MAS215 950311

Korrekt, väl motiverad lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera. Totalt kan man få 50 poäng. Gränsen för godkänd är ca 25 poäng och för väl godkänd ca 38 poäng.

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Skriv fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, formelsamling Statistik för biologer och geovetare, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 16 mars i matematikhusets entréhall.

1. En tjuvaktig skata samlar kvistar att bygga bo med. Kvistarnas vikter i gram kan betraktas som oberoende observationer av en slumpvariabel Y med väntevärde m=18 och standardavvikelse s=13. När boet är färdigt innehåller det 256 kvistar. Beräkna sannolikheten att det färdiga boet väger mindre än 5.0 kilo? (10p)
2. Skatan själv vet ingenting om fördelningen för kvistarnas vikter, mer än att det inte är en normalfördelning. Därför stjäl hon en brevvåg och väger några slumpmässigt utvalda kvistar. Resultat i gram:

   5.7

   7.3

   8.0

   11.7

   12.0

   12.3

   13.1

   13.5

   17.0

   24.2

   31.1

   Testa, med hjälp av ett lämpligt test, om medianvikten kan vara 18.0 gram. (10p)
3. Den tjuvaktiga skatan livnär sig bl.a. genom att stjäla korv slumpmässigt från olika gatukök. Under årets lopp har hon stulit följande:

   	Tjocka	Smala
   Adams gatukök	77	88
   Bertils korvhörna	99	77
   Caesars korvkök	87	122

   (a)

   Testa om de olika gatuköken har samma andel tjocka och smala korvar. (5p)

   (b)

   Antag att det inte är någon skillnad i fördelning mellan Adams gatukök och Bertils korvhörna. Skatta p_x= "andelen tjocka korvar hos Adam och Bertil" och p_y= "andelen tjocka korvar hos Caesar" samt testa om p_x=p_y. (5p)

4. Ett av skatans nöjen är att stjäla silverskedar. I sin samling har hon bl.a. 11 kaffeskedar från tre olika serviser. Hon väger dem på den stulna brevvågen och får följande resultat i gram:

   Servis A	11.0	9.9	10.2	10.5
   Servis B	10.3	12.1	11.0
   Servis C	12.6	13.3	13.4	12.9

   Antag att vikterna är normalfördelade med samma varians.

   (a)

   Ange en så bra skattning som möjligt av observationernas varians. (4p)

   (b)

   Använd skattningen i (a) för att göra ett 95% konfidensintervall för skillnaden i vikt mellan servis B och servis C. (6p)

5. Skatan har också konstaterat att ju större en sked är desto mer väger den. Därför väger hon först några skedar på brevvågen och doppar dem sedan i regnmätaren. Ändringen i vattenhöjd är då ett mått på skedens volym. Resultat:

   Vikt x (gram)	10	18	8	12	13	10
   Ändring y (gradstreck)	0.5	0.8	0.3	0.6	0.7	0.5

   Man kan visa att ändringen, y, är en linjär funktion av vikten, x, så när som på mätfel, dvs y_i=a+b x_i+e_i där e_i är N(0,s²). Parametrarna a och b beror på regnmätarens diameter och densiteten för silver.

   (a)

   Gör ett 95% konfidensintervall för b. (3p)

   (b)

   För just denna regnmätare är b=0.5/d där d är densiteten för silver (kg/dm³). Gör ett 95% konfidensintervall för d. Ledning: du kan använda intervallet i (a). (3p)

   (c)

   I själva verket skall a vara noll. Testa om så är fallet. (4p)