FMS085 990527

Korrekt, väl motiverad lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger 4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är ca 35 poäng, dock finns vissa minimikrav på problemdel (18p) respektive teoridel (7p).

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Skriv fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för kemitekniker, samt miniräknare.

Resultatet anslås torsdagen den 10 juni i matematikhusets entréhall.

1. Snövit och de sju dvärgarna: I sagorna är 1% av alla dvärgar skägglösa. Snövits sju dvärgar kan betraktas som ett slumpmässigt stickprov av dvärgar.

   (a)

   Hur stor är sannolikheten att ingen av de sju dvärgarna är skägglös?

   (b)

   Hur stor är sannolikheten att precis en av de sju dvärgarna är skägglös?

   (c)

   Det visar sig att av de sju dvärgarna saknar en, nämligen Toker, skägg. Tyder detta på att Snövits dvärgar är mer skägglösa än normalt?

   (d)

   Värdet 1% fick man genom en undersökning av 1500 slumpmässigt utvalda dvärgar där 15 visade sig sakna skägg. Gör ett tvåsidigt approximativt 95% konfidensintervall för andelen skägglösa dvärgar i hela populationen.

2. (a)

   Törnrosa: Häcken runt Törnrosas slott är en meter bred när hon på sin femtonårsdag sticker sig på en slända och somnar. Därefter växer den förtrollade törnroshäcken på bredden med i medeltal 50 cm varje år med en standardavvikelse på 40 cm och tillväxten under olika år är oberoende. En normal prins kan forcera en törnroshäck om den är högst 60 meter bred. Hur stor är sannolikheten att prinsen kan ta sig igenom häcken när den vuxit i hundra år?

   (b)

   Rödluvan och Vargen: (Presenterat på tentamenskonstruktörens disputationsfest som ett exempel på hur kollegorna tror att talen på en skrivning med sagotema ser ut.) Vargen börjar äta Rödluvan vid tiden t. Varje sekund äter han ett slumpmässigt antal kilo Rödluva som är N(0.5,0.2)-fördelat. Vid tiden t+60 ankommer jägaren, och då finns 5 kg Rödluva kvar. Konstruera ett 95% tvåsidigt konfidensintervall för Rödluvans ursprungliga vikt (lämpliga oberoendeantaganden skall anges explicit).

3. Grodkungen: Prinsessan tycker att hennes man har ovanligt lång tunga och misstänker att det beror på den förvandling prins-groda-prins som han genomgått. Därför dömer hon inte häxan som förtrollade honom till döden utan låter henne göra samhällstjänst istället. Hon bjuder in alla tillgängliga prinsar, mäter deras tunglängder och låter häxan förvandla dem till grodor som släpps ut i trädgården. Varje gång prinsessan sedan tappar sin guldboll i dammen erbjuder sig en groda att hämta upp den. Då återställs grodan till prins varpå prinsessan mäter hans tunglängd igen.

   Prins		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   Tunglängd	Före	11.2	11.6	11.9	8.0	10.4	10.5	8.0	8.5	12.2	9.7
   	Efter	14.0	13.8	12.6	8.9	13.3	10.6	11.5	11.7	12.5	11.2

   Sätt upp en lämplig modell och testa på nivån 5% om förvandlingen ökar tunglängden.
4. Prinsessan på ärten: Hur dåligt en prinsessa sover då någon lagt en ärta under hennes tjugo madrasser och tjugo ejderdunsbolster kan betraktas som en linjär funktion av hur mycket "riktig prinsessa" hon är. Drottningen har studerat åtta prinsessor av varierande äkthetsgrad och fått följande resultat i någon lämplig enhet:

   Prinsessa	i	1	2	3	4	5	6	7	8
   Äkthetsgrad (%)	xi	6.5	19.0	31.5	44.0	56.5	69.0	81.5	94.0
   Sömnsvårighet	yi	0.8	4.3	9.3	9.3	12.3	16.8	18.3	22.3

   (a)

   Skatta parametrarna a, b och s i sambandet y_i=a+b x_i+e_i, i=1,...,8 där e_i är N(0,s²).

   (b)

   Gränsen för att vara en riktig prinsessa går vid 90% äkthetsgrad. Gör ett tvåsidigt 95% prediktionsintervall för sömnsvårigheten y hos en sådan prinsessa.

5. Tre små grisar: De tre små grisarna vill veta om det spelar någon roll om man bygger sitt hus av halm, vass eller tegel. De bygger 5 hus var och undersöker hur många minuter det tar för vargen att riva dem och äta upp den gris som placerats i huset som lockbete:

   	Ursprungliga värden (minuter)					Logaritmerade värden
   Halm	1.5	3.7	2.0	1.5	1.8	0.4	1.3	0.7	0.4	0.6
   Vass	6.7	12.2	9.0	30.0	8.2	1.9	2.5	2.2	3.4	2.1
   Tegel	445.9	66.7	148.4	121.5	66.7	6.1	4.2	5.0	4.8	4.2

   (a)

   Ange minst ett skäl till varför man bör logaritmera värdena innan man räknar vidare.

   (b)

   Sätt upp en lämplig modell för de logaritmerade värdena och skatta variansen för den slumpmässiga variationen.

   (c)

   Testa på signifikansnivån 5% om det finns någon skillnad mellan byggmaterialen.

   (d)

   Hur många gånger längre kan ett tegelhus motstå vargen jämfört med ett hus av halm, i medeltal? Besvara frågan med hjälp av ett lämpligt tvåsidigt 95% konfidensintervall.
   (Ledning: gör först ett intervall för motsvarande skillnad i logaritmerade enheter.)

6. Teorifrågor. Ge koncisa svar på nedanstående frågor, inga långa utredningar!

   (a)

   Grodkungen (forts): Prinsessan har noterat att hennes guldboll i medeltal tränger undan 1 liter vatten när hon tappar den i dammen. Standardavvikelsen är 0.1 liter. Beräkna approximationer av väntevärde och standardavvikelse för skattningen av bollens diameter Y=(6X/pi)^1/3 där X är den undanträngda vattenmängden.

   (b)

   Prinsessan på ärten (forts): En ovädersnatt kommer en prinsessa vars sömnsvårigheter mäts till 5.0. Beskriv hur man grafiskt skulle kunna konstruera ett kalibreringsintervall för hennes äkthetsgrad.

   (c)

   Prinsessan på ärten (forts): Antag att man förutom prinsessornas äkthetsgrad också varierat madrasstjockleken. Beskriv hur man skulle kunna göra för att avgöra om den också skall tas med i modellen.

   (d)

   Hans och Greta: Häxan vill avgöra vilken kombination av stugmaterial som bäst lockar till sig små barn. Hon har till sitt förfogande 4 prefabricerade pepparkaksstommar och 4 korsvirkesstommar. Dessutom har hon 4 knäcktak och 4 halmtak. Föreslå två försöksplaner: ett fullständigt randomiserat försök och ett randomiserat blockförsök.

   (e)

   Snövit och de sju dvärgarna (forts): Dvärgskägg förekommer bara i tre längder: 0 dm, 20 dm och 50 dm med sannolikheterna 1%, 24% respektive 75%. Beräkna väntevärde och varians för skägglängden hos en slumpmässigt vald dvärg.