KONTINUERLIGA SYSTEM 5p 2006-2007

Obligatorisk för Pi, valfri för F,E,D


Kursledare: Jan Gustavsson 046-2229291.

Förkunskaper: Funktionsteori och System och transformer för Pi eller Komplex och linjär analys för E, D eller F.

Tid:VT07 lp 1-2, enligt schemat för bl.a. Pi2, F2.

Omfattning: Föreläsningar 48 timmar, övningar 28 timmar, laborationer 7 timmar.

Poäng: 5.

Litteratur: Gunnar och Annika Sparr, Kontinuerliga system.

Anmälan: Via KA-systemet


Denna kurs är uppbyggd av delar som kan tyckas ha lite gemensamt, från fysikaliskt påtagliga fenomen som diffusion och vågutbredning till abstrakt matematisk teori för Hilbertrum och distributioner.

Den sammanhållande länken är partiella differentialekvationer, dvs ekvationer som innehåller partiella derivator. Sådana ekvationer dyker upp överallt inom teknik och naturvetenskap. Många fysikaliska, kemiska och biologiska fenomen låter sig beskrivas av sådana. Under senare år har partiella differentialekvationer också funnit en rad nya användningar inom t.ex. ekonomi, signal- och bildbehandling.

Det visar sig i kursen att man klarar att lösa en del viktiga modellproblem för partiella differentialekvationer analytiskt med hjälp av Fourierserier och lineär systemteori från tidigare kurser. Men för att komma vidare i analysen av mer komplicerade situationer behövs mer matematisk teori och begrepp, bl.a. Hilbertrum och distributionsteori. Dessa är i sig ganska abstrakta, men genom att se hur de kan användas i samband med partiella differentialekvationer kan teorin konktretiseras.

Ambitionen är att behandla hela kedjan: uppställning av modell - lösning av problemet - tolkning av resultaten. Kursen inleds därför med ett avsnitt om Fysikaliska modeller, vilket leder till de tre huvudtyperna värmelednings- eller diffusionsekvationen, vågekvationen och Poissons ekvation. Beroende på rand- och begynnelsevillkor får man tillgripa olika lösningsmetoder. I begränsade områden utnyttjas ofta egenfunktionsutvecklingar (vilka utgör generalisering av matrisdiagonaliseringen i Linjära system). Detta studeras i teorin för Hilbertrum. Man behöver även vissa Speciella funktioner (t.ex. Bessel-). I obegränsade områden utnyttjas i stället integraltransformer (Fourier och Laplace), vilka studeras inom Distributionsteorin En annan metod, som anknyter till insignal/utsignal-modellerna i Linjära system, består i att utnyttja Greenfunktioner. För tvådimensionella potentialproblem kan man även använda analytiska funktioner, främst Konforma avbildningar. För Vågutbredning finns metoder med vars hjälp reflektion, dispersion etc. kan studeras.

De fristående avsnitten om Hilbertrum. Distributionsteorin och Speciella funktioner är av intresse även utanför en kurs om partiella differentialekvationer:

I kursen ingår obligatoriska laborationer där programpaketen Matlab, COMSOL Multiphysics och Maple används för att visualisera analytiska metoder och för att finna numeriska lösningar, i situationer där det inte är möjligt att finna analytiska.

Kontinuerliga system ges i två versioner, 5 poäng respektive 3 poäng, där den förra är obligatorisk för Pi och den senare för F.


Lars Vretare