MAS215 950221

Korrekt, väl motiverad lösning på uppgifterna 1-5 ger 10 poäng vardera. Totalt kan man få 50 poäng. Gränsen för godkänd är ca 25 poäng och för väl godkänd ca 38 poäng.

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, formelsamling Statistik för biologer och geovetare, samt miniräknare.

Resultatet anslås fredagen den 3 mars i matematikhusets entréhall.

1. En yrvaken koltrast fångar mask i gryningen. Maskarnas längder i centimeter kan betraktas som oberoende observationer av en slumpvariabel Y som är N(19,16). Eftersom koltrasten är mycket hungrig fångar han 50 maskar. Vad är sannolikheten att maskarnas sammanlagda längd överstiger 10 meter? (10p)
2. När han blivit mätt roar sig koltrasten med att gå runt i trädgården och på måfå rycka kronbladen av krokusar. Efter ett tag har han samlat på sig följande:

   Färg	Blå	Gul	Vit	Strimmig
   Antal kronblad	85	47	93	75

   (a)

   Skatta p = andelen blå kronblad i trädgården. (2p)

   (b)

   Gör ett 95% konfidensintervall för p. (3p)

   (c)

   Testa om andelen kronblad är densamma för de olika färgerna. (5p)

3. Så småningom blir han hungrig igen och övergår till att äta äpplen. Han väljer ut 10 äpplen av sorten Ingrid Marie slumpmässigt och väger dem (genom att notera hur mycket han behöver anstränga sig för att lyfta dem). Resultat (i någon koltrastrelaterad enhet):

   7.1

   8.6

   12.5

   8.7

   11.2

   9.3

   9.7

   7.3

   7.5

   12.0

   Antag att vikterna är normalfördelade med väntevärde m och varians s².

   (a)

   Gör ett 95% konfidensintervall för m. (4p)

   (b)

   Gör ett 95% konfidensintervall för s². (4p)

   (c)

   En elak skata hävdar att alla äpplen av sorten Ingrid Marie väger lika mycket. Vilket av de två intervallen bör koltrasten i första hand studera för att undersöka skatans påstående? Motivera ditt svar! (2p)

4. Senare ger sig koltrasten ut på maskfångst igen. Det slår honom då att han kan dra ut tjocka maskar mer än smala maskar innan de går av. Han noterar därför tjocklek och uttöjning hos ett antal maskar. Resultat:

   Tjocklek x (mm)	5.8	7.2	4.2	8.8	4.1	10.0	4.8	4.6
   Uttöjning y (mm)	16.8	21.2	12.0	22.4	13.2	28.4	15.2	13.2

   Antag att det råder ett linjärt samband mellan uttöjning och tjocklek, dvs y_i=a+b x_i+e_i med e_i som är N(0,s²).

   (a)

   Skatta a, b och s². (3p)

   (b)

   Gör ett (tvåsidigt) 95% prediktionsintervall som anger hur mycket en 6.0 mm tjock mask kan dras ut. (4p)

   (c)

   Skatta korrelationskoefficienten r och testa om korrelationen mellan tjocklek och uttöjning är signifikant skild från 0. Du får anta att både X och Y är normalfördelade. (3p)

5. Till slut börjar koltrasten fundera på om det kanske är lättare att fånga mask i rabatter än på gräsmattor och grusgångar. Dessutom har han några olika tekniker han vill jämföra.

   I:

   Stå och vänta tills masken sticker ut huvudet (en teknik han lärt sig genom att studera grannens randiga katt).

   II:

   Hoppa jämfota upp och ner tills masken blir nyfiken och sticker upp huvudet.

   III:

   Härma maskarnas parningsrop.

   IV:

   Den gamla beprövade. Hoppa runt och lyssna efter maskljud.

   Koltrasten prövar alla teknikerna på samtliga underlag i slumpmässig ordning och noterar hur länge han behöver vänta innan han lyckas fånga en mask. Resultatet ges i följande tabell (enhet: sekunder).

   		Teknik
   		I	II	III	IV
   Underlag	Rabatt	87	41	1	28
   	Gräsmatta	125	75	35	56
   	Grusgång	112	69	26	58

   Den elaka skatan har stulit en miniräknare och räknar ut följande summor.

   SS(Underlag)	=	2524.67
   SS(Teknik)	=	12038.92
   SS(Error)	=	63.33
   SS(Total)	=	14626.92

   (a)

   Testa om det finns någon skillnad mellan de olika fångstteknikerna och om det finns någon skillnad mellan de olika underlagen. (4p)

   (b)

   Ange en så bra skattning som möjligt av observationernas varians. (2p)

   (c)

   Gör ett 95% konfidensintervall för skillnaden mellan rabatt och gräsmatta. (P.g.a. additiviteten blir denna skillnad oberoende av vilken teknik som används.) (4p)