FMS035 081022

Matematisk statistik
Lunds tekniska högskola

Tentamen: 2008-10-22 kl 8⁰⁰-13⁰⁰
FMS 035 - Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp

Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar väl motiverade lösningar med svar. Varje uppgift skall börja överst på nytt blad.

Institutionens papper skall användas både som kladdpapper och inskrivningspapper. Skriv fullständigt namn på varje papper. Rödpenna får ej användas.

Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (utnyttjande av i förväg skrivna program och/eller textmassor är ej tillåtet), Formelsamling i Matematisk statistik fär M, V och L 1996 eller senare, samt TEFYMA eller MaFyKe, eller likvärdig gymnasietabell.

Totalt kan man få 120 poäng. För godkänt krävs 50 poäng.

Resultatet anslås senast onsdagen den 5 november i matematikhusets entréhall.

DEL A: ENDAST SVAR

1. (a)

   En vacker vindstilla höstdag faller löven från en stor lönn enligt en poissonprocess med intensitet 3 löv per minut. Det betyder bland annat att antalet löv som faller under en minut är Po(3)-fördelat och att antalet löv som faller under olika minuter är oberoende av varandra. Beräkna sannolikheten att det faller precis 2 löv under en minut. (4p)

   (b)

   (Forts. på 1a) Beräkna sannolikheten att det faller högst 2 löv under en minut. (4p)

   (c)

   (Forts. på 1a) Beräkna (approximativt) sannolikheten att det faller högst 40 löv under 20 minuter. (4p)

   (d)

   Vikten av hemodlade äpplen av sorten Ingrid Marie kan anses vara N(120, 40)-fördelade (enhet: gram). Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt valt sådant äpple väger mellan 50 och 200 gram? (4p)

   (e)

   Vi har noterat att 30% av de hemodlade äpplena är maskätna och att 40% är angripna av skorv. Dessutom vet vi att 60% av de skorvangripna äpplena samtidigt är maskätna. Beräkna sannolikheten att ett hemodlat äpple är helt friskt, dvs varken är maskätet eller angripet av skorv. (4p)

   (f)

   De oberoende stokastiska variablerna X och Y är sådana att E(X)=E(Y)=3 och V(X)=V(Y)=1. Beräkna E(Z) och V(Z) för Z=X-3Y+2. (4p)

   (g)

   Antalet maskar i hemodlade äpplen kan anses komma från följande fördelning:

   Antal maskar, k:	0	1	2	3	≥4
   Sannolikhet p(k):	0.70	0.25	0.04	0.01	0

   Beräkna väntevärde och varians för antalet maskar i ett slumpmässigt valt äpple. (4p)

   (h)

   (Forts. på 1g) Beräkna den betingade sannolikheten att det finns mer än en mask i ett maskätet äpple. (4p)

   (i)

   Antag att böjhållfastheten (enhet: MPa) hos de gamla träden i en park är Rayleighfördelad med fördelningsfunktion F(x) = P(X≤=x) = 1-e^-x2/800 för x≥=0. Beräkna medianböjhållfastheten. (4p)

   (j)

   (Forts. på 1i) Längs cykelvägen genom parken står 3 gamla träd med böjhållfastheter enligt ovan, oberoende av varandra. Nästa storm kommer att utsätta träden för belastningen 20MPa. Hur stor är sannolikheten att det svagaste av de tre träden kommer att skadas, dvs har en böjhållfasthet som understiger 20MPa? (4p)

DEL B: FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR

T.ex. ska modeller alltid beskrivas väl och approximationer, hypoteser och slutsatser anges och motiveras

2.

Sockerbetor har i regel ett sockerinnehåll på 16-18% (enligt Dansukkers hemsida). Vi tolkar det som att enskilda sockerbetor har ett sockerinnehåll som kan ses som oberoende observationer från en N(μ, σ)-fördelning där vi vet att σ=0.5 och där μ=17 i normala fall. I ett visst betlass undersökte man sockerhalten hos 9 slumpmässigt valda betor. Resultat:

16.5

16.7

16.7

17.1

16.2

16.6

16.5

16.2

17.6

Kan vi hävda att sockerhalten är för låg, dvs att μ<17, så att bonden ska ha lite mindre betalt för betorna? Använd signifikansnivån α=0.05. (20p)

3.

I ett recept på äppelmos står det att man ska ta "14 lagom stora äpplen eller 2 kg". Vi har 14 hemodlade äpplen av sorten Ingrid Marie med N(120, 40)-fördelade vikter, oberoende av varandra (enhet: gram).

(a)

Hur stor är sannolikheten att de 14 äpplenas totala vikt räcker till att få ihop 2 kg? (10p)

(b)

Hur många hemodlade Ingrid Marie-äpplen måste man ta för att sannolikheten att de tillsammans ska väga minst 2 kg skall vara minst 0.90? (10p)

4.

Vid kontroll av betskörden vill man undersöka hur stor andel av betorna som fått skador av betupptagningsmaskinen. Ur ett stort betlass plockade man därför ut ett slumpmässigt valt stickprov med 150 betor och konstaterade att 12 av dessa var skadade.

(a)

Beräkna ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för andelen skadade betor i hela lasset. (10p)

(b)

Med en annan betupptagningsmaskin gjorde man en motsvarande undersökning på 200 slumpmässigt valda betor och fick att 18 av dessa var skadade. Skatta skillnaden mellan andelen skadade betor för de två maskinerna och beräkna ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för denna skillnad. Finns det någon anledning att tro att andelen skadade betor skiljer sig åt? (10p)

5.

Mängden regn, X, som faller under en höststorm kan anses vara Rayleighfördelad med parameter a. Det innebär bland annat att E(X) = sqrt(a π /2), V(X) = 2a(1-π/4), V(X²) = 4a², a^* = 1/2n sum_i=1..n x²_i, f(x) = x/a exp(-x²/2a) för x≥0. Vi antar att regnmängderna under olika höststormar är oberoende av varandra.

(a)

Beräkna E(X²). Ledning: det finns lättare sätt än att integrera. (2p)

(b)

Beräkna väntevärde och varians av a^*. Vad kan vi säga om fördelningen för a^* när n är stort? (6p)

(c)

Man har mätt mängden regn under 100 oberoende oväder och fått skattningen a^* = 186. Beräkna ett tvåsidigt, approximativt 95%, konfidensintervall för a. (4p)

(d)

Visa att a^* faktiskt är ML-skattningen av a. (8p)

Lycka till!