SAMMANFATTNING

Artins reciprocitetssats

Roger Bengtsson

Augusti 1997

Givet en abelsk Galoisutvidgning av talkroppar K|k vill man finna en inre grupp i k som är isomorf med Galoisgruppen G(K|k).

Denna inre grupp finner man i idealgruppen Ik som alltså är gruppen av alla divisorideal i k. Idéen till denna reciprocitet mellan

abelska utvidgningar av k och inre strukturer i k härstammar från Gauss och hans berömda reciprocitetssats för kvadratiska

kongruenser. Följande sats, som bevisades av Emil Artin 1927, kan ses som den kanske mest generella formuleringen av

Gauss resultat.

Artins reciprocitetssats. Låt K|k vara en abelsk talkroppsutvidgning. Då finns ett modulus m på k, som består av tillräckligt höga potenser av de valuationer som förgrenas på K, sådant att G(K|k) är isomorf med
Ikm
/(i(km,1) NkK(Ikm )).

Här betecknar km,1 strål(under)gruppen till km  (som består av de element i k som motsvarar element i Ikm under den naturliga identifikationen) och i(km,1) är dess bild i Ikm . Vidare betecknar NkK normavbildningen och NkK(Ikm ) det divisorideal som generaras av alla NkK(a) för vilka a tillhör Ikm.

I detta examensarbete bevisas just denna sats, samt förklaras de ingående begreppen. I de första kapitlen gås några grund-

läggande egenskaper hos talkroppar, Galoisutvidgningen och valuationer igenom. Därefter diskuteras faktorisering i Dede-

kindringar, vilket leder fram till konstruktionen av Artinavbildningen, som är en homomorfism från en undergrupp i Ik till

G(K|k). För beviset av dess surjektivitet används den fundamentala likheten, i vilken begreppet modulus (formell produkt

av valuationer på k ) spelar en viktig roll. Slutligen bestäms avbildningens kärna, varvid det främsta verktyget är konstruk-

tionen av en speciell typ av cyklotomiska utvidgningar.