# Valuation of Derivative Assets, FMS170/MASM19 9 Credits

This course is replaced by Valuation of Derivative Assets, FMSN25/MASM24 7.5 credits which will be given HT2011 LP1

## Latest news

• Re-exam 2010 course August 25. 2011 8:00-13:00 Vic3 A-B

## Computer exercises

Computer exercise 1 ps, pdf.
Computer exercise 2 ps, pdf
Simulation of SDE:s ch. 11 in Madsen et al ps, pdf
You also need to following files: HestonCall. glax500
You can also use the applet below to price derivatives: Fourier option pricer

html ps, pdf.

html ps, pdf.

## Home assignments

The first home assignment ps, pdf.
The second home assignment should be handed in no later than April 30. 2010.ps, pdf

## Exam

Exam 2010 course June 2. 2010 8:00-13:00 MA10
Re-exam 2010 course August 24. 2010 8:00-13:00 (MH362C prel)
Re-exam 2 2010 course January 15. 2011 8:00-13:00 (MA:10)

## Old Exams

Here you have some old exams from previous years. Exam May 2006, ps, pdf,with solution, ps, pdf. Exam May 2007, pdf, with solution, pdf, Exam May 2008, pdf, with solution, pdf, Exam May 2009, pdf, with solution, pdf.

## Course goals

To provide a thorough understanding and insight in the economical and mathematical considerations which underly the valuation of derivatives on financial markets. To provide knowledge about and ability to handle, the models and mathematical tools that are used in financial mathematics. To give a thorough overview concerning the most important types of financial contracts used on the stock- and the interest rate markets and moreover to provide a solid base for understanding contracts that have not been explicitely treated in the course.

### Knowledge and understanding

After the course be able
• to understand the fundamental economical concepts : Financial contract/Contingent claim, Self financing portfolio, Arbitrage, Replicating portfolio/Hedge and Complete market.
• to understand the tools and concepts from stochastic calculus: martingales, Ito's formula, Ito isometry, Feynman-Kac representation, change of measure (Girsanov transformation) and change of numeraire.
• to understand how the basic financial contracts work and how they relate to eachother e.g. European and Asian options, Forward contracts, zero coupon bonds, coupon bond, LIBOR and interest rate swap.

### Ability and skill

After the course be able
• to use the fundamental economical concepts to express relations between various financial contract.
• to use the tools and concepts from stochastic calculus to price financial contracts assuming specific models for the underlying assets. This especially includes the ability to use, derive and understand the Black-Scholes formula as well as the ability of extending it to similar contracts.
• to use Monte Carlo methods to price financial derivatives. Here you should be able to use various variance reduction techniques such as antithetic variables, control variates and importance sampling. This part of the course is examinated in the home assignments and compulsory computer exercises.

### Judgement and valuation

After the course be able
• to apply a mathematical point of view on financial contracts.
• to from an economical and a mathematical perspective, judge what a reasonable valuation of a financial contract should fulfill.

## Course content

The course consists of three related parts. In the first part we will look at option theory in discrete time. The purpose is to quickly introduce fundamental concepts of financial markets such as free of arbitrage and completeness as well as martingales and martingale measures. We will use tree structures to model time dynamics of stock prices and information flows. In the second part we will study alternative models formulated in continuous time. The models we focus on are formulated as stochastic differential equations (SDE:s). Most of the second part is devoted to the probability theory required to understand the SDE models. This include e.g. Brownian motion, stochastic integrals and Ito's formula. Finally in the third part we study various applications of the theory from part two. Here we come back to option theory and derive e.g. the Black-Scholes formula. After that we will study the bond market and interest rate derivatives.

# FMS170/MASM19 : Prissättning av Derivattillgångar

9 HP

## Kursansvarig

Magnus Wiktorsson, tel: (046) 222 86 25, e-post: magnusw@maths.lth.se

Aurelia Vogel, tel: (046) 222 45 77, e-post: aurelia@maths.lth.se

## Tid

Lp 3 och 4, 2010.

## Omfattning

Föreläsningar: 2 timmar per vecka
Övningar: 2 timmar per vecka
Laborationer: 2 timmar Lp3 och 4 timmar Lp4.
Inlämningsuppgift: 1 i Lp3 och 2 i Lp4.

## Schema

Aktuell information finns överst på sidan, Auktuellt.

## Kursens Mål

Att få en fördjupad förståelse och insikt i de ekonomiska och matematiska överväganden som ligger bakom värderingen av derivatkontrakt på finansiella marknader. Dessutom att få kunskap om och färdighet i att hantera, de modeller och de matematiska verktyg som används inom dagens finansmatematik. Att också få en grundlig orientering om de viktigaste typerna av finansiella kontrakt som förekommer på aktie- och räntemarknaden samt få en bra grund för att förstå även kontrakt som inte explicit tagits upp i kursen.

### Kunskap och förståelse

Att efter genomgången kurs kunna
• de grundläggande ekonomiska begreppen: finansiellt kontrakt, självfinansierande portfölj, arbitrage, replikerande portfölj hedge och komplett marknad.
• använda verktygen från stokastisk kalkyl: martingal, Ito's formel, Feynman-Kac representation, Girsanov måttbyte och numerärbyte.
• hur de basala finansiella kontrakten fungerar och relaterar till varandra såsom, Europeiska och Asiatiska optioner, Forward kontrakt, nollkupongobligationer, kupongobligationer, LIBOR och ränteswap.

