Angående partiella differentialekvationer --- Ekvationer som innehåller en okänd funktion av två (eller flera variabler) och partiella derivator av den. I fortsättningen låter jag f(x,y) vara den sökta funktionen. Om jag börjar med första ordningens ekvationer som vi nästan bara sysslat med så finns det tre fall, av vilka de två första kan behandlas med ideer från endimensionell analys. a) Ekvation av typen f '_x (x,y)= g(x,y) där g(x,y) är given. I detta fall behöver vi bara tänka efter vilka funktioner som ger g(x,y) om man deriverar med avseende på x. Ex: f '_x(x,y)= y*cos(x) har löses uppenbarligen av f(x,y)=y*sin(x) men vi kan också addera en godtycklig funktion som inte beror på x. Den allmänna lösningen blir alltså f(x,y)=y*sin(x)+h(y) där h är en godtycklig funktion av en variabel. b) Ekvationer av typen f '_:y(x,y)+g(x,y)*f(x,y)=h(x,y) där g och h är givna funktioner. Ex f '_y(x,y)+2*x*y*f(x,y)=y*cos(x). Även här förekommer bara den ena av de båda partiella derivatorna av f så vi kan betrakta x som konstant och använda endimensionell analys. Eftersom det även finns en term med f oderiverat måste vi dock använda metoden med integrerande faktor. Vi söker en först en funktion G(x,y) som har y-derivatan g(x,y)=2xy, t ex G(x,y)=xy2. Sedan multiplicerar vi hela differentialekvationen med e^G(x,y) , med Maple exp(x*y2). Vitsen med detta är att då blir vänsterledet derivatan m a p y av produkten exp(xy2)*f(x,y), dvs ekvationen är ekvivalent med ( exp(x*y2)*f(x,y))'_y= y*exp(x*y2)*cos(x) (1) Men detta kan vi uppfatta som en ekvation av typ a) ovan för produkten exp(x*y2)*f(x,y). Med lite eftertanke (eller Maple) finner vi att en funktion vars derivata m a p y är lika med högerledet y*exp(x*y2)*cos(x) i ekvation (1) ovan är 1/2*exp(x*y2)*cos(x)/x och till detta kan vi lägga en allmän funktion k(x) av x. Ekvationen (1) ger alltså exp(x*y2)*f(x,y)=1/2*exp(x*y2)*cos(x)/x+k(x). Nu återstår bara att lösa ut f(x,y) genom att dividera båda sidor med exp(x*y2), vilket är ekvivalent med att multiplicera med 1/exp(x*y2)=exp(-x*y2). Vi får alltså den allmänna lösningen f(x,y)=1/2*cos(x)/x+k(x)*exp(-x*y2) . c) Ekvationer som innehåller partiella derivator av f både med avseende på x och med avseende på y (samt eventuellt f utan derivata). Exempel är 2.21. Såvitt jag minns har vi där ekvationen 2*f '_x(x,y)+f_y(x,y) = 0. (2) Här klarar vi oss inte med enbart metoder från endimensionell analys. Metoden här är: 1) Välj nya variabler u=u(x,y) och v=v(x,y). (I era fall kommer de alltid att vara givna utom möjligen att det som i 2.21 finns en konstant att välja.) I 2.21 är u=x-k*y och v=x+k*y. 2) Sök en funktion g av två variabler så att f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y)) (3) löser ekvation (2). (Det listiga variabelbytet kommer att leda till en ekvation för funktionen g av typ a) eller b) ovan som vi kan lösa.) Hur gör man det? Jo man börjar med att uttrycka f '_x och f '_y med hjälp (3) och kedjeregeln: f '_x(x,y)=g '_u(u,v)*u '_x+g '_v(u,v)*v '_x=g '_u(u,v)+g '_v(u,v) f '_y(x,y)=g '_u(u,v)*u '_y+g '_v(u,v)*v '_y= - k*g '_u(u,v)+k*g '_v(u,v) Sedan sätter man in detta i ekvation (2) och förenklar: (2-k)*g ' _u(u,v)+(2+k)*g '_v(u,v) = 0. (4) Vi ser att för de flesta värden på k innehåller denna ekvation både g '_u och g '_v, men om k=2 eller k=-2 får vi en ekvation av typ a). T ex ger k=2 att 4*g '_v(u,v) = 0 som kan förenklas till g' _v(u,v) =0 vilket ger g(u,v)=h(u) där h är en godtycklig funktion av en variabel med kontinuerlig derivata. (Det sista kravet behövs för att vår användning av kedjeregeln skall vara tillåten.) (Anm: I mer komplicerade fall kan ekvationen för f(x,y) också innehålla x och y. Om de inte går att förkorta bort efter att man satt in uttrycken som kedjeregeln ger för f '_x och f '_y så måste man uttrycka dem i u och v innan man kan börja lösa differentialekvationen för g(u,v). ) 3) Vi kan slutligen få den sökta funktionen f(x,y) genom att använda (3) med vårt val av k: f(x,y)=g(u,v)=h(u)=h(x-2*y) (Detta resultat får man också om man väljer k=-2 i steg 2) ovan.) Anm: I bokens exempel skriver man f(u,v) istället för g(u,v). Det avråder jag dock ifrån.