SAMMANFATTNING

Vektorfält på kompakta ytor

Kristina Juter

December 1997

Detta arbete behandlar vektorfält på kompakta ytor. Stora delar av teorin kommer från Poincarés arbete. Vi betraktar vektorfält på sfären och Poincaré-Bendixsons sats på densamma. Vi definierar Poincarés index i planet och konstruerar ett annat index som vi använder för att visa att att Poincarés index för en kompakt yta är lika med Euler-karakteristiken för ytan. Vridningstal definieras och används för att bevisa Denjoys sats, som säger att en diffeomorfi av en cirkel på torusen med irrationellt vridningstal m, är topologiskt ekvivalent med en vridning av cirkeln med vinkeln m. En förutsättning i satsen är att diffeomorfin ska vara två gånger kontinuerligt deriverbar. I slutet av kapitel fyra finns ett exempel av Denjoy som visar att det inte räcker att diffeomorfin är kontinuerligt deriverbar. Slutligen nämns Schwartz sats som är en generalisering av Poincaré-Bendixsons sats till slutna tvådimensionella mångfalder.