FMS080 950424

Korrekt lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger 4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är ca 35 poäng, dock finns vissa minimikrav på problemdel (18p) resp teoridel (7p).

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Skriv bara på ena sidan. Rödpenna får ej användas. Fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för kemitekniker, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 4 maj i matematikhusets entréhall.

1. En ohederlig trädgårdsmästare säljer barkmull i 50 kg säckar på följande vis. Han placerar den tomma säcken på en våg och häller krukskärvor i den. Sedan fyller han på med barkmull tills vågen visar 50 kg. Säckarnas tomvikt är 0.5 kg, vikten (i kg) av krukskärvorna i en säck är en observation av slumpvariabeln X som är N(12,1) och vågen har ett slumpmässigt fel, Y som är N(0,0.2).

   (a)

   Uttryck Z= "mängden barkmull i en säck (i kg)" med hjälp av X och Y. (3p)

   (b)

   Hur stor är sannolikheten att en säck innehåller mer än 40 kg barkmull? (7p)

2. Mängden vatten som krävs för bevattningen i trädgårdsmästarens växthus varierar med vädret. Under några slumpmässigt valda dagar noterades följande bevattningsbehov (enhet: liter)

   Soligt:	113	130	120
   Molnigt:	85	101	95	88

   Testa om vattenbehovet är signifikant större under soliga dagar än under moliga dagar. Antag normalfördelningar med samma varians. (10p)
3. Trädgårdsmästaren säljer också blandade fröer i påsar med 50 frön i varje. Några av fröna är sommarblommor medan resten är ogräs. Alla frön gror.

   (a)

   En kund köper en påse frö, sår dem och finner att 35 var sommarblommor och de övriga 15 ogräs. Skatta p = "andelen ogräsfrön i påsarna". Gör dessutom ett tvåsidigt, approximativt 95% konfidensintervall för p. (6p)

   (b)

   En annan kund vill ha en rabatt med (minst) 120 sommarblommor. Skatta sannolikheten att han måste köpa mer än 3 fröpåsar. (4p)

4. Dessutom säljer trädgårdsmästaren sättpotatis uppblandad med sten. En misstänksam köksträdgårdsodlare köper 6 säckar sättpotatis i olika viktklasser och undersöker hur mycket sten det finns i dem. Resultat (enhet: kg)

   Viktmärkning (x kg):	5	5	10	10	25	50
   Mängd sten (y kg):	2.8	2.4	4.8	5.5	14.0	24.0

   Antag att det finns ett linjärt samband mellan mängden sten och viktmärkningen, dvs y_i=a+b x_i+e_i med e_i som är N(0,s). Gör ett tvåsidigt, 95% konfidensintervall för den förväntade mängden sten i en säck märkt 25 kg. (10p)
5. I växthuset finns också en penséodling med 12 penséer. Trädgårdsmästaren undersöker hur två olika gödningar och två olika belysningar inverkar på blomningen. Resultat (enhet: viktad blomningspoäng)

   		Belysning
   		Solljus			UV-lampa
   Gödning	Hästgödsel	72	74	75	47	48	45
   	Konstgödsel	67	66	63	54	55	52

   Gör lämpliga analyser för att undersöka om gödningen och/eller belysningen har signifikant inverkan på blomningen. Du kan anta att den slumpmässiga variationen är normalfördelad med konstant varians. (10p)
6. Teorifrågor. Ge koncisa svar på nedanstående frågor, inga långa utredningar! Delfrågorna ger 4p vardera.

   (a)

   Definiera väntevärde och varians för en kontinuerlig slumpvariabel.

   (b)

   Vad säger centrala gränsvärdessatsen?
   Man har slumpvariablerna X₁,...,X₂₀₀ som alla är N(3,2) och vill bestämma fördelningen för summan Y=sum_i=1..200 X_i. Behöver man använda centrala gränsvärdessatsen här?

   (c)

   Härled Gauss approximationsformler för väntevärde och varians för en variabel.

   (d)

   Ett stort parti enheter har den okända felkvoten p. Följande kontrollplan används för att kontrollera kvaliteten. Tag ut 15 enheter. Godkänn partiet om antalet dåliga av de 15 är högst 2. Underkänn om fler än 2 är dåliga. Bestäm är OC-funktionen för denna försöksplan.

   (e)

   Ge ett exempel på en försökssituation där man skall analysera data med hjälp av "stickprov i par".