### Färdighet och förmåga

Att efter genomgången kurs kunna
• använda de grundläggande ekonomiska begreppen för att uttrycka relationer mellan olika finansiella kontrakt.
• använda verktygen från stokastisk kalkyl för att räkna ut priser på finansiella kontrakt under specifika modellantagande. Detta innefattar speciellt att kunna använda, härleda och förstå Black-Scholes formel samt att kunna utvidga den till likartade kontrakt.
• använda Monte Carlo metoder för att prissätta finansiella kontrakt. Att i detta sammanhang kunna använda diverse variansreduktions tekniker såsom antitetiska variabler, kontroll variabler och vägd simulering. Detta moment examineras genom obligatoriska inlämningsuppgifter och laborationer.

### Värderingsförmåga och förhållningssätt

Att efter genomgången kurs kunna
• tillämpa ett matematiskt synsätt på finansiella kontrakt.
• bedömma ur ett ekonomiskt och matematiskt perspektiv vad en rimlig värdering av ett finansiellt kontrakt bör uppfylla.

## Kursens Innehåll

Kursen består av tre (dock inte fristående) delar. I det första momentet kommer vi att inrikta oss mot optionsteori i diskret tid. Avsikten är att snabbt och enkelt definiera vissa nyckelord som arbitragefrihet och kompletthet, samt martingaler och martingalmått. Vi kommer att använda trädstrukturer för att modellera tidsutveckling för aktiekurser och informationsflöden. Under det andra momentet kommer vi att studera alternativa modeller formulerade i kontinuerlig tid. De modeller vi fokuserar mot är så kallade stokastiska differential ekvationer. Större delen av moment två kommer att behandla den erfoderliga sannolikhetsteoretiska bakgrunden, vilket bland annat innefattar Brownsk rörelse, stokastiska integraler och Ito's formel. Slutligen i det tredje momentet inriktar vi oss mot diverse tillämpningar av teorin. Som ett första steg studerar vi åter igen optionsteori och härleder t ex Black-scholes formel. Därefter, övergår vi till att studera obligationsmarknaden och räntederivat.

## Förkunskaper

Markov processer (FMS180/MASC03) eller Stationära stokastiska processer (FMS045/MASC04) eller motsv. samt ekonomisk intuition motsvarande Finansiell ekonomi, MIO 140 (rekommenderat)

Sam vanligt skadar det inte med extra matematik, speciellt sannolikhetsteori och processer, se t.ex. följande kurser
• MASC01: Sannolikhetsteori, fortsättningskurs.
• MASM14: Sannolikhetsteorins matematiska grunder/Måtteori.
Det brukar inte vara något problem för teknologer att gå dessa kurser och få dem tillgodoräknade i sin LTH-examen. Dessutom har man efterlyst ekonomisk intuition
• Optionsteori: På Nationalekonomiska institutionen ges motsvarigheten till denna kurs i diskret tid.
• Finansiell ekonomi, EXTF45: Grundkurs i finansiell ekonomi på I-programmet. I praktiken antas denna vara läst.

## Laborationer

• Laboration 1: (Lp3) Handlar om prissättning av optioner i diskret tid med hjälp av binomialträd. Under laborationen kommer prissättning av både europeiska och amerikanska optioner ske med hjälp av datorer. Vidare studeras konvergenshastigheten hos binomialträd.
• Laboration 2: (Lp4) Prissättning av derivattillgångar kan ske genom simulering av väntevärden. Detta är det centrala momentet för laboration 2. Dessutom appliceras olika tekniker för att förbättra simuleringarna.

## Kurslitteratur:

T.Björk: Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 2004.

S. Åberg: Lecture Notes. Avd. Matematisk Statistik, 2010. (Kompendium som säljs på institutionen.)

## Examination:

Kursen examineras i form av två inlämningsuppgifter och en tentamen. För att bli godkänd på kursen krävs:
• Deltagande i den obligatoriska laborationerna.
• Godkänt resultat på den skriftliga tentamen. Godkänd tentamen ger betyg 3, 4 eller 5.

När du skriver ut en pdf-fil, välj då; 'Fit to Page' för att få med allt på sidorna.

## Fortsättningskurser:

En kurs som passar bra i samband med prissättningskursen är kursen Finansiell Statistik (FMS161/MASM18) som går i läsperiod två på höstterminen.

Questions: Magnus Wiktorsson Top of page

## Course Start

Introductory Meeting:

Start date:
Replaced by FMSN25/MASM24

Lecturer:
Assistants:

## Programmes

• Information and Communication Engineering Technologies
• Engineering Physics
• Industrial Engineering and Management
• Master's Program in Mathematics
• Master's Program in Mathematical Statistics
• Engineering Mathematics
• Stand-alone Courses
Centre for Mathematical Sciences, Box 118, SE-22100, Lund. Telefon: +46 46-222 00 00 (vx)