master
Examensarbeten - Master Projects
If you are interested in writing a Master Thesis (Diploma) with me you may come
and discuss it any time. Below you find few of such proposals, but I have much more!
Om du vill skriva examensarbete med mig som handledare titta gärna förbi och vi kan diskutera
olika inriktningar. Du kan hitta några projektbeskrivningar på denna sida, men jag har flera
andra!
Förslag på examensarbeten
Här kommer några projekt som handlar om kvantgrafer:
- Tritarr
Tritarr är ett system som består av tre sträng som är knytna ihop
i en punkt. Den påminner om en gitarr och kan användas för att
spela musik.
På en gitarr ändrar man frekvenserna genom att ändra
strängens längd. Hur går det om man vill spela tritarr? Blir det
lättare eller svårare? Tritarr kan beskrivas med hjälp av
vågekvationer på en graf med tre kanter. Tritarr är ett exempel på
en kvantgraf och kan beskrivas med hjälp av vågekvation på en metrisk graf.
Man har redan börjat utveckla teori för tritarr men den är inte färdig än
och det finns gott om problem som måste undersökas.
- Vågekvationer på fraktaler
Fraktaler kan betraktas som metriska grafer och det kan vara intressant
att studera vågekvationer på sådana strukturer. Det är ett exempel på kvantgraf som har oändligt många
kanter. Det finns ingen allmän teori för sådana kvantgafer. Man har bara
studerat enstaka fraktaler och deras spektrum. Det är viktigt att undersöka
sambandet mellan fraktalens totala längd och spektrum. Projektet kan fortsätta
och leda till en artikel eller även en doktorsavhandling.
- Isospekrala kvantgafer och representaionsteori
Projektet handlar om Laplace ekvationer på metriska grafer. Grafer som
leder till operatorer med exakt samma spektrum kallas för isospektrala.
Man kan bevisa att grafer med linjärt oberoende kantlängder kan inte vara
isospektrala. Alla kända exempel på isospektrala grafer är konstruerade
med hjälp av representaionsteori för grupper. Är det möjligt att hitta
isospektrala grafer som inte kommer från gruppteori?
Ett projekt inom matematisk fysik:
- PT-symmetriska potentialer och Darboux transformationer
Darboux transformationer använder man för att få så-kallade Bargmann potentialer.
Schrödinger ekvation med sådana potentialer kan lösas exakt, d.v.s. man kan
räkna ut alla egenfunktioner och spektrum exakt. Alla Bargmann potentialer är rella och
motsvarande differentialoperatorer är symmetriska (självadjungerade).
På senare tiden blev det populärt
att betrakta Schrödinger operatorer med icke reella men PT-stmmetriska potentialer.
Sådana potentialer leder till operatorer med komplexa egenvärdena. Syftet med projektet är att
generalisera Darboux transformationer för att hitta PT-symmetriska potentialer
som kan lösas exakt. Jag tror inte att man behöver kunna avancerad matematik men
problemet ligger vid frontlinjen för den moderna forskningen.
Jag har flera andra projekt som handlar om operatorteori, matematisk fysik och differentialekvationer.
Det finns projekt som handlar om matematiska tillämpningar inom industri eller fysik.