FMS080 941215

Korrekt lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger 4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är ca 35 poäng, dock finns vissa minimikrav på problemdel (18p) resp teoridel (7p).

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Skriv bara på ena sidan. Rödpenna får ej användas. Fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för kemitekniker, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 22 december i matematikhusets entréhall.

1. En urbaniserad tomte köper mjölk till julens grötkok i enlitersförpackningar. Mängden mjölk i en förpackning kan antas vara normalfördelad med väntevärde 1 liter och standardavvikelse 0.05 liter. För att gröten skall få rätt konsistens måste mjölkmängden ligga mellan 9.6 och 10.3 liter. Hur stor är sannolikheten att gröten får rätt konsistens om tomten tillsätter innehållet i 10 mjölkförpackningar? (10p)
2. För att förhindra att renarna förfryser mulen, stickar tomten nosvärmare åt dem. Han stickar 12 nosvärmare, 6 av ylle och 6 av en syntetblandning, som han sedan slumpar ut bland de 12 slumpmässigt utvalda renar som skall dra släden. Efter julklappsutdelningen noterar han förfrysningsgraden hos renarna. Resultat (i lämplig enhet):

   Ylle (x):	0	3	4	2	7	5
   Syntet (y):	8	13	15	13	9	11

   Ange en lämplig modell och testa på nivå 5% om det finns någon skillnad i medelförfrysning mellan ylle- och syntetgruppen. (10p)
3. Tomten vill bedöma hur många julklappar som kommer att behövas i en stad med 10000 barn. Han behöver då veta hur många av barnen som varit stygga och alltså inte skall få någon julklapp. Därför tar han ut ett slumpmässigt stickprov om 500 barn och finner att 15 av dessa varit stygga.

   (a)

   Gör ett tvåsidigt, approximativt 95% konfidensintervall för p, andelen stygga barn i staden. (6p)

   (b)

   Gör ett tvåsidigt, approximativt 95% konfidensintervall för antalet julklappar som kommer att behövas om varje snällt barn får en julklapp. (4p)

4. För att julgranarna skall hålla sig ända till tjugondedag Knut experimenterar tomten med olika bevattningstekniker. Han har 8 julgranar som han vattnar med kombinationer av julmust och glögg utspätt i vatten. Efter jul noterar han hur mycket barr som fallit av. Resultat (%):

   		Glögg/liter vatten
   		en mugg		tre muggar
   Julmust/liter vatten	ett glas	72	74	47	48
   	två glas	77	76	84	85

   (a)

   Ange en lämplig modell. (2p)

   (b)

   Skatta huvud- och samspelseffekter. (3p)

   (c)

   Skatta observationernas standardavvikelse, s, och ange antalet frihetsgrader för skattningen. (2p)

   (d)

   Gör 95% konfidensintervall för alla effekter. Vilka effekter är signifikanta? (3p)

5. Tomten tror att det finns ett linjärt samband mellan en julskinkas vikt, x, och den tid som krävs för lyckad tillagning, y, dvs y_i=a+b x_i+e_i där e_i är N(0,s). Under årens lopp har han samlat in följande material:

   Vikt x, (kg):	3.5	6.1	4.3	5.8	4.1
   Tillagningstid y, (h):	4.5	7.0	5.5	7.25	4.75

   (a)

   Skatta regressionslinjen. (2p)

   (b)

   Årets skinka väger 5.2 kg. Beräkna ett tvåsidigt 95% prediktionsintervall för dess tillagningstid. (4p)

   (c)

   Gör ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för skillnaden i medeltillagningstid mellan en skinka som väger 5.5 kg och en som väger 4.0 kg. (4p)

6. Teorifrågor. Ge koncisa svar på nedanstående frågor, inga långa utredningar! Delfrågorna ger 4p vardera.

   (a)

   En hasselnöt innehåller 0, 1 eller 2 kärnor med sannolikheterna 0.1, 0.85 respektive 0.05. Beräkna väntevärde och varians för antalet kärnor i en nöt.

   (b)

   Vikten av en bit inlagd sill är fördelad enligt "sillfördelningen" med väntevärde 10 g och standardavvikelse 4 g. Alla sillbitsvikter är oberoende. Vad kan man säga om fördelningen för sammanlagda vikten av 3 sillbitar? Av 300 sillbitar?

   (c)

   Volymen, Y, av en julgranskula fås som Y=4 pi X³/3 där X är radien. Antag att E(X)=4 cm och D(X)=1 cm. Beräkna approximativt väntevärde och standardavvikelse för volymen.

   (d)

   Tomten har följande försöksplan för att kontrollera kvaliteten på tillverkade julklappar. Tag ut 15 julklappar tillverkade under en dag. Godkänn hela dagsproduktionen om antalet dåliga av de 15 är högst 2. Underkänn om fler än 2 är dåliga. Bestäm OC-funktionen för denna försöksplan.

   (e)

   När tomten i efterhand studerade sitt julgransexperiment i uppgift 4 insåg han plötsligt att julgranarna var huggna vid olika tidpunkter. Eftersom barrningen påverkas av hur länge en julgran legat utan vatten, vill tomten ta hänsyn till detta nästa jul.
   Ge ge tomten två försöksplaner (ett fullständigt randomiserat försök och ett med randomiserade block) som kan användas för att undersöka om glöggtillsatsen påverkar barrningen (strunta i julmusten). Till ditt förfogande har du 8 julgranar, varav 4 är huggna vid Lucia och 4 på lillejulafton, samt en stor flaska glögg.