Felräkning till Er favör!
Hur noggrant är det möjligt att lösa ett matematiskt problem med hjälp av dator? Ett svar på denna fråga är: "problemets konditionstal gånger datorns maskinepsilon". I praktiken har det dock visat sig vara svårt att konstruera algoritmer som klarar detta ideal.
Vi har vissa förväntningar: när vi evaluerar en enkel trigonometrisk funktion förväntar vi oss ett blixtsnabbt svar med femton korrekta siffror. För något som upplevs svårare, Laplaces ekvation i ett område, förväntar vi oss kanske bara ett par, tre korrekta siffror. Det upplevs också som naturligt om beräkningen tar tid. Vi accepterar "felräkning" i ett fall, men inte i ett annat. Detta även om båda problemen, matematiskt sett, har samma svårighetsgrad (konditionstal).
Jag menar att många fältproblem, även ickelinjära, går att lösa mycket snabbt och med ideal noggrannhet. I min föreläsning vill jag ge några exempel från elasticitetsteorin. Det är viktigt att skilja problem från formulering. Vi är, till exempel, vana att formulera problem i fysiken som partiella differentialekvationer (PDE). Vi kanske till och med tänker att PDEerna ÄR problemet. PDEer ger korta formuleringar, men de är ej alltid bäst lämpade för numerisk lösning. Jag har funnit att formuleringar baserade på integralekvationer av Fredholms andra slag är att föredra, när sådana finns. Skillnaden i prestanda mellan algoritmer baserade på olika formuleringar kan vara enorm. Vissa personer baxnar när man påvisar dem. Andra tror att man bluffar. Tyvärr är det ofta svårt att hitta en Fredholmekvation för ett givet problem. I flera fall har vi fått göra detta arbete själva.
Framtiden kommer att ge bättre formuleringar för fler fältproblem. I takt med att datorerna blir snabbare och får större minne så blir skillnaden mellan bra och dåliga algoritmer allt tydligare. Det dröjer säkert ännu en tid innan alla förlåtande attityder till felräkning har försvunnit, speciellt i tillämpade ämnen. Men processen är irreversibel. När man väl har prövat att räkna snabbt och rätt, vill man inte längre räkna långsamt och fel.