VARIATIONSKALKYL 2006-2007


Kursledare: Johan Råde, tel. 046-2223166.

Förkunskaper: Grundkursen i matematik (analys i en och flera variabler, samt linjär algebra).

Tid: Lp vt 1 och 2 år 2007. Ett introduktionsmöte kommer att hållas den första veckan i lp vt 1 på tid och plats som anslås på institutionens anslagstavla. Tider för den fortsatta undervisningen bestäms med deltagarna där.

Omfattning: 28 timmar föreläsningar samt räkneövningar vissa veckor.

Poäng: 4 i civilingenjörsexamen.

Introduktionsmöte: Första veckan i lp vt 1 på tid som anslås på institutionens anslagstavla.

Anmälan: Via KA-systemet.


Variationskalkylen handlar om problemet att maximera eller minimera någon storhet, till exempel en integral som beror på en okänd funktion och dess derivator. Det isoperimetriska problemet:

Vilken kurva av given längd omsluter störst area?

är ett klassiskt exempel. Frågan och svaret (en cirkel) har varit kända sedan antiken, men ett matematiskt bevis gavs först på 1800-talet. Ett annat berömt problem gäller minimalytor, det vill säga att hitta den yta med minst area som har en given kurva som rand. Variationskalkylen är en av den klassiska mekanikens hörnstenar, och många av fysikens lagar kan formuleras som variationsprinciper. Teorin har också många tekniska tillämpningar, till exempel inom reglerteknik.

Kursen börjar med några klassiska exempel, sedan går man vidare till definitionen av variationen av en funktional och Eulers differentialekvationer. Dessa metoder används i problem med olika randvillkor och i problem med bivillkor. Sedan går man vidare till direkta metoder för lösning av variationsproblem och Legendres, Jacobis och Weierstrass villkor för lokala maxima och minima. Det sista kapitlet behandlar variationsproblem på kanonisk form och Hamilton-Jacobi teori, som är viktig för mekaniken. Vi kommer att använda datorhjälpmedel, till exempel MAPLE för att lösa vissa uppgifter.

Kursen är tänkt för studenter som vill öka sin förståelse av den matematiska analysen och se tillämpningar av materialet i grundkurserna. Den är också lämplig för doktorander i mekanik och hållfasthetslära.


Lars Vretare