PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER MED DISTRIBUTIONSTEORI 2006-2007


Kursledare: Pavel Kurasov tel 046/2224440

Rekommenderade förkunskaper: De obligatoriska kurserna för F, Matristeori, Olineära dynamiska system samt påbörjad Funktionalanalys.

Tid: Lp 2 och 3 2006-2007. Se schemat för Pi3/F4/D4/E4.

Omfattning: Föreläsningar 28 timmar. Övningar ca 28 timmar.

Poäng: 5 poäng i civilingenjörsexamen.

Litteratur: D. H. Griffel, Applied Functional Analysis , Dover
Kompletterande teorimaterial samt övningsuppgifter från institutionen.

Anmälan: Via kursanmälningssystemet.


Den förmodligen största klassen av matematiska modeller för tekniska system bygger på partiella differentialekvationer. Ett oundgängligt hjälpmedel i modern teori för dessa ekvationer är distributionsteorin. Kursens syfte är att ge dels stabilare grund för i tidigare kurser genomgångna begrepp och metoder från dessa områden, dels större förmåga att självständigt använda dessa och ytterligare metoder från områdena. Den avser också att ge den analytiska bakgrunden till ofta använda numeriska lösningsmetoder.

Kursen är den andra delen i ett sammanhängande par av fortsättningskurser för F-profilen Teknisk matematik. Den innehåller dels en grundligare genomgång av distributionsteorin, som delvis är bekant från Lineär analys och Kontinuerliga system, dels en introduktion till några metoder för analys och lösning av partiella differentialekvationer. Viktiga tillämpningsområden för bägge delarna är analytisk och numerisk behandling av partiella differentialekvationer, optimeringsteori, reglerteori, signalteori, bildanalys, mekanik och hållfasthetslära samt kvantmekanik. I år kommer speciellt tillämpningar inom tomografi att diskuteras.

Kursinnehåll

Distributionsteori: Konvergens av distributioner. Greenfunktioner och fundamentallösningar. Fourier- och Laplacetransformation av distributioner. Laplaceoperatorn, vågoperatorn och Schrödingeroperatorn.

Partiella differentialekvationer: Spektrala lösningsmetoder: Fouriermetoder och egenfunktionsutvecklingar. Approximationsmetoder: integralekvationer, finita elementmetoder, waveletmetoder. Geometriska metoder: karakteristikor, olineära ekvationer.


Lars Vretare