addera en godtycklig konstant C.

Catarina Petersson

Svar:

På y-axeln är x=0 och sätter vi in detta i ekvationen för cirkeln får vi

Punkten (-1,-5) ligger inte på cirkeln ty talparet (x, y)=(-1,-5) uppfyller inte ekvationen (x-4)²+(y-7)²=75.

Ekvationen för tangenten till en kurva y = f(x) i en punkt (a, f(a)) är

Den övre halvan av cirkeln (dvs y>7) beskrivs av funktionen

vilket vi sedan kan förenkla till formen y=k*x+m.

I punkterna (4-sqrt(75),7) och (4+sqrt(75),7) är tangenterna de lodräta linjerna x=4-sqrt(75) respektive x=4+sqrt(75).

Catarina Petersson

Svar:
Det är sant att funktionen f(x)=x^1/x har ett maximivärde för x=e. Detta ser vi genom att derivera funktionen. För att kunna göra detta skriver vi först  f som e^(1/x)*lnx. Vi får därefter

som har det enda nollstället x=e. Vidare ser vi att derivatan är positiv för x<e och negativ för x>e, och alltså är x=e en maximipunkt.

Catarina Petersson

Svar:

I svaret till frågan  19 november 1997 20.42.10   ser Du hur man räknar ut en liknande sannolikhet.

Catarina Petersson
 

Svar:

Antag att tangeringspunktens x-koordinat är a. Ekvationen för tangenten till kurvan y = f(x) i en punkt (a,f(a)) är

Att tangenten går genom punkten (2,-10) innebär att talparet (x, y) =(2,-10) satisfierar tangentens ekvation. Vi får

Eftersom f(a)=a²-4a-5 ger detta ekvationen a²-4a+3=0, som har lösningarna a=1 och a=3.
Det finns alltså två tangenter till f(x) som går genom punkten (2,-10), och dessa har tangeringspunkterna (1,-8) respektive (3,-8).

Catarina Petersson

Svar:

Det enklaste sättet är att bara prova talen 0,1,2,...10 och se om de uppfyller ekvationen.

Catarina Petersson

Svar:

Du kan titta på den här sidan.

Catarina Petersson

Svar:

En matris är ett rektangulärt schema av tal. En genomgång av hur man räknar med matriser blir för omfattande för att återges här, och för definitioner av räkneoperationerna får jag därför hänvisa till någon lärobok i lineär algebra, tex. Tengstrand: Lineär algebra med vektorgeometri, Studentlitteratur 1994.
I svaret till frågan  5 december 2000 11.07.14  ser Du vad man kan ha matriser till.

Catarina Petersson

Svar:

Trianglarna är kongruenta i alla tre fallen. Observera att det heter kongruent och inte kongurent.

Catarina Petersson

Svar:

Jag känner inte till någon sådan. Det bästa är nog att Du läser i någon lärobok i lineär algebra.

Catarina Petersson

Svar:

På den här  sidan  hittar Du massor av information om Fibonacci-talens förekomst i naturen.

Catarina Petersson

Svar:

Det är oklart vad Du menar med att "den generella lösningen inte blir separabel". Förmodligen är det den inhomogena termen H₀*e^iwt. För att eliminera den behöver Du finna en partikulärlösning till den givna ekvationen och subtrahera den, varefter det som återstår är att lösa den
homogena värmeledningsekvationen. Ett problem är att denna operation påverkar randvillkoren, och om man till exempel från början har homogena randvillkor (dvs. T=0), så bör man finna en partikulärlösning med nollrandvärden. Nu skriver Du inte något om området (är det kanske hela rummet) eller randvillkor, så det är svårt att lämna ytterligare upplysningar på rimligt utrymme.

Catarina Petersson

Svar:

Vi ser att x³-x=(x-1)*x*(x+1) och eftersom 3 alltid delar något av tre på varandra följande heltal är påståendet bevisat.
Det Du har gjort ovan leder tyvärr ingenstans eftersom Du antar det du vill bevisa; det säger bara att om 3 delar både x³-3 och x³+3x²+2x så delar 3 summan av uttrycken. Detta är en grundläggande sats inom algebran: Om a|b och a|c så gäller att a|(b+c).

Catarina Petersson

Svar:
Ett Gaussiskt heltal är ett komplext tal a+ib, där a, b tillhör Z. De Gaussiska heltalen betecknas Z(i) och är ett integritetsområde, dvs en kommutativ ring med etta som inte innehåller några nolldelare.

Vi definierar nu begreppen irreducibelt element, primelement och entydig faktorisering.

Låt D vara ett integritetsområde.
Låt p vara ett element i D som varken är nollelementet eller en enhet (en enhet är ett element som har en multiplikativ invers). Man säger att p är ett irreducibelt element om det för varje faktorisering p=ab i D gäller att antingen a eller b är en enhet.

Om p i D inte är nollelementet eller en enhet och har egenskapen att om p|ab så måste p|a eller p|b, så sägs p vara ett primelement.

D har entydig faktorisering om
1) Varje element i D som varken är nollelementet eller en enhet kan faktoriseras i en produkt av ett ändligt antal irreducibla element.
2) Om p₁...p_r och q₁...q_s är två faktoriseringar av samma element i D i irreducibla element, så är r=s och q_j kan omnumreras så att p_i och q_i är associerade element.

Att två element a,b i D är associerade element i D betyder att a=bu, där u är en enhet i D.

Om D har entydig faktorisering sammanfaller begreppen irreducibelt element och primelement.

Catarina Petersson

Svar:

I svaret till frågan 18 mars 1997 02.44.41 hittar Du en metod att lösa tredjegradsekvationer.

Catarina Petersson

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson

Svar:

Jag hänvisar till  Fråga vetenskapen om fysik.

Catarina Petersson

Svar:

Någon paradox i matematisk mening kan det inte vara även om du kanske tycker det är märkligt. Man måste ha klart för sig att generaliserade integraler endast är gränsvärden av vanliga integraler. Man hugger av struten vid x = b, beräknar arean och volymen av denna stympade strut, låter sedan b gå mot oo och ser vad som händer. Att arean går mot oo då b går mot oo innebär bara att arean växer med b och kan bli större än vilket givet tal som helst. Tar vi alltså bara b tillräckligt stort räcker inte färgburken till för att måla ytan med ett jämntjockt lager färg. Även volymen växer med b och kan komma hur nära Pi som helst bara vi tar b tillräckligt stort, men volymen kan aldrig bli Pi eller mer. Oavsett hur lång vår ändliga stympade strut är räcker Pi liter färg till för att fylla den om längdenheten är dm.

Kjell Elfström

Svar:

Förhoppningsvis i de böcker i gymnasiet som behandlar trigonometri. Eftersom man inte längre kan ta sådana saker för givna finns det ett bevis i 12 mars 2000 19.10.16 för att cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b. Genom att ersätta b överallt i denna formel med -b får man

eftersom cos(-b) = cos b och sin(-b) = -sin b. Man kan sedan utnyttja att sin c = cos(Pi/2 - c) och cos c = sin(Pi/2 - c):

Formeln för sin(a - b) klarar du efter detta säkert själv att bevisa.

Formlerna för dubbla vinkeln kan man lätt härleda utifrån additionsformlerna eftersom t ex cos 2a = cos(a + a).

Kjell Elfström

Svar:

Vi antar att det finns 4 syd-nordgående gator och 6 öst-västgående. Vi står i det sydvästra hörnet och skall gå till det nordöstra. Går vi den kortaste vägen skall vi i tur och ordning göra 8 förflyttningar från en korsning till nästa, 5 norrut och 3 österut. När vi valt ut de tre östliga är vägen bestämd. Det finns alltså (⁸₃) = 56 möjliga vägar.

Kjell Elfström

Svar:

En symmetri av kvadraten är en avbildning F av kvadraten på sig själv som bevarar avstånd, dvs avståndet mellan punkterna F(P) och F(Q) är lika stort som mellan punkterna P och Q. Två motstående hörn måste avbildas på två motstående hörn eftersom inget annat par av punkter i kvadraten har så stort inbördes avstånd. Hörn måste alltså avbildas på hörn och hörn som ligger på samma sida måste avbildas på hörn som ligger på samma sida. Hela avbildningen är bestämd av dess effekt på två hörn A och B som ligger på samma sida. Låt nämligen P vara en annan punkt i kvadraten. Att P ligger på avståndet a resp. b från A och B betyder att P ligger på en cirkel med radie a och medelpunkt i A och på en cirkel med radie b och medelpunkt i B. Bilden F(P) måste då ligga på en cirkel med radie a och medelpunkt i F(A) och på en cirkel med radie b och medelpunkt i F(B). Eftersom det bara kan finnas en gemensam punkt på cirklarna inuti kvadraten är positionen för F(P) bestämd av F(A) och F(B).

Låt A, B, C, D vara hörnen uppräknade moturs när vi går runt kvadraten. Eftersom F(A) och F(B) skall ligga intill varandra finns bara följande möjligheter för F(A) och F(B):

(A,B), (B,C), (C,D), (D,A), (C,B), (D,C), (A,D), (B,A).

Detta är 8 möjligheter. Nu frågar man sig om det verkligen finns symmetrier som har dessa efftekter på A och B. Låt I, R och S vara enhetsavbildningen, rotation ett kvarts varv moturs runt kvadratens tyngdpunkt respektive spegling av kvadratens punkter i linjen genom B och D. Då är I, R, R², R³, S, RS, R²S, R³S symmetrier som har de angivna effekterna på hörnen A och B. Rⁿ betyder att vi utför rotationen n gånger i följd och RⁿS att vi först speglar och sedan roterar n gånger.

Kjell Elfström

Svar:

Jag är inte säker på vad du menar.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns visserligen lösningsmetoder för den allmänna fjärdegradsekvationen men jag misstänker att man genom kännedom om konstanternas värde kan nå fram till lösningarna på enklare sätt, åtminstone om detta är något slags läxproblem. Jag är heller inte helt säker på vad det skall stå vid [8^ (även om jag har mina aningar).

Kjell Elfström

Svar:

Metoden som vanligen används för att beräkna kvadratrötter är Newton-Raphsons metod. Denna lämpar sig för manuell uträkning och finns även inprogrammerad i räknare, matematikprocessorer och liknande. För att beräkna roten ur a utnyttjar man att denna är ett nollställe till funktionen f(x) = x² - a. Se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström

Svar:

Jag tror inte man kan säga vem som uppfann det. Det har visserligen fått stor användning efter datorernas intåg men att man kunnat uttrycka tal i positionssystem med olika heltalsbaser, och därmed basen 2, har varit känt under mycket lång tid. Babylonierna använde till exempel basen 60, därav indelningen av en cirkel i 360 grader och av en timme i 60 minuter.

Kjell Elfström

Svar:

Vi har följande satser:

int₀¹(dx/x^a) är konvergent om och endast om a < 1.

int₁^oo(dx/x^a) är konvergent om och endast om a > 1.

Om f(x) och g(x) är integrerbara i [a,1] för varje a, 0 < a <= 1, är positiva för alla x i en punkterad högeromgivning av 0 och om f(x)/g(x) --> A > 0 då x --> 0 från höger så gäller att int₀¹(f(x) dx) konvergerar om och endast om int₀¹(g(x) dx) konvergerar.

Om f(x) och h(x) är integrerbara i [1,b] för varje b >= 1, är positiva för alla stora x och om f(x)/h(x) --> A > 0 då x --> oo så gäller att int₁^oo(f(x) dx) konvergerar om och endast om int₁^oo(h(x) dx) konvergerar.

Om f(x) = 1/(x^1/3(5 + x⁴)^1/5) så gäller det att hitta en lämplig funktion g att jämföra med för små x och en funktion h för stora x. Låt oss börja med g. Faktorn (5 + x⁴)^1/5 uppför sig som 5^1/5 (i den bemärkelsen att kvoten mellan dessa funktioner går mot 1 då x --> 0) och x^1/3 uppför sig som sig själv (detta är en lämplig jämförelsefunktion enligt den första jämförelsesatsen). Vi bör alltså sätta g(x) = 1/(x^1/35^1/5). Det är nu lätt att konstatera att f(x)/g(x) --> 1 > 0 då x --> 0⁺ så den tredje satsen är tillämplig. Eftersom, enligt sats 1, integralen av 1/x^1/3 är konvergent så är integralen av g(x) också konvergent vilket enligt jämförelsesatsen ger att integralen från 0 till 1 av f(x) är konvergent. (Vi hade naturligtvis kunnat sätta g(x) = 1/x^1/3 i stället och fått ett annat positivt gränsvärde.)

När det gäller att hitta på en funktion h konstaterar vi att för stora x uppför sig (5 + x⁴)^1/5 i stället som (x⁴)^1/5 = x^4/5, varför en lämplig funktion h är h(x) = 1/(x^1/3x^4/5) = 1/x^17/15. Jämförelsesatsen ger nu att integralen från 1 till oo av f(x) är konvergent.

Konvergensen av dessa båda integraler ger att den ursprungliga integralen är konvergent.

Kjell Elfström

Svar:

Differentialekvationen är separabel,

varför lösningen ges av

Härur kan man lösa ut |(y - 7)/(y - 1)| som funktion av t och om man känner tecknet av (y - 7)/(y - 1) också y som funktion av t.

Kjell Elfström

Svar:

Detta ämne är för omfattande för att avhandlas här. Se t ex Müller, Claus: Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen , eller många andra böcker om matematisk fysik eller partiella differentialekvationer.

Kjell Elfström

Svar:

Integralen kan inte uttryckas med hjälp av de elementära funktionerna.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Krantz, Steven George: Function theory of several complex variables.

Kjell Elfström

Svar:

Byter vi ut x mot t så är integranden en rationell funktion av cos t och sin t, dvs integranden är på formen Q(cos t,sin t), där Q är en rationell funktion av två variabler. Antag att Q är kontinuerlig på enhetscirkeln. För integranden i frågan är Q(x,y) = y/(2 + x + y). Sätter vi z = e^it är enligt Eulers formler cos t = (z + 1/z)/2 och sin t = (z - 1/z)/(2i). Betrakta funktionen f(z) = Q((z + 1/z)/2,(z - 1/z)/(2i))/iz. Om C är enhetscirkeln är int_Cf(z) dz summan av residyerna till f inuti enhetscirkeln, multiplicerad med 2Pi i. Nu behöver vi bara utnyttja att

för att få en metod att beräkna den sökta integralen.

Kjell Elfström

Svar:

Antag att det karakteristiska polynomet

till differentialekvationen

har nollställena z₁ och z₂. Om differentialekvationen har reella koefficienter och något nollställe är ickereellt är båda ickereella och varandras konjugat,

där a och b är reella tal. Lösningarna till differentialekvationen ges då av

Sätt nu C = C₁ + C₂ och D = i(C₁ - C₂) så får du önskat resultat. Den imaginära enheten i finns alltså inbakad i konstanten D.

Kjell Elfström

Svar:

Av uppgifterna i 31 januari 1997 12.32.10 får man att

Enligt konjugatregeln har vi också att

Utveckla kvadraterna i den mittersta termen och använd konjugatregeln på den sista så finner du att de båda uttrycken är lika.

Kjell Elfström

Svar:

Antalet permutationer av rutorna som kan erållas genom en följd av rotationer av de nio småkuberna på någon sida ett kvarts varv är 43252003274489856000. Se Analyzing Rubik's Cube with GAP..

Kjell Elfström

Svar:

Funktionen f(x) = arctan x + x - Pi är strängt växande vilket man ser genom att studera derivatans tecken. Vidare så går f(x) mot oo då x --> oo och f(x) --> -oo då x --> -oo. Detta visar att ekvationen f(x) = 0 har precis en rot. Denna kan bestämmas numeriskt med hjälp av Newton-Raphsons metod, se 29 oktober 2000 19.55.40.

Kjell Elfström

Svar:

Se Egyptian Mathematics. Det som står inom parentesen bör enligt den refererade sidan vara 201.

Kjell Elfström

Svar:

Innebörden är att z är en funktion av x och y. För varje fixt y är z en funktion av x som är proportionell mot x och för varje fixt x är z en funktion av y som är proportionell mot y. Vi har alltså att

där "konstanterna" beror på y resp. x. För t ex y = 1 är de båda uttrycken för z lika för alla x. Detta ger att l(x) = k(1)x, vilket sedan ger att z = kxy, där k = k(1).

Kjell Elfström

Svar:

Ekvationen kan skrivas

Kvadratkompletterar vi får vi

varför

Kjell Elfström

Svar:

Börja med att dra den första ekvationen från den andra och tredje. Du blir då av med x-termerna i de senare ekvationerna. Utnyttja nu att b² - a² = (b - a)(b + a) och b³ - a³ = (b - a)(a² + ab + b²) och dividera den nya andra ekvationen med (b - a), som inte är noll. Gör motsvarande med den nya tredje ekvationen. Drag sedan den så uppkomna andra ekvationen från den nya tredje ekvationen och gör sedan ungefär på samma sätt.

Kjell Elfström

Svar:

Om vi byter ut 0,707 mot 1/2^1/2 blir e₁,e₂,e₃ en ortonormerad bas. Då gäller för varje vektor u att

Eftersom (u·e₁) = 5/2^1/2, (u·e₂) = -1/2^1/2, (u·e₃) = 1 blir komposanterna 5/2^1/2e₁ = (5/2,0,5/2), -1/2^1/2e₂ = (-1/2,0,1/2) och e₃ = (0,1,0).

Kjell Elfström

Svar:

Se 13 maj 1999 16.22.20.

Kjell Elfström

Svar:

Jag uppmanar dig att Fråga astronomen.

Kjell Elfström

Svar:

Huruvida man skall lära sig matematik är en politisk fråga. Det kan finnas många anledningar till att man vill lära sig matematik. Den lägre matematik som undervisas i skolorna (de fyra räknesätten, procenträkning, areaberäkningar mm) är nog nödvändig för de allra flesta. När det gäller den högre matematiken kan man behöva den i studiet av andra ämnen såsom fysik eller ekonomi eller så kanske man läser den för dess (och sin) egen skull.

Kjell Elfström

Svar:

Se 6 december 2000 08.01.55 för hur man får den allmänna lösningen som summan av en partikulärlösning till ekvationen och den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation. I denna differentialekvation saknas y-termen. När man bestämmer en parikulärlösning y₀ måste man därför gå upp ett gradtal och sätta y₀ = Ax² + Bx.

Kjell Elfström

Svar:

Differentialekvationen är lineär av andra ordningen. Om man lyckas finna en enda "partikulärlösning" y₀ ges lösningarna av y = y₀ + y_h där y_h är en godtycklig lösning till den homogena ekvationen

Typiskt för lineära differentialekvationer är också att om y₁ är en lösning till L(y) = h₁ och y₂ en lösning till L(y) = h₂ (samma vänsterled men två olika högerled) så är y₁ + y₂ en lösning till L(y) = h₁ + h₂. I detta fall är h₁(x) = 9x² och man kan finna en partikulärlösning y₁ genom att göra ansatsen y₁ = Ax² + Bx + C, derivera, sätta in i ekvationen och bestämma koefficienterna A, B och C. y₂ kan man finna genom att göra ansatsen y₂ = Dcos 4x + Esin 4x. Partikulärlösningen till den ursprungliga ekvationen blir y₀ =  y₁ +  y₂ och den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen blir y = y_h + y₁ +  y₂.

Kjell Elfström

Svar:

Man börjar med att dividera med 2 för att få högstagradskoefficienten 1. Ekvationen blir då

Därefter kvadratkompletterar man. Eftersom

så är

Detta ger att

Ekvationen kan nu skrivas

Det följer att x - 7/4 = ±3/4, av vilket det följer att x = 7/4 ± 3/4, dvs x = 1 eller x = 5/2.

Kjell Elfström

Svar:

Vi har följande resultat av Seidel-Stern:

Låt b_n vara positiva tal och betrakta kedjebråket

Om f_n är dess n:e approximant (konvergent) så är

varför f_2n och f_2n + 1 båda konvergerar (fast kanske inte mot samma värde). Om dessutom summa b_n divergerar så konvergerar kedjebråket mot ett ändligt värde f och det gäller att

Nu är inte denna sats direkt tillämplig på tan x. Betrakta i stället kedjebråket

där a_n > 0 och z är ett komplext tal. Antag vidare att kedjebråket konvergerar i området |arg z| < Pi mot en holomorf funktion f(z). Under förutsättning att |arg z| <= Pi/2 gäller, som i den förra satsen, |f(z) - f_n(z)| < |f_n(z) - f_{n - 1}(z)|.

Med z = -w², a₁ = 1, a_n = (2n - 3) (2n - 1) då n > 1 konvergerar kedjebråket mot -wtan w och trunkeringsfelet kan uppskattas som i satsen.

Jag kan rekommendera boken Jones, Thron: Continued Fractions, Analytic Theory and Applications, Addison-Wesley 1980.

Kjell Elfström

Svar:

Se t ex Favorite Mathematical Constants eller The Pi Page.

Kjell Elfström

Svar:

Tack för tipset. En mycket läsvärd bok.

Kjell Elfström

Svar:

Det finns väldigt många möjligheter. Vilka som kan vara relevanta i sammanhanget beror på vilken fysikalisk eller ekonomisk eller annan modell som förmodas styra de storheter som reperesenteras av dina mätvärden. Därför kan jag tyvärr inte ge något svar.

Kjell Elfström

Svar:

Ja, volymen är (4/3)Pi r³, där r är radien. Arean är 4Pi r².

Kjell Elfström

Svar:

Med hjälp av matriser kan man på ett kompakt sätt framställa lineära ekvationssystem. T ex kan ekvationssystemet

Enkla beteckningar ökar förståelsen av samband som annars skulle ligga fördolda och matrisspråket lämpar sig väl när man studerar ekvationssystem ur teoretisk synvinkel. Lineära avbildningar såsom rotationer, speglingar och projektioner avbildar vektorer på andra vektorer. Om en bas är införd i rummet har varje vektor entydigt bestämda koordinater. Sambandet mellan en vektors koordinater (x₁,x₂,x₃) och dess bildvektors koordinater (y₁,y₂,y₃) kan formuleras med hjälp av matriser. X och Y är då de kolonnmatriser som man får om man ställer koordinattriplerna upp och matrisen A beror dels på vilken avbildningen är, dels på vilken basen är.

Kjell Elfström

Svar:

I 16 november 2000 10.25.12 redovisas ordningsaxiomen för reella tal. De aritmetiska axiomen finns redovisade i 23 oktober 2000 15.30.10. Om a < 0 och b < 0 följer av ordningsaxiomen att -a > 0 och -b > 0 varför (-a)(-b) > 0. Men av de aritmetiska axiomen följer att ab = (-a)(-b) varför ab > 0. Det måste alltså vara så att produkten av två negativa tal är positiv om de vanliga räknelagarna skall gälla även för negativa tal.

Kjell Elfström

Svar:

Sätt

Uttrycket är då

Kjell Elfström

Svar:

Låt V vara den punkt vandraren befinner sig i och S punkten där stugan finns. Se figur. Pythagoras sats ger att VV ' = (521 - 20²)^1/2 = 11. Även a och b fås med hjälp av Pythagoras sats. a = (12² + x²)^1/2, b = (8² + (11 - x)²)^1/2. Tiden blir

Deriverar man detta uttryck får man ett uttryck med två rottecken. I ekvationen f '(x) = 0 kan man flytta över så man får att rotuttryck i vartdera ledet och därefter kvadrera de båda leden. Då får man en fjärdegradsekvation.

Kjell Elfström

Svar:

Om du tar fyra föremål måste minst två föremål ha samma färg.

Adam Jonsson

Svar:

Om jag förstår din fråga rätt så vill du hitta alla gemensamma element för dels talföljderna A och B, och dels för talföljderna C och D. Man inser lätt att talföljderna är kvadratiska. T ex är

Adam Jonsson

Svar:

Se 29 november 2000 19.07.00.

Adam Jonsson

Svar:

Vi vet att

Adam Jonsson

Svar:

Sådana saker har numera närmast kuriosastatus och är inget som har någon central betydelse i någon kurs (mig veterligen). Men om du är nyfiken så finns en stor och tjusig bok av H. S. M. Coxeter som heter "Regular Complex Polytopes" som är väldigt rolig att bläddra i.
    Förkunskapskravet för att läsa Wiles bevis för Fermats stora sats får sägas vara mycket stort. För att kunna ta hans bevis till sig krävs, förutom en god portion matematisk allmänbildning, att man är en tränad expert i områden som elliptiska kurvor och modulära former. Så mitt tips till dig är att du läser varje kurs du kommer över. Och då menar jag riktiga kurser, inte sådana där halvmesyrer de har på LTH.

Adam Jonsson

Svar:

Om du kallar roten ur L för en ny variabel s, så övergår din ekvation för L i en andragradsekvation för s, som du säkert kan lösa själv. När man löser ekvationen ska man inte glömma bort att eftersom s är roten ur ett reellt tal måste s vara positivt, så eventuella negativa lösningar måste tas bort.

Adam Jonsson

Svar:

Se 15 november 2000 18.07.28.

Adam Jonsson

Svar:

Betrakta ett godtyckligt tal x, som vi i tio-systemet skiver som x = k_sk_s-1 ... k₁k₀. Detta betyder att

Adam Jonsson

Svar:

Sök på ordet "Koch" på vår söksida.

Adam Jonsson

Sidan skapades den 22 oktober 1996 av Kjell Elfström Ansvarig är Kjell Elfström