ALGEBRA 2006-2007


Kursledare: Patrik Nordbeck tel. 046/2220573.

Förkunskaper: Kurserna Linjär algebra och Endimensionell analys 1 (eller Matematisk analys A) samt den matematiska mognad man förvärvar genom ytterligare matematikstudier, till exempel Komplex och linjär analys. Det är en fördel att ha följt kursen Diskret matematik.

Tid: lp vt 1 och lp vt 2 2007. Bestäms i samråd med deltagarna vid ett introduktionsmöte första veckan i lp vt 1. (Se institutionens anslagstavla.)

Omfattning: Föreläsningar och övningar totalt 42 timmar.

Poäng: 4 poäng. Kursen är valfri för F, E, D.

Litteratur: Hungerford, Abstract Algebra, an Introduction. Brook/Cole 1997.

Anmälan: Via KA-systemet. (Anmälningarna kommer att användas för att lämna prognos om antalet deltagare till bokhandeln/KF).


Ordet ''algebra'' är av arabiskt ursprung. Det förekom i titeln på en bok ( Hisab al-jabr wal-muqabala) av en arabisk matematiker i Bagdad på 800-talet ( al-Khwarizmi, jfr ''algoritm''). Boken innehöll bland annat regler för lösning av ekvationer. Den blev känd i Europa på 1200-talet genom Fibonacci, och ordet algebra fick betydelse av ekvationslösning och så småningom bokstavsräkning i största allmänhet. Det är denna typ av algebra man träffar på i skolan (potenslagar, första- och andragradsekvationen) och i de första högskolekurserna (komplexa tal, polynom, determinanter, Cramers regel).

Under 1800-talet breddades ämnet. Nya ideer uppstod när man försökte bevisa Fermats stora sats. Abel bevisade att det inte finns någon formel för lösningarna till en allmän femtegradsekvation. Galois utvecklade nya begrepp för allmänt studium av ekvationer. Boole studerade logik. Matriser infördes, ursprungligen bara som exempel på en multiplikation som inte uppfyller den kommutativa lagen och utan tanke på några tillämpningar.

I den så kallade moderna algebran är man inte längre intresserad av vad slags objekt man räknar med, bara av hur man räknar med dem. Man studerar algebraiska strukturer, dvs. mängder som har en eller flera räkneoperationer för vilka vissa räknelagar gäller. Det är ju välkänt att räkning med reella tal och räkning med matriser uppvisar stora likheter men också påtagliga skillnader. Detta slags observationer studeras systematiskt i modern algebra.

Under 1900-talet har algebran alltmer kommit till användning inom ingenjörsvetenskaperna. Tillämpningar finns bland annat inom kodningsteknik, kryptologi och datalogi. Idag är datoralgebra en av de viktigaste tillämpningarna av algebra (sådana program som Maple, Matematika har blivit mycket viktiga för matematiker och ingenjörer).

Den nu aktuella kursen har två syften:

I kursen behandlas de tre algebraiska begreppen grupp, ring och kropp. I gruppteorin ingår Lagranges sats, permutationsgrupper, kvotgrupper, begreppen homomorfi och isomorfi. I ringteorin behandlas ideal och kvotring samt homomorfi och isomorfi för ringar. Speciellt intresse ägnas åt polynom (delbarhetsteori och Euklides' algoritm). För kroppar studeras begreppen karakteristik och primkropp. Med tanke på tillämpningar inom kodning och kryptoteknik ägnar vi oss speciellt åt ändliga kroppar och kropputvidgningar.


Lars Vretare