SAMMANFATTNING

Formler för beräkning av klasstal

Anna Torstensson

maj 1997

Klasstal är ett viktigt talteoretiskt begrepp. Det kan definieras med hjälp av binära kvadratiska former, dvs polynom av typen f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 där a, b och c är heltal. Formen f:s diskriminant, d, som ges av d=b^2 - 4ac är väldefinierad på ekvivalensklasserna under en viss ekvivalensrelation på mängden av former. Klasstalet, h(d), för d är antalet klasser med diskriminant d.

I detta examensarbete bevisas två formler för beräkning av klasstal. Den första kallas Dirichlets klasstalsformel. Den är generell, men för positiva d innehåller den en indirekt given konstant som är svår att bestämma. Beviset innehåller bland annat studium av karaktärer, ett verktyg inom gruppteorin, och vissa summor av karaktärer. En annan central del handlar om representation med binära kvadratiska former, dvs studium av lösningarna (x,y) till k=f(x,y) där k är ett givet heltal och f given form.

Den andra formeln, publiserad av en matematiker vid namn Kurt Girstmair, lyder

(b+1)h(-p) = -x_1 + x_2 - x_3 + ... + x_{p-1}

och gäller när p >= 7 är ett primtal av formen 4n + 3, det naturliga talet b är en bas i vilken utvecklingen av 1/p har p-1 siffror och x_1, x_2, ... , x_{p-1} är siffrorna i en period. Beviset är enkelt om man utgår från Dirichlets formel. Det kan också nämnas att Girstmairs formel ger en enkel metod för datorberäkning av klasstal.