FMS085 990819

Korrekt, väl motiverad lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger 4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är ca 35 poäng, dock finns vissa minimikrav på problemdel (18p) respektive teoridel (7p).

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Skriv fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för kemitekniker, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 26 augusti i matematikhusets entréhall.

1. En viss typ av piltavla har två ringar, en yttre och en inre. Diametern på den yttre ringen är tre gånger så stor som diametern på den inre ringen. Sannolikheten att en dålig pilkastare träffar en viss punkt på tavlan är lika stor överallt oavsett vilken ring det gäller.

   (a)

   Bestäm sannolikheten att en dålig pilkastare träffar i den inre ringen.
   Ledning: en cirkels area =pi r².

   (b)

   En dålig pilkastare gör 25 kast. Ange fördelning för antalet kast som träffar i den inre ringen samt fördelningens väntevärde.

   (c)

   Darth Vader kastar pil med en mystisk främling. Denne (Obi-Wan Kenobi med lösskägg) försöker dölja att han är jedimästare genom att medvetet kasta dåligt. Av hans 25 pilkast träffar inget i den inre ringen. Är detta resultat så dåligt att Darth Vader bör misstänka att han inte har att göra med en dålig pilkastare utan istället en bra pilkastare som är dålig på sannolikhetsteori? Motivera ditt svar.

2. De medelstora stenarna i Yodas träsk varierar i tyngd. Tyngderna kan antas vara normalfördelade med väntevärde 2.4kg och standardavvikelse 0.5kg.

   (a)

   Den tyngd en otränad jedilärling kan lyfta är normalfördelad med väntevärde 2.0kg och standardavvikelse 0.7kg. Hur stor är sannolikheten att lärlingen kan lyfta en slumpmässigt vald sten?

   (b)

   Den tyngd en vältränad jedilärling kan lyfta är normalfördelad med väntevärde 52kg och standardavvikelse 11kg. Hur stor är sannolikheten att lärlingen kan lyfta tyngden av 20 slumpmässigt valda stenar?

   (c)

   Hur stor är sannolikheten att en vältränad jedilärling kan lyfta tyngden av 20 stenar plus Yoda själv som alltid väger 8.0kg?

3. Jabba the Hutts favoritgodis är levande grodor. Han vill med ett blindtest avgöra om två olika arter skiljer sig åt med avseende på smak, sprattlande, krispighet, etc. Han äter därför, med förbundna ögon, några grodor av vardera arten och betygsätter dem. Resultat (sammanvägt):

   Småspräcklig giftgroda: 11.2 11.6 11.9 8.0

   Mindre ökengroda: 14.0 13.8 12.6 8.9 13.3

   (a)

   Formulera den modell för data och de hypoteser som behövs för att testa om grodarterna skiljer sig åt i medelbetyg.

   (b)

   Genomför testet med signifikansnivån 5%.

4. På sträckor längre än 1 ljusår (ca 10¹⁶m) färdas smugglaren Han Solos rymdskepp genom hyperrymden. Restiden, y, har då följande samband med den sträcka, u, man skall tillryggalägga:

   y_i=a+b log₁₀ [log₁₀ (u_i)]+e_i

   där e_i är N(0,sigma²). På fem resor har följande noterats i loggen:

   Resa nr.	i	1	2	3	4	5
   Sträcka (ljusår)	ui	10	102	103	104	106
   log10[log10(ui)]	xi	0.00	0.30	0.48	0.60	0.78
   Tid (h)	yi	2.1	4.7	7.5	7.3	10.3

   (a)

   Skatta parametrarna a, b och sigma.

   (b)

   Gör ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för medelrestiden när man skall färdas från en sida galaxen till den andra, en sträcka på 10⁵ ljusår.

5. Andrepiloten Chewbacca roar sig med att notera hur många skott som avlossas mot skeppet vid varje resa för att se om detta har något samband med om hyperrymdsmotorn fungerar och om man har några mystiska passagerare ombord:

   	(B) Fungerar motorn?
   (A) Passagerare?	Ja			Nej
   Nej	7	16	9	12	18	23
   Ja	42	48	54	97	89	106

   Försök	Medelvärde	Varians
   (1)	10.67	22.33
   a	48.00	36.00
   b	17.67	30.33
   ab	97.33	72.33

   (a)

   Sätt upp en lämplig modell och skatta variansen för den slumpmässiga variationen.

   (b)

   Skatta samspelseffekten AB och konstruera ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för den.

6. Teorifrågor. Ge koncisa svar på nedanstående frågor, inga långa utredningar! Delfrågorna ger 4 poäng vardera.

   (a)

   Slumpvariablerna X och Y är oberoende med E(X)=5, V(X)=4, E(Y)=10 och V(Y)=3. Beräkna lämpliga approximationer av väntevärde och varians för variabeln Z=X ln Y.

   (b)

   Formulera centrala gränsvärdessatsen och ge ett exempel på dess användning.

   (c)

   (forts. på uppgift 3) Jabba vill istället testa om den grönspräckliga giftgrodan (A) är bättre, dvs får högre medelbetyg, än den mindre ökengrodan (B). Vilket av följande tre konfidensintervall bör han då använda sig av?

   (i)

   I_A-B=(-infinity, c₁)

   (ii)

   I_A-B=(c₂, infinity)

   (iii)

   I_A-B=(c₃, c₄)

   Svaret skall motiveras.

   (d)

   Det pris Jawas begär för den begagnade roboten C₃PO₄ kan betraktas som en slumpvariabel med följande fördelning:

   Pris (kr):	20	25	50	225
   Sannolikhet:	0.5	0.3	0.15	0.05

   Beräkna väntevärde och standardavvikelse för det begärda priset.

   (e)

   Drottning Amidala vill ta sig från Naboo till Coruscant med mellanlandning på Tatooine. Från Naboo till Tatooine finns en rutt, A, och från Tatooine till Coruscant finns två olika rutter, B och C. Sannolikheten att en rutt är blockerad av handelsfederationen är 0.6 och olika rutter blockeras oberoende av varandra. Hur stor är sannolikheten att Amidala kan ta sig från Naboo till Coruscant?