FMS120 991221

Korrekt, väl motiverad lösning på uppgift 1-3 ger 10 poäng vardera medan uppgift 4-6 ger 20 poäng vardera. Totalt kan man få 90 poäng. Gränsen för godkänd är 40 poäng.

Institutionens papper används både som kladdpapper och som inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Rödpenna får ej användas. Skriv fullständigt namn på alla papper.

Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, Formelsamling i matematisk statistik för I: HT99, samt miniräknare.

Resultatet anslås onsdagen den 5 januari i matematikhusets entréhall.
Lösningar delas ut i samband med visningen en vecka senare.

1. Prinsessor anländer enligt en poissonprocess med intensiteten 1.5 prinsessa per år. Det innebär bl.a. att antalet prinsessor olika år är oberoende och Po(1.5) samt att avståndet mellan successiva prinsessor är oberoende och Exp(1/1.5).

   (a)

   Hur stor är sannolikheten att det kommer minst en prinsessa under ett visst år? (2p)

   (b)

   Betrakta den kommande tvåårsperioden. Hur stor är sannolikheten att det kommer två prinsessor under ett av åren (likgiltigt vilket år) men ingen under det andra året? (3p)

   (c)

   Prinsessorna rövas bort av en drake så fort de dyker upp. Hur stor är sannolikheten att draken måste vänta mer än ett år från en prinsessa till nästa? (2p)

   (d)

   Om draken har väntat i ett år utan att det kommit någon prinsessa, hur stor är den betingade sannolikheten att han måste vänta ytterligare minst ett år? (3p)

2. Draken har samlat en mycket stor skatt med guldmynt i följande valörer: 1 krona (20%), 10 kronor (40%), 50 kronor (30%) samt 100 kronor (10%)

   (a)

   Beräkna väntevärde och standardavvikelse för värdet av ett slumpmässigt valt mynt. (4p)

   (b)

   En prinsessa stjäl 100 slumpmässigt valda mynt. Hur stor är approximativt sannolikheten att bytets värde överstiger 4000 kronor? Lämpliga oberoendeantaganden får göras. (6p)

3. Drakens senaste offer var en känd falskmyntare och bytet blev en samling påstådda guldmynt i olika valörer. För att kontrollera guldhalten mäter draken vikt och volym hos några mynt. Han betraktar vikten, Y kg, av ett mynt som en stokastisk variabel vars väntevärde är proportionellt mot volymen, x dm³, så när som på normalfördelade mätfel, dvs Y_i är N(d x_i,sigma) där d är myntmetallens densitet. Han vet sen tidigare att sigma=0.05 kg.

   (a)

   Visa, genom att härleda den, att minsta-kvadratskattningen av densiteten d ges av d_MK^* = sum_i=1..n x_iY_i / sum_i=1..n x_i², samt ange skattningens fördelning. (6p)

   (b)

   Konstruera ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för myntens densitet och testa om de kan vara av guld som har densiteten d_Au=19.3 kg/dm³. Data:

   Mynt	(i)	1	...	10
   Volym	(xi dm3)	0.009	...	0.051
   Vikt	(yi kg)	0.055	...	0.650

   sum_i=1..n x_i = 0.300, sum_i=1..n x_i² = 0.011, sum_i=1..n y_i = 3.671, sum_i=1..n y_i² = 1.749, sum_i=1..n x_iy_i = 0.138

4. Draken misstänker att hans eldsprutningsförmåga beror på hans dryckesval och har därför gjort ett litet försök där han druckit antingen vatten, T-röd eller konjak och därefter noterat eldslågans egenskaper (längd, färg, hetta, rök etc. hopvägt till ett index, ju högre desto bättre). Resultat:

   Vatten			T-röd				Konjak
   17	27	18	54	32	37	43	57	48	48	56	50

   där data kan anses vara oberoende och normalfördelade med samma varians för de tre dryckerna.

   (a)

   Skatta den gemensamma variansen och beräkna ett 95% konfidensintervall för den. (8p)

   (b)

   Testa om eldsprutningsförmågan skiljer sig åt mellan T-röd och konjak. (12p)

5. Med sannolikheten p kommer det en riddare för att rädda den senast bortrövade prinsessan (sannolikheten är 1-p att det inte kommer någon riddare).

   (a)

   Det kom 9 riddare för att rädda de senaste 12 prinsessorna. Testa H₀: p=0.7 mot H₁: p>0.7 med signifikansnivån 5%. (8p)

   (b)

   Hur många prinsessor måste draken röva bort för att få minst 90% chans att förkasta H₀ på signifikansnivån 5% då p=0.8? (7p)

   (c)

   Förutsätt att antalet prinsessor som rövas bort under ett decennium är Po(15-fördelat och att p=0.7. Beräkna väntevärdet av antalet riddare som draken måste slåss mot det decenniet. (5p)

6. Draken tillagar de besegrade riddarna genom att spruta 800-gradig eld på dem tills de är genomstekta. Hur lång tid det tar beror på hur tjocka de är. Draken har noterat hur lång tid (i sekunder) det tog att värma upp några fattiga riddare (dvs utan rustning) från 38^oC till färdigstekt, dvs 76^oC, på lite olika djup (i meter) räknat från utsidan.

   [Figur, se postscriptversionen]

   n=34, medelv(x)=-1.77, medelv(y)=3.33, S_xx=13.20, S_xy=28.63, S_yy=70.90

   (a)

   Draken har två modellformuleringar att välja mellan, se figuren, där epsilon skall vara oberoende och N(0,sigma). Vilken formulering är lämpligast? (2p)

   (b)

   Draken väljer modell II, dvs y_i=alpha+beta(x_i-medelv(x))+epsilon_i där y=ln(tid), x=ln(djup) med epsilon_i oberoende N(0,sigma). Skatta alpha, beta och sigma och gör ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för beta. (7p)

   (c)

   En skattning av logaritmen, x₀, av en stekt riddares tjocklek ges av x₀^*=medelv(x)+(Y₀-alpha^*)/beta^* där Y₀ är logaritmen av tiden tills han var färdigstekt. Beräkna variansen för x₀^* med hjälp av Gaussapproximation samt beräkna medelfelet för x₀^* då y₀=ln 49.

   Ledning: Y₀, alpha^* och beta^* är alla oberoende av varandra. (7p)

   (d)

   (forts. av c) En prinsessa letar efter sin riddare som enligt signalementet var 25 centimeter tjock (djup). Draken minns inte hur tjock den senaste riddaren var, bara att det tog 49 sekunder att steka honom. Kan det ha varit prinsessans riddare? Besvara frågan med hjälp av ett lämpligt konfidensintervall. (4p)