MAS217, MASL51, FMS080 950822

Korrekt lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger 4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är ca 35 poäng, dock finns vissa minimikrav på problemdel (18p) resp teoridel (7p).

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Skriv bara på ena sidan. Rödpenna får ej användas. Fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för kemitekniker resp. kemister, Formelsamling MAS 219, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 31 augusti i matematikhusets entréhall.

1. Ett girigt troll sitter på en stor guldskatt. Varje år ökar han den med en normalfördelad mängd guld med väntevärde 10 kg och standardavvikelse 7 kg. En negativ ökning innebär att någon stulit från honom. Ökningarna de olika åren är oberoende.

   (a)

   Hur stor är sannolikheten att ökningen ett visst år blir negativ? (4p)

   (b)

   Hur stor är sannolikheten att han efter 570 år lyckats öka sin guldskatt med minst 6 ton (=6000 kg)? (6p)

2. Trolls behåring innehåller en hel del mossa och för att få den tät och fin måste den vattnas. Det vanliga är att använda dagg som insamlats en torsdagsnatt vid fullmåne och sedan fått stå och mogna i en håla i 7 år. Eftersom detta är ganska omständigt vill trollen pröva om det går lika bra med färskt källvatten. Fem troll vattnar därför den ena armen med dagg och den andra med källvatten. Efter ett tag noterar man mossväxten. Resultat (enhet: mossighetsgrad)

   Troll nr	1	2	3	4	5
   Dagg	98	50	23	45	86
   Källvatten	75	32	4	27	67

   Ange en lämplig modell och gör ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för skillnaden i mossväxt mellan dagg och källvatten. (10p)
3. Troll som träffas av solens stålar förstenas och förvandlas till antingen gnejs eller granit. Under de senaste 5000 åren har 230 trollgummor förstenats. Av dessa blev 185 till gnejs och resten till granit. Av de 180 trollgubbar som förstenats blev 86 till gnejs och resten till granit. Tyder detta på att trollgummor oftare förvandlas till gnejs än vad trollgubbar gör? (10p)
4. Det finns ett negativt, linjärt samband mellan trolls armlängd och svanslängd (i förhållande till kroppslängden): ju längre armar desto kortare svans. Man har gjort mätningar på 6 troll och fått följande resultat (i procent av kroppslängden)

   Armlängdsindex (x):	24	34	50	56	67	102
   Svanslängdsindex (y):	52	47	32	36	25	9

   Antag att y_i=a+b x_i+e_i med e_i som är N(0,s) och oberoende.

   (a)

   Skatta regressionslinjen. (4p)

   (b)

   Gör ett tvåsidigt, 95% konfidensintervall för förväntat svanslängdsindex för troll med armlängdsindex 40. (6p)

5. Prinsessor är trollens favoriträtt. Eftersom det numera är ont om prinsessor har trollen börjat undersöka om turister skulle kunna användas istället. Man måste då förbehandla dem för att göra dem tillräckligt prinsesslika. För att prova ut en lämplig behandling fångade trollen 16 unga, kvinnliga turister, delade in dem två och två i åtta grupper och utsatte dem för olika kombinationer av mat-, dryck- och madrassval. Efter en månad åts de upp varvid man, med ett speciellt prinsessindex, noterade hur likt riktig prinsessa de smakade. Ju högre index desto bättre. Resultat:

   			-	+
   Faktorer:	A	Mat	snokar och paddor	prinsesstårta
   	B	Dryck	bolmörtsvin	dagg
   	C	Madrass	tistlar	dunbolster med ärta

   Försöksresultat:

   A	B	C	Index
   -	-	-	33	43
   +	-	-	72	71
   -	+	-	25	37
   +	+	-	22	25
   -	-	+	29	30
   +	-	+	89	69
   -	+	+	60	55
   +	+	+	54	61

   (a)

   Skatta det slumpmässiga felets standardavvikelse och ange skattningens frihetsgrader. (3p)

   (b)

   Skatta huvud- och samspelseffekterna och avgör vilka som är signifikanta. (5p)

   (c)

   Om man ger turisterna snokar och paddor samt bolmörtsvin, vad bör dom då ha för madrass? Motivera ditt svar. (2p)

6. Trollens favoriträtt är prinsessor. De dyker upp i skogen enligt en poissonprocess med intensitet l. Under de senaste 4 åren har det kommit 3 prinsessor.

   (a)

   Gör en uppskattning av l. (2p)

   (b)

   Skatta sannolikheten att det kommer precis 4 prinsessor under de närmaste 2 åren och sedan inga prinsessor alls under de följande 3. (4p)

   (c)

   När det kommer en prinsessa ställs det till med fest med dans vilket är ett mycket uppskattat nöje bland troll. Dröjer det för länge mellan tillfällena blir de yngre trollen rastlösa och ger sig ut i skogen och rånar älvor och skrämmer grävlingar. Skatta därför sannolikheten att det dröjer mer än tre år från en prinsessa till nästa. (4p)

7. Teorifrågor. Ge koncisa svar på nedanstående frågor, inga långa utredningar! Delfrågorna ger 4p vardera.

   (a)

   En slumpvariabel, X, antar värdet 1 med sannolikhet 0.3 och värdet 3 med sannolikhet 0.7. Beräkna väntevärde och varians för X.

   (b)

   Hur avgör man om man skall ta med ytterligare en variabel vid multipel regression?

   (c)

   Härled Gauss approximationsformler för väntevärde och varians för en variabel.

   (d)

   Ett stort parti enheter har den okända felkvoten p. Ge förslag på en kontrollplan (enkel provtagning) som kan användas för att skilja ut partier med alltför hög felkvot.
   Bestäm OC-funktionen för denna kontrollplan.

   (d)

   Beskriv hur man, med hjälp av rejektionsmetoden, skaffar slumptal från variabeln X med täthetsfunktion f_X(x).

   (e)

   Vad är ett systematiskt fel? Vad är ett grovt fel (outlier)? Ge ett exempel på vardera feltypen.

   Lycka till